LA SALLE Fecha: ......... ALUMNO:

COLEGIO
LA SALLE
Fecha:
CÓRDOBA
.........
ALUMNO:
........................................................
CURSO: COU-B
Control
de
Continuidad
y
derivabilidad.
1.-
Hallar la derivada de la función
: x3 + ln y - x2 ey =
0.
Calcular la recta tangente y normal a la curva en el
punto de ordenada 1.
2.-
Se considera la curva
que la tangente en
el
ye
2
x h x
 1.
Determinar “h” para
origen sea la bisectriz del primer
cuadrante.
3.-
Determinar el valor de “a” para que sea derivable la
función:
f  x 
4.-
 x ln x

x
 a 1  e 
Calcular:
si
0 x 1
si
x 1
lim arcsen x  cot g x
x0
COLEGIO
LA SALLE
Fecha:
CÓRDOBA
ALUMNO:
.................................................
CURSO: C.O.U. A - B
Control de Recuperación 1ª EV.
1.- a)
Estudiar
la
continuidad
y
derivabilidad
de
la
siguiente función:
2p.
y
b)
x 1
x2
.

1
¿Se cumple el teorema de Bolzano en   2 ,   ?.

2
Razónalo. ¿ Existe alguna
raíz de f(x) =
0 en dicho intervalo?. Contradice esto lo anterior.
2.- Calcular
 ax 2  3 x
 2
 x  bx  4
f  x 
1.5p
“a” y “b” para que:
si
x 2
si
x 2
sea derivable en
3.- Calcular
los siguientes límites:
3p
4
1 sen x

 1  tg 2 x  x
2 tg x
a)
4.-
lim
x0
b)
.
L 1  x 
lim
x0
4
x
3
Calcular derivada de la función: x2 -x.2y+1
4y -x + 2y +2 =0 en el punto
de
ordenada y =1.
2p
b) Hallar la recta tangente en el punto del apartado
anterior.
-
5.- Hallar
e
y =
x2.
a)
el ángulo que forman las parábolas y = 8 - x2
1.5p
COLEGIO LA
CÓRDOBA
SALLE
Fecha:
.........
ALUMNO:
........................................................
CURSO: COU-D
Control de Continuidad y
derivabilidad.
1.-
Considerar la función: f  x  
 3  x
si

2
 ax  bx  4
x 7
si
7  x  10
.
Determinar:
3p
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad
según los
valores de “a” y “b”.
b) La derivada en
x = 7,
x = 9
y
x = 3.
c) Hallar los valores de “a” y “b” en la segunda rama
para dicha función sea
tangente a la recta
y =
4-x en el punto P(8,0)

1

1
2.-
Calcular:
3.-
Calcular el siguiente límite:
lim
x
lim
x0
x 5
x
ln  1  3 x sen x 
tg x
2
1.5p
2p
4.- Demostrar que la función y = sen(lnx) + cos(lnx)
satisface la ecuación:
x2 y” + x y’ + y = 0.
1.5p
5.- Definir límite real de una función en un nº real.
Definir límite real de una función en el infinito. Pon
un ejemplo y compruébalo
según definición.
2p
COLEGIO
LA SALLE
Fecha:
CÓRDOBA
.........
ALUMNO:
........................................................
CURSO: ...........
Control
1.-
Definir
la
final 3ªEV.
función
en

x
=

x
arcsen
4.5.-
que
la
función
a) Enunciar y justificar la regla de L’Hôpital.
b) Hallar “a” para que: lim
3.-
para
1



f ( x )   x  arctg  si x   0 , 


x
2
siguiente sea continua en  0 , 

2
2.-
0
Calcular el lim
x 0
4x  5


4x  3
x

lim
x
x
1 x
2
ln(1  x )
Determinar las asíntotas de la curva y =
Calcular la integrales:
b)
x

x
10
a)
4
2
dx
 4x2  1 


2
4x   
c)

x  3x  5x  7
 sen
3
x
3
x2
2
x 2
2
x  dx
dx .
.
ax
2
* Estudiar la continuidad de las funciones siguientes, según
los valores de “m”, “n” y A.
 e nx  e x  x

2
g  x  
x
 A

2
f  x   m  x  1  2 x  1 ;
*
a)
Concepto
de
derivada
de
una
si
x  0
si
x  0
función
en
un
punto.
Interpretación geométrica.
b) Sea “k” un número real y “f” una función real definida
en R mediante:
2
f  x   x sen
1
x
 kx
Si
1.- Calcula la derivada en
x  0,
f  0  0
x = 0.
2.- Calcula la función derivada.
3.- ¿Es continua esta función
COLEGIO LA SALLE
CÓRDOBA
f’ (x)
Recuperación 1ª
en
x = 0 ?.
EV.
ALUMNO:___________________________________
CURSO:______
1.- a) Enunciar y demostrar la regla de L’Hopital.
b) Calcular
lim
x o
c) Calcular
1  sen x  e
(arctg x )
x
2

8
lim  1  5 tg 
x
x 
x
2.- a) Comprobar si la derivada de la función
satisface la ecuación
y
a  arcsen x
1 x
2
 1  x  y '  xy  1
2
b) Probar que si f es par y g impar, entonces
 f  g   x   f  x   g  x  es impar y
 f  f   x   f  x   f  x  es par.
3.- a) Teorema de Bolzano. Enunciado y demostración.
x
f  x  e  x  3
b) Dada la función
se pide:
Estudiar el intervalo de definición de f  x  y
demostrar que f  x  tiene un único
cero en el intervalo  0,  .
4.- Determinar los valores de a y b y el valor f  0  para que
la función f  x  , que se
define a continuación , pueda ser continua.
 sen 2 x

2
 ax
x
f  x    bx
 2
x  x1

x
si
x 0
si
0 x  1
si
1 x
Estudiar, para ese valor de “b” obtenido, la
derivabilidad en x = 1
3
2
5.- La función f  x   x  a x  b x  c , tiene un punto de derivada
nula en (1,1) , que no
es extremo relativo. Razónese el valor de a, b y c.
SUBIR NOTA
1) Estudiar derivabilidad de
2) Calcular

1
lim  cos 
x
x 
y =
 E  x  1

 4  2x
 2
x 9
 sen x
si
2 x
si
x 
x
la salle
Colegio
Córdoba
x2
si
fecha: 31-10-96
ALUMNO: _______________________
Curso: ___
Control de Topología, Funciones y Límites.
1. .
Deducir la derivada n-ésima de
1’5p
f(x) = x.e-x,
x
2.a) Definir punto de acumulación e interior de un
conjunto lineal.
1p
b)
Clasificar los puntos de
n 1


n

A   x   / x    1
,n  N 


n
3.-
1p
Calcular el dominio de las funciones:
x  36
2
a)
arccos
x 1
x 1
2
f  x 
E 3 x  9   3
1’25p
1’5p
b)
y =
4.-
6
lim
Calcular: a)
4e
1
x
x 0
1´25p
sen x  sen
b)
lim
x
5.-

2
x

2
1’25p

2
Hallar un infinitésimo equivalente a
1’25p
la salle
Colegio
Córdoba
x
3
cuando x  3 .
fecha: 29-11-96
ALUMNO: _________________________ Curso: ___
Control de Análisis.
1.-
Estudiar la continuidad de las funciones siguientes,
según los valores de “m”,
“n” y A.
f  x  m  x  1  2 x  1 ;
2
2.1
9

a)
66  8 
 en x  e x  x

2
g  x  
x

 A
si
x 0
si
x 0
.
2p.
Demuestra aplicando el teorema del valor medio:
1
8
.
1p.
b)
Sea
g(x) una función continua en x=0. Se
considera la función f(x)=xg(x).
Demostrar que f(x)
es una función derivable en x=0 y hallar f ’(0).
1p.
3.-
Demuestra que la ecuación x ex = 2 sólo tiene una
solución en el intervalo
( 0, 1 ). Enuncia y di la interpretación geométrica de
los teoremas
importantes que utilices.
2p.
4.-
a)
función
Determina las constantes
f
definida
a
y
b
f  x 
por:
verifique las condiciones del
de manera que la
 L n  x   1, si 1  x  e ;

2
ax  b , si e  x  e .

Teorema del Valor Medio de
Lagrange en el intervalo  1, e2 .
Nota:( Ln ( x )
denota el logaritmo neperiano de x ).
1p.
b)
Encuentra algún punto de la gráfica de
que la recta tangente
en el
sea paralela a la cuerda que une los
extremos de la curva.
5.-
f
1p.
Calcular los límites:
a)
c)
lim
x0
x ln  1  x 
1  cos x
ln  2  3 e
lim
x 
2  3x
x
2

.
b)
lim
x0
 cos x  sen x 
1
x
.
.
2p.
Recuperación de la 1ª Ev.
Curso 96-97.
.-
Calcular los siguientes límites:
1
1 x 

lim 

x  0  ln 1 x
x 
.-
Sea
f :  0 ,


.
 3 - x2

2
dada por f(x) = 
1
x
Estudiar si existe c  0 ,2  t al que f ' (c) =
si 0  x  1
.
x 1
si
f(2) - f(0 )
2

1
2
.
Colegio
Córdoba
La Salle
fecha: 1-12-97
ALUMNO: _________________________ Curso: ___
Control de Análisis 1ª Ev.
1.f  x 
Estudiar


 x e

 0
b)
la
derivabilidad
de
la
función
:
a)
1
x
4
si
x 0
si
x 0
.
1p
g(x)=  4  2 x  4 .
1p
2.-
Estudiar
la
continuidad
según los valores de “m”,
de
las
“n” y A.
funciones
siguientes,
e  e  x

2
g  x  
x
 A

nx
f  x  m  x  1  2 x  1 ;
a)
2
b)
x
x 0
si
x 0
si
1’75p
3.-
Calcular los siguientes:
a) lim
x0
4
1 sen x

 1  tg 2 x  x .
2 tg x
1p
b)
Límite de la siguiente función
q  x 
1
L 1  x 

1
x0.
0’75p
4.- Razonar la certeza o falsedad de las siguientes
afirmaciones:
Si f(x) g(x) son funciones derivables en R,
a) entonces, la función h(x)= f(g(x2) es derivable
h’(2) = f’(g’(4)).
0’75p
b) si además, f(3) = g(3)=2, f’(3)=7,
f
,
si
x
y
f’(3)=2,
g’(3)=1, entonces    3   12 . 0’75p
 g
5.-
Sean
“f”
f  x  a  bx  x
2
4
y
y
“g”
g  x  c  x
las
definidas
a, b, c  ,
de modo que las
corten en el punto
sean tangentes en dicho punto.
6.-
Si f(x)= ar ct g
sen x 

 1 cos x 
por:
3
Calcula los valores de
gráficas de “f” y “g” se
funciones
(1, 1)
y
1’5p
, hallar:
a) función derivada, calculando su expresión en la
forma más simplificada posible,
b) derivada en x= 2 ,
c)
d)

diferencial en x= -3 2 ,
ecuación de la tangente y normal de f(x) en x = 0.
1’5p
EXAMEN RECUPERACIÓN.
1ª EVALUACIÓN.
COU-II
( 13.01.97 )
1º ) Se ha trazado una recta tangente a la curva
pendiente es 3 y pasa por el punto
punto de tangencia.
y  x
3
, cuya
 0 ,  2  . Hallar el




f  x  



2º ) Dada la función:
x3
x
2x
3

1
sen x  1
si
x  0
si
0  x 
si

2

2
 x
a ) Estudiar su continuidad y dominio.
b ) Representar
gráficamente
la
función
e
indicar
su
relativos
y
recorrido.
c ) Estudiar su derivabilidad.
d ) Estudiar
su
crecimiento
  ,
absolutos en
y
extremos
.
2
e ) Calcular el área entre la función, el eje OX y los
puntos de abcisa
- 4
y
- 1.
3º ) En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con
base cuadrada tales que la suma de ancho, alto y largo
debe
ser
72
cm.
Hallar
las
dimensiones
para
que
el
volumen del paquete sea máximo.
4º ) Hallar la función “F” tal que
F ( 0 ) = 2
y sea
primitiva de la función:
e
f  x 
x
e 1
x
5º ) Sabiendo que la representación gráfica de la función
corresponde a una función polinómica de grado 2 y que el
área rayada mide 4, se pide hallar
1
Colegio
Córdoba
la salle
f ( x ).
3
fecha:
Calificación:
ALUMNO: _____________________
1.-
Curso: ___
Consideremos la función f(x)=x3 - 6x2 +2x. Hallar:
a) La ecuación de la recta tangente en el punto que la
derivada segunda es cero.
b) Los puntos en los que la recta tangente es paralela a
la recta y-2x+3=0.
c) El punto en el que la recta tangente forme un ángulo
cuya tangente sea -10.
2.-
Calcular los siguientes límites:
a)
lim x . e
x x
2
x 
b)
lim x  e
ax  2
x  x  2b
2
,
x2
x 2
c) Hallar los limites laterales de
=
1
si existe.
f(x)
cuando x  1.
Si a=1
y b=1, ¿ existe lim f ( x ) ?
x 1
E (9  x )
2
3.-
Calcular el dominio de la función: y 
4.-
Derivar y simplificar
Colegio
Córdoba
la salle
al máximo: y  ln
fecha:
ln ( x  3 )
2
1
sen x
1
sen x
Calificación:
 2 arctg
sen x
ALUMNO: ________________________ Curso: ___
Control de Analisis. 1ª Ev.
1.-
Hallar la derivada de la función
0.
: x3 + ln y - x2 ey =
0’75p
Calcular la recta tangente y normal a la curva en
algún punto de ordenada 1. 0’75p
2.-
Determinar el valor de “a” para que sea derivable
la función:
f  x 
 x ln x

x
 a 1  e 
si
0 x 1
si
x 1
.
1’25p
3.-
a)
Enunciar y demostrar la regla de L’Hopital.
0’75p
b)
Calcular:
lim arcsen x  cot g x .
x0
1p
c)
1p
4.-

8
lim  1  5 tg 
x
x 
Calcular
x
En una oficina de correos sólo se admiten paquetes con
base cuadrada tales que
debe
ser
72
cm.
Hallar
la suma de ancho, alto y largo
las
dimensiones
para
que
el
volumen del paquete sea máximo.
1’5p
5.-
a)
función
Determina las constantes
a
f
f  x 
definida
por:
y
b
de manera que la
 L n  x   1, si 1  x  e ;

2
ax  b , si e  x  e .

verifique las condiciones del Teorema del
Valor Medio de
Lagrange en el intervalo  1, e2 .
1p
Nota: ( Ln ( x )
b)
denota el logaritmo neperiano de x ).
Encuentra algún punto de la gráfica de
que la recta tangente
extremos de la curva.
f
en el
sea paralela a la cuerda que une los
1p
6.-
Demuestra
que
la
ecuación
xex=2
solución en el intervalo (0,1).
sólo
Enuncia
los
importantes que utilizes.
Colegio
Córdoba
la salle
tiene
una
teorema
1p
Calificación:
fecha
ALUMNO: _____________________________________ Curso: ___
Control de Analisis. 1ª Ev.
a)
x  senx
1
Calcular los límites:
2.-
a) Justificar si las funciones f(x)= 1  x  x y g(x) 
lim
x 
x  senx
;
b) lim cos x 
1.-
x
2
x 
1
2 x
son infinitésimos equivalentes cuando x tiende a
infinito.
b) Demostrar que el infinito 1+2+3+...+x es equivalente
al infinito
1
x
2
.
2
x   de la derivada n-ésima
3.-
Calcular el limite cuando
de la función y =xex
4.-
Calcular la derivada de la función
Simplificar el resultado.
5.-
y  ln
tgx  1
tgx  1
.