FUNCIONES
GAMMA Y BETA
1. LA FUNCIÓN GAMMA. PROPIEDADES
ELEMENTALES.
La función Gamma fue definida por Euler mediante
r(x) = fooo e-ttX-1dt
,
x
»O
(1)
donde la condición x>O es exigida para la convergencia de la integral.
En vez de una rigurosa demostración de la convergencia, se justificará
ésta mediante el siguiente razonamiento:
Se tiene que e-ttx-1 ~ O cuando x ~ 00, de manera que no se esperan
inconvenientes en el límite superior de la integral. Cerca del límite inferior
t=O, el integrando se aproxima a tx-1 ya que e-t ~ 1. De esta manera
y para que el primer término de la derecha permanezca finito, se debe tener
x>O.
De la definición (1) es fácil ver que
y
r(1/2) =
fooo e-tr1/2dt
= 2 foDO
e-u2 du
= 2 (~)
=~
1
(Resultado conocido)
Una relación básica de la función Gamma es
I'(c
+ 1) = xr(x)
la cual se deduce a partir de (1) e integrando por part.es, como sigue:
1
(2)
r(x
+ 1)
1
00
-
e-ttX-1dt
[-~:
+x
1
00
e-ttX-1dt
O
=
xr(x)
La fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de la
función Gamma.
Si se toma x=n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tiene
que
r(n
+ 1)
nr(n)
n(n - l)r(n- 1)
n(n - l)(n - 2)r(n - 2)
-
n(n - l)(n - 2) ... ·1 . r(l)
esto es
r(n
+ 1) = nI
(3)
Esta última expresión puede usarse para definir 01, si se aplica para n=O,
obteniéndose
01 = I'(l ) = 1
Análogamente,
para n entero positivo, se observa que
t
2
r(71,+ 1/2)
-
(71,- 1/2)r(71,- 1/2)
(71,- 1/2)(71, - 3/2)r((71, - 3/2)
-
(71,- 1/2)(71, - 3/2)(71, - 5/2)
·1/2· r(I/2)
1) (271, ; 3) (271, ; 5)
(271, ;
~J1f
de donde
r(71,+ 1/2) =
1 . 3 . 5 .... (271, - 1)
2n
J1f
(4)
La función Gamma satisface
r(x)r(1 - x) =
'Tr
<x < 1
,O
se71,'TrX
(5)
En efecto:
Usando (1) se tiene que
r(x)r(1 - x)
-
fooo e-ttX-ldt·
fooo e-s s-xds
fooo fooo e-(t+s)tx-l s-Xdtds
Haciendo
u=t+s
, v=-
uv
t---1+v'
t
s
se tiene que el Jacobiano de la transformación
8(t,s)
8(u,v)
_ I
¡!¡! I
=
8~ 8~
U
(1 + V)2
3
I
u
s=-1+v
viene dado por
l~v (l';v)2
l¡v - (l';v)2
I
l
Luego,
r(x)r(l - x)
1
(resultado conocido)
senst x
Haciendo pi = w, es fácil ver que
z>O
p>O
,
(6)
2 FUNCION BETA.
Se define la función Beta por
x>O
y>O
(7)
Haciendo el cambio t = sen2() en (7), se tiene que
B(x, y)
¡-rr/2
=
Jo
2x-2
sen
()
2y-2
cos
()
·2sen()cos()d()
de donde
¡-rr/2
B(x, y) = 2 Jo
2x-l
sen
()
2y-l
cos
()
d()
x>O
y>O
Si en (7) se hace u= l~t' se tiene que
B(x,y) = looo
u:l U:l
X-l
(
)
y al simplificar queda
4
(
)y-l
d
(u+u1)2
(8)
rOO
(u + l)x+y
B(x, y) = Jo
Tomando p=l+u
y al sustituir
ux-1
,
x>O
y>O
(9)
y z=x+s] en (6), queda
esta expresión en (9), se tiene que
B(x, y)
Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene que
B(x, y)
de donde se obtiene la importante
B(
)
=
x,y
relación
x>O
y>O
f(x)f(y)
f(x+y)
(10)
De (10) resulta evidente que
B(y, x)
=
B(x, y)
3. FÓRMULA DE DUPLICACIÓN
DE LA FUNCIÓN GAMMA.
De acuerdo con (7) y (10)
r(x)f(y)
f(x+y)
= (I tX-I(l
Jo
Para x=y, queda
,
5
(11)
_ t)y-Idt
r(x)r(x)
r(2x)
Haciendo el cambio t=
I-/Ü en la integral,
2[ e -/u)
r(x)r(x)
r(2x)
_
0-1
se tiene que
e +/j
0-1 (
-D
U-I/2du
_1_ (I CI/2(1 _ t)X-Idt
22x-1 Jo
1
22x-1B(1/2, x)
1 r(1/2)r(x)
22x-1 r(1/2 + x)
de donde resulta la llamada fórmula de duplicación
22x-Ir(x)r(x
+ 1/2) = J7[r(2x)
(12)
4. EXTENSIÓN DEL DOMINIO DE LA FUNCIÓN GAMMA.
En (1) se definió la función Gamma para valores positivos de la variable
x. Es posible extender el dominio de definición de r(x) para valores de x
negativas, usando para ello la fórmula (2) escrita en la forma
I'(e)
=
r(x
+ 1)
(13)
x
De acuerdo con (13), I'(O) = r~l) es infinito. Mediante aplicaciones repetidas de (13), es fácil ver que I'( -1), I'{ -2), I'[ -3), .... también son infinitos.
Para cualquier otro valor negativo de x, se puede calcular r(x) usando (13)
cuantas veces sea necesario, hasta que I'(z + 1) tenga argumento positivo.
De esta manera, juntando (1) y (13), la función r(x) queda definida para
todos los valores de x, excepto x=O, -1, -2, -3, ....
En la bibliografía especializada están disponibles tablas de valores de
. I'{z}; además, la función Gamma está incluida en los programas de biblioteca
de calculadoras y computadoras de uso científico.
6
l
r (L)
5
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
'V'
4
3
2
1
1
-1
3
1
I
4
L
-1
I
I
I
I
I
-2
-3
¡~
-4
-5
5. EJEMPLOS.
Ejemplo 1. Calcular I'(G).r(5/2) y r(-3/2).
Solución.
Usando (3):
I'(G]= r(5 + 1) = 5! = 120.
Usando (4):
r(5/2} = [(2
+ 1/2)=
~.;vii = ~J1f.
(:O
3
Ejemplo 2. Calcular
1= Jo
JXe-x
Solución.
7
dx
(donde se ha usado la definición (1))
1=
1
VXe-x
00
o
Ejemplo
3
!Ji
dx = _Y_
/1
3
3. Calcular
Solución.
r'
1= Jo a4t2Ja2
r1 t3/2(1 - t)1/2dt
6
a
- a2t· 2Cl/2dt
a
=2
Jo
6
a
= 2B(5/2,
3/2)
(donde se ha usado la definición (7).
Ahora, según (10), se tiene que
6
1 = a6 r(5/2)r(3/2)
2
r(4)
Ejemplo
= a
2
~ft· ~ft
3!
4. Calcular
1-
10o
dx
00
1+ x4
Solución.
l
8
(donde se ha usado '(9)).
Según (10) y (5), se tiene que
I=! r(1/4)r(3/4)
4
I'(l )
= !r(1/4)r(1
4
roo
_ 1/4) =
~_7r_
4 se71,¡
dx
7r
1 + x4 = 2V2
1= Jo
6. OTRAS DEFINICIONES DE LA FUNCIÓN GAMMA.
Definición de Gauss:
r ()x
'
= l un.
x->oo
71,! 71,X
---:----:----:----:----:------:x(x + l)(x + 2) ... (x + 71,)
(14)
Definición de Weierstrass:
1
--
=
r(x)
, es la constante
xe!"
rr e00
x/n
n=l
(X)1+ .
(15)
71,
de Euler, la cual está dada por
, = lím
n->oo
(Hn -In 71,)
~
0.57721566
donde
H = 1+
n
111
-2 + -3 + .... +-n
7. FUNCIONES GAMMA INCOMPLETAS.
Se definen las funciones Gamma incompletas por
,(x, a) =
loa e-ttX-1dt
(16)
r(x, a)
Loo e-ttX-1dt
(17)
=
Es evidente que
,(x, a)
+ I'{z , a)
9
=
I'(z)
8. EL SÍMBO;LO(A)k DE POCHHAMMER.
(A)O = 1
(Ah = A(A
+ l)(A + 2) ...
'(A
10
+k
- 1) =
r(~(:t)
(18)
EJERCICIOS
1. Demostrar:
2. Calcular:
11
3. Demostrar:
12
BIBLIOGRAFÍA
1. N.N. Lebedev: SPECIAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS.
Dover Publications, Ine.
2. W.W. Bell: SPECIAL FUNCTIONS FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS.
D. Van Nostrand Company, Ud.
3. E.D. Rainville: SPECIAL FUNCTIONS. Chelsea Publishing Company.
4.M. Spiegel: ANALISIS DE FOURIER (Serie de Compendios Shaum). Me
Graw-Hill.
13
