Teoría de Exponentes: Ejercicios Resueltos y Conceptos

TEORIA DE EXPONENTES .
TEORIA DE EXPONENTES
DEFINICIÓN: Estudia todos los tipos de
exponentes y la leyes que los rigen.
I) MULTIPLICACION :
b: base n: exponente p: potencia
DONDE:
bn = P
bn = ⏟
b. b. b … . b =P
n veces
NOTA:
(∓)𝑃𝐴𝑅 = +
(∓)𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 = ∓
Es recomendable que se recuerde los
siguientes resultados .
22=4 ; 32 =9 ; 42= 16 ; 52=25
23=8 ; 33 = 27 ; 43= 64 ; 53=125
24=16 ; 34=81 ; 44=256; 54=625
25=32 ; 35=243 ; 45=1024; 55=3125
26 = 64 ; 36=729
27 = 128 ; 37=2187
72=49
28 = 256
73=343
9
2 =528
74=2401
210 = 1024
11. Raíz de raíz
𝑚 𝑛
√ √𝑎 =
′′𝑛′′ 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠
1.
2.
Producto de bases iguales.
𝑎𝑛 . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚+𝑛
División de Bases iguales.
𝑎𝑚
ECUACIONES EXPONENCIALES
Son
ecuaciones
que
se
caracterizan
porque
la
incógnita se encuentra en el
exponente
CASOS:
I. Si am =an  m=n  a 0 y a  1.
II. Si an = bn  a = b  n  0
𝑥
𝑎
III. Si 𝑥 𝑥 = 𝑎𝑎 → 𝑥 = 𝑎
1)
4.
5.
6.
7.
8.
=𝑎
; a0
Potencia de un Producto.
(𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏 𝑛
Exponente negativo
1
𝑎 −𝑛 = 𝑛 ; 𝑎 ≠ 0
𝑎
Exponente cero
𝑎0 = 1 ; a≠0
𝑚−𝑛
Potencia de una fracción.
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
( ) = 𝑛 ;𝑏 ≠ 0
𝑏
𝑏
Exponente negativo de una fracción.
𝑎 −𝑛
𝑏 𝑛
( ) = ( ) ;𝑎 ≠ 0∧ 𝑏 ≠ 0
𝑏
𝑎
𝑛
𝑛
𝑎 𝑛 = √𝑎𝑚 = √𝑎
9.
PROBLEMAS
2𝑛+4 −2.2𝑛+2
2.2𝑛+3
n 𝜖ℕ
a)1/2 b)-1/2 c)2
n 𝜖ℕ
a)-2 b)2 c)-1 d)-3
32𝑛+1 + 9𝑛+1
2) 9𝑛+1 −32𝑛+1
3.22𝑛+1 + 2.32𝑛+2
6(32𝑛+1 +22𝑛 )
𝑚
Raíz de un producto
𝑚
𝑚
𝑚
√𝑎. 𝑏 = √𝑎 . √𝑏
10. Raíz de un cociente
𝑛
𝑛 𝑎
√𝑎
√ =𝑛
𝑏
√𝑏

n 𝜖ℕ . a)1 b)2 c)3 d)-2
52𝑥+1 −25𝑥+1
52𝑥 / 5
2𝑥+4 +6.2𝑥+1
E=
10.2𝑥 +2𝑥+2
4)Simplificar: E=
indicar √−𝐸 Rpta: √10
5)Simplificar:
x es natural. Rpta : 2
73x-2 +72 =50 ; 3x-3 +3x-2 +3x-1=39
5x+4 +5x+2 +5x=651(54-x) ; 9x´+2 =240+9x
Si 4x -4x-1 =24 hallar (2x)x
7)Si n𝜖ℕ y además:
81 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
⏞
𝑛360 +𝑛360 +⋯𝑛360
⏟
81.81.81….81
= 8181
10 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
8)Reducir: 𝑀 =
9) Simplificar: 𝑁
152 .25.49
352 .452
; a)13b)12c) 19 d) 15e) 5
2𝑛+4 −2𝑛+3
=
2𝑛+4
a) 2 b) 3 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/5
10) Calcular: 𝑃
Exponente fraccionario
𝑚

6) Hallar el valor de ‘x’
𝑎𝑛
3.
√𝑎
12. Potencia de potencia.
(𝑎𝑚 )𝑛 = (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑚.𝑛
3)
ADICION
𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 … + 𝑎= na
⏟
𝑚.𝑛
2𝑎+2 .4𝑎+2𝑏
= 8𝑎−2 .16𝑏+2
a) 1 b) 2 c)4 d) 1/2
11)Simplificar: 𝐸
=
e) ¼
2𝑛+3 +2𝑛+2 −2𝑛+1
2𝑛+2
a) ½ b)3/2 c) 5/2 d) 4/5 e) 7/6
12)Calcular: 𝐴
a) 96
4𝑥+3 +4𝑥+2 +4𝑥+1
= 22𝑥−1 +22𝑥−2 +22𝑥−3
b) 6 c)3/2 d)48 e) 56
TEORIA DE EXPONENTES .
2x+5
2x+4
13)Resolver:
+
a) -2 b) -1 c) 1 d) 2 e) 3
+
2x+3
= 28
27) Halle el exponente final de “x”.
14) Resolver: 3x-1 + 3x-2 =
a) 3 b) 5 c) 9 d) 7 e) 1/5
"b" veces

(x a )bc . (xbc ) a . x ac . x ac ...... x ac
108
15) Resolver: 2x+5 + 2x+4 +
a) -2 b) -1 c)1 d) 2 e) 3
2x+3 = 28
16)Resolver: 32x-1 . 3x-2 . 33x+7 = 27
a) -1/2 b) -1/3 c)-1/6 d) 1/5 e) 1/7
17)Resolver:
3ª + 3a-1 + 3a-3 = 111
a) 0 b) 2
c) 4
d) 6 e) 8
“m”:4m-4
4m-3
18)Hallar
+
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 10
+
4m-1
= 69
19) Efectúa:
3𝑛+4 .3𝑛+3
𝐹 = 3𝑛+3 −3𝑛+2
(( x3a )b )c
a) 0
b) 1
a)2 b)3
c)1 d)6 e)0
21) Realiza la siguiente operación:
𝑥 1 . 𝑥 2 . 𝑥 3 . 𝑥 4 . . . 𝑥 9 . 𝑥 10
A) 𝑥 20 B)𝑥 30 C)𝑥 55 D)𝑥 100 E)𝑥
22) Simplificar :
2𝑎+4 +2(2𝑎 )
3(2𝑎+3 )
a) 3/2 b) 3/7 c)5/4 d) ¾ e) 4/3
23)Reducir:
7𝑥+4 + 7𝑥+3 +7𝑥+2 +7𝑥+1 +7𝑥
E= 7𝑥−4+ 7𝑥−3+7𝑥−2+7𝑥−1+7𝑥
a)49 b)343 c)2401 d)16807 e) 4093
24)Simplificar:
4.4.4.4 … (𝑛 + 3)𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝐸=
2.2.2.2 … . (2𝑛 + 3)𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
a) 1 b) 2 c)4 d)8 e) 16.
x
10 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠.
a) 64 b)128 c)256 d)512 e) 1024.
26)Al simplificar el exponente final de x es 5,
hallar el valor de n
e) 4
Calcular: P  x x
1
2
a) 30
d) 35
b) 32
c) 34
x  xx
4
e)
29) Si: b a  5  a  b 
2
Calcular: R  ab
e) 33
 7 60 

7 
 7 
30) Calcular: E  72 . 7 50 . 49  42 
b) 754 c) 755
d) 741 e) 1
31)Si: 2n = 3m; reducir:
L
a) 3/4
52 . 2n  2n 1  32 . 2n
3m  3  22 . 3m 1
b) 4/3 c) 6/5 d) 2/9 e) 7/5
32) Reducir: E 
a) 1 b) x c) x
33) Calcular: P 
a) 1
b) 2
xm  n  mn  x2m  2n
xm  n  mn  x2mn
2(m+n-mn)
d) xm+n-mn e) na
2 a  2 . 4 a  2b
8 a 2 . 16b  2
c) 4
d) 1/2
e) 1/4
x 1
34) Si: xx = 3 Calcular: R  x x
a) 3
b) 9 c) 27 d) 1/3 e) 81
35) Si: ba  5
a b 

1
2
b 1
Calcular:   b a
a) 10 b) 20 c) 25 d) 30
36) Si: x x  31
equivalente a:
37) Calcular: A 
a) 96
e) 35
1 x
xx
entonces
b) 27-1 c) 3-1/3 d) 3-1 e)
10 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
⏞
2𝑥+2 . 2𝑥+2 . . . 2𝑥+2
2𝑥+1 . 2𝑥+1 … . 2𝑥+1
⏟
d) 3
b) 1/2 c) 4 d) 2
a) 2
a) 3x-1
25)Simplificar:
c) 2
28) Si: x x  2
a) 650
20) Simplifica la expresión:
217 . 318 . 219 . 320 . 221 . 322
𝐺=
321 . 227 . 338 . 228
A) 3
B)6 C) 9 D)12 E)15
A=
𝑥 2𝑛+4 + 𝑥 2𝑛+3
𝑥 𝑛+2 + 𝑥 𝑛+1
b) 6
3
es
3
4 x  3  4 x  2  4 x 1
22x 1  22x 2  22x 3
c) 3/2
d) 48 e) 56
2
2
38) Si: xx = 2 entonces: S  x x  x x  x es
2
igual a: a) 81 b) 6x c) 12 d) 2 x (3) e) 21 x
a 1
TEORIA DE EXPONENTES .
a) 0
3x 1  7 y 1  3x
y
x
7 7 . 3 3 . 7
b) 1
c) 2
A) 1
B)2
d) 3
E
b) 5 m
a) 5
e) 4
c) 1/5
Hallar el equivalente de: E  ab
a) 16 b) 16a c) 4 d) 4a e) 8a
2
2
x
1  x2
igual a: a) 81 b) 6 c) 12 d) 2 (3) e) 2
3
4
12
a 47
b) a46/12 c) a3
a3 .
a5
12 11
a
3 4
a) 0
24
7  22 .
b) 1
73
24
c) 2
7 2 
3
a) 1
72
73
7
e) N.A.
m 2n
15
m
10
4
5
 10 4
323
4
3
2
B)225 C)425



11
5
7
C)169
C)2 D)3
2
D)179
E)4
2
n6
C) 2 D)3
E)4
50) Calcula:
B)1
51) Calcula:
1
x n2
e) N.A.
n 1
1 m
1
n 1 a 1 m 1 b
a1 n 1
b m 1 1
.
 ba n d) (ab)
n
n
x3n  n
e) 1
2
2
x4 n  x2 n
2
2
x2 n  xn
n
x 1
10
a)3
9
n 1
4 .
3n
b)3
59) Siendo:
E)6
c)9
3
R
e) N.A.
3 9
3
39
d) 2B
1
abc
a b c


E


B9
3
9
3 3 1
e) N.A.
abc 
a 2b 2 c 2
1 3
 abc
a b c
16
1
x
x
x
x
 30




a) x
b) x
c) x2
61. Simplificar:
b
C) 2 D)3
d)27
A3 9
1  1  1
ab ac bc
e) N.A.
3 n2
1.
3
 b  b 
K  b b



2n  4  2n 3
2n  2  2n 1
A) 0
d) x4
 
60. Simplificar:
2n 3
B)1
e) N.A.
( 2 n 3 ) veces
Hallar A . B
a)B2 b) B c) B/2
60)Simplificar:
49) Efectúa:
2
2
2
10n 3  10n  2
10n  2
3
15
6
48) Calcula:
n7
b) a/b c)
En
15
D)125 E)25
13 
13  
47) Calcula:
A) 0
a)a.b
5
11
11
B)1
d) 6
a) x b)x2 c)xn
d)x2n
58. Calcular el valor de:
 7   5 
5  5  
B)1
c) x3
56) Reducir: G 
E
3 3
5 2



A)0
b)x2
a)x
mn 2
4
46) Reduce:
A) 0
73
e) N.A.
c) 15
( 3 n  6 ) veces
32m 1 . 5m . 4 3mn 2
A) 625
K
2
m
m
m
m 10 15  6
5 m  2 m  3 m

 
 x   
x . x . x .... x
E   xx.. xx.. xx.....
.
6



x
x
.....



 ( 4 n2 ) veces  
.3 . 3
45) Reducir
d) – a
1
57). Simplificar:
44) Simplificar:
2n
c)–1
a)30
b) 10
55). Calcular:
8
d) 4
b)a
54)Reducir:
d) a11 e) a47
24
e) N.A.
1
5 

E  a 1 a a 3 2  


 

43) Reducir:
M
d) 1
 
41) Si: xx = 2 entonces: S  x x  x x  x es
42) Reducir: N  a2 .
m 2
 2 2 m 2
m 4
20 m 1
53) Reducir:
abab
x
5
0
2
C) 3 D)4 E)5
52) Simplificar:
y
40) Si: ab = bb = 2
a)
3
0
2 2 2 2
39) Si: 3x = 7y; reducir:
C
0
3
0
E)4
d) 1/x
bb b
e) 1
b
a) b
b)1/b c) b2
d) 1 e) N.A
22. Hallar el exponente final en la siguiente
expresión:
E
3
x .3
4
x .4
5
x .....24 25 x
TEORIA DE EXPONENTES .
a)172
b) 23
23. Reducir:
E  x 2 xx 
2
2
a)x
c) 1
 x.
d) 23/50
e) N.A.

2
x 2 . x3 ...." x" factores . x  x
b) x c) 1
d) 1/x e) N.A.
24. Siendo: a > 0 , reducir:
1
a

K  a

a
a a



1
a
1
a
26. Calcular el valor de “n” en:
n
 8 31  2  9 21  4 
4
 27
81
 3 2









a)1/2 b) 1/3
c) ¼
d) 1/9 e) N.A.
27. Calcular el valor de: E = GG
si.
a)64
x
x
b) 32
28. Resolver:
a)2
b) 1
2
y
c) 16
G
x
d) 4
x
x
x
e) N.A.
22 x  2  2.32 x  2  6 x
c) – 2
d) ½ e) –1/2
29).Cuántas letras deben existir en la siguiente
expresión:


  2 2 4 4 6 6 
... a b .c  ...
 
 

x
para que luego de simplificar el exponente
dela antepenúltima letra sea: 132560.
a)
10
b) 11
15
d) 18
c)
e) N.A.