A-1ro-Cantidad de divisores

CURSO :
ARITMÉTICA
TEMA :
CANTIDAD DE DIVISORES
GRADO :
SEMANA :
PRIMERO DE SECUNDARIA
13
El mayor número primo conocido
La técnica que se usa para hallar números
primos “grandes” es utilizar los números de
Mersenne.
El matemático del siglo XVII Marin Mersenne
pensaba que siempre que “n” sea primo, el
número 2n-1 sería también primo. Por
ejemplo
Dicha conjetura resultó siendo falsa ya que
los números 211-1; 261-1 y 289-1 no son
primos. Sin embargo los números de
Mersenne proporcionaron una técnica para
encontrar números primos “grandes”. El
número primo más grande que se conoce
en la actualidad es el número de
Mersenne:
282 589 933 - 1
Dicho número posee más de 24 millones
de cifras y Fue descubierto por Patrick
Laroche el 7 de diciembre de 2018.
Cantidad de divisores de un número
I. Descomposición canónica de un número
Consiste en expresar un número como el producto de sus factores primos
elevados a ciertos exponentes.
Ejemplo. La descomposición canónica de 72
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
23
x
32
En general: Sea la descomposición canónica de N
= 72
2 y 3 son los divisores
primos de 72
3
Recuerda : Los exponentes indican
cuantas veces se repite cada factor primo
N = an  b m  c p
Donde: a, b y c son los divisores primos de N
II. Cantidad de divisores de un número (CD)
Basta determinar la descomposición canónica del número, luego sumar una unidad a cada
exponente y multiplicar los resultados. El producto obtenido será igual a su cantidad de divisores
del número.
Ejemplo. ¿Cuántos divisores tiene 360?
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
En general: Sea la descomposición canónica de N
360 = 23  32  51
N = an  b m  c p
CD = (3+1) (2+1) (1+1)
CD = 4 x 3 x
CD = (n+1)(m+1)(p+1)
2
CD = 24
Divisores
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
de 360
24 divisores
III. Clasificación de los divisores de un número
Ejemplo. Consideremos los divisores del número 12:
1; 2;
3;
4;
6;
12
observamos que tiene tres tipos de divisores
- La unidad: 1
- Divisores primos: 2 y 3
- Divisores compuestos: 4; 6 y 12
En general, para cualquier número compuesto se cumple que:
divisores
divisores
Total de
= Unidad +
+
primos
compuestos
divisores
Ejemplo: Halle la cantidad de divisores compuestos de 48
Hallamos la descomposición canónica de 48 :
48 2
24 2
24 x 31
12 2
6 2
3 3
1
Total de divisores = (4+1) (1+1) = 5 x 2 = 10
Total de divisores primos = 2 y 3 las bases de la descomposición = 2 divisores primos
Total de divisores simples =
= 3 divisores simples
1 ; 2 y 3 (Divisores primos
contando con la unidad )
Total de divisores compuestos
Total de divisores
compuestos
=
- Total de
divisores simples
= Total de
divisores
10 -
3
=7
Ejemplo 1 :
Si 240 = 2a  3b  5c. Hallar a +b + c.
Resolución
Descomposición canónica
240
120
60
30
15
5
1
2
2
2
2
3
5
240 = 24  31  51
a=4
Dato:
240 = 2a  3b  5c
b=1
c=1
Respuesta : a + b + c = 6
Ejemplo 2 :
Halle la descomposición canónica de 495 y determine su cantidad de divisores
Resolución
Descomposición canónica :
495
99
33
11
1
5
3
3
11
4950 = 32  51  111
Cantidad de divisores :
495 = 32  51  111
CD = (2 + 1) (1 + 1)(1 + 1)
CD =
3 x 2 x
2
CD = 12
Respuesta : Tiene 12 divisores
Ejemplo 3 :
Si A=233n72 tiene 60 divisores. Hallar “n”
Resolución
A = 23  3n  72
Cantidad de divisores :
CD = (3 +1)(n +1) (2 +1)
CD =
4 (n +1) 3
CD = 12 (n +1)
Dato: Tiene 60 divisores
12 (n +1) = 60
n +1 = 5
Respuesta : n = 4
Ejemplo 4 :
Halle la cantidad de divisores compuestos de N = 83235
Resolución
N = 83235
Descomposición canónica
N = 23 x 32
x
51 x 71
• Cantidad de
divisores simples
Cantidad total de divisores
CD = 4 x 3 x 2 x 2 = 48
•
Cantidad de
divisores
compuestos
=5
Son : 1 ;2 ;3 ;5 y 7
Cantidad
= total de divisores
48
-
Cantidad de
divisores
simples
5
Respuesta : Tiene 43 divisores compuestos
Ejemplo 5 :
¿Cuántos divisores compuestos tiene 2 700 000?
Resolución
Descomposición canónica :
2 700 000 = 27 x 100 000
33 x 105
33 x (2 𝑥5 )5
33 x 25 x 55
Cantidad total de divisores ( CD) :
CD = 4 x 6 x 6 = 144
• Cantidad de
=4
divisores simples
•
Son : 1 ; 3 ; 2 y 5
Cantidad de
Cantidad
= total de divisores
compuestos
divisores
= 144
-
Cantidad de
divisores
simples
4
Respuesta : Tiene 140 divisores
compuestos
Ejemplo 6 :
Si B = 12  5m 49 tiene 67 divisores compuestos. Hallar “m”
Resolución
B = 12  5m  49
Descomposición canónica :
B = 4 x 3 x 5𝑚 x 72
B=
22
x
31
x
5𝑚
x
72
Cantidad de divisores ( CD) :
CD = 3 x 2 x (m +1 ) x 3
CD = 18 (m +1 )
• Cantidad de
=5
divisores simples
•
Cantidad de
divisores
compuestos
Son : 1 ; 2 ; 3 ;5 y 7
Cantidad
= total de divisores
Cantidad de
divisores
simples
67 = 18 (m+1) - 5
72 = 18 (m+1)
72 = m +1
4 = m +1
18
Respuesta : m = 3
Ejemplo 7 :
Halle la cantidad de divisores de A=242183
Resolución
24
12
6
3
1
2
2
2
3
A = 242 183
Cantidad de divisores :
Descomposición canónica :
A = 29  38
A = (23  31)2  (21  32)3
A = 26  32  23  36
18 2
9 3
3 3
1
A = 29  38
CD = (9+1)(8+1)
CD = 10  9 = 90
Respuesta : Tiene 90 divisores
A continuación se encuentran la diapositiva
que copiarás en el cuaderno
Cantidad de divisores de un número
I. Descomposición canónica de un número
Expresar un número como el producto de sus factores primos
N = an  b m  c p
Donde a, b y c son los divisores primos de N
II. Cantidad de divisores
Producto de los exponentes aumentados en una unidad
CD = (n+1)(m+1)(p+1)
III. Clasificación de los divisores
divisores
divisores
Total de
= Unidad +
+
primos
compuestos
divisores
Ejemplo 1 :
Si 120 = 2a  3b  5c. Hallar a +b + c.
Resolución
Descomposición canónica
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
240 = 23  31  51
a=3
Dato:
240 = 2a  3b  5c
b=1
c=1
Respuesta : a + b + c = 5
Ejemplo 2 :
Halle la descomposición canónica de 175 y determine su cantidad de divisores
Resolución
Descomposición canónica :
175
35
7
1
5
5
7
Cantidad de divisores :
175 = 52  71
CD = (2 + 1) (1 + 1)
CD =
3 x 2
CD = 6
175 = 52  71
Respuesta : Tiene 6 divisores