Unidad 1. Números Complejos 1.1 Definición y origen de los Números Complejos 1.1 Definición y origen de los Números Complejos Un número complejo es un número de la forma , donde a y b son números reales y . Utilizando el sistema de números reales, no es posible realizar la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto I no debe considerarse un número real y además se le comoce como unidad imaginaria. Podemos visualizar los números complejos en una gráfica bidimensional llamada plano complejo o de Argand. Cada número complejo tiene dos partes: una parte real, , y una parte imaginaria, , que pueden ser utilizadas como coordenadas Cartesianas para gráficar z como un punto en el plano complejo, en donde es representada por el eje horizontal y es el eje vertical. Considere el problema de encontrar las raíces de los polinomios raíces, se utiliza la fórmula cuadrática y se obtiene . Para encontrar las Sí , existen dos raíces reales. Sí , se obtiene una sola raíz. Sí , se introduce la unidad imaginaria . Nota: en Maple, la unidad imaginaria se representa con I mayúscula, o accediendo directamente a la paleta Common Symbols, es posible utilizar o j como unidad imaginaria. Se tiene que si cuadrática y las dos raíces de la ecuación , entonces están dadas por y Encuentre las raíces de la ecuación cuadrática 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos Cuando se suman dos números complejos, el resultado se obtiene sumando las partes reales y las partes imaginarias. Esto es, o, interpretado como puntos, se tiene: Note que esta definición de suma es identica a la definición de suma de vectores: Esto significa que los números complejos, cuando son tomados como vectores en el plano complejo, cumplen con la ley del paralelográmo de la suma, exactamente igual a como lo hace un vector en el plano . La multiplicación de números complejos se define como: Esta formula viene del uso de como un número regular al cual se le aplica la propiedad distributiva en una multiplicación normal. Por lo que se obtiene lo siguiente: Cuando se encuentra un término , se puede aplicar la definición de la unidad imaginaria , la cual dice que . Los resultados están lejos de ser obvios cuando se analiza utilizando la fórmula de multiplicación de números complejos descrita anteriormente. Esto es porque estamus utilizando coordenadas cartesianas. Cuando representamos números complejos en forma polar , las propiedades de la multiplicación se vuelven mas claras. Podemos representar cualquier número complejo como que en forma polar sería donde y satisfacen es el argumento del punto en el plano complejo, lo que significa que es el ángulo que el vector hace con el eje positivo real. Entonces es la magnitud del vector y es el ángulo con el eje real. En esta notación, si multiplicamos dos números complejos y obtendríamos Recuerde, la notación representa un número complejo cuya posición en el plano complejo esta descrita por su radio y su ángulo con respecto al eje positivo real. Existe una relación entre esta notación y la función exponencial. Utilizando la formula de Euler que es Si , entonces se define el conjugado de , denotado por , como Si y son números complejos, entonces se cumples las siguientes propiedades básicas de la aritmética compleja: 1. 2. 3. 4. es un número real si y solo si 5. es un número real no negativo y si y solo si Ejemplos Sean y . Calcule: = = z$w = Calcule el conjugado de: = = = = Sean , ,y = = = . Calcule: = = 34 Sean y esta definida como: y si , es decir, si o Ejemplos Sea y = Calcule a C bI form Calcule , calcule . , entonces la división de y a C bI form Calcule to aCbi Ejercicios Realice las operaciones indicadas. Calcule el conjugado del número dado 1.3 Potencias de "i", módulo o valor absoluto de un número complejo 1.3 Potencias de "i", módulo o valor absoluto de un número complejo El símbolo , por lo tanto que cualquier potencia se puede expresar por o . Para se define la magnitud de , denotada por , y así sucesivamente, por lo , como Magnitud de Y el argumento de , denotado por , se define como el ángulo entre la recta del eje tal y como se muestra en la figura. Como convensión se toma De la siguiente figura Se ve que y y el lado positivo 1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo De la figura es evidente que si , y , entonces y Cuando los puntos en el plano complejo estan descritos utilizando coordenadas polares: es llamado el módulo o magnitud de z y is the argumento o fase de z. ,r El argumento, , mide (en radianes) el ángulo entre el eje positivo Re(z) y el segmento de recta que conecta el punto al origen. Para regresar a la forma rectangular o cartesiana desde la forma polar, se puede utilizar la formula de Euler En general, la forma exponencial se define como = Conversor de Coordenadas Cartesianas a Polares Ejemplos Expresar 2+2 en forma polar y trazar su gráfica polar form en forma polar y trazar su gráfica Expresar r= = = = to polar Expresar r= en forma exponencial = = = to polar Ejercicios Convierta el número complejo a su forma polar 4 6 Convierta el número complejo a su forma Cartesiana Calcule el conjugado del número dado 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo 1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo Dos números complejos manera: y pueden dividirse y multiplicarse de la siguiente Como se puede observar, estas operaciones resultan mas sencillas realizandose de forma polar. Lo mismo ocurre con las potencias de los números complejos, que para resolver de forma relativamente sencilla, se utiliza el Teorema de De Moivre Ejemplos Encuentre r= = complex argument = a C bI form (5.1.1.2) Encuentre (5.1.2.1) Un número es llamado una raíz n-ésima de un número complejo si Utilizando el teorema de De Moivre se tiene para , y se escribe . Ejemplos Utilizando forma polar realice la operación complex argument complex argument complex modulus complex modulus 10 . Sustituyendo en la formula = = at 5 digits expand En Maple: polar form = simplify symbolic at 5 digits Utilizando forma polar realice la operación Encontrar las raices de A partir de aquí se utiliza el teorema de De Moivre para obtener las raices: a C bI form Si k=0, at 5 digits Si k=1, to aCbi at 5 digits a C bI form Si k=2, at 5 digits En Maple la solución sería: (5.2.3.1) polar form at 5 digits a C bI form polar form simplify symbolic a C bI form at 5 digits polar form simplify symbolic a C bI form at 5 digits Encontrar las raices de A partir de aquí se utiliza el teorema de De Moivre para obtener las raices: a C bI form Si k=0, a C bI form Si k=1, En Maple la solución sería: (5.2.4.1) polar form a C bI form simplify symbolic polar form a C bI form simplify symbolic Ejercicios Utilizando forma polar, realice las siguientes operaciones Calcule las raíces de los números complejos 1.6 Ecuaciones polinómicas 1.6 Ecuaciones Polinómicas A menudo se necesita resolver ecuaciones polinómicas de la forma donde ecuación. , son números complejos dados y Ejemplo Resolver la ecuación De la ecuacion se tiene: Obteniendo la raíz de es un entero positivo llamado el grado de at 5 digits Si k=0, Si k=1, at 5 digits Encontrando las raíces de la ecuación original se tiene Ejercicios Resuelva la ecuación cuadrática Obteniendo la raíz de Si k=0 expand = at 5 digits assign to a name (6.2.1.4) Si k=1 expand = at 5 digits assign to a name at 5 digits (6.2.1.12) Resuelva la ecuación cuadrática
