Medidas de impedancias y diagrama de Smith

Laboratorio de ondas electromagnéticas
INDICE
Páginas
Introducción teórica
..................................................
1–5
Material
..................................................
6
Procedimiento experimental
.......................................
7 - 14
Conclusiones
..................................................
15
Bibliografía
..................................................
16
INTRODUCCIÓN TEÓRICA.
Cuando tenemos un sistema donde vamos a medir la impedancia de
carga, si este fuese ideal y no tuviese ni pérdidas ni reflexiones, salvo que al
final de la guía se produjesen reflexiones por la estructura, dicha impedancia de
carga será ZL. Si la impedancia Z0 que es característica de la guía que tenemos
montada, es igual a la impedancia ZL, es porque es un caso ideal donde la guía
es infinita, y no hay nada al final que produzca reflexión.
Si en cambio tenemos una guía en la que si se producen reflexiones,
como es en el caso real, habrá diferencias entre ZL y Z0, y cuanto más se aleje la
guía real de una ideal, es decir, cuanta más reflexión haya, mas diferencia habrá
entre ZL y Z0.
Para determinar SWR, en esta práctica haremos uso de la fórmula:
SWR = 10
SWR
20
(1)
y luego para obtener el coeficiente de reflexión usaremos, la ecuación que
relaciona G con SWR, que es:
| G |=
SWR − 1
SWR + 1
(2)
Si lo que tenemos al final de la guía es una carga adaptada, ZL=Z0 y
|G|=0 ya que no refleja nada, porque la carga adaptada simula una guía infinita
(aunque siempre habrá errores ya que no es algo ideal).
En cambio si lo que hay al final es un cortocircuito Z0=0 y |G|=1 ya que
se refleja todo, y SWR valdrá infinito.
Diagrama de Smith
Existen varios métodos gráficos para los cálculos de la línea de
transmisión. De todos ellos, el más utilizado es la carta de Smith que fue
desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los laboratorios del teléfono de
Bell. Consiste en la representación gráfica, en el plano del coeficiente de
reflexión, de la resistencia y la reactancia normalizadas. Esta herramienta
gráfica permite la obtención de diversos parámetros de las líneas de
transmisión y la resolución de problemas de adaptación de impedancias,
evitando las operaciones con números complejos que suelen implicar estos
cálculos. La carta permite hallar, de forma sencilla, como se transforman las
impedancias a lo largo de la línea, relacionar la impedancia con el coeficiente de
reflexión, con la relación de onda estacionaria, SWR o ROE, o con la posición de
un mínimo de tensión. Mediante combinaciones de operaciones, se puede llegar
a comprender el comportamiento de las técnicas de adaptación de impedancias
complejas y a diseñar otras nuevas.
La discusión de la carta empezará definiendo una impedancia normalizada.
Esta impedancia esta normalizada por la impedancia de la guía, Zc.
Z ( z ) = r + j· x =
Z
Zc
(3)
Si a demás definimos una variable compleja igual al coeficiente de reflexión,
Γ(z), en el extremo de la guía, cambiado de fase para que corresponda a la
posición de entrada l
Γ( z ) = Γr + j·Γi = ΓL e −2· j ·k ·l
(4)
De esta forma podemos escribir la impedancia normalizada en función del
coeficiente de reflexión.
1 + Γ( z )
1 − Γ( z )
1 + (Γr + j·Γi )
r + j· x =
1 − (Γr + j·Γi )
Z ( z) =
(5)
Separando la parte real e imaginaria de esta ecuación:
r=
1 − Γr2 − Γi2
(1 − Γr ) 2 + Γi2
(6)
x=
2·Γi
(1 − Γr ) 2 + Γi2
(7)
o si reescribimos en forma cuadrática
2
r 

 1 
2
 Γr −
 + Γi = 

1+ r 

1 + r 
2
(8)
2
(Γr − 1) +  Γi − 1  = 12
x
x

2
(9)
Según (8), la representación gráfica de los lugares geométricos de la resistencia r
en el plano Γ (z) ( siendo Γr y Γi i las coordenadas rectangulares) son círculos con
centros sobre el eje Γr en [r/(1 + r), 0] y de radios 1/ (1 + r). En la siguiente figura
están dibujadas las curvas para r = 0, ½, 1, 2 e ∞. Según (9), las curvas de x
constante representadas en el plano Γ (z) son también círculos, con centro en (1,
1/x) y de radios
1/ |x|. En la figura de abajo se han dibujado los círculos con
x= 0, ± ½, ± 1, ± 2 e ∞. Cualquier punto de una línea de transmisión tendrá una
impedancia con una parte resistiva y por tanto, corresponderá a un punto
particular del interior del interior del circulo unidad del plano Γ (z).
Diagrama de Smith
Obtención del coeficiente de reflexión
Si pensamos en la carta de Smith como una representación en polares, la
distancia de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulo
del coeficiente de reflexión y el ángulo con respecto al eje real positivo se
corresponde con su fase:
La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del módulo
(en la parte inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculo r=1).
Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente de
reflexión se situarán sobre un círculo centrado en el origen.
Transformación de impedancias
Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de
reflexión en cualquier punto z de la línea viene dado, en función del coeficiente
de reflexión en la carga, por la expresión:
Un caso particular es el de las líneas sin pérdidas, donde tenemos que:
Por lo tanto, en una línea sin pérdidas, un desplazamiento z se traduce en un
cambio de fase del coeficiente de reflexión, pero el módulo se mantiene
constante. Por ejemplo, un desplazamiento de z=λ/8 supone un incremento de
fase de +π/2 sobre el círculo de módulo constante. Esto nos lleva a la obtención
de un nuevo punto en la carta de Smith, que se corresponde con la impedancia
vista desde ese punto.
De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de la
línea puede deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse
sobre círculos centrados en la carta (espirales si hay pérdidas).
MATERIAL
En la práctica disponemos de los siguientes componentes, que según los
datos que vayamos a medir, el montaje variará ligeramente:
Diodo Gunn
Atenuador
Modulador
Tornillo micrométrico
Guía ranurada
Carga adaptada
Cortocircuito
SWR-meter
Varios cables coaxiales
El orden en el que están colocados los elementos es el siguiente: Gunn atenuador modulador guía ranurada tornillo micrométrico carga
adaptada (o cortocircuito). Una vez tenemos el montaje, conectamos el Gunn y
el modulador a la fuente de alimentación que suministra una tensión
aproximada de 10 V al Gunn, y ± 5V de señal cuadrada a 1 KHz para el
modulador. El detector los conectaremos al SWR-meter para realizar las
medidas.
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
En la práctica realizamos varios apartados que aquí los pondremos por
separado, la frecuencia a la cual estamos trabajando es de 9.560 GHz, medida
con el resonador.
Medida directa del SWR de una carga.
Partimos del montaje nombrado anteriormente, y desatornillamos el
tornillo micrométrico completamente, par que no produzca reflexión, ya que lo
que queremos es medir el SWR de la carga adaptada al final de la guía, por eso
sacamos el tornillo.
En esta imagen se aprecia cual es el montaje preparado y los elementos que en el intervienen.
Comenzamos conectando el diodo detector al SWR y colocamos la aguja
(manipulando los botones de amplificación de dicho aparato para controlar la
escala) de modo que podamos comenzar a medir lo que se nos pide, que es la
posición de los mínimos y máximos, cosa que haremos con la guía ranurada,
también medimos con el SWR-meter la diferencia en db que hay entre unos y
otros.
Posición (mm)
SWR
G
3
1.41
0.17
3.2
1.45
0.18
3.5
1.50
0.20
4
1.58
0.23
Diferencia entre máx. y
mín. con el SWR (db)
Máximo
47.5
Mínimo
58.5
Máximo
68.4
Mínimo
79.8
Máximo
90.3
Mínimo
100.1
Máximo
111.0
Mínimo
124.9
Tabla 1
Las medidas entre un máximo se deberían mantener constantes, aunque
varía un poco desde 3 db hasta 4 db, pero haremos los cálculos como si estas
fueran constantes, ya que por posibles errores al tomar la medida y en los
propios aparatos se puede producir esta diferencia.
Calculamos el SWR y el coeficiente de reflexión G, con las fórmulas
descritas en la teoría, y obtenemos la media.
SWR = 1.48 ± 0.08
El coeficiente de reflexión para la carga adaptada es:
|G| = 0.19 ± 0.02
Impedancia normalizada en un mínimo 1/SWR = 0.67 ± 0.03
Medida de la impedancia normalizada I.
Para medir la impedancia normalizada, su parte real e imaginaria. Hay
que definir el plano de referencia respecto del cual se va a calcular, ya que a alta
frecuencia, la impedancia que obtengo depende de la posición donde se mira.
Escogemos el final de la guía ranurada como plano de referencia, y cambiamos
el montaje para hacer las nuevas medidas. Quitamos el tornillo micrométrico y
la carga adaptada y colocamos en su lugar el cortocircuito al final de la guía
ranurada y medimos la nueva estructura de onda estacionaria y la anotamos en
la tabla 2.
Montaje para este apartado, donde se han eliminado algunos elementos
Volvemos a hacer una tabla como en el apartado anterior.
Posición (mm)
SWR
G
> 20
> 10
> 0.82
> 20
> 10
> 0.82
> 20
> 10
> 0.82
Diferencia entre máx. y
mín. con el SWR (db)
Máximo
53.2
Mínimo
65.8
Máximo
75.7
Mínimo
86.9
Máximo
97.1
Mínimo
107.8
Tabla 2
Como ahora tenemos un cortocircuito, el valor de SWR →∞ (la aguja se
nos salía de la escala del SWR-meter), y el |G| = 1, por eso ponemos > 0.82, que
es lo que nos sale con los datos que pudimos medir, sin embargo lo que nos
interesa en este caso son las posiciones, no los valores de SWR, |G| ...
Aunque tomamos los datos de máximos y mínimos lo que realmente nos
importa ahora son los mínimos, ya que la diferencia entre dos mínimos
consecutivos nos sirve para obtener cual es la longitud de onda en la guía λg.
Posición mínimos (mm)
Distancia entre dos mínimos consecutivos (cm)
65.8
2.11
86.9
2.09
107.8
Tabla 3
La distancia del mínimo al plano de referencia es 4.95 cm, ahora la
dividimos por λg ,y para obtener esa λg multiplicamos por 2 la separación entre
dos mínimos consecutivos (haciendo la media entre 2.11 y 2.09 cm)
λ g = 2 ⋅ dcia = 2 ⋅ 2,1 = 4.2 cm
calculamos λg para estos datos, con el cortocircuito, porque es mas precisa que
si tomamos los datos donde esta la carga.
Dcia. normalizada =
Z min
λg
= 1,178 mm
Ahora dividimos el valor de 1,178 entre λg para saber que cantidad tenemos
que girar en el diagrama de Smith, tenemos que buscar el valor de 0.28 towards
the load (hacia la carga).
1,178
λg
⋅ λ g = 0,28 ⋅ λ g
La impedancia en el diagrama de Smith sale:
Z = 1.43 + 0.2 j
Medida de la impedancia normalizada II
Juntamos las 2 tablas que tenemos de antes en una sola, y miramos la
diferencia que hay entre los mínimos de las dos tablas, la tabla 1 corresponde a
la posición de los mínimos cuando estaba la carga dL, y la tabla 2, es la posición
de los mínimos cuando estaba el cortocircuito.
Tabla 1
Posición (mm) - dL Tabla 2
Posición (mm) - dC
Máximo
47.5
Máximo
53.2
Mínimo
58.5
Mínimo
65.8
Máximo
68.4
Máximo
75.7
Mínimo
79.8
Mínimo
86.9
Máximo
90.3
Máximo
97.1
Mínimo
100.1
Mínimo
107.8
Tabla 4
Diferencia (cm)
0.73
0.71
0.77
| dL –dC | = 0.737 cm
Diferencia / λg = 0,737 / 4,2 = 0,175
Como dC esta a la izquierda de dL, nos desplazamos una cantidad 0.175
hacia el generador.
Si nos vamos al diagrama de Smith, obtenemos que la impedancia vale
Z = 1.25 + 0.4 j
Cambio del plano de referencia
Ponemos el plano de referencia al final de la guía ranurada con tornillo
micrométrico. Para ello ponemos al final del tornillo micrométrico el
cortocircuito. Medimos igual que antes la posición de los mínimos.
Posición (mm)
Mínimo
52.1
Máximo
62.5
Mínimo
73.7
Máximo
88.7
Mínimo
95.3
Máximo
106.0
Mínimo
116.4
Tabla 5
Repetimos los cálculos hechos en el apartado de antes, la posición del
primer mínimo es 52.1 cm, la distancia al plano de referencia es 20.71 cm (es
mucho mas grande que antes porque ahora tenemos el tornillo micrométrico),
dividimos por λg y obtenemos.
Dcia. normalizada =
Z min
λg
=
20,71
= 4.93 cm
4,2
Juntamos ahora las tablas 1 y 4, para determinar la impedancia respecto
al nuevo plano de referencia.
Tabla 1
Posición (mm) - dL
Tabla 2
Posición (mm) - dC
Diferencia (cm)
Mínimo
58.5
Mínimo
52.1
0.64
Mínimo
79.8
Mínimo
73.7
0.61
Mínimo
100.1
Mínimo
95.3
0.48
Mínimo
124.9
Mínimo
116.4
0.85
Tabla 6
| dL –dC | = 0.645 mm
Diferencia / λg = 0,645 / 4,2 = 0,154
Como dC ahora esta a la derecha de dL, nos desplazamos una cantidad
0.154 hacia la carga.
Si nos vamos al diagrama de Smith, obtenemos que la impedancia vale:
Z = 1.18 + 0.4 j
CONCLUSIONES
Me pareció una práctica entretenida (entre otras cosas porque teníamos
que cambiar de montaje y así no se hacía monótona) y hemos podido conocer
diferentes métodos para poder hallar la impedancia cambiando el plano de
referencia. Y también hemos podido ver que a través de una serie de medidas
con el diagrama de Smith, se pueden obtener muchos parámetros, aunque solo
hayamos hecho uso de él para obtener la impedancia.
BIBLIOGRAFÍA
Práctica 4. Laboratorio de ondas electromagnéticas. 2002 / 2003
www.google.com
http://mailweb.udlap.mx/~lgojeda/apuntes/electro/capitulo7/chapter7.htm
http://mailweb.pue.udlap.mx/~lgojeda/tutoriales/ie38001/page75.htm