Desarrollo del pensamiento algebraico - Tenoch E. Cedillo Ávalos-(e-pub.me)

Desarrollo del
pensamiento algebraico
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Tenoch E. Cedillo Ávalos
Valentín Cruz Oliva
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Desarrollo del
pensamiento algebraico
Contenido
Desarrollo del
pensamiento algebraico
Tenoch E. Cedillo Ávalos
Universidad Pedagógica Nacional
Unidad Ajusco
Valentín Cruz Oliva
Administración Federal de
Servicios Educativos en el Distrito Federal
Coordinación Sectorial de Educación Secundaria
Datos de catalogación bibliográfica
CEDILLO, TENOCH y CRUZ, VALENTÍN
Desarrollo del pensamiento algebraico
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2013
ISBN: 978-607-32-1548-0
Área: Matemáticas
Formato: 21 × 27 cm
Páginas: 288
Todos los derechos reservados
Edición en español
Director General:
Dirección Educación Superior:
Editora Sponsor:
Philip de la Vega
Mario Contreras
Gabriela López Ballesteros
e-mail: [email protected]
Bernardino Gutiérrez Hernández
Juan José García Guzmán
By Color Soluciones Gráficas
Editor de desarrollo:
Supervisor de producción:
Diseño de interiores y portada:
Gerencia Editorial
Educación Superior Latinoamérica: Marisa de Anta
PRIMERA EDICIÓN, 2013
D.R. © 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto, C.P. 53519
Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en
ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o
electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del
editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá
también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-1548-0
ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-1549-7
ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-1550-3
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12
www.pearsonenespañol.com
Contenido
Prólogo
Presentación
xiii
xv
Introducción
Referente teórico
Modelo didáctico
Investigación
Guía didactica
Manual básico para el uso de un sistema
algebraico computarizado (SAC)
xvii
1
7
21
35
51
Bloque 1
Uso del código algebraico para expresar las reglas que
gobiernan los patrones numéricos
69
Hoja de trabajo 1. Patrones numéricos: valores de entrada y salida
Hoja de trabajo 2. Valores proporcionales (1)
Hoja de trabajo 3. Valores proporcionales (2)
Hoja de trabajo 4. Reglas de dos pasos (1)
Hoja de trabajo 5. Reglas de dos pasos (2)
Hoja de trabajo 6. Patrones con valores negativos (1)
Hoja de trabajo 7. Patrones con valores negativos (2)
Hoja de trabajo 8. Constante de proporcionalidad fraccionaria (1)
Hoja de trabajo 9. Constante de proporcionalidad fraccionaria (2)
Hoja de trabajo 10. Constante de proporcionalidad fraccionaria (3)
Hoja de trabajo 11. Lectura de expresiones algebraicas (1)
Hoja de trabajo 12. Lectura de expresiones algebraicas (2)
Hoja de trabajo 13. Reglas de dos pasos (3)
Hoja de trabajo 14. Constante de proporcionalidad fraccionaria (4)
Hoja de trabajo 15. Constante de proporcionalidad fraccionaria (5)
Hoja de trabajo 16. Constante de proporcionalidad fraccionaria (6)
70
71
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75
76
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79
80
81
82
83
84
85
Actividades sugeridas para el futuro docente
86
v
Desarrollo del pensamiento algebraico
Bloque 2
Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación
algebraica
Hoja de trabajo 17. Expresiones algebraicas y jerarquía
de las operaciones (1)
Hoja de trabajo 18. Expresiones algebraicas y jerarquía
de las operaciones (2)
Hoja de trabajo 19. Uso de paréntesis (1)
Hoja de trabajo 20. Transformación algebraica (1)
Hoja de trabajo 21. Uso de paréntesis (2)
Hoja de trabajo 22. Paréntesis y jerarquía de las operaciones
Actividades sugeridas para el futuro docente
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88
89
90
91
92
93
94
Bloque 3
Expresiones algebraicas equivalentes
Hoja de trabajo 23. Expresiones algebraicas equivalentes (1)
Hoja de trabajo 24. Expresiones algebraicas equivalentes (2)
Hoja de trabajo 25. Expresiones algebraicas equivalentes (3)
Hoja de trabajo 26. Expresiones algebraicas equivalentes (4)
Hoja de trabajo 27. Expresiones algebraicas equivalentes (5)
Hoja de trabajo 28. Expresiones algebraicas equivalentes
de dos pasos
Hoja de trabajo 29. Programas equivalentes (1)
Hoja de trabajo 30. Programas equivalentes (2)
Hoja de trabajo 31. Lectura de expresiones algebraicas
equivalentes
Actividades sugeridas para el futuro docente
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
Bloque 4
vi
Representación algebraica de relaciones parte-todo
107
Hoja de trabajo 32. ¿Cómo expreso la parte restante?
Hoja de trabajo 33. El todo con respecto a sus partes (1)
Hoja de trabajo 34. Aplicaciones de la relación parte-todo (1)
Hoja de trabajo 35. Aplicaciones de la relación parte-todo (2)
Hoja de trabajo 36. Aplicaciones de la relación parte-todo (3)
108
109
110
111
112
Contenido
Hoja de trabajo 37. El todo con respecto a sus partes (2)
Hoja de trabajo 38. ¡Ésta no es una relación parte-todo!
Hoja de trabajo 39. ¡Ésta tampoco es una relación parte-todo!
Hoja de trabajo 40. Patrones decrecientes (1)
Hoja de trabajo 41. Patrones decrecientes (2)
113
114
115
116
117
Actividades sugeridas para el futuro docente
118
Bloque 5
Inversión de funciones lineales
119
Hoja de trabajo 42. Programas que invierten la tabla de valores (1)
Hoja de trabajo 43. Programas que invierten la tabla de valores (2)
Hoja de trabajo 44. Programas inversos de dos pasos (1)
Hoja de trabajo 45. Programas inversos de dos pasos (2)
Hoja de trabajo 46. Programas inversos en relaciones
cuadráticas y relaciones de dos pasos
120
121
122
123
Actividades sugeridas para el futuro docente
125
124
Bloque 6
El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas
y formulación de conjeturas
127
Hoja de trabajo 47. Patrones geométricos (1)
Hoja de trabajo 48. Patrones geométricos (2)
Hoja de trabajo 49. Patrones geométricos (3)
Hoja de trabajo 50. Ventanas
Hoja de trabajo 51. Algo más sobre ventanas
Hoja de trabajo 52. Maquetas
Hoja de trabajo 53. Rebajas
Hoja de trabajo 54. ¡Descuento general!
Hoja de trabajo 55. Bienes raíces
Hoja de trabajo 56. ¿Si modifico el perímetro cambia el área?
Hoja de trabajo 57. Números palíndromos
Hoja de trabajo 58. Números consecutivos
Hoja de trabajo 59. Números pares e impares
Hoja de trabajo 60. Conjeturas
Hoja de trabajo 61. Un juego matemático
Actividades sugeridas para el futuro docente
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129
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131
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141
142
143
vii
Desarrollo del pensamiento algebraico
Bloque 7
Noción de función inversa
145
Hoja de trabajo 62. Tablas, expresiones algebraicas y gráficas
Hoja de trabajo 63. Gráficas de una función lineal y su inversa (1)
Hoja de trabajo 64. Gráficas de una función lineal y su inversa (2)
Hoja de trabajo 65. Gráficas de una función lineal y su inversa (3)
Hoja de trabajo 66. Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1)
Hoja de trabajo 67. Gráficas de una función cuadrática y su inversa (2)
Hoja de trabajo 68. Inversa de funciones lineales y cuadráticas
Actividades sugeridas para el futuro docente
146
147
148
149
150
151
152
153
Bloque 8
viii
Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica
155
Hoja de trabajo 69. Un punto importante en una recta
Hoja de trabajo 70. Cambio de escala
Hoja de trabajo 71. Más sobre escalas y gráficas
Hoja de trabajo 72. El rango del editor de gráficas
Hoja de trabajo 73. Rectas que “crecen”
Hoja de trabajo 74. ¿Qué gráficas “crecen” más rápido?
Hoja de trabajo 75. ¿Qué ecuaciones producen esas rectas?
Hoja de trabajo 76. Gráficas que “decrecen”
Hoja de trabajo 77. Más sobre gráficas que “decrecen”
Hoja de trabajo 78. Rectas y ecuaciones
Hoja de trabajo 79. Cuadriláteros
Hoja de trabajo 80. ¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?
Hoja de trabajo 81. Rectas horizontales
Hoja de trabajo 82. Puntos, rectas y ecuaciones
Hoja de trabajo 83. Nubes de puntos y rectas
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167
168
169
170
Hoja de trabajo 84. Nubes de puntos y predicciones
Actividades sugeridas para el futuro docente
171
172
Contenido
Bloque 9
Funciones cuadráticas: su representación gráfica
y algunas aplicaciones
Hoja de trabajo 85. Un punto muy importante de la parábola
Hoja de trabajo 86. Más sobre parábolas
Hoja de trabajo 87. El vértice de una parábola
Hoja de trabajo 88. ¿Qué ecuaciones producen esas parábolas?
Hoja de trabajo 89. Simetría
Hoja de trabajo 90. ¿Cuál parábola “crece” más rápido?
Hoja de trabajo 91. Anchas y angostas
Hoja de trabajo 92. ¿Qué parábolas pasan por esos puntos?
Hoja de trabajo 93. ¿A qué altura está la pelota?
Hoja de trabajo 94. ¿Qué tan rápido va ese automóvil?
Hoja de trabajo 95. ¿Qué prefieres: grados Fahrenheit o centígrados?
Hoja de trabajo 96. Si modifico el perímetro, ¿también cambia el área?
Hoja de trabajo 97. Chofer, ¿no podría ir más rápido?
Hoja de trabajo 98. ¿Mi peso es distinto en la Luna?
Hoja de trabajo 99. ¿Cuánto pesas si estás en Júpiter?
Hoja de trabajo 100. ¿Tan rápido viaja la luz?
Hoja de trabajo 101. ¿Una ecuación para desalojar la escuela?
Hoja de trabajo 102. ¿Quién lanza más alto la pelota?
Hoja de trabajo 103. ¿Puedes calcular el tiempo y la distancia
en caída libre?
Hoja de trabajo 104. ¿Es correcto lo que me cobran?
Hoja de trabajo 105. ¡Viajar en taxi cuesta!
Actividades sugeridas para el futuro docente
173
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192
193
194
195
Bloque 10
Factorización de expresiones cuadráticas:
un acercamiento visual
197
Hoja de trabajo 106. El trinomio cuadrado perfecto
Hoja de trabajo 107. Algo más sobre el trinomio cuadrado
perfecto
Hoja de trabajo 108. Diferencia de cuadrados (1)
198
199
200
Hoja de trabajo 109. Diferencia de cuadrados (2)
Hoja de trabajo 110. Trinomio de segundo grado (1)
201
202
ix
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 111. Trinomio de segundo grado (2)
Hoja de trabajo 112. Expresiones cuadráticas con un factor común
Hoja de trabajo 113. Factorización y equivalencia algebraica (1)
Hoja de trabajo 114. Factorización y equivalencia algebraica (2)
Actividades sugeridas para el futuro docente
203
204
205
206
207
Bloque 11
Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas
209
Hoja de trabajo 115. Resolución gráfica de ecuaciones de primer grado
Hoja de trabajo 116. Puntos donde se cortan dos gráficas
Hoja de trabajo 117. ¿Cuál es la solución?
Hoja de trabajo 118. ¿En cuántos puntos se intersecan estas gráficas?
Hoja de trabajo 119. ¿Cuál es la solución?
Hoja de trabajo 120. ¿Sólo una solución?
210
211
212
213
214
215
Hoja de trabajo 121. Puntos donde se intersecan dos gráficas
Actividades sugeridas para el futuro docente
216
217
Bloque 12
Función raíz cuadrada: dominio y contradominio
219
Hoja de trabajo 122. Función raíz cuadrada
Hoja de trabajo 123. Dominio y contradominio
Hoja de trabajo 124. Traslaciones verticales
Hoja de trabajo 125. Simetría
Hoja de trabajo 126. Algo más sobre simetría
Hoja de trabajo 127. Traslaciones horizontales
Hoja de trabajo 128. Más traslaciones
Actividades sugeridas para el futuro docente
220
221
222
223
224
225
226
227
Bloque 13
x
Semicírculo: valores extremos
229
Hoja de trabajo 129. Semicírculo
Hoja de trabajo 130. Rectas tangentes
Hoja de trabajo 131. Semicírculos
Hoja de trabajo 132. Semielipses
230
231
232
233
Contenido
Hoja de trabajo 133. Elipses y círculos
Hoja de trabajo 134. ¡Arriba, abajo!
Hoja de trabajo 135. Traslaciones horizontales
Hoja de trabajo 136. ¡Parece que se hunden y flotan!
Hoja de trabajo 137. Carita feliz
Actividades sugeridas para el futuro docente
234
235
236
237
238
239
Bloque 14
Función racional: discontinuidad y asíntotas
241
Hoja de trabajo 138. Hipérbolas
Hoja de trabajo 139. Asíntotas horizontales
Hoja de trabajo 140. Simetría
Hoja de trabajo 141. Coeficientes
Hoja de trabajo 142. Traslaciones horizontales
Hoja de trabajo 143. Traslaciones verticales
Hoja de trabajo 144. ¿Y estas gráficas?
Actividades sugeridas para el futuro docente
242
243
244
245
246
247
248
249
Bloque 15
Valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas
251
Hoja de trabajo 145. Valor absoluto (1)
Hoja de trabajo 146. Traslación y simetría
Hoja de trabajo 147. Coeficientes distintos de 1
Hoja de trabajo 148. Valor absoluto (2)
Hoja de trabajo 149. Traslación vertical
Hoja de trabajo 150. Galería
Hoja de trabajo 151. Valor absoluto y parábolas
Actividades sugeridas para el futuro docente
252
253
254
255
256
257
258
259
Bloque 16
Funciones trigonométricas: seno y coseno
261
Hoja de trabajo 152. Función seno
Hoja de trabajo 153. Amplitud
Hoja de trabajo 154. Frecuencia
262
263
264
xi
Hoja de trabajo 155. Simetría
Hoja de trabajo 156. Función coseno
Hoja de trabajo 157. Función coseno: amplitud, frecuencia y simetría
Actividades sugeridas para el futuro docente
xii
265
266
267
268
Prólogo
E
s un hecho que nuestra sociedad vive una expansión del uso de herramientas tecnológicas en su vida cotidiana, y una pregunta que se hacen los investigadores y profesores
de matemáticas es por qué ese uso no se manifiesta en el aula de matemáticas. Los resultados de algunas investigaciones muestran que los procesos para integrar la tecnología en el
aula de matemáticas no es tarea fácil; en particular, porque implica el estudio y experimentación de actividades de enseñanza especialmente diseñadas para apoyar la tarea del profesor,
pero una vez que se tienen estas actividades, los profesores no cuentan con libros de texto que
les proporcionen materiales para desarrollar un curso completo con apoyo de la tecnología.
Tenoch Cedillo es uno de los investigadores que, consciente de esta problemática, se ha
dado a la tarea de escribir un libro sobre gráficas de funciones en donde el principal objetivo es
generar procesos de visualización. Su punto de partida es una teoría sobre la construcción de
conceptos matemáticos con el uso de representaciones como elemento imprescindible para
promover procesos cognitivos que permitan articular las diferentes representaciones de una
función. Con ello hace énfasis en que no basta, por ejemplo, con proporcionar actividades de
conversión de la representación algebraica a la representación gráfica; también es necesario el
proceso inverso, que implica el paso de una representación gráfica a la algebraica.
Los profesores de matemáticas se pueden preguntar por qué es importante generar en
sus estudiantes estos procesos de articulación entre representaciones. Una respuesta sería partir del hecho de que toda representación de los objetos matemáticos es parcial con respecto
a lo que representa, lo que hace absolutamente necesario contar con diferentes representaciones para su construcción. Por eso es tan importante proponer tareas de conversión entre
representaciones durante la construcción del conocimiento matemático.
El uso de la calculadora en el aula de matemáticas permite la movilidad y el intercambio
de ideas entre los estudiantes; además, las representaciones en pantalla, cada vez más finas,
permiten el análisis no sólo del comportamiento de una función, sino el de toda una familia
de funciones, que es el caso de este texto, donde se analiza con profundidad la noción de
parámetro, lo que permite comprender en forma dinámica el rol de los parámetros en las expresiones algebraicas de las funciones.
Sin duda, este libro será de gran ayuda para el profesor de matemáticas en su labor docente ya que le proporciona actividades que podrá implementar directamente en su clase.
Fernando Hitt
Profesor de Matemáticas
Departamento de Matemáticas Universidad de Québec, Montréal
Québec, Canadá
xiii
Presentación
La calculadora en el aula
E
sta serie tiene como propósito poner a disposición de investigadores y profesores de
matemáticas materiales de enseñanza para el uso de la calculadora en el aula, los cuales se han derivado de la investigación realizada por el autor en los recientes quince años.
Actualmente el uso de la calculadora es ampliamente fomentado por los académicos en sus
clases de matemáticas, y en los últimos años se ha observado que cada vez más profesores
e investigadores mexicanos están desarrollando propuestas para su uso. Esta situación se hace
palpable en los distintos eventos que sobre la enseñanza de las matemáticas se llevan a cabo
en México. Esas iniciativas son indicadores claros de un creciente interés por conocer y explotar de mejor manera los nuevos recursos tecnológicos como un medio para apoyar el aprendizaje y la enseñanza.
Existen revistas de enseñanza y de investigación que incluyen actividades para el uso de la
calculadora en la clase de matemáticas en el nivel básico. Una limitante a este respecto es que
a pesar de que estas iniciativas presentan actividades e ideas interesantes, sólo proporcionan
una muestra de ellas para el aprendizaje y la enseñanza, lo cual no es suficiente para delinear una
propuesta didáctica en la que el profesor se pueda apoyar para abordar el curriculum oficial.
Recientemente se han editado valiosos materiales sobre el uso de la calculadora; sin embargo, la mayoría están dirigidos a profesores de los niveles medio superior y superior, en particular para profesores y estudiantes que cursan las carreras de ingeniería. Los materiales para
la Educación Normal y la Educación Básica aún son escasos. La propuesta de la primera etapa
de esta serie editorial es, con el tiempo, llenar ese vacío.
La calculadora en el aula representa un esfuerzo para propiciar la construcción de una
cultura didáctica en el uso de nuevos recursos tecnológicos. Esta tarea requiere de la participación de muchos educadores que coadyuven en la búsqueda de alternativas acordes al estilo
y tradiciones de enseñanza en las escuelas formadoras de docentes, y a las exigencias educativas que deben atender los profesores de educación básica en servicio. En consecuencia,
una condición que se ha impuesto a los materiales de esta serie es que sean el producto de
cuidadosas revisiones a partir de resultados de investigación obtenidos en el aula.
Reiteramos nuestra convicción de que serán los profesores en servicio quienes tendrán la
última palabra en cuanto a la pertinencia y utilidad de esta serie, por lo que sus comentarios o
críticas siempre serán bienvenidos.
Tenoch E. Cedillo A.
Valentín Cruz Oliva
Autores
xv
Introducción
E
l propósito de este libro es poner a disposición de profesores e investigadores un material
que presenta un modelo didáctico para el uso de la calculadora en la clase de matemáticas. Se incluyen los principios teóricos en que se sustenta este material y los resultados de
investigación obtenidos al aplicar este modelo. Este volumen ofrece un trabajo que se ha ido
conformando a lo largo de un estudio de seis años con cerca de 20 000 estudiantes y 800 profesores ubicados en distintas partes del país.
En esta edición hemos incorporado las observaciones que con más frecuencia han hecho
los profesores que utilizan estos materiales, entre las que destaca la inclusión de una guía
didáctica para la aplicación de las actividades en el aula, la cual introducen la producción y
lectura de las gráficas de funciones lineales y cuadráticas en el plano cartesiano, que complementan el desarrollo de las habilidades relacionadas con la producción de expresiones algebraicas en situaciones de generalización, y su uso en la formulación de justificaciones para esas
generalizaciones.
Este libro está conformado por las siguientes secciones:
t
t
t
t
t
t
Referente teórico.
Modelo didáctico.
Resultados de investigación.
Guía didáctica.
Actividades para la enseñanza.
Manual básico para el uso de la calculadora.
El Referente teórico está dirigido a profesores e investigadores interesados en los principios
que han orientado la investigación en que se sustenta el modelo didáctico aquí propuesto.
El Modelo didáctico parte del reconocimiento explícito de las diferencias entre el lenguaje
natural y el código algebraico. El uso adecuado de la calculadora simula un microcosmos cuyo
lenguaje es matemático, es decir, el de los códigos de la aritmética, el álgebra y la geometría.
La sección Resultados de la investigación incluye episodios selectos de la investigación que
los autores han realizado sobre el potencial del uso de sistemas algebraicos computarizados instalados en calculadoras gráficas. Esta sección está dirigida a profesores e investigadores interesados en conocer los efectos del uso de esos programas en calculadoras y sus efectos en el aprendizaje de los estudiantes que se encuentran en el proceso de transición de la aritmética al álgebra.
La Guía didáctica contiene recomendaciones específicas para la aplicación de cada una de
las actividades que conforman el material destinado a la enseñanza. Se espera que esta sección
sea de utilidad para que el profesor anticipe de manera más ágil cuáles son los temas y conceptos matemáticos que implícitamente contiene cada una de las actividades propuestas, el
tiempo que se sugiere para el tratamiento de cada actividad y las situaciones que pueden surgir
durante su aplicación. En particular, en esta sección se presentan sugerencias para incluir actividades diseñadas con base en el uso de la calculadora en el tratamiento del currículum actual.
La sección Actividades para la enseñanza consta de 157 hojas de trabajo, divididas en 16
xvii
Desarrollo del pensamiento algebraico
bloques, y está dirigida a investigadores y profesores. Los investigadores encontrarán en esta
sección material muy útil para la toma de datos en sus indagaciones o las de sus estudiantes.
Los profesores encontrarán en esta sección actividades articuladas que les permitirán poner
en práctica un enfoque alternativo para introducir el estudio del álgebra escolar a partir de los
antecedentes aritméticos que poseen sus estudiantes al término de su educación primaria.
Las observaciones realizadas en una amplia población nos indican que los estudiantes encontrarán en este material muchas actividades que estimularán su curiosidad intelectual y
que, a partir de su propio razonamiento, serán capaces de confrontar complejas situaciones
matemáticas, sin la exigencia de tener que recordar a cada paso aquellos procedimientos o
definiciones que alguna vez se les hubieren enseñado.
Los bloques 1 a 6 forman la base de conocimientos y habilidades para identificar y expresar algebraicamente las reglas que gobiernan el comportamiento de patrones numéricos, y
sirven de plataforma para el estudio de algunas familias de funciones a través de sus representaciones algebraica, tabular y gráfica, que se abordan en los bloques 7 a 16. Los recursos que
ofrecen las calculadoras gráficas permiten diseñar un modelo didáctico para el estudio de las
funciones a través del análisis visual del comportamiento de las gráficas.
Antes de disponer de calculadoras graficadoras, el estudio de las funciones se postergaba
hasta que los estudiantes hubieran seguido al menos un curso de cálculo diferencial; actualmente, se puede iniciar el estudio de las funciones y sus aplicaciones cuando los estudiantes
están tomando sus primeros cursos de álgebra elemental. Las estrategias en que se basa este
acercamiento didáctico son esencialmente la observación visual y la experimentación, de manera similar a las formas de trabajo de las ciencias experimentales. Éste es el contexto en que
se ubica el estudio de las funciones en el presente libro.
En las hojas de trabajo de los bloques 7 a 16 se proponen tareas cuyo propósito es que el
estudiante establezca relaciones entre la regla de correspondencia de una función y su gráfica, y
así favorecer el desarrollo de conceptos relevantes en el tema de funciones e introducir estrategias para la traducción entre las tres representaciones de una función: simbólica, tabular y gráfica.
Esta propuesta parte del supuesto de que la experimentación y la observación nos permiten comprender hechos matemáticos; este nivel de comprensión es un valioso antecedente
para abordar la demostración rigurosa de esos hechos. En este acercamiento, la calculadora
se emplea como una herramienta que permite hacer más fructífera la experimentación, al
potenciar habilidades cognitivas como la visualización, la elaboración de conjeturas y la comprobación empírica, lo cual favorece la generación y validación de conjeturas matemáticas a
través de las representaciones dinámicas que la constituyen.
La calculadora ofrece ventajas que facilitan el aprendizaje a través de la visualización gráfica de las funciones, respaldada por una traducción automática entre sus distintas representaciones y una retroalimentación inmediata para el usuario. La visualización es central; no se
trata sólo de la visualización gráfica sino también de la simbólica; es la ilustración de un objeto,
hecho o proceso, con resultados que pueden ser gráficos, numéricos o algebraicos.
A partir de la visualización de una gráfica y su ecuación, es posible identificar aspectos
como su forma, orientación y cruces con los ejes coordenados. La visualización de una gráfica
puede enfocarse a conceptos relevantes involucrados en las gráficas de las funciones, como
dominio, contradominio, valores de indefinición, asíntotas, transformaciones rígidas en el plano,
ordenada al origen, ceros de una función, crecimientos máximo o mínimo, y puntos de inflexión.
El paso por las hojas de trabajo de las distintas familias de funciones ofrece un panorama amplio de contenidos matemáticos relevantes de las funciones y sus representaciones. La propuesta
es acorde con los propósitos de la educación básica, como lo es en el desarrollo de competencias
matemáticas y en el uso de los nuevos recursos tecnológicos para la enseñanza y el aprendizaje.
En esta sección, Actividades de aprendizaje, se presentan actividades específicamente diseñadas para el estudio de los siguientes temas algebraicos.
xviii
Introducción
Bloque 1
Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan
los patrones numéricos
Bloque 2
Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación
algebraica
Bloque 3
Expresiones algebraicas equivalentes
Bloque 4
Representación algebraica de relaciones parte-todo
Bloque 5
Inversión de funciones lineales
Bloque 6
El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas
y formulación de conjeturas
Bloque 7
Noción de función inversa
Bloque 8
Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica
Bloque 9
Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas
aplicaciones
Bloque 10
Factorización de expresiones cuadráticas: un acercamiento visual
Bloque 11
Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas
Bloque 12
Función raíz cuadrada: dominio y contradominio
Bloque 13
Semicírculo: valores extremos
Bloque 14
Función racional: discontinuidad y asíntotas
Bloque 15
Valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas
Bloque 16
Funciones trigonométricas: seno y coseno
La sección Manual básico presenta una guía mínima para iniciarse en el uso de la calculadora. En particular, se abordan las funciones de la calculadora que requieren emplearse con
mayor frecuencia para realizar las actividades que se incluyen en este volumen.
xix
Desarrollo del pensamiento algebraico
Créditos
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conexiones que estimulan la comprensión de las matemáticas y de las ciencias en los estudiantes. El Software TI-NspireTM para Profesores es igual al software existente en las calculadoras
TI-NspireTM y permite trabajar con el Sistema Algebraico Computacional (CAS) o con cálculos
numéricos estándar. También permite realizar demostraciones interactivas y la exploración
matemática de imágenes de la vida real.
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Referente teórico
La investigación sobre calculadoras se ha enfocado principalmente en el estudio de las facilidades que ofrece para producir gráficas (Cuoco, 1995; diSessa, 1995; Hector, 1992; Ruthven,
1990, 1992, 1995, 1996). El material que se presenta en este libro
se aboca a otros aspectos del rol que puede desempeñar la calculadora en el aula para favorecer el desarrollo de habilidades
algebraicas; en particular, las que se refieren a la asignación de
significados para las literales y sus aplicaciones en el uso de las
expresiones algebraicas que juegan un papel determinante en
el desarrollo del pensamiento algebraico.
Al trabajar en la página de inicio de una calculadora algebraica, el estudiante puede asignar un valor numérico a una
literal, y en términos de esa variable definir una expresión algebraica y ordenar a la calculadora que calcule el valor numérico
de dicha expresión (figura 1).
Figura 1
Este recurso permite que el usuario trabaje con las expresiones
algebraicas como objetos activos, en el sentido de que no sólo
es capaz de expresar algebraicamente el enunciado de un problema, sino también de hacer algo con esas expresiones y obtener retroalimentación inmediata de la máquina. Este recurso
hace surgir consideraciones didácticas como las que se presentan a continuación (Cedillo, 2001).
1
2
Desarrollo del pensamiento algebraico
Si leemos la pantalla de izquierda a derecha, encontramos la regla de correspondencia de la función a2 + 1, después su dominio y contradominio. Si leemos de derecha a izquierda observamos un patrón numérico y la regla algebraica que lo gobierna. En términos didácticos hay una notable diferencia dependiendo de la dirección en
que se lea la pantalla; si es de izquierda a derecha, se empieza con definiciones y reglas
sintácticas que conducen a una función algebraica que puede usarse para producir
un conjunto de valores numéricos. Si se lee de derecha a izquierda, se empieza con un
patrón numérico mediante el cual, por simple inspección visual, se puede encontrar la
regla algebraica que lo produce. Más aún, de izquierda a derecha se empieza por leer
el contradominio de la función y enseguida su dominio.
Esas ideas se ubican en el núcleo del acercamiento didáctico que se presenta en
este libro; este enfoque sugiere una aproximación al código algebraico como lenguaje en uso y conforma en gran medida el referente teórico en que se sustenta la
secuencia didáctica que proponemos para introducir el estudio del álgebra escolar.
Antecedentes
El sustento teórico del modelo didáctico que se presenta en este volumen se conformó a través de una constante interacción entre teoría y práctica. Este proceso se originó en un estudio exploratorio sobre el potencial de la calculadora programable como
herramienta cognitiva; el estudio se llevó a cabo con estudiantes de entre 11 y 12 años
de edad que no habían recibido instrucción en álgebra (Cedillo, 1994), y el trabajo de
campo tuvo una duración de diez sesiones de 50 minutos. Las actividades con que se
experimentó en el aula se basaron en pedir a los estudiantes que identificaran las reglas
que gobiernan ciertos patrones numéricos. Una vez que lo lograban se les indicaba que
construyeran en la calculadora un programa que reprodujera esos patrones. En términos matemáticos, estas actividades requieren que los estudiantes expresen mediante
una función lineal la forma en que describen verbalmente las reglas que generan un
patrón numérico. Por ejemplo, la regla que genera la siguiente tabla puede expresarse
mediante la función y = 2x - 1.
Valor de entrada
Valor de salida
1
1
4
7
6
11
9
17
Como se esperaba, la primera reacción de los estudiantes para enfrentar esas actividades fue expresar verbalmente la regla que genera una tabla como la anterior;
por ejemplo, “multiplicar por 2 y restar 1”; o bien, “sumar el número consigo mismo y
restar uno”. Una vez que introducían en la calculadora una función lineal que consideraban que representaba esa regla, asignaban valores numéricos a la variable para así
verificar la validez de sus respuestas (vea, por ejemplo, las actividades del bloque 1).
Debe mencionarse que en este estudio no se incluyó instrucción alguna acerca de
nomenclatura o conceptos algebraicos; para los estudiantes, esas expresiones alge-
Referente teórico
braicas sólo eran programas que permitían que la calculadora “entendiera” lo que ellos
querían hacer.
La posibilidad que brinda la calculadora para editar expresiones algebraicas va
más allá de sólo poder escribirlas, como suele hacerse en el ambiente del lápiz y el
papel o en un pizarrón electrónico. El recurso relevante que ofrecen las calculadoras
es que hacen posible usar las expresiones algebraicas; por ejemplo, obtener su valor
numérico para un valor específico de la variable, o construir tablas y gráficas para
exploraciones subsecuentes. Esto, además, proporciona una retroalimentación inmediata al usuario.
Los resultados de ese estudio sugirieron que los recursos que ofrece la calculadora programable permiten que los estudiantes aborden las actividades creando
estrategias no convencionales que ellos generan al seguir su propio razonamiento
(Cedillo, 1994). Las respuestas de los estudiantes mostraron que el uso de la calculadora favoreció que formularan conjeturas y que las evaluaran por sí mismos, lo cual fue
un estímulo para que se aventuraran a seguir estrategias propias, sin tener que acudir
constantemente al profesor para pedir su aprobación o para recordar procedimientos
convencionales aprendidos con anterioridad. En lugar de hacer ese tipo de preguntas, las participaciones de los estudiantes se centraron en proponer soluciones, cuyas
formas de validación se analizaban con el profesor. Esto, en principio, daba al profesor
la posibilidad de conducir a sus estudiantes hacia un nivel más alto de aprendizaje.
Por ejemplo, el simple hecho de que en general cada estudiante eligiera una literal
distinta para editar sus programas, como p + 4 y b + 4; o cuando alguno construía el
programa a + a -1, y otro el programa 2 × b -1, daba lugar a interesantes debates
en el grupo sobre cuestiones relacionadas con la equivalencia algebraica.
El ambiente de trabajo que se generó durante ese estudio podría describirse como
un escenario en el que, en esencia, a través de la exploración numérica orientada a la
consecución de un fin claramente establecido, los estudiantes iban asignando significados al código algebraico a partir de las formas en que lo usaban, sin requerir el previo
conocimiento de definiciones y reglas de transformación algebraica. Esta forma de trabajo sugirió que los estudiantes estaban aprendiendo a emplear el código algebraico a
partir de su uso, lo cual condujo a la búsqueda de elementos teóricos que permitieran
explicar y analizar lo que ahí se había observado.
Un ejemplo relevante del aprendizaje a través del uso lo proporciona la forma en
que adquirimos los elementos básicos del lenguaje natural. La lengua materna se
aprende fundamentalmente a través de su uso, sin necesidad de conocer previamente aspectos gramaticales o reglas sintácticas. Las similitudes que se presentaron en
ese estudio exploratorio entre el aprendizaje del álgebra y el del lenguaje natural, condujeron a la idea de proponer la enseñanza del álgebra como un código cuya función
es comunicar ideas matemáticas. Desde perspectivas distintas, esta postura ya ha sido
abordada por Papert (1980) y Mason (1984). En la siguiente sección se analiza la forma
en que avanzamos en el desarrollo de estas ideas.
Principios teóricos
El estudio que se describió sucintamente en la sección anterior dio lugar a cuestionar
un principio teórico que subyace en un enfoque de enseñanza de amplio uso en
matemáticas:
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4
Desarrollo del pensamiento algebraico
Los significados determinan los distintos usos del lenguaje
Muchos libros de texto ejemplifican este principio. La lección se inicia con definiciones, ejemplos y reglas sintácticas (significados); después de esto, el capítulo se cierra
con una serie de problemas en los que se requiere la aplicación de las definiciones,
reglas y ejemplos que se dieran antes (usos). Este enfoque teórico funciona; así han
aprendido matemáticas muchas generaciones. Pero también es cierto que para una
gran mayoría de los estudiantes las matemáticas han resultado algo muy difícil de
comprender y en muchos casos un obstáculo insuperable (Küchemann, 1981; Booth,
1984; Lee y Wheeler, 1988). Los poco satisfactorios resultados obtenidos aplicando
ese método hacen plausible la búsqueda de alternativas como la que se propone a
continuación.
La contraparte de ese principio teórico se ajusta en buena medida a lo observado en el estudio exploratorio expuesto anteriormente, el cual puede resumirse como
sigue:
Los usos del lenguaje determinan sus significados
La postura teórica que conlleva ese principio concuerda con el trabajo desarrollado
por Bruner (1980, 1982, 1983, 1985), quien realizó una extensa investigación sobre la
adquisición del lenguaje materno. Su estudio se centró en indagar cómo los niños
aprenden, aparentemente sin esfuerzo, algo tan complejo como el lenguaje natural.
Una parte importante de su trabajo se condujo a estudiar qué hace posible que el
lenguaje natural sea aprendido por cualquier persona con una inteligencia normal,
en tanto que, en general, otros campos del conocimiento presentan una situación
bastante distinta al respecto. ¿Por qué no todos aprendemos matemáticas, filosofía,
geografía o historia, y sí aprendemos el lenguaje natural con un aceptable nivel de
dominio?
La investigación de Bruner cuestiona sensiblemente posiciones teóricas planteadas con anterioridad. Entre éstas deben destacarse las propuestas por Piaget y
Chomsky.
Piaget (1985, 1988), dicho brevemente, propone que el desarrollo del lenguaje
es un subproducto del desarrollo de operaciones cognitivas no lingüísticas. Desde esta
perspectiva, el lenguaje es simplemente un síntoma de la semiotización automática
de las operaciones cognitivas del desarrollo. Un problema con esta posición teórica es
que no especifica a través de qué medios concretos dichas operaciones cognitivas no
lingüísticas propician la capacidad para reconocer y emplear la gramática de predicados, o el sistema de marcadores lingüísticos definido-indefinido de la anáfora, o la
capacidad para generar únicamente frases bien formadas, confiando así, con una fe
ciega, en la inevitabilidad del progreso. Un ejemplo claro de la inconsistencia de esta
posición es que no ofrece una respuesta plausible a cómo es que un niño, situado
claramente en una fase egocéntrica, puede dominar el uso de pronombres de cambio de persona como “yo” y tú”, cuando se supone que el desarrollo intelectual que ha
alcanzado no le permite adoptar la perspectiva de alguien más (Bruner, 1982).
Otra importante perspectiva teórica sobre la adquisición del lenguaje es la desarrollada por Chomsky (1957), quien propone que nacemos equipados con un poderoso sistema neurológico que nos permite decodificar la gramática del lenguaje natural.
Eso sugiere que la adquisición de la estructura sintáctica formal del lenguaje es del
Referente teórico
todo independiente del conocimiento del mundo, o de una interacción social privilegiada con los hablantes del lenguaje. Según esta postura, la cuestión de los detalles
de la adquisición del lenguaje es, sobre todo, un problema de desempeño más que de
competencia, que es innata. De acuerdo con Chomsky, el desarrollo del desempeño
depende totalmente del desarrollo de otros procesos, como la amplitud de atención
y la capacidad de procesamiento de información.
La investigación de Bruner ofrece una alternativa que va más allá de las planteadas por Piaget y Chomsky. Los resultados de su investigación sugieren que el lenguaje
natural no es sólo una consecuencia del desarrollo intelectual, o sólo un resultado del
asombroso sistema neurológico humano. Entre sus principales resultados, retomamos
para este estudio el de que el lenguaje natural se enseña; que el adulto arregla artificialmente el ambiente, de manera que sintonice con las posibilidades de comprensión del
niño (Bruner, 1983).
Constructos teóricos
En esta sección se abordan los principales conceptos de la teoría desarrollada por
Bruner (1980, 1982, 1983, 1985, 1990), los cuales fueron considerados para construir el
modelo didáctico para el uso de calculadora que aquí se propone. La sección concluye
con la presentación de ese modelo.
El concepto de formato
Bruner (1980) destaca tres facetas en el estudio del lenguaje: sintaxis, semántica y pragmática; esta última es la que adopta para estudiar el proceso de adquisición del lenguaje materno. A continuación se exponen sucintamente los argumentos de Bruner
para tomar esta decisión; en particular, porque nos ayudarán a lograr una comprensión más amplia de su posible trascendencia hacia la enseñanza.
La pragmática implica procesos diferentes a los empleados para dominar un conjunto de códigos semánticos y sintácticos. La semántica y la sintaxis están formuladas
para tratar casi exclusivamente con la comunicación de la información mediante la
provisión de un código para “representar” algún conocimiento del mundo “real”. En
cambio, la pragmática se aboca a estudiar el proceso mediante el cual se llega a emplear el habla para lograr fines sociales, como prometer, humillar, calmar, advertir, declarar o pedir; los elementos de la pragmática no representan nada, son algo.
Con base en esa concepción, la pragmática se relaciona necesariamente con el
discurso y, al mismo, tiempo, depende de un contexto compartido. El discurso a su
vez presupone un compromiso recíproco entre hablantes que incluye al menos tres
elementos:
t Un conjunto de convenciones compartidas para establecer la intención del
hablante y la disposición del que escucha.
t Una base compartida para explotar las posibilidades deícticas del contexto
temporal, espacial e interpersonal.
t Medios convencionales para establecer y recuperar lo que otros presuponen.
A partir de esto puede apreciarse que el discurso no puede fundamentarse en las
categorías gramaticales porque el poder de las reglas que rigen los actos del habla
5
6
Desarrollo del pensamiento algebraico
(deícticas y de presuposición del discurso), dependen de su aparición en las expresiones del discurso, y no sólo de la estructura de oraciones individuales.
Muchos actos del discurso son medios para sintonizar estas formas de compromiso recíproco, lo cual se observa en particular en la interacción entre el niño y el adulto
que lo cuida.
Al respecto, Bruner (1983) creó el concepto de formato para analizar cómo arregla
el adulto el ambiente para lograr interactuar con un niño que todavía no es capaz de
comunicarse a través del habla. Un formato es un esquema de interacción que consiste en una rutina de comunicación entre el niño y el adulto; es una forma de interacción que permite al adulto anticipar las intenciones del niño y a su vez el niño las del
adulto. Esto implica que para que el niño reciba las claves del lenguaje, primero debe
participar en un tipo de relaciones sociales que actúen en consonancia con los usos
del lenguaje en el discurso, es decir, con respecto a una intención compartida, a una
especificación deíctica, y al establecimiento de una presuposición. En otras palabras,
se asume que para poder entender lo que un niño dice o quiere decir, es necesario
que se sepa qué es lo que él está haciendo. En esta perspectiva, un formato es un esquema de interacción regulada, en el cual el niño y el adulto hacen cosas el uno para
el otro y entre sí. Los formatos, al regular la interacción comunicativa antes de que
comience el habla léxico-gramatical entre el niño y la persona a cargo de su cuidado,
se constituyen en vehículos para la transición de la comunicación al lenguaje. A nivel
formal, un formato supone una interacción contingente entre al menos dos partes
actuantes; contingente en el sentido de que puede mostrarse que las respuestas de
cada miembro dependen de una respuesta anterior del otro. Cada miembro de este
par marca una meta y un conjunto de medios para lograrla, de modo que se cumplan
dos condiciones:
t que las sucesivas respuestas de un participante sean instrumentales respecto
a esa meta, y,
t que exista en la secuencia una señal clara que indique que se ha alcanzado el
objetivo.
Aun cuando la estructura de un formato sea un esquema altamente regulado, con
el tiempo, y en sintonía con el progreso de las capacidades lingüísticas del niño, el adulto introduce sistemáticamente nuevos y más sofisticados elementos que lo convierten
en una forma de comunicación cada vez más compleja. Los resultados obtenidos por
Bruner indican que las primeras acciones de comunicación entre el niño y el adulto,
aun antes de que el niño sea capaz de producir su primera expresión lexicológica, se
dan básicamente en el marco de esta forma de interacción.
Una característica especial de los formatos en que participan el niño y el adulto
es que son asimétricos respecto de la “conciencia” de los miembros. La conciencia se
entiende en términos de que hay uno que sabe lo que está pasando, en tanto que el
otro sabe menos, o quizá nada en absoluto.
Modelo didáctico
El papel de la calculadora
La construcción de este modelo didáctico parte del reconocimiento explícito de las diferencias que existen entre el lenguaje
natural y el código algebraico. Entre las más relevantes destaca la demanda sociall que está presente en el uso del lenguaje.
Esta demanda ubica el lenguaje no sólo como un importante
campo de conocimiento, sino que lo coloca al nivel de un medio para la supervivencia, característica que evidentemente no
puede atribuirse a los códigos matemáticos. Por naturaleza, el
hombre es un ser social y establece sus relaciones en la sociedad a través del lenguaje. El uso continuo e intenso del lenguaje
natural es una de las características que lo distinguen de otras
áreas de conocimiento y lo convierte en un conocimiento indispensable para la vida en sociedad.
La calculadora, adecuadamente empleada, puede simular
un microcosmos en el que el lenguaje que “se habla” es el de las
matemáticas; de manera más concreta, los códigos de la aritmética, el álgebra y la geometría. Una vez que se oprime la tecla
que activa la calculadora, cualquier operación que se quiera hacer después con la máquina lo será a través del código matemático. Esto conduce a pensar en crear un ambiente de enseñanza
basado en el uso de la calculadora, donde la máquina desempeña el papel de una comunidad que exige el uso del lenguaje
de las matemáticas. El diseño de ese ambiente de enseñanza
es el propósito del modelo didáctico que aquí se analizará; un
ambiente en el que los estudiantes participen activamente, que
capte su interés y estimule su creatividad intelectual, y que al
mismo tiempo favorezca el desarrollo de habilidades matemáticas básicas orientadas a un uso apropiado del código matemático; en particular las habilidades relacionadas con la resolución
de problemas mediante el uso del álgebra.
Este planteamiento concuerda con lo propuesto por Papert
(1980) respecto al ambiente de trabajo que él recreó empleando el lenguaje de programación Logo. Papert concebía las matemáticas como un lenguaje y al Logo como un ambiente que
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8
Desarrollo del pensamiento algebraico
exige el uso del lenguaje matemático; para ilustrar su idea empleaba la metáfora: “Si
realmente quieres aprender francés, hazlo en Francia”.
Han pasado ya casi cuarenta años desde que se empezó a introducir el uso de la
calculadora en las clases de matemáticas. En un principio la calculadora apareció en
el mercado como una simple herramienta para facilitar los cálculos aritméticos, y de
la calculadora de cuatro operaciones se pasó rápidamente a la “calculadora científica”,
que incluye funciones matemáticas más sofisticadas y la posibilidad de editar y correr
programas de cómputo. A mediados de la década de 1980 se pusieron a disposición
del público las primeras calculadoras con capacidad gráfica que, además de las funciones que ofrecen las calculadoras científicas, cuentan con una pantalla de ocho
líneas que permite editar tablas y gráficas de funciones. A principios de la década
de 1990 tuvo lugar el advenimiento de las calculadoras con capacidad de manipulación algebraica, que incluyen nuevos recursos que facilitan la edición y captura de
datos. Una notable diferencia entre las modernas calculadoras y los modelos que
las precedieron es que el código que emplean se rige estrictamente por las formas
convencionales de la notación y sintaxis algebraica. Estos hechos han ocasionado
que los usos de la calculadora hayan evolucionado sensiblemente, de modo que
esta máquina pasó de ser un mero auxiliar para el cálculo aritmético y algebraico,
a ser una herramienta que actualmente se emplea como un recurso para mediar el
conocimiento (Ruthven, 1996).
Otra notable diferencia entre la adquisición del lenguaje y el aprendizaje del álgebra
es la privilegiada relación uno a uno en que se fundamenta la enseñanza del lenguaje
natural. No obstante, es factible explotar los recursos que ofrecen las modernas calculadoras para diseñar una estrategia didáctica orientada a proponer el aprendizaje del
álgebra a través de su uso, sin necesidad de partir de una enseñanza basada en reglas,
ejemplos y definiciones. Esta hipótesis se fortalece con los resultados de investigación
que se analizan más adelante.
La calculadora permite el acceso individual a poderosos procesadores matemáticos,
lo cual favorece que los estudiantes trabajen de manera más privada. El tamaño de la
pantalla, aun en el caso de aquellas que son más grandes, hace que sólo sea posible ver
lo que está haciendo la máquina si quien la maneja lo permite. La privacidad que brinda
la calculadora alienta a los estudiantes a explorar distintos acercamientos a la solución
de un problema, a afinar sus planteamientos y hacer público su trabajo sólo cuando
así lo deciden. Contrario a lo que podría esperarse, la forma individual de trabajo que
induce el uso de la calculadora no inhibe el trabajo colaborativo; la retroalimentación
inmediata de la calculadora y la posibilidad de explorar soluciones siguiendo su propio
razonamiento, da lugar a la producción de distintas y originales soluciones a un mismo
problema, lo cual es un estímulo a compartir y discutir sus hallazgos con sus compañeros y con el profesor (Cedillo, 1996).
Desde luego, esta manera de aproximarse al estudio de las matemáticas no depende sólo del uso de la calculadora, ya que el diseño de las actividades de enseñanza y la participación del profesor desempeñan roles determinantes. Las actividades
deben plantearse de manera que no haya una única forma de obtener o de expresar
una solución, y el profesor debe mantener una actitud favorable para entender formas
de solución que él antes no había concebido y estar siempre alerta para aprovechar
las oportunidades de aprendizaje que brindan las contribuciones originales de los
estudiantes.
Modelo didáctico
Enseñanza del álgebra: principios para el diseño de un formato
Las premisas que se mencionan a continuación se extrajeron de los planteamientos
de Bruner (1983). Luego de cada premisa se enuncia la manera en que se han interpretado en el contexto de un enfoque para la enseñanza del álgebra a partir de su uso,
apoyada en los recursos que ofrece la calculadora gráfica.
(1) El lenguaje se aprende a través del uso y ese aprendizaje es apoyado por un notable
sistema de enseñanza.
Para esto es necesario crear un ambiente de enseñanza en el que el álgebra no se
aborde como objeto de estudio, sino como una herramienta de comunicación en uso.
Es factible diseñar actividades de enseñanza de manera que el primer acercamiento al
código algebraico se dé a través de su uso como instrumento de comunicación entre
el sujeto y la calculadora, sin que al uso de ese código le preceda el conocimiento
de reglas y definiciones. Como ya se ha planteado antes, el aprendizaje a través del
uso depende del cumplimiento de una serie de condiciones, las cuales se abordan
con distintos énfasis en los siguientes párrafos.
( 2 ) La relación entre el que enseña y el que aprende es asimétrica. Hay un sujeto que es
experto en el uso del lenguaje y desea enseñar lo que sabe, y hay un sujeto que no sabe
y quiere aprender.
El profesor es un experto en el uso del código algebraico y su función es encontrar las
mejores formas para enseñar lo que sabe. Dado que el álgebra no es un requisito para
la supervivencia, como lo es el lenguaje natural, es necesario arreglar artificialmente el
ambiente de enseñanza para lograr que el estudiante se interese genuinamente en
el estudio del álgebra. Para lograrlo es importante contar con actividades de enseñanza que estimulen el interés y la curiosidad intelectual del estudiante, en particular actividades que favorezcan el desarrollo de su creatividad, para así propiciar la generación
de una alta autoestima de sus capacidades.
( 3) La enseñanza del lenguaje se da en una relación uno a uno.
El ambiente de enseñanza puede arreglarse de manera que el profesor atienda individualmente a sus alumnos. La organización de las actividades de enseñanza como
hojas de trabajo es un recurso muy útil al respecto.
Una hoja de trabajo es, en extensión, una página. Su contenido debe incluir situaciones en las que el fin que se persigue esté claramente establecido para propiciar que el estudiante inicie de inmediato su trabajo haciendo algo que se concrete
en una producción propia. Para esto, es conveniente que la hoja de trabajo proponga
un reto intelectual al estudiante; la efectividad didáctica de tal reto depende en gran
medida de que debe hacer posible que el estudiante perciba rápidamente que puede
abordar la actividad, y que lo único que todavía no sabe es cómo organizar sus conocimientos previos para empezar a hacer lo que se le está planteando.
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10
Desarrollo del pensamiento algebraico
Entre otras cosas, el uso de las hojas de trabajo favorece lo siguiente:
t Que el profesor no tenga que estar al frente del grupo exponiendo una lección,
lo cual le deja tiempo libre para atender individualmente las preguntas e intervenciones de los estudiantes.
t Que los estudiantes inicien la actividad sin requerir una presentación preliminar
por parte del profesor.
t Que los estudiantes desarrollen su creatividad matemática siguiendo su propio
razonamiento. Esta forma de trabajo propicia que los estudiantes logren producciones originales, de manera que cuando consultan algo con el profesor,
éste se ve obligado a seguir la línea de razonamiento del estudiante.
t Que los estudiantes produzcan respuestas cuya originalidad exige al profesor
que dialogue con ellos para entenderlas y que tome ese diálogo como punto
de partida para continuar el análisis con el estudiante. Esto propicia una rica
interacción entre pares, donde uno de ellos es experto, y el otro, aún en su
calidad de aprendiz, está sometiendo al criterio del experto conjeturas que
puede defender con argumentos basados en una validación previa que logró
empleando los recursos matemáticos que tiene a su alcance.
(4) La enseñanza del lenguaje se modula de manera que sintonice con el avance lingüístico
del niño. En este proceso es fundamental respetar el ritmo de avance del que aprende.
La sintonía entre la propuesta de enseñanza y el avance del estudiante es crucial y su logro implica un esfuerzo notable por parte del profesor. Una adecuada organización de
la actividad en el aula puede facilitar que el profesor esté siempre al tanto del avance de
cada uno sus alumnos, lo cual es un importante elemento en el logro de dicha sintonía.
Las hojas de trabajo desempeñan un papel fundamental para conseguir estos objetivos. La sintonía entre la propuesta de enseñanza y el avance del estudiante es un
punto fundamental en un esquema didáctico porque cada individuo tiene un ritmo
distinto para aprender. Puede respetarse el paso de cada estudiante si no se le proporciona sólo una hoja de trabajo para que la complete en una sesión de clase, sino
un paquete con cuatro o cinco hojas de trabajo. La instrucción del profesor puede
ser: “Estas actividades son las que deben completar en esta clase; algunos de ustedes
las podrán hacer todas y quizá otros no completen algunas, pero lo que realmente
importa es que el trabajo que entreguen sea el resultado de su máximo esfuerzo”.
El uso de paquetes de hojas de trabajo permite que los estudiantes que avanzan a
un ritmo más rápido no detengan su progreso, y que los estudiantes que avanzan con
más lentitud puedan acudir a la ayuda del profesor para aclarar sus dudas, o mantener
su ritmo si trabajan sin tropiezos. La única restricción, que se recomienda como una
regla a seguir, es que ningún estudiante entregue su trabajo en blanco al término de
una sesión de clase. En caso de que agoten sus esfuerzos y no puedan avanzar, los estudiantes tienen la obligación de consultar al profesor o a alguno de sus compañeros.
La obligación de consultar al maestro, adecuadamente manejada, conduce a los estudiantes a plantear preguntas más atinadas que un simple “no entiendo nada”, porque
las respuestas a esas preguntas deben ser instrumentales para el logro de la actividad
con la que han tenido problemas.
Una aparente desventaja de respetar el avance individual de los estudiantes es
que al término de algunas sesiones de clase el profesor tiene ante sí un grupo con
Modelo didáctico
logros individuales muy heterogéneos. Esto es aparente por al menos dos razones: la
primera, porque independientemente de la estrategia de enseñanza, el avance individual de los estudiantes es distinto; y segunda, porque esa heterogeneidad se puede aprovechar para generar fructíferas sesiones de enseñanza en las que el profesor
puede organizar un debate con el grupo sobre los aspectos más relevantes de un bloque de actividades. En esa sesión el profesor puede centrar la atención de los estudiantes en las respuestas correctas que se han producido, comentar por qué son correctas
y analizar rigurosamente las formas de validación que generan los estudiantes para sus
respuestas. Además, y quizá lo más importante, es que el profesor puede desglosar los
errores que se hayan presentado, y, ante todo, discutir los criterios que permiten dilucidar el que esas respuestas sean incorrectas.
Enseñanza del álgebra: establecimiento de la comunicación
A continuación se expone cómo se adoptaron los principios señalados por Bruner
respecto a los requerimientos para el establecimiento de la comunicación (discurso).
t Debe existir un conjunto de convenciones compartidas que permitan establecer la
intención del hablante y la disposición del que escucha.
De acuerdo con Bruner (1983), la adquisición del lenguaje se inicia con una etapa
de comunicación entre el adulto y el niño, lo que tiene lugar antes de que el niño
pueda emitir su primera expresión léxico-gramatical. Esa comunicación previa al lenguaje se da, además del uso del lenguaje por parte del adulto, con la incorporación
de elementos no lingüísticos, como el lenguaje corporal y las acciones. Ese tipo de recursos permiten la creación de un puente que apoya la transición de la comunicación
prelingüística al lenguaje.
Para emular esa transición en el caso del álgebra, se empleó como “puente” el referente numérico para dar sentido a las expresiones algebraicas. Se acudió al uso de las
tablas de valores generadas por una cierta relación numérica para situar al estudiante
en un contexto que le es familiar, dado que ha tenido una experiencia de seis años en
la escuela la primaria trabajando con números. Como se verá con mayor detalle en la
sección Resultados de investigación, las respuestas de los estudiantes confirman este
supuesto. Cuando empleaban una literal para editar un programa no estaban pensando en una variable contenida en una expresión algebraica, sino que utilizaban esa literal teniendo en mente un número, aquel número que les dio la clave para identificar
la regla que gobierna al patrón numérico con el que estaban trabajando.
La rutina con que inicia una actividad (“Un estudiante construyó en su calculadora
un programa que produce la siguiente tabla. ¿Puedes encontrar ese programa? ”) se emplea como un medio para establecer ‘la intención del hablante y la disposición del que
escucha’. La aparente espontaneidad de los estudiantes para abordar esas actividades
sugiere que el juego de “adivina qué programa utilicé” permite lograr con éxito ese
propósito.
t Debe establecerse una base compartida para explotar las posibilidades deícticas
del contexto temporal, espacial e interpersonal.
El logro de este requerimiento descansa en gran medida en la intervención del profesor. La calculadora algebraica es un medio que exige con rigor un uso apropiado del
11
12
Desarrollo del pensamiento algebraico
código del álgebra, lo cual representa ventajas en un sentido y desventajas en otro. Por
ejemplo, la máquina no acepta expresiones sintácticamente mal estructuradas, cuestión
que el adulto puede manejar bastante bien durante la etapa de los primeros balbuceos
del niño. Una etapa similar ocurre en los primeros encuentros del estudiante con el código algebraico, en la que construye expresiones no ortodoxas que la máquina “no puede
entender” a pesar de que para el estudiante tienen un claro sentido y debieran funcionar
correctamente de acuerdo con su línea de razonamiento. Por ejemplo, cuando quieren construir un programa que “primero sume 2 y luego multiplique por 3”, su primera
aproximación en general es editar una expresión como A + 2 × 3. Los resultados que
ofrece la máquina ponen en conflicto al estudiante, que no entiende por qué no está
funcionando como él quiere. En momentos como ése es crucial la intervención del profesor, pues él es quien puede entender las expresiones no ortodoxas de sus estudiantes
para auxiliarlos en el paso de los “balbuceos” al lenguaje.
Es importante señalar que a pesar de que la calculadora es un excelente medio
para producir resultados y trabajar con expresiones algebraicas, no tiene la capacidad
de “entregar” al estudiante nuevas formas de expresión (Ruthven, 1993). Esta situación se
contempla en las hojas de trabajo (vea, por ejemplo, los formatos 2 y 3 en la sección
Actividades para la enseñanza). Aquí el profesor vuelve a desempeñar un papel fundamental, ya que él es quien puede decidir de mejor manera cuándo y cómo introducir
nuevas formas de expresión algebraica.
t Debe disponerse de medios convencionales para establecer y recuperar presupuestos.
El cumplimiento de este requerimiento se basa esencialmente en las posibilidades
que brinda una calculadora gráfica para registrar y recuperar las cadenas de operaciones aritméticas o las expresiones algebraicas que producen los estudiantes en el
proceso de solución de un problema. Los modelos simples de calculadoras gráficas
cuentan con una pantalla de ocho líneas que permite recuperar las expresiones que
se han editado, y modelos más avanzados (por ejemplo, la TI-92 o la TI-89) permiten
mantener y recuperar el historial del trabajo de un estudiante en una pantalla que
cuenta hasta con 100 líneas de edición.
El fundamento formal para este planteamiento descansa en la estructura que
brinda la aritmética para el manejo numérico. Ciertamente la aritmética es el recurso
en que se sustenta la disposición de medios convencionales para establecer y recuperar presupuestos. El referente numérico es el principal medio de validación en un
ambiente de enseñanza como el que aquí se propone. ¿Cómo puede un estudiante
que no ha recibido instrucción algebraica estar seguro que la función (“programa”) 2
× A + 1 es la regla que gobierna al patrón numérico 3, 5, 7, 9, 11, ...? La forma de validación disponible para el estudiante es empírica, al correr el programa para A = 1, 2, 3, 4,
5, ..., obtiene justamente esa sucesión, y no lo logra con ningún otro programa que no
sea equivalente a 2 × A + 1. La forma de validación que tiene al alcance es inductiva
y descansa en un acercamiento empírico al álgebra.
Formatos para la enseñanza del álgebra
En la estrategia de aprendizaje mediante el uso que aquí se propone, la construcción
de formatos (en el sentido de Bruner) es un elemento fundamental para regular la
Modelo didáctico
interacción niño-adulto. En pocas palabras, un formato es un esquema de interacción
regulada, en que el niño y el adulto hacen cosas el uno para el otro y entre sí. Los formatos, al regular la interacción comunicativa antes de que comience el habla léxicogramatical entre el niño y la persona que se encarga de cuidarlo, se constituyen en
vehículos para la transición de la comunicación al lenguaje.
En ese orden de ideas, un formato debe ser un tipo de actividad altamente
regulada que propicie que el estudiante pueda anticipar la intención del profesor y
viceversa; además, esa actividad debe hacer factible la incorporación de elementos
matemáticos de orden cada vez más complejo que permitan que el estudiante, con
el tiempo, avance notoriamente en el conocimiento de la materia que está estudiando. Por otra parte, un formato debe incorporar un conjunto de convenciones
compartidas que permitan establecer la intención del hablante y la disposición del
que escucha.
Para lograrlo se diseñó una actividad constituida por una estructura profunda y
una estructura superficial. La primera tiene como función mantener una actividad rutinaria y altamente regulada, que permite al estudiante identificar claramente el fin
que se persigue (anticipación de intenciones). La estructura superficial tiene como
función posibilitar la inclusión de nuevos elementos matemáticos respetando la estructura profunda de la actividad.
La estructura profunda consiste en una actividad que se inicia con la presentación
de un patrón numérico mediante una tabla de valores. Esto conlleva el propósito de
que el estudiante conciba esa actividad como un juego que consiste en identificar
la regla que genera el patrón numérico que se le da. El juego concluye cuando logra
expresar esa regla mediante un programa en la calculadora, de manera que pueda
reproducir el patrón numérico dado utilizando la máquina.
La estructura superficial consiste en una parte de la actividad en que se incorporan distintos tipos de números, nuevas estructuras algebraicas, y nuevos conceptos
algebraicos. Esto hace factible abordar diferentes conceptos partiendo siempre de
la actividad basada en el reconocimiento de patrones numéricos incluida en la estructura profunda. Los tópicos que se abordan en las actividades se mencionan a
continuación.
t Bloque 1: Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los
patrones numéricos
t Bloque 2: Jerarquía de las operaciones aritméticas y transformación algebraica
t Bloque 3: Expresiones algebraicas equivalentes
t Bloque 4: Representación algebraica de relaciones parte-todo
t Bloque 5: Inversión de funciones lineales
t Bloque 6: El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación
de conjeturas
t Bloque 7: Noción de función inversa
t Bloque 8: Funciones lineales: sus representaciones algebraica y gráfica
t Bloque 9: Funciones cuadráticas: su representación gráfica y algunas aplicaciones
t Bloque 10: Factorización de expresiones cuadráticas: un acercamiento visual
t Bloque 11: Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas
13
14
Desarrollo del pensamiento algebraico
t
t
t
t
t
Bloque 12: Función raíz cuadrada: dominio y contradominio
Bloque 13: Semicírculo: valores extremos
Bloque 14: Función racional: discontinuidad y asíntotas
Bloque 15: Valor absoluto: funciones lineales y cuadráticas
Bloque 16: Funciones trigonométricas: seno y coseno
Contenido de un formato algebraico
A continuación se presenta una versión resumida de una actividad de cada uno de los
bloques antes mencionados. Estos ejemplos tienen la intención de mostrar la estructura de las actividades y el contenido matemático que se aborda en cada formato. Un
formato consta de varias hojas de trabajo (entre 5 y 15); las actividades no están diseñadas como “ejercicios” en el sentido de propiciar el desarrollo de destrezas mediante
la ejecución repetida de un mismo tipo de actividad. Más bien están diseñadas con la
intención de ofrecer al estudiante distintas experiencias en el manejo del código algebraico. En cada hoja de trabajo se incluyen nuevos elementos que hacen de cada
actividad un problema que plantea un nuevo reto al estudiante en un contexto que le
es familiar. Mediante el conjunto de actividades que conforman un formato se recrea
un concepto a través de su uso, en particular los conceptos de variable, expresión
algebraica, equivalencia algebraica, inversión de funciones, y los relacionados con las
representaciones algebraica, tabular y gráfica de una función como instrumentos para
confrontar la solución de problemas.
Un modelo de enseñanza a través del uso requiere que éste sea constante, intenso y en distintos contextos. Por esta razón, los conceptos algebraicos que se abordan
no se tratan solamente en un formato; su tratamiento se mantiene y recrea en diferentes situaciones a lo largo de todos los formatos, especialmente en el caso del uso de
variables, expresiones algebraicas e inversión de funciones, los cuales se abordan en
todas las hojas de trabajo con distintos énfasis.
A continuación el lector puede encontrar un ejemplo de las actividades antes
mencionadas.
t Formato 1: Iniciación al uso del lenguaje algebraico
Un estudiante construyó la siguiente tabla usando un programa.
Valor de entrada
1.1
2.6
3
4.3
5
Valor de salida
3.2
6
7
9.6
11
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 50?
¿Y si es 274?
¿Si es 81?
2. Describe qué operaciones hiciste para obtener esos resultados.
3. Programa tu calculadora para que haga lo mismo. Escribe enseguida tu programa.
4. Completa con tu programa los valores que faltan en la siguiente tabla.
Modelo didáctico
Valor de
entrada
17
35.02
89.73
107.06
299.1
307.09
Valor de
salida
511
613.03
Explica qué operaciones hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03.
t Formato 2: Jerarquía de las operaciones y uso de paréntesis
1. Un estudiante construyó en su calculadora el programa m + 2×3. Una compañera de él dice que si le da a m el valor de 4 el resultado es 18. ¿Estás de
acuerdo?
Justifica tu respuesta con un ejemplo.
2. Otro estudiante dice que si m = 5, el programa m + 2×3 le dará por resultado
¿Por qué?
21. ¿Estás de acuerdo?
3. Completa la siguiente tabla empleando la relación c + 5×2, sin utilizar la calculadora.
Valor de
entrada
2
5
8
Valor de
salida
9
65
12
115
150
4. Escribe ese programa en la calculadora y completa de nuevo la tabla anterior.
¿Obtuviste los mismos resultados? Si los resultados de tu programa no coinciden con los que obtuviste, corrígelos y explica por qué ocurre eso.
t Formato 3: Introducción a la equivalencia algebraica
Un estudiante construyó en su calculadora un programa que hace lo siguiente:
Valor de entrada
2
4
8
10
14
Valor de salida
3
6
12
15
21
1. Si el valor de entrada es 5, ¿cuál será el resultado?
¿Y si es 15?
Describe qué operaciones hiciste para obtener esos resultados.
¿ Si es 6?
15
16
Desarrollo del pensamiento algebraico
2. Programa tu calculadora para que haga lo mismo. Una vez que lo hayas hecho
verifícalo, y si funciona escríbelo en el cuadro de abajo.
3. Una alumna dice que el programa b + b÷2 da los mismos resultados. ¿Estás de
acuerdo? Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
4. ¿Puedes escribir otro programa como el que ella hizo y que además produzca
los mismos resultados que se muestran en la tabla? Pruébalo en tu calculadora,
y si funciona escríbelo en el cuadro de abajo.
t Formato 4: Representación algebraica de relaciones parte-todo
1. En una tlapalería hay rollos de alambre que se vende por kilo. Todos los rollos
pesan lo mismo. Para registrar cuánto alambre le queda en cada rollo el administrador construyó un programa que hace lo siguiente: si escribe la cantidad
que se vende el resultado indica cuánto alambre queda.
Alambre vendido
1.7
2.4
3.1
4.06
5.2
Alambre que queda
8.3
7.6
6.9
5.94
4.8
2. De acuerdo con la información del programa, ¿cuántos kilos de alambre hay en
cada rollo? Construye un programa que haga lo mismo. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo enseguida.
3. Completa la siguiente tabla usando ese programa.
Alambre
vendido
Alambre
que queda
2.83
3.03
3.5
4.8
5.01
6.2
7.04
7.32
4. ¿Cómo puedes comprobar que los valores que encontraste para 5.01, 6.2,
7.04 y 7.32 son correctos? Explícalo de manera que todos tus compañeros lo
entiendan.
t Formato 5: Inversión de funciones lineales
Un estudiante construyó un programa que realiza los siguientes resultados.
Modelo didáctico
Núm. de entrada
0.13
0.17
0.65
3.8
9.28
Núm. de salida
0.26
0.34
1.3
7.6
18.56
1. Encuentra ese programa y escríbelo a continuación.
2. Programa tu calculadora de modo que haga lo inverso que el de la actividad
anterior. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo enseguida.
3. Un alumno dice que el programa M×3 - 1 hace lo inverso que el programa
Presenta un ejemplo que justifiM÷3 + 1. ¿Estás de acuerdo?
que tu respuesta.
4. Programa tu calculadora para que “deshaga” lo que produce el programa
N1.5 + 2.
t Formato 6: Problemas que involucran funciones lineales
Observa la siguiente sucesión de figuras y dibuja las dos que siguen.
1. Siguiendo esta secuencia, ¿cuántos cuadrados se necesitan para construir el
marco del cuadrado gris que va en el lugar número 27?
2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadrado gris
que va en el lugar número 40?
3. Explica tu razonamiento para responder cada pregunta.
4. Programa tu calculadora para completar la siguiente tabla.
Lugar que ocupa la
figura en la sucesión
Núm. de cuadrados
que se usan en el
marco
48
75
704
772
840
17
18
Desarrollo del pensamiento algebraico
5. Escribe el programa que construiste.
t Formato 7: Introducción al plano cartesiano
Un estudiante escribió en su calculadora un programa que genera la siguiente tabla.
Valor de entrada
2
3
4.5
6
Valor de salida
-4
-6
-9
-12
1. Encuentra ese programa y constrúyelo en tu calculadora.
2. Haz la gráfica en tu calculadora y luego anota a la ecuación que usaste para
construirla.
3. Usa la tecla TRACE para recorrer la gráfica que construiste y verifica si los valores
de la tabla que completaste coinciden con las coordenadas de los puntos de la
gráfica.
¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos de la gráfica que están
en el segundo cuadrante?
¿Qué signos tienen las coordenadas de los puntos de la gráfica que están
en el cuarto cuadrante?
t Formato 8: Lectura y construcción de gráficas de funciones
1. Completa la siguiente tabla con la información de la gráfica de la izquierda; encuentra la ecuación que genera la tabla y anótala en el recuadro. Por último,
construye la gráfica en la calculadora para verificar tu respuesta.
Núm. de entrada
Núm. de salida
t Formato 9: Gráficas e inversión de funciones lineales
1. Completa la siguiente tabla.
X
6
Y
15
5
3
11
9
2
1
5
-2
0
1
-6
-3
-7
-9
Modelo didáctico
2. Escribe en tu calculadora un programa que permita encontrar el valor de y,
cuando lo que conoces es el valor de x, y anótalo en el siguiente recuadro.
3. Construye en tu calculadora una gráfica usando ese programa.
4. Recorre la gráfica en tu calculadora y completa la siguiente tabla.
x
-2.5
-1.5
1.5
2.5
y
5. Escribe en tu calculadora un programa que permita encontrar el valor de x,
cuando lo que conoces es el valor de y, y anótalo en la siguiente línea.
6. Usa el programa para construir una gráfica en tu calculadora.
7. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica anterior.
x
-4
2
4
8
y
8. ¿Cómo puedes completar la tabla de la actividad 4 usando la gráfica de la actividad 3?
19
Investigación
Introducción
El modelo didáctico que se presenta en esta misma sección se
ha sujetado a tres fases de investigación. La primera se llevó a
cabo en el periodo 1992-1993, y tuvo como propósito obtener
evidencia empírica acerca de la factibilidad del modelo. Los
principales indicadores empíricos que se estudiaron fueron las
estrategias y nociones algebraicas desarrolladas por los estudiantes cuando ese modelo didáctico se aplica en las circunstancias normales del ambiente escolar. En este estudio el investigador desempeñó el papel de profesor durante el año escolar
y el trabajo de campo se diseñó de manera que formara parte
del tratamiento del programa oficial (Cedillo, 1994, 1995, 1995a,
1996c).
La segunda fase se llevó a cabo en el periodo 1994-1995,
y su principal propósito fue investigar los efectos de distintas
estrategias de formación de profesores de secundaria para la
introducción de la calculadora en el aula. Para este efecto se
equipó a tres escuelas secundarias, dos en el Distrito Federal y
una en Xalapa, Ver.1 En cada escuela se incorporó un profesor de
manera voluntaria. La fase de preparación para los profesores
tuvo una duración de cuatro meses y después de esto se realizó
el trabajo de campo en el aula durante seis meses. El investigador se limitó a conducir la etapa de formación de los profesores
y a observar, registrar y analizar los eventos que ocurrían en el
trabajo en el aula (Cedillo, 1996b).
La tercera fase de esta investigación se inició en 1998 y
concluyó en el año 2001.2 En esta investigación se estudió el
potencial de distintas piezas de software y la calculadora era
uno de los componentes incluidos. En el caso de las calculadoras, el estudio se realiza con dos propósitos, uno es investigar
las condiciones que favorecen y limitan la expansión a mayor
1
2
Proyecto aprobado por el Programa de Apoyo a Proyectos de Investigación
Educativa, Convenio SEP-Conacyt.
Proyecto aprobado por el Programa de Apoyo a Proyectos de Investigación, Conacyt.
21
22
Desarrollo del pensamiento algebraico
escala del modelo didáctico, y el segundo propósito de este estudio es investigar el
potencial de la calculadora como factor de cambio en las concepciones de profesores
en servicio sobre la enseñanza de las matemáticas y su aprendizaje. En este estudio
participan cerca de 100 profesores y 15 000 estudiantes distribuidos en 16 escuelas
ubicadas en distintas regiones del país. Los reportes de este estudio están en proceso.
Por restricciones de espacio, en este reporte sólo se incluyen los resultados de la
primera fase. El lector interesado en estos trabajos puede encontrar información sobre
las otras fases de esta investigación en la página del autor en Internet: http://emat-efit.
ilce.edu.mx/calculadoras
Objetivos
Investigar en un ambiente de enseñanza apoyado por el uso de la calculadora programable:
t Qué nociones y estrategias desarrollan los estudiantes, cuando el estudio del
álgebra se da a través de su uso, sin que la enseñanza incluya reglas y definiciones, como ocurre con el aprendizaje de la lengua materna.
t En qué medida las nociones y estrategias no convencionales que desarrollan
los estudiantes les permiten abordar tareas que implican manipulación simbólica.
t Investigar en qué medida las estrategias y nociones no convencionales que
desarrollan los estudiantes les permiten abordar la solución de problemas algebraicos.
Método
Se adoptó el método de análisis cualitativo (Miles y Huberman, 1984); en particular, se
aplicó la técnica de estudio de casos. La investigación se organizó en un estudio piloto
y un estudio principal. El estudio piloto se realizó durante 10 sesiones de 50 minutos con
estudiantes de un grupo escolar que no participaría en el estudio principal, el cual
consistió en el trabajo de campo, las etapas de registro y el análisis de datos. El trabajo
de campo se efectuó en el ambiente natural del salón de clases, durante 23 sesiones de
50 minutos distribuidas a lo largo de once semanas. El investigador fungió como profesor de matemáticas del grupo experimental durante todo el año escolar a fin de lograr
un conocimiento de los estudiantes que diera un mejor soporte al análisis cualitativo
de los datos. La investigación se realizó en una escuela donde el principal criterio de
admisión no fue el desempeño escolar previo de los estudiantes, sino su disposición
para colaborar en un ambiente escolar donde la disciplina se deriva de la calidad del
trabajo.
t Sujetos
Participó un grupo escolar que cursaba el primer grado de secundaria. El grupo constaba de 25 estudiantes de 11 a 12 años de edad que no habían recibido instrucción
en álgebra. De ellos se eligieron ocho sujetos cuyo trabajo se observó empleando la
técnica de estudio de casos. La elección se hizo de la siguiente manera: los primeros
tres meses de trabajo con el grupo escolar aportaron información para seleccionar a
Investigación
un niño y una niña con alto aprovechamiento en matemáticas; dos niños y dos niñas
con aprovechamiento promedio; y un niño y una niña con aprovechamiento por debajo del promedio. También se registró el trabajo del resto de los estudiantes con la
finalidad de usarlo para afinar detalles durante la fase de análisis de los datos.
t Fuentes de datos
Se emplearon tres instrumentos para colectar datos: (1) el trabajo escrito de los estudiantes (60 hojas de trabajo por estudiante); (2) tres entrevistas individuales que fueron videograbadas, una al iniciar el estudio, la segunda después de cinco semanas, y la
tercera al término del trabajo de campo, y (3) las notas que tomó el investigador al término de cada sesión. Las entrevistas se estructuraron a partir de una tarea específica
basada en situaciones que los estudiantes no habían abordado en el salón de clases,
en esencia aquellas que implican manipulación simbólica y resolución de problemas.
Esto permitió indagar en qué medida la experiencia adquirida por los estudiantes en
la etapa de enseñanza podría extenderse a situaciones que requerían una elaboración
más refinada de las nociones y estrategias desarrolladas.
t Actividades
Se basaron en el reconocimiento de patrones numéricos para introducir el uso de
expresiones algebraicas como medios para representar las reglas que generan esos
patrones. Se diseñaron 50 hojas de trabajo que se organizaron en cinco paquetes.
Las primeras 15 funcionaron para introducir el código algebraico; las siguientes cinco
correspondieron al uso de paréntesis y la jerarquía de operaciones; el tercer paquete contenía 10 actividades sobre equivalencia algebraica; el cuarto paquete incluyó 10
actividades sobre representación algebraica de relaciones parte-todo; y el quinto paquete constaba de 10 actividades sobre inversión de funciones lineales (vea formatos
1-5 en la sección Actividades para la enseñanza).
Las literales y expresiones algebraicas se introdujeron en las hojas de trabajo como
medios para editar programas en una calculadora. Según esto, para los estudiantes
una letra no era una incógnita o una variable, sino una etiqueta que indica el nombre
de una memoria que la calculadora usa para almacenar la información que introduce
el estudiante, y una expresión algebraica era una cadena de operaciones construida
por el estudiante en las cuales era necesario incluir el nombre de una memoria (letra);
esas cadenas de operaciones le permitían construir un programa en la calculadora
para que se realizara la operación deseada (reproducir un patrón numérico dado). De
acuerdo con lo observado en el estudio piloto, la notación concatenada de coeficientes y variables en la multiplicación algebraica creaba confusión en los estudiantes (3a).
Con base en esta experiencia, y considerando el acercamiento informal al álgebra en
que se basa este estudio, se decidió emplear la notación aritmética de la multiplicación en la edición de expresiones algebraicas; por ejemplo, en vez de 3a, se usó 3 × A.
t Organización del trabajo en el aula
El aula contaba con mesas hexagonales que podían ser ocupadas por cuatro o seis
estudiantes a la vez, quienes elegían libremente su lugar. Para cada estudiante había
una calculadora gráfica que podía utilizar durante la clase y un sobre etiquetado con
23
24
Desarrollo del pensamiento algebraico
su nombre que contenía un paquete de actividades. Al inicio de la sesión, los estudiantes tomaban de la mesa del profesor una calculadora y el sobre con las actividades correspondientes. La instrucción para iniciar las actividades era que completaran
tantas hojas de trabajo como les fuera posible, y que nadie debía entregar su trabajo
en blanco, pero si agotaban sus esfuerzos y no podían continuar solos, tenían la obligación de acudir al profesor o a cualquiera de sus compañeros para aclarar sus dudas.
Los estudiantes iniciaban su trabajo y el profesor estaba siempre alerta para atender sus intervenciones y discutirlas de manera individual. Al término de la clase los
estudiantes colocaban los sobres con sus actividades en la mesa del profesor, que a la
siguiente sesión se las regresaba revisadas. La revisión del profesor consistió en hacer
breves comentarios escritos acerca de las respuestas de los estudiantes siguiendo los
lineamientos que se mencionan a continuación: (1) en el caso de errores nunca se
daba una respuesta directa para corregirlos, sino se señalaba qué estaba mal y se le
hacía una nueva pregunta al estudiante, con el fin de que, al contestarla, pudiera encontrar alguna pista que le hiciera evidente el error que había cometido; (2) en el caso
de las respuestas correctas, el profesor agregaba una nueva pregunta con la intención de motivar al estudiante para que encontrara otra forma de resolver el problema
planteado, o que le llevara más allá de lo que había logrado.
Resultados
Nociones sobre las literales en expresiones algebraicas
El trabajo escrito y las respuestas en entrevistas individuales de los estudiantes de los
tres estratos (alto, medio y bajo), indican que el uso de la calculadora para describir
el comportamiento general de patrones numéricos fue un apoyo determinante en el
desarrollo de la noción de literal como un símbolo que “representa cualquier número”,
y la noción de “artefactos de cálculo” para las expresiones algebraicas que usaban para
construir programas en la calculadora.
La respuesta de Diego (alumno de nivel promedio) a la pregunta “¿Qué significa
para ti la letra que usas cuando construyes un programa en la calculadora?, caracteriza
la noción que desarrollaron los estudiantes en torno a las literales algebraicas:
“La letra que uso en un programa es el nombre de una memoria de la calculadora,
pero en realidad una letra personifica a un número, cualquier número... mira, escribes el programa y le puedes dar distintos valores a la letra (escribe el programa
A + 3 × A - 2 y lo corre para distintos valores); el programa entiende que debe
calcular un nuevo resultado para cada número que introduzcas... no necesitas
cambiar la letra (sic)”.
Las nociones que desarrollaron los estudiantes en torno al concepto de expresión algebraica pueden resumirse en la respuesta de Erandi (alumna promedio) a la pregunta “¿Qué significa para ti un programa como los que has hecho en tu calculadora?”:
“Un programa (en términos matemáticos “representación algebraica de una
función lineal”) sirve para hacer algo... para completar una tabla o para resolver
un problema... sirve para decirle a la calculadora cómo hacer lo que tengo en la
cabeza para resolver un problema (sic.)”.
Las respuestas de los estudiantes sugieren que un aspecto clave para el desarrollo de
esas nociones fue que la calculadora les permite usar el código de programación no
sólo como un medio de edición sino, además, como una herramienta para calcular.
Investigación
Otro factor que influyó fue que las actividades se basaron en la descripción de patrones
numéricos; este tipo de tarea les ayudó a establecer una conexión entre el nuevo código
formal que estaban usando y la experiencia aritmética que habían adquirido en cursos
anteriores. La fuerte relación entre las tareas experimentales y la herramienta de cálculo
les permitió usar el referente numérico como forma de validación para sus respuestas,
por ejemplo, el programa 3 × B - 1 genera el patrón numérico 2, 8, 17, 23, para B =
1, 3, 6, 8. Si ése era el patrón que querían generar sabían que el programa que habían
construido era correcto; si no, podían analizar de nuevo el patrón e intentarlo otra vez.
El hecho de que el código de la calculadora esté ubicado en el ambiente de cálculo
de la maquina indujo en los estudiantes la noción de las expresiones de programación
como “expresiones para calcular”. La estrategia numérica de “tanteo y refinamiento” que
emplearon para validar y/o refutar las expresiones algebraicas que producían, proporciona evidencia en favor de esto. Las actividades sobre reconocimiento y expresión algebraica de patrones numéricos en el ambiente de la calculadora son más que simplemente codificar lo que se está representando, como ocurre en el ambiente del lápiz y el
papel. En el contexto de la calculadora, el proceso de simbolización algebraica es más
bien el resultado de una interacción entre lo conocido (aritmética), y la consecución de
una meta (lograr que la calculadora reproduzca una tabla de valores dada).
Los datos de esta investigación sugieren que este tipo de actividad favoreció que
los estudiantes transitaran de lo particular a lo general (analizar el comportamiento de
un par ordenado específico a → b, a verificar la validez de la regla que encontraron
para aplicarla a cualquier par x → y que pudiera estar en la tabla). Las formas de trabajo de los estudiantes indican que esta experiencia fue la clave para que desarrollaran
la noción instrumental de literal como “sirven para personificar cualquier número”, y
para una expresión algebarica como “cosas que sirven para hacer algo... completar una
tabla o resolver un problema”.
Los estudiantes se percataron de que el valor numérico de una expresión algebraica no depende de la literal que usen. En la segunda entrevista se les planteó la siguiente situación: “Una alumna de otra escuela dice que los programas (A+7)÷2 y (Z+7)÷2
producen resultados distintos. ¿Qué piensas de eso?” Cabe destacar que todos los estudiantes rechazaron esa afirmación, lo cual contrasta con los resultados obtenidos
por Küchemann (1981) en el ambiente del lápiz y el papel. La respuesta de Jenifer
(nivel alto) caracteriza las reacciones que se obtuvieron con el resto de los estudiantes:
“A y Z pueden ser cualquier número... No necesito correr esos programas para saber que los resultados serán los mismos... Yo digo que esos programas producen
los mismos resultados porque cuando pones un número en la calculadora no importa si es A, Z o cualquier otra letra, no importa qué letra uses... (sic.).”
Junto con esta noción los estudiantes desarrollaron otra más amplia, la de que literales diferentes en una expresión pueden representar diferentes valores, pero que
también pueden tener el mismo valor. Esto surgió en una pregunta planteada sobre
equivalencia algebraica en la tercera entrevista. Se les preguntó si (A + B)2 = A2 + B2.
La pregunta era totalmente nueva para ellos; sus respuestas enfatizan las posibilidades que brinda el trabajo con la calculadora. Los estudiantes de todos los estratos, con
distintos niveles de profundidad, pudieron dar respuestas correctas a esa pregunta.
Los estudiantes del nivel alto fueron más allá y encontraron que “eso puede ser correcto
si A = 0, B = 0, o ambos son cero” (Iván y Jenifer).
25
26
Desarrollo del pensamiento algebraico
Las nociones desarrolladas por los estudiantes en torno a las literales en expresiones
algebraicas se relacionan con el concepto de variable. El trabajo que mostraron durante
el estudio muestra que no sólo asociaron una literal con un conjunto de variables, sino
que, además, fueron capaces de trabajar de manera consistente con dos conjuntos de
valores asociados: el correspondiente a la literal (dominio de la función) y el de los valores que toma una expresión algebraica para cada valor de la literal (contradominio de
la función). En esta asociación se sustentó la estrategia que emplearon para explorar y
verificar sus conjeturas.
Este hallazgo contrasta sensiblemente con los resultados de Küchemann (1981)
en el ambiente del lápiz y el papel, quien sugiere una categorización jerárquica para la
interpretación que los estudiantes dan a las literales en álgebra: como objetos, como
números generalizados, y finalmente como variables. Küchemann, siguiendo principios piagetianos, asoció esos roles de las literales a diferentes estadios del desarrollo
intelectual de los estudiantes, y propone que la noción de variable sólo puede ser
comprendida cuando los estudiantes alcanzan el estadio de las operaciones formales. De acuerdo con esto, las nociones para las letras como objetos y como números
generalizados deben preceder la noción de variable. Los resultados del estudio que
aquí se presenta muestran que los estudiantes pueden desarrollar la noción de letras
como variables sin tener como antecedente las otras nociones. Aún más, los resultados de este estudio muestran que los estudiantes podían moverse de la noción
de letras como variables a la noción de letras como incógnitas, por ejemplo, cuando
utilizaban un programa para encontrar valores específicos de la literal a partir de un
valor dado para la función. Estos resultados indicarían que la noción de variable no
parece depender exclusivamente del desarrollo intelectual, sino más bien de formas
de enseñanza.
Nociones relacionadas con equivalencia algebraica
Los estudiantes desarrollaron nociones sobre equivalencia algebraica con base en la exploración del valor numérico de las expresiones algebraicas. Esta estrategia marca una clara
relación entre esas nociones de equivalencia y el uso del código de la calculadora para
describir patrones numéricos.
Los datos obtenidos sugieren que, junto con nociones asociadas al concepto de
variable, los estudiantes fueron desarrollando nociones sobre equivalencia algebraica,
las cuales, en el tiempo, mostraron ser el recurso más poderoso para enfrentar un rango más amplio de tareas, como transformación algebraica e inversión de funciones. La
noción que desarrollaron los estudiantes sobre equivalencia algebraica puede caracterizarse por la respuesta de Jimena (estrato promedio):
“Dos programas son equivalentes si producen los mismos valores”.
El trabajo realizado por los estudiantes durante la fase de campo les hizo posible enfrentar situaciones que nunca antes habían encontrado. Por ejemplo, pudieron enfrentar
actividades que involucran dos variables contenidas en expresiones cuadráticas, como
el caso de emitir un juicio sobre la validez de la igualdad (A + B)2 = A2 + B 2.
Como se verá más adelante, esas nociones de equivalencia fueron las herramientas que emplearon los estudiantes para abordar situaciones sobre transformación algebraica. El análisis de los datos obtenidos muestra que esas nociones aún
Investigación
deben afinarse; en particular, se ve la necesidad de investigar en qué medida esas
nociones basadas en la exploración numérica ayudan u obstruyen un acercamiento
formal a la equivalencia algebraica.
Uso de paréntesis y prioridad de operaciones
Los datos recabados indican que los conceptos relacionados con la prioridad de las operaciones aritméticas y el uso de paréntesis son mejor aprehendidos por los estudiantes en
situaciones en que esas convenciones sintácticas se utilizan de manera instrumental.
Para esto es crucial que los estudiantes usen el código de la calculadora para
expresar su propio razonamiento, lo cual les permite darse cuenta que, en ciertos
casos, la calculadora opera de manera diferente a como ellos lo hacen. Durante el
estudio se observó que los estudiantes no tienen presentes la prioridad de operaciones y el uso de paréntesis mientras trabajan en el ambiente del lápiz y el papel.
En contraste, sí tenían presentes esas convenciones sintácticas cuando trabajaban
con la calculadora.
Los estudiantes quisieron saber acerca de esas convenciones cuando entraron en
conflicto con su forma de razonar. Por ejemplo, Rocío (nivel bajo), quería construir un
programa que “primero sume 1 y luego divida entre 2” y produjo el programa A + 1 ÷ 2,
que obviamente no funcionaba como ella quería. Su primera reacción fue pensar que
la calculadora se había descompuesto e intentó con la de un compañero; cuando no
pudo seguir adelante consultó al profesor, quien le hizo ver por qué su programa
no funcionaba. Después de esto no volvió a tener problemas con el uso de paréntesis
(en Cedillo, 1995, se puede encontrar una presentación detallada).
Simplificación de términos semejantes
Los datos recabados sugieren que el uso del código de la calculadora ayudó a los estudiantes a confrontar tareas que involucran simplificación de términos semejantes. Un aspecto
relevante es que este tipo de tarea fue el único en el que los estudiantes tendieron a generar
concepciones incorrectas.
Las preguntas que se plantearon en entrevistas individuales al respecto fueron
como la siguiente:
“¿Puedes escribir de manera más breve el programa A × 7 + A × 3?“
La estrategia que inicialmente emplearon los estudiantes fue dar valores específicos a la variable. Por ejemplo, después de algunos intentos con distintos valores de
la variable, llegaban finalmente a concluir que “todo lo que hace ese programa es multiplicar por 10 ”, y proponían el programa A × 10 como una forma equivalente y más
breve para A × 7 + A × 3. Después de esto se les plantearon situaciones similares que
probablemente condujeron a los estudiantes a generar sus propias reglas para salvar
el paso de la exploración numérica.
Los datos de esta investigación muestran que una vez que los estudiantes empezaron a generar sus propias reglas sintácticas confiaban totalmente en ellas. La
respuesta de Erandi ilustra de buena manera el tipo de errores que los estudiantes
tienden a cometer. Ella obtuvo que A × 13 es equivalente a A × 2 + A × 3 + A × 5,
porque “los números 2, 3 y 5 suman 10, pero debes agregar 3 porque tienes tres A’s ahí... eso
27
28
Desarrollo del pensamiento algebraico
da 13 veces A”. Erandi estaba segura de que su respuesta era correcta porque estaba
aplicando correctamente dicha regla, lo cual es cierto; pero mientras esa regla fuera su
única forma de validación, difícilmente podría darse cuenta de su error. Aun cuando se
le mostró mediante evaluación numérica que esas expresiones no son equivalentes,
se resistía a admitirlo.
Como el resto de los estudiantes, Erandi abordó inicialmente la actividad dando
valores numéricos a la variable; una vez que se familiarizó con la actividad generó sus
propias reglas: “se suman los números por los que se está multiplicando la letra”, y dio respuestas correctas empleando esa regla. Sin embargo, en la siguiente entrevista y ante
el mismo tipo de pregunta que comprendía expresiones un poco más complicadas,
como A × 2 + A × 3 + A × 5, se presentaron los errores que se están analizando.
El tipo de error que cometió Erandi lo cometieron la mayoría de los estudiantes. Los
datos recabados sugieren que esos errores se dieron porque al reconocer la tarea que
se les proponía, trataban de recordar procedimientos que aplicaban mecánicamente.
Debe hacerse énfasis en que no fue fácil convencer a los estudiantes de que estaban
cometiendo un error y en qué consistía, sobre todo porque estaban confiando en una
regla generada por ellos mismos. Sin embargo, parece aún más factible que esos errores
se cometan cuando las reglas las presenta el profesor, una cuestión que parece explicar
las grandes dificultades que muchos estudiantes encuentran para dominar la operatividad algebraica.
Inversión de funciones
A pesar de que la mayoría de los estudiantes no pudo encontrar formas sistemáticas
para invertir una función lineal, resulta relevante que todos mostraron haber comprendido para qué sirve obtener la inversa de una función.
Inicialmente, la mayoría de los estudiantes aplicó una estrategia que consiste
en invertir las operaciones en el orden en que éstas aparecen en una expresión algebraica; luego evaluaban la función que obtenían, y hacían ajustes si no obtenían
los resultados esperados. Por ejemplo, para invertir la función A × 2 - 1 construían
el programa A ÷ 2 + 1, y al correrlo se daban cuenta de que no funcionaba porque
A × 2 - 1 = 5 si A = 3; pero A ÷ 2 + 1 = 3.5, si A = 5. Esto les daba la pista: “Para
ajustar el programa que deshace A × 2 - 1”; “se pasa por 0.5, entonces debo restar 0.5”,
y obtenían como inversa de la función A × 2 - 1 el programa A ÷ 2 + 0.5, que es
justo lo que obtenemos al simplificar (A - 1) ÷ 2. Solamente los estudiantes del
nivel alto fueron capaces de considerar de manera consistente la jerarquía de las
operaciones y usar correctamente los paréntesis para invertir funciones lineales.
No obstante, todos los estudiantes entendieron para qué sirve invertir una función. En el siguiente caso, Rocío, estudiante por debajo del promedio, proporciona
evidencia para esta afirmación. En la tercera entrevista se le preguntó si el número
877 aparecería en la sucesión 5, 9, 13, 17, ... Después de algunos intentos escribió el
programa B × 4 + 1, el cual produce ese patrón numérico, pero inmediatamente
aclaró que no era ese programa el que usaría para responder la pregunta que se
planteó, sino el programa inverso. Rocío no pudo obtener por sí misma el programa inverso, pero sabía que ese programa es el que le permitiría enfrentar el problema
propuesto.
Investigación
Estrategias generadas por los estudiantes
t Transformación algebraica
Los estudiantes fueron capaces de enfrentar actividades que diferían notablemente de las
que se emplearon en la fase de enseñanza. Esas nuevas actividades se incluyeron en las entrevistas individuales, en las que se pidió a los estudiantes que transformaran algebraicamente
una expresión lineal de manera que fuera equivalente a otra expresión dada. Las formas en
que los estudiantes confrontaron estas tareas indican que la exploración del valor numérico
de una expresión algebraica desempeñó un papel determinante en este incipiente acercamiento a la manipulación simbólica.
Una vertiente importante de esta investigación fue indagar si la experiencia que
habían adquirido los estudiantes al describir patrones numéricos mediante el código
de la calculadora, les permitiría abordar actividades que implican manipulación simbólica. Para esto se aplicaron preguntas como la siguiente:
“Quería escribir el programa B × 8 pero cometí un error; en lugar de eso escribí B × 7.
¿Se puede corregir eso sin borrar nada de lo que escribí?”.
Debe destacarse que este tipo de actividad no tenía ningún antecedente en las
actividades de enseñanza que enfrentaron los estudiantes durante el trabajo de campo, de manera que cualquier intento que hicieran, ya fuera para dar sentido a la actividad o para abordarla, son acercamientos originales que ellos produjeron a partir
de una extensión intuitiva de la experiencia que adquirieron al emplear el código de
la calculadora. El término intuición se emplea aquí en el sentido de acciones que se
sustentan en la experiencia, y que por lo mismo no tienen un fundamento formal.
Las estrategias generadas por los estudiantes sugieren que emplearon el código
de la calculadora como un medio para dar sentido a nuevas situaciones y negociar
posibles soluciones, más que usarlo para representar una idea totalmente estructurada. Este resultado contrasta con el uso del código algebraico en el ambiente del lápiz
y el papel, donde dicho código algebraico se emplea como el paso final en un proceso
de razonamiento.
Esencialmente, los estudiantes generaron las siguientes estrategias cuando
enfrentaron tareas de manipulación simbólica: (1) Ensayo y refinamiento mediante
exploración numérica, y (2), operación directa con los términos que contenían variables.
En cuanto a la primera estrategia, Jenny, Erandi y Diego asignaron valores específicos a la variable; por ejemplo, si B = 1, B × 7 + 1 = B × 8; como esto no funciona
para B = 2; entonces intentaron con B = 2, que hace que B × 7 + 2 = B × 8, pero sólo
funciona en ese caso. De esa manera, estructurando y reestructurando sucesivamente
sus razonamientos, concluyeron que lo que debían agregar era justo el valor que le
estaban asignando a la variable, lo que finalmente los condujo a producir el programa
B × 7 + B = B × 8. Posteriormente pudieron emplear esta estrategia para abordar
casos más complejos.
Jimena (nivel promedio), Raúl (nivel bajo) e Iván (nivel alto) operaron directamente con la variable; por ejemplo, B × 10 - 3 × B para hacer que B × 10 fuera equivalente a B × 7. Sin embargo, todos acudieron finalmente a dar valores a la variable para
enfrentar tareas más complejas, por ejemplo cuando se les pidió hacer ese tipo de
transformación con expresiones con tres o más términos. Esto sugiere que la sustitución numérica fue la estrategia más sólida que generaron.
29
30
Desarrollo del pensamiento algebraico
La estrategia de ensayo y refinamiento empleada por los estudiantes resalta el
papel del código de la calculadora como una herramienta que media el aprendizaje
del álgebra escolar. Las formas en que los estudiantes confrontaron las actividades
indican que, en general, no usaron el lenguaje de la máquina para describir una idea
acabada; más bien, usaron ese código como un medio para dar sentido al problema
que enfrentaban y refinar progresivamente sus razonamientos.
Solución de problemas algebraicos
Con diferentes niveles, los estudiantes fueron capaces de usar el código de la calculadora
para enfrentar problemas cuyas soluciones pueden obtenerse algebraicamente.
La forma en que los estudiantes abordaron la solución de problemas sugiere que
la experiencia que adquirieron trabajando con patrones numéricos les proporcionó
un dominio sobre el código formal de la calculadora, lo cual les permitió plantear y
obtener soluciones. Este resultado difiere de los obtenidos en otros estudios en que
se han investigado los efectos de introducir el álgebra escolar a partir del trabajo con
patrones numéricos (Stacey, 1989; Herscovics, 1989; Arzarello, 1991; MacGregor y
Stacey, 1993; Stacey y MacGregor, 1996). Esos estudios reportan dificultades de los
estudiantes al generar reglas algebraicas a partir de patrones numéricos. MacGregor
y Stacey (1996) concluyen: “Un enfoque basado en el estudio de patrones y tablas no
conduce automáticamente a un mejor aprendizaje; la forma en que se enseña a los
estudiantes y la práctica de ejercicios promueve el aprendizaje de una rutina que no
conduce a una mayor comprensión” (pág. 3). Reportan que los estudiantes fueron
capaces de reconocer y describir las relaciones cuantitativas involucradas, pero que
sus descripciones son más bien retóricas (en el sentido de Harper, 1987), lo cual les
impide describir el problema de manera algebraica.
Hay varios factores que pueden explicar el fuerte contraste entre los hallazgos de
este estudio y los obtenidos por MacGregor y Stacey. Lo que parece la explicación más
inmediata es que los estudiantes de MacGregor y Stacey trabajaron en el ambiente del
lápiz y el papel, donde el lenguaje natural es la herramienta disponible para que los
estudiantes estructuren sus razonamientos. MacGregor y Stacey (1996) encontraron
que la mayoría de los estudiantes guiaron sus procedimientos por descripciones hechas mediante el lenguaje natural y que ese procedimiento difícilmente apoya que los
estudiantes logren una descripción algebraica para las relaciones entre dos variables.
En cambio, la naturaleza operativa del lenguaje de la calculadora ubica al estudiante en un ambiente donde la formulación algebraica se convierte en una parte
inherente a la solución del problema que se está enfrentando. El uso del lenguaje
de la calculadora conduce al estudiante a describir operativamente las relaciones
involucradas en un problema. Cuando los estudiantes trabajan con la calculadora
no están buscando, digamos, la relación entre las variables “x” y “y” para encontrar
el patrón subyacente (que fue la pregunta que usaron MacGregor y Stacey); el ambiente de la calculadora nos permite hacer la misma pregunta de manera que se
conduce a los estudiantes a pensar qué operaciones deben hacer con el “número
de entrada” para que, como resultado, obtengan el “número de salida”. Los datos de
la presente investigación proporcionan evidencia en favor de esta afirmación: cuando se pidió a los estudiantes que describieran “con sus propias palabras” qué operaciones habían hecho para encontrar el patrón numérico se obtuvieron respuestas
Investigación
muy vagas, como “sumé” (Jimena, entrevista 1); sin embargo, Jimena había construido el programa A + A + 1; y, ciertamente, sólo sumó; sin embargo, hay una enorme
diferencia entre su descripción verbal y la riqueza de la expresión A + A + 1, que
nos muestra con claridad cuál fue su razonamiento para describir el patrón que se
muestra en la siguiente tabla:
Núm. de entrada
Núm. de salida
1
3
3
7
5
11
7
15
8
17
Cuando se les propusieron patrones más sofisticados, los estudiantes respondieron al requerimiento de “explicar en sus propias palabras lo que hicieron para reconocer el patrón numérico”, empleando una expresión algebraica, por ejemplo, 3 × A + 2,
“porque es más fácil explicarlo con el lenguaje de la calculadora”. El uso del código de la
calculadora favoreció que los estudiantes se concentraran en la estructura operativa
de las expresiones que producían en la máquina, ya sea para describir patrones numéricos o relaciones entre los datos involucrados en la solución de un problema.
Este acercamiento operativo no necesariamente ocurre cuando se trabaja en el
ambiente del lápiz y el papel, donde el lenguaje natural es la herramienta inmediata
de comunicación. Tal situación parece conducir a los estudiantes a ver el uso del código algebraico como una imposición del profesor.
El enfoque de enseñanza que se empleó en este estudio proporciona otra posible
explicación de los logros de los estudiantes. La principal característica de las actividades que se emplearon en el primer paquete fue ubicar a los estudiantes en la posición de usuarios del código de la calculadora para lograr “que la calculadora hiciera lo
que ellos estaban pensando”. Ese tipo de actividad guió a los estudiantes mediante
la experiencia, a que “palparan” la generalidad inherente en las expresiones algebraicas que estaban usando. Las tareas del segundo paquete los introdujeron al uso de
paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía de las operaciones y como una
herramienta útil en la construcción de funciones inversas de funciones lineales.
En el tercer paquete de actividades se introdujo la noción de equivalencia algebraica. El trabajo de los estudiantes mostró que su acercamiento espontáneo no fue
operar con los términos que contienen variables, sino con los términos independientes (por ejemplo, 3 × B + 4 = 3 × B + 8 ÷ 2). Sin embargo, en las entrevistas
mostraron ser capaces de operar con expresiones algebraicas mucho más complejas
que el investigador introdujo. Posteriormente, en el último paquete de actividades
mostraron ser capaces de producir expresiones tan sofisticadas como (A × 3) × 2 +
(A × 2) × 53, que emplearon para calcular “el costo del marco de madera de cualquier
ventana, en las que el largo mide el triple del ancho, y el costo por metro del material
es $53.00” (hoja de trabajo 50). Esto resalta la intervención del profesor, ya que los estudiantes no podían generar por sí mismos expresiones más complejas que las de la
31
32
Desarrollo del pensamiento algebraico
forma ax + b; sin embargo, sus respuestas en las entrevistas indican que parecían estar
preparados para interactuar con un compañero más competente. Estas reacciones de
los estudiantes sugieren que la experiencia que obtuvieron al transformar expresiones
algebraicas fue un punto clave para que se percataran de la existencia de expresiones algebraicas que van más allá de las de la forma ax+ b que utilizaron al describir
patrones numéricos.
Las actividades en el cuarto paquete presentan situaciones en que los estudiantes deben describir algebraicamente relaciones parte-todo, como la longitud de las
dos partes en que queda dividido un alambre que mide 16 cm y que se corta arbitrariamente (x, y 16 - x, respectivamente). La complejidad de ese tipo de situaciones
se fue aumentando. Por ejemplo, se les propusieron problemas como el siguiente:
“Una persona quiere construir una cerca para un terreno rectangular en el que uno
de sus lados está limitado por un arroyo. Sólo cuenta con 100 m de tela de alambre
para construir la cerca y quisiera hacerlo de manera que el área del terreno sea lo más
grande que se pueda. ¿Puedes programar la calculadora para encontrar las medidas
óptimas que debe tener su terreno?”.
Los estudiantes fueron capaces de construir expresiones como (100 - A) ÷ 2
× A, y explorar con diversos valores de la variable para dar respuesta al problema, lo
cual proporciona evidencia de que es factible extender la experiencia con patrones
numéricos, al caso de emplear el código algebraico para representar relaciones cuantitativas involucradas en situaciones más complejas.
Por último, en el quinto paquete de actividades se abordó de manera específica la
inversión de funciones lineales. Esas tareas se orientaron a conducir a los estudiantes
en la búsqueda de formas sistemáticas para invertir ese tipo de funciones y a afinar
sus nociones sobre el uso de paréntesis. Éste fue un tema difícil y aparentemente no
lograron dominarlo. Sin embargo, poco tiempo después mostraron avances importantes. En la última entrevista se les planteó la siguiente situación, que parecía ser muy
compleja: “Observa la siguiente lista de números: 5, 9, 13, 17, ... ¿Encontrarás el número
877 si continúas escribiendo números en esa lista?”. Las respuestas de los estudiantes
fueron sorprendentes, como la que se comentó anteriormente (Rocío, nivel bajo), y
muestran el potencial de la experiencia que obtuvieron usando funciones inversas
para encontrar valores específicos de la variable cuando se daba el valor de la función.
Limitaciones
La calidad del aprendizaje que lograron los estudiantes durante este estudio proporciona evidencia empírica en favor de un acercamiento pragmático para una enseñanza del álgebra que ofrece una veta promisoria para explotar los recursos simbólicos
que ofrece la calculadora. Sin embargo, consideramos necesario continuar esta investigación para saber más sobre los alcances y limitaciones de las nociones y estrategias
que aplicaron los estudiantes para confrontar la solución de problemas. En particular, se observa la necesidad de afinar esos logros de los estudiantes si queremos que
lleguen a ser usuarios competentes del código algebraico como herramienta para
expresar y justificar generalizaciones.
Una de las limitaciones de este estudio se deriva de su naturaleza cualitativa, lo
cual no proporciona elementos para aventurar la generalización de sus resultados.
En consecuencia, los resultados de este estudio se deben considerar como una evidencia empírica que documenta un enfoque promisorio para el uso de la calculadora
Investigación
en la enseñanza del álgebra. Aunque implícitamente se deriva de este reporte que
la intervención del profesor fue un factor importante, debe hacerse explícito que los
logros de los estudiantes dependieron en gran medida de la acertada y oportuna intervención del profesor para que extendieran sus posibilidades más allá de lo que las
actividades de enseñanza proponen.
Para atender las limitaciones que se observaron en el presente estudio, en indagaciones posteriores debieran abordarse las siguientes preguntas de investigación:
¿En qué sentido puede favorecer/obstruir un enfoque pragmático a la enseñanza
del álgebra:
a) el aprendizaje de reglas algebraicas de manipulación simbólica?
b) el aprendizaje de métodos formales para el establecimiento de la equivalencia
de funciones?
c) un acercamiento formal al concepto de función?
d ) el uso de gráficas como otra forma de representación de relaciones numéricas?
e) que una conjetura sobre relaciones numéricas no puede ser validada con base
en lo observado en casos específicos?
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34
Desarrollo del pensamiento algebraico
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Guía didáctica
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
1a3
Uso de literales
para expresar
generalizaciones
‡ Obtener la función
inversa de funciones
lineales de las formas
y = a + x, y y = ax
(vea tabla al final de la
actividad).
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
En la primera, después de encontrar
cuál es el patrón numérico que
corresponde a la tabla, se recomienda
aprender a introducir la expresión
algebraica en la línea de edición de
la calculadora y cómo editarla con el
fin de obtener su valor numérico para
diversos valores de la literal.
‡ Es importante dedicar un tiempo
a un análisis con el grupo a partir
de las respuestas dadas por los
estudiantes. En ese análisis deben
destacarse las distintas respuestas que
se hayan presentado, la posibilidad
de usar cualquier letra del abecedario
para representar una variable al
editar expresiones algebraicas en la
calculadora, y cómo encontraron las
funciones inversas que se requieren
para completar las tablas dadas.
4y5
Uso de literales
para expresar
generalizaciones
‡ Obtener la inversa de
funciones lineales de la
forma y = ax + b.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Jerarquía de
operaciones y uso
de paréntesis.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
Se recomienda poner énfasis en la
obtención de las funciones inversas
que se requieren para completar
las tablas dadas. También se
recomienda que el profesor no dé
reglas para invertir esas funciones,
sino que retome las estrategias de
los estudiantes para conducirlos a
conclusiones correctas. Se trata de
reglas que tienen dos operaciones,
por lo que al escribir las reglas que
la invierten debe tenerse en cuenta
el orden de las operaciones y uso
de los paréntesis.
35
36
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
6y7
Uso de literales
para expresar
generalizaciones
‡ Obtener la inversa de
funciones lineales de la
forma y = x + b.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Operaciones con
números negativos.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
En los últimos 10 minutos el profesor
puede conducir un análisis con
el grupo a partir de las distintas
respuestas que se hayan presentado.
8 a 16
Uso de
expresiones
algebraicas
para expresar
generalizaciones
‡ Obtener la inversa de
funciones lineales de la
forma y = ax + b, con
la proporcionalidad
fraccionaria.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Jerarquía de las
operaciones y uso
de paréntesis.
‡ Dedicar dos sesiones de 50 minutos.
Dar tiempo para que los estudiantes
aborden las actividades por sí mismos
y posteriormente el profesor puede
conducir un análisis con el grupo a
partir de las respuestas que se hayan
dado. Se recomienda prestar especial
atención al caso de expresiones
algebraicas equivalentes que los
estudiantes hayan producido y a las
estrategias para invertir funciones.
17
Uso de
expresiones
algebraicas
para expresar
generalizaciones
‡ Transformación
de expresiones
algebraicas para
obtener expresiones
equivalentes a una
expresión dada.
‡ Uso de paréntesis
y jerarquía de
las operaciones
aritméticas.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
En los últimos 15 minutos el profesor
puede conducir un análisis con el
grupo a partir de las respuestas
que se hayan dado. Se recomienda
prestar especial atención al inicio
de la actividad; se sugiere que el
profesor ayude a los alumnos que
tengan problemas para enfrentar la
actividad induciéndolos a explorar
las expresiones que quiere comparar
usando la retroalimentación que
ofrece la calculadora para hacerles
ver que hay un patrón numérico que
sugiere el tipo de transformación
que se pide en la actividad.
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
37
Recomendaciones
18
Equivalencia
algebraica
‡ Transformación
de expresiones
algebraicas para
obtener expresiones
equivalentes a una
expresión dada.
‡ Uso de paréntesis
y jerarquía de
las operaciones
aritméticas.
‡ Introducción a
la simplificación
de expresiones
algebraicas.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
En los últimos 15 minutos el profesor
puede dirigir un análisis con el grupo
a partir de las respuestas que se hayan
dado. Se recomienda que el profesor
induzca a los alumnos a que prueben
en la calculadora los programas
correspondientes a las expresiones
algebraicas que produjeron para
verificar sus respuestas, y que les exija
que no den respuestas incorrectas
porque pueden comprobarlas con
ayuda de la calculadora. Aún así se
espera que haya estudiantes que
cometan errores; eso ocurre en general
con quienes aún no saben introducir una
expresión algebraica en la calculadora
o que aún no han entendido en qué
les ayuda hacerlo. Se recomienda
enfáticamente que el profesor dé
atención especial a esos casos.
19
Equivalencia
algebraica
‡ Transformación
de expresiones
algebraicas para
obtener expresiones
equivalentes a una
expresión dada.
‡ Uso de paréntesis
y jerarquía de
las operaciones
aritméticas.
‡ Introducción a
la simplificación
de expresiones
algebraicas.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
En los últimos 15 minutos el profesor
puede dirigir un análisis con el grupo
a partir de las respuestas que se
hayan dado. Se recomienda que el
profesor induzca a los estudiantes
a que prueben en la calculadora
los programas correspondientes
a las expresiones algebraicas
que produjeron para verificar sus
conjeturas, y que les exija que no den
respuestas incorrectas porque siempre
es posible comprobar sus respuestas
con ayuda de la calculadora.
20 a 22
Equivalencia
algebraica
‡ Transformación
de expresiones
algebraicas para
obtener expresiones
equivalentes a una
expresión dada.
‡ Uso de paréntesis
y jerarquía de
las operaciones
aritméticas.
‡ Introducción a
la simplificación
de expresiones
algebraicas.
‡ Dedicar una sesión de 50 minutos.
En los últimos 15 minutos el profesor
puede dirigir un análisis con el grupo
a partir de las respuestas que se
hayan dado. Se recomienda que el
profesor induzca a los estudiantes
a que prueben, en la calculadora,
los programas correspondientes
a las expresiones algebraicas
que produjeron para verificar sus
conjeturas, y que les exija que no den
respuestas incorrectas porque siempre
es posible comprobar sus respuestas
con ayuda de la calculadora.
38
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
23 a 31
Equivalencia
algebraica
‡ Producción de
expresiones algebraicas
equivalentes a una
expresión dada.
‡ Primeras reglas
algebraicas para
la simplificación
y desarrollo de
expresiones
algebraicas.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Operaciones con
números negativos.
‡ Tres sesiones de 50 minutos. En
los 25 minutos de la tercera sesión
se sugiere que el profesor dirija
un análisis con el grupo sobre las
distintas respuestas que se hayan
presentado. Los estudiantes tienden
a producir expresiones equivalentes
haciendo transformaciones con los
términos numéricos, lo cual está
bien. Sin embargo, se recomienda
que el profesor los impulse para que
también hagan transformaciones
descomponiendo los términos que
contienen literales, por ejemplo:
transformar 4×A como A+A+2×A,
6×A-(A+A).
32 a 41
Representación
algebraica
de relaciones
parte-todo.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos
generados por
funciones lineales
decrecientes.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
para expresar
generalizaciones.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
de la forma A×X para
representar relaciones
parte-todo.
‡ Operaciones con
números negativos.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Inversión de funciones
de la forma Y = A - BX.
‡ Uso de funciones
lineales decrecientes
para plantear y resolver
problemas.
‡ Cinco sesiones de 50 minutos. Se
recomienda que en la primera, tercera
y quinta sesiones el profesor dirija un
análisis con el grupo en los últimos 15
minutos de cada una. Se debe hacer
énfasis en las distintas soluciones
que obtuvieron los estudiantes,
en las dificultades que algunos
encontraron y en cómo superarlas a
partir de las estrategias de sus propios
compañeros (o del profesor si nadie
en el grupo pudo superar alguna
dificultad), y en la relación entre una
función lineal decreciente y su inversa.
‡ Este bloque de actividades presenta
uno de los grados de dificultad
más altos para los estudiantes. Se
recomienda que el profesor ponga
especial atención en auxiliar a los
estudiantes que tengan problemas, de
manera que salgan adelante a partir
de su propio razonamiento.
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
39
42 a 46
Inversión
de funciones
lineales.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
para expresar
generalizaciones.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Inversión de funciones
lineales.
‡ Jerarquía de las
operaciones aritméticas
y uso de paréntesis.
‡ Tres sesiones de 50 minutos. Al final
de la primera y la tercera sesiones se
recomienda que el profesor analice
con el grupo las distintas soluciones
que presentaron. Se sugiere que el
profesor preste especial atención a
la revisión de las respuestas de los
estudiantes en las hojas de trabajo 44
y 45, y que aproveche al máximo los
errores que se hayan cometido. Se
recomienda que en todos los casos se
exija a los estudiantes que prueben
en la calculadora los programas que
produjeron, para que verifiquen sus
respuestas.
47 a 49
Uso de
expresiones
algebraicas
para expresar
generalizaciones
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Representación
algebraica del enésimo
término de una
sucesión.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Encontrar la función
inversa de funciones
lineales.
‡ Jerarquía de las
operaciones aritméticas
y uso de paréntesis.
‡ Dos sesiones. En los últimos 20
minutos de la segunda sesión el
profesor debe dirigir un análisis
con el grupo donde se revisen las
distintas soluciones generadas por
los estudiantes. Debe hacerse énfasis
en la equivalencia de las expresiones
algebraicas que los estudiantes
produjeron y que argumenten por
qué se da tal equivalencia.
‡ Es conveniente identificar aquellas
estrategias que están apoyadas en las
representaciones geométricas, tanto
para encontrar la generalización
y su expresión como para producir y
justificar la construcción de
expresiones equivalentes.
40
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
50 a 52
Producción
de funciones
para plantear
y resolver
problemas.
‡ Traducción del lenguaje
natural al algebraico
de relaciones dadas
en el contexto de un
problema geométrico.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
que generalizan el
cálculo del perímetro y
el área de rectángulos
en el contexto
de problemas de
medición.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Obtención de inversas
de funciones lineales.
‡ Jerarquía de las
operaciones aritméticas
y uso de paréntesis.
‡ Tres sesiones de 50 minutos. Se
recomienda que en los últimos
20 minutos de la primera y la
tercera sesión, el profesor dirija
un análisis con el grupo sobre las
distintas soluciones presentadas, las
dificultades que hayan encontrado,
y las distintas estrategias que los
estudiantes hayan empleado para
verificar sus respuestas.
53 y 54
Producción
de funciones
para plantear
y resolver
problemas.
‡ Reconocimiento de
patrones numéricos.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
para representar
relaciones numéricas
dadas verbalmente
en el contexto de un
problema.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
para representar
relaciones que
involucran el cálculo
de porcentajes en
el contexto de un
problema.
‡ Obtención de inversas
de funciones lineales.
‡ Jerarquía de las
operaciones aritméticas
y uso de paréntesis.
‡ Dos sesiones. Se recomienda que
en los últimos 15 minutos de ambas
sesiones el profesor dirija un análisis
con el grupo sobre las distintas
soluciones que produjeron, las
dificultades que se encontraron, y
cómo pudieron superarlas algunos
estudiantes.
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
41
Recomendaciones
55 y 56
Producción de
expresiones
algebraicas
para plantear
y resolver
problemas.
‡ Traducción al lenguaje
algebraico de
relaciones numéricas
dadas en el contexto
de un problema.
‡ Producción de
expresiones algebraicas
que generalizan el
cálculo del perímetro y
el área de rectángulos
en el contexto
de problemas de
medición.
‡ Uso de métodos
no convencionales
para la resolución de
ecuaciones lineales con
una incógnita.
‡ Dos sesiones. Se recomienda que
en los últimos 15 minutos de ambas
sesiones el profesor dirija un análisis
con el grupo sobre las distintas
soluciones que produjeron, las
dificultades que se encontraron, y
cómo pudieron superarlas algunos
estudiantes.
57 a 61
Producción
de expresiones
algebraicas
para plantear
y resolver
problemas.
‡ Representación
algebraica de
propiedades numéricas
(números palíndromos,
paridad, números
consecutivos).
‡ Producción de
expresiones algebraicas
para expresar y
justificar conjeturas
sobre relaciones
numéricas dadas.
‡ Tres sesiones. Se recomienda que en
los últimos 15 minutos de cada sesión
el profesor dirija un análisis con el
grupo sobre las distintas respuestas
que obtuvieron; los errores que
algunos cometieron; las estrategias
que emplearon los alumnos que
resolvieron con éxito los problemas,
y las estrategias que emplearon para
verificar sus respuestas.
62 a 69
Función inversa.
‡ Encontrar la función
inversa de una función
dada.
‡ Trazo de gráficas con
lápiz y papel.
‡ Localización de puntos
en el plano.
‡ Jerarquización de
operaciones.
‡ Uso de paréntesis
‡ Traducciones entre las
representaciones de
una función.
‡ En dos sesiones de 50 minutos.
‡ Es conveniente destinar un tiempo
para obtener conclusiones acerca de
las distintas representaciones de una
función y su inversa; por ejemplo, la
simetría entre sus gráficas, la relación
entre su dominio y contradominio,
los procesos algebraicos para obtener
una ecuación a partir de la otra,
etcétera.
‡ En la hoja de trabajo 63 se presenta el
trabajo con el ambiente gráfico de la
calculadora; es recomendable destinar
unos minutos para acostumbrarse a
su uso.
42
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
Ordenada al
origen en la recta.
‡ Trazo de gráficas con
lápiz y papel.
‡ Lectura de puntos
en el plano.
‡ Construcción de
rectas a partir de las
coordenadas de la
ordenada al origen.
‡ Una sesión de 30 minutos.
‡ Se recomienda destinar unos
minutos para analizar en grupo las
distintas soluciones que produjeron
los estudiantes, las dificultades que
se encontraron y cómo pudieron
superarlas algunos.
71 a 73
Rango y escala
en los ejes
cartesianos.
‡ Lectura de gráficas con
diferentes escalas en
los ejes cartesianos.
‡ Cortes de rectas en los
ejes cartesianos.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Dedicar un tiempo al uso de las
herramientas de la calculadora que
permiten modificar el rango y escala
de los ejes cartesianos.
‡ Comentar en grupo acerca de los
efectos en las gráficas desplegadas y
su importancia al modificar el rango
y la escala de los ejes cartesianos.
74 a 82
Pendiente de una
recta.
‡ Visualización de rectas
con distinta inclinación.
‡ Nociones de
crecimiento y
decrecimiento de una
gráfica.
‡ Noción de pendiente
de una recta.
‡ Pendiente positiva,
negativa y con valor
cero.
‡ Lectura de gráficas.
‡ Construcción de
rectas a partir de
distinta información
(dos puntos dados, la
pendiente).
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Destinar tiempo para revisar las
diferentes respuestas del grupo y
formalizar conceptos como el de
pendiente de una recta y sus posibles
valores.
83 a 85
Ajuste de rectas
a nubes de
puntos en
diversos
contextos.
‡ Lectura de puntos en el
plano.
‡ Construcción de
gráficas a partir de una
serie de datos,
‡ Lectura e interpretación
de gráficas en el plano.
‡ Gráficas de funciones
definidas a trozos.
‡ Noción de regresión
lineal.
‡ Análisis y modelación
de situaciones mediante
funciones lineales.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Destinar un tiempo para la revisión
de las distintas respuestas de los
estudiantes y comentar acerca de las
dificultades enfrentadas.
‡ Comentar acerca de los contenidos
matemáticos involucrados en la
actividad y su relación con una
regresión lineal.
70
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
43
Recomendaciones
86 a 89
Vértice
de la parábola.
‡ Lectura y ubicación
de puntos en el plano.
‡ Crecimiento
y decrecimiento
de gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de representaciones de
una función cuadrática.
‡ Construcción de
parábolas a partir
de su vértice.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Es conveniente destinar un tiempo
para revisar las respuestas de
los estudiantes, las dificultades
enfrentadas y cómo las resolvieron.
‡ Comentar acerca de los contenidos
matemáticos involucrados en las
actividades y su relación con la
función cuadrática.
90 a 92
Coeficiente
del término
cuadrático
de una función
cuadrática.
‡ Reflexión de la
parábola con respecto
al eje de las X.
‡ Efectos del coeficiente
del término
cuadrático de una
función cuadrática
en el crecimiento o
decrecimiento de la
parábola, cuando es
uno, positivo, negativo,
mayor y menor que 1.
‡ Visualización de
gráficas en el plano.
‡ Relaciones entre las
representaciones de
una función.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Se recomienda destinar unos
minutos para analizar en grupo las
distintas soluciones que produjeron
los estudiantes, las dificultades que
se encontraron, y cómo pudieron
superarlas algunos.
93 a 106
Ajuste de
parábolas y rectas
a conjuntos
de puntos
en diversos
contextos.
‡ Lectura y ubicación
de puntos en el plano.
‡ Construcción de
gráficas a partir de una
serie de datos,
‡ Lectura e interpretación
de gráficas en el plano.
‡ Gráficas de funciones
definidas a pasos.
‡ Noción de regresión
cuadrática.
‡ Análisis y modelación
de situaciones
mediante funciones
cuadráticas.
‡ Cinco sesiones de 50 minutos.
‡ Se recomienda destinar unos minutos
al final de la primera, tercera y quinta
sesión para analizar en grupo las
distintas soluciones que produjeron
los estudiantes, las dificultades que
se encontraron y cómo pudieron
superarlas algunos.
44
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
107 y 108
Cuadrado de
un binomio y
factorización
de trinomios
cuadrados
perfectos.
‡ Multiplicación
algebraica.
‡ Términos semejantes.
‡ Expresiones
equivalentes.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Visualización y lectura
de gráficas.
‡ Cruces de gráficas con
el eje de las X.
‡ Relación entre las
representaciones de
una función.
‡ En una sesión de 50 minutos.
‡ Dedicar tiempo para revisar
las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
109 y 110
Binomios
conjugados y
factorización de
diferencia de
cuadrados.
‡ Multiplicación
algebraica.
‡ Términos semejantes.
‡ Expresiones
equivalentes.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Visualización y lectura
de gráficas.
‡ Cruces de gráficas con
el eje de las X.
‡ Relación entre las
representaciones de
una función.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Dedicar tiempo para revisar
las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
111 y 112
Binomios con
un término
en común y
factorización de
trinomios de la
forma x2 + (m+n)
x + mn
‡ Multiplicación
algebraica.
‡ Términos semejantes.
‡ Expresiones
equivalentes.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Visualización y lectura
de gráficas.
‡ Cruces de gráficas con
el eje de las X.
‡ Relación entre las
representaciones de
una función.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Dedicar tiempo para revisar
las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
45
Recomendaciones
113 a 115
Factorización
factor común.
‡ Multiplicación
algebraica.
‡ Términos semejantes.
‡ Expresiones
equivalentes.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Visualización y lectura
de gráficas.
‡ Cruces de gráficas con
el eje de las X.
‡ Relación entre las
representaciones de
una función.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Dedicar tiempo para revisar
las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron
‡ En la última sesión el profesor puede
utilizar 25 minutos para realizar una
recapitulación de las actividades de
todo el bloque.
116 a 118
Resolución
gráfica de
ecuaciones de
primer grado con
una incógnita.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Visualización y lectura
de gráficas.
‡ Cruce de gráficas con
el eje X.
‡ Lectura y ubicación de
puntos en el plano.
‡ Procedimientos
algebraicos para
resolver ecuaciones de
primer grado.
‡ Relación entra las
representaciones de
una función.
‡ En dos sesiones de 50 minutos.
‡ Se recomienda que en la segunda
sesión el profesor realice un breve
análisis acerca de las diferentes
respuestas, dificultades y formas
de resolverlas.
119 a 122
Resolución
gráfica de
ecuaciones de
segundo grado.
‡ Construcción
de gráficas.
‡ Visualización y lectura
de gráficas.
‡ Cruce de gráficas con
el eje X.
‡ Lectura y ubicación
de puntos en el plano.
‡ Procedimientos
algebraicos para
resolver ecuaciones
de segundo grado.
‡ Relación entra las
representaciones
de una función.
‡ En dos sesiones de 50 minutos.
‡ Se recomienda un intercambio
de ideas en unos 25 minutos para
conocer las diferentes respuestas,
dificultades y estrategias para
superarlas.
46
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
123 y 124
Dominio y
contradominio
de la función raíz
cuadrada.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Lectura e
interpretación
de gráficas.
‡ Construcción
de gráficas.
‡ Intervalos para
expresar el dominio y
contradominio de una
función.
‡ Raíz cuadrada.
‡ Números reales
y complejos.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Dedicar tiempo para revisar
las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
‡ Es conveniente reflexionar acerca
de los contenidos matemáticos
involucrados en las actividades.
125 a 129
Transformaciones
en el plano de
gráficas de la
función raíz
cuadrada.
‡ Traslaciones vertical
y horizontal.
‡ Reflexión.
‡ Relaciones entre las
representaciones
de una función.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Dominio
y contradominio
de una función.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
130 y 131
Valores críticos en
el semicírculo.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Lectura e
interpretación
de gráficas.
‡ Construcción
de gráficas.
‡ Crecimiento y
decrecimiento
de gráficas.
‡ Valores máximo
y mínimo de una
función.
‡ Dominio y
contradominio
en el semicírculo.
‡ Raíz cuadrada.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Es conveniente dedicar tiempo para
revisar las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
‡ Se recomienda reflexionar acerca
de los contenidos matemáticos
involucrados en las actividades.
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
47
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
132 a 138
Transformaciones
en el plano de
gráficas del
semicírculo.
‡ Efectos de los
coeficientes, la
semielipse.
‡ Traslaciones vertical
y horizontal.
‡ Reflexión.
‡ Relaciones entre las
representaciones de
una función.
‡ Visualización de
gráficas.
‡ Dominio y
contradominio
de una función.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
139, 140
y 145
Discontinuidad
y asíntotas
en funciones
racionales.
‡ Visualización de
gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Identificación de
discontinuidades en
gráficas.
‡ Reconocimiento de
asíntotas vertical
y horizontal.
‡ Dominio y
contradominio en
funciones racionales.
‡ División por cero.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Es conveniente dedicar tiempo para
revisar las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
‡ Se recomienda reflexionar acerca
de los contenidos matemáticos
involucrados en las actividades.
141 a 144
Transformaciones
en el plano
de gráficas de
funciones
racionales.
‡ Efectos de los
coeficientes.
‡ Traslaciones vertical
y horizontal.
‡ Reflexión.
‡ Relaciones entre las
representaciones de
una función.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Dominio
y contradominio
de una función.
‡ Transformaciones de
expresiones algebraicas
fraccionarias.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
48
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
145 - 146
Valor absoluto en
funciones lineales
y cuadráticas.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Construcción
de gráficas.
‡ Valor absoluto.
‡ Dominio y
contradominio en
funciones a las que
se les aplicó valor
absoluto.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Es conveniente dedicar tiempo para
revisar las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
‡ Se recomienda reflexionar acerca
de los contenidos matemáticos
involucrados en las actividades.
147 a 151
Transformaciones
en el plano
de gráficas de
funciones lineales
a las que se
les aplicó valor
absoluto.
‡ Efectos de los
coeficientes.
‡ Traslaciones vertical
y horizontal.
‡ Reflexión con respecto
al eje cartesiano
horizontal.
‡ Relaciones entre las
representaciones de
una función.
‡ Dos sesiones de 50 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
151
Valor absoluto
en funciones
cuadráticas.
‡ Visualización de gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Valor absoluto.
‡ Dominio y
contradominio en
funciones a las que se
les aplicó valor absoluto.
‡ Transformaciones de
expresiones algebraicas
de segundo grado.
‡ Una sesión de 50 minutos.
‡ Es conveniente dedicar tiempo para
revisar las diferentes respuestas de los
estudiantes, sus dificultades y cómo
las superaron.
‡ Se recomienda reflexionar acerca
de los contenidos matemáticos
involucrados en las actividades.
152-153
Funciones
periódicas:
función seno.
Amplitud en la
función seno.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Cruces con el eje
de las X.
‡ Construcción
de gráficas.
‡ Periodo de la función
seno.
‡ Dominio y
contradominio.
‡ Una sesión de 25 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
Recomendaciones para el trabajo en el aula
Hojas de
trabajo
Tema explícito
Temas implícitos
Recomendaciones
49
154
Frecuencia en la
función seno.
‡ Visualización de
gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Amplitud de la gráfica
de la función seno.
‡ Dominio y
contradominio.
‡ Una sesión de 25 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
155
Simetría en la
función seno.
‡ Visualización
de gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Cruces con el eje
de las X.
‡ Construcción
de gráficas.
‡ Frecuencia
de la función.
‡ Dominio y
contradominio.
‡ Una sesión de 25 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
156
Reflexión de
la gráfica de la
función coseno.
‡ Efecto del coeficiente
negativo en la función
seno.
‡ Visualización de
gráficas.
‡ Lectura e interpretación
de gráficas.
‡ Cruces con el eje de
las X.
‡ Construcción de
gráficas.
‡ Dominio y
contradominio.
‡ Una sesión de 25 minutos.
‡ Es recomendable dedicar tiempo para
revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, así como sus
diferentes estrategias.
157
Función coseno.
‡ Propiedades de la
función periódica
coseno: amplitud,
frecuencia y simetría.
‡ Reflexión.
‡ Una sesión de 30 minutos.
‡ Revisar las respuestas y dificultades
de los estudiantes, analizando las
similitudes y diferencias entre
las funciones seno y coseno.
Manual básico para el uso
de un sistema algebraico
computarizado (SAC)
Actualmente ya no está en discusión la pertinencia del uso de
calculadoras y computadoras para apoyar la enseñanza y el
aprendizaje en las clases de matemáticas; antes bien, lo que
procede hoy en día es el desarrollo de proyectos que coadyuven a potencializar el uso de la tecnología. En un principio las
calculadoras aritméticas se incorporaron a las clases de matemáticas; les siguieron las calculadoras científicas, después las
calculadoras con capacidad gráfica, y por último las que tienen
instalado un sistema algebraico computarizado (SAC).
En un SAC se dispone de un ambiente para producir y manipular gráficas de funciones, y ofrece poderosos recursos para
realizar todo tipo de operaciones numéricas y algebraicas. Estos
tres aspectos son de suma importancia por su utilidad en el trabajo con los números, las ecuaciones y las funciones. Los SAC
brindan también la posibilidad de almacenar y procesar una
gran cantidad de datos a través de tablas, gráficas y ecuaciones,
haciendo aún más asequibles los conceptos y procedimientos
involucrados en el tratamiento de las funciones.
Una característica relevante de los SAC es que la sintaxis y
semántica que rigen su escritura son las que se emplean de manera convencional en matemáticas, lo cual permite al usuario
introducirse de manera natural en el uso formal de los códigos
aritmético y algebraico. Si el usuario no respeta la sintaxis matemática formal, el sistema emitirá el mensaje “error de sintaxis”.
En la actualidad es frecuente encontrar instalado un SAC en
dispositivos portátiles como calculadoras, tabletas y los Smartphone, así como en todo tipo de computadoras. Esto permite
que el usuario lo emplee como un instrumento para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Es preciso destacar
que no sólo es importante la posibilidad de disponer de una
calculadora con estas características, sino que su disponibilidad
es relevante por las ventajas que brindan estos recursos tecnológicos como mediadores en la adquisición del conocimiento
matemático. A guisa de ejemplo, vea la sección Investigación
que se incluye en este volumen.
En este manual básico se abordan sólo aquellos aspectos
del funcionamiento de un SAC que están directamente relacionados con las actividades de aprendizaje que se presentan en
este texto. Si bien hay variantes entre las diferentes versiones de
un SAC, su lógica es similar, lo cual hace plausible tomar como
base las descripciones que se muestran a continuación.
51
52
Desarrollo del pensamiento algebraico
Pantalla inicial (HOME)
En un SAC la pantalla inicial (Home) está constituida por tres secciones: (1) La sección
superior muestra una “barra de aplicaciones”; (2) en la sección intermedia se imprimen
las operaciones que el usuario va realizando (Historial), y (3) la sección inferior es la
línea de edición, en la cual se muestran las operaciones o instrucciones que introduce
el usuario; Al oprimir la tecla ENTER esas operaciones o instrucciones se imprimen en
la pantalla “Historial”, lo cual se muestra abajo; es posible navegar entre las operaciones impresas en el historial, recuperarlas y reeditarlas de ser necesario.
Figura 1
En la línea de edición se escriben las expresiones matemáticas de entrada; una vez
que se oprime la tecla ENTER esas expresiones pasan a formar parte del historial con
su respectivo resultado (salida). En la figura anterior es posible distinguir entre las expresiones de entrada y de salida; las de la izquierda son las expresiones de entrada y
las de la derecha son las de salida.
MODE
Es posible modificar la configuración inicial de la calculadora en MODE, el cual dispone de tres páginas (asociadas a las teclas F1, F2 y F3) que incluyen los diferentes rasgos
posibles de reconfigurar.
Figura 2
Figura 3
Figura 4
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
A continuación se muestran las opciones de algunos rasgos posibles de configurar que es útil considerar para las actividades del texto.
Resultados numéricos en forma automática, exacta y aproximada.
Punto flotante y punto fijo.
Figura 5
Figura 6
Tipo de gráfica.
Unidad de medida de ángulos.
Figura 7
Figura 8
Ambiente numérico
Este ambiente de trabajo es muy útil para el desarrollo de las actividades de los primeros seis bloques del texto. La familiaridad con los números, sus operaciones y propiedades es esencial para introducirse al estudio del álgebra, y en este ambiente del SAC
es posible recrear estos aspectos. En las hojas de trabajo de estos bloques es necesario
construir generalizaciones de las relaciones entre los valores de entrada y salida de tablas, y a partir del trabajo numérico con los datos de estas tablas es posible identificar
regularidades que están expresadas a través del código simbólico.
Valor exacto y aproximado
Un SAC puede producir los resultados de cálculos numéricos en forma exacta o
aproximada. Cuando está configurado para producir resultados exactos, el valor numérico que despliega el SAC al efectuar una operación numérica corresponde al
tipo de número que resulta sin acudir a la expresión decimal. Por ejemplo, las operaciones 34 ÷ 2 y raíz cuadrada de 361, producen un valor entero; el cociente 8/6
produce 4/3 que es su forma simplificada; y el resultado de la raíz cuadrada de 24 es
un número irracional que simplificado es 2√
6.
53
54
Desarrollo del pensamiento algebraico
Figura 9
Cuando el SAC está configurado para producir valores aproximados, los resultados de
los cálculos numéricos se expresan en forma decimal; incluso las cantidades enteras
se despliegan con un punto decimal.
Figura 10
Operaciones concatenadas
En un SAC es posible escribir cadenas de operaciones en una sola línea. La ejecución
de las operaciones concatenadas se apega a la jerarquía de las operaciones aritméticas.
Figura 11
El uso de los paréntesis como signos de agrupación se emplea para modificar el orden
en que se ejecutan las operaciones, lo cual es posible constatar al obtener el resultado
correspondiente.
Figura 12
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
La resta y el signo negativo
En el SAC los signos están diferenciados para indicar la operación de resta y para denotar a un número como negativo.
Figura 13
Esta diferenciación se hace evidente en casos donde se desea usar el signo negativo
para efectuar una resta; en situaciones como ésa, el SAC lo interpreta como un producto; pero si se usa el signo de la resta para indicar que un número es negativo, el
SAC lo identifica como un error de sintaxis.
Figura 14
Figura 15
Potencias
El cálculo de potencias respeta las leyes de los exponentes y acepta diferentes tipos
de números tanto en la base como en el exponente. Para escribir el exponente se utiliza un símbolo especial que tiene forma de un acento circunflejo o de una “v” invertida.
Figura 16
Operaciones con fracciones
Los cálculos con fracciones comunes son posibles cuando el SAC está configurado
para ofrecer resultados exactos. La línea de fracción se despliega en el Historial aun
cuando el cociente se indique con una diagonal / en la línea de edición.
55
56
Desarrollo del pensamiento algebraico
Figura 17
Función ans()
La tecla ans( ) permite recuperar el último resultado que obtuvo el SAC y operar con
él, sin importar que se trate de un valor numérico o de una expresión algebraica; para
aplicar la función “ans( )” basta escribir al inicio de la linea de edición la operación a
realizar, y enseguida el operando o más operaciones y operandos; también es posible
escribir directamente ans(1).
Figura 18
Figura 19
En el caso que se desee recuperar un resultado que no sea el último que obtuvo el
SAC, basta cambiar el valor del paréntesis de ans( ), el cual corresponde al número de
linea del historial, numerando las líneas de abajo hacia arriba.
Figura 20
Figura 21
Ambiente simbólico
La propuesta didáctica para el estudio del álgebra del presente texto está centrada
en el uso del ambiente simbólico del SAC. La escritura de “programas” (expresiones
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
algebraicas) para expresar generalizaciones y el cálculo de su valor numérico para
comprobarlas, son las constantes en las actividades de los primeros seis bloques.
Por otro lado, en la medida que se van reconociendo las reglas algebraicas, la capacidad de manipulación simbólica del SAC resulta de gran utilidad.
Valor numérico de expresiones algebraicas
El cálculo del valor numérico de expresiones algebraicas puede hacerse escribiendo la expresión en la línea de edición, enseguida una barra vertical (|), se lee “tal
que”, la cual se encuentra como segunda función en el teclado del SAC y a continuación la variable seguida del signo igual (=) y los valores asignados a dicha
variable separados por comas y encerrados entre “llaves”, como se muestra en las
siguientes figuras.
Una vez ejecutada la acción, el SAC despliega en el Historial los valores de salida
que se obtienen para cada valor de entrada que se haya escrito entre “llaves”. En el
caso de que la fórmula tenga más de una variable pueden agregarse dichas variables
utilizando la conjunción “and”.
Figura 22
Figura 23
Las actividades de los seis primeros bloques del texto están elaboradas para que se
realicen en el ambiente simbólico del SAC, y en las cuales es necesario completar tablas y escribir los “programas” que corresponden a dichas tablas. Un programa es una
expresión algebraica cuyos valores asignados a las literales de dichas expresiones y
sus resultados correspondientes equivalen a los valores de entrada y salida de las
tablas. La siguiente tabla aparece en la hoja de trabajo 1 del bloque 1; a la derecha se
ilustra su programa (a + 4) escrito en el SAC con los respectivos valores de entrada
y de salida.
Valor de entrada
Valor de salida
1
5
2
6
3
7
4
8
5
9
57
58
Desarrollo del pensamiento algebraico
Figura 24
Manipulación simbólica
Recurso esencial de un SAC es su capacidad de manipulación simbólica. En una gran
cantidad de expresiones de entrada hay una salida que es el resultado de una operación o transformación, la cual se efectúa de acuerdo con las reglas algebraicas convencionales. Desde la perspectiva educativa, este recurso brinda oportunidades didácticas para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Figura 25
Figura 26
Comandos algebraicos
Los comandos algebraicos permiten realizar transformaciones algebraicas y resolver
ecuaciones entre otras acciones. El comando solve() resuelve ecuaciones con respecto
a la incógnita que se indique; factor() efectúa la factorización de expresiones algebraicas, y expand() las desarrolla.
Figura 27
Figura 28
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
Figura 29
Producción de gráficas de funciones y nubes de puntos
En el bloque 7 del texto se inicia con el trabajo de las gráficas de funciones; los bloques
7 a 16 tienen como herramienta principal el ambiente gráfico de un SAC, el cual dispone
de recursos para introducir una ecuación, desplegar y explorar gráficas y tablas, así como
la posibilidad de introducir conjuntos de datos que se pueden manipular (por ejemplo
operar entre ellos, realizar diversos tipos de regresiones, etcétera) y utilizar para desplegar “nubes de puntos”. A continuación se ilustran estas opciones del SAC.
Editor de funciones
En este editor es posible introducir funciones para que con esa información el SAC
construya las gráficas correspondientes. Se pueden ingresar decenas de funciones y
recorrerlas una a una si se desea modificarlas o borrarlas. Para editarlas es necesario
utilizar la letra x como variable independiente. En caso de usar otra literal debe definirse mediante la asignación de uno o más valores numéricos, pudiendo emplearse
la barra vertical (|), cuyo uso se describe en el apartado “Valor numérico de expresiones
algebraicas”, de la sección anterior.
Figura 30
Figura 31
En la parte superior de la pantalla del editor de gráficas hay herramientas para diversas acciones. Por ejemplo, la asociada a la tecla F4 (una “palomita”) permite activar o
desactivar una función para que su gráfica se despliegue o no; la asociada a la tecla
F6 (Estilo) define el trazo de la gráfica (gruesa, a puntos, fina, etcétera).
Gráficas
En la pantalla para gráficas se despliega el plano cartesiano, y el origen está centrado automáticamente. Las gráficas se despliegan en el orden en que se editaron las funciones
que las originan. Es posible navegar de una gráfica a otra utilizando la tecla del cursor.
59
60
Desarrollo del pensamiento algebraico
Figura 32
En la parte superior de la pantalla hay herramientas para hacer diversas acciones con
las gráficas. Por ejemplo, la que está asociada a la tecla F4 (Redib) permite reiniciar la
pantalla y observar la reconstrucción de cada una de las gráficas; en el caso de la tecla
F5 (Mat), hay opciones para determinar los cruces entre dos gráficas, rectas tangentes
en un punto dado, etcétera.
Trace (Traza)
Esta herramienta asociada con la tecla F3 (Traza) permite recorrer las gráficas y desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa. En el caso de más de una gráfica,
es posible cambiar de una gráfica a otra con la tecla de cursor y recorrer la que se haya
seleccionado.
Figura 33
Al recorrer la gráfica no siempre es posible ubicarse en un punto deseado; para ello es
necesario escribir el valor elegido para x y opimir ENTER, con lo cual el cursor se posiciona en el punto requerido. Por ejemplo, al recorrer la gráfica de la función raíz cuadrada e
introducir el número 9 y accionar ENTER, el cursor se posiciona en el punto (9, 3).
Figura 34
Figura 35
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
Zoom
El zoom realiza acercamientos y alejamientos en el plano cartesiano, y está asociado a la
tecla F2. Hay zoom predeterminados y otros que pueden ajustarse de acuerdo con
las necesidades específicas, lo cual permite hacer exploraciones locales y globales de las
gráficas.
Por ejemplo, en la siguiente imagen aparecen las gráficas del rubro anterior, con
un acercamiento hecho con la herramienta Zoom.
Figura 36
Figura 37
Figura 38
Las siguientes imágenes muestran el uso del zoom predeterminado, 6: ZoomEstd, y el
rango y escala de los ejes cartesianos que le corresponden.
Figura 39
Figura 40
Figura 41
61
62
Desarrollo del pensamiento algebraico
A continuación se ilustra 4: ZoomDec y sus correspondientes rango y escala en los
ejes cartesianos.
Figura 42
Figura 43
Figura 44
En el bloque 16 (funciones, seno y coseno) se recomienda usar “ZoomTrig”. Por ejemplo, al construir la gráfica de y = sin(x) con el plano cartesiano ajustado con 6: ZoomEstd, la vista de la gráfica es como se ilustra a continuación.
Figura 45
Figura 46
Por otro lado, al utilizar 7: ZoomTrig, el rango y la escala de los ejes cartesianos se ajustan según los requerimientos propios de estas funciones.
Figura 47
Figura 48
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
Figura 49
Punto de intersección entre dos gráficas
En el bloque 11 hay actividades que requieren identificar el punto de intersección
entre dos graficas para determinar la solución de una ecuación. Por ejemplo, en la
segunda hoja de trabajo del bloque aparece la ecuación 3x + 2 = x - 2; las gráficas
correspondientes y su intersección en el SAC se ilustran a continuación.
Primero se introducen las funciones y se despliegan sus gráficas.
Figura 50
Figura 51
Enseguida se activan la herramienta Mat asociada a la tecla F5 y la opción 5: Intersección.
Figura 52
A continuación deben definirse las dos gráficas en las que se desea identificar un
punto de intersección.
Figura 53
Figura 54
63
64
Desarrollo del pensamiento algebraico
Para ubicar el punto de intersección es necesario indicar primero el extremo inferior
(antes del cruce de las gráficas) y enseguida el extremo superior (después del cruce).
Figura 55
Figura 56
Con la información definida, el SAC está en posibilidad de ubicar y desplegar el punto
de intersección entre las dos gráficas.
Figura 57
Window
El bloque 8, dedicado al estudio de la función lineal, incluye hojas de trabajo que acuden a la herramienta “Window” del SAC para abordar el estudio del rango y escala de
los ejes cartesianos y su impacto en la visualización de las gráficas.
En “Window” es posible personalizar el rango y la escala de los ejes cartesianos.
Por ejemplo, en la imagen de la izquierda, dentro de “Window”, aparecen los valores
para el rango del eje X (xmin=-10; xmax=10) y del eje Y (ymin=-10; ymax=10),
así como también la escala de cada eje (xscl=1 y yscl=1), los cuales se pueden
editar directamente. El parámetro xres=2 corresponde a la resolución con la que se
construirá la gráfica. En la imagen de la derecha aparece el plano cartesiano correspondiente a estos valores de Window.
Figura 58
Figura 59
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
El cambio de valores en el rango y la escala produce otra vista de las gráficas anteriores.
Figura 60
Figura 61
Tablas de funciones
El SAC ofrece la posibilidad de mostrar las tablas que al igual que las gráficas corresponden a las funciones introducidas. En ellas es posible recorrer los renglones y explorar los diferentes valores para x y y. La herramienta asociada a la tecla F2 (Config),
en la parte superior de la pantalla, permite modificar el valor de inicio de la tabla, el
incremento de un renglón a otro, e incluso introducir en forma directa un valor para x.
Figura 62
Figura 63
Editor de datos y su gráfica
El texto incluye actividades, principalmente en los bloques 8 y 9, que requieren el conocimiento de esta herramienta del SAC, ya que solicitan la construcción de puntos
en el plano.
El SAC permite la introducción de datos en el Editor de datos, el cual es una versión de hoja de cálculo. Para ingresar a este editor es necesario activar las aplicaciones
y seleccionar la que corresponda al caso.
Figura 64
65
66
Desarrollo del pensamiento algebraico
Una vez seleccionada la aplicación Editor de datos, aparecen las opciones de crear una
nueva hoja de datos, abrir una existente, o utilizar la última que se haya editado. Al elegir
3: New… debe introducirse un nombre para identificarla.
Figura 66
Figura 65
Después de crear la hoja de datos debe introducirse la información que corresponda
a cada celda. Por ejemplo, en las siguientes imágenes se muestra el editor vacío y a su
derecha con diez datos introducidos, cinco en la columna uno (c1) y otros tantos para
la columna dos (c2).
Figura 67
Figura 68
En la parte superior de la hoja de datos hay una serie de herramientas como las asociadas a la tecla F6 que permiten manipular las celdas, columnas y renglones de la tabla.
Figura 69
En el caso de la herramienta Plot Setup, asociada con la tecla F2, se permite configurar
el SAC para desplegar gráficamente los datos introducidos. Primero debe seleccionarse un Plot (hay nueve), y enseguida la opción Define (F1).
Manual Básico para el uso de un sistema algebraico computarizado (SAC)
Figura 70
En la ventana Define, debe seleccionarse el tipo de gráfica, en este caso 1: Scatter (nube
de puntos); la marca para representar los puntos (se eligió 4: Square), e indicar a qué
columna de la hoja de datos corresponden los valores de x (c1) y a cuál los de y (c2).
Figura 71
Figura 72
Figura 73
Una vez aceptada la configuración, los ajustes pueden observarse en Plot 1.
Figura 74
Para desplegar los puntos es necesario activar el ambiente gráfico y, si se requiere, utilizar la opción 9: ZoomData de la herramienta Zoom, la cual ajusta el rango y la escala
de los ejes para que sean visibles todos los puntos en la pantalla completa.
67
68
Desarrollo del pensamiento algebraico
Figura 75
Figura 76
Figura 77
En un SAC se dispone de un amplio repertorio de herramientas. Las que se presentaron en esta sección representan las mínimas necesarias para abordar las hojas de
trabajo del texto, de modo que es necesario que el lector continúe explorando el SAC
que esté utilizando para fortalecer sus destrezas en el uso de este recurso.
Bloque Uso del código algebraico para
expresar las reglas que gobiernan
los patrones numéricos
E
ste bloque de actividades tiene dos propósitos: (1) presentarte
una propuesta alternativa para el estudio del álgebra, con el
fin de refrescar los conocimientos matemáticos adquiridos durante el bachillerato, y (2) someter a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las ventajas de un procesador algebraico
que facilite el aprendizaje del álgebra como un lenguaje para
expresar y justificar generalizaciones sobre el comportamiento
de patrones numéricos.
Las actividades de este bloque y todos los que conforman
el libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico
desarrollado por el psicólogo Jerome Bruner, el cual consiste en
el establecimiento de un formato de comunicación entre el que
enseña y el que va a aprender. Este formato, aparentemente
rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación (en nuestro
caso, del código algebraico). La presentación de las actividades
parece repetitiva, pero no lo es, ya que siempre hay algún nuevo elemento matemático en cada hoja de trabajo, ya sea del
tipo de valores numéricos que se emplean, o de algún nuevo
elemento en la estructura algebraica. Por ejemplo, se transita de
las funciones de la forma f(x) = x + a, f(x) = ax y f(x) = ax + b,
a las inversas de esas funciones, o bien, del ámbito de las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita; inclusive, del ámbito de la producción de expresiones algebraicas
para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un
patrón numérico, al de la lectura de esas expresiones.
Te invitamos a que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo de aprendizaje matemático que pueden desarrollar
los alumnos de educación básica. Nuestra mayor expectativa
es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas
un bloque de actividades, con lo que desarrollarás competencias que en un futuro cercano pondrás en práctica como
docente de educación básica.
69
70
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 1
Patrones numéricos: Valores de entrada y salida
Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce la
siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1
5
2
6
3
7
4
8
5
9
Si el valor de entrada es 1, el programa da por resultado 5; si introduce 2, da por resultado 6, y así sucesivamente
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si escribes 6 como valor de entrada?
¿Si escribes 10 ?
¿Y si el valor de entrada fuera 0?
Explica qué operación hiciste para obtener esos resultados.
2. Construye en tu calculadora una expresión algebraica que produzca los mismos resultados.
Escribe tu expresión en el siguiente recuadro.
3. Usa tu programa para encontrar los números que faltan en la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
17
35.02
89.73
107.06
299.1
307.09
511
4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03.
5. Comprueba que el valor que obtuviste para 511 es el correcto y explica tu procedimiento.
613.03
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
71
Hoja de trabajo 2
Valores proporcionales (1)
Un estudiante escribió en su calculadora una expresión algebraica que produce
la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
7
14
8
16
9
18
15
30
18
32
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5?
¿Si es 25?
¿Y si fuera 17?
Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados.
2. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el siguiente
recuadro.
3. Utiliza tu programa para encontrar los valores que faltan en la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
25
37.03
59.83
117.18
136.1
200.79
551
653.38
4. Indica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada 551 y 653.38.
5. Comprueba que el valor de entrada para 653.38 es correcto y explica cómo lo obtuviste.
72
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 3
Valores proporcionales (2)
1. Completa la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
2.5
7.5
3.1
9.3
4
12
5.3
30
6.2
47.4
73
2. Indica qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan.
3. Programa tu calculadora para encontrar los valores de salida y escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Comprueba que tu programa obtenga los mismos valores de la tabla.
5. Completa la siguiente tabla usando tu programa.
Valor
de entrada
9
17
18.04
47.01
50.4
63.9
Valor
de salida
89.1
92.4
6. Explica qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada asociados a
89.1 y 92.4.
7. Comprueba que el valor de entrada para 92.4 es correcto y explica cómo lo obtuviste.
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
73
Hoja de trabajo 4
Reglas de dos pasos (1)
Un estudiante creó un programa que produjo la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1.1
3.2
2.6
6.2
3
7
4.3
9.6
5
11
1. ¿Qué valor de salida dará la calculadora si el valor de entrada es 50?
¿Si es 81?
¿Y si fuera 274?
2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos resultados.
3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla, luego escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
12
16
Valor
de salida
19.05
48.02
51.45
62.7
88.2
95.4
5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de
salida correcto ¿Estás de acuerdo?
Explica tu razonamiento.
6. Explica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que
obtuviste para 95.4 es el correcto.
74
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 5
Reglas de dos pasos (2)
Un estudiante construyó un programa que presenta los valores de la siguiente
tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1
1
2
3
3
5
4
7
5
9
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6?
¿Si es 7?
¿Si es 15?
2. Indica qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores.
3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que el estudiante. Escribe tu programa en el
siguiente recuadro.
4. Escribe detalladamente cómo compruebas que tu programa produce los mismos valores de salida que se
muestran en la tabla.
5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
10
11
15
27
25
259.14
137
6. Comprueba que el valor de entrada para 137 es correcto y explica cómo lo obtuviste.
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
75
Hoja de trabajo 6
Patrones con valores negativos (1)
1. Completa la siguiente tabla.
Valor
de entrada
–10
–9.7
–7.8
–6.2
Valor
de salida
–9.5
–9.2
–7.3
–5.7
–5.3
– 4.6
– 0.7
0
1.3
12.4
2. Programa tu calculadora para que complete la tabla, luego escribe el programa en el siguiente recuadro.
3. Completa la siguiente tabla usando tu programa.
Valor
de entrada
–20
–14.7
Valor
de salida
–13.8
–12.3
–9.6
–10.3
2.5
0
4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para –10.3 y 0 son correctos.
¿Obtuviste los mismos resultados?
Si no, modifica tu programa e intenta de nuevo.
76
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 7
Patrones con valores negativos (2)
1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
–15
–16.5
–14.5
–16
–12.4
–13.9
–10.2
–11.7
–5.8
–4.6
–0.9
0
2. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla. Ofrece un
ejemplo usando uno de los valores de entrada.
3. Programa tu calculadora para reproducir los valores de la tabla.
4. Escribe tu programa en el siguiente recuadro. Asegúrate de que permita encontrar los mismos valores que
se muestran en la tabla.
5. Completa la siguiente tabla usando tu programa.
Valor
de entrada
Valor
de salida
–20
–13.8
–17.3
–10.83
–11.9
–.05
–9.72
10
6. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuviste para –9.72 es
correcto.
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
77
Hoja de trabajo 8
Constante de proporcionalidad fraccionaria (1)
Un grupo de estudiantes construyó la siguiente tabla usando un programa.
Valor de entrada
Valor de salida
10.5
5.25
14.42
7.21
15.3
7.65
16.7
8.35
20.1
10.05
1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6?
¿Si es 56?
¿Si es 19.3?
¿Y si fuera 177?
2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan.
3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla y escribe tu programa en el siguiente
recuadro.
4. Comprueba que tu programa obtiene los mismos valores de la tabla y explica cómo lo hiciste.
78
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 9
Constante de proporcionalidad fraccionaria (2)
Un estudiante produjo la siguiente tabla usando un programa en su calculadora.
Valor de entrada
Valor de salida
6
9
8
12
14
21
15
22.5
18
27
1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 10?
¿Si es 13.4?
¿Y si fuera 15.6?
2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que todos tus compañeros lo entiendan.
3. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos valores de la tabla y escribe en el siguiente
recuadro el programa correspondiente.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
20
35
33
44
57
72
75
123
5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto.
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
79
Hoja de trabajo 10
Constante de proporcionalidad fraccionaria (3)
1. Encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y escríbelos en los espacios
correspondientes.
Valor de entrada
Valor de salida
4
4.04
6
6.06
9
9.09
10
10.1
12
12.12
15.5
17.8
19.2
20.4
50.2
2. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que todos tus compañeros lo entiendan.
3. Programa tu calculadora para obtener los valores de la tabla y escribe tu programa en el siguiente recuadro.
Comprueba que tu programa produce los mismos números de la tabla. De lo contrario, modifícalo e intenta de nuevo.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
1
3.1
2.222
9
4.343
32
12.12
5. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto.
38.784
80
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 11
Lectura de expresiones algebraicas (1)
1. Sin usar la calculadora, encuentra los valores que faltan en la siguiente tabla y
escríbelos en la columna correspondiente.
Valor de entrada
Valor de salida
3
9
11.5
12
15
18
Un estudiante dice que va a usar el programa 2 + 2 × b para completar la tabla anterior.
2. Introduce el programa 2 + 2 × b en tu calculadora y comprueba que coincidan tus respuestas. De lo contrario,
corrígelas y explica a qué se debió el error.
3. Con el programa 3 + 5 × a completa, sin usar la calculadora, la siguiente tabla.
Valor
de entrada
2
4
5
8
Valor
de salida
12
53
20
78
4. Introduce el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas.
¿Coincidieron con los resultados de la calculadora?
Si no fue así, ¿a qué crees que se deba?
5. Escribe en tu calculadora el programa (3 + 5) × a y completa la siguiente tabla.
Valor
de entrada
2
Valor
de salida
4
5
8
12
53
20
78
6. Compara tus resultados con los de la tabla anterior. ¿A qué crees que se deban las diferencias?
Explícalo con un ejemplo.
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
81
Hoja de trabajo 12
Lectura de expresiones algebraicas (2)
La siguiente tabla se produjo con un programa de la calculadora.
Valor de entrada
Valor de salida
7
23
9
29
10
32
12
38
16
50
1. Un estudiante dice que el programa 2 + 3 × b le permite producir los valores de la tabla anterior. ¿Estás
de acuerdo?
Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta.
2. Otra estudiante dice que el programa 2 + b + b × 2 también produce los valores de la tabla.
¿Estás de acuerdo?
Escribe un ejemplo que justifique tu respuesta.
3. Una tercera estudiante dice que el programa 5 × a + 2 - 2 × a también produce los valores de la tabla.
¿Estás de acuerdo?
Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
4. Escribe otros programas que permitan obtener los valores de la tabla. Anota todos los que encuentres.
82
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 13
Reglas de dos pasos (3)
Una estudiante hizo un programa que produce la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
7
20
7.5
21.5
8.2
23.6
9
26
9.6
27.8
1. Si el valor de entrada es 10, ¿cuál será el de salida?
Si el valor de entrada es 12, ¿cuál será el de salida?
2. La calculadora dio 17.5 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada?
Explica detalladamente qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5.
3. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla anterior. Escribe el programa en el siguiente
recuadro.
4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
3
5.1
17
9.4
15.2
22
32.6
80
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
83
Hoja de trabajo 14
Constante de proporcionalidad fraccionaria (4)
Una estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes
valores.
Valor de entrada
Valor de salida
10
2.5
15
3.75
20
5
25
6.25
30
7.5
1. Si el valor de entrada es 56, ¿cuál será el de salida?
2. Si la calculadora da 87 como valor de salida, ¿cuál será el de entrada?
3. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87.
4. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
5. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
3
5.1
1
9.4
1.65
22
2.7
8.75
84
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 15
Constante de proporcionalidad fraccionaria (5)
Un estudiante hizo en su calculadora un programa que produce los siguientes
valores.
Valor de entrada
Valor de salida
2
5
3
7.5
4
10
5
12.5
1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida?
2. ¿Y si el valor de entrada fuera 7, cuál valor nos daría?
¿Y si fuera 55?
3. La calculadora dio 35 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada?
4. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35.
5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
3
5.1
8.5
9.4
15.5
12.2
23.5
35
Bloque 1ऊ‡ऊ8VRGHOFyGLJRDOJHEUDLFRSDUDH[SUHVDUODVUHJODVTXHJRELHUQDQORVSDWURQHVQXPpULFRV
85
Hoja de trabajo 16
Constante de proporcionalidad fraccionaria (6)
Esta tabla resultó de utilizar un programa que se hizo en una calculadora.
Valor de entrada
Valor de salida
0.15
0.015
0.27
0.027
0.3
0.03
1.5
0.15
2.03
0.203
1. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor dará de salida?
2. Si la calculadora da 37 como valor de salida, ¿cuál debe ser el valor de entrada?
3. Explica qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37.
4. Comprueba que el valor asociado a 37 es el correcto y explícalo detalladamente.
5. Programa tu calculadora de manera que reproduzca la tabla. Escribe el programa en el siguiente recuadro.
6. Usa tu programa para completar la siguiente tabla.
Valor
de entrada
Valor
de salida
3
5.1
0.4
9.4
0.63
12.2
1.18
35
86
Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, explica el papel que desempeñan
las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro tipo de recurso? Analiza
ampliamente tu respuesta con tus compañeros.
2. Del mismo modo, explica el rol de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse con otro recurso? Analiza ampliamente tu respuesta con tus compañeros.
3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de
las funciones lineales al de la ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros.
4. También se afirma que “se transita de las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) = ax + b, a
las inversas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para
esa afirmación. Analiza tu respuesta con tus compañeros.
5. Hay otra aseveración, según la cual “se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas
para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al de la lectura de esas
expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esta afirmación.
Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
6. En la presentación de este bloque se mencionan las funciones de la forma f (x) = x + a, f (x) = ax y f (x) =
ax + b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet las definiciones de los siguientes conceptos:
2)
3)
4)
5)
Dominio de una función.
Contradominio de una función.
Imagen de una función.
Regla de correspondencia de una función.
Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que hayas realizado en este bloque.
Bloque Jerarquía de las operaciones
aritméticas y transformación
algebraica
L
os propósitos centrales de las actividades de este bloque
son:
(1) Abordar el concepto de jerarquía de las operaciones
aritméticas como un recurso para construir y leer nuevas expresiones algebraicas que den lugar a otros patrones numéricos.
(2) Utilizar los paréntesis como un recurso para modificar
la jerarquía de las operaciones aritméticas.
(3) Iniciar el estudio de la transformación y equivalencia de
expresiones algebraicas.
(4) Dotar de significado a las letras que se usan en las expresiones algebraicas al relacionarlas con los valores
numéricos que los alumnos estudian en su paso por la
educación básica.
Las actividades de este bloque se sustentan en los conceptos que se abordaron en el bloque 1, de manera especial en los
que se refieren a la construcción de un programa en la calculadora, la producción y lectura de expresiones algebraicas, y
las nociones empíricas del concepto de valor numérico de un
polinomio, los cuales se desarrollan al relacionar los valores de
entrada con los valores de salida de una tabla.
En este bloque se aprovecha la experiencia adquirida en
la construcción y lectura de programas en la calculadora, para
entrar de manera empírica al estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas, el uso de los paréntesis en operaciones
aritméticas y en expresiones algebraicas, y la transformación de
expresiones algebraicas.
La jerarquía de las operaciones aritméticas es un antecedente relevante para abordar el estudio del álgebra. Su conocimiento y correcta aplicación permiten entender la estructura de
una expresión algebraica, los términos que la constituyen, y con
cuáles de ellos podemos realizar transformaciones algebraicas.
Las actividades de este bloque te introducirán a ese tipo de tareas, y a lo largo de los bloques irás afinando tus conocimientos.
87
88
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 17
Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (1)
1. Un estudiante dice que el programa b × 4 + 1 produce los mismos valores de salida que el programa b × 5.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta con un ejemplo.
2. Una estudiante construyó el programa m + 2 × 3 y dice que si el valor de
entrada es 4, el valor de salida será 18.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta con un ejemplo.
3. Otro estudiante dice que si m = 5, el programa m + 2 × 3 le dará 21 como valor de salida. ¿Estás de
acuerdo?
Justifica tu respuesta con un ejemplo.
4. Completa la siguiente tabla sin utilizar un programa en la calculadora.
El programa es el siguiente: c + 5 × 2
Valor
de entrada
2
5
Valor
de salida
8
65
9
12
115
5. Ahora introduce ese programa en tu calculadora y úsalo para completar la tabla anterior.
¿Obtuviste los mismos resultados?
Si no coinciden, explica detalladamente a qué se debió.
150
89
Bloque 2ऊ‡ऊ-HUDUTXtDGHODVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDV\WUDQVIRUPDFLyQDOJHEUDLFD
Hoja de trabajo 18
Expresiones algebraicas y jerarquía de las operaciones (2)
1. Escribe en tu calculadora el programa n + 2 × 3, y úsalo para completar la siguiente
tabla.
Valor
de entrada
1
3
5
6
8
9
10
12
Valor
de salida
2. Una vez completada la tabla observa los resultados y explica qué hace aritméticamente ese programa con
cada valor de entrada.
3. Escribe ese programa en una forma más breve.
4. Un estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero suma 2 y luego
multiplica el resultado por 3”. ¿Estás de acuerdo?
¿Por qué?
Si tu respuesta es negativa, ejecuta nuevamente el programa y analiza tus resultados.
5. Introduce en tu calculadora el programa (r - 1) × 3 y completa la siguiente tabla.
Valor
de entrada
2
4
5
7
8
10
Valor
de salida
6. Observa los resultados que obtuviste y explica qué hace ese programa.
7. Una estudiante dice que ese programa hace lo siguiente con el valor de entrada: “primero resta 1 y luego
multiplica el resultado por 3”. ¿Estás de acuerdo?
Explica tu respuesta.
90
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 19
Uso de paréntesis (1)
Un estudiante escribió en su computadora los programas a + 1 × 5 y (a + 1) × 5
1. ¿Producen los mismos valores de salida?
Justifica tu respuesta.
2. Un estudiante quería escribir el programa a × 7, pero sin darse cuenta introdujo a × 11. Sin borrar a × 11,
¿qué escribirías antes o después de a × 11, para que diera los mismos valores de salida que a × 7?
Justifica tu respuesta.
3. Otra estudiante quería introducir el programa a × 5, pero sin darse cuenta escribió a × 11. Sin borrar a
× 5, ¿qué teclearías antes o después de la expresión a × 11 para que dé los mismos valores de salida que
a × 5?
Justifica tu respuesta.
4. Un estudiante quería introducir el programa k × 10, pero sin darse cuenta escribió k × 9. Sin borrar k × 9,
¿qué escribirías, antes o después de k × 9, de manera que se obtengan los mismos valores de salida que
k × 10?
91
Bloque 2ऊ‡ऊ-HUDUTXtDGHODVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDV\WUDQVIRUPDFLyQDOJHEUDLFD
Hoja de trabajo 20
Transformación algebraica (1)
1. Escribe en tu calculadora el programa b × 5 + b × 6 y úsalo para completar la
siguiente tabla.
Valor
de entrada
1
3
Valor
de salida
4
37.4
6
50.6
71.5
88
2. Describe qué operaciones aritméticas hace ese programa con cada número de entrada.
3. Expresa más brevemente este programa, pero de modo que siga produciendo los mismos valores de salida.
4. ¿Cómo puedes comprobar que tu programa y el programa b × 5 + b × 6 son equivalentes? Explícalo de
manera que no se te pueda objetar.
5. Observa el programa d × 8 + d × 5. ¿Puedes expresarlo de manera más breve de modo que siga dando
los mismos resultados?
¿Obtuviste alguna expresión más breve?
Escríbela a continuación.
6. Un estudiante dice que el programa 4 × n - 2 × n + 5 × n da los mismos valores de salida que el programa 7 × n. ¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
7. Un estudiante dice que los programas 9 × n - 4 × n - 2 × n y 3 × n dan los mismos valores de salida.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
92
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 21
Uso de paréntesis (2)
Un estudiante creó un programa que hace lo siguiente:
Primero resta 2 y luego multiplica por 3.
Con ese programa produjo la siguiente tabla.
Valor
de entrada
2
4
7
9.2
11
15.5
18.4
19.1
Valor
de salida
0
6
10
21.6
27
40.5
49.2
51.3
1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados. Comprueba que funciona correctamente y escríbelo en el siguiente cuadro.
2. Un estudiante dice que el programa p + 5 × 4 primero suma 5 y luego multiplica por 4.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
3. ¿Los programas (r + 2) × 3 y 3 × r + 6 dan los mismos valores de salida?
Justifica tu respuesta con argumentos inobjetables.
4. La siguiente tabla se construyó con un programa en el que se usaron paréntesis.
Valor
de entrada
1
3
4
6
7
9
10
11
Valor
de salida
4
8
10
14
16
20
22
24
Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el cuadro que sigue.
Bloque 2ऊ‡ऊ-HUDUTXtDGHODVRSHUDFLRQHVDULWPpWLFDV\WUDQVIRUPDFLyQDOJHEUDLFD
93
Hoja de trabajo 22
Paréntesis y jerarquía de las operaciones
1. Un estudiante dice que los programas (a × 2) + 2 y a × 2 + 2 producen valores
de salida distintos para los mismos valores de entrada.
¿Estás de acuerdo?
.
Justifica tu respuesta.
2. Los programas (b + 2) × 2 y b + 2 × 2 producen los mismos valores de salida.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
3. Explica para qué sirven los paréntesis en un programa. Hazlo de manera que tus compañeros entiendan
fácilmente tu explicación e ilústrala con algunos ejemplos.
4. Subraya las expresiones en las que si quitas los paréntesis sigues obteniendo los mismos valores de salida.
Utiliza tu calculadora para verificar que no haya ningún error.
a) (3 × b) + 5
b) 3 × (a + 5)
c) (d + d ) × 3
d ) (c + 4) + c
e) (k - 2) ÷ 3
f ) z - (2 ÷ 3)
g) (2 + p) - 1
h) (y + 4) ÷ 5
5. Escribe los paréntesis que hagan falta de manera que los resultados sean correctos. Usa tu calculadora
para verificar que no haya ningún error.
a) 5 + 3 × 4 = 32
b) 6 × 7 + 2 - 1 = 48
c) 6 × 7 + 2 - 1 = 53
d) 4 + 8 ÷ 4 = 3
e) 3 × 6 + 4 = 18 + 12
f ) 5 × 3 + 4 = 15 + 20
g) 7 - 4 - 2 = 5
h) 6 + 8 - 7 - 5 = 10
94
Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. En la presentación de este bloque se menciona el estudio de la jerarquía de las operaciones aritméticas.
Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho tema.
2. De igual modo se hace referencia al uso de los paréntesis como un recurso para modificar la jerarquía
de las operaciones aritméticas. Construye cinco ejemplos para mostrar cómo empleas los paréntesis para
modificar la jerarquía de las operaciones.
3. Propón cinco ejemplos donde muestres que se pueden ignorar los paréntesis sin afectar el resultado de
las operaciones.
4. Presenta cinco ejemplos donde muestres que si se ignoran los paréntesis se afecta el resultado de las
operaciones.
5. Con tus propias palabras, explica la función de los paréntesis en la producción de expresiones aritméticas
y algebraicas.
6. Indaga en fuentes bibliográficas o en Internet en qué consiste la simplificación de términos semejantes
de una expresión algebraica. Indica en qué actividades de este bloque se aborda dicho concepto.
7. También se habla de transformación de expresiones algebraicas. ¿Hay alguna relación entre dicha transformación y la simplificación de términos semejantes en una expresión algebraica? Analiza tu respuesta
con tus compañeros y tu profesor.
8. En la presentación de este bloque se habla de la equivalencia de expresiones algebraicas. Indica en qué
actividades de este bloque se aborda tal concepto.
9. ¿Qué significado has asignado a las letras que empleas en la construcción de un programa para la calculadora? Explica o ejemplifica tu respuesta lo más ampliamente posible.
10. Con base en tu experiencia con las actividades de este bloque, analiza con tus compañeros y tu profesor
los aprendizajes que pueden construir los alumnos de educación básica al realizar estas actividades, y
redacta un resumen de lo que consideres más relevante.
11. Asimismo, analiza con tus compañeros y tu profesor las dificultades que pueden tener los alumnos de
educación básica con las actividades, y las estrategias que pueden ayudarles a prevenirlas o superarlas.
Elabora un documento en el que expreses lo que a tu parecer sea más importante.
Bloque Expresiones algebraicas
equivalentes
E
l principal propósito de este bloque es retomar los conocimientos adquiridos durante el bachillerato sobre la equivalencia de
expresiones algebraicas, y agregar a tu formación como docente
la oportunidad de analizar una propuesta didáctica en la que se
introduce la equivalencia de expresiones algebraicas en el contexto de la equivalencia de funciones lineales.
Al abordar el concepto de la equivalencia de expresiones
algebraicas en el contexto de las funciones con el apoyo de un
procesador algebraico como el de la calculadora, el estudio de
ese concepto algebraico se traslada al ámbito de los números.
Esto representa una ventaja didáctica porque favorece que los
alumnos de educación básica realicen un “tránsito suave” de la
aritmética al álgebra al manejar ésta en un ámbito más familiar.
La propuesta de este bloque se apoya en las habilidades
desarrolladas en los bloques anteriores para reconocer patrones
numéricos y enunciar mediante una expresión algebraica la regla que los genera.
En este bloque se presenta la vertiente sintáctica del código
algebraico; en particular, se aborda lo referente a las reglas para
transformar expresiones algebraicas. En las actividades las reglas
de transformación se reducen a una sola, la cual consiste en
considerar que dos expresiones algebraicas son equivalentes si
tienen el mismo valor numérico para el mismo valor de la variable involucrada.
La vertiente sintáctica es un complemento indispensable (reglas de transformación) para los aspectos semánticos del álgebra
(significados para las expresiones algebraicas). La vertiente semántica nos permite expresar relaciones y generalizaciones mediante
el código algebraico, y la vertiente sintáctica nos permite operar
con los elementos de ese código (expresiones algebraicas). La investigación reporta que es indispensable que los alumnos dominen ambas vertientes a fin de que sean competentes en el uso
del álgebra como herramienta de planteamiento y resolución de
problemas, la cual se encuentra en el último bloque de este libro.
Te invitamos a realizar las actividades de este bloque teniendo presente el tipo de aprendizaje que los alumnos de educación básica pueden construir, las dificultades que pudieran
encontrar y las estrategias que podrías crear para prevenirlas y,
en su caso, ayudarles a que las superen.
95
96
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 23
Expresiones algebraicas equivalentes (1)
Un estudiante construyó un programa que produce la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1
4
1.5
6
3
12
5
20
1. Si el valor de entrada es 8, ¿cuál será el de salida ?
¿Si es 10?
¿Y si es 70?
2. Escribe las operaciones que hiciste para dar tus respuestas.
3. Programa tu calculadora de manera que produzca la misma tabla. Escribe tu programa en el recuadro.
4. Construye otro programa que produzca la misma tabla y escríbelo en el siguiente recuadro.
5. Construye otros tres programas que den el mismo resultado y escríbelos en los siguientes recuadros.
Bloque 3ऊ‡ऊ([SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVHTXLYDOHQWHV
97
Hoja de trabajo 24
Expresiones algebraicas equivalentes (2)
Un estudiante construyó un programa que produce siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
2
3
4
6
8
12
10
15
1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5?
¿Si es 6?
¿Y si es 15?
2. Explica qué operaciones hiciste para obtener tus respuestas.
3. Construye un programa de modo que produzca la misma tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en
el siguiente recuadro.
4. Una estudiante dice que el programa b + b ÷ 2 también produce la tabla del inicio.
¿Estás de acuerdo?
Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
5. Escribe otro programa como el anterior, que además produzca los valores que se muestran en la tabla.
Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.
6. Construye otros tres programas que produzcan los mismos valores de la tabla. Pruébalos en tu calculadora
y escríbelos en los siguientes recuadros.
98
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 25
Expresiones algebraicas equivalentes (3)
Observa la tabla que se muestra enseguida.
Valor de entrada
Valor de salida
1
0.25
2
0.5
3
0.75
4
1
6
1.5
1. Programa tu calculadora de manera que produzca los mismos resultados de la tabla. Después de probar
tu programa, escríbelo en el recuadro.
2. Un estudiante dice que el programa (b + b) ÷ 8 también produce los valores de la tabla anterior.
¿Estás de acuerdo?
Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
3. Construye otro programa que produzca los mismos valores de la tabla. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.
4. Construye otros tres programas que produzcan los valores de la tabla. Pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.
Bloque 3ऊ‡ऊ([SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVHTXLYDOHQWHV
99
Hoja de trabajo 26
Expresiones algebraicas equivalentes (4)
Observa con atención los valores de entrada y de salida que se
muestran en la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
-1
-0.5
3
1.5
7.4
3.7
17
8.5
21
10.5
1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5?
¿Y si es 6?
¿Cuál será el valor de entrada si el de salida es 20?
2. Programa tu calculadora de modo que produzca los mismos valores de la tabla anterior. Pruébalo en tu
calculadora y escríbelo en el recuadro.
3. Escribe otro programa que produzca los mismos valores. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el
siguiente recuadro.
4. Una estudiante dice que el programa (r + r) ÷ 4 también produce los valores de la tabla.
¿Estás de acuerdo?
.
5. Construye otros tres programas que produzcan los mismos valores. Pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.
100
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 27
Expresiones algebraicas equivalentes (5)
Valor de entrada
Valor de salida
1. Construye en tu calculadora un programa, que produzca los valores que faltan en la tabla de la derecha.
4
6
6
9
2. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 12?
10
15
12
¿Si es 20?
¿Y cuál será el valor de entrada si el de salida es 60?
3. Un estudiante dice que el programa p × 3 ÷ 2 pro-
16
24
18
22
duce los valores que se muestran en la tabla anterior.
33
45
¿Estás de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
4. Una alumna dice que el programa q + q ÷ 2 también produce los valores de la tabla.
¿Estás de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
5. Construye otro programa que produzca los valores de la tabla. Verifícalo en tu calculadora y escríbelo en
el siguiente recuadro.
6. Construye otros tres programas que produzcan los valores de la tabla; pruébalos en tu calculadora y escríbelos en los siguientes recuadros.
Bloque 3ऊ‡ऊ([SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVHTXLYDOHQWHV
101
Hoja de trabajo 28
Expresiones algebraicas equivalentes de dos pasos
Una estudiante construyó un programa que produce los valores
que aparecen en la suguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1
6
3
10
5
14
9
22
10
28
34
1. Construye en tu calculadora un programa que complete la tabla y anota los valores en los lugares correspondientes.
2. Ahora escríbelo en el siguiente recuadro.
3. Construye en tu calculadora otro programa que dé el mismo resultado. Verifícalo y escríbelo en el siguiente recuadro.
4. Construye en tu calculadora tres programas que produzcan los mismos valores de salida que el programa
3 × a ÷ 2. Verifícalos y luego escríbelos en los siguientes recuadros.
102
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 29
Programas equivalentes
Llamamos programas equivalentes a aquellos que producen los mismos valores de salida para los valores
de entrada.
1. Construye dos programas equivalentes al programa a × 1.
2. Un estudiante dice que el programa a × 1 es equivalente al programa a. ¿Estás de acuerdo?
Introduce en tu calculadora los programas a y a × 1 y compara los valores que arrojan ambos programas.
Escribe tus conclusiones en las siguientes líneas.
3. Construye en tu calculadora tres programas equivalentes al programa 3 × b. Verifícalos y escríbelos en los
siguientes recuadros.
4. En la siguiente lista de programas, identifica los que sean equivalentes al programa b. Utiliza tu calculadora
para comprobar tus respuestas. No debes tener ningún error.
a ÷2 +a ÷2
4 ×b -4 ×b
5 ×c -4 ×c
b ÷b
1 ×d ×1
5. Identifica los programas que sean equivalentes al programa 1.5 × a. Utiliza tu calculadora para comprobar
tus respuestas. No debes tener ningún error.
3 ×a ÷2
b ×3 ÷2
6 ×c ÷4
2 ×b -b ÷2
d + 0.5 × d
Bloque 3ऊ‡ऊ([SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVHTXLYDOHQWHV
Hoja de trabajo 30
Programas equivalentes (2)
1. Construye dos programas que produzcan los mismos valores de la
siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1
1.25
3
3.75
4
5
8
10
10
12.5
16
20
2. Escribe los programas en los recuadros.
3. Construye seis programas que produzcan los resultados de la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1.2
1
4
1
5
1
12.33
1
28.9
1
4. Anota esos programas en los siguientes recuadros.
103
104
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 31
Lectura de expresiones algebraicas equivalentes
Analiza el programa 2 + 3.5 × n.
1. ¿Cuál será el valor de salida si el de entrada es 5?
¿Si es 10?
¿Y si es 44?
2. Construye otro programa que produzca los mismos valores
que 2 + 3.5 × n. Verifica tu programa y luego anótalo en el
recuadro.
3. Construye en tu calculadora tres programas que den los mismos resultados que 2 + 3.5 × n. Verifica que
tus programas funcionen perfectamente y anótalos en los siguientes recuadros.
4. Construye en tu calculadora tres programas de manera que produzcan los mismos valores que el programa 1.02 × Z. Verifícalos y anótalos en los siguientes recuadros.
Bloque 3ऊ‡ऊ([SUHVLRQHVDOJHEUDLFDVHTXLYDOHQWHV
105
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. ¿Por qué se hace tanto énfasis en que los alumnos de la escuela primaria estudien las operaciones aritméticas en el contexto de la resolución de problemas en situaciones que les sean familiares? Analiza tu
respuesta con tus compañeros y tu profesor.
2. Debate con tus compañeros el rol del valor numérico de una expresión algebraica en la comprensión
del concepto de equivalencia entre expresiones algebraicas. ¿Qué relación hay entre esto y el rol del
entorno cotidiano en los problemas aritméticos que se le proponen a un alumno de primaria?
3. Con base en tu experiencia al realizar las actividades de este bloque, ¿qué significa para ti la letra que se
usa en una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos.
4. ¿Qué significado le encuentras a una expresión algebraica? Acompaña tu respuesta con algunos ejemplos.
5. De acuerdo con tu experiencia, ¿para qué crees que sirvan las expresiones algebraicas? Acompaña tu
respuesta con algunos ejemplos.
6. Analiza si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: “Para que dos expresiones algebraicas sean equivalentes es necesario que contengan la misma literal”. Ilustra tu respuesta con varios ejemplos.
7. Consulta en distintas fuentes el significado de los siguientes términos:
i) Polinomio en una variable.
ii) Valor numérico de un polinomio.
8. Redacta un párrafo en el que expliques qué relación hay entre las actividades que realizaste en este bloque y los términos que se mencionan en el punto 7.
9. Indaga en las fuentes que consideres necesarias qué se entiende por “Simplificación de términos semejantes en una expresión algebraica”. Redacta en un párrafo qué relación hay entre esa simplificación y las
actividades que realizaste en este bloque.
Bloque Representación algebraica
de relaciones parte-todo
E
ste bloque de actividades se orienta al logro de dos grandes propósitos: (1) introducir la producción de expresiones
algebraicas para describir relaciones parte-todo, y (2) utilizar las
expresiones algebraicas como herramienta para plantear y resolver problemas.
La habilidad para representar algebraicamente relaciones
parte-todo es de especial importancia en el planteamiento
y resolución de problemas matemáticos en muchos contextos;
por ejemplo, problemas que implican porcentajes y problemas
geométricos. En este bloque abordarás algunos problemas clásicos de carácter geométrico.
De igual manera que en los bloques de actividades anteriores, es de relevancia el apoyo que brinda un procesador
algebraico como el de la calculadora. En estas actividades se
aprovecha la estructura algebraica de las relaciones parte-todo
para introducir el uso de números negativos y ampliar los conocimientos adquiridos en el bloque anterior.
Te invitamos a abordar estas actividades teniendo en mente
el tipo de competencias matemáticas que pueden desarrollar
los alumnos de educación básica al resolverlas. Esta reflexión
enriquecerá tu formación como docente, y nuestra mayor expectativa es que dicha experiencia fortalezca tus competencias
matemáticas, lo cual será de gran utilidad en tu desempeño
profesional.
107
108
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 32
¿Cómo expreso la parte restante?
En una ferretería hay carretes de un tipo de cable que se vende por kilo
(kilogramo), y todos los carretes pesan lo mismo. Para saber cuánto cable
queda en cada uno, el administrador de la ferretería construyó un programa que realiza lo siguiente: al introducir la cantidad de cable vendido, el
valor de salida indica cuánto cable le queda a cada carrete.
Cable vendido
Cable que queda
1.7
8.3
2.4
7.6
3.1
6.9
4.06
5.94
5.2
4.8
1. De acuerdo con la información de este programa, ¿cuántos kilos de cable hay en cada carrete?
Justifica tu respuesta.
2. Construye en tu calculadora otro programa que produzca los mismos valores de salida. Verifícalo y escríbelo en el recuadro.
3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.
Cable
vendido
2.83
3.03
Cable
restante
3.5
4.8
5.01
6.2
7.04
7.32
4. Comprueba que los valores que encontraste para 5.01, 6.2, 7.04 y 7.32 sean correctos. Explícalo de manera
que todos tus compañeros lo entiendan.
Bloque 4ऊ‡ऊ5HSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDGHUHODFLRQHVSDUWHWRGR
109
Hoja de trabajo 33
El todo con respecto a sus partes (1)
Una estudiante construyó un programa que produce la siguiente tabla.
Valor de entrada
1.3
18.7
2.5
17.5
3.8
16.2
4.4
15.6
5.9
14.1
1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida?
¿Y si es 9?
Valor de salida
¿Si es 7?
Explica qué operaciones hiciste para obtener los valores de salida.
2. Programa tu calculadora de modo que obtengas el mismo resultado; verifica las respuestas y escribe tu
programa en el siguiente recuadro.
3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.
2.83
3.03
-3.5
-4.8
5.01
6.2
4. ¿Qué ocurre cuando el valor de entrada es un número negativo?
5. ¿A qué crees que se deba?
27.04
37.32
110
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 34
Aplicaciones de la relación parte-todo (1)
Hay varios trozos de cable, todos de 16 cm, que se requieren cortar en dos
partes. En la siguiente figura se muestran algunas posibilidades.
4 cm
3 cm
6 cm
12 cm
11 cm
5 cm
13 cm
9 cm
7 cm
10 cm
14 cm
2 cm
1. Construye un programa de manera que si introduces la medida de una de las partes dé como resultado
la medida de la otra.
Escríbelo en el siguiente recuadro.
2. Describe el razonamiento que seguiste para construir el programa. Hazlo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.
3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.
Valor
de entrada
Valor
de salida
1.7
3.8
12.8
6.8
14.9
7.9
15.6
17.4
4. Comprueba que los valores que encontraste para los números 12.8, 14.9, 15.6 y 17.4 son los correctos.
Bloque 4ऊ‡ऊ5HSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDGHUHODFLRQHVSDUWHWRGR
111
Hoja de trabajo 35
Aplicaciones de la relación parte-todo (2)
De una pieza cuadrada de cartón se hará una caja, recortando cuadrados en
cada esquina y doblándolos luego hacia arriba para darle volumen.
El tamaño de los cuadrados que se recorten determinará cuánto medirá la base y la altura de la caja, así
como el volumen. Las figuras 1 y 2 muestran dos maneras posibles de armar la caja.
Figura 1
Figura 2
1. ¿Cuánto mide por lado la pieza de cartón?
¿Cuál es su volumen?
¿Cuál es su área?
Explica las operaciones que hiciste para calcular el área y el volu-
men de la caja.
2. Completa la siguiente tabla usando los datos obtenidos.
Caja
Figura 1
Figura 2
Área de la base
Altura de la caja
Volumen de la caja
3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero únicamente puedes hacer un intento
porque sólo se tiene esta pieza de cartón. Programa tu calculadora para obtener el volumen de cualquier
caja que se pueda formar con esta pieza, dependiendo del corte de los cuadros en las esquinas. Escribe tu
programa en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para encontrar cuánto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtener
el máximo volumen. Anota en el siguiente recuadro las medidas que encontraste.
Lado de la base
Altura de la caja
Volumen máximo
112
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 36
Aplicaciones de la relación parte-todo (3)
De una pieza de cartón de forma rectangular, cuyo largo es de 38 cm y su
ancho de 20 cm, se hará una caja, recortando cuadrados en cada esquina y
doblándolos luego hacia arriba para darle volumen.
El tamaño de los cuadrados que se recorten determinará cuánto medirán el
largo y ancho de la base de la caja y también cuál será su altura. Las figuras 1 y
2 muestran dos maneras posibles de armar la caja
Figura 1
Figura 2
1. Explica qué operaciones requieres para calcular el área de la pieza.
2. Explica qué operaciones tendrías que hacer para calcular el volumen de la caja una vez armada.
Completa la siguiente tabla.
Caja
Largo=30; ancho=12
Largo=32; ancho=14
Área de la base
Altura de la caja
Volumen de la caja
3. Se requiere que la caja tenga el mayor volumen posible, pero únicamente se tiene esta pieza de cartón,
y sólo puedes hacer un intento para obtener la caja con el máximo volumen. Construye un programa para
obtener el volumen de cualquier caja que se pueda formar cortando cuadrados en las esquinas. Escribe tu
programa en el siguiente recuadro.
4. Usa tu programa para encontrar cuánto debe medir cada lado de la base y la altura de la caja para obtener
el máximo volumen. Anota en el siguiente cuadro las medidas que encontraste.
Lado de la base
Altura de la caja
Volumen máximo
Bloque 4ऊ‡ऊ5HSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDGHUHODFLRQHVSDUWHWRGR
113
Hoja de trabajo 37
El todo con respecto a sus partes (2)
Dos estudiantes construyeron un programa que produce los siguientes valores.
Valor de entrada
Valor de salida
1
0
2
-1
3
-2
4
-3
-4
-2
1. Si el valor de entrada es 6, ¿cuál será el de salida?
¿Y si es 7?
¿Qué valor de entrada produce 17 como valor de salida?
2. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados? Explícalo mediante un ejemplo.
3. Programa tu calculadora de modo que haga lo mismo que el programa de los otros estudiantes y luego
escríbelo en el siguiente recuadro.
4. Construye otro programa que produzca los mismos resultados. Pruébalo en tu calculadora y escríbelo en
el siguiente recuadro.
114
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 38
¡Ésta no es una relación parte-todo!
Un estudiante creó un programa que produce esta tabla de valores.
Valor de entrada
Valor de salida
1
4
2
9
3
14
4
19
5
24
1. Si el valor de entrada es 7, ¿cuál será el de salida?
¿Y si es 10?
¿Cuál es el valor de entrada si el valor de salida es 19?
2. Explica qué operaciones hiciste para obtener esos resultados.
3. Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifica tu respuesta y escribe tu programa en el recuadro.
4. Construye un programa equivalente al que hiciste para contestar la actividad anterior. Verifica tu programa y escríbelo en el recuadro.
Bloque 4ऊ‡ऊ5HSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDGHUHODFLRQHVSDUWHWRGR
115
Hoja de trabajo 39
¡Ésta tampoco es una relación parte-todo!
1. Un estudiante construyó un programa que produce esta tabla de valores.
Valor de entrada
Valor de salida
1
-1.5
2
-2.5
3
-2.5
4
-3.5
5
-5.5
2. Si el valor de entrada es 7, ¿cuál será el de salida?
¿Y si es 8?
¿Qué valor de entrada produce -7 como valor de salida?
3. ¿Qué operaciones hiciste para obtener esos resultados?
4. Crea un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Verifica tu programa y escríbelo
en el siguiente recuadro.
5. Construye dos programas equivalentes a tu programa. Verifica que funcionen correctamente y escríbelos
en los siguientes recuadros.
6. Un estudiante dice que el programa -1 - (X + X) ÷ 2 produce los mismos resultados de la tabla.
¿Estás de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
116
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 40
Patrones decrecientes (1)
Un estudiante construyó un programa que produce los valores de la
siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
1
4
2
2
3
0
4
-2
5
-4
1. Una estudiante dice que el programa 6 - 2 × a produce también esos resultados.
¿Estás de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
2. Construye dos programas equivalentes al programa 6 - 2 × a. Verifica que tus respuestas sean correctas
y anota tus programas en los siguientes recuadros.
3. Un estudiante dice que el programa 6 - a + a es equivalente al programa 6 - 2 × a.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
4. Si no estás de acuerdo, explica lo más claramente posible por qué 6 - a + a no es equivalente al programa 6 - 2 × a.
Bloque 4ऊ‡ऊ5HSUHVHQWDFLyQDOJHEUDLFDGHUHODFLRQHVSDUWHWRGR
117
Hoja de trabajo 41
Patrones decrecientes (2)
Un estudiante construyó un programa que produce los siguientes
valores.
Valor de entrada
Valor de salida
1
-1
2
-2
3
-3
4
-4
5
-5
1. Si el valor de entrada es 7.5, ¿cuál será el de salida?
¿Y si es 10.1?
¿Cuál es el valor de entrada si el de salida es 5.75?
2. Explica claramente lo que hiciste para obtener esos valores.
3. Crea en tu computadora un programa que produzca los mismos valores de salida de la tabla. Escríbelo en
el siguiente recuadro.
4. Una estudiante dice que el programa a - 2 × a produce también los resultados de la tabla. ¿Estás de
acuerdo?
Justifica tu respuesta con dos ejemplos.
5. Construye dos programas que sean equivalentes al programa a - 2 × a. Escríbelos a continuación.
118
Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Analiza con tus compañeros y tu profesor las actividades de este bloque donde se aborda la relación
parte-todo y concluyan en grupo en qué consiste esta relación.
2. Organiza equipos para redactar tres problemas que impliquen la relación parte-todo y que requieran
un planteamiento mediante una expresión matemática. Intercambien los problemas propuestos y resuélvanlos.
3. Utiliza Excel u otro programa en tu calculadora que te permita construir las gráficas de las funciones (expresiones algebraicas) que generaste para resolver los problemas de las hojas de trabajo 35 y 36. Verifica
qué tan cerca de los valores máximos de las gráficas están los valores que encontraste para el volumen
máximo usando tu programa en la calculadora.
4. Con base en tu experiencia al completar las hojas de trabajo 32-36, analiza con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas de este tipo de actividades en cuanto a favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación básica.
5. Del mismo modo respecto de las hojas de trabajo 32-36, comenta con tus compañeros y tu profesor
cuáles podrían ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia para ayudarles a superarlos.
6. Respecto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compañeros y tu profesor las ventajas didácticas
de estas actividades en cuanto a favorecer las competencias matemáticas de los alumnos de educación
básica.
7. Finalmente, en cuanto a las hojas de trabajo 37-41, comenta con tus compañeros y tu profesor cuáles
podrían ser los obstáculos que encuentren los alumnos de educación básica y propón alguna estrategia
para ayudarles a superarlos.
Bloque Inversión de funciones lineales
E
l propósito central de este bloque de actividades es introducir
la noción de función inversa aprovechando la familiaridad
que has desarrollado en los bloques anteriores con el manejo de
la noción de función lineal.
La noción de función inversa se ha sugerido de manera sistemática en los bloques anteriores en actividades donde se pide
encontrar el valor de entrada a partir de que se conoce el valor de salida. Para dar respuesta a esas preguntas se aplican las
operaciones asociadas a la estructura de la expresión algebraica
que corresponde a la función inversa del programa con el que
se trabajó en dichas actividades.
La construcción de la función inversa a una función dada
es una relación entre funciones de mucha importancia para el
estudio del álgebra que se aborda en el bachillerato. En este
bloque, esa relación sólo se toca de manera informal a fin de
favorecer el desarrollo de habilidades para resolver ecuaciones
de primer grado con una incógnita.
Completa las actividades de este bloque teniendo en mente
el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que desarrollan los alumnos de educación básica a medida que responden las preguntas. Asimismo, considera las dificultades con que
pueden encontrarse, y las estrategias didácticas que emplearías
para ayudarlos a superarlas.
119
120
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 42
Programas que invierten la tabla de valores (1)
Un estudiante hizo un programa que produce los siguientes valores
Valor de entrada
Valor de salida
10.4
4.9
16
10.5
19
13.5
23.5
18
37
31.5
1. Construye en tu calculadora un programa que produzca los mismos valores de la tabla. Verifícalo y luego
escríbelo en el siguiente recuadro.
2. Crea un programa que invierta lo que hace el programa de la actividad 1; es decir, que produzca los valores
que se muestran en la siguiente tabla. Observa que los valores de entrada y salida están invertidos con respecto a los de la tabla inicial.
Valor
de entrada
4.9
10.5
13.5
18
31.5
Valor
de salida
10.4
16
19
23.5
37
Escribe tu programa en el siguiente recuadro.
3. Explica tu razonamiento para construir un programa que invierte el programa planteado al inicio.
Bloque 5ऊ‡ऊ,QYHUVLyQGHIXQFLRQHVOLQHDOHV
121
Hoja de trabajo 43
Programas que invierten la tabla de valores (2)
Una estudiante construyó un programa que produce los valores de salida para los valores de entrada que se muestran en la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
11.4
17.5
19
25.1
23.1
29.2
38
44.1
50
56.1
1. Crea en tu calculadora un programa que produzca los valores de la tabla. Verifícalo y escríbelo en el siguiente
recuadro.
2. Construye un programa que haga lo inverso que el anterior; es decir, que produzca los valores que se muestran en la siguiente tabla.
Valor
de entrada
17.5
25.1
29.2
44.1
56.1
Valor
de salida
11.4
19
23.1
38
50
3. Explica, de manera que todos tus compañeros lo entiendan, tu razonamiento para construir el programa
que “deshace” lo que creó el programa original.
4. Verifica que tu programa funcione de acuerdo con lo que se pide, y escríbelo en el siguiente recuadro.
122
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 44
Programas inversos de dos pasos (1)
1. Encuentra el programa que produce los valores que se muestran
en la siguiente tabla.
Valor de entrada
Valor de salida
0.13
0.26
0.17
0.34
0.65
1.3
3.8
7.6
9.28
18.56
Escríbelo en el siguiente recuadro.
2. Construye en tu calculadora un programa que haga lo inverso que el de la actividad anterior. Verifícalo y
escríbelo en el siguiente recuadro.
3. Una estudiante dice que el programa m × 3 - 1 hace lo inverso que el programa m ÷ 3 + 1. ¿Estás de
acuerdo?
Presenta un ejemplo que justifique tu respuesta.
4. Si no estás de acuerdo, escribe en el siguiente recuadro un programa que haga lo inverso que el programa
m ÷ 3 + 1.
5. Programa tu calculadora de modo que “deshaga” lo que hace el programa. n × 1.5 + 2
Escribe tu programa en el recuadro.
Bloque 5ऊ‡ऊ,QYHUVLyQGHIXQFLRQHVOLQHDOHV
123
Hoja de trabajo 45
Programas inversos de dos pasos (2)
Algunos estudiantes hicieron un programa que produce los siguientes valores.
Valor de entrada
Valor de salida
3
5
7
13
10
19
11
21
15
29
1. Encuentra ese programa, pruébalo en tu calculadora y escríbelo en el siguiente recuadro.
2. Crea un programa que “deshaga” lo que hace el programa de la actividad 1; es decir, que produzca los
valores que se muestran en la siguiente tabla.
Valor
de entrada
5
13
19
21
29
Valor
de salida
3
7
10
11
15
Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.
3. Construye en tu calculadora un programa que “deshaga” lo que hace el programa b × 3 + 1.
4. Verifica tu programa y escríbelo en el recuadro.
5. Explica con la mayor claridad posible cómo comprobaste que tu programa es correcto.
124
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 46
Programas inversos en relaciones cuadráticas
y relaciones de dos pasos
1. Encuentra un programa que produzca los valores de la siguiente tabla.
Pruébalo en tu calculadora y escríbelo a continuación.
Valor de entrada
Valor de salida
-3
9
-2
4
-1
1
1
1
3
9
5
25
7
49
9
81
11
121
2. Escribe tu programa en el recuadro.
3. Construye un programa que “deshaga” lo que produjo el programa cuyos valores aparecen en la siguiente
tabla.
Valor
de entrada
4
25
49
64
100
Valor
de salida
2
5
7
8
10
Escribe tu programa en este recuadro.
4. Construye en tu calculadora otros programas que “deshagan” lo que produce cada uno de los siguientes
programas. Pruébalos, verifícalos, y escríbelos frente a los programas correspondientes.
a) 1.5 × a + 1
d) 3 × ( b - 4 ) ÷ 2
b) 0.5 × k - 1
e) 8 ÷ (c - 5) + 3
c) 2 + 0.25 × y
5. Explica detalladamente tu estrategia para invertir estos programas.
Bloque 5ऊ‡ऊ,QYHUVLyQGHIXQFLRQHVOLQHDOHV
125
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Consulta en diversas fuentes el tema función inversa en el caso de las funciones lineales, y observa algunos
de los ejemplos que encuentres. A partir de esta consulta contesta lo siguiente:
a) ¿Qué relación encuentras entre lo que ahí observaste y las actividades que has realizado en este bloque?
b) ¿Qué ventajas didácticas pueden asociarse al tratamiento informal que se hace del concepto de función inversa que se presenta en este bloque como antecedente al estudio formal de este tema?
Analiza tus respuestas con tus compañeros y tu profesor.
2. Como una actividad de repaso de este bloque, encuentra el valor que falta en las siguientes igualdades.
Utiliza tu calculadora para evitar cualquier error en tus respuestas.
a) b + 1.03 = 24.7
b=
d ) 4.8 - r = 3.5
r=
g) k - 1.5 = 6.2
k=
b) m - 1.67 = 30.25
m=
c) p - 12.22 = 4.05
p=
=4
e ) 5.2
n
n=
f ) 5 × b - 1 = 29
h ) 2 × c = 11
i ) 3 × a + 1 = 121
c=
b=
a=
3. ¿Qué relación encuentras entre la actividad anterior y las que realizaste en este bloque? Comenta tus
respuestas con tus compañeros y tu profesor.
4. Haz un breve ensayo en el que describas en qué aspectos se relaciona tu experiencia con las actividades
de este bloque respecto a tu formación como docente.
El lenguaje del álgebra
en la resolución de problemas
y formulación de conjeturas
E
l propósito primordial de este bloque es ampliar el uso del
código algebraico al planteamiento y resolución de problemas que implican los conceptos de área, perímetro y porcentaje,
así como a la formulación de conjeturas sobre situaciones más
abstractas relativas a las propiedades del sistema de numeración
decimal y a la paridad de los números enteros.
En la primera sección de las actividades se acude al apoyo visual de los patrones geométricos, el cual propicia el desarrollo de habilidades para identificar patrones numéricos más
sofisticados. De la misma manera, se abordan situaciones que
comprenden los conceptos de área y perímetro para introducir
relaciones precio-costo que requieren la producción de expresiones algebraicas donde es necesario usar los paréntesis como
signos de agrupación.
En la tercera sección se abordan problemas que involucran
el concepto de porcentaje; en estos casos se retoma el uso de
los paréntesis como signos de agrupación. El planteamiento y la
resolución de los problemas propuestos en esta sección y en la
anterior ya no descansa en el reconocimiento de un patrón numérico, sino en el establecimiento de relaciones entre los datos
que se proporcionan y su representación mediante expresiones
algebraicas. El elemento que se mantiene presente es la noción
de función (programa) que se ha venido cultivando en los bloques 1-5.
En la cuarta sección se plantean problemas en un contexto
estrictamente matemático, los cuales implican la representación
algebraica de las relaciones entre los dígitos de tipos específicos
de números en el contexto del sistema de numeración decimal.
La sección se cierra con problemas que invitan a formular conjeturas sobre la paridad de los números enteros.
Como en los bloques anteriores, te invitamos a realizar estas
actividades reflexionando de manera sistemática en el tipo de
aprendizajes y competencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas. Asimismo,
considera los momentos en que pudieran tener dificultades,
y las estrategias didácticas que puedes implementar para ayudarles a superarlas.
127
128
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 47
Patrones geométricos (1)
Observa las siguientes figuras.
1. En el siguiente espacio, dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.
a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la
la figura que va en el lugar número 17?
figura que va en el lugar número 100?
Observa que la figura 1 tiene un cuadrado; la figura 2 tiene tres cuadrados; la figura 3 tiene cinco cuadrados, y así sucesivamente. Con esos datos puedes hacer una tabla que te ayude a responder las preguntas.
2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.
3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.
Lugar que ocupa la
figura en la sucesión
Número de cuadrados
que se necesitan
48
75
123
351
411
507
4. Escribe tu programa en la línea.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
129
Hoja de trabajo 48
Patrones geométricos (2)
Observa la siguiente sucesión de figuras.
1. En el siguiente espacio dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.
a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir
la figura que va en el lugar número 9?
b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir
la figura que va en el lugar número 17?
2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.
3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.
Lugar que ocupa la
figura en la sucesión
Número de cuadrados
que se necesitan
48
75
123
427
469
601
4. Escribe tu programa en la línea.
130
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 49
Patrones geométricos (3)
Observa la sucesión de figuras.
1. En el siguiente espacio dibuja las dos figuras que continúan en la sucesión.
a) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir b) ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir
el marco del cuadrado gris en la figura que va
el marco del cuadrado gris en la figura que va
en el lugar número 27?
en el lugar número 40?
2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas a y b.
3. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.
Lugar que ocupa la
figura en la sucesión
Número de cuadrados
que se usan en el marco
48
75
704
772
840
4. Escribe tu programa en la línea.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
131
Hoja de trabajo 50
Ventanas
En la sala de escultura del Museo de Arte Moderno las ventanas tienen estas características.
Presentan distintas medidas pero, en todas, la
altura es el triple de lo que miden de ancho.
1. Construye en tu calculadora un programa que complete la siguiente tabla.
Ancho
de la ventana
0.75 m
0.86 m
1.28 m
Altura
de la ventana
3.51
4.23
2. Los marcos de estas ventanas están hechos con una madera cuyo precio por metro es de $53.00. Con esta
información, contesta las preguntas siguientes.
a) ¿Cuánto cuesta el marco de una ventana de 1.5 metros de ancho?
b) Explica qué operaciones hiciste para calcular ese costo.
3. Construye un programa que te permita calcular el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa
sala. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Explica con claridad qué representa la literal que usaste en tu programa en términos de los datos del
problema.
132
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 51
Algo más sobre ventanas
En la sala de pintura del Museo de Arte Moderno, las ventanas tienen las siguientes características.
Presentan distintas medidas pero en todas su altura
es 50 cm menos que el triple de lo que miden de
ancho.
1. Completa la siguiente tabla.
Ancho
0.30 m
0.45 m
1.30 m
Altura
4.45 m
6.55 m
2. Los marcos de estas ventanas están hechos de una madera cuyo precio por metro es de $62.00.
a) ¿Cuánto cuesta el marco de una ventana de 1.3 metros de ancho?
b) Explica qué operaciones hiciste para calcular ese costo.
3. Construye en tu calculadora un programa para obtener el costo del marco de cualquiera de las ventanas
de esa sala. Escribe tu programa en el siguiente recuadro.
4. Utiliza tu programa para completar la siguiente tabla.
Ancho
de la ventana
0.35 m
0.65 m
0.84 m
Costo del
marco
5. Explica el razonamiento que seguiste para construir tu programa.
1.20 m
$334
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
133
Hoja de trabajo 52
Maquetas
En la sala de arquitectura del Museo de Arte Moderno se está presentando una exposición de maquetas con
diferentes diseños para la construcción de un nuevo aeropuerto. Las maquetas están colocadas en mesas
cuyas características son las siguientes.
El largo de cada mesa es de un metro más que el
doble del ancho.
En la figura de la derecha se muestran las cubiertas de algunas mesas.
1. Construye en tu calculadora un programa para 2. La madera con que está construida la cubierta de
completar la siguiente tabla.
las mesas cuesta $155.00 por metro cuadrado. Programa tu calculadora para obtener el costo de la
Ancho
Largo
cubierta de esas mesas. Escribe tu programa en
de la mesa
de la mesa
la línea de abajo.
1.40 m
2.55 m
3.45 m
2.75 m
6.5 m
4.4 m
3. Construye un programa que te permita calcular el costo del marco para cualquiera de las
ventanas de esa sala. Escribe tu programa en
el recuadro de la derecha.
4. Para construir tu programa utilizaste una literal. Explica detalladamente qué representa esa literal en términos de los datos del problema.
134
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 53
Rebajas
En una tienda de libros y discos se hace la siguiente oferta.
NiqCueÍAta.
CA
ER
M
LA
A
D
TO
EN
TO
EN
U
C
et
la
ES
D
en
E
cado
15% D
a sobre el precio mar
El descuento se aplic
1. Construye un programa para completar la siguiente tabla.
Precio en la etiqueta
Cantidad que se descuenta
Precio de oferta
$34.00
$18.75
$126.80
$28.50
$150.00
$72.35
$29.40
2. Construye en tu calculadora un programa para que haga lo siguiente.
Al introducir el precio de etiqueta debe dar por resultado el precio de oferta.
Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.
3. Completa la siguiente tabla utilizando tu programa.
Precio en la etiqueta
Precio de oferta
$84.00
$28.75
$226.80
$29.60
$140.00
$142.80
$144.50
4. En tu programa usas una literal. Explica detalladamente qué significa esa literal en términos de los datos
del problema.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
135
Hoja de trabajo 54
¡Descuento general!
En una papelería se hace la siguiente oferta.
A
CÍ
N
CA
ER
M
LA
DA
TO
EN
TO
ta.
EN
ue
iq
CU
et
ES
D
E
D
%
18
precio marcado en la
el
e
br
so
a
lic
ap
se
o
El descuent
1. Construye en tu calculadora un programa y, de acuerdo con la información dada, completa la siguiente tabla.
Precio en la etiqueta
Cantidad que se descuenta
Precio de oferta
$14.40
$17.10
$23.40
$45.00
$26.10
$30.60
$46.80
2. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente. Si el valor de entrada es la cantidad que se
descuenta, el valor de salida debe ser el precio de oferta. Escribe tu programa:
3. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente. Si introduces la cantidad que se descuenta, debe dar
como resultado el precio marcado en la etiqueta. Escribe tu programa:
4. Completa las siguientes tablas utilizando tus programas.
a)
Cantidad que
se descuenta
$15.40
$18.75
$8.90
$10.00
$14.35
$11.70
$6.75
$ 8.90
$8.40
$9.60
Precio
de oferta
b) Cantidad que
se descuenta
Precio
marcado en
la etiqueta
5. Para contestar la actividad 2 construiste un programa, ¿qué significa la letra que usaste, en términos de los
datos del problema?
136
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 55
Bienes raíces
Una empresa de bienes raíces vende terrenos con las
siguientes medidas.
Fondo
El fondo del terreno mide 30 metros más que el
doble del frente.
Frente
1. Con esos datos construye en tu calculadora un programa y contesta lo siguiente.
a) El señor Pérez utilizó 132 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide
su terreno de frente y cuánto de fondo?
b) La señora Gómez necesitó 168 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto
mide su terreno de frente y cuánto de fondo?
c) La señora Rodríguez empleó 156 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide su terreno de frente y cuánto de fondo?
d ).El señor González compró un terreno que mide 76 metros de frente. ¿Cuántos metros de tela de alambre debe usar para cercar su terreno?
2. Explica tu razonamiento para responder las preguntas anteriores.
3. A continuación, escribe aquí tu programa.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
137
Hoja de trabajo 56
¿Si modifico el perímetro cambia el
área?
Una persona tiene un terreno junto a un arroyo.
Compró 100 metros de tela de alambre para cercar
la parte del terreno que no colinda con el arroyo.
Su deseo es aprovechar que el arroyo limita un
lado de su terreno y usar sus 100 metros de tela de
alambre de manera que le quede un terreno rectangular con la mayor área posible.
1. Con lo anterior en mente, construye un programa
que complete la tabla de la derecha.
Lado largo
Área del
terreno
Lado corto
50
30
60
10
70
8
65
58
55.5
54.8
53.4
50.2
50.15
2. Programa tu calculadora para completar más rápidamente esa tabla. Escribe a continuación tu programa.
3. Anota las medidas del lado largo y las del
lado corto del terreno para obtener la mayor
área posible.
Lado largo =
m
Lado corto =
m
Área =
m2
4. Explica con claridad qué significa la literal que usaste en tu programa en términos de los datos del problema.
138
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 57
Números palíndromos
Observa los siguientes números.
131
1441
47874
1537351
327898723
1. Indica qué característica especial observas en ellos.
A este tipo de números se les llama números palíndromos. Un número palíndromo puede tener tres dígitos, o cuatro, o los que uno quiera.
2. Construye en tu calculadora un programa y completa la siguiente tabla con números palíndromos
que contengan los dígitos que se indican en cada caso.
Números palíndromos
Tres dígitos
Cuatro dígitos
Cinco dígitos
Seis dígitos
3. Programa tu calculadora de manera que si introduces dos dígitos te dé por resultado un palíndromo de
tres dígitos. Observa que en tu programa debes utilizar dos literales. Escribe tu programa en el siguiente
recuadro.
4. Programa tu calculadora de manera que si
introduces dos dígitos dé por resultado un palíndromo de cuatro dígitos. Escribe tu programa en el recuadro de la derecha.
5. Programa tu calculadora de manera que si
introduces tres dígitos dé por resultado un palíndromo de seis dígitos. Escribe tu programa
en el recuadro de la derecha.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
139
Hoja de trabajo 58
Números consecutivos
Observa los siguientes números.
678
123
789
234
1. Indica qué característica especial observas en ellos.
2. Anota en los recuadros de abajo otros dos números que tengan la misma característica.
3. Programa tu calculadora de manera que si introduces sólo un dígito te dé por resultado un número de
tres dígitos, como en los ejemplos anteriores.
Escribe tu programa en el espacio de la
derecha.
4. Programa tu calculadora de modo que produzca números como los que se muestran abajo, usando como
valor de entrada un número de un dígito.
1234
5678
4567
2345
3456
Escribe aquí tu programa.
5. Explica lo más claramente posible el razonamiento para construir tu programa.
6. Construye un programa que produzca los siguientes números.
135
Escribe aquí tu programa:
246
357
579
468
140
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 59
Números pares e impares
Se llaman números consecutivos aquellos enteros que van uno enseguida del otro, como 3 y 4, 11 y 12, 125 y 126.
1. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números consecutivos el resultado es un número impar.
¿Estás de acuerdo con él?
Justifica tu respuesta.
2. Construye un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida
sea la suma de ese número y su consecutivo. Anota tu programa en el espacio de abajo.
3. Una estudiante dice que cada vez que suma tres números consecutivos el resultado siempre es un múltiplo de tres.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
4. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es un número entero, te dé por resultado la
suma de ese número y los dos que le siguen en la sucesión numérica. A continuación, escribe tu programa
en el recuadro de abajo.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
141
Hoja de trabajo 60
Conjeturas
1. Una estudiante dice que cada vez que multiplica dos números consecutivos el resultado es un número impar.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
2. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida sea
el producto de ese número y su consecutivo. Escribe luego tu programa en el siguiente recuadro.
3. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números impares el resultado es un número par.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
4. Construye un programa de manera que si el valor de entrada es cualquier número entero, el valor de
salida siempre sea un número impar. A continuación escríbelo en el siguiente recuadro.
142
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 61
Un juego matemático
1. Piensa en un número entero que esté entre el 1 y el 10; a ese número
súmale 10 y anota el resultado. Ahora réstale a 10 el número que pensaste y anota el resultado. Suma los dos resultados que anotaste, ¿qué
resultado obtuviste?
2. Un estudiante dice que siempre que haga esto obtendrá 20.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
3. Construye un programa que represente ese juego con números. A continuación, escríbelo en el siguiente
recuadro.
4. En tu programa usaste una literal, ¿qué representa en términos de los elementos de ese juego? Explícalo
de manera que todos tus compañeros lo entiendan.
5. Una estudiante dice que siempre dará lo mismo, no importa que empiece con un número mayor que 10.
¿Estás de acuerdo?
Presenta dos ejemplos que justifiquen tu respuesta.
6. Otro alumno dice que puede empezar con cualquier número, ya sea negativo, positivo, e incluso con números
decimales, y que siempre dará lo mismo. ¿Estás de acuerdo?
Proporciona tres ejemplos que justifiquen tu respuesta.
7. Un estudiante dice que el programa a2 + a2 produce los mismos valores que (a + b)2. ¿Estás de
acuerdo?
Presenta tres ejemplos que justifiquen tu respuesta.
Bloque 6ऊ‡ऊ(OOHQJXDMHGHOiOJHEUDHQODUHVROXFLyQGHSUREOHPDV\IRUPXODFLyQGHFRQMHWXUDV
143
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Elabora una matriz que permita ver en cuáles de los bloques 1 a 6 se aborda el desarrollo de las siguientes habilidades y nociones matemáticas e indica en cada celda de la matriz el nivel en que se abordan: i)
introductorio, ii) de fortalecimiento o, iii) de aplicación.
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
Reconocimiento de patrones numéricos.
Expresión algebraica de la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico.
Noción de función lineal.
Equivalencia de expresiones algebraicas.
Noción de función inversa de una función lineal.
Reconocimiento de la jerarquía de las operaciones.
Lectura de expresiones algebraicas que contienen paréntesis.
Producción de expresiones algebraicas que contienen paréntesis.
Simplificación de términos semejantes.
Noción de ecuación.
Uso de funciones lineales para plantear y resolver problemas.
Uso de números con signo en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas.
Uso de números fraccionarios en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas.
2. Indaga en diversas fuentes a qué se le llama “paridad de los números enteros” y qué aplicaciones tiene
esta noción en la resolución de problemas. Comenta con tus compañeros y tu profesor lo que hayas
encontrado.
3. En un breve ensayo presenta el tipo de aprendizajes y competencias matemáticas que pueden desarrollar
los alumnos de educación básica al realizar este tipo de actividades.
4. Presenta en un documento breve tus reflexiones sobre el tipo de competencias docentes que desarrollaste
al realizar las actividades de este bloque.
Noción de función inversa
E
n este bloque se aborda el estudio de la función inversa de
una función con base en el apoyo visual que brinda el ambiente gráfico de la calculadora. Éste es el primer acercamiento a
la lectura y construcción de gráficas que se hace en este libro. Se
acude a los conocimientos y habilidades previamente desarrollados para realizar conexiones entre las representaciones algebraica, tabular y gráfica de una función.
A lo largo de las hojas de trabajo se identifican propiedades
importantes de las funciones inversas; por ejemplo, la simetría
entre sus gráficas respecto de la función y = x y la relación entre
su dominio y contradominio.
En las actividades se aprovechan los recursos que ofrece la
calculadora algebraica para estudiar las distintas representaciones de una función. Mediante este acercamiento didáctico se
pretende propiciar el desarrollo de habilidades cognitivas como
la exploración, la experimentación y la formulación de conjeturas a través de la visualización, lo cual permite establecer una
mediación entre el cuerpo de conocimientos y el estudiante.
Las hojas de trabajo abordan aspectos directamente relacionados con la educación básica, entre los que destaca el uso
de tablas, ecuaciones y gráficas en el plano cartesiano. El paso de
una a otra de estas formas de representación provee recursos
valiosos para la comunicación de ideas matemáticas y la resolución de problemas. Lo anterior se orienta al fortalecimiento de
las competencias para el uso de tecnología con fines educativos
por parte de los futuros profesores.
145
146
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 62
Tablas, expresiones algebraicas y gráficas
1. Escribe en la siguiente línea el programa que
construiste en la hoja de trabajo 42 del bloque 5 para obtener los valores de salida que
se muestran en la tabla de la derecha.
Valor de entrada
Valor de salida
10.4
4.9
16
10.5
19
13.5
23.5
18
37
31.5
Ahora iniciarás el estudio de la construcción de gráficas en el plano cartesiano, con las cuales representarás la relación entre los valores de entrada y salida con que has trabajado hasta aquí.
2. Localiza en tu calculadora el editor para introducir la expresión algebraica con que construirás la gráfica.
De ahora en adelante llamaremos funciones a esas expresiones algebraicas; también toma en cuenta que
siempre que introduzcas esas expresiones en la calculadora debes utilizar la literal x.
3. La expresión y = x - 5 representa la relación entre los valores de entrada y los de
salida; estos últimos dependen del valor
de x.
4. Despliega en tu calculadora la gráfica de la función
y = x - 5; asegúrate de que sea como la siguiente.
La escala en los ejes cartesianos es 1.
5. En la hoja de trabajo 42 del bloque 5 también encontraste la expresión algebraica para invertir lo que
hace la expresión de la actividad 1 de esta hoja. Anótala a continuación.
Su tabla de valores es
la siguiente.
Valor de entrada
4.9
Valor de salida
10.4
10.5
13.5
18
31.5
16
19
23.5
37
6. Construye en tu calculadora, sin borrar la gráfica que hiciste en la actividad 3, la gráfica de la función de
la actividad 4 y dibújala en el plano cartesiano de la actividad 3. Observa las dos gráficas en la misma
pantalla y responde las siguientes preguntas.
a) ¿Qué semejanzas encontraste entre la función y = x - 5 y la que la invierte?
b) ¿Qué diferencias encontraste entre las gráficas de la función y = x - 5 y la que la invierte?
147
Bloque 7ऊ‡ऊ1RFLyQGHIXQFLyQLQYHUVD
Hoja de trabajo 63
Gráficas de una función lineal y su inversa (1)
1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica y anota la función que usaste.
y=
2. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica y la función de la actividad anterior.
Utiliza la tecla TRACE (Traza) para recorrer la gráfica y desplegar las coordenadas de los puntos por los
que pasa el cursor.
x
y
-8
-5
-4
-2
-1
0
1
3
3. Reproduce la siguiente gráfica en la calculadora y escribe la función que usaste.
y=
4. Completa la siguiente tabla utilizando la información de la gráfica y la función de la actividad anterior.
x
y
-4
-1
0
2
3
4
5
7
5. Explica claramente qué relaciones encuentras entre las gráficas, la expresión algebraica y las tablas de las dos
funciones.
6. Construye la gráfica de la función y = x y dibújala en el siguiente plano cartesiano, cuida de no borrar de
tu calculadora las dos gráficas anteriores.
Explica qué relación observas entre la gráfica de
y = x y las dos anteriores.
La función y = x - 4 es la función inversa de y = x + 4. La gráfica de y = x es el eje de reflexión de
las gráficas de una función y su función inversa.
148
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 64
Gráficas de una función lineal y su inversa (2)
1. Completa la siguiente tabla a partir de la gráfica. La escala en los ejes X y Y es 1.
x
y
-2
-1.5
-1
0
0.5
1
2
2.5
2. Reproduce en tu calculadora la gráfica anterior y anota el programa en el recuadro.
y=
3. Sin borrar lo que construiste en tu calculadora, construye la gráfica de la función inversa de la función de
la actividad anterior y reprodúcela en el plano de la actividad 1.
Explica claramente qué relaciones observas entre las gráficas.
4. Escribe en el recuadro la función que encontraste para responder a la actividad 3.
y=
5. Completa la siguiente tabla utilizando la función de la actividad anterior.
x
y
-4
-3
-2
0
1
2
4
5
6. Explica qué relación observas entre los valores de las tablas de las actividades 1 y 5.
7. Sin borrar en tu calculadora las gráficas anteriores, construye la gráfica de la función y = x, y dibújala en
el plano de la actividad 1. ¿Consideras que la gráfica de y = x es el eje de reflexión de las otras dos?
8. ¿Cuál es la función inversa de y = -4x?
Construye en tu calculadora las gráficas de ambas funciones.
9. ¿La gráfica de y = x es el eje de reflexión de las gráficas de la actividad anterior?
Justifica tu respuesta.
Bloque 7ऊ‡ऊ1RFLyQGHIXQFLyQLQYHUVD
149
Hoja de trabajo 65
Gráficas de una función lineal y su inversa (3)
1. Completa la siguiente tabla usando la función y = 2x + 3.
x
y
6
5.2
4.5
3.1
2.6
1
0
-1.5
-2.2
-3.4
-5.8
-6
2. Construye en tu calculadora la gráfica de la función anterior y reprodúcela en el siguiente plano.
3
3. Construye a continuación la tabla de la función inversa de y = 2x + 3; utiliza los valores de la tabla de la
actividad 1.
X
Y
4. Construye la función inversa de y = 2x + 3 y anótala en el siguiente recuadro. Verifica tu respuesta comprobando en tu calculadora si la función que encontraste produce los valores de la tabla de la actividad anterior.
y=
5. Construye en tu calculadora la gráfica de la función inversa y reprodúcela en el plano de la actividad 2.
Observa las relaciones entre las gráficas. ¿La gráfica de la función y = x es eje de reflexión de las dos graficas?
Justifica tu respuesta.
6. Un estudiante dice que la función inversa de y = 2x + 3 es y = x ÷ 2 -3. ¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
7. Uno de sus compañeros dice que la función inversa de y = 2x + 3 es y = x -3 ÷ 2.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
8. ¿Cuál es la función inversa de y = x - 1 ?
1
Explica cómo la obtuviste.
Construye en tu calculadora las gráficas correspondientes y comprueba que encontraste la función inversa.
Explica con claridad lo que tuviste que observar en cada gráfica.
150
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 66
Gráficas de una función cuadrática y su inversa (1)
1. Encuentra la función que produce los valores de salida de la tabla de la izquierda. Completa luego la tabla
de la derecha con los valores que corresponden a la función inversa.
x
3.5
3
2.5
2
1
0
x
y
12.25
9
6.25
4
1
0
y
2. Escribe a continuación cada una de las funciones que encontraste en la actividad anterior.
Función inicial
y=
Función inversa
y=
3. Construye en tu calculadora la gráfica de cada una de esas dos funciones y reprodúcelas en el siguiente plano.
4. Anota las diferencias que observes entre la gráfica de la función inicial y la de su función inversa.
5. ¿A qué crees que se deban esas diferencias?
Justifica tu respuesta.
6. Construye en tu calculadora la gráfica de y = x y reprodúcela en el plano anterior. ¿La función y = x es el eje de
simetría de tus gráficas?
Justifica tu respuesta.
Observa que en la función y = x2 el valor de y es el mismo para ciertos valores de x. Por ejemplo, para x = 1
y x = -1; para x = 2 y x = -2, etc. Por esto diremos que este tipo de funciones no es “uno a uno”; cuando
una función no es “uno a uno” su función inversa sólo está definida para determinados valores de x.
7. Observa la gráfica de la función inversa de y = x2 que construiste en el punto 3 e indica para qué valores
de x está definida.
8. ¿Cuál es la función inversa de y = 2x2?
Comprueba tu respuesta construyendo en tu calculadora las gráficas necesarias.
Bloque 7ऊ‡ऊ1RFLyQGHIXQFLyQLQYHUVD
151
Hoja de trabajo 67
Gráficas de una función cuadrática y su inversa (2)
1. La siguiente gráfica corresponde a una función cuadrática. Construye en tu calculadora la gráfica de su
función inversa y reprodúcela en el mismo plano. La escala en ambos ejes cartesianos es 1.
2. Comprueba que la gráfica que construiste corresponde a la de la función inversa.
3. Anota las funciones que usaste.
Función inicial
y=
Función inversa
y=
4. Explica detalladamente cómo obtuviste la expresión algebraica de la función inversa.
5. ¿A qué crees que se deba que la calculadora sólo reproduce una de las ramas de la parábola cuando construyes la gráfica de la función inversa de y = x 2 + 1? Analiza tu respuesta con tus compañeros y con tu profesor.
6. Construye la gráfica de la función inversa de la función cuya gráfica es la siguiente, y reprodúcela en el
mismo plano. La escala en los ejes cartesianos es 1.
7. Anota las ecuaciones que usaste.
Función inicial
y=
Función inversa
y=
8. Explica con toda claridad cómo encontraste la expresión algebraica de la función inversa.
152
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 68
Inversa de funciones lineales y cuadráticas
1. Encuentra la función inversa de las funciones que corresponden a las siguientes gráficas; construye en el
mismo plano sus gráficas y anota su ecuación. La escala en los ejes cartesianos es 1. Finalmente, comprueba
gráficamente que la función que encontraste es la inversa.
a)
Función inicial
y=
Función inversa
y=
b)
Función inicial
y=
Función inversa
y=
c)
Función inicial
y=
Función inversa
y=
2. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones y describe el procedimiento que empleaste en
cada caso.
a) y = 3x2 - 4
b) y = 2x +1 + 3
Bloque 7ऊ‡ऊ1RFLyQGHIXQFLyQLQYHUVD
153
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Indaga en fuentes matemáticas acerca de la inversa de una función, y responde las siguientes preguntas:
a) ¿Para qué tipo de funciones existe su función inversa?
b) ¿Qué tan útil es saber encontrar la función inversa de una función dada?
c) ¿Cómo se determina la función inversa de una función lineal?
d ) ¿Cómo se determina la función inversa de una función cuadrática?
2. Compara en equipo los resultados de tu indagación con tu experiencia de completar las hojas de trabajo
de este bloque; escribe un breve documento y preséntalo a tu grupo.
3. Redacta en equipo un ensayo sobre la pertinencia del uso de la calculadora en este bloque de actividades.
Presenta dicho ensayo al grupo y coméntenlo con sus otros compañeros y su profesor.
4. Haz una lista de los contenidos matemáticos que se abordan en las hojas de trabajo de este bloque
y relaciónalos con los que se proponen en los programas de educación básica.
5. A continuación:
a) Selecciona algunas hojas de trabajo de este bloque para utilizarlas en una clase con alumnos de educación básica; haz las adecuaciones que consideres necesarias.
b) Presenta a tus compañeros las hojas de trabajo que seleccionaste y toma nota de las observaciones que
hagan sobre tu trabajo.
c) Realiza una práctica con un grupo de educación básica y elabora un registro de lo sucedido, de manera
especial en lo referente al tipo de aprendizaje logrado que hayas observado.
d ) Comparte con el grupo tu experiencia en la práctica realizada.
6. Indaga en fuentes bibliográficas la función “raíz cuadrada”. Selecciona actividades que incluyan el uso de
diferentes representaciones (tablas, expresiones algebraicas y gráficas) y organiza entre tus compañeros
una sesión de trabajo con los materiales seleccionados.
7. Realiza en equipo una indagación en las fuentes que consideres pertinentes para dar respuesta a la siguiente
pregunta: ¿Por qué la calculadora muestra solamente una rama de la parábola cuando construyes la gráfica
de la función inversa de y = x2? Comenten sus conclusiones con su grupo y su profesor.
Bloque Funciones lineales:
sus representaciones
algebraica y gráfica
P
ropósitos centrales de las actividades de este bloque.
(1) Estudiar el comportamiento gráfico de funciones de la
forma y = mx + b.
(2) Estudiar los efectos sobre las gráficas del ajuste de la escala y el rango en el plano cartesiano.
(3) Reconocer la pendiente de la recta como la razón del
desplazamiento vertical en el eje y y el desplazamiento
horizontal en el eje x.
(4) Estudiar la ecuación de la recta a partir de dos de sus
puntos y de un punto y su pendiente.
(5) Identificar los conceptos de crecimiento y decrecimiento,
explorando el comportamiento de pendiente de una recta.
(6) Introducir el concepto de regresión lineal al encontrar
“la mejor recta” para estudiar el comportamiento de una
nube de puntos.
La propuesta didáctica de este bloque aborda el estudio
de la ecuación de la recta y su representación gráfica; las actividades evolucionan paso a paso para centrar la atención en
conceptos básicos como la ordenada al origen y la pendiente. El
tratamiento algebraico y gráfico se basa en el uso de la representación algebraica y la representación gráfica de una recta,
aprovechando las facilidades que ofrece el software para determinar una gráfica a partir de su ecuación, y viceversa.
Este bloque amplía el estudio del plano cartesiano, abordando los conceptos de escala y rango. Por su carácter dinámico, estos aspectos cobran gran relevancia en el ambiente gráfico
de la calculadora, pues bastan unos pequeños ajustes para producir distintas vistas de una gráfica.
La calculadora es un elemento central en esta propuesta didáctica. La inmediata retroalimentación que la máquina ofrece
permite que los estudiantes confirmen o refuten sus conjeturas,
e induce a establecer una comunicación con la calculadora al
utilizar el código algebraico y su correspondiente a la representación gráfica.
155
156
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 69
23
Un punto importante en una recta
1. Introduce en el editor de ecuaciones de tu calculadora la ecuación y = 2x + 5. Para contestar lo que se pide a continuación,
construye la gráfica de esa ecuación empleando el editor de
gráficas.
2. Reproduce la gráfica en el plano cartesiano. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde la gráfica corta
al eje Y?
3. Determina la relación entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la
ecuación y = 2x + 5.
4. Construye la gráfica de la ecuación y = 3x - 4. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde esa gráfica
corta al eje Y ?
Justifica tu respuesta.
5. Explica la relación entre las coordenadas de ese punto y los valores numéricos que aparecen en la ecuación y = 3x - 4.
6. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y = 4x + 3 corta al eje Y en el punto de coordenadas
x = 0, y = 3. ¿Es correcto lo que dice?
Justifica tu respuesta.
7. Anota las coordenadas del punto donde la gráfica de la ecuación y = 3x corta al eje Y.
¿Cómo modificarías esa ecuación para que su gráfica corte al eje Y en el punto de coordenadas x = 0,
y = 2.5?
8. Modifica la ecuación y = 3x para que su gráfica corte al eje Y en el punto x = 0, y = -4.5. ¿Qué ecuación
construiste?
Justifica tu respuesta.
9. Construye en tu calculadora cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto x = 0, y = 5.7.
Escribe en las siguientes líneas las ecuaciones que usaste.
10. Un estudiante dice que la gráfica de la ecuación y = 5x - 4 corta al eje Y en el punto x = 0, y = 5.
¿Es correcto lo que dice?
Justifica tu respuesta.
11. Inventa cuatro ecuaciones cuyas gráficas corten al eje Y en el punto x = 0, y = -4. Indica cuáles son esas
ecuaciones y comprueba tus respuestas construyendo las gráficas en tu calculadora.
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
157
Hoja de trabajo 70
Cambio de escala
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 2x + 3.
a) Describe las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje Y.
x=
y=
b) Describe las coordenadas del punto donde corta al eje X?
x=
y=
2. Configura tu calculadora de modo que la pantalla pueda configurarse de distintas maneras para reproducir gráficas. Las siguientes figuras muestran la gráfica de la ecuación y = 2x + 3 con distintas escalas en
el eje Y. En la parte superior de cada pantalla se indica qué escala se empleó para producir cada gráfica.
Por ejemplo, si se ajusta la escala en el eje Y como “yscl = 2”, significa que cada marca en el eje Y vale
2 unidades, etcétera.
Figura 1; yscl = 1
Figura 2; yscl = 2
Figura 3; yscl = 3
Figura 4; yscl = 0.5
a) Describe qué diferencias observas en las gráficas.
b) ¿Las coordenadas del punto donde cortan al eje Y son las mismas en todas las gráficas?
¿Por qué parecen ser distintos los puntos donde cada gráfica corta al eje Y?
Verifica tus respuestas utilizando la tecla TRACE de la calculadora.
158
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 71
Más sobre escalas y gráficas
Las siguientes gráficas se trazaron usando una escala en la que cada marca en el eje Y
equivale a cinco unidades y cada marca en el eje X equivale a dos unidades.
Figura 1
1. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 1 corta al eje Y.
2. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 1 corta al eje X.
Figura 2
3. ¿Cuáles son las coordenadas del punto
donde la gráfica de la figura 2 corta al
eje Y?
4. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 2 corta al eje X?
Figura3
5. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 3 corta al eje Y.
6. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica de la figura 3 corta al eje X.
7. Reproduce exactamente esas gráficas en tu calculadora. Verifica tus respuestas usando la herramienta
TRACE. ¿Todas tus respuestas fueron correctas?
Justifica tu respuesta.
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
159
Hoja de trabajo 72
El rango del editor de gráficas
Se le llama rango del editor de gráficas a los valores máximo y mínimo que podemos asignar tanto en el eje
X como en el eje Y.
1. Activa tu calculadora de modo que te muestre en la pantalla los valores mínimo y máximo en que esté configurado el editor de gráficas. Completa la siguiente tabla con los valores de tu calculadora en este momento.
xmin =
xmin indica el valor mínimo en el eje X
xmax =
xmax indica el valor máximo en el eje X
ymin =
ymin indica el valor mínimo en el eje Y
ymax =
ymax indica el valor máximo en el eje Y
2. Construye la gráfica de la ecuación y = 2x + 3 y anota las coordenadas de los puntos en que cortan al eje
X y al eje Y.
3. Ahora configura el rango con la tecla RANGO de tu calculadora con los siguientes valores y observa de
nuevo la gráfica de la ecuación y = 2x + 3.
xmin = -20
ymin = -30
xmax = 20
ymax = 30
Describe lo que ocurre cuando cambias el rango del editor de gráficas.
4. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones y = 2x + 30 y y = 40 - 3x. Esas gráficas se
cortan en un punto, pero no podrás verlo en la pantalla.
a) Ajusta el rango y la escala de la pantalla del editor de gráficas para que puedas ver en qué punto se
cortan esas gráficas.
b) Usa la tecla TRACE para encontrar las coordenadas del punto donde se cortan esas gráficas. ¿Cuáles son las
coordenadas del punto de intersección?
5. Construye una ecuación de modo que su gráfica no se vea en la pantalla debido a cómo está definida
la escala en el editor de gráficas y a los valores máximos y mínimos asignados para los ejes X y Y. ¿Qué
ecuación construiste? Justifica tu respuesta.
6. Describe cómo ajustarías el rango de tu calculadora para que la gráfica sea visible.
7. Configura el rango de la calculadora para que puedas ver la gráfica de la ecuación y = 10 -x sólo en el
primer cuadrante del plano cartesiano. Anota los valores que tuviste que usar.
xmin =
xmax =
ymin =
ymax =
160
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 73
Rectas que “crecen”
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = x.
que se muestra en la figura 1. La escala en ambos ejes cartesianos es uno.
Figura 1
En la figura se han destacado algunos puntos. No tienes que
reproducirlos, sólo son una ayuda para leer la gráfica.
2. Describe las coordenadas de los puntos resaltados en la
gráfica
3. ¿A qué crees que se deba la relación que observas entre los valores de la primera y la segunda coordenadas de esos puntos? Descríbela a continuación.
4. En la figura 2 se muestra la gráfica de la ecuación y = 2x. La
Figura 2
escala en ambos ejes cartesianos es uno. Constrúyela en tu
calculadora. Se han resaltado algunos puntos de la gráfica,
¿cuáles son las coordenadas de esos puntos?
5. Una estudiante dice que en esa gráfica los valores de y son
el doble de los valores de x. ¿Es cierto?
Describe la
relación entre lo que dice y el que la gráfica se haya construido
usando la ecuación y = 2x.
6. Completa la siguiente tabla usando la ecuación y = 5x. Describe la relación entre los valores de x y y.
X
-2.5
-2
Y
1.5
2
3
4.5
-7.5
7. Cuando se localizan las coordenadas de un punto, se cuenta cuántas unidades se avanza sobre el eje X y
luego cuántas se sube o baja sobre el eje Y, con respecto al origen del plano cartesiano. Traza la gráfica de
la ecuación y = 4x. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica en el eje Y por cada unidad que “avanza” sobre el eje
X a partir del origen del plano?
Encuentra una relación entre lo que “sube” y lo que “avanza” la
gráfica con la ecuación y = 4x, y descríbela
. Construye una gráfica en la que por cada unidad que
“avance” sobre el eje X, “suba” 1.5 unidades sobre el eje Y. Describe la ecuación que usaste para construir esa
gráfica.
Anota las coordenadas de tres puntos de tu gráfica.
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
161
Hoja de trabajo 74
Figura 1
¿Qué gráficas “crecen” más rápido?
En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en los
ejes X y Y es 1.
1. Describe cuál de las gráficas de la figura 1 “crece”
más rápido.
2. ¿Cuál gráfica “sube” más lento?
3. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = 3x - 2. ¿Cuántas unidades “sube”
la gráfica sobre el eje Y, mientras avanza
Figura 2
desde x = 0 hasta x = 1?
4. ¿Cuántas unidades “sube” la gráfica
mientras avanza desde x = 1 hasta x = 2?
.
5. Describe la relación entre los términos de
esa ecuación y el número de unidades
que sube la gráfica en el eje Y con respecto a cada unidad que avanza sobre el eje
X.
6. Construye en tu calculadora lo que se indica en cada caso.
a) Dos gráficas que “crezcan” más rápido que la gráfica de y = x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?
. Compruébalo con tu calculadora.
b) Dos gráficas que “crezcan” menos rápido que y = x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?
. Compara tus gráficas de calculadora con las de tus compañeros.
c) Una gráfica que corte al eje Y en el punto x = 0, y = 3, y que suba 5.5 unidades por cada unidad que avanza
sobre el eje X. ¿Qué ecuación usaste para construirla?
. Compara tu respuesta con la de
tus compañeros y escribe tus conclusiones.
d ) Dos gráficas distintas que “crezcan” igual de rápido que y = 4x. ¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?
7. Describe cómo son entre sí las gráficas que construiste.
162
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 75
¿Qué ecuaciones producen esas rectas?
En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en los ejes X y Y es 1.
1. Construye en tu calculadora una gráfica idéntica
Figura 1
a la de la figura 1. Describe qué ecuación usaste
para construirla.
¿Qué información obtuviste de la gráfica para encontrar esa ecuación?
2. Construye en tu calculadora tres gráficas idénticas
a las de la figura 2.
Figura 2
¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?
3. Construye en tu calculadora cuatro gráficas idén-
Figura 3
ticas a las de la figura 3.
¿Qué ecuaciones usaste para construirlas?
4. ¿Encontraste un “método” para obtener la ecuación que corresponde a cada gráfica?
Descríbelo de manera que todos tus compañeros lo entiendan.
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
163
Hoja de trabajo 76
Figura 1
Gráficas que “decrecen”
En las figuras de esta hoja de trabajo, la escala en X y Y es 1.
La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = -x + 2.
1. Escribe las coordenadas del punto donde la gráfica corta al
eje Y.
2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 1 hasta x = 2?
Justifica tu respuesta.
3. Una estudiante dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas de izquierda a derecha sobre el eje de las X.
¿Estás de acuerdo?
¿Por qué?
Justifica tu respuesta.
4. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = -2x + 1.
¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C?
Figura 2
5. ¿Cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te mueves
desde el punto A hasta el punto B?
6. Describe cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje
Y verticalmente cuando te mueves de C a B.
7. Describe la relación entre lo que “baja” la gráfica por cada unidad al avanzar horizontalmente y su
ecuación.
164
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 77
Más sobre gráficas que “decrecen”
Figura 1
La escala en X y Y es 1
La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = -x + 2.
1. Escribe cuáles son las coordenadas del punto donde
la gráfica corta al eje Y.
2. ¿La gráfica “sube” si avanzas desde x = 0 hasta x = 2?
3. Una estudiante dice que esta gráfica “baja” cuando avanzas desde x = 0 hasta x = 2. ¿Estás de
acuerdo?
Presenta
un ejemplo que justifique tu respuesta
4. La figura 2 muestra la gráfica de la ecuación y = -3x + 1.
¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C?
Figura 2
La escala en X y Y es 1
5. Describe cuántas unidades avanzas sobre el eje de las X si te
mueves desde el punto A hasta el punto B.
6. Describe cuántas unidades baja la gráfica sobre el eje Y cuando te mueves desde C hasta B.
7. Describe si encuentras alguna relación entre lo que “baja” la gráfica con su ecuación y cuál es.
8. Construye en la calculadora una gráfica que “baje” como las
anteriores y dibújala en el plano de la derecha. ¿Qué ecuación usaste para construir esa gráfica?
¿Cuántas unidades “baja” la gráfica sobre el eje Y cuando
avanzas una unidad sobre el eje X? Justifica tu respuesta
9. Describe la relación entre lo que “baja” la gráfica y la ecuación que usaste.
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
165
Hoja de trabajo 78
Rectas y ecuaciones
1. Reproduce en tu calculadora cada una de las gráficas que se muestran en las siguientes figuras. Anota en los espacios correspondientes las ecuaciones que usaste.
La escala en los ejes X y Y es 1.
Ecuaciones:
Ecuaciones:
Ecuaciones:
Ecuaciones:
Ecuaciones:
Ecuaciones:
2. En las siguientes figuras sólo se marcaron algunos puntos. Construye en tu calculadora las gráficas que
pasen exactamente por esos puntos. Anota en los espacios correspondientes las ecuaciones que utilizaste.
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
166
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 79
Cuadriláteros
1. Reproduce en tu calculadora la figura 1 que un
estudiante construyó, y anota en los siguientes espacios las ecuaciones que usaste.
Figura 2
3. Construye las gráficas de la figura 3 y anota las
ecuaciones que usaste.
Figura 1
2. Construye en tu calculadora las gráficas de la figura 2. Anota a continuación las ecuaciones que
usaste.
Figura 3
4. Describe, de manera que todos tus compañeros lo entiendan, cuál es la información más importante que
te proporciona la gráfica para encontrar en la calculadora la ecuación que la produce.
Realiza en tu calculadora un diseño con rectas paralelas. Anota las expresiones que usaste y bosquéjalo
en el siguiente plano cartesiano.
Expresiones.
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
167
Hoja de trabajo 80
¿Gráficas que no “crecen” ni “decrecen”?
Figura 1
La figura 1 muestra la gráfica de la ecuación y = 1.
Constrúyela en tu calculadora y compárala con ésta.
1. Explica cuántas unidades “sube” la gráfica si te mueves
desde x = 1 hasta x = 2.
2. Explica cuántas unidades “baja” la gráfica si te mueves
desde x = 3 hasta x = 5.
3. Describe si encuentras alguna relación entre la ecuación que produce esa gráfica y el hecho de que no
“suba” ni “baje” y determina cuál es.
4. Un estudiante dice que esa gráfica no “crece” ni “decrece” porque “no hay x en la ecuación”. Agrega que
los valores de y no dependen de los valores de x. ¿Estás de acuerdo?
Refuerza tus conclusiones con algunos ejemplos.
5. Otro estudiante dice que la ecuación y = 1 es equivalente a la ecuación y = 0 × x + 1.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
Describe cómo consideras que afecta el cero en la ecuación respecto a lo que ves en su gráfica.
6. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y = 2x y describe qué efecto produce en la gráfica
el 2 que aparece en la ecuación.
7. Observa la ecuación y = 3x. Sin construir la gráfica, ¿puedes decir cuánto subirá esa gráfica sobre el eje Y
por cada unidad que avanza sobre el eje X?
8. Observa la ecuación y =
3
3
x , y describe qué efecto produce en la gráfica el número
.
2
2
Verifica tu respuesta construyendo la gráfica correspondiente.
9. Dibuja una gráfica que es una línea recta con las siguientes características. La gráfica sube 3.5 unidades en
el eje Y por cada unidad que avanza sobre el eje X. Además, la gráfica corta al eje Y en el punto (0, -2.5).
¿Qué ecuación corresponde a esa gráfica?
168
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 81
Rectas horizontales
En las figuras de esta hoja de trabajo la escala en X y Y es 1.
1. Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones y dibújalas en el plano de la derecha.
y=0×x+2
y = 0x + 2
y=2
2. Un estudiante de otra escuela dice que con las tres ecuaciones anteriores obtiene gráficas iguales. ¿Estás
de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las expresiones que utilizaste.
y=
y=
4. En la figura 1 aparecen las gráficas de las ecuaciones
y = 1 y y = -1.5. Construye gráficas de manera que el
espacio entre las gráficas quede prácticamente negro.
Anota a continuación algunas de las ecuaciones que
hayas usado.
Figura 1
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
169
Hoja de trabajo 82
Puntos, rectas y ecuaciones
1. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos que se muestran a continuación.
La escala en X y Y es 1.
Figura 1
2. Describe cuánto sube la gráfica sobre el eje Y cuando avanzas desde x = 1 hasta x = 3.
La figura 2 muestra los dos puntos que nos interesan y la gráfica de la ecuación y = 2x.
Figura 2
3. Indica cómo debes modificar dicha ecuación para
construir una recta que pase por esos dos puntos.
Comprueba tu respuesta construyendo la nueva
gráfica en tu calculadora. Escribe la ecuación que
usaste para lograr que la recta pase por los dos
puntos dados.
4. Una alumna dice que esa gráfica sube 4 unidades en el eje Y cuando avanza 2 unidades sobre el eje X.
Por lo tanto la gráfica sube 2 unidades en Y por cada unidad que avanza sobre X. Con base en esos datos,
asegura que la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos debe empezar con y = 2x, pero falta
sumarle algo para que “se suba” y no corte al eje Y en el punto (0, 0).
¿Tiene razón?
¿Cuánto hay que sumar?
5. No todos los puntos de la figura 3 están alineados.
a) Primero observa qué coordenadas tienen los
puntos dados y constrúyelas luego en tu calculadora.
b) Construye en tu calculadora una recta que pase
por el mayor número posible de esos puntos e
indica por cuántos de esos puntos pasa la recta.
Figura 3
La escala en X es 1 y en Y es 2
¿Qué ecuación usaste?
6. Explica qué hiciste para encontrar la ecuación de la recta que construiste.
170
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 83
Figura 1
Escala en X es 1. Escala en Y es 2
Nubes de puntos y rectas
1. Construye una recta que pase por el
mayor número posible de puntos de
la figura 1. ¿Qué ecuación usaste?
Compara tu recta con la de tus compañeros. ¿La que construiste pasa por
más puntos que las que construyeron
tus compañeros?
Describe cómo puedes mejorar tu
ecuación.
Si encontraste una nueva ecuación escríbela aquí.
2. Describe el método que usaste para construir la recta que pasa por esos puntos.
3. Los siguientes datos muestran cómo ha crecido el número de habitantes en San Miguel.
Año
1980
1982
1988
1992
1996
2000
2004
Habitantes
12 000
15 000
20 000
24 000
29 000
31 000
34 000
Construye una gráfica de puntos que represente esos datos. Considera 1980 como el año 1; 1982 como el
año 2, y así sucesivamente. Puede serte útil expresar el número de habitantes millares; por ejemplo, 12 en
lugar de 12 000. Ajusta adecuadamente los valores máximos y mínimos de tu pantalla, observando que
no haya valores negativos en la tabla. Tu gráfica debe verse como la de la figura 2.
Figura 2
4. Si la población de San Miguel sigue creciendo a ese ritmo, ¿cuántos habitantes tendrá en el año
2008?
¿Cuántos en el 2016?
¿Cuántos habitantes tenía, aproximadamente, en 1972?
Bloque 8ऊ‡ऊ)XQFLRQHVOLQHDOHVVXVUHSUHVHQWDFLRQHVDOJHEUDLFD\JUiILFD
171
Hoja de trabajo 84
Figura 1
Nubes de puntos y predicciones
Las gráficas de la figura 1 muestran el número de
habitantes de San José y de San Felipe de 1960 a
1990, en intervalos de cinco años. En San José ha
venido creciendo la población, pero en San Felipe
está disminuyendo drásticamente.
La escala en el eje Y es 5, y en el X es 1. Las unidades sobre el eje Y están expresadas en unidades de
millar.
1. ¿En qué año se esperaría que San José y San Felipe tengan el mismo número de habitantes?
Justifica tu respuesta.
2. ¿En qué año se esperaría que la población de San José sea mayor que la de San Felipe?
¿Por qué?
3. ¿Aproximadamente cuántos habitantes tenía San José en 1960?
De acuerdo con la forma en que ha venido aumentando esa población, ¿cuántos habitantes tenía en
1955?
4. ¿Aproximadamente cuántos habitantes más tenía San Felipe que San José en 1970?
5. Construye en tu calculadora dos rectas, una que pase por los más puntos posibles sobre la gráfica de los
datos de San José, y la otra sobre los datos de San Felipe. ¿Qué ecuaciones utilizaste para construir esas
rectas?
Figura 2
6. La figura 2 muestra los datos del movimiento de un
automóvil entre las 8:00 y las 14:30 horas a intervalos
de media hora (eje X ). La escala en el eje X es 0.5, y
el origen corresponde a las 8:00. Los datos en el eje Y
corresponden a la posición del automóvil en kilómetros recorridos, con una escala de 100 en el eje Y.
7. ¿Cuántos kilómetros recorrió el automóvil de las 8:00
a las 10:00 horas?
¿Cuántos entre las 11:00 y las 14:00 horas?
¿En qué momento retrocedió?
¿Cuántos kilómetros retrocedió?
¿A cuántos kilómetros por hora, en promedio, viajó el automóvil entre las 13:00 y las 14:30 horas?
¿Cuál fue la velocidad máxima que alcanzó durante todo el recorrido?
¿En qué intervalo llegó a esa velocidad?
velocidad viajó durante ese tiempo?
¿En qué intervalo viajó más despacio y a qué
172
Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Describe la secuencia didáctica para el tema que se aborda en este bloque y comenta tu descripción con
tus compañeros.
2. En equipo, haz un mapa conceptual del tema que se trata en este bloque y preséntalo a tu grupo.
3. Identifica las actividades que promueven el estudio de la ordenada al origen y elabora una presentación
al respecto.
4. ¿En qué hojas de trabajo se aborda el estudio de la pendiente de una recta? Identifica tres ejemplos y
elabora una presentación para analizarla con tu grupo.
5. ¿Cuál es la ecuación de cada una de las rectas que se describen a continuación? Registra el procedimiento que emplees en cada caso y discute tu trabajo con tus compañeros y tu profesor.
a) Pasa por (0,-2) con pendiente 3.
1
b) Pasa por (0 , 0) con pendiente - .
2
c) Pasa por (-1 , 3) y (3, - 4).
d ) Pasa por (0, 4) y (2, 0).
e) Pasa por (1, 2) con pendiente 5.
f ) Pasa por (-4,- 3) y (2,- 3).
6. Realiza en equipo una indagación en fuentes bibliográficas acerca de la ecuación de la recta y presenta
tu trabajo al grupo.
7. Realiza las siguientes actividades.
a) Mide la extensión de los brazos (medida a través de la espalda con los brazos extendidos para formar
una “T”) y la estatura de diez personas. Con esos datos completa la siguiente tabla.
Persona
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Extensión de los brazos
Estatura
b) Construye una gráfica de puntos con los datos de la tabla.
c) ¿Qué tipo de relación observas que hay entre las dos medidas? Detalla tu respuesta.
d ) Construye una recta que pase por la mayor cantidad de puntos. ¿Qué ecuación usaste?
Compárala con la de tus compañeros.
e) ¿Cuál es la estatura estimada de una persona cuya extensión de brazos es de 140 cm?
¿y para 165 cm?
f ) Anota tus conclusiones acerca de la relación entre la extensión de brazos y la estatura de una persona.
¿A quiénes y para qué puede ser útil conocer la relación entre estas dos variables?
8. Investiga acerca del coeficiente de correlación y la regresión lineal.
9. ¿De qué manera contribuyen las actividades de este bloque al desarrollo de estos temas? Detalla tu respuesta y prepara una presentación.
10. Investiga otras situaciones cuyo modelo matemático sea una función lineal y preséntalas a tu grupo.
Bloque
Funciones cuadráticas:
su representación gráfica
y algunas aplicaciones
L
os propósitos centrales de este bloque son los siguientes.
(1) Estudiar las representaciones algebraica, gráfica y tabular de
funciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c.
(2) Identificar la parábola como la representación gráfica de funciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c.
(3) Explorar el comportamiento gráfico de funciones cuadráticas
de las formas y = ax2, y =ax2 + c, y = a(x + b)2 + c, y = ax2 +
bx.
(4) Desarrollar nociones de los conceptos de crecimiento, decrecimiento y máximo y mínimo de una función, mediante el estudio de su comportamiento gráfico.
(5) Introducir el concepto de regresión al encontrar “la parábola
que mejor se aproxima” y “la recta que mejor se aproxima”,
para estudiar el comportamiento de una nube de puntos.
En este bloque se aborda el estudio de funciones de la forma
ax2 + bx + c; a las gráficas de esas funciones se les llama parábolas; el
vértice de estas curvas determina sus valores mínimo o máximo, lo cual
depende de que la parábola decrezca y después crezca, y viceversa. Las
actividades que aquí se incluyen inducen el establecimiento de relaciones entre los parámetros de esas funciones y el comportamiento de
sus gráficas. Esto conduce a la identificación de formas para producir
diversas transformaciones en la parábola, como su traslación vertical
y horizontal, la abertura de sus “ramas” o que “abra hacia arriba” o
“hacia abajo”. Las hojas de trabajo presentan situaciones que pueden
modelarse mediante una función cuadrática que refuerza el trabajo de
las actividades del bloque anterior.
El uso de los ambientes gráfico, algebraico y tabular de la calculadora facilita el paso de la representación algebraica o tabular de una
función a su representación gráfica, lo cual favorece el desarrollo de
habilidades para establecer relaciones entre estas formas de representación y las estrategias de traducción entre ellas. Dado que la calculadora permite producir una gran cantidad de representaciones en poco
tiempo, el estudiante se motiva a acudir a estrategias de ensayo y error, y
con el tiempo puede llegar a perfeccionar esos acercamientos intuitivos
e inclusive crear métodos propios muy cercanos a los convencionales.
173
174
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 85
Un punto muy importante de la parábola
Figura 1
1. La gráfica que se muestra en la figura 1 es una parábola.
Al punto destacado de la gráfica se le llama vértice de
esa parábola. Escribe las coordenadas del vértice de esa
parábola.
2. Construye esa gráfica en tu calculadora usando la
ecuación y = x2.
3. Construye también el punto que corresponde al vértice de esa parábola.
4. Construye cuatro parábolas de manera que cada una tenga como vértice uno de los siguientes puntos:
(x = 0, y = 3.5), (x = 0, y = 4.2), (x = 0, y = -2.45). ¿Qué ecuaciones usaste?
5. Describe los cambios que observaste en tus gráficas.
6. ¿A qué crees que se deban los cambios que observas en las gráficas que construiste? Explícalo de manera
que todos tus compañeros lo entiendan.
7. Supongamos que el punto (x = 0, y = k) es el vértice de una parábola. De acuerdo con esta información,
indica cuál ecuación produce esa parábola.
8. Observa que la gráfica de la ecuación y = x2 “decrece” cuando los valores de x son negativos, y
“crece” cuando los valores de x son positivos. La figura 2
muestra la gráfica de y = -x2.
Figura 2
a) ¿Para qué valores de x “crece” la gráfica de y = -x2?
b) ¿Para qué valores de x “decrece” la gráfica de
y = -x2?
c) ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de esta
parábola?
9. Construye en tu calculadora una parábola cuyo vértice esté en el punto (0, 3.5), de manera que primero
“crezca” y después “decrezca”. Escribe la ecuación que
usaste y dibújala en el siguiente plano cartesiano.
y=
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
175
Hoja de trabajo 86
Más sobre parábolas
1. Reproduce en tu calculadora la gráfica de la figura 1.
Figura 1
2. Construye tres parábolas cuyo vértice esté arriba del vértice de la gráfica que acabas de construir, y tres cuyo
vértice esté debajo. Anota las ecuaciones que usaste.
3. Escribe las ecuaciones de la gráfica de la figura 2.
Escribe las ecuaciones de la gráfica de la figura 3.
Figura 2
Figura 3
4. Construye en tu calculadora tantas gráficas como sean necesarias, de manera que prácticamente se vea
oscurecido el espacio entre las gráficas de la figura 3.
Escribe a continuación las ecuaciones de seis de las gráficas que construiste.
5. Un estudiante construyó en su calculadora la gráfica de la expresión y = x2 - 15 y dice que no tiene vértice. ¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
6. Una estudiante dice que la gráfica de la expresión y = x2 + 13 no existe, ya que al construirla en su calculadora no apareció ninguna gráfica en la pantalla. ¿Estás de acuerdo?
Justifica claramente tu respuesta.
7. Si no coincides con la estudiante dibuja a continuación la gráfica y haz las anotaciones necesarias.
176
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 87
El vértice de una parábola
1. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones y = x2 y y = (x -2)2, y escribe enseguida las coordenadas del vértice de cada parábola.
2. En el plano de la derecha traza a mano una parábola cuyo vértice sea el punto (x = 4, y = 0). Escribe
la ecuación que usarías para construir en la calculadora una parábola como ésa.
3. Construye una parábola cuyo vértice sea el punto
(x = -4, y = 0).
Escribe la ecuación que usarías para construir esa
parábola.
4. La parábola de la figura de la derecha se construyó usando la ecuación y = (x + 4)2 -3. Escribe las
coordenadas de su vértice.
5. Construye una parábola cuyo vértice sea el punto
(x = -2, y = 4), y escribe la ecuación que usarías
para construir esa parábola.
Justifica tu respuesta.
6. Escribe las coordenadas del vértice de la parábola
que se muestra a la derecha.
7. Encuentra una ecuación que te permita construir
la gráfica de la actividad 6. Escríbela enseguida.
Verifica tu respuesta construyendo esa parábola
en la calculadora.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
177
Hoja de trabajo 88
¿Qué ecuaciones producen esas parábolas?
1. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y escribe en las líneas correspondientes la ecuación que
utilizaste en cada caso.
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
2. Las siguientes actividades plantean retos. Usa tu calculadora para verificar tus respuestas y no tener errores.
a) Construye una parábola que crezca para valores negativos de x y que decrezca para valores positivos de x. Esa parábola debe tener vértice en el punto (x = -3, y = 4). Indica qué ecuación usarías.
b) Construye una parábola que decrezca para valores negativos de x y que crezca para valores positivos
de x. El vértice de esa parábola debe ser el punto (x = 4, y = 2). Indica qué ecuación produce una parábola como esa.
c) Explica qué ecuación produce una parábola cuyo vértice es el punto (x = 0, y = -6.5) y es creciente para
valores negativos de x, y decreciente para valores positivos de x.
d ) Construye dos parábolas que tengan como vértice el punto (x = 5, y = 0), de manera que donde una
de ellas crezca la otra decrezca. Indica qué ecuaciones usaste para construirlas.
178
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 89
Simetría
La escala en las siguientes gráficas es 1 para los dos ejes cartesianos.
1. Encuentra las ecuaciones que te permitan reproducir las siguientes gráficas en tu
calculadora. Explica cómo lo lograste.
y=
y=
2. Encuentra las ecuaciones que producen las siguientes gráficas y anótalas en las líneas.
Ecuaciones:
Ecuaciones:
3. Agrega a la ecuación y = (x + 2)2 lo necesario para que
produzcas una gráfica como la de la derecha. Anota la
ecuación que usaste.
y=
4. Reproduce en tu calculadora gráficas como las que se
muestran en la figura de la derecha. Anota las ecuaciones
que usaste.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
179
Hoja de trabajo 90
¿Cuál parábola “crece” más rápido?
La figura de la derecha muestra dos gráficas. La parábola de línea gruesa corresponde a la ecuación y = x2,
y la otra a la ecuación y = 2x2.
1. ¿Cuál es el valor de y cuando x = 2 en la gráfica de
y = x2?
2. ¿Cuál es el valor de y cuando x = 2 en la gráfica de
y = 2x2?
3. ¿Cuál gráfica “crece” más rápido?
4. Construye una gráfica que crezca más rápido que la de y = 2x2 y anótala.
¿Qué ecuación produce una gráfica que crece más rápido?
5. En figura de la derecha, la gráfica de línea gruesa corresponde a y = x2; la otra se construyó con la ecuación
y = 0.5x2. ¿Cuál “crece” más rápido?
Justifica tu respuesta.
6. Construye una gráfica que crezca más lentamente que
las dos anteriores. ¿Qué ecuación usarías?
7. La figura de la derecha muestra la gráfica de y = 0.8x2.
Constrúyela en tu calculadora y haz lo que se indica
a continuación.
a) Construye dos parábolas que crezcan más rápido
que y = 0.8x2. Indica qué ecuaciones usaste.
b) Construye dos gráficas que crezcan más lentamente que y = 0.8x2. Escribe las ecuaciones que usaste.
180
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 91
Anchas y angostas
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación
y = 0.3(x + 2)2 + 1, y dibújala en el plano de la derecha.
2. Indica qué le sucede a la gráfica si en la ecuación anterior
utilizas 6 en lugar de 0.3.
3. Si construyeras las gráficas de las siguientes ecuaciones:
y = 2.8 (x + 2)2 + 1 y y = 3 (x + 2)2 + 1, ¿qué ecuaciones
usarías para construir cinco gráficas que estuvieran entre éstas y cuyos vértices se ubicaran en el mismo punto?
Dibújalas en el plano de la derecha.
4. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas.
5. Explica cómo encontraste las ecuaciones para reproducir estos planos en tu calculadora.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
181
Hoja de trabajo 92
¿Qué parábolas pasan por esos puntos?
Figura 1
1. Construye en tu calculadora los dos puntos que se muestran en la figura 1. Después construye una parábola de
modo que su vértice sea el punto A y que además pase
por el punto B.
Sugerencia: Construye primero una parábola que tenga
como vértice el punto A y después haz ajustes a la ecuación hasta que la gráfica pase por el punto B.
2. Una estudiante dice que la gráfica de la ecuación y = -18x2 + 24x tiene su vértice en el punto (x =
y = 8) y que pasa por el punto (x = 0, y = 0). ¿Estás de acuerdo?
2
,
3
Justifica tu respuesta construyendo esa parábola en tu calculadora.
3. Otro alumno dice que las gráficas de ese tipo de ecuaciones siempre pasan por el punto (x = 0, y = 0).
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
Construye varios ejemplos en tu calculadora y escribe tus conclusiones en el siguiente espacio.
4. Para cada uno de los siguientes casos, construye en tu calculadora una gráfica que tenga como vértice el
punto A y que además pase por los puntos B y C (o se aproxime a ellos lo más posible). Verifica tu aproximación usando una tabla de valores para x y y.
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
Ecuación:
182
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 93
¿A qué altura está la pelota?
Los puntos que se muestran en la figura de la derecha se
construyeron con datos que se tomaron cuando un jugador
de béisbol lanzó una pelota hacia arriba, registrándose la
altura que alcanzó en diferentes momentos.
En el eje X se registró el tiempo en segundos que duró la
pelota en el aire. En el eje Y se muestra a qué altura estaba
la pelota cada medio segundo.
Escala en X: 1; escala en Y: 3.
Las coordenadas de los puntos de la gráfica son las siguientes.
Tiempo (segundos)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Altura (metros)
0
14
19
24
20
14
0
1. Construye una gráfica en tu calculadora de manera que se aproxime lo más posible a los puntos dados.
Construye una tabla con los valores que arroja tu ecuación para verificar qué tan precisa es tu aproximación, y compárala con las coordenadas de los puntos dados. ¿Qué ecuaciones usaste?
Anota en la siguiente tabla las coordenadas obtenidas con tu ecuación.
Tiempo
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Altura
2. Compara la tabla que completaste con los valores dados, ¿en qué punto encuentras la mayor diferencia?
¿Es importante esa diferencia en términos del problema que estás resolviendo?
Justifica tu respuesta.
3. Usa la ecuación que construiste para contestar lo siguiente.
a) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota?
b) ¿Cuántos segundos transcurrieron para que la pelota alcanzara la altura máxima?
c) ¿Qué altura alcanzó a los 1.7 segundos?
d ) ¿A los cuántos segundos tocó el suelo la pelota?
4. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias?
¿A qué crees que se deba?
5. ¿Son importantes esas diferencias en términos del problema que estás resolviendo?
¿Por qué?
183
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
Hoja de trabajo 94
¿Qué tan rápido va ese automóvil?
Durante 8 segundos se registró la distancia que recorrió un automóvil desde el arranque. La tabla y la gráfica describen los datos.
En el eje X se representa el tiempo transcurrido
en segundos. En el eje Y se muestra cuántos metros por segundo avanzó el automóvil.
Escala en X: 1
Escala en Y: 50
Coordenadas de los puntos en la gráfica.
Tiempo (segundos)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Distancia (metros)
0
10
46
112
185
290
425
580
765
1. Construye en tu calculadora una gráfica que se aproxime lo más posible a los puntos que se muestran en
la figura del inicio. ¿Qué ecuación usaste para construirla?
Explica con detalle qué información obtuviste de la gráfica para construir esa ecuación.
2. Completa la siguiente tabla con la ecuación que construiste y compárala con la tabla de coordenadas de
los puntos dados en la gráfica.
Tiempo (segundos)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Distancia (metros)
3. ¿Observas diferencias grandes entre tu tabla y la tabla dada?
¿Puedes hacer ajustes en tu ecuación para obtener mejores aproximaciones?
Construye una ecuación que te permita una mejor aproximación y escríbela a continuación.
4. ¿Qué distancia recorrería ese automóvil si se mantuviera acelerando a la misma velocidad durante 12
segundos?
Explica qué hiciste para obtener esta respuesta.
¿Qué distancia habrá recorrido al término de 16 segundos?
5. ¿Cuál es la velocidad promedio (en metros por segundo) durante los primeros 8 segundos?
Explica cómo obtuviste esta respuesta.
184
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 95
¿Qué prefieres: grados Fahrenheit o centígrados?
En México se usa la escala en grados centígrados para medir la temperatura,
mientras que en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla
muestra algunas equivalencias entre esas escalas.
Grados Fahrenheit
-13
-4
5
32
100
Grados centígrados
-25
-20
-15
0
37.77
1. Utiliza los datos de la tabla anterior para hacer una gráfica de
puntos. En el eje X representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje Y los valores en grados centígrados. Construye
la gráfica en el siguiente espacio.
2. Construye una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos.
¿Qué tipo de gráfica construirías?
Explica qué ecuación usaste para construir tu gráfica.
3. Completa la siguiente tabla utilizando la ecuación que construiste y compárala con la tabla de valores
dados.
X (Fahrenheit)
-13
-4
5
32
100
Y (centígrados)
Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta
tu ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación.
4. ¿Obtuviste una nueva ecuación?
Escríbela enseguida.
5. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.
a) ¿A cuántos grados centígrados equivalen 60 grados Fahrenheit?
b) ¿A cuántos grados centígrados equivalen -12 grados Fahrenheit?
c) ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 24 grados centígrados?
d ) Si el agua hierve a 100°C, ¿a qué temperatura hierve en grados Fahrenheit?
6. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Hay diferencias notables?
¿A qué crees que se deban?
7. Con los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta hoja de trabajo encuentra una fórmula que te
permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados centígrados y escríbela enseguida.
°F =
¿Cómo lo hiciste?
185
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
Hoja de trabajo 96
Si modifico el perímetro, ¿también cambia el área?
María quiere construir un jardín como el de la figura de la derecha,
pero sólo tiene material para cercar 20 metros.
Además, quiere que su jardín tenga la mayor área posible. La figura
muestra una manera de hacerlo, pero hay muchas otras.
1. Obtén el área del jardín en metros cuadrados.
2. Busca otras alternativas para construir una cerca que limite los tres lados del terreno. Haz dibujos y completa la siguiente tabla con los datos que obtengas.
Ancho
1
2
3
4
Largo
18
12
Área
18
48
5
6
7
8
9
3. Construye una gráfica que te permita encontrar las medidas del largo y el ancho que María debe elegir
para que su jardín tenga la mayor área posible. ¿Qué puedes hacer para construir esa gráfica?
Escribe la ecuación que usaste.
¿Cuáles son las medidas para el ancho y el largo del terreno de tal manera que tenga la mayor área
posible?
4. En el plano de la derecha dibuja “a mano” la gráfica que construiste. Considera que la escala en los
ejes es 1 en X y 5 en Y.
5. Juan va a utilizar 24 metros de cerca para rodear los cuatro lados de su terreno, que es rectangular, y
quiere hacer su jardín lo más grande posible. ¿Qué harías para resolver este problema?
6. Escribe una ecuación para obtener las medidas que deben tener el largo y el ancho del terreno de Juan.
¿Cuáles son las medidas del largo y el ancho que hacen que su terreno tenga el área máxima?
186
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 97
Chofer, ¿no podría ir más rápido?
Un automóvil viaja a una velocidad constante. En el eje
Y se muestra la distancia que recorre (en metros); en el
eje X se registra el tiempo del recorrido en intervalos de
2 segundos.
Escala en el eje X: 1
Escala en el eje Y: 2
Contesta lo que se pide usando la información de la gráfica.
1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil?
2. ¿Cuántos metros había recorrido después de 2 segundos?
3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos?
¿Y a los 7 segundos?
4. ¿Cuánto tiempo le tomó recorrer 100 metros?
¿En cuánto tiempo recorrió 110 metros?
5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste?
Describe cómo encontraste esa ecuación.
6. Usa tu ecuación para contestar las siguientes preguntas.
a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2 minutos?
¿Y en una hora?
¿En una hora y 20 minutos?
b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros?
c) ¿A qué velocidad se está moviendo?
Explica qué hiciste para responder esta pregunta.
7. Un alumno afirma que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento de este automóvil.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
187
Hoja de trabajo 98
¿Mi peso es distinto en la Luna?
La siguiente figura muestra una gráfica que corresponde a la relación entre el peso de un objeto en la Tierra
y el que le correspondería si estuviera en la Luna. Las
diferencias se deben a que la fuerza de gravedad de la
Tierra y la Luna son distintas. En el eje Y se muestra el
peso en la Luna (en kilogramos); en el eje X se registra
el peso en la Tierra (en kilogramos).
1. Completa la tabla de acuerdo con los datos de la
gráfica.
Peso en la Tierra
(kg)
Peso en la Luna
(kg)
2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase
por la mayor cantidad posible de puntos. Anota tu
ecuación en el siguiente recuadro y explica cómo
la encontraste.
3
1
15
18
4.5
3. Recorre tu gráfica con la tecla TRACE y comprueba que pase por los mismos puntos que registraste en la
tabla de la actividad 1. Usa tu gráfica para responder lo siguiente.
a) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 6.25 kg?
b) ¿Cuánto pesa en la Luna un objeto que en la Tierra pesa 25 kg?
c) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 5 kg?
d ) ¿Cuánto pesa en la Tierra un objeto que en la Luna pesa 0.75 kg?
e) Explica cómo contestaste las preguntas de los incisos c y d.
4. Construye una gráfica que muestre en el eje Y el peso de una
persona en la Tierra (en kilogramos), y en el eje X su peso en
la Luna (en kilogramos).
Explica las diferencias entre esta gráfica y la anterior.
188
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 99
¿Cuánto pesas si estás en Júpiter?
La siguiente gráfica corresponde a la relación entre el peso de un objeto en la Tierra y el que le correspondería si estuviera en Júpiter. En el eje Y se muestra el peso en el planeta Júpiter (en kilogramos); en el eje X
se registra el peso en la Tierra (en kilogramos).
1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con los
datos de la gráfica.
Peso en la Tierra
(kg)
Peso en Júpiter
(kg)
2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase
por esos puntos. Anota en el siguiente espacio la
ecuación que utilizaste y explica cómo la obtuviste.
2
4
12.5
6
20
3. Usa tu gráfica para responder lo que se pide a continuación.
a) ¿Cuánto pesa en Júpiter una persona que en la Tierra pesa 40 kg?
b) ¿Cuánto pesa en Júpiter una sandía que en la Tierra pesa 3 kg?
c) ¿Cuánto pesa en la Tierra una bolsa de papas que en Júpiter pesa 1.5 kg?
d ) ¿Cuánto pesa en la Tierra una bolsa de azúcar que en Júpiter pesa 6.25 kg?
4. Construye una gráfica que en el eje Y muestre el peso en la Tierra (en kilogramos) y en el eje X el peso en
Júpiter (en kilogramos).
Explica las diferencias entre esta gráfica y la anterior.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
189
Hoja de trabajo 100
¿Tan rápido viaja la luz?
La siguiente gráfica muestra la distancia que recorre la luz (en kilómetros) en un cierto tiempo (segundos). El
eje Y muestra la distancia recorrida por la luz (miles de kilómetros); el eje X el tiempo (en segundos).
1. Completa la siguiente tabla de acuerdo con
la gráfica.
Tiempo
(segundos)
Distancia recorrida
(miles de km)
2. Construye en tu calculadora una gráfica que pase
por esos puntos. Anota en el siguiente recuadro la
ecuación que utilizaste y explica cómo la encontraste.
0.5
1
3.5
1500
2700
3. Recorre con la tecla TRACE tu gráfica y contesta lo siguiente.
a) ¿Qué distancia recorre la luz en 4 segundos?
b) ¿En cuánto tiempo recorre 1 650 000 km?
4. Un estudiante dice que la luz recorre 3 500 000 kilómetros en 12 segundos.
¿Estás de acuerdo?
Justifica claramente tu respuesta.
5. ¿Cuántos kilómetros recorre la luz en un minuto?
¿En una hora?
¿En un día?
¿En un año?
6. Explica con detalle qué hiciste para responder las preguntas de la actividad anterior.
A la distancia que recorre la luz en un año se le llama año luz; es una unidad de longitud utilizada en
astronomía para medir grandes distancias.
190
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 101
¿Una ecuación para desalojar la escuela?
1. La siguiente gráfica de puntos muestra cuántos estudiantes quedan dentro de una escuela durante un
simulacro en diferentes tiempos. El eje Y muestra a los estudiantes dentro de la escuela; el eje X el tiempo
(en segundos).
2. Escribe una ecuación que produzca una gráfica que pase por todos los puntos que muestra la gráfica y
escríbela a continuación.
Explica cómo encontraste la ecuación.
3. Responde las siguientes preguntas y explica claramente tus respuestas.
a) ¿Cuántos estudiantes había en la escuela antes del simulacro?
Explicación:
b) ¿Cuántos estudiantes había aún dentro de la escuela a los 30 segundos del simulacro?
Explicación:
c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela a los 55 segundos del simulacro?
Explicación:
d ) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?
Explicación:
e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela?
Explicación:
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
191
Hoja de trabajo 102
¿Quién lanza más alto la pelota?
La siguiente ecuación corresponde al recorrido de una pelota que se lanza hacia arriba. El punto donde la
gráfica interseca con el eje vertical corresponde a la altura desde la que se lanzó la pelota.
y = -0.5x2 + 3x + 1.5
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación anterior y reprodúcela en el siguiente eje. Usa la
escala que se sugiere para los ejes cartesianos.
2. Usa la información de esta gráfica para contestar lo que se pide a continuación.
a) ¿Qué forma tiene la gráfica de la pelota lanzada hacia arriba?
¿A qué crees que se deba?
b) ¿Desde qué altura se lanzó la pelota?
c) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó la pelota?
d ) ¿En cuánto tiempo alcanzó la pelota su altura máxima?
e) ¿Cuánto tiempo se mantuvo la pelota en el aire?
f ) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 2 segundos?
g) ¿Qué altura había alcanzado la pelota después de 10 segundos?
3. Modifica la ecuación y = -0.5x2 + 3x + 1.5 para que la pelota alcance una altura máxima de 7 metros
y anótala en el siguiente recuadro.
4. ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?
5. ¿Cómo queda la ecuación si la pelota alcanza 5 metros de altura máxima?
Comprueba en tu calculadora a qué altura fue lanzada la pelota.
6. ¿Y para una altura máxima de 4.5 metros, cómo queda la ecuación?
7. ¿Desde qué altura fue lanzada la pelota?
9. ¿Cuál es la altura máxima en el caso de que la ecuación sea y = -0.5x2 + 3x + 4?
Verifica tu respuesta en la calculadora.
9. ¿Cómo son entre sí las gráficas construidas en la calculadora?
10. ¿A qué crees que se deba?
192
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 103
¿Puedes calcular el tiempo y la distancia en caída libre?
Se deja caer un objeto desde cierta altura. La siguiente gráfica de puntos nos
da información sobre la distancia y el tiempo durante su recorrido. El punto
donde se cortan la gráfica y el eje y corresponden a la altura desde la que se
dejó caer el objeto.
El eje Y muestra la altura a que se encuentra el objeto con respecto al piso
(en metros) y el eje X el tiempo (en segundos).
1. Completa la siguiente ecuación y construye la gráfica en tu calculadora.
y = - 4.9x2 +
2. Recorre tu gráfica con la tecla TRACE y responde lo siguiente.
a) ¿Desde qué altura se dejó caer al objeto?
b) ¿Cuánto tiempo había transcurrido cuando el objeto estaba a 3 metros de altura?
c) ¿A qué distancia del piso se encontraba el objeto después de 0.5 segundos?
d ) ¿A qué distancia del piso estaba el objeto a los 3 segundos?
e) ¿Cuánto tiempo tardó el objeto en estrellarse contra el piso?
3. ¿Desde qué altura debe dejarse caer el objeto para que tarde 1 segundo en llegar al piso?
¿Cuál ecuación corresponde a esta situación?
Verifica en la calculadora tus respuestas para no cometer errores. Explica tu razonamiento para las dos
preguntas anteriores.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
193
Hoja de trabajo 104
¿Es correcto lo que me cobran?
Un estacionamiento cobra $4.00 por la primera hora, y de ahí en adelante $1.00 más por cada cuarto de
hora o fracción siguiente.
1. Contesta las siguientes preguntas usando esa información. Justifica tus respuestas.
a) ¿Cuánto debe pagar una persona que deja su auto a las 4:00 p.m. y lo recoge a las 5:25 p.m.?
b) ¿Cuánto debe pagar alguien que deja su auto a las 8:55 a.m. y lo recoge a las 12:17 p.m.?
c) ¿Cuánto debe pagarse por los siguientes intervalos?
De las 2:00 p.m. a las 3:14 p.m.
De las 2:00 p.m. a las 3:18 p.m.
De las 2:00 p.m. a las 3:25 p.m.
De las 2:00 p.m. a las 3:30 p.m.
De las 2:00 p.m. a las 3:33 p.m.
2. Un compañero dice que hay muchos intervalos por los que se cobran $9.00. ¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta con algunos ejemplos.
3. Escribe 5 ejemplos de intervalos por los que se cobran $7.00.
4. Construye en tu calculadora una gráfica que represente el cobro del estacionamiento; explica claramente
cómo la construiste y reprodúcela en el siguiente plano cartesiano.
Explicación.
194
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 105
¡Viajar en taxi cuesta!
La siguiente gráfica muestra diferentes tarifas en un taxi, la cuales dependen de la distancia que se recorre.
El eje Y muestra el cobro por viaje ($) y el eje X la distancia recorrida (kilómetros).
Responde lo que se pide en cada caso de acuerdo con la información de la gráfica.
1. ¿Cuánto debe pagar una persona que hace un recorrido de 7 km?
Explica por qué:
2. Anota 5 distancias diferentes por las que la tarifa sea $13.50.
Escribe tu razonamiento.
3. Un compañero dice que por un recorrido de 43 km el cobro es de $14.00. ¿Estás de acuerdo?
Justifica claramente tu respuesta.
4. De acuerdo con la gráfica, ¿cómo se determina la tarifa a pagar por un viaje en taxi?
5. Construye en tu calculadora y reproduce “a mano” la gráfica para un taxi cuya tarifa se determina con un
cobro de $7.00 por abordarlo, más $1.00 por cada 250 metros.
Bloque 9ऊ‡ऊ)XQFLRQHVFXDGUiWLFDVVXUHSUHVHQWDFLyQJUiILFD\DOJXQDVDSOLFDFLRQHV
195
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Describe la secuencia didáctica propuesta en este bloque para desarrollar el tema de la función cuadrática; haz una presentación y plantéala a tu grupo.
2. Elabora en equipo un mapa conceptual que muestre la conexión entre los contenidos matemáticos que
aborda este bloque. Coméntalo con tus compañeros.
3. Construye en la calculadora una parábola que pase por los puntos que se indican en cada uno de los
siguientes incisos.
a) Por el punto (-2, -3).
b) Por los puntos (-4, 0) y (4, 0).
c) Por los puntos (1, 0), (3, 4) y (6, 2).
Compara con tus compañeros las ecuaciones que se usaron. ¿Son todas iguales?, ¿es única la que usaron?,
¿en qué caso es única la ecuación que se puede construir?
4. Investiga fundamentos matemáticos que expliquen por qué uno de los casos tiene ecuación única.
5. Realiza una investigación en diversas fuentes acerca de la función cuadrática y la parábola, prepara una
presentación y analízala con tus compañeros.
6. Realiza las siguientes actividades.
a) Construye un tablero como el que se ilustra a continuación. En vez de estacas puedes usar canicas u
otro material, y juega de acuerdo con las siguientes instrucciones. (Busca el juego en versión virtual en
la dirección http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html).
b) El propósito es que las estacas blancas ocupen el lugar de las grises y viceversa.
c) Las reglas son:
‡ / DVHVWDFDVGHFDGDFRORUVHPXHYHQHQHOVHQWLGRHQTXHVHHQFXHQWUDHORULILFLRYDFtRRFXSDQGRHO
espacio vacío y saltando sólo estacas de color diferente, con un movimiento a la vez.
‡ 1RVHGHEHUHWURFHGHUQLVDOWDUPiVGHXQDHVWDFDXRULILFLRDODYH]\WDPSRFRLQWHUFDPELDUHVWDFDV
contiguas en un solo paso.
d ) Realiza el juego hasta que logres dominarlo; luego juégalo para tres estacas de cada color, dos, y una,
e incluso hasta de cinco.
e) Cuenta todos los movimientos que se necesitan para completar el juego en cada caso.
196
Desarrollo del pensamiento algebraico
f ) Completa las siguientes tablas:
Total
de canicas
Número de movimientos
para completar el juego
Total de canicas
de un color
2
1
4
2
6
3
8
4
10
5
Número de movimientos
para completar el juego
g) Determina la ecuación y gráfica de las tablas.
h) Responde y justifica cuestionamientos como:
‡ ¢&XiQWRVPRYLPLHQWRVVHUHTXLHUHQSDUDFRPSOHWDUHOMXHJRFRQXQWRWDOGHFDQLFDV"
‡ ¢ &XiQWRVPRYLPLHQWRVVHUHTXLHUHQSDUDFRPSOHWDUHOMXHJRFRQXQWRWDOGHFDQLFDVGHXQFRORU"
‡ ¢+D\DOJ~QFDVRTXHUHTXLHUDPRYLPLHQWRVSDUDFRPSOHWDUHOMXHJR"
‡ ¢4XpWLSRGHUHODFLyQKD\HQWUHODFDQWLGDGGHFDQLFDV\ORVPRYLPLHQWRVSDUDFRPSOHWDUHOMXHJR"
7. Realiza una investigación del tema regresión cuadrática. ¿Qué relación encuentras entre este tema y las
actividades del bloque? Prepara una presentación al respecto.
8. Investiga situaciones que contengan variables cuya relación sea una función cuadrática y elabora secuencias didácticas.
Factorización de expresiones
cuadráticas: un acercamiento
visual
E
l propósito de este bloque es introducir a los estudiantes en
el tema de la factorización de expresiones cuadráticas en una
variable; se aprovechan los recursos de la visualización de gráficas en el plano cartesiano y las habilidades que los estudiantes
han desarrollado para identificar la relación que hay entre los
coeficientes de una función cuadrática y el comportamiento de
su gráfica.
Los casos de factorización que se abordan en este bloque
corresponden al trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomio de segundo grado y el trinomio de segundo
grado cuando el término independiente es cero. En particular,
estos casos corresponden respectivamente a las expresiones
conónicas x2 + bx + c, x2 - a2, x2 + 2ax + a2 y x2 + ax, donde
a, b y c son números reales. En casi todas las actividades de este
bloque el coeficiente del término cuadrático es 1.
La factorización de expresiones cuadráticas en una variable
introduce de manera natural al estudio de la equivalencia entre
expresiones algebraicas. En estas actividades el criterio para determinar si dos expresiones son equivalentes es que sus gráficas
cartesianas sean iguales, lo cual extiende el criterio de equivalencia que se aplicó en el bloque 2, donde el criterio fue que
dos expresiones algebraicas son equivalentes si producen los
mismos valores de salida para los mismos valores de entrada.
Te invitamos a completar las actividades de este bloque con
una reflexión constante sobre los aprendizajes que construyas
a partir del análisis del comportamiento de este tipo de funciones, y las competencias docentes que estarás cultivando al
enriquecer tus conocimientos con los contenidos del tema de
factorización algebraica.
Asimismo, es importante que compares este acercamiento didáctico al tema de factorización con el acercamiento algebraico que estudiaste en la secundaria y el bachillerato, que
también compares sus ventajas y limitaciones así como las formas en que ambos acercamientos se complementan.
197
198
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 106
El trinomio cuadrado perfecto
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación y =
(x + 3)2 y dibújala en el plano cartesiano de la derecha.
2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = x2 + 6x + 9 y
bosquéjala en el plano cartesiano de la derecha.
3. Un estudiante afirma que las gráficas de las actividades 1 y 2
son iguales, ¿estás de acuerdo?
Explica a qué crees que se deba.
4. Construye la gráfica de la ecuación y = (x + 3)(x + 3) y compárala con las gráficas de las actividades 1 y 2.
Presenta tus conclusiones de las expresiones (x + 3)2, x2 + 6x + 9 y (x + 3)(x + 3).
5. Encuentra otras dos expresiones que produzcan la misma gráfica que (x + 1)2. Anota esas expresiones y
explica cómo las obtuviste.
6. Encuentra las ecuaciones con las que se produjeron las siguientes gráficas. Después construye dos ecuaciones equivalentes a cada una.
y=
y=
y=
y=
y=
y=
Bloque 10ऊ‡ऊ)DFWRUL]DFLyQGHH[SUHVLRQHVFXDGUiWLFDVXQDFHUFDPLHQWRYLVXDO
199
Hoja de trabajo 107
Algo más sobre el trinomio cuadrado perfecto
1. Una estudiante dice que la ecuación y = x2 + 1.52 produce la misma gráfica que y = (x + 1.5)2.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
2. Comprueba tu respuesta y traza las gráficas de las ecuaciones de
la actividad anterior.
3. Otro estudiante dice que y = (x - 2)2 produce la misma gráfica que la de la ecuación y = x2 - 2x - 2x + 4.
¿Estás de acuerdo?
Explica tu respuesta.
4. Construye en tu calculadora las gráficas de las ecuaciones de la
actividad anterior para comprobar tu respuesta y dibújalas en el
plano cartesiano de la derecha.
5. Encuentra en cada uno de los siguientes incisos dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica de la
ecuación que se da. Verifica con tu calculadora que tus respuestas sean correctas.
a) y = (x + 6)(x + 6)
b) y = x2 + 8x + 16
y=
c) y = 16x2 + 40x + 25
y=
y=
y=
y=
d ) y = (x - 2.5)(x - 2.5) y =
y=
y=
200
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 108
Diferencia de cuadrados (1)
1. Construye en tu calculadora la gráfica de y = (x + 2.5)(x – 2.5)
de la siguiente ecuación y dibújala en el plano cartesiano de
la derecha.
2. Ahora construye la gráfica de la ecuación y = x2 – 6.25 y
dibújala en el plano cartesiano de la derecha.
3. ¿Cómo son las gráficas de las dos expresiones que acabas de
construir en tu calculadora?
4. Explica a qué se debe que sean iguales.
5. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que y = (x + 3)(x – 3). Anota tu ecuación en el
siguiente recuadro y luego explica tu razonamiento.
Razonamiento.
6. Encuentra dos ecuaciones que produzcan las siguientes gráficas.
y=
y=
y=
y=
Bloque 10ऊ‡ऊ)DFWRUL]DFLyQGHH[SUHVLRQHVFXDGUiWLFDVXQDFHUFDPLHQWRYLVXDO
201
Hoja de trabajo 109
Diferencia de cuadrados (2)
1. Encuentra otra ecuación que produzca la misma gráfica de la ecuación que se indica en cada inciso. Anota
en el recuadro la ecuación y verifica tu respuesta construyendo las gráficas en tu calculadora. Traza en cada
caso la gráfica (especifica la escala en tu calculadora).
a)
y = (x - 3.5)(x + 3.5)
Escala
b)
y = x2 - 36
Escala
c)
y = (3x - 1)(3x + 1)
Escala
2. Un estudiante no pudo encontrar la ecuación que produce una gráfica igual a la de y = 100x2 - 9. Búscala
y explica cómo la encontraste. Construye las gráficas en tu calculadora para comprobar que tu respuesta
es correcta.
y=
Explicación.
3. Otro estudiante dice que la expresión y = (x - 5)(x + 5) produce la misma gráfica que y = x + 25. ¿Estás
de acuerdo?
Explica tu respuesta.
4. Construye las gráficas en tu calculadora y comprueba que tu respuesta es correcta.
202
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 110
Trinomio de segundo grado (1)
1. Una estudiante construyó la gráfica de la derecha en su
calculadora. Para ello utilizó una ecuación como la siguiente. Encuentra los números que faltan y completa la
ecuación.
Y = (x +
)(x +
)
Explica tu razonamiento para completar la ecuación.
2. Ahora construye la gráfica de la expresión y = x2 + 6x + 5, y compárala con la de la actividad anterior.
¿Cómo son ambas gráficas?
¿A qué se debe?
3. Encuentra una ecuación que produzca la misma gráfica que y = (x + 8)(x + 3).
y=
Explica cómo la encontraste.
4. Como en las actividades anteriores, encuentra dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes
gráficas y anótalas en los recuadros.
Bloque 10ऊ‡ऊ)DFWRUL]DFLyQGHH[SUHVLRQHVFXDGUiWLFDVXQDFHUFDPLHQWRYLVXDO
203
Hoja de trabajo 111
Trinomio de segundo grado (2)
1. Completa los espacios en blanco para construir parejas de ecuaciones que produzcan las mismas gráficas.
Verifica tus respuestas construyendo las gráficas correspondientes en tu calculadora.
a)
y = (x -
)(x +
)
y = x2 - [
]x-[
]
y = (x -
)(x -
)
y = x2 - [
]x+[
]
y = (x +
)(x -
)
y = x2 + [
]x-[
]
b)
c)
2. Una estudiante dice que y = x2 + 40 produce la misma gráfica que y = (x - 5)(x - 8).
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
3. Otro estudiante dice que las ecuaciones y = x2 - 5x + 3x - 15 y y = (x - 5)(x + 3) producen la misma
gráfica. ¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
4. Encuentra una ecuación para construir la gráfica de la derecha
y anótala.
y=
204
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 112
Expresiones cuadráticas con un factor común
1. Encuentra una ecuación que te permita reproducir en tu
calculadora la gráfica de la derecha. Anótala en el recuadro y explica cómo la encontraste.
y=
Explicación.
2. Busca otra ecuación que te permita reproducir la gráfica de la actividad 1; anótala en el recuadro y explica
cómo la encontraste.
y=
Explicación.
3. Algunos estudiantes crearon las ecuaciones y = x2 - 4x, y = (x + 0)(x - 4) y y = (x)(x - 4) para reproducir
la gráfica de la actividad 1. Compara esas ecuaciones y explica por qué producen la misma gráfica.
Explicación.
4. Otro estudiante dice que la ecuación (x)(x + 4) también produce la gráfica que se muestra en la actividad 1.
¿Estás de acuerdo?
Justifica tu respuesta.
Bloque 10ऊ‡ऊ)DFWRUL]DFLyQGHH[SUHVLRQHVFXDGUiWLFDVXQDFHUFDPLHQWRYLVXDO
205
Hoja de trabajo 113
Factorización y equivalencia algebraica (1)
1. Al igual que en la hoja de trabajo anterior, encuentra tres ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas. Si es necesario, ajusta el rango de tu calculadora para que puedas ver las gráficas como
se presentan aquí.
2. Una estudiante usó la ecuación y = 3x2 - 6x para construir
la gráfica que se muestra a la derecha. Encuentra otras dos
ecuaciones que produzcan la misma gráfica.
206
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 114
Factorización y equivalencia algebraica (2)
1. Encuentra otras dos ecuaciones que produzcan cada una de las siguientes gráficas.
y = 5x2 - 20x
y = (x + 0)(2x + 3)
2. Encuentra dos ecuaciones equivalentes a y = 2.5x2 - 15x. Anótalas en los recuadros y explica el razonamiento para tu respuesta.
Explicación.
3. Escribe en cada inciso otras dos ecuaciones que produzcan la misma gráfica de la ecuación que se da.
Bosqueja a la derecha la gráfica correspondiente.
a)
y = 8x2 + 16x
b)
y = 4x2 + 5x
Bloque 10ऊ‡ऊ)DFWRUL]DFLyQGHH[SUHVLRQHVFXDGUiWLFDVXQDFHUFDPLHQWRYLVXDO
207
Actividades sugeridas para los futuros docentes
1. En la presentación de este bloque se hace referencia al “trinomio de segundo grado”. Indaga en fuentes
bibliográficas la definición de un trinomio de segundo grado y las estrategias que se sugieren para factorizarlo. Compara estas estrategias con las que experimentaste en las actividades de este bloque y escribe
un ensayo al respecto.
2. Asimismo, se hace referencia a “la diferencia de cuadrados”. Indaga en fuentes bibliográficas la definición
de “diferencia de cuadrados”. Compara estas estrategias con las que experimentaste en este bloque y
escribe un breve documento al respecto.
3. También se hace referencia al “trinomio cuadrado perfecto”. Indaga en fuentes bibliográficas la definición
de “trinomio cuadrado perfecto”. Identifica en qué hojas de trabajo de este bloque se involucran trinomios
cuadrados perfectos y en qué se diferencian estos casos del caso general que se presenta en la bibliografía
que consultaste.
4. Elige tres hojas de trabajo de este bloque y aplícalas en una sesión con alumnos de educación básica. Haz
un reporte de los resultados en términos del aprendizaje logrado por esos alumnos y de las dificultades
que les ayudaste a resolver.
Bloque Resolución gráfica de ecuaciones
lineales y cuadráticas
E
l propósito de este bloque es estudiar algunos métodos gráficos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado.
Las actividades se basan en la exploración visual de las gráficas de funciones como punto de partida para identificar estrategias para resolver ecuaciones. Estas actividades vinculan el
estudio de la resolución de ecuaciones con la representación
gráfica de funciones, y fortalecen los conocimientos algebraicos
de los estudiantes en aspectos importantes como la lectura de
los componentes de una ecuación y el concepto de solución
de una ecuación.
La articulación de las representaciones algebraica y gráfica
de las funciones lineales y cuadráticas centra la atención del estudiante en la información que proporcionan ciertos puntos de
las gráficas, como el significado de las coordenadas en los puntos donde se cruzan dos gráficas y su relación con la solución de
una ecuación, o los puntos en que la gráfica de una función
cuadrática interseca al eje de las abscisas.
El ambiente gráfico de la calculadora desempeña un rol
fundamental en la propuesta de este bloque. La producción
casi instantánea de gráficas y la herramienta TRACE favorecen
la lectura e interpretación de gráficas, coordenadas de puntos
específicos, y su relación con la resolución de ecuaciones.
Las hojas de trabajo promueven el desarrollo de competencias acordes con las sugeridas para la Educación Básica.
209
210
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 115
Resolución gráfica de ecuaciones de primer grado
1. Resuelve la siguiente ecuación y escribe en el recuadro el procedimiento que seguiste.
2x + 3 = 4
Solución:
2. Construye en tu calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones.
y = 2x + 3
y=4
3. Recorre con la tecla Trace una de las gráficas y detén el cursor en el punto en que se cruzan ambas gráficas,
como se muestra en la siguiente figura.
Observa que al utilizar Trace se despliegan las coordenadas de los puntos por donde el cursor recorre la
gráfica.
4. Anota las coordenadas del punto en que se cruzan las gráficas.
(
,
)
5. ¿Observas alguna relación entre las coordenadas del punto de intersección y la solución de la ecuación
2x + 3 = 4?
Justifica tu respuesta.
6. ¿Qué significado tiene el valor de y en la ecuación 2x + 3 = 4?
7. Explica si hay otro punto en el que se crucen las gráficas.
¿A qué crees que se deba?
8. Encuentra la solución de la ecuación 4x - 3 = 7 utilizando el método gráfico de las actividades anteriores.
Anota qué ecuaciones usaste y el punto de intersección de sus gráficas.
y=
Solución:
y=
(
,
)
Bloque 11ऊ‡ऊ5HVROXFLyQJUiILFDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
211
Hoja de trabajo 116
Puntos donde se cortan dos gráficas
1. Resuelve la ecuación 3x + 2 = x - 2 y construye en tu calculadora las gráficas correspondientes. Anota las ecuaciones que
utilizaste.
y=
y=
2. Traza las gráficas en el siguiente plano cartesiano. 3. Anota las coordenadas del punto en que se intersecan las gráficas.
(
,
)
4. Observa las coordenadas del punto de intersección y explica qué significado tiene el valor de x en la ecuación 3x + 2 = x - 2.
5. Explica qué significado tiene el valor de y.
6. Resuelve las siguientes ecuaciones, construye las gráficas en tu calculadora, y trázalas en los planos cartesianos correspondientes.
a) 0.5x + 1 = - x + 4
Solución:
b) x + 3 = 3 - 2x
2
4
Solución:
c) 4x - 7 = 0
Solución:
212
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 117
¿Cuál es la solución?
1. Resuelve la siguiente ecuación construyendo las gráficas en tu calculadora, luego
dibújalas en el siguiente plano.
x + 9 =x + 1
4
2
Solución:
2. Observa las gráficas, y explica a qué se debe su comportamiento.
3. Explica la solución de la ecuación de la actividad 1 sin recurrir a las gráficas.
4. Construye dos ecuaciones cuyas gráficas se comporten como las de la actividad 1. Comprueba las respuestas
en tu calculadora.
5. En cada uno de los siguientes casos encuentra una ecuación asociada a las siguientes gráficas y comprueba las respuestas en tu calculadora.
a)
b)
6. Describe como construiste las ecuaciones que corresponden a las gráficas de la actividad 5.
Justifica tu respuesta con algunos ejemplos.
Bloque 11ऊ‡ऊ5HVROXFLyQJUiILFDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
213
Hoja de trabajo 118
¿En cuántos puntos se intersecan estas gráficas?
1. Resuelve la siguiente ecuación y construye en tu calculadora las gráficas correspondientes; dibújalas luego
en el siguiente plano.
x2 = 4
Solución:
2. ¿En cuántos puntos se intersecan las gráficas que construiste?
3. Anota las coordenadas de los puntos de intersección entre las gráficas.
Intersección 1
( , )
Intersección 2
( , )
4. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 1, para la ecuación x2 = 4?
¿Y el de y?
5. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 2, para la ecuación x2 = 4?
6. Construye en tu calculadora las gráficas que se necesiten para resolver las siguientes ecuaciones y trázalas
luego en el plano cartesiano correspondiente.
a) 2x2 - 7 = - 2
Solución:
b) 3x2 = x2 + 2
Solución:
7. Construye una ecuación cuyas soluciones sean x = 3 y x = -3. Comprueba el resultado aplicando el método
gráfico.
y=
Explica cómo construiste la ecuación
214
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 119
¿Cuál es la solución?
1. Resuelve la siguiente ecuación construyendo en tu calculadora las gráficas que se requieran; luego dibújalas en el
plano cartesiano de la derecha.
(x - 4)2 = - 2
Solución:
2. ¿Cuántos puntos de intersección tienen tus gráficas?
3. Explica, sin observar tus gráficas, la solución de la ecuación (x - 4)2 = - 2.
4. Encuentra la solución para la ecuación -1 = x2.
Solución:
5. Explica lo que observaste al intentar responder la actividad 4.
6. Escribe otras dos ecuaciones cuya solución sea como las de las actividades 1 y 4; anótalas, verifícalas en tu
calculadora y luego dibuja sus gráficas en los siguientes planos.
a)
b)
Bloque 11ऊ‡ऊ5HVROXFLyQJUiILFDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
215
Hoja de trabajo 120
¿Sólo una solución?
1. Construye una ecuación que se resuelva usando las gráficas
que se muestran en la figura de la derecha. Verifica en tu
calculadora que no haya errores. La escala en ambos ejes
es 1.
2. Indica en cuántos puntos se intersecan las gráficas de la actividad 1.
3. Escribe la solución de la ecuación.
4. Explica, sin recurrir a las gráficas, la solución que obtuviste para tu ecuación.
5. Escribe una ecuación que se resuelva con las siguientes gráficas. Anota su solución y comprueba las respuestas en tu calculadora. La escala en los ejes cartesianos es 1.
a) Ecuación:
Solución:
b) Ecuación:
Solución:
c) Ecuación:
Solución:
216
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 121
Puntos donde se intersecan dos gráficas
1. Resuelve con el método gráfico las siguientes ecuaciones y dibuja las gráficas en el plano correspondiente.
a) 3x2 = x + 2
Solución:
b) 1 x2 - 3 = - 2x + 1
2
Solución:
c) x ( x + 3.7) = 0
Solución:
2. Construye una ecuación que se resuelva con las siguientes gráficas. Anota la solución y comprueba las
respuestas en tu calculadora.
a)
Ecuación:
Solución:
b)
Ecuación:
Solución:
Bloque 11ऊ‡ऊ5HVROXFLyQJUiILFDGHHFXDFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
217
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Indaga en fuentes bibliográficas qué métodos se emplean para resolver ecuaciones de primero y segundo grado con una incógnita. En equipo, haz un resumen y preséntalo a tu grupo para su análisis.
2. Compara las estrategias para resolver ecuaciones de primero y segundo grado de este bloque, con los
métodos algebraicos convencionales (como los que encontraste al resolver la actividad 1). Comenta sus
ventajas y desventajas en términos del aprendizaje de los estudiantes.
3. ¿Cuáles son las relaciones entre las representaciones gráfica y algebraica de una función? ¿Cómo contribuye familiarizarse con estas relaciones para el trabajo propuesto en este bloque? Elabora un ensayo en
equipo, y preséntalo a tu grupo para su discusión.
4. Discute con tus compañeros la pertinencia del uso de la calculadora en actividades como las de este
bloque. Escribe tus conclusiones.
5. Construye una ecuación de primer grado que tenga:
a) Una solución positiva.
b) Una solución negativa.
c) Ninguna solución.
Usa la calculadora para comprobar gráficamente tus respuestas.
6. ¿Qué características tiene la gráfica de cualquier ecuación de primer grado que no tiene solución? Analiza tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.
7. Indaga en fuentes bibliográficas qué significa que una ecuación de segundo grado tenga soluciones reales.
8. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga:
a) Dos soluciones positivas.
b) Dos soluciones negativas.
c) Una solución positiva y una negativa.
d ) Sólo una solución positiva.
e) Sólo una solución negativa.
f ) Ninguna solución real.
Comprueba gráficamente las respuestas con tu calculadora.
9. Compara con tus compañeros el trabajo realizado en los dos puntos anteriores, así como las estrategias
usadas por cada uno. Redacta tus conclusiones al respecto.
10. Indaga en fuentes bibliográficas qué son los números complejos. Haz un resumen en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.
Bloque Función raíz cuadrada:
dominio y contradominio
L
୺os propósitos centrales del presente bloque son:
(1) Identificar el dominio y contradominio de la función
raíz cuadrada.
(2) Expresar como intervalo los conjuntos de valores que
conforman el dominio y contradominio de la función
raíz cuadrada de x.
(3) Trasladar y reflejar gráficas de la función raíz cuadrada
respecto a los ejes cartesianos.
Las actividades del bloque acuden a la visualización de gráficas y ecuaciones de la función raíz cuadrada para identificar su
dominio y contradominio. La pantalla de la calculadora permite
visualizar una gráfica y responder preguntas sobre los valores utilizados en su construcción: qué valores se pueden observar; si se
puede continuar con la construcción de la gráfica más allá de la
pantalla, y cómo se explican sus respuestas a partir de la regla de
correspondencia de la función.
En este bloque se introduce la notación de intervalo para expresar el dominio y contradominio de una función, lo cual implica
el desarrollo de las nociones de intervalo e intervalo semiabierto.
En las hojas de trabajo se proponen variaciones en los parámetros de las reglas de correspondencia de las funciones involucradas a fin de reconocer las modificaciones de las gráficas. A
partir del reconocimiento de la forma de la gráfica y de los efectos
de la variación de los parámetros en la gráfica, se plantean actividades que piden la construcción de las ecuaciones a partir de sus
gráficas. Si bien la calculadora construye las gráficas, el estudiante
podrá anticipar gradualmente lo que la calculadora desplegará,
convirtiéndose en una herramienta de validación de lo que se tiene en mente respecto de una gráfica específica.
19.01 × 0.01
19.01 × 0.01
Representación
algebraica
19 ÷ 100
Representación
gráfica
19 ÷ 100
Nuestra propuesta es utilizar la calculadora para facilitar los
procesos de exploración, formulación y validación de conjeturas
matemáticas.
219
220
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 122
Función raíz cuadrada
Construye en la calculadora la gráfica de la función
y = x - 4 y dibújala en el plano de la derecha.
Observa la gráfica y responde.
1. ¿Qué valor le corresponde a y si x = 4?
2. ¿Qué valor le corresponde a y si x = 8?
3. Además de contestar las preguntas 1 y 2 con la información de la gráfica, ¿qué cálculos puedes realizar
para responderlas? Explica detalladamente.
4. ¿Qué valor le corresponde a y si x = 2?
5. ¿Qué valor le corresponde a y si x = -3?
6. Además de observar la gráfica, ¿qué cálculos puedes realizar para responder las preguntas 4 y 5? Explica
detalladamente.
7. En la gráfica se observa que para x < 4 no hay un valor para x - 4 . ¿A qué se debe esto? Explica detalladamente.
8. Usa la función raíz cuadrada para construir en tu calculadora una gráfica en la que no existan valores para
x < -3. Anota en el siguiente espacio la ecuación que
usaste.
y=
Dibuja la gráfica en el plano de la derecha.
La función raíz cuadrada está definida para los números reales no negativos. Para determinar la raíz
cuadrada de números negativos es necesario definir el conjunto de los números complejos, en el cual se
introduce el número i, de modo que i 2 = - 1, y por lo tanto - 1 = i .
Bloque 12ऊ‡ऊ)XQFLyQUDt]FXDGUDGDGRPLQLR\FRQWUDGRPLQLR
221
Hoja de trabajo 123
Dominio y contradominio
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función
y= x
Dibújala en el plano de la derecha.
2. Observa la gráfica que construiste en tu calculadora
y responde lo siguiente.
¿Cuál es el valor mínimo de x en la función y = x?
¿Cómo pudiste determinarlo a partir de la gráfica?
¿Cuál es el valor máximo de x en la función y = x?
¿Cómo pudiste determinarlo a partir de la gráfica?
¿Por qué crees que la calculadora no asigna valores negativos a x cuando construye la gráfica de la función y = x? Explícalo detalladamente.
Al conjunto de todos los valores que pueden asignarse a x en
una función se le llama dominio de la función. En la gráfica
de la derecha se ha resaltado el dominio de la función y = x :
ese conjunto de valores incluye el cero y se prolonga hacia la
derecha tanto como quieras.
El dominio de y = x expresado como intervalo es [0, ∞). El corchete de la izquierda indica que el cero
está contenido en el intervalo y que cero es el menor valor del intervalo. El paréntesis indica que el intervalo es “abierto por la derecha”, es decir, que no tiene un valor extremo por la derecha.
En la gráfica de la derecha está resaltado el contradominio o
rango de la función y = x es decir, el conjunto de todos los
valores posibles de y.
3. ¿Cuál es el valor máximo de y en la función y = x?
4. ¿Cuál es el valor mínimo de y?
5. ¿Cuáles valores no son posibles para y?
6. ¿Cuáles son los posibles valores de y?
7. Expresa el contradominio como intervalo.
222
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 124
Traslaciones verticales
1. Localiza en tu calculadora la tecla para calcular la raíz
cuadrada y úsala para escribir la siguiente ecuación.
y=
x+1
2. Construye la gráfica correspondiente y dibújala en el
plano de la derecha.
3. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones que utilizaste. Señala en cada
gráfica el dominio y contradominio de las funciones y exprésalos como intervalos.
a)
b)
y=
y=
c)
d)
y=
y=
4. Construye una gráfica que pase por arriba de las gráficas de la
derecha, otra que pase por debajo, y una más que pase entre
las dos. Anota las ecuaciones que utilizaste.
y=
y=
y=
Bloque 12ऊ‡ऊ)XQFLyQUDt]FXDGUDGDGRPLQLR\FRQWUDGRPLQLR
223
Hoja de trabajo 125
Simetría
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la siguiente
función.
y=-
x+1
¿Qué modificación sufrió la gráfica con respecto a las
gráficas de la hoja de trabajo anterior?
2. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de y = -
x + 1?
Justifica tu respuesta.
3. Construye en tu calculadora las gráficas que se muestran a continuación y anota las ecuaciones que
utilizaste.
a)
b)
y=
y=
c)
d)
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
224
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 126
Algo más sobre simetría
1. La gráfica siguiente corresponde a la función y =
- x + 1 . Hazla en tu calculadora.
2. ¿Cuáles son el dominio y el contradominio de la función y =
- x + 1?
Justifica tu respuesta.
3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota las ecuaciones que usaste. Señala en cada
gráfica el dominio y contradominio de la función que representan y exprésalos como intervalos.
a)
b)
c)
y=
y=
y=
4. Escribe la ecuación que corresponde a la gráfica de la derecha.
y=
5. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones.
a)
b)
c)
y=
y=
y=
Bloque 12ऊ‡ऊ)XQFLyQUDt]FXDGUDGDGRPLQLR\FRQWUDGRPLQLR
Hoja de trabajo 127
Traslaciones horizontales
1. Observa las ecuaciones de la derecha e identifica a qué gráfica corresponde cada una.
Verifica las respuestas en tu calculadora.
y=-
y=
y=
y=
y=
y=
y=
y=
2. ¿Cuáles son el dominio y el contradominio de la función y =
(x + 3)?
Justifica tu respuesta.
3. Observa las figuras que forman las gráficas que se muestran a la derecha. Crea otra figura como ésas con la condición de que quede entre
las dos figuras originales. Anota las ecuaciones que usaste para completar esta tarea.
(x + 3)
-(x - 3)
y=-
(x - 3)
y=-
(x + 1)
y=
y=
-(x + 2)
(x + 2)
225
226
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 128
Más traslaciones
1. Agrega lo que sea necesario a las siguientes dos funciones de
manera que produzcan la figura de la derecha.
y=
(x - 2)
y=-
(x - 2)
2. Modifica la siguiente función las veces que sea necesario para
obtener la figura de la derecha.
y=-
-(x - 1)
3. Reproduce en tu calculadora las siguientes figuras y anota las funciones que utilizaste.
4. Construye en tu calculadora las gráficas de funciones del tipo “raíz cuadrada” cuyo dominio y contradominio sean los que se indican en cada caso. Anota las ecuaciones que usaste y dibuja la gráfica.
Dominio:
[4, ∞)
Contradominio:
Dominio:
[1, ∞)
(-∞, -3]
Contradominio: (-∞, -2]
Bloque 12ऊ‡ऊ)XQFLyQUDt]FXDGUDGDGRPLQLR\FRQWUDGRPLQLR
227
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. En la presentación de este bloque se hace referencia a la “regla de correspondencia de una función”;
indaga su significado en fuentes bibliográficas. Compara los resultados de tu indagación con los de tus
compañeros y analízalos con tu profesor.
2. Haz una revisión de las hojas de trabajo de este bloque y elabora una descripción de la regla de correspondencia de la función raíz cuadrada y sus características (forma de su gráfica, dominio, contradominio,
crecimiento, comportamientos locales, globales, etcétera), y preséntala a tus compañeros. Analízala y
efectúa los ajustes necesarios.
3. Realiza una investigación en diferentes fuentes matemáticas acerca de la función raíz cuadrada. Prepara
una presentación y exponla en tu grupo.
4. Investiga los siguientes términos matemáticos:
a) Intervalo.
b) Intervalo abierto.
c) Intervalo cerrado.
d ) Intervalo semiabierto.
e) La noción de infinito y la notación que se emplea para expresarlo.
5. Revisa en equipo lo que investigaste acerca de los términos matemáticos del punto anterior.
6. Debate en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de la función raíz cuadrada y sus
representaciones gráfica y algebraica.
7. Elabora un ensayo de la contribución de este bloque a tu formación como futuro docente, así como las
cualidades y limitaciones de estas hojas de trabajo como recurso didáctico. Compártelo con tus compañeros.
Semicírculo:
valores extremos
L
os propósitos centrales de este bloque son:
(1) Identificar el dominio y contradominio de funciones de
la forma y = a2 - x2 .
(2) Analizar gráficas de funciones de la forma y = a2 - x2
en intervalos donde crecen o decrecen.
(3) Identificar la relación entre la recta tangente en un punto de una gráfica y su comportamiento de crecimiento
y decrecimiento.
(4) Identificar valores máximos y mínimos en una gráfica.
(5) Realizar traslaciones verticales y horizontales, reflexiones con respecto al eje cartesiano horizontal, y estudiar
su relación con los coeficientes de la regla de correspondencia de la función.
Las actividades sugieren la identificación del dominio y contradominio de las funciones de la forma y = a2 - x2 a partir de
la visualización de sus gráficas y su regla de correspondencia. Se
retoma la notación para intervalos y las nociones de intervalo
abierto e intervalo cerrado.
Las hojas de trabajo incluyen tareas para identificar los valores
extremos en semicírculos a partir de la visualización de las gráficas
desplegadas en la calculadora, para lo cual se emplean recursos
como la construcción de rectas tangentes en un punto de las gráficas; esto da lugar a la introducción de los conceptos de crecimiento,
valores máximo y mínimo y recta tangente en un punto. Se incluye
también una actividad para utilizar la prueba de la recta horizontal
e identificar si la función corresponde a una relación uno a uno.
Las transformaciones del semicírculo en el plano indican la variación de los parámetros de expresiones de la forma
a b2 - (x2 - c)2 + d y la observación de sus efectos en las gráficas correspondientes.
Utilizar la calculadora permite al usuario centrarse en tareas
de exploración, formulación y validación de conjeturas, así como
desarrollar gradualmente procesos más directos para la traducción entre la gráfica y la regla de correspondencia de la función.
19.01 × 0.01
19.01 × 0.01
Representación
algebraica
19 ÷ 100
Representación
gráfica
19 ÷ 100
229
230
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 129
Semicírculo
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y =
y reprodúcela en el plano de la derecha.
6.25 - x2
2. Observa la gráfica y responde: lo siguiente.
a) ¿La gráfica crece o decrece indefinidamente?
Explica tu respuesta.
b) Identifica los puntos que consideres importantes en la gráfica.
¿Por qué consideras que son importantes?
c) ¿Cuál es el dominio de la función y =
6.25 - x2 ? Exprésalo como intervalo.
d ) ¿Cuál es el contradominio de la función y =
6.25 - x2 ? Exprésalo como intervalo.
3. ¿A qué crees que se debe el comportamiento de la gráfica? Explica detalladamente.
En el siguiente plano aparecen las gráficas de y = 1.5 y de
y = 6.25 - x2 . Construye en tu calculadora la gráfica de y = 2.5.
4. Indica en cuántos puntos cruza la recta y = 2.5 a la gráfica de
y = 6.25 - x2 y cuáles son las coordenadas de esos puntos.
5. ¿Una recta y = 1.5 es la única que corta en dos puntos la gráfica de y =
Justifica tu respuesta.
6.25 - x2 ?
6. Una recta horizontal permite comprobar si una función es “uno a uno”. Esto significa que a cada valor del
contradominio le corresponde sólo un valor del dominio. Una gráfica que sólo crece o decrece es una
función “uno a uno”. ¿La gráfica inicial corresponde a una función “uno a uno”?
Justifica tu respuesta.
Bloque 13ऊ‡ऊ6HPLFtUFXORYDORUHVH[WUHPRV
231
Hoja de trabajo 130
Rectas tangentes
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función: y = -
12.25 - x2
.
2. Indica en qué intervalo la función es creciente.
3. Indica en cuál es decreciente.
4. ¿Tiene un valor máximo o mínimo?
¿En qué punto?
Justifica tu respuesta.
5. Construye en tu calculadora rectas tangentes al semicírculo en los puntos que se indican.
6. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en el punto (-2.1, -2.8)?
7. ¿La recta es creciente o decreciente?
8. ¿Cuál es el signo de la pendiente de la recta?
En el plano de la derecha se muestra la recta tangente al semicírculo en el punto (3.1, -1.62481).
9. ¿Es creciente o decreciente?
10. Cuál es el signo de su pendiente?
11. ¿Qué relación observas entre el comportamiento de la gráfica y
la pendiente de la recta tangente?
Justifica tu respuesta.
Construye la recta tangente al semicírculo en el punto (0, 3.5).
12. ¿Crece o decrece la tangente?
Justifica tu respuesta.
¿Cuál es su pendiente?
13. ¿Cuál crees que será el valor de la pendiente de la recta tangente en un máximo o mínimo de la gráfica
de una función? Justifica tu respuesta.
232
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 131
Semicírculos
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y = - 4 - x2 y
dibújala en el plano cartesiano de la derecha.
2. ¿Cuál es el dominio y contradominio de la función anterior?
Justifica tu respuesta.
3. Encuentra una función con la que puedas construir en tu calculadora la gráfica que complete un círculo
al unirla con la gráfica de la actividad 1. Anota la función que utilizaste y dibuja su gráfica en el plano
cartesiano de dicha actividad.
y=
4. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de la función de la actividad anterior?
Justifica tu respuesta.
5. Anota las coordenadas de los puntos en que el círculo cruza los ejes coordenados.
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
6. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo que se formó con las gráficas de las funciones de las actividades 1 y 2?
7. Construye los siguientes círculos y anota las funciones que usaste. La escala en los ejes cartesianos es 1.
y=
y=
y=
y=
y=
y=
8. ¿Cuántas unidades mide el radio de cada uno de los círculos que construiste?
Justifica tu respuesta.
9. Encuentra la relación entre la expresión que usaste para construir un círculo con la medida de su radio, y
explícala a continuación.
233
Bloque 13ऊ‡ऊ6HPLFtUFXORYDORUHVH[WUHPRV
Hoja de trabajo 132
Semielipses
1. Construye en tu calculadora una semielipse usando la ecuación
y = -0.5 (9 - x2). Dibuja la gráfica en el plano de la derecha.
2. Encuentra la función cuya gráfica permita completar la elipse que
se bosquejó en la actividad 1. Anota la función que encontraste y
dibuja la gráfica en el plano de dicha actividad.
y=
3. Anota las coordenadas de los puntos en los que la elipse cruza los ejes X y Y.
(
,
)
(
,
(
)
,
)
(
,
)
4. ¿Cuál es el dominio y contradominio de las funciones de las actividades 1 y 2?
En la figura de la derecha se han resaltado los semiejes vertical y horizontal de la elipse cuyas ecuaciones son las de las actividades 1 y 2.
5. ¿Cuántas unidades mide el semieje horizontal?
Justifica tu respuesta.
6. ¿Cuántas unidades mide el semieje vertical?
Justifica tu respuesta.
7. Encuentra la relación entre los términos constantes de las ecuaciones que se usaron para construir esa
elipse y la longitud de los semiejes. Explícalo detalladamente.
8. Construye en tu calculadora las elipses con las características que se indican; anota las expresiones que
utilizaste y dibújalas en los planos correspondientes.
Semieje horizontal: 1 unidad
Semieje vertical:
3 unidades
Semieje horizontal: 4 unidades
Semieje vertical:
2 unidades
y=
y=
y=
y=
9. Encuentra la relación entre las expresiones y la medida de los semiejes y explícala a continuación.
234
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 133
Elipses y círculos
1. Completa la siguiente tabla sin construir las gráficas de las funciones. Después verifica tus respuestas y construye las gráficas en tu calculadora.
Gráfica que se obtiene
(semicírculo o semielipse)
Expresión
Medida(s)
de radio/semiejes
y = 1.5 2.56 - x2
y=
7.84 - x2
2. Construye en tu calculadora las elipses que pasen por los puntos que se resaltan en los siguientes planos
cartesianos y anota las ecuaciones que utilizaste. La escala en los ejes cartesianos es 1.
y=
y=
y=
y=
3. Reproduce en tu calculadora las siguientes figuras y anota en los recuadros las ecuaciones que utilizaste
en cada caso.
Bloque 13ऊ‡ऊ6HPLFtUFXORYDORUHVH[WUHPRV
235
Hoja de trabajo 134
¡Arriba, abajo!
1. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota en los recuadros las ecuaciones que utilizaste.
La escala en los ejes cartesianos es 1.
a)
b)
2. ¿Cuántas unidades mide el radio del círculo del inciso a)?
3. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro del círculo.
4. ¿Cuántas unidades miden los semiejes de la elipse?
5. Escribe las coordenadas del punto en el que coinciden los semiejes de la elipse.
6. Utiliza, sin construir la elipse, las siguientes ecuaciones para determinar las coordenadas del punto donde coinciden los semiejes de la elipse. Comprueba tus respuestas en la calculadora.
y = 2 6.25 - x2 + 1.5
y = -2 6.25 - x2 + 1.5
Coordenadas
( , )
7. Construye en tu calculadora un círculo que tenga su centro en (0, -1); anota en el recuadro las expresiones que usaste y dibújalo en el plano cartesiano.
8. ¿Cuántos círculos puedes trazar que tengan como centro el punto (0, -1)?
Justifica tu respuesta y proporciona ejemplos.
236
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 135
Traslaciones horizontales
1. Con las siguientes ecuaciones construye en tu calculadora las gráficas correspondientes y dibújalas en el
siguiente plano cartesiano.
y=
y=-
4 - (x - 3)2
4 - (x - 3)2
2. Construye en tu calculadora un círculo que pase por los puntos que están marcados y anota en el recuadro las ecuaciones que usaste. La escala en los ejes es 1.
3. Ahora construye una elipse que pase por los puntos marcados y anota en el recuadro las ecuaciones que
usaste. La escala en los ejes es 1.
4. Escribe las coordenadas del punto en que se encuentra el centro del círculo que construiste.
5. Escribe las coordenadas del punto en el que se encuentra el centro de la elipse.
6. Sin construir el círculo, utiliza las siguientes expresiones para determinar las coordenadas del punto donde
se encuentra su centro. Verifica los resultados en tu calculadora.
y=
4 - (x - 2.5)2
y=-
4 - (x - 2.5)2
7. Explica la relación entre las coordenadas y las ecuaciones de la
actividad anterior.
Coordenadas
( , )
Bloque 13ऊ‡ऊ6HPLFtUFXORYDORUHVH[WUHPRV
237
Hoja de trabajo 136
¡Parece que se hunden y flotan!
La escala en todos los planos cartesianos de esta hoja de trabajo es 1.
1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica y anota en el recuadro las ecuaciones que utilizaste.
2. Agrega lo que sea necesario a las ecuaciones de la actividad anterior para que la gráfica “flote”, como se
muestra a continuación.
3. Ahora encuentra las ecuaciones que se “hundan” en el cuarto cuadrante a la gráfica de la actividad 1.
Anótalas en el recuadro, construye la gráfica en tu calculadora y dibuja en el siguiente plano la gráfica
“hundida”.
4. Escribe las coordenadas del centro del círculo que “flota”.
5. Escribe las coordenadas del centro del círculo que “hundiste”.
6. ¿Cómo puedes determinar las coordenadas del centro de los círculos de las actividades 2 y 3 a partir de
sus expresiones?
Justifica tu respuesta.
7. Haz en tu calculadora el siguiente dibujo y explica cómo lo
lograste.
238
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 137
Carita feliz
1. Reproduce en tu calculadora el siguiente dibujo. Anota en el recuadro las ecuaciones que utilizaste.
2. Modifica la carita feliz agregándole cejas, orejas, cuerpo, bigote, anteojos; dándole expresiones de tristeza
y preocupación; alarga la carita, etcétera.
3. Anota las ecuaciones que utilizaste para modificarla y escribe qué modificación se produce cuando cambias algo en la ecuación.
Expresión(es)
Modificación
Bloque 13ऊ‡ऊ6HPLFtUFXORYDORUHVH[WUHPRV
239
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Revisa las hojas de trabajo de este bloque y elabora una descripción de la regla de correspondencia de la
función cuya gráfica sea un semicírculo, sus características (forma, simetrías, dominio, contradominio, crecimiento, comportamientos locales, globales, parámetros, etcétera). Preséntala a tus compañeros y realiza
los ajustes necesarios a tu descripción.
2. Investiga acerca de los siguientes contenidos matemáticos:
a) Funciones cuya relación entre sus valores es uno a uno (prueba de la recta horizontal, por qué tienen
función inversa, etcétera).
b) Valores extremos de una función, locales y globales.
c) Rectas tangentes en un punto de la gráfica de una función.
3. Presenta a tu grupo los resultados de tu investigación acerca de los términos matemáticos del punto anterior.
4. ¿Encuentras alguna similitud entre la ecuación y =
puesta con tus compañeros y tu profesor.
a2 - x2 y el Teorema de Pitágoras? Analiza tu res-
5. Discute en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de las gráficas de las actividades
de este bloque.
6. Elabora un ensayo acerca de la contribución del estudio de este bloque en tu formación como docente.
Compártelo con tus compañeros.
Bloque Función racional:
discontinuidad y asíntotas
L
os propósitos centrales de este bloque son:
(1) Determinar el dominio y el contradominio de funciones
racionales.
(2) Usar el concepto de intervalo para describir el dominio
y el contradominio de funciones racionales.
(3) Identificar en qué puntos no está definida una función
racional.
(4) Identificar asíntotas horizontales y verticales.
(5) Realizar variaciones en los coeficientes de las reglas de
correspondencia de las funciones para efectuar traslaciones y reflexiones.
Las actividades del bloque acuden a la visualización de las
gráficas y ecuaciones de funciones racionales para identificar su
dominio y contradominio. El uso del concepto de intervalo en
este contexto conlleva a la recreación de los conceptos intervalo, intervalo abierto y unión de intervalos.
Las funciones racionales que se incluyen en las hojas de traP (x)
bajo son de la forma f (x) =
con Q(x) ≠ 0; la restricción
Q(x)
Q(x) ≠ 0 se percibe visualmente como “rompimientos” de la
gráfica, lo cual da lugar a la revisión de conceptos como la división entre cero, continuidad de una función, asíntota, asíntota
horizontal, asíntota vertical y aproximación a una discontinuidad por la derecha y por la izquierda.
Las hojas de trabajo incluyen actividades que indican la variación de los coeficientes en la regla de correspondencia de una
función para identificar los efectos en su gráfica.
La calculadora ofrece retroalimentación inmediata a las conjeturas formuladas por el estudiante, lo cual le proporciona oportunidades para realizar un amplio trabajo de exploración que le
facilita reconocer hechos matemáticos relacionados con las funciones racionales. Es importante que el futuro docente dedique
tiempo a formalizar los hallazgos derivados de dichas exploraciones.
241
242
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 138
Hipérbolas
1. La ecuación y = 1
–x produce una gráfica distinta a las que hasta ahora has construido. Constrúyela en tu
calculadora y dibújala en el plano de la derecha.
Esta ecuación se puede editar en la calculadora en estas dos
formas: y = 1/x o bien como y = 1 ÷ x.
La gráfica que construirás con esa ecuación se llama hipérbola.
2. La hipérbola consta de dos partes. Describe cómo se despliega cada una en la pantalla de tu calculadora.
3. ¿En qué valor de x se “rompe” la gráfica?
4. Explica a qué crees que se deba este rompimiento.
Observa que el cociente 1 ÷ 0 no está definido porque no hay ningún número que multiplicado por cero
dé por resultado 1. Esto significa que la función y = 1
–x no es continua en x = 0.
5. Observa la parte de la gráfica que está a la izquierda de x = 0.
a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse a x = 0 por la izquierda?
6. Observa la parte de la gráfica que está a la derecha de x = 0.
a) ¿Cómo son los valores de y al acercarse a x = 0 por la derecha?
b) ¿Cómo son los valores de y al alejarse de x = 0 por la derecha y por la izquierda?
7. Expresa como intervalo el dominio de la función y = 1
–x.
8. Expresa como intervalo el contradominio de la función y = –1x.
Bloque 14ऊ‡ऊ)XQFLyQUDFLRQDOGLVFRQWLQXLGDG\DVtQWRWDV
243
Hoja de trabajo 139
Asíntotas horizontales
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la ecuación
y = –1
x + 2. Luego dibújala en el plano de la derecha.
La línea horizontal punteada no aparece al construir la gráfica en la calculadora; aquí la mostramos para que te sirva
como “guía” al dibujarla.
2. ¿En qué valor de x “se rompe” la gráfica de y = 1
–x + 2?
3. Observa la parte de la gráfica a la izquierda de x = 0. ¿Cómo son los valores de la función y = 1
–x + 2 cuando recorres la gráfica hacia la izquierda, alejándote de x = 0?
4. Observa la parte de la gráfica a la derecha de x = 0. ¿Cómo son los valores de la función y = 1
–x + 2 cuando
recorres su gráfica hacia la derecha, alejándote de x = 0?
5. ¿Qué relación encuentras entre las respuestas de las actividades 3 y 4 y la ecuación de la recta horizontal
que te sirvió de guía para trazar la gráfica en la actividad 1?
Explica detalladamente.
Si una función se acerca tanto como se quiera a un número real L cuando el valor de x tiende a infinito o a
menos infinito, entonces la gráfica de la función se aproxima a la recta y = L. Esta recta se llama asíntota
horizontal de la gráfica. La recta y = 2 es una asíntota horizontal de la gráfica de y = 1
–x + 2.
6. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones que utilizaste.
a)
b)
c)
y=
y=
y=
7. ¿Cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de cada función de la actividad 6?
244
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 140
Simetría
1. Agrega lo necesario a la ecuación y = –1x + 1 para construir en
tu calculadora la hipérbola que se muestra en la figura de la
derecha.
2. ¿Qué modificación debiste realizar a la ecuación para obtener
esa gráfica?
3. Observa la gráfica y describe detalladamente el comportamiento de la hipérbola a la izquierda y a la derecha de x = 0.
4. Expresa como intervalos el dominio y el contradominio de la función de la actividad 1.
5. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las expresiones que utilizaste.
y=
y=
y=
6. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el segundo miembro de
cada ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica. Después dibuja las gráficas en el plano
de la derecha.
a)
y=
x+1
x
b)
y=
3x - 1
x
Bloque 14ऊ‡ऊ)XQFLyQUDFLRQDOGLVFRQWLQXLGDG\DVtQWRWDV
245
Hoja de trabajo 141
Coeficientes
1. Construye en tu calculadora las gráficas de las funciones que se muestran a continuación y dibújalas en el
plano. Los valores 2
–, 5
– , 65 y 1 son los coeficientes de 1
–x en esas funciones.
3 2 3 10
⎛ ⎞⎛ ⎞
y = ⎜ 2⎟ ⎜ 1⎟
⎝ 3⎠ ⎝ x⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
y = ⎜65⎟ ⎜ 1⎟
⎝ 3⎠ ⎝ x⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
y = ⎜ 5⎟ ⎜ 1⎟
⎝ 2⎠ ⎝ x⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞
y = ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1⎟
⎝10⎠ ⎝ x⎠
2. Describe cómo cambia cada gráfica de acuerdo con los valores del coeficiente de –1x .
3. Construye en tu calculadora tres hipérbolas que se ubiquen entre las gráficas de y =
Anota las expresiones que usaste.
y=
y=
⎛34⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞
⎜ ⎟ ⎜ x⎟ y y = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .
2
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎝ 3⎠ ⎝ x⎠
y=
4. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes ecuaciones. Analiza el segundo miembro de cada
ecuación para explicar el comportamiento de su gráfica y dibuja las gráficas en los siguientes planos.
a)
y=
2x + 3
x
b)
y=
x-5
x
246
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 142
Traslaciones horizontales
1
x-3
y dibújala en el plano de la derecha, utiliza la línea vertical como
guía.
1
Considera que y =
debe escribirse en la calculadora como
x-3
y = 1/(x -3) o como y = 1 ÷ (x -3).
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y =
Cuando la gráfica de una función tiende a infinito o a menos infinito conforme los valores de x se aproximan a un valor c por la derecha o la izquierda, entonces la gráfica de la función se aproxima a la recta
vertical que pasa por el punto (c , 0), la cual se llama asíntota vertical. La recta vertical que pasa por
1
(3, 0) y usaste de guía, es la asíntota vertical de la función y =
.
x-3
2. Describe qué cambios observas en esta gráfica con respecto a las que has construido en las hojas de trabajo anteriores.
3. Describe cuál es el dominio y cuál el contradominio de la función y =
1
.
x-3
Justifica tu respuesta.
4. Construye en tu calculadora, para cada inciso, una hipérbola cuya asíntota sea la línea vertical que se
muestra. Anota las ecuaciones que utilizaste.
y=
y=
5. Escribe la ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (-6.3, 0).
6. Escribe la ecuación de una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (5.8, 0).
Bloque 14ऊ‡ऊ)XQFLyQUDFLRQDOGLVFRQWLQXLGDG\DVtQWRWDV
247
Hoja de trabajo 143
Traslaciones verticales
1. Construye en tu calculadora una hipérbola cuya asíntota pase por el punto (3, 0); anota la ecuación que usaste
y dibuja la gráfica en el plano de la derecha.
y=
2. Modifica la expresión que utilizaste en la actividad anterior de tal modo que la hipérbola tenga, además de
una asíntota vertical, una asíntota horizontal determinada por la recta y = 2.5. Constrúyela en tu calculadora y
dibújala en el plano de la derecha.
y=
3. ¿Cuáles son el dominio y el contradominio de la función de la actividad 2?
Justifica tu respuesta.
4. Ahora construye una hipérbola que tenga como asíntota vertical la que se muestra en el plano de la derecha. Anota la
ecuación y dibuja su gráfica.
y=
5. Agrega lo que sea necesario a la ecuación anterior para que la
gráfica tenga la asíntota horizontal que se muestra en el plano
de la derecha. Anota tu ecuación y dibuja su gráfica.
y=
6. Escribe la ecuación de una hipérbola que tenga como asíntota vertical una recta que pase por el punto
(4.4, 0) y como asíntota horizontal la gráfica de la ecuación y = 2.9. Construye en tu calculadora la gráfica
correspondiente y verifica que tu expresión sea correcta.
y=
248
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 144
¿Y estas gráficas?
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función y = 12 y
x
dibújala en el plano de la derecha.
2. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de la función y = 12 ?
x
Justifica tu respuesta.
3. Construye la gráfica de la siguiente función y reprodúcela en el plano de la derecha.
y=
1
x -9
2
4. ¿Cuáles son el dominio y contradominio de la función y =
Justifica tu respuesta.
1
?
x -9
2
1
. ¿Cuáles son sus asíntotas?
x2 - 5x + 4
6. Escribe una ecuación para la siguiente gráfica. La asíntota
vertical de la derecha es el eje y.
5. Construye la gráfica de y =
y=
Verifica en la calculadora tu respuesta e indica lo que hiciste para encontrar la ecuación.
7. Anticipa cómo es la gráfica de la función y =
1
y descríbela.
(x + 2)2
8. Comprueba tu descripción construyendo la gráfica en tu calculadora.
Bloque 14ऊ‡ऊ)XQFLyQUDFLRQDOGLVFRQWLQXLGDG\DVtQWRWDV
249
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Elabora una descripción de las funciones racionales (la apariencia de sus gráficas, su dominio, contradominio, puntos de discontinuidad, asíntotas, periodicidad, crecimiento, comportamientos locales, etcétera).
Analízala en equipo y haz los ajustes necesarios.
2. Indaga en diferentes fuentes matemáticas acerca de las funciones racionales. Prepara una presentación y
exponla a tu grupo.
3. Indaga en fuentes bibliográficas acerca de “los ceros de una función” y elabora un resumen. Analízalo con
tus compañeros y tu profesor.
4. Determina los ceros y las asíntotas verticales de la siguiente función racional:
f (x) =
(x + 4)(x - 7)2(x + 10)
(x + 1)(x - 7)(x + 10) 2
5. Indaga en fuentes bibliográficas lo siguiente:
a) División entre cero.
b) Discontinuidad de una función racional.
c) Asíntota.
6. Discute en equipo las ventajas de utilizar la calculadora en el estudio de las funciones racionales.
7. Desde la perspectiva de tu formación profesional como docente, elabora un ensayo acerca de la pertinencia y limitaciones de las actividades de este bloque como recurso didáctico. Discútelo con tus compañeros
y con tu profesor.
Bloque Valor absoluto:
funciones lineales y cuadráticas
E
ste bloque tiene como propósitos centrales:
(1) Determinar el dominio y el contradominio de funciones
lineales y cuadráticas a las que se aplica la función valor
absoluto.
(2) Expresar como intervalos el dominio y el contradominio
de funciones a las que se aplica la función valor absoluto.
(3) Realizar traslaciones verticales y horizontales; reflexiones, y analizar los efectos de la variación de los coeficientes en las gráficas de funciones a las que se aplicó
la función valor absoluto.
La principal actividad de las hojas de trabajo es estudiar el comportamiento de la función valor absoluto cuando está se aplica a funciones lineales y cuadráticas. De hecho, esta aplicación corresponde a la composición de una
función lineal o cuadrática con la función valor absoluto. La
calculadora graficadora es un apoyo imprescindible debido a que permite apreciar a simple vista los cambios en las
gráficas cuando modificamos las reglas de correspondencia
de las funciones, y también facilita identificar visualmente su
dominio y contradominio. El uso de intervalos para expresar
el dominio y contradominio de una función propicia la recreación de los conceptos de intervalo abierto, intervalo cerrado e
intervalo semiabierto.
La capacidad de la calculadora para producir gráficas hace
más accesible el estudio de las transformaciones rígidas en el
plano cartesiano, y nos permite centrar la atención de los estudiantes en la relación entre la regla de correspondencia de una
función y su gráfica, lo cual contribuye al desarrollo de habilidades de traducción entre las representaciones algebraicas y
gráfica de una función.
251
252
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 145
Valor absoluto (1)
1. Construye en tu calculadora la gráfica de y = x y
reprodúcela en el plano de la derecha.
2. Observa la gráfica que construiste y responde lo siguiente.
a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son negativos?
b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son positivos?
3. Busca en tu calculadora la tecla que te permita
editar la siguiente ecuación y construye su gráfica
sin borrar la anterior.
y = abs(x)
También puede ser y = x
Esta expresión se lee “y igual al valor absoluto de x”.
4. Dibuja la gráfica en el siguiente plano cartesiano.
5. Observa la gráfica que construiste y responde lo siguiente:
a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son negativos?
b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores de x son positivos?
6. Construye en tu calculadora la gráfica de y = -x
y dibújala en el plano de la derecha.
7. Dibuja cómo consideras que aparecerá la gráfica de
y = abs(-x) en tu calculadora.
8. Comprueba que la gráfica que dibujaste coincide con la de tu calculadora.
9. Escribe tus conclusiones acerca de los cambios que produce el valor absoluto en los valores de y así como
en la gráfica correspondiente.
El valor absoluto de un número real a se define como a = T
a, si a ⱖ 0
-a, si a ⬍ 0
¶
Nota que el valor absoluto de un número real distinto de cero siempre será positivo.
Bloque 15ऊ‡ऊ9DORUDEVROXWRIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
253
Hoja de trabajo 146
Traslación y simetría
Observa la siguiente gráfica.
1. Reprodúcela en tu calculadora y anota la ecuación que usaste.
y=
2. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las reglas de correspondencia que usaste.
y=
y=
y=
Observa la gráfica de la derecha.
3. ¿Qué signo tienen todos los valores de y?
4. Anota la función que te permite reproducir esa gráfica en tu
calculadora.
y=
5. Explica tu razonamiento para encontrar la regla de correspondencia de esa función.
Observa la siguiente gráfica.
6. Encuentra la función para construir en tu calculadora la
gráfica de la izquierda y anota la ecuación que utilizaste.
y=
7. Construye gráficas como la de la actividad anterior, cuyos vértices se encuentren en los puntos resaltados
en los siguientes planos cartesianos. Anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
y=
254
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 147
Coeficientes distintos de 1
1. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes funciones y dibújalas en el plano de la derecha.
y = 4 abs( x)
y = 0.3 abs( x)
y = 2 abs( x)
Observa que el coeficiente en las reglas
de correspondencia es diferente de 1.
2. Describe los cambios que observas en tus gráficas con respecto a la gráfica de y = abs(x).
3. A la derecha se muestra la gráfica de y = abs(x) + 1.5.
Construye dos gráficas que coincidan con el vértice de la
gráfica de y = abs(x) + 1.5. La condición es que una de
ellas esté más abierta y otra más cerrada. Anota sus reglas
de correspondencia.
y=
y=
4. Construye dos gráficas que pasen entre las gráficas de la
derecha, de tal modo que todas coincidan en el vértice.
Anota las funciones que usaste.
y=
y=
5. La siguiente gráfica corresponde a la ecuación
y = -abs(x) -1.
6. Construye dos gráficas que coincidan
con su vértice. La condición es que una de
ellas esté más abierta y la otra más cerrada.
Anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
7. Reproduce en tu calculadora las gráficas que se muestran
en la siguiente figura.
Bloque 15ऊ‡ऊ9DORUDEVROXWRIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
255
Hoja de trabajo 148
Valor absoluto (2)
1. Construye en tu calculadora la gráfica de
y = x + 2 y dibújala en el siguiente plano.
2. Observa la gráfica y responde lo siguiente.
a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores
de x están en el intervalo (-∞, -2)?
b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores
de x están en el intervalo (-2, ∞)?
3. Ahora construye en tu calculadora la gráfica de y = abs( x + 2) y dibújala en el
siguiente plano.
4. Observa la gráfica y responde.
a) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores
de x están en el intervalo (-∞, -2)?
b) ¿Cuál es el signo de los valores de y cuando los valores
de x están en el intervalo (-2, +∞)?
5. Explica detalladamente a qué se debe la diferencia entre las gráficas de las actividades 1 y 3.
6. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las funciones que usaste.
y=
y=
y=
7. Construye en tu calculadora una gráfica empleando la función
y = abs(x) cuyo vértice sea el punto (4.5, 0) y que pase por los
otros dos puntos marcados en el plano de la derecha. Anota la
función que usaste.
y=
256
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 149
Traslación vertical
1. Construye en tu calculadora la siguiente gráfica
y anota la función que usaste.
2. Agrega lo que sea necesario a la expresión anterior para trasladar la gráfica como se muestra a
continuación.
y=
y=
3. Encuentra ecuaciones de y = abs( x ) con las cuales sea posible construir gráficas cuyos vértices coincidan
con el punto resaltado en los siguientes planos cartesianos.
y=
y=
y=
y=
4. Construye en tu calculadora una gráfica de y = abs( x ),
de tal modo que el vértice de la gráfica esté en el punto A
y cruce al eje X en los puntos B y C. Dibújala en el plano cartesiano de la derecha y anota la función que usaste.
y=
Bloque 15ऊ‡ऊ9DORUDEVROXWRIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
Hoja de trabajo 150
Galería
1. Reproduce las siguientes figuras construyendo gráficas en tu calculadora.
Anota en los recuadros las funciones que usaste.
257
258
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 151
Valor absoluto y parábolas
1. La gráfica de la derecha corresponde a la función
y = x2 - 4
Constrúyela en tu calculadora.
2. Observa la gráfica anterior y anota el signo que
tienen los valores de y en la gráfica cuando los
valores de x están en los intervalos que se indican.
a) (-∞, -2)
b) (-2, 2)
c) (2, +∞)
3. Dibuja en el plano de la derecha cómo consideras
que sea la gráfica de y = abs( x2 - 4).
4. Construye en tu calculadora la gráfica de y = abs( x2 - 4) y compárala con la que dibujaste.
5. Observa la gráfica y anota el signo que tienen
los valores de la gráfica cuando los valores de x
están en los intervalos que se indican.
a) (-∞, -2)
b) (-2, 2)
c) (2, +∞)
6. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota las funciones que usaste.
y=
7. Construye en tu calculadora la gráfica de la siguiente función y dibújala en el plano cartesiano.
y = ( x - 2)( x - 1)(x)( x + 1)( x + 2)
y=
8. Dibuja cómo consideras que sea la gráfica de:
y = abs(( x - 2)( x - 1)( x )( x + 1)( x + 2))
9. Construye la gráfica en tu calculadora y verifica
tu respuesta.
Bloque 15ऊ‡ऊ9DORUDEVROXWRIXQFLRQHVOLQHDOHV\FXDGUiWLFDV
259
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Indaga en diversas fuentes matemáticas el concepto del valor absoluto y los contenidos matemáticos
relacionados con él. Prepara una presentación y revísala con tu grupo escolar.
2. Averigua en fuentes bibliográficas en qué consiste la composición de funciones y ejemplifica tus hallazgos
explicando por qué la función y = abs(x2 - 4) es la composición de las funciones y = ⎥ x⎥ y y = x2 - 4.
3. Selecciona una o más hojas de trabajo para ponerlas en práctica con un grupo de alumnos de educación
básica. Haz las modificaciones que consideres convenientes antes de ponerlas en práctica. Registra las
observaciones que surjan al usarlas en una práctica en el aula y presenta un reporte a tu grupo.
4. Elabora un ensayo en el que analices las ventajas y desventajas de la propuesta didáctica de este bloque para
abordar el estudio del concepto del valor absoluto con apoyo de una calculadora con capacidad gráfica.
5. Elabora actividades que incluyan al menos dos funciones distintas a la lineal y cuadrática a las que apliques la función valor absoluto para estudiarlas a partir de sus gráficas y ecuaciones.
6. El siguiente reactivo corresponde a la aplicación de la función valor absoluto a una función. Resuélvelo
y elabora otros cinco reactivos relacionados con el tema.
a) A f ( x ) la representa la siguiente gráfica. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa a ⎥ f ( x )⎥?
a)
b)
c)
d)
e)
Bloque Funciones trigonométricas:
seno y coseno
L
os propósitos centrales de este bloque son:
(1) Identificar el domino y contradominio de las funciones
seno y coseno.
(2) Expresar como intervalos el dominio y contradominio
de las funciones seno y coseno.
(3) Aplicar transformaciones en el plano a las gráficas de las
funciones seno y coseno.
(4) Comprender los conceptos periodo, amplitud y frecuencia en el contexto de las funciones seno y coseno.
Como en los bloques anteriores, las actividades se apoyan
en la visualización de gráficas desplegadas en la calculadora
para abordar la identificación del dominio y contradominio de
las funciones seno y coseno; se pide a los estudiantes que describan esos conjuntos como intervalos con base en su conocimiento previo de los conceptos de intervalo, intervalo abierto e
intervalo cerrado. En particular, se hace énfasis en que las funciones seno y coseno son periódicas y que esta característica
las distingue de las funciones que se exploraron en los bloques
anteriores.
Las hojas de trabajo incluyen tareas para efectuar transformaciones en el plano de las gráficas de y = a sen (bx + c) + d
y y = a cos (bx + c) + d haciendo variar los valores de las constantes a, b, c y d. Lo anterior da lugar al uso y comprensión de
los conceptos de periodo, amplitud y frecuencia.
La capacidad gráfica de la calculadora permite la exploración y reconocimiento de hechos matemáticos relacionados con
las funciones trigonométricas, los cuales requieren la aplicación
de procedimientos algebraicos.
261
262
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 152
Función seno
1. Programa tu calculadora para trabajar con la escala en grados. Ubica la tecla “sin” (seno) y utilízala para editar la función y = sen(x).
2. Construye su gráfica y dibújala en el plano de la derecha.
Escala en el eje x : 90, en el eje y : 1 En este bloque de actividades los ejes de todos los planos tendrán esta escala.
3. Observa la gráfica y responde lo que se propone a continuación.
a) ¿Cuál es el máximo valor de y = sen(x)?
b) ¿Cuál es el mínimo valor de y = sen(x)?
c) ¿Cuál es el contradominio de la función y = sen(x)? Exprésalo como intervalo.
d ) ¿Cuál es el dominio de la función y = sen(x)?
e) ¿En qué intervalos de x se repiten los valores de y = sen(x)?
Justifica tus respuestas.
Las funciones trigonométricas son periódicas. El periodo de una función es T, si para todo número entero n
se verifica que f (x) = f (x + nT). Observa en la gráfica que la función y = sen( x ) es periódica; su periodo es
360. Esto significa que los valores de la función seno se repiten cada 360 grados. En términos de la gráfica,
el periodo es la longitud del segmento del eje x en el que se repite una “onda” completa de la curva.
4. Reproduce la siguiente gráfica en tu calculadora y anota su
regla de correspondencia.
y=
5. ¿Cuál es el dominio de la función que representa la gráfica?
6. ¿Cuál es el contradominio de la función que representa la gráfica? Exprésalo como intervalo.
7. Construye en tu calculadora las siguientes gráficas y anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
Bloque 16ऊ‡ऊ)XQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVVHQR\FRVHQR
263
Hoja de trabajo 153
Amplitud
1. Construye en tu calculadora las gráficas de las siguientes funciones y dibújalas en los planos correspondientes; utiliza las líneas horizontales como guía.
y = 3 sen( x )
y = 2 sen( x )
y = 0.5 sen( x )
2. ¿Qué modificación sufrió la gráfica al cambiar los coeficientes de sen(x)?
Describe detalladamente tu observación.
3. Analiza las siguientes gráficas y reprodúcelas en tu calculadora. Anota las reglas de correspondencia que
utilizaste y determina el dominio y contradominio de cada función.
y=
y=
Dominio:
Dominio:
Contradominio:
Contradominio:
y=
Dominio:
Contradominio:
4. Construye en tu calculadora la gráfica de la derecha; escribe
su regla de correspondencia, y explica cómo la encontraste.
y=
264
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 154
Frecuencia
1. Construye las gráficas de las siguientes funciones en tu calculadora y
dibújalas considerando las intersecciones con el eje x y su amplitud.
y = sen(x)
y = sen(2x)
y = sen(0.5x)
2. Explica qué sucedió con las gráficas de la función sen(kx) al utilizar las ecuaciones anteriores con k > 0.
El factor k determina el periodo de la función sin modificar la amplitud de la onda. Cuanto más grande sea
|k|, menor es el periodo. El valor absoluto de k indica la cantidad de ondas que hay en el intervalo de
longitud 360, y se llama frecuencia. En la función y = sen(x) hay una onda; en y = sen (2x)hay dos ondas,
y en y = sen(0.5x) hay media onda.
360
Por lo tanto, el periodo de cada función puede calcularse como: periodo =
.
|k|
3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
y=
y=
4. Reproduce en tu calculadora las gráficas que aparecen en el
plano cartesiano de la derecha y anota en el recuadro sus
reglas de correspondencia.
Bloque 16ऊ‡ऊ)XQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVVHQR\FRVHQR
Hoja de trabajo 155
Simetría
1. Construye en tu calculadora la gráfica de y = -sen(x)
y dibújala en el plano de la derecha.
2. Describe qué modificación sufrió la gráfica de y = sen(x) al multiplicar sen(x) por -1.
3. Reproduce las siguientes gráficas en tu calculadora y anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
y=
y=
265
266
Desarrollo del pensamiento algebraico
Hoja de trabajo 156
Función coseno
1. Construye en tu calculadora la gráfica de la función
y = sen(x), la cual aparece a la derecha.
2. Construye, sin borrar la gráfica de y = sen(x), las gráficas de las siguientes funciones.
y = sen(x + 45)
y = sen(x – 90)
y = sen(x + 135)
y = sen(x + 180)
y = sen(x + 90)
y = sen(x – 180)
3. Describe qué modificación sufrió la gráfica de y = sen(x) al escribirla como y = sen(x + c).
4. Ubica en tu calculadora la tecla “cos”; úsala para construir la
gráfica de y = cos(x), y dibújala en el plano de la derecha.
5. ¿Qué similitudes observas entre las gráficas de las funciones
seno y coseno?
6. Escribe qué diferencias observas.
7. ¿Qué tendrías que hacer para obtener la gráfica de la función coseno a partir de la función seno?
Verifica las respuestas en tu calculadora.
8. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas usando la función coseno y anota las expresiones que
utilizaste.
y=
y=
y=
Bloque 16ऊ‡ऊ)XQFLRQHVWULJRQRPpWULFDVVHQR\FRVHQR
267
Hoja de trabajo 157
Función coseno: amplitud, frecuencia y simetría
1. Construye gráficas de la función coseno que estén entre las líneas que se muestran en cada uno de los
siguientes planos y anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
y=
2. Reproduce en tu calculadora las siguientes gráficas y anota sus reglas de correspondencia.
y=
y=
y=
y=
y=
y=
3. Reproduce en tu calculadora la figura de abajo usando la función coseno,
y anota en el recuadro las reglas de correspondencia que usaste.
268
Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades sugeridas para el futuro docente
1. Elabora una descripción de las hojas de trabajo que concentre las características de las funciones seno y
coseno (forma de su gráfica, dominio, contradominio, periodicidad, crecimiento, comportamientos locales, globales, etcétera); preséntala a tus compañeros, analícenla en grupo y realiza los ajustes necesarios a
tu descripción.
2. Indaga en fuentes matemáticas acerca de las funciones trigonométricas contenidas en el bloque y sobre
la función tangente. Considera con precisión términos como periodo, amplitud y frecuencia. Prepara una
presentación y exponla al grupo.
3. Hay una importante relación geométrica entre la gráfica de una función real “uno a uno” y la de su función inversa:
“La gráfica de la función inversa es la reflexión de la gráfica de la función con respecto a la recta y = x”.
a) Indaga la función inversa de las funciones seno, coseno y tangente. Nota que aun cuando esas funciones no son uno a uno, hay intervalos en su dominio donde existe la función inversa.
b) Utiliza tu calculadora para comprobar la relación geométrica entre las gráficas de una función y su
inversa.
c) Prepara una presentación de lo realizado y compártela con tu grupo escolar.
4. Elabora un ensayo de la pertinencia de las actividades de este bloque en tu formación como futuro docente y como recurso didáctico (con los ajustes convenientes). Compártelo con tus compañeros.
5. Indaga acerca de otras funciones periódicas, prepara actividades relacionadas con dichas funciones usando la calculadora, y realiza una práctica con tus compañeros. Efectúa las modificaciones que consideres
convenientes a tus actividades después de la puesta en práctica.
6. Indaga en fuentes bibliográficas qué relación hay entre las funciones seno y coseno que estudiaste en
este bloque y las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Prepara en equipo un resumen y
discútelo con el resto de tus compañeros y tu profesor.
E
l uso de la calculadora graficadora en el aula de matemáticas fomenta
la movilidad y el intercambio de ideas entre los estudiantes. Las representaciones en pantalla favorecen el análisis del comportamiento no
sólo de una función, sino de toda una familia de funciones, lo que permite
comprender en forma dinámica el rol de los parámetros en las expresiones
algebraicas de las funciones.
El propósito de este libro es ofrecer un modelo didáctico que apoye el
estudio de las funciones y sus aplicaciones desde los primeros cursos de
álgebra elemental mediante el uso de la calculadora. Los principios teóricos
en que se sustentan los ejemplos son el resultado de años de investigación
y aplicación de este modelo.
Las estrategias en que se basa este acercamiento didáctico son esencialmente la observación visual y la experimentación de manera similar a
como lo hacen las ciencias experimentales.
Éste es el contexto en que se ubica el estudio de las funciones en el
presente libro; el cual, sin duda, será de gran ayuda para el profesor de
matemáticas en su labor docente, ya que le proporciona actividades que
podrá implementar directamente en su clase.
Las secciones que complementan este libro ofrecen a los usuarios
(profesores, investigadores y estudiantes) el sustento teórico, origen y objetivos de las actividades propuestas:
t
t
t
t
Referente teórico
Modelo didáctico
Resultados de investigación
Guía didáctica
El libro incluye un código de acceso a los recursos en línea y al
material complementario, disponibles en la siguiente página Web:
www.pearsonenespañol.com/cedillo
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