Matematik I Ders Notları

UNIVERSIDAD PEDRO RUIZ GALLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMÁTICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS
MATEMATICA I
presentado por:
M. Sc. Walter Arriaga Delgado
LAMBAYEQUE– PERU
2019
Dedicatoria
Para mis padres, Martha y Elı́as; para mi
adorable esposa, Flor Angela y para los
más grandes tesoros de mi vida, mis hijas
Alessandra Anghely y Stefany Grace.
Prefacio
Visión general
Una de las situaciones más dificiles a que se ve enfrentado comunmente un investigador en
matemática es la de tratar de explicar su labor profesional.
La respuesta a ésta interrogante a lo largo de la historia de la humanidad han sido de la más
variable ı́ndole: hay quienes plantean que cultivan esta ciencia por satisfacción personal, sin
buscar sus aplicaciones inmediatas; otros aseguran que, siendo la busqueda de conocimiento
consustancial a la naturaleza humana y siendo la matemática lenguaje universal, ésta debe
cultivarse como contribución al acervo cultural de la humanidad, para permitir a los diversos
pueblos comprender su propia y particular realidad. También se estima necesario que todos
los paı́ses, especialmente aquellos en desarrollo, cultiven las disciplinas básicas para ası́ poder
lograr independizarse cientı́fica, tecnológica y económicamente.
Concordando en mayor o menor medida con estos planteamientos, se puede constatar que
pese a ser la matemática la más común de las ciencias, en el sentido de que está presente
y es utilizada por todos en la vida cotidiana, ciertamente no es la ciencia con mayor grado
de popularidad; mucha gente tiene sentimientos de aprensión, disgusto e incluso miedo a la
matemática.
Aún considerando estas dificultades, creemos que no ha sido suficientemente difundido el
muy relevante papel que juega nuestra disciplina en la formación integral de cada ciudadano;
de manera privilegiada, la matemática aporta a esta formación capacitando a las personas para
tomar decisiones en la vida, para enfrentar situaciones nuevas, para poder crear y expresar
ideas originales; esto se logra por ejemplo a través de desarrollar la capacidad de abstracción,
de enseñar a relacionar objetos o situaciones diversas, de desarrollar la intuición; en fin, la
matemática ayuda a desarrollar una mentalidad crı́tica y creativa.
Es entonces muy preocupante que sea la más desconocida de las ciencias para el ciudadano
medio; es lo que nos atrevemos a llamar el analfabetismo matemático, o, más generalmente,
el analfabetismo cientı́fico.
El libro que se encuentra en estos momentos en sus manos pretende presentarle una introducción, a nivel elemental y básico, de una parte de las matemáticas sumamente útil y
aplicable a casi todas las ramas del saber: El Cálculo Diferencial.
De la experiencia de dictar cursos sobre Cálculo Diferencial es que surgieron apuntes de
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clase que, después de sucesivas revisiones y ampliaciones, fueron transformándose hasta optar
la forma que ahora presentamos, con la intención de que sirva como texto guı́a que inicie al
alumno en esta fascinante rama de las matemáticas, cuyo origen se remonta al siglo XVII con
Newton y Leibniz.
Objetivo
El objetivo de este libro es presentar los temas de manera clara y comprensible para los
estudiantes de cualquier nivel, de forma que los motive a preguntar porqué y transmitirles el
entusiasmo y gusto por el estudio del Cálculo Diferencial y a la vez proporcionar al lector una
herramienta de consulta, dando la información básica para la resolución de éstas, ası́ como
reforzar la comprensión de los temas y conceptos por medio de una amplia gama de interesantes
aplicaciones en el mundo real. El texto se ha diseñado para brindarle una comprensión sólida
e intuitiva de los conceptos básicos, sin sacrificar la precisión matemática.
Aplicaciones
Una de mis metas fue convencer a lo estudiantes de la importancia del Cálculo Diferencial
en sus campos de estudio. Ası́, este libro pretende implementar el estudio de las aplicaciones
del cálculo diferencial a la Geometrı́a, Fı́sica, Quı́mica, Biologı́a, Economı́a, etc.
Caracterı́sticas
Contenido
El contenido del presente manuscrito se desarrolla de la siguiente manera:
En el Capı́tulo I, se realiza un análisis general de los Números Reales y sus axiomas,
ası́ como también se desarrolla la teorı́a de ecuaciones e inecuaciones.
En el Capı́tulo II, se estudian las Relaciones y las gráficas importantes de relaciones
como la lı́nea racta, la parábola, la circunferencia, la elipse, la hipérbola,etc.
En el Capı́tulo III, se estudia las funciones, las funciones especiales, tipos de funciones
y el álgebra de funciones.
Caracterı́sticas pedagógicas
En base a nuestra experiencia docente y en consejos de muchos colegas, hemos incluı́do
varios aspectos pedagógicos para ayudar a los estudiantes a aprender y a ampliar su perspectiva
acerca del Cálculo Diferencial.
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Problemas resueltos y propuestos
Un problema en matemática puede definirse como una situación, a la que se enfrenta un
individuo o un grupo, que requiere solución, y para lo cual no se vislumbra un camino aparente
y obvio que conduzca a la misma.
La resolución de problemas debe apreciarse como la razón de ser del contenido matemático, un medio poderoso de desarrollar conocimiento matemático y un logro indispensable de
una buena educación matemática. El elemento crucial asociado con el desempeño eficaz en
matemática es que los estudiantes desarrollen diversas estrategias que le permitan resolver
problemas donde muestren cierto grado de independencia y creatividad.
La elaboración de estrategias personales de resolución de problemas crea en los alumnos
confianza en sus posibilidades de hacer matemática, estimula su autonomı́a, ası́ como expresa
el grado de comprensión de los conocimientos y le facilita mecanismos de transferencia a otras
situaciones.
Concebimos entonces que la resolución de problemas es el proceso más importante que
posibilitará a los estudiantes experimentar la utilidad y potencia de la matemática. Implicarlos
en esa labor les permitirá indagar, construir, aplicar y conectar lo aprendido. De ahı́ que una
responsabilidad importante de los docentes del área de matemática sea elaborar, seleccionar,
proponer y discutir problemas de diverso tipo y exigencia conjuntamente con los estudiantes
y con otros colegas.
Aprender matemática significa entender y usar la matemática a través de la resolución
de problemas, aprender matemática no sólo es memorizar fórmulas técnicas para resolver
ejercicios propuestos.
Hay que hacer que los alumnos trabajen dinámicamente en actividades que permitan la
construcción del saber matemático por etapas, a partir de fenómenos y de situaciones cotidianas de modo que vayan elaborando conceptos de dificultad creciente, observando claramente
y de inmediato su uso.
Todo usuario de la Matemática recopila, descubre o crea conocimiento en el curso de la
actividad que realiza con un fin. El desarrollo de las actividades debe estar organizado para
que los estudiantes comuniquen ideas oralmente y por escrito. El proceso de construcción del
lenguaje matemático no puede ser una actividad individual. Es un proceso de comunicación:
alumno-profesor, profesor-alumno y sobre todo alumno-alumno. La capacidad de usar con
facilidad el lenguaje matemático es muy importante para comprender la matemática y por eso
las formas de comunicación matemática deben ser cada vez más formales y simbólicas.
El libro contiene problemas resueltos y propuestos para que el estudiante ponga a prueba
su aptitud. En los ejemplos resueltos enseñamos a los estudiantes a pensar sobre los problemas
antes de que empiecen a resolverlos.
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Resúmenes
Al final de cada capı́tulo, aparece un repaso detallado de los resultados importantes del
mismo, esto permitirá una clara comprensión del texto.
Uso de Software
La tendencia cada vez mayor a que el docente se convierta en un “facilitador del aprendizaje” más que un “presentador de hechos” ha producido una expansión en la esfera de los
paquetes de informática especializados como los software matemáticos preparados para ayudar al docente. Estos paquetes tienen por objeto suplementar el trabajo práctico, permitiendo
ası́ ampliar la presentación de la ciencia a los estudiantes. Estos software han adquirido tal
grado de complejidad en la enseñanza de la Ciencia que han recibido el nombre de “Tecnologı́a
Educativa”.
Entre los software matemáticos más importantes podemos citar: Maple, Matlab, Derive,
Mathematica, Cabri Geometry, etc.
El software matemático Maple que se ha utilizado para la preparación de este libro, se
caracteriza por realizar cálculos con sı́mbolos que representan objetos matemáticos.
Se trata de un sistema de cálculo cientı́fico (simbólico, numérico y gráfico) interactivo, con
una sintaxis próxima a la notación matemática, disponible para una amplia gama de sistemas
operativos. Algunas de sus capacidades son:
X Operaciones numéricas en aritmética racional exacta o decimal de precisión arbitraria.
X Manipulación algebraica de variables y sı́mbolos.
X Operaciones con polinomios, fracciones algebraicas y funciones matemáticas elementales.
X Cálculo de lı́mites, derivadas y primitivas.
X Resolución de ecuaciones y sistemas.
X Operaciones con vectores y matrices.
X Capacidades gráficas en 2 y 3 dimensiones.
X Lenguaje de programación de alto nivel.
La historia de la matemática
La historia de la matemática está llena de anécdotas, de problemas interesantes que pueden motivar a los jóvenes a estudiarla y desarrollar actitude positivas hacia ella. El uso de
tópicos de historia de la matemática, de biografı́as de matemáticos, de acertijos y problemas
clásicos permite acercarnos a esta ciencia desde un punto de vista humano. Los estudiantes
comprenden que la matemática es simplemente una actividad creada por seres humanos iguales a ellos, quienes desarrollaron ideas creativas y resolvieron situaciones que en su tiempo
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eran importantes, pero que en otros momentos sufrieron frustración y desengaño, ya sea al no
poder resolver los problemas que se plantearon, porque la sociedad no estaba preparada para
sus ideas renovadoras, o porque sufrieron la marginación de las comunidades cientı́ficas de la
época, como ocurrió en el caso de las mujeres matemáticas.
Es sumamente útil explorar con nuestros alumnos los inicios de un concepto, las dificultades
con las que tuvieron que enfrentarse estos investigadores y las ideas que surgieron al enfrentar
una situación nueva. Todos estos hechos encarnan una verdadera aventura intelectual que
muchas veces se deja de lado en las clases tradicionales donde un tema aparece presentado de
manera acabada e inerte, sin posibilidad de descubrimiento, ni crı́tica.
Índice general
INTRODUCCIÓN
VI
1. NÚMEROS REALES
1
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Ley de composición interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. Axiomas de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4. Ecuaciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.1. Historia de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.4.2. Clasificación de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.4.3. Ecuaciones de primer grado con una variable . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.4.4. Sistema de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.4.5. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.4.6. Ecuación Cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.4.7. Ecuación Cuártica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4.8. Ecuación Bicuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.4.9. Ecuación Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.10. Planteamiento de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.5. Desigualdades e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.5.1. Desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.5.2. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.5.3. Inecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.5.4. Inecuaciones de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.5.5. Inecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5.6. Inecuaciones polinómicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5.7. Inecuaciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5.8. Ecuaciones e inecuaciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.5.9. Inecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1.5.10. Inecuaciones logarı́tmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.5.11. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.6. Valor Absoluto y Máximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6.1. Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.6.2. Máximo entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2. RELACIONES Y FUNCIONES
63
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.2. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.2.1. Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.2.2. Igualdad de pares ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
2.2.3. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.3. Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.3.1. Dominio y Rango de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.3.2. Relación inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.3.3. Composición de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
2.3.4. Tipos de relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.4. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
2.5. Gráficas de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.6. La Lı́nea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.7. Secciones cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.8. La Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.9. La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.10. La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
2.11. La Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3. FUNCIONES
97
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
3.2. Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.2.1. Evolución del concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3. Definición de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4. Dominio Rango y Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5.1. Función Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5.2. Función Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5.3. Función de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5.4. Función Cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.5.5. Función Raiz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.6. Función Polinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.7. Función Seccionada
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.8. Función Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5.9. Función Escalón Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.10. Función Signo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
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3.5.11. Función Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.12. Función Máximo Entero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.6. Tipo de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.1. Función Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.2. Función Sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.6.3. Función Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.7. Caracterı́sticas de algunas funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.8. Función Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.9. Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.10. Función Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4. LIMITES
139
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2. Vecindad de un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3. Punto de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4. Lı́mite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.5. Teoremas de Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.6. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7. Formas de indeterminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.8. Lı́mite de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.9. Lı́mites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.10. Lı́mites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.11. Lı́mites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.12. Ası́ntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.12.1. Ası́ntota Vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.12.2. Ası́ntota Horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.13. Lı́mites trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.14. Lı́mites exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. CONTINUIDAD
187
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2. Continuidad de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.4. Teoremas sobre funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.5. Funciones continuas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6. LA DERIVADA
201
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.2. Derivada de una función en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.3. Interpretación geométrica y fı́sica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.3.1. Interpretación geométrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
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6.3.2. Interpretación fı́sica de la derivada
6.4. Fórmulas de derivación . . . . . . . . . . .
6.5. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . .
6.6. Derivación de funciones elementales . . . .
6.7. Derivadas Laterales . . . . . . . . . . . . .
6.8. Derivación implı́cita . . . . . . . . . . . .
6.9. Derivadas de orden superior . . . . . . . .
6.10. Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. APLICACIONES DE LA DERIVADA
7.1. Problemas geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Valores extremos de una función y puntos crı́ticos . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Punto crı́tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. El teorema de Rolle y el teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Interpretación geométrica del teorema de Rolle . . . . . . . . .
7.3.2. Interpretación geométrica del teorema de Lagrange . . . . . . .
7.3.3. Aplicaciones del teorema del valor medio . . . . . . . . . . . .
7.4. Funciones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Criterios de la derivada para máximos y mı́nimos . . . . . . . . . . . .
7.5.1. Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2. Criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3. Criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Convexidad, concavidad y puntos de inflexión . . . . . . . . . . . . . .
7.7. Ası́ntotas y cómo dibujar la gráfica de una función . . . . . . . . . . .
7.8. Regla de L’Hopital-Bernoulli para el cálculo de lı́mites indeterminados
7.8.1. Primera regla de L’Hopital. Forma 0/0 . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2. Segunda regla de L’Hopital. Forma ∞/∞ . . . . . . . . . . . .
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242
242
243
Bibliografı́a
277
Indice de Materias
279
1
NÚMEROS REALES
Objetivos:
z Fundamentar el conjunto de los números reales y sus propiedades, para que a partir de
este sistema numérico se desarrolle el Algebra como una Aritmética generalizada, operando los procedimientos algebraicos básicos para plantear modelos matemáticos sencillos a problemas dados.
z Aplicar las propiedades de los números reales y sus subconjuntos, para de mostrar algunas proposiciones por medio del método de Inducción Matemática y para resolver
inecuaciones.
1.1.
Introducción
El sistema de los números reales es la estructura algebraica adecuada al propósito del
cálculo diferencial e integral. Son precisamente los atributos y las relaciones expresables en
términos de este tipo de números, los objetos de estudio de esa rama de las matemáticas.
Las propiedades especiales del sistema de los números reales permiten definir los conceptos
fundamentales para la descripción y estudio del cambio y el movimiento.
La presentación que aquı́ se hace del sistema de los números reales, se basa en el concepto
de expansión decimal, utilizado en la vida diaria para representar y operar con números y
magnitudes. Ası́, cada número real se identifica con una sucesión infinita de dı́gitos separados
por un punto decimal y el conjunto de tales objetos resulta ser una extensión del conjunto de
los números racionales, los cuales quedan identificados con las llamadas expansiones periódicas.
Las operaciones de suma y multiplicación, y la relación de orden entre los números racionales se
extienden de manera natural, preservando sus propiedades algebraicas y de orden, al conjunto
de los números reales.
La propiedad que distingue al sistema de los números reales del sistema de los números
1
2
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
racionales es la propiedad de continuidad o completez. Esta propiedad, de carácter geométrico
o topológico, es la que permite dar un sentido preciso a los conceptos fundamentales de lı́mite
y continuidad, sobre los cuales se desarrolla el cálculo diferencial e integral.






Enteros positivos(Z+ )












Enteros(Z)




Enteros negativos(Z− )
Racionales(Q)




Reales(R)





Complejos(C)
Fraccionarios











Irracionales(I)





Imaginarios
Los números reales se definen de manera axiomática como el conjunto de números que se
encuentran en correspondencia biunı́voca con los puntos de una recta infinita (continuum): la
recta numérica. El conjunto de los números reales se le simboliza con la letra R. El nombre
de número real se propuso como antónimo de número imaginario.
El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números
irracionales. Ası́, el conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los
números racionales y el conjunto de los irracionales.
Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales,
y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sugiere
que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números
naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales.
Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero.
Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo
que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un
punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometrı́a
analı́tica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números
reales y viceversa.
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones
importantes:
No existen raı́ces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc) de números negativos
en números reales, razón por la que existe el conjunto de los números complejos donde
estas operaciones sı́ están definidas.
No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie,
es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
3
Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen ası́ntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir,
en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe
gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raı́ces
de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometrı́a analı́tica.
La principal caracterı́stica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir,
la existencia de lı́mite para dada sucesión de Cauchy de números reales.
Un poco de Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a.
C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio
cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados
por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y
no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler
descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo,
en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que
finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener
amplios antecedentes de teorı́a de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción
y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos
utilizando vı́as distintas: la teorı́a de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos,
cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind
(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de
todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos
como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass,
por mencionar sólo a los más sobresalientes.
En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas
teorı́as en relación a la construcción total de los números reales, lo cual no nos impide el
trabajo con ellos.
El filósofo L. Geymonat afirma:
“El desarrollo de la teorı́a de los números reales contribuyó a que el análisis infinitesimal
dejara de ser la técnica imprecisa e intuitiva que habı́an forjado sus descubridores del siglo
17, para erigirse en auténtica ciencia y, lo que es más, en una de la más rigurosas y perfectas
construcciones del espı́ritu cientı́fico modermo”.
Definición 1.1.1. Se llama sistema de números reales a un conjunto R no vacı́o, provisto de:
4
Matemática I
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Dos operaciones, conocidas como “Leyes de composición interna”: adición (+) y
multiplicación (.)
Una relación de orden denotada por “<” y se lee “menor que”.
Un axioma llamado “axioma del supremo”.
1.2.
Ley de composición interna
Definición 1.2.1. Ley de composición interna u operación binaria interna definida en un
conjunto no vacı́o A, es toda aplicación
∗ : A × A −→ A
(a, b)
−→ ∗(a, b) = a ∗ b
es decir, es una aplicación ∗ que hace corresponder a cada par (a, b) ∈ A×A un único elemento
a ∗ b ∈ A.
Son ejemplos de leyes de composición interna:
∩ : P (X) × P (X) −→ P (X)
(A, B)
−→ ∩(A, B) = A ∩ B
∪ : P (X) × P (X) −→ P (X)
(A, B)
−→ ∪(A, B) = A ∪ B
− : P (X) × P (X) −→ P (X)
(A, B)
a
Si
f : T × T −→ T
−→ −(A, B) = A − B
: P (X) × P (X) −→ P (X)
a
a
(A, B)
−→
(A, B) = A B
es una operación, la imagen f (x, y) ∈ T del elemento (x, y) ∈
T × T por la aplicación f recibe el nombre de compuesto de x e y, en este orden. Se denota
escribiendo x e y en un orden determinado separándolos por un signo que caracteriza a la ley.
Los signos empleados son “ + ” y “.”; con estos signos el compuesto de x e y se denotan
por x + y y x.y respectivamente.
Una ley denotada por el signo “ + ” se llama adición, el compuesto x + y recibe el nombre
de suma de x e y.
Una ley denotada por el signo “.” se llama multiplicación y el compuesto x.y = xy recibe
el nombre de producto de x e y.
También se usa otros signos para denotar leyes de composición interna cualesquiera tales
J N L
como ∗, ◦, ⊕, ⊠, ⊛, z, ⋄, ⊞, ⊚, , , , etc.
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Matemática I
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Ejemplo 1.2.1. La adición y multiplicación en N, Z, Q, R y C son leyes de composición
interna, ası́ por ejemplo en R tenemos:
Primera Ley de Composición Interna
+ : R × R −→ R
−→ +(a, b) = a + b
(a, b)
Segunda Ley de Composición Interna
· : R × R −→ R
−→ ·(a, b) = a · b = ab
(a, b)
1.3.
Axiomas de los números reales
1. Axiomas para la Adición
A1 Cerradura:
a+b∈R
A2 Conmutatividad:
A3 Asociatividad:
∀ a, b ∈ R
∀ a, b ∈ R
a+b = b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
∀ a, b, c ∈ R
A4 Existencia del elementro neutro aditivo:
∃! 0 ∈ R / a + 0 = 0 + a = a
∀a ∈ R
A5 Existencia del elementro inverso aditivo:
∃! (−a) ∈ R / a + (−a) = (−a) + a = 0
∀a ∈ R
2. Axiomas para la Multiplicación
M1 Cerradura:
a.b ∈ R
M2 Conmutatividad:
M3 Asociatividad:
∀ a, b ∈ R
a.b = b.a
∀ a, b ∈ R
(ab)c = a(bc)
∀ a, b, c ∈ R
M4 Existencia del elementro neutro multiplicativo:
∃! 1 ∈ R / a,1 = 1.a = a
∀a ∈ R
M5 Existencia
del elementro
inverso
multiplicativo:
1
1
1
∃!
∈ R / a.
=
a = 1 ∀a ∈ R
a
a
a
3. Axiomas para la Distributividad
Para todo a, b, c, ∈ R se tiene:
D1 Distributividad por la izquierda:
D2 Distributividad por la derecha:
a(b + c) = ab + ac
(b + c)a = ba + ca
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4. Axiomas para la Igualdad
Para todo a, b, c, ∈ R se tiene:
o
a 6= b
I1 Dicotomı́a:
a=b
I2 Reflexividad:
a=a
I3 Simetrı́a:
si
a=b
⇒
b=a
I4 Transitividad:
si
a=b
∧
b=c
I5 Unicidad de la adición:
si
a=b
⇒
a+c=b+c
I6 Unicidad de la multiplicación:
si
a=b
⇒
ac = bc
⇒
a=c
5. Axiomas de Orden
O1 Ley de Tricotomı́a
Para dos números a ∈ R y b ∈ R, uno y sólo uno de los siguientes enunciados es verdadero
a<b
“a es menor que b′′
,
a=b
,
“a es igual que b′′
,
a>b
,
“a es mayor que b′′
O2 Ley Transitiva
Si
a<b ∧ b<c → a<c
O3 Leyes de Monotonı́a
a) Si
a<b
→
∀c ∈ R, a + c < b + c
b) Si
a<b
y
c>0
→
ab < bc
c) Si
a<b
y
c<0
→
ab > bc
O4 Existe un conjunto R+ , tal que R+ ⊂ R, llamado conjunto de números reales positivos,
el cual satisface las siguientes propiedades:
a) Si
a ∈ R+ y b ∈ R+ → (a + b) ∈ R+ y a · b ∈ R+
b) Pra cada a 6= 0: a ∈ R+ ó
c) 0 no ∈ R+
− a ∈ R+ ,
pero no ambos
6. Axioma del Supremo
Si S es un conjunto no vacı́o de elementos de R superiormente acotado, entonces S tiene
el supremo en R.
Este último axioma nos garantiza que los números reales R incluyen los números racionales Q y que se puede establecer una correspondencia biunı́voca entre los puntos de
una recta y los números reales.
A continuación, haciendo uso de los axiomas, probaremos algunas de las propiedades del
sistema de los números reales y veremos también sus aplicaciones en el álgebra elemental.
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7
Teoremas sobre el conjunto de los números reales
Teorema 1.3.1. El elemento neutro aditivo es único.
Demostración. Supongamos que existen dos elementos neutros aditivos 0 y 0′ tales que:
a + 0 = 0 + a = a,
∀a ∈ R
a + 0′ = 0′ + a = a,
∀a ∈ R
Probaremos que 0 = 0′ , en efecto:
0′ = 0′ + 0
(Por ser 0 el elemento neutro aditivo)
= 0 + 0′
(Conmutatividad)
= 0
(Por ser 0′ el elemento neutro aditivo)
Por lo tanto 0 = 0′ y el elemento neutro aditivo es único.
Teorema 1.3.2. El elemento inverso aditivo es único.
Demostración. Supongamos que existen dos elementos inversos aditivos (−a) y (−a)′ tales
que:
a + (−a) = (−a) + a = 0,
∀a ∈ R
a + (−a)′ = (−a)′ + a = 0,
∀a ∈ R
Probaremos que (−a) = (−a)′ , en efecto:
(−a)′ = (−a)′ + 0
(Por ser 0 el elemento neutro aditivo)
= (−a)′ + (a + (−a))
(Por ser (−a) elemento inverso aditivo)
= ((−a)′ + a) + (−a)
(Asociatividad)
= 0 + (−a)
(Por ser (−a)′ elemento inverso aditivo)
= (−a)
(Por ser 0 elemento neutro aditivo)
Por lo tanto (−a) = (−a)′ y el elemento inverso aditivo es único.
Teorema 1.3.3. El elemento neutro multiplicativo es único.
Demostración. Supongamos que existen dos elementos neutros multiplicativos 1 y 1′ tales
que:
a · 1 = 1 · a = a,
∀a ∈ R
a · 1′ = 1′ · a = a,
∀a ∈ R
Probaremos que 1 = 1′ , en efecto:
1′ = 1′ · 1
= 1 · 1′
= 1
(Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo)
(Conmutatividad)
(Por ser 1′ el elemento neutro multiplicativo)
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Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Por lo tanto 1 = 1′ y el elemento neutro multiplicativo es único.
Teorema 1.3.4. El elemento inverso multiplicativo es único.
Demostración.
Supongamos que existen dos elementos inversos multiplicativos (a−1 ) y
(a−1 )′ tales que:
a · (a−1 ) = (a−1 ) · a = 1,
∀a ∈ R
a · (a−1 )′ = (a−1 )′ · a = 1,
∀a ∈ R
Probaremos que (a−1 ) = (a−1 )′ , en efecto:
(a−1 )′ = (a−1 )′ · 1
(Por ser 1 el elemento neutro multiplicativo)
= (a−1 )′ · (a · (a−1 ))
(Por ser (a−1 ) elemento inverso multiplicativo)
= ((a−1 )′ · a) · (a−1 )
(Asociatividad)
= (a−1 )
(Por ser 0 elemento neutro multiplicativo)
= 1 · (a−1 )
(Por ser (a−1 )′ elemento inverso multiplicativo)
Por lo tanto (a−1 ) = (a−1 )′ y el elemento inverso multiplicativo es único.
Proposición 1.3.1.
i. a = −(−a), ∀a ∈ R
ii. Si
a 6= 0, a = (a−1 )−1
iii. a · 0 = 0, ∀a ∈ R
iv. − a = (−1)a, ∀a ∈ R
v. a(−b) = (−a)b = −(ab), ∀a, b ∈ R
vi. (−a)(−b) = ab, ∀a, b ∈ R
vii. Si
viii. Si
a+c=b+c → a=b
ac = bc y
ix. ab = 0 ↔
c 6= 0 → a = b
a=0 ∨
b=0
x. a2 = b2 ↔ a = b ∨ a = −b
Definición 1.3.1. Sean dos números reales a ∈ R y b ∈ R. Se define la diferencia de a y b
como la suma de a con el inverso aditivo de b.
a − b = a + (−b), ∀a, b ∈ R
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Matemática I
9
Definición 1.3.2. Dados dos números a, b ∈ R. Se define el cociente de a entre b, como el
producto de a con el inverso multiplicativo de b.
a
= a · b−1 , ∀a, b ∈ R
b
Proposición 1.3.2.
i. a − b = −(b − a)
ii. a − b = c ↔
iii. c =
a=b+c
a
↔ bc = a, b 6= 0
b
iv. a(b − c) = ab − ac
v.
a c
ad + bc
+ =
b d
bd
vi.
ad − bc
a c
− =
b d
bd
vii. Si
a 6= 0 y ax + b = c → x =
c−b
a
Proposición 1.3.3.
i. a2 ≥ 0, ∀a ∈ R
ii. Si
(a2 > 0, si a 6= 0)
a<b ∧ b<c →
a<c
iii. Si
a < b → a + c < b + c, ∀c ∈ R
iv. Si
a<b ∧ c<d →
a+c<b+d
v. Si
a<b ∧ c>0 →
ac < bc
vi. Si
a<b ∧ c<0 →
ac > bc
vii. Si
a<b →
−a > −b
viii. Si
a>0 →
a−1 > 0
ix. Si
0<a<b →
x. ab > 0 ↔
(si a < 0 → a−1 < 0)
a−1 > b−1 > 0
(si a < b < 0 → 0 > a−1 > b−1 )
ab ≥ 0 ↔
(a > 0 ∧ b > 0) ∨
(a ≥ 0 ∧ b ≥ 0) ∨
(a < 0 ∧ b < 0)
xi. ab < 0 ↔
(a > 0 ∧ b < 0) ∨
(a < 0 ∧ b > 0)
ab ≤ 0 ↔
xii. Si
(a ≥ 0 ∧ b ≤ 0) ∨
a≥0 ∧
b≥0 ,
a<b ↔
(a ≤ 0 ∧ b ≤ 0)
(a ≤ 0 ∧ b ≥ 0)
a2 < b2
(a ≤ b ↔
a2 ≤ b2 )
10
Matemática I
xiii. a2 + b2 = 0 ↔
a=0 ∧
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b=0
Definición 1.3.3. Si n ∈ Z+ y b ∈ R, entonces bn , llamada n - ésima potencia de b, representa
el producto de n factores iguales a b, esto es:
bn = b · b · b · b · ... · b
en donde, el exponente n indica las veces que se debe repetir la base b como factor.
Proposición 1.3.4.
a, b ∈ R
Si
y
m, n ∈ Z+ , entonces:
i. am · an = am+n
ii. (am )n = am·n
iii. (a · b)n = an · bn
am
= am−n
an
a n an
v.
= n
b
b
iv.
Definición 1.3.4. Si a, r ∈ R , n ∈ Z+ , entonces r, se llama raı́z n - ésima principal de r,se
√
denota por r = n a, si y solo si r n = a, bajo la condición de que si n es par, entonces r ≥ 0 y
a ≥ 0.
Formalmente:
r=
1.4.
1.4.1.
√
n
a ↔ r n = c , n par → r ≥ 0 ∧ a ≥ 0.
Ecuaciones
Historia de las ecuaciones
Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado
Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra (del árabe algabru walmuqabalah, reducción y cotejo). La cosa era la incógnita. La primera traducción fué hecha al latı́n en España,
y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval (que a veces ha
dado J y otra X porque su sonido era intermedio, como en Mexico/Méjico, Ximénez/Jiménez),
los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y ası́ sigue.
Para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, el hombre no encontró gran dificultad,
la situación fue completamente diferente para ecuaciones de grado mayor de 2. En efecto, la
ecuación general de tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d = 0 requirió consideraciones bastante
profundas y resistió todos los esfuerzos de los matemáticos de la antigüedad. Sólo se pudieron
resolver a principios del siglo XVI, en la Era del Renacimiento en Italia. Aquı́ se presentará el
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
11
ambiente en que aconteció el descubrimiento de la solución de las ecuaciones de tercer grado o
cúbicas. Los hombres que perfeccionaron las cúbicas, italianos todos, constituyeron un grupo
de matemáticos tan pintoresco como nunca se ha dados en la historia. La mayorı́a de ellos eran
autodidactas, trabajaban en contabilidad, en problemas de interés compuesto y de seguros.
Habiéndose elevado por encima del simple cálculo práctico, los grandes algebristas italianos
constituı́an en su mayor parte un grupo sagaz y oportunista que se encontraba en su elemento
tanto entre tramposos y jugadores de cartas, espadachines que frecuentaban las Callejas del
Renacimiento, como en las cátedras de Universidad, a las que aspiraban y algunas veces ocupaban. Para dar publicidad a sus pruebas de agilidad mental sostuvieron entre sı́ competencias
para la solución de problemas. (Algo muy similar a lo que hacı́an los hindúes siglos antes).
Para hacer doblemente difı́cil su deporte, algunas veces hacı́an apuestas que depositaban en
manos de un tercero. El ganador se lo llevaba todo. En esta atmósfera combativa estalló la
guerra en torno a la ecuación cúbica. La chispa pudo haber sido encendida, sin querer, por un
padre Franciscano, Luca Pacioli, quien en 1492 publicó un compendio de álgebra, la “Suma
Aritmética”. Con ella transmitió el álgebra inventada hasta la fecha y terminó con la irritante observación de que los matemáticos no podrı́an todavı́a solucionar ecuaciones cúbicas por
métodos algebraicos.
El primer hombre en recoger el desafı́o de Pacioli en torno a las cúbicas fue, como ya dijimos
Scipio del Ferro, el hijo de un fabricante de papel, que llegó a ser catedrático de matemáticas en
la Universidad de Bolonia. Habiendo encontrado la solución general para todas las ecuaciones
cúbicas de la forma simplificada x3 + nx = h.
Del Ferro mantuvo en secreto su descubrimiento, probablemente para confundir a los adversarios durante las competencias. Pero en sus últimos dı́as confı́o su solución a un estudiante,
Antonio Fior, quien la utilizó en una disputa de álgebra con un rival, Nı́colo Fontana, llamado
Tartaglia o tartamudo a causa de que padecı́a este defecto.
En la época de la contienda con Fior, Tartaglia habı́a pasado a ser uno de los más sagaces
solucionadores de ecuaciones de Italia, y habı́a ideado un arma secreta propia: Una solución
general para las cúbicas del tipo x3 + mx2 = h. Como resultado, cuando Fior le dio un
grupo de ejemplos especı́ficos del tipo x3 + px + q = 0, le respondió con ejemplos del tipo
x3 + mx2 = n. Durante el intervalo concedido para obtener las respuestas, tanto Tartaglia
como Fior trabajaron ardorosamente, ocho dı́as antes de finalizar el plazo, Tartaglia habı́a
encontrado una solución general para las ecuaciones del tipo x3 + px = q y en dos horas
resolvió todas las ecuaciones de Fior; de esta suerte, cuando se acabó el tiempo y llego el
dı́a de hacer el cómputo, Tartaglia habı́a solucionado los problemas de Fior y éste no habı́a
solucionado los de Tartaglia. Como nuevo e insigne calculador de Italia, Tartaglia pronto se
encontró con un rival más fuerte: Gerolamo Cardano, hijo ilegı́timo de un abogado y a su
vez padre de un asesino. Cardano era un astrólogo que hacia horóscopos para los reyes, un
12
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
médico que visitaba a sus enfermos y un escritor cientı́fico de cuya pluma emanaron montañas
de libros. Fue también un jugador inveterano, siempre balanceándose al borde de la prisión.
Pero Cardano siempre salı́a bien parado. El Santo Padre lo pensionó solucionándole ası́ sus
problemas económicos y Cardano, a base de adulaciones, obtuvo de Tartaglia la solución de
la ecuación cúbica.
Aunque Cardano juró mantener secreta la solución de Tartaglia, la publicó unos cuantos
años después, en 1545, en un tratado monumental sobre ecuaciones llamado “Ars Magna”
(Gran Arte). Tartaglia, que habı́a estado a punto de escribir su propio libro, pasó el resto de
su vida maldiciendo a Cardano por su estafa. No obstante, el libro de Cardano reconocı́a el
descubrimiento de Tartaglia. También en el mismo libro, Cardano hizo pasar a la historia a
otro matemático: el alborotador y blasfemo Lodovico Ferran que murió a la edad de 43 años,
envenenado por su propia hermana. Ası́ como Tartaglia habı́a solucionado la cúbica, de la
misma forma Ferran, cuando todavı́a estudiaba con Cardano, solución de las de cuarto grado
o cuárticas (con fórmulas mas complicadas que las de tercer grado). Al descubrir la obra de
ambos hombres, Cardano en su “Ars Magna” pudo dar al mundo las soluciones generales de
las cúbicas y las cuárticas, divulgando los dos avances del álgebra más trascendentales desde
la muerte de Diofanto, 1300 años antes.
En el Ars Magna, Cardano aceptó formalmente el concepto de los números negativos y
enunció las leyes que los rigen. También anticipó otro tipo nuevo de número que denominó ficticio o sofisticado. Tal fue la raı́z cuadrada de un número negativo, que es incluso más difı́cil de
comprender que un número negativo propiamente, ya que ningún número real multiplicado por
sı́ mismo da un número negativo. En la actualidad los matemáticos llaman a la raı́z cuadrada
de un número negativo número imaginario; cuando dicha cantidad se combina con un número
real, el resultado se llama número complejo. Los matemáticos posteriores han mostrado que
los números complejos pueden tener toda clase de aplicaciones.
En gran parte debido a Cardano, las Matemáticas salieron de su paso por las pugnas del
Renacimiento enormemente enriquecidas. El éxito de los matemáticos italianos produjo un
gran efecto. Era la primera vez en que la ciencia moderna habı́a sobrepasado las conquistas
de los antiguos.
Hasta entonces, en todo el curso de la Edad Media, la aportación habı́a consistido solamente en entender el trabajo de los antiguos, y ahora finalmente, ciertas cuestiones que los
antiguos no habı́an tenido éxito en conquistar, fueron resueltas. Y esto sucedió en el siglo
XVI, un siglo antes de la invención de nuevas ramas de las matemáticas: Geometrı́a analı́tica
y Cálculo diferencial e Integral que finalmente afirmaron la superioridad de la nueva ciencia
sobre la antigua. Después de esto, no hubo matemático importante que no intentara extender las conquistas de los italianos resolviendo ecuaciones de quinto, sexto y más alto grado
en forma análoga a los italianos, es decir, encontrando una fórmula general o como se dice
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
13
actualmente, resolverlas por radicales. El prominente algebrista del siglo XVII, Tschimhausen
(1651–1708) creyó haber encontrado un método general de solución. Su método estaba basado
en la transformación de una ecuación a otra más simple; pero esta sola transformación requerı́a
de algunas ecuaciones auxiliares.
Más tarde, con un análisis más profundo se demostró que el método de transformación
de Tschimhausen, en efecto, da la solución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado,
pero para una ecuación de quinto grado se necesita resolver primero una ecuación auxiliar de
sexto grado, cuya solución no era conocida.
El famoso matemático francés Lagrange en su gran trabajo “Reflexiones sobre la solución
de ecuaciones algebraicas” publicado en 1770–1771, ( con más de 200 páginas) crı́ticamente
examina todas las soluciones de las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado conocidas
hasta su época y demostró que su éxito siempre se basa en propiedades que no cumplen
ecuaciones de quinto grado y superiores. Desde el tiempo de Del Ferro hasta este trabajo
de Lagrange, más de dos siglos y medio habı́an pasado y nadie durante este gran intervalo
habı́a dudado de la posibilidad de resolver ecuaciones de quinto grado y mayores por radicales,
esto es, de encontrar fórmulas que envuelven sólo operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, exponenciación y raı́ces con exponentes enteros positivos, que pueden expresar la
solución de una ecuación en términos de los coeficientes, esto es, fórmulas similares a aquélla
por la que se habı́a resuelto la ecuación de segundo grado en la antigüedad y a aquéllas
encontradas por los italianos para las ecuaciones de tercero y cuarto grados. Los matemáticos
pensaron que sus fracasos se debı́an principalmente a su propia incapacidad para encontrar
una solución. Lagrange dice en sus memorias:
“El problema de resolver (por radicales) ecuaciones cuyo grado es más alto que el cuarto
es uno de esos problemas que no han sido resueltos aunque nada prueba la imposibilidad de
resolverlos”. Lagrange avanzó bastante en la teorı́a de las ecuaciones algebraicas formalizando
el trabajo anterior a su época y descubriendo nuevas relaciones entre esta teorı́a y otras como
la teorı́a de las permutaciones. Sin embargo, a pesar de sus persistentes esfuerzos, el problema
permaneció sin solución y constituı́a, en palabras del mismo Lagrange, “Un reto para la mente
humana”.
Consecuentemente fue una sorpresa enorme para todos los matemáticos cuando en 1824
vino a la luz el trabajo de un joven genio noruego llamado Niels Henrik Abel (1802 – 1829),
en el cual se daba una prueba de que si los coeficientes de una ecuación se tomaban simplemente como letras, entonces no existe ninguna expresión algebraica con dichos coeficientes
que fuera solución de la ecuación correspondiente. Entonces, por tres siglos los esfuerzos de
los más grandes matemáticos de todos los paı́ses para resolver ecuaciones de grado mayor que
cuatro por radicales no fue coronado por el éxito por la sencilla razón de que éste problema
simplemente no tiene solución.
14
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Esas fórmulas son conocidas para ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado, pero para
ecuaciones de grado mayor no existen tales fórmulas Pero eso no es todo aún. Un resultado
extremadamente importante en la teorı́a de las ecuaciones algebraicas esperaba todavı́a ser
descubierto. El hecho es que hay muchas formas especiales de ecuaciones de cualquier grado que
sı́ se pueden resolver por radicales, y muchas de ellas son exactamente las que son importantes
para resolver problemas concretos de la realidad.
Resumiendo, después del descubrimiento de Abel la situación era la siguiente: Aunque la
ecuación general de grado mayor que 4 no se podı́a resolver por radicales, hay un número
ilimitado de ecuaciones de grado mayor a cuatro que sı́ se pueden resolver por radicales.
La pregunta era ¿cuáles ecuaciones sı́ se pueden resolver por radicales y cuáles no? o en
otras palabras: ¿qué condiciones debe cumplir una ecuación para que pueda ser resuelta por
radicales? La respuesta a este problema que daba fin a todo éste asunto de las ecuaciones la
dio el brillante matemático francés Evariste Galois. (1811–1832).
A pesar de lo corto de su vida, Galois hizo descubrimientos muy avanzados para su tiempo
en muchas ramas de las matemáticas y en particular dio la solución al problema que quedaba pendiente en la teorı́a de las ecuaciones algebraicas en un pequeño manuscrito titulado
“Memoria sobre las condiciones para resolver las ecuaciones por radicales”, que fue escrito en
treinta y un páginas casi ininteligibles escritas de prisa la noche antes del duelo en que fue
muerto a la edad mencionada de 20 años.
Como se puede observar, la fórmula de Tartaglia da la solución de la ecuación de tercer
grado a partir de los coeficientes y utilizando sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y
raı́ces. Este tipo de expresiones se denominan radicales. Desde la aparición de la fórmula los
matemáticos intentaron buscar qué ecuaciones podı́an resolverse por radicales. Muchos grandes
matemáticos atacaron el problema, pero fallaron en resolverlo: Euler, Lagrange (alrededor de
1770), Leibiniz, etc.
En 1813, Ruffini intentó demostrar que las ecuaciones de quinto grado no se pueden resolver por radicales, pero tampoco lo consiguió. Finalmente, Abel demostró en 1824 que,
efectivamente, no existe una fórmula que permita resolver las ecuaciones de quinto grado.
El problema más general fue resuelto por Évariste Galois en 1832 que aporto un método,
conocido como la Teorı́a de Galois, que permite decidir cuándo una determinada ecuación se
puede resolver por radicales.
CONCLUSIÓN: Existen fórmulas que permiten resolver las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no existe una fórmula que permita resolver todas las ecuaciones de quinto grado.
En todo lo anterior hablamos de los intentos durante tres siglos, para resolver por radicales
cualquier ecuación de cualquier grado. El problema resultó ser más difı́cil y más profundo de
lo que se pensaba en un principio y dio origen a la creación de nuevos conceptos, importantes
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Matemática I
15
no sólo para el álgebra sino también para las matemáticas en general. Para la solución práctica
de las ecuaciones el resultado de todo este trabajo fue el siguiente:
Quedó claro que una fórmula general para las ecuaciones está muy lejos de existir y aun en
los casos particulares en que existe, era de poca utilidad práctica a causa de las operaciones
sumamente complicados que se tenı́an que hacer. (Actualmente las computadoras facilitan
todo ese trabajo).
En vista de lo anterior, los matemáticos desde hace mucho empezaron a trabajar en tres
direcciones completamente diferentes, que son:
1. En el problema de la existencia de raı́ces (soluciones).
2. En el problema de saber algo acerca de las soluciones, sólo trabajando con sus coeficientes.
3. En el cálculo aproximado de las raı́ces o soluciones de una ecuación.
Definición 1.4.1.
Un enunciado es una proposición que puede ser calificada como verdadera o falsa.
Una proposición es toda una code enunciados conectados con ciertos sı́mbolos matemáticos.
Los enunciados abiertos son aquellos que están formados por variables constantes y que
pueden ser verdaderos o falsos, según la asignación de valores a las variables.
Definición 1.4.2. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas o trascendentales, donde existe por lo menos una variable, cada una de las expresiones comparadas por
la igualdad se denominan miembros de la ecuación.
Definición 1.4.3. La solución de una ecuación es aquel valor que toma la incógnita y convierte
la ecuación en una identidad, es decir, hace verificar la igualdad.
Ejemplo 1.4.1.
3x + 5 = 17; es una ecuación que se verifica para x = 4.
x2 + x − 6 = 0; es una ecuación que se verifica para x = −3 y x = 2.
1.4.2.
Clasificación de las ecuaciones
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo a sus caracterı́sticas, siendo las principales:
1. Según el Grado: Pueden ser de primer grado, segundo grado, tercer grado, etc.
En general, una ecuación de grado n posee n raı́ces o soluciones.
16
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Ejemplo 1.4.2.
2x + 5 = 3; es una ecuación de primer.
x2 − 6x + 5 = 0; es una ecuación de segundo grado.
2. Según sus Coeficientes: Pueden ser numéricas o literales.
Ejemplo 1.4.3.
7x − 3 = 5x + 9; es una ecuación numérica.
ax2 + bx + c = 0; es una ecuación literal, con coeficientes a, b, c.
3. Según las Incógnitas: Pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.
Ejemplo 1.4.4.
3x − 1 = x + 3; es una ecuación con una incógnita: x.
2x − 3y = 5; es una ecuación con dos incógnitas: x, y.
x − 3y + 2z = 7 es una ecuación con tres incógnitas: x, y, z.
4. Según la naturaleza de las expresiones: Pueden ser:
a. Ecuación algebraica: Que a su vez puede ser:
a.1. Ecuación algebraica racional:
a.1.1. Ecuación algebraica racional entera: 3x − 2 = x2 − 6
3
x
a.2. Ecuación algebraica irracional: La incógnita se encuentra afectada del radi√
cal. 2x + 1 = 3 2x + 3 − x2
a.1.2. Ecuación algebraica racional fraccionaria: x + 2 = 4 +
b. Ecuación no algebraica o trascendente: Cuando al menos un témino de la expresión es no algebraico o trascendente. Puede ser:
Exponencial: 3x−1 = 3x + 2
Trigonométrica: 5 sen(3x + 5π) = cos x
√
Logaritmica: 7x log2 (10x − 3) = 5
"
#" # " #
3 5
x
14
Matriciales:
=
2 −1 y
5
5. Según sus Soluciones: Pueden ser compatibles o incompatibles.
a. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que tienen por lo menos una solución. A
su vez éstas ecuaciones se dividen en:
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17
a.1. Ecuaciones Compatibles Determinadas: (ECD) Si tienen un número finito
o limitado de soluciones.
Ejemplo 1.4.5.
◦ 3x − 1 = x + 3 tiene una solución.
◦ x2 − 4 = 5 tiene dos soluciones.
a.2. Ecuaciones Compatibles Indeterminadas: (ECI) Si tienen un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo 1.4.6.
◦ 2x + 3 = 1 + 2x + 2.
◦ (x + 1)2 − (x − 1)2 = 4x.
Nota 1.4.1. Todas las identidades o productos notables son ecuaciones compatibles indeterminadas.
b. Ecuaciones Incompatibles: (EI) Llamadas también absurdas, son aquellas que
no tienen o carecen de solución.
Ejemplo 1.4.7.
x x
7x
•
+ =
+ 3.
5
2
10


Determinada (ECD) número finito de soluciones



Compatible
Indeterminada (ECI) infinitas soluciones
Ecuación




Incompatible (EI) inconsistente o absurdo. No existe solución
Definición 1.4.4. Dos o más ecuaciones se dicen que son Equivalentes si tienen las mismas
soluciones.
Ejemplo 1.4.8. Las ecuaciones

3x + 3 = 8x − 2
 7x + 2 = x + 26
2
15
3
son equivalentes
Teorema 1.4.1. Teorema Fundamental del Algebra
Todo polinomio de grado n tiene al menos una raı́z, que generalmente es compleja.
Corolario 1.4.1. Todo polinomio de coeficientes numéricos y grado n tiene exactamente n
raı́ces que pueden ser reales diferentes, iguales o complejas conjugadas.
Criterios de Solución
Si la ecuación presenta a la incógnita en el denominador. Se deberá cuidar que su solución
x+1 x+5
2x2 − x − 11
no anule el denominador. Por ejemplo, antes de resolver:
+
= 2
,
x−3 x−2
x − 5x + 6
Se deberá tener en cuenta que: x 6= 3 ∧ x 6= 2
18
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Si la ecuación presenta a la incógnita afectada de algún signo radical de ı́ndice par. Se
debe proceder de la siguiente manera:
p
Si 2n F (x) = G(x), con n ∈ N, debe cumplirse que F (x) ≥ 0 ∧ G(x) ≥ 0.
Principios Fundamentales
Si a los dos miembros de una ecuación se le suma o se le resta una misma cantidad M ,
la igualdad no altera (se obtiene otra ecuación equivalente).
A=B ⇒ A±M =B±M
Si se multiplica a los dos miembros de una ecuación por una misma cantidad M , se
obtiene otra ecuación equivalente. Si M contiene a la incógnita, entonces se infiltran
soluciones extrañas.
Si ambos miembros de una ecuación se dividen por una misma cantidad M 6= 0, la
igualdad no altera (se obtiene otra ecuación equivalente). Si M contiene a la incógnita,
entonces se pierden soluciones.
Si a los dos miembros de una ecuación se les eleva a la n–ésima potencia, entonces la
igualdad no altera, pero se infiltran soluciones extrañas.
Si a los dos miembros de una ecuación se les extrae la raı́z enésima, entonces la igualdad
no altera, se dice que se han perdido soluciones.
1.4.3.
Ecuaciones de primer grado con una variable
Definición 1.4.5. Las ecuaciones de primer grado con una variable son de la forma:
ax + b = 0
(1.1)
donde a y b son co, con a 6= 0, y siendo x la incógnita, por lo cual son tambén llamadas
“Ecuaciones lineales con una incógnita” y que debido a las propiedades de los números reales
se resuelve de la siguiente manera:
ax + b = 0
⇐⇒
x=−
b
a
Las ecuaciones lineales en el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de
ecuaciones lineales es y = mx + c, donde m representa la pendiente y el valor de c determina
la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y ).
Ejemplo 1.4.9. Resolver 6x − 5 = 2x + 7.
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19
Solución
6x − 5 = 2x + 7
4x − 5 = 7
4x = 12
x = 3
Discusión de sus raı́ces
Si a 6= 0 entonces la solución es única (ECD).
Si a = 0 y b = 0 entonces la ecuación posee infinitas soluciones (ECI).
Si a = 0 y b 6= 0 entonces la solución no existe (EI ó absurda).
1.4.4.
Sistema de ecuaciones lineales
Definición 1.4.6. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales sobre
el cuerpo de los números reales R.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser escrito en
forma ordinaria como:
a11 x1
+
a12 x2
+ ... +
a1n xn
=
b1
a21 x1
..
.
+
..
.
a22 x2
..
.
+ ... +
..
..
..
.
.
.
a2n xn
..
.
=
..
.
b2
..
.
(1.2)
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm
Donde x1 , . . . , xn son las incógnitas y los números aij ∈ K son los coeficientes del sistema
sobre el cuerpo K = R o C. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con
notación matricial:

a11
a12
···
a1n

x1


b1


   
 a21 a22 · · · a2n   x2   b2 

   
 .
 = 
..
.. 
..
 ..
  ...   ... 
.
.
.

   
am1 am2 · · · amn
xn
bm
(1.3)
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector
columna de longitud m.
20
Matemática I
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El problema de los sistemas de ecuaciones lineales es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal ası́ como en la aproximación
de problemas no lineales de análisis numérico.
Clasificación:
De acuerdo a la solución los sistemas se clasifican en:
a. Sistema Compatible: Es aquel sistema que tienen por lo menos una solución. A su
vez éstos sistemas se dividen en:
a.1. Sistema Compatible determinado: (SCD) Si tienen un número finito o limitado
de soluciones.
Ejemplo 1.4.10.

3x − y = 20
◦
x + 5y = 12
, cuya solución es: CS = {(7, 1)}.
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas que se interceptan
en el punto (7, 1).

x2 + y 2 = 17
◦ √
, cuya solución es: CS = {(4, 1), (1, 4), (−4, −1), (−1, −4)}.
 xy + xy = 6
a.2. Indeterminadas: (SCI) Si tienen un número ilimitado de soluciones.
Ejemplo 1.4.11.

3x + y = 4
◦ 3x y

+ =2
2
2
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas paralelas coincidentes que se interceptan en infinitos puntos.

x + y + z = 3
◦
x − y = 1
b. Incompatibles: (EI) Llamadas también absurdas, son aquellas que no tienen o carecen
de solución.
Ejemplo 1.4.12.

4x + 2y = 5
•
8x + 4y = 3
Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
21
pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún
valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones. Matemáticamente un sistema de
estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango
de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el
•
determinante de la matriz del sistema sea cero.

 x2 + y 2 = 2
x + y = 4


Determinada (SCD) número finito de soluciones



Sistema de Compatible 
Indeterminada (SCI) infinitas soluciones
ecuaciones 



Incompatible (SI) inconsistente o absurdo. No existe solución
Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas
que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un
conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles
indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o
más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico
los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es
diferente de cero:
Sistema compatible determinado ⇐⇒ det(A) 6= 0
Métodos para resolver un sistema lineal
Los sistemas lineales han sido resueltos por diferentes métodos, siendo los más importantes:
1. Método de Carl Gauss:1 Este método consiste en ir disminuyendo ecuaciones e incognitas hasta llegar a una sola ecuación con la menor cantidad posible de incógnitas.

3x + 5y = 14
Ejemplo 1.4.13. Resolver:
2x − y = 5
Solución:
Como 2x − y = 5, entonces despejamos y
1
Johann Carl Friedrich Gauss nació en Brunswick, Alemania el 30 de abril de 1777 y murió el 23 de febrero
de 1855, fue un matemático, astrónomo y fı́sico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos,
incluida la teorı́a de números, el análisis matemático, la geometrı́a diferencial, la geodesia, el magnetismo y
la óptica. Considerado “el prı́ncipe de las matemáticas” y “el matemático más grande desde la antigüedad”,
Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado
uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto
de divisibilidad a otros conjuntos.
22
Matemática I
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luego y = 2x − 5 y reemplazando en la primera ecuación se tiene:
3x + 5(2x − 5) = 14, de donde x = 3, y ası́ obtenemos y = 1
∴ CS = {3; 1}
2. Método de Arthur Cayley:2 Este método consiste en el uso de las matrices (matriz
inversa) en la resolución de los sistemas lineales determinados.
Para resolver el sistema
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
= b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
= b2
..
..
.
.
(1.4)
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
se lleva a la forma matricial
   

x1
b1
a11 a12 · · · a1n
   

 a21 a22 · · · a2n   x2   b2 
   

 . =.
 .
..
.. 
..
 ..
 .  .
.
.
. 
 .   . 

an1 an2 · · · ann
xn
bn
(1.5)
y si la matriz de coeficientes es no singular, existirá la inversa y será aplicable ste método
y la solución se obtiene con:

x1


a11
−1  
b1
  


· · · a2n   b2 

.
.. 
..
.


.
.  .

bn
· · · ann
· · · a1n
a12
  
 x2   a21 a22
  
 . = .
..
 ..   ..
.
  
xn
an1 an2
luego por igualdad de matrices se obtiene la solución del sistema.

3x + 5y = 14
Ejemplo 1.4.14. Resolver:
2x − y = 5
Solución:
LLevando a una ecuación matricial se tiene:
"
#" #
3 5
x
2 −1
2
y
=
" #
14
5
Arthur Cayley (Richmond, Reino Unido, 16 de agosto de 1821 – Cambridge, 26 de enero de 1895) fue
un matemático británico. Es uno de los fundadores de la escuela británica moderna de matemáticas puras.
Recibió la Royal Medal en 1859 y la Medalla Copley en 1882.
Walter Arriaga Delgado
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23
#−1 " #
" # " #
14
x
3
de donde
=
, luego
=
y
2 −1
5
y
1
entonces x = 3 y y = 1.
" #
x
"
3
5
∴ CS = {3; 1}
3. Método de Gabriel Cramer:3 Éste método utiliza los determinantes para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Para ello el sistema (1.4) debe cumplir que el
determinante de la matriz de coeficientes de las incognitas debe ser distinto de cero.
Sea A la matriz del sistema, es decir:


a11 a12 · · · a1n


 a21 a22 · · · a2n 


A= .
..
.. 
..
 ..
.
.
. 


an1 an2 · · · ann
entonces la solución viene dada por:
xi =
|Ai |
,
|A|
i = 1, 2, 3, . . . , n
con |A| =
6 0, y Ai es la matriz que se obtiene a partir de la matriz A, cambiando los
elementos de la columna i por los elementos independientes.
Denotemos por ∆S = |A| y ∆xi = |Ai |, entonces
xi =
∆xi
∆S

3x + 5y = 14
Ejemplo 1.4.15. Resolver:
2x − y = 5
Solución:
∆S =
∆x =
∆y =
3
5
= −13
2 −1
14
5
5
−1
3 14
2
5
= −39
= −13
luego
x=
3
∆x
=3
∆S
Gabriel Cramer (31 de julio de 1704 – 4 de enero de 1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra.
24
Matemática I
y=
Walter Arriaga Delgado
∆y
=1
∆S
∴ CS = {3; 1}
4. Método de Gauss por matriz aumentada: Dado el sistema lineal:
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn
= b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
= b2
..
..
.
.
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Llamaremos matriz aumentada a la

a11

 a21

 .
 ..

an1
matriz
a12 · · · a1n
b1


b2 

.. 
.

bn
a22 · · · a2n
..
..
..
.
.
.
an2 · · · ann
luego mediante operaciones elementales por filas puede transformarse en una matriz
escalonada, la cual facilitará la solución del sistema.

3x + 5y = 14
Ejemplo 1.4.16. Resolver:
2x − y = 5
Solución:
"
#
3 5 14
F1 −F2
6
#
9
F2 −2F1
"
1
6
9
#
−−−−−−−−→
2 −1 5
0 −13 −13

x + 6y = 9
luego el nuevo sistema será
, de donde y = 1 y x = 3
0x − 13y = −13
2 −1
5
−−−−−−−−→
"
1
∴ CS = {3; 1}
Teorema 1.4.2. Dado el sistema lineal (1.4), entonces se cumple lo siguiente:
Si ∆S 6= 0 entonces el sistema tiene solución única.
Si ∆S = 0 ∧ ∆xi = 0, para cada i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema tiene infinitas
soluciones.
Si ∆S = 0 ∧ ∆xi 6= 0, para algún i, con i = 1, 2, . . . , n entonces el sistema no tiene
solución.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
25
Representación gráfica
Un sistema con n, incógnitas se puede representar en el n−espacio correspondiente.
En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será el plano bidimensional,
mientras que cada una de las ecuaciones será representada por una recta, si es lineal, o por
una curva, si no lo es. La solución será el punto (o lı́nea) donde intersecten todas las rectas
y curvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto en el que intersecten
al mismo tiempo todas las lı́neas, el sistema es incompatible, o lo que es lo mismo, no tiene
solución.
En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espacio tridimensional, siendo
cada ecuación un plano dentro del mismo. Si todos los planos intersectan en un único punto,
las coordenadas de éste serán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección de
todos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitas soluciones, que serán
las coordenadas de los puntos que forman dicha lı́nea o superficie.
Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no es intuitiva para el ser
humano, por lo que dichos problemas no suelen enfocarse desde esta óptica.
1.4.5.
Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde
el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo
aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
ax2 + bx + c = 0
(1.6)
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente
lineal o de primer grado y c es el término independiente.
La ecuación cuadrática es de vital importancia en matemáticas aplicadas, fı́sica e ingenierı́a,
puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y cotidianos.
La ecuación de segundo grado y su solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos
para resolverla en Babilonia y Egipto.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandrı́a.4
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeo español Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
Los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas son tres:
a. Método de factorización.
4
Diofanto de Alejandrı́a (Diophanti Alexandrini) (nacido alrededor del 200/214 - fallecido alrededor de
284/298) fue un antiguo matemático griego. Se considera a Diofanto el padre del álgebra.
26
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
b. Método de completar cuadrados.
c. Por fórmula cuadrática.
Ejemplo 1.4.17. Resolver la ecuación:
x2 − x − 6 = 0
Solución
Método de factorización.
x2 − x − 6 =
↓
↓
x ❳❳❳
−3
✘
✘
❳✘✘
✘✘✘❳❳❳
❳ 2
✘
x
0
Luego (x − 3)(x + 2) = 0, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3
Método de completar cuadrados.
x2 − x − 6 = 0
x2 − x +
1
x−
2
1 5
x− +
2 2
1 1
− −6=0
4 4
2
−
25
=0
4
1 5
x− −
2 2
=0
(x − 3)(x + 2) = 0
de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3
Por fórmula cuadrática.
x2 − x − 6 = 0
con a = 1, b = −1 y c = −6, entonces usamos la fórmula cuadrática (1.7)
x=
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
donde ∆ = b2p
− 4ac es conocido con
√ el nombre de discriminante,
1 ± 1 − 4(1)(−6)
1 ± 25
luego x =
=
, de donde x1 = −2 ∨ x2 = 3
2
2
(1.7)
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
27
Propiedades de las raı́ces
Dada la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0, con a 6= 0, y con raı́ces x1 y x2 , entonces
se cumple que:
z Suma de raı́ces:
x1 + x2 = −
b
a
z Producto de raı́ces:
x1 .x2 =
z Diferencia de raı́ces:
c
a
√
√
∆
b2 − 4ac
=
D = |x1 − x2 | =
a
a
z Cociente de raı́ces:
√
x1
b+ ∆
√
C=
=
x2
b− ∆
z Suma de inversas de raı́ces:
1
1
b
+
=−
x1 x2
c
z Suma de cuadrados:
x21 + x22 =
z Suma de cubos:
x31 + x32 =
b2 − 2ac
a2
b(3ac − b2 )
a3
z Identidad de Legendre:
(x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 = −
4c
a
z Raı́ces simétricas: x1 + x2 = 0, es decir b = 0
z Raı́ces recı́procas: x1 .x2 = 1, es decir a = c
z Raı́ces iguales: x1 − x2 = 0, es decir ∆ = 0

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
z Si las ecuaciones:
mx2 + nx + p, m 6= 0
cumple:
a
b
c
= =
m
n
p
tienen las mismas raı́ces, entonces se
28
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Naturaleza de las raı́ces
En la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a 6= 0. Se llama discriminante a la
expresión ∆ = b2 − 4ac.
Si ∆ > 0 entonces las raı́ces x1 y x2 son reales y diferentes.
Si ∆ = 0 entonces las raı́ces x1 y x2 son reales e iguales.
Si ∆ < 0 entonces las raı́ces x1 y x2 son complejas y conjugadas.
Formación de una ecuación de segundo grado
Si x1 y x2 son las raı́ces de una ecuación de segundo grado, entonces: S = x1 + x2 ;
P = x1 .x2 , luego formamos la ecuación de segundo grado como:
x2 − Sx + P = 0
1.4.6.
Ecuación Cúbica
Llamada también ecuación polinomial de grado 3 cuya forma general es:
ax3 + b2 + cx + d = 0
con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del álgebra, la ecuación tiene 3 raı́ces denotadas
por x1 , x2 y x3 .
Teorema 1.4.3. Teorema de Cardano5 – Viete6
En la ecuación ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a 6= 0, de raı́ces x1 , x2 y x3 se cumple:
Suma de raı́ces:
x1 + x2 + x3 = −
b
a
Suma de productos binarios de raı́ces:
x1 .x2 + x1 .x3 + x2 .x3 =
c
a
Producto de raı́ces:
x1 .x2 .x3 = −
5
d
a
Gerolamo Cardano, o Girolamo Cardan (24 de septiembre 1501 – 21 de septiembre 1576) fue un célebre
matemático italiano del Renacimiento, médico, astrólogo, jugador de juegos de azar y filósofo.
6
François Viète fue un matemático francés (Fontenay le Comte, 1540 – Parı́s, 1603). Se le considera uno de
los principales precursores del álgebra.
Walter Arriaga Delgado
1.4.7.
Matemática I
29
Ecuación Cuártica
Llamada también ecuación polinomial de cuarto grado y toma la sigiuente forma general:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
con a 6= 0. Mediante el teorema fundamental del álgebra, la ecuación tiene 4 raı́ces denotadas
por x1 , x2 , x3 y x4 .
Teorema 1.4.4. Teorema de Cardano
En la ecuación ax4 + b3 + cx2 + dx + e = 0, con a 6= 0, de raı́ces x1 , x2 , x3 y x4 se cumple:
Suma de raı́ces:
x1 + x2 + x3 + x4 = −
b
a
Suma de productos binarios:
x1 .x2 + x1 .x3 + · · · + x3 .x4 =
c
a
Suma de productos ternarios:
x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 + · · · + x2 .x3 .x4 = −
d
a
Producto de raı́ces:
x1 .x2 .x3 .x4 =
1.4.8.
e
a
Ecuación Bicuadrada
Es una ecuación cuártica cuya forma general es:
ax4 + bx2 + c = 0
con abc 6= 0.
Fórmula general:
x=±
s
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
La ecuación bicuadrada tiene 4 raı́ces x1 , x2 , x3 y x4 que son simétricas de a dos a dos, es
decir:
x1 = −x2
y
x3 = −x4 . Dichas raı́ces cumplen la siguiente propiedad:
x4 − (α2 + β 2 )x2 + α2 β 2 = 0
donde α y β son las raı́ces x1 y x3 respectivamente.
30
Matemática I
1.4.9.
Walter Arriaga Delgado
Ecuación Polinomial
Una ecuación polinomial de grado n es de la forma:
a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an = 0
donde a0 6= 0.
La resolución para las ecuaciones lineales, cuadráticas, cúbicas, cuárticas y bicuadradas
que ya han sido estudiadas, pueden expresarse mediante fórmulas generales en términos de
sus coeficientes.
Sin embargo, no ha sido posible resolver en forma general una ecuación de quinto grado o
superior mediante fórmulas generales (por radicales). Más aun el matemático Evariste Galois7
demuestra que el polinomio general de grado n ≥ 5 no es soluble por radicales, mediante
la teorı́a de grupos (tratado en Algebra Moderna). Pero si los coeficientes son numéricos, el
valor de cualquiera de las raı́ces reales puede hallarse mediante aproximaciones (visto en las
aplicaciones de la derivada).
Teorema 1.4.5. Teorema de Cardano
Dada la ecuación polinómica a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an = 0, con a0 6= 0, de raı́ces x1 ,
x2 , x3 , . . . , xn se cumple:
Suma de raı́ces:
x1 + x2 + x3 + · · · + xn = −
a1
a0
Suma de productos binarios:
x1 .x2 + x1 .x3 + · · · + xn−1 .xn =
a2
a0
Suma de productos ternarios:
x1 .x2 .x3 + x1 .x2 .x4 + · · · + xn−2 .xn−1 .xn = −
a3
a0
Suma de productos tomados de k en k:
x1 .x2 .x3 . . . xk + x2 .x3 . . . xk xk+1 + · · · = (−1)k
Producto de raı́ces:
x1 .x2 .x3 . . . xn = (−1)n
7
ak
a0
an
a0
Évariste Galois (25 de octubre de 1811 al 31 de mayo de 1832) fue un joven matemático francés nacido
en Bourg la Reine. Ofreció las bases fundamentales para la teorı́a que lleva su nombre, una rama principal del
álgebra abstracta. Fue el primero en utilizar el término “grupo” en un contexto matemático.
Walter Arriaga Delgado
1.4.10.
Matemática I
31
Planteamiento de ecuaciones
El planteamiento de ecuaciones en matemáticas responde a la necesidad de expresar
simbólicamente los problemas y los pensamientos. El primero en proponer una notación
simbólica, y no sólo lógica, para explicar sus proposiciones matemáticas fue el griego Diofanto de Alejandrı́a, en el siglo III a.C., por cuya razón las primeras ecuaciones algebraicas se
dieron en llamar diofánticas.
Una de las mayores aportaciones a la teorı́a de las ecuaciones se debe al matemático Joseph
Louis Lagrange8 , fué uno de los mayores cientı́ficos de su época y destacando también en otras
disciplinas. Su mayor aportación al álgebra es su famosa memoria “Sobre la revolución de las
ecuaciones numéricas”, escrita en 1767.
Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a modelar situaciones que
pueden reflejar el comportamiento de fenómenos fı́sicos o problemas que es factible encontrar
en la vida diaria. Cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal razón, es
muy importante expresar la información dada en palabras en lenguaje algebraico, esto implica
traducir adecuadamente el enunciado de un problema a una expresión matemática mediante
una o más ecuaciones.
Una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas es la destreza,
para traducir un problema dado en nuestro idioma, al lenguaje matemático. Ver el siguiente
esquema:
Enunciado del problema
(Lenguaje común)
Leer
Interpretar
Simbolizar
Ecuación
(Lenguaje matemático)
Figura 1.1: Planteamiento de una ecuación
A continuación veremos la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su
forma simbólica matemática.
8
Joseph Louis Lagrange, nació el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia–Piedmont (actualmente Italia) y
murió el 10 de Abril de 1813 en Paris, Francia. Joseph Louis Lagrange está considerado generalmente como un
matemático francés, pero la Enciclopedia Italiana se refiere a él como un matemático italiano. En ambos casos
está justificada la pretensión puesto que Lagrange nació en Turı́n y fue bautizado con el nombre de Giuseppe
Lodovico Lagrangia.
32
Matemática I
Enunciado (Forma verbal)
Walter Arriaga Delgado
Expresión Matemática (Forma simbólica)
⊛ La suma de tres números consecutivos es 69.
x + (x + 1) + (x + 2) = 69
⊛ El quı́ntuplo de un número, aumentado en 9.
5x + 9
⊛ El quı́ntuplo de un número más 9.
5(x + 9)
⊛ 8 menos que 5 veces un número.
5x − 8
⊛ En una reunión hay tantos hombres como el
triple de mujeres.
Hombres: 3x
⊛ El cuadrado de la suma de dos números.
(x + y)2
⊛ La suma de los cuadrados de dos números.
x2 + y 2
⊛ El exceso de A sobre B es 90.
A − B = 90
⊛ A es excedido por B en 7.
⊛ La edad de Kiko es cuatro veces la edad del
Chavo.
⊛ La edad de Kiko es cuatro veces más que la
edad del Chavo.
⊛ A es B como 5 es 6.
⊛ Yo tengo la mitad de lo que tú tienes y él tiene
el triple de lo que tú tienes.
Mujeres: x
B−A = 7
Kiko: 4x
Chavo: x
Kiko: 5x
Chavo: x
A
B
=
5
6
Yo: x
Tú: 2x
El: 6x
Problemas sobre edades
En la mayor parte de problemas de la vida diaria donde se aplican las ecuaciones, vamos
a encontrar, las relacionadas a edades. Ya que es un tipo de problemas matemáticos muy frecuentes y dada la diversidad de situaciones que se presentan, existiendo ası́ métodos prácticos
de resolución, por eso le daremos una atención especial.
Es conveniente para resolver estos problemas utilizar cuadros, tablas, gráficos, dibujos,
esquemas, etc., que nos permitan visualizar e imaginar mejor la solución de los mismos.
Evidentemente en estos problemas intervienen Sujetos, cuyas edades se relacionan a través
del tiempo bajo una serie de condiciones. A continuación trataremos sobre ellos.
I. Sujetos: Son los protagonistas del problema, que generalmente son las personas, pero
algunos problemas pueden ser animales, plantas, etc. Ejemplos:
1. La edad de Tom y la edad de Jerry suman tanto como la suma de los 6 primeros
números primos.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
33
Edad de Tom: T
Edad de Jerry: J
T + J = 41
2. La edad de un árbol ébano, cuando fue talado era 94 años más que la edad de la
planta girasol.
Edad de Girasol: G
Edad de Ébano: E
E = G + 94
II. Tiempos: Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro) relacionadas con otras
expresiones las cuales deben interpretarse correctamente caso contrario complicarı́an la
resolución de los problemas.
a) Tiempo Pasado: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:
Yo
Tu
El
Tenı́a
Tuve
Tenı́as
Tuviste
Tenı́a
Tuvo
Pueden darse en el problema uno o más tiempos pasados.
b) Tiempo Presente: Se reconocen porque se presentan con las siguientes palabras:
Yo
Tengo
Tu
Tienes
El
Tiene
c) Tiempo Futuro: Se reconocen porque se le presenta con las palabras:
Yo
Tu
El
Tendré
Tenga
Tendrás
Tengas
Tendrá
Tenga
III. Edades: Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto. Entre las
edades se establecen determinadas relaciones, llamadas condiciones, las cuales se cumplen
en un mismo tiempo o en tiempos diferentes.
34
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Tipos de Problemas
a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto: Cuando el enunciado de un problema
nos mencionan: “Hace...” ó “Dentro de.....”, se debe tomar como punto de referencia el
tiempo presente ( hoy ); a partir de allı́ se cuenta el tiempo transcurrido (hace... ) o el
tiempo a transcurrir( dentro de... ). Ejemplo:
Sea “x” mi edad actual, entonces dentro de “n” años, mi edad se expresa:
Pasado
Presente
Futuro
Hace m años
Hoy tengo
Dentro de n años
x−m
x
x+n
b) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos: Para este tipo de problemas
se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, con el propósito de razonar ordenadamente, buscando plantear un sistema de ecuaciones y luego resolverlas para encontrar
lo que me piden.
Pasado
Presente
Futuro
Goku
a
m
r
Picoro
b
n
s
Se observa:
• La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo (es la
misma en el presente, pasado y futuro). Esto es:
a−b=m−n=r−s
• “Lo anterior determina que la suma en aspa de valores extremos colocados simétricamente son iguales.
a+n = b+m
m+s = n+r
a+s=b+r
Relación con el año de nacimiento
De acuerdo a esto podemos enunciar:
Cuando una persona ya cumplió años, se cumple:
Año Actual = Año de nacimiento + Edad Actual
Cuando una persona aún no cumple años, se cumple:
Año Actual − 1 = Año de nacimiento + Edad Actual
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
35
Problemas sobre relojes
✍
EJERCICIOS RESUELTOS
1.
Una breve historia de Tartaglia
Figura 1.2: Tartaglia
Niccolò Fontana (1500 – 13 de diciembre 1557), matemático italiano apodado Tartaglia
(el tartamudo) desde que de niño recibió una herida en la toma de su ciudad natal, Brescia,
por Gastón de Foix. Huérfano y sin medios materiales para proveerse una instrucción, llegó a
ser uno de los principales matemáticos del siglo XVI. Explicó esta ciencia sucesivamente en
Verona, Vicenza, Brescia y finalmente Venecia, ciudad en la que falleció en 1557 en la misma
pobreza que le acompañó toda su vida. Se cuenta que Tartaglia sólo aprendió la mitad del
alfabeto de un tutor privado antes de que el dinero se agotara, y posteriormente tuvo que
aprender el resto por su cuenta. Sea como sea, su aprendizaje fue esencialmente autodidacto.
Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia,
en 1535 su colega del Fiore discı́pulo de Scipione del Ferro de quien habı́a recibido la fórmula
para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta.
A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para
resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que
le plantea su contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia.
El éxito de Tartaglia en el duelo llega a oı́dos de Gerolamo Cardano que le ruega que le
comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicará.
Sin embargo, en vista de que Tarataglia no publica su fórmula, y que según parece llega
a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de
Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano
quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar
de que Cardano acreditó la autorı́a de Tartaglia, éste quedó profundamente afectado, llegando
a insultar públicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Las fórmulas de
Tartaglia serán conocidas como fórmulas de Cardano
36
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los primeros estudios de aplicación de
las matemáticas a la artillerı́a en el cálculo de la trayectorias de los proyectiles (trabajos
confirmados posteriormente por los estudios acerca de la caı́da de los cuerpos realizados por
Galileo), ası́ como por la expresión matemática para el cálculo del volumen de un tetraedro
cualquiera en función de las longitudes de sus lados, la llamada fórmula de Tartaglia, una
generalización de la fórmula de Herón (usada para el cálculo del área del triángulo):
v


u
0 1 1 1 1
u
u
1 0 a2 b2 c2 
u

u 1 
1 a2 0 d2 e2  .
V =u


u 288 
t
1 b2 d2 0 f 2 
1 c2 e2 f 2 0
Además de sus trabajos matemáticos, Tartaglia publicó las primeras traducciones al italiano de las obras de Arquı́medes y Euclides.
1.5.
Desigualdades e Inecuaciones
El criterio de desigualdad nace tan paralelamente a la noción de igualdad desde los intelectuales babilónicos, aunque no se trataba con tanto interés.
Las inecuaciones se convierten en la preocupación de los intelectuales europeos, en el siglo
XVI con Leonardo de Pisa9 entre las inecuaciones simples.
Las desigualdades o relación de orden se convierten en una caracterı́stica fundamental que
diferencia al conjunto de los números reales del conjunto de los números complejos.
1.5.1.
Desigualdad
Definición 1.5.1. Una desigualdad es una comparación que se establece entre dos números
reales a, b utilizando los sı́mbolos de la relación de orden, el cual puede ser verdadero o falso.
a > b, a < b, a ≥ b, a ≤ b.
Desigualdades conocidas
Los matemáticos suelen usar inecuaciones para aproximarse a cantidades cuyas fórmulas
exactas no pueden ser fácilmente computadas. Algunas se usan tan a menudo que se les ha
puesto nombre, como:
Desigualdad de Azuma
9
Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo (1170 – 1250), también llamado Fibonacci, fue un
matemático italiano, famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración actualmente utilizado, el
que emplea notación posicional (de base 10, o decimal) y un dı́gito de valor nulo: el cero; y por idear la sucesión
de Fibonacci (surgida como consecuencia del estudio del crecimiento de las poblaciones de conejos).
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
37
Desigualdad de Bernoulli
Desigualdad de Boole
Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Desigualdad de Chebyshov
Desigualdad de Chernoff
Desigualdad de Cramér-Rao
Desigualdad de Hoeffding
Desigualdad de Hölder
Desigualdad de las medias aritmética y geométrica
Desigualdad de Jensen
Desigualdad de Márkov
Desigualdad de Minkowski
Desigualdad de Nesbitt
Desigualdad de Pedoe
Desigualdad triangular
1.5.2.
La recta real
Es muy común manejarse en la vida cotidiana con números que oscilan en ciertos rangos.
Muchos fenómenos que se producen en la naturaleza no tienen soluciones exactas, y para resolverlos debemos contentarnos, por ejemplo, con acotarlos entre dos valores determinados. En
esta sección precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Para ello,
en principio, daremos la noción de inervalo, y finalizaremos con la resolución de inecuaciones.
Definición 1.5.2. La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números
reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido
(normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe
una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.
38
Matemática I
−4
−3
−2
−1
0
1
Walter Arriaga Delgado
2
3
4
R
Figura 1.3: La Recta Real
Intervalos
Definición 1.5.3. Los intervalos numéricos en R son conjuntos de números reales y se representan mediante un segmento con o sin extremos. Pueden ser acotados o no acotados
Intervalos acotados o finitos
Definición 1.5.4. Un Intervalo abierto es aquel conjunto formado por todos los números
reales x tales que a < x < b. No están incluı́dos los extremos a y b. Se denota por ha, bi o
también ]a, b[ de modo que:
ha, bi = {x ∈ R / a < x < b}
a
b
R
Observación 1.5.1. Si a = b, entonces ha, bi = φ.
Definición 1.5.5. Un Intervalo cerrado es aquel conjunto formado por todos los números
reales x tales que a ≤ x ≤ b. Están incluı́dos los extremos a y b. Se denota por [a, b] de modo
que:
[a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
a
b
R
Observación 1.5.2. Si a = b, entonces [a, b] = {a} o {b}.
Definición 1.5.6. Un Intervalo semiabierto por la izquierda o semicerrado por la derecha es
aquel conjunto formado por todos los números reales x tales que a < x ≤ b. Se denota por
ha, b] de modo que:
ha, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
a
b
R
Definición 1.5.7. Un Intervalo semiabierto por la derecha o semicerrado por la izquierda es
aquel conjunto formado por todos los números reales x tales que a ≤ x < b. Se denota por
[a, bi de modo que:
[a, bi = {x ∈ R / a ≤ x < b}
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
a
39
b
R
Intervalos no acotados o infinitos
Definición 1.5.8. Los intervalo infinitos son conjuntos de números reales que se extienden
indefinidamente por la derecha o por la izquierda y tienen la forma:
ha, +∞i = {x ∈ R / x > a}
a
R
a
R
[a, +∞i = {x ∈ R / x ≥ a}
h−∞, ai = {x ∈ R / x < a}
a
R
a
R
h−∞, a] = {x ∈ R / x ≤ a}
h−∞, ∞i = {x ∈ R / x ∈ R}
0
R
Operaciones con intervalos
Siendo los intervalos subconjuntos de los números reales, es posible realizar con ellos las
propiedades operativas de conjuntos, como son la unión, intersección, diferencia, diferencia
simétrica, y complementación.
A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A − B = {x ∈ R / x ∈ A ∧ x 6∈ B}
A∆B = {x ∈ R / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)}
A′ = Ac = {x ∈ R / x 6∈ A}
Nota 1.5.1. A − B = A\B
40
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Notación
Intervalo
Longitud (l)
Descripción
ha, bi
a<x<b
b−a
Intervalo abierto
[a, b]
a≤x≤b
b−a
Intervalo cerrado
[a, bi
a≤x<b
b−a
Intervalo semiabierto o semicerrado
ha, b]
a<x≤b
b−a
Intervalo semiabierto o semicerrado
ha, ∞i
x>a
∞
Intervalo infinito
[a, ∞i
x≥a
∞
Intervalo infinito
h−∞, ai
x<a
∞
Intervalo infinito
h−∞, a]
x≤a
∞
Intervalo infinito
h−∞, ∞i
x∈R
∞
Intervalo infinito
{a}
x=a
0
Intervalo cerrado. Conjunto unitario
{}
6∃x
6∃
Conjunto vacı́o
Cuadro 1.1: Clasificación de intervalos
1.5.3.
Inecuación
Definición 1.5.9. Una inecuación es toda desigualdad condicional que contiene una o más
cantidades desconocidas, llamadas variables, y que solo es verdadera para determinados valores
de dichas variables.
Las inecuaciones de una variable son proposiciones que tienen la forma: p(x) > 0, p(x) < 0,
p(x) ≥ 0, p(x) ≤ 0.
Toda inecuación se convierte en una desigualdad cierta o falsa cuando la incógnita o
incógnitas toman un valor real determinado.
1.5.4.
Inecuaciones de primer grado
Definición 1.5.10. Llamada también Inecuación Lineal, es aquella inecuación de la forma:
donde a 6= 0 y {a, b} ⊂ R
ax + b > 0
;
ax + b < 0
ax + b ≥ 0
;
ax + b ≤ 0
Walter Arriaga Delgado
1.5.5.
Matemática I
41
Inecuaciones de segundo grado
Definición 1.5.11. Llamada también Inecuación Cuadrática, es aquella inecuación de la
forma:
ax2 + bx + c > 0
;
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ 0
;
ax2 + bx + c ≤ 0
donde a 6= 0 y {a, b, c} ⊂ R
1.5.6.
Inecuaciones polinómicas
Definición 1.5.12. Las inecuaciones polinómicas tienen la forma:
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an > 0
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an < 0
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an ≥ 0
P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an ≤ 0
y son llamadas también inecuaciones de orden superior.
1.5.7.
Inecuaciones racionales
Definición 1.5.13. Una inecuación racional es una desigualdad condicional que reducida a
su más simple expresión tiene la forma:
P (x)
>0
Q(x)
1.5.8.
P (x)
<0
Q(x)
;
;
P (x)
≥0
Q(x)
;
P (x)
≤0
Q(x)
Ecuaciones e inecuaciones irracionales
Definición 1.5.14. Una ecuación irracional es aquella en que la variable aparece afectada
por un signo radical.
Propiedad 1.5.1.
√
x ≥ 0, ∀x ≥ 0
√
x=0
⇐⇒
x=0
Teorema 1.5.1. Sean a y b números reales, entonces:
√
a=b
⇐⇒
[ b≥0
∧
a = b2 ]
(1.8)
42
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Definición 1.5.15. Una inecuación irracional es aquella desigualdad en que la variable aparece afectada por un signo radical.
Lema 1.5.1. Sean x, y, números reales, entonces:
0≤
0≤
√
√
x≤
x<
√
y
⇐⇒
0≤x≤y
√
y
⇐⇒
0≤x<y
Teorema 1.5.2. Si n es un entero par positivo, entonces:
√
√
n
x≤ ny
√
√
n
x< ny
⇐⇒
0≤x≤y
⇐⇒
0≤x<y
Teorema 1.5.3. Si n es un entero impar positivo, entonces:
√
√
n
x≤ ny
√
√
n
x< ny
√
n
x≥0
√
n
x<0
⇐⇒
x≤y
⇐⇒
x<y
⇐⇒
x≥0
⇐⇒
x<0
Teorema 1.5.4. Sean a y b números reales, entonces:
√
a<b
√
a≤b
√
a>b
√
a≥b
1.5.9.
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b>0
∧
a < b2 ]
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b≥0
∧
a ≤ b2 ]
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b<0 ∨ (b≥0
∧
a > b2 ) ]
⇐⇒
a≥0 ∧ [ b<0 ∨ (b≥0
∧
a ≥ b2 ) ]
Inecuaciones exponenciales
Las inecuaciones exponenciales son de la forma:
bP (x) ≥ bQ(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
bP (x) > bQ(x)
bP (x) < bQ(x)
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
43
Se presentan los siguiente casos:
Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:
bP (x) ≥ bQ(x)
⇒
P (x) ≥ Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
⇒
P (x) ≤ Q(x)
bP (x) > bQ(x)
⇒
P (x) > Q(x)
bP (x) < bQ(x)
⇒
P (x) < Q(x)
bP (x) ≥ bQ(x)
⇒
P (x) ≤ Q(x)
bP (x) ≤ bQ(x)
⇒
P (x) ≥ Q(x)
bP (x) > bQ(x)
⇒
P (x) < Q(x)
bP (x) < bQ(x)
⇒
P (x) > Q(x)
Caso II: Si 0 < b < 1, entonces se cumple:
1.5.10.
Inecuaciones logarı́tmicas
Las inecuaciones exponenciales son de la forma:
logb P (x) ≥ logb Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x)
logb P (x) > logb Q(x)
logb P (x) < logb Q(x)
Se presentan los siguiente casos:
Caso I: Si b > 1, entonces se cumple:
logb P (x) ≥ logb Q(x)
⇒
P (x) ≥ Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)
logb P (x) > logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)
logb P (x) < logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)
Caso II: Si 0 < b < 1, entonces se cumple:
logb P (x) ≥ logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≤ Q(x)
logb P (x) ≤ logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) ≥ Q(x)
logb P (x) > logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) < Q(x)
logb P (x) < logb Q(x)
⇒
P (x) > 0 , Q(x) > 0 , P (x) > Q(x)
44
Matemática I
1.5.11.
1.6.
Walter Arriaga Delgado
Sistemas de inecuaciones
Valor Absoluto y Máximo Entero
1.6.1.
Valor absoluto
El objetivo que se pretende lograr es que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones
que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma ax + b, donde a y b son
constantes reales con a 6= 0, y x es una variable real.
Definición 1.6.1. El valor absoluto o magnitud de X ∈ R, denotado por |x| es un número
no negativo definido por la siguiente regla:
|x| =


x

−x
x≥0
x<0
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos
matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia
y norma en diferentes contextos matemáticos y fı́sicos.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real x corresponde
a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde x hasta el número cero. En general,
el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho,
el concepto de función distancia o métrica se puede ver como una generalización del valor
absoluto de la diferencia.
Proposición 1.6.1.
I. |a| ≥ 0,
para todo a ∈ R
II. |a| = 0 ⇐⇒ a = 0
III. |a|2 = a2 ,
IV. |a| =
√
a2 ,
V. |a| = | − a|,
VI. |ab| = |a||b|,
VII.
a
|a|
=
,
b
|b|
para todo a ∈ R
para todo a ∈ R
para todo a ∈ R
para todo a, b ∈ R
para todo a, b ∈ R, b 6= 0.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
VIII. |a + b| ≤ |a| + |b|,
para todo a, b ∈ R
IX. |a − b| ≤ |a| + |b|,
para todo a, b ∈ R
45
(Desigualdad Triangular)
X. |a| − |b| ≤ |a − b|
XI. |a| = b
⇐⇒
b≥0
∧
[a = b ∨ a = −b]
XII. |a| = |b| ⇐⇒ a = b ∨ a = −b
XIII. |a| ≤ b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b ≤ a ≤ b
XIV. |a| < b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ −b < a < b
XV. |a| ≥ b ⇐⇒ a ≥ b ∨ a ≤ −b
XVI. |a| > b ⇐⇒ a > b ∨ a < −b
XVII. |a| ≤ |b| ⇐⇒ a2 ≤ b2
XVIII. −|a| ≤ a ≤ |a|,
1.6.2.
para todo a ∈ R
Máximo entero
Definición 1.6.2. En el sistema de números reales se define el máximo entero de un número
real x, a la expresión denotada por JxK = n, donde n es el mayor entero, menor o igual a x;
es decir:
JxK = n ⇐⇒ JxK = max{n ∈ Z / n ≤ x}
Ejemplo 1.6.1.
x = 2,8
√
x=− 2
entonces
entonces
x = −7
entonces
x=π
entonces
JxK = J2,8K = 2;
q √ y
JxK = − 2 = −2;
JxK = J−7K = −7;
JxK = JπK = 3;
Propiedades
1. JxK ∈ Z,
2. JxK = x
∀x ∈ R
⇔
x∈Z
3. JxK ≤ x < JxK + 1,
∀x ∈ R
porque:
porque:
2 ≤ 2,8 < 3
√
−2 ≤ − 2 < −1
porque:
−7 ≤ −7 < −6
porque:
3≤π<4
46
Matemática I
4. JxK = n
⇔
n ≤ x < n + 1,
6. JxK ≤ n
⇔
x < n + 1,
7. JxK < n
⇔
x < n,
n∈Z
⇔
x ≥ n,
n∈Z
9. JxK > n
⇔
x ≥ n + 1,
5. Jx + nK = JxK + n,
8. JxK ≥ n
n∈Z
n∈Z
n∈Z
n∈Z
10. JxK + JyK < Jx + yK, ∀x, y ∈ R


0 ,
si x ∈ Z
11. JxK + J−xK =

−1 , si x ∈ (R − Z)
12. Si
x≤y
⇒
JxK ≤ JyK,
∀x, y ∈ R
Walter Arriaga Delgado
Walter Arriaga Delgado
✍
Matemática I
EJERCICIOS PROPUESTOS
47
1.
I. Resolver las siguientes ecuaciones:
1
3
x+2
+
= 2
2x + 2 2x − 2
x −1
1
1
2
2) 4 x + 2 − 24 x +
+ 28 = 0
x
x
1
3) 333(x − 333) =
(x − 333) − x + 333
333
x−a x−b x−c
1 1 1
4)
+
+
=2
+ +
con abc 6= 0,
bc
ac
ab
a b
c
1)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
2(x2 − 6x + 9)
1
1
= 2
+
4
3
2
x − 12x + 53x − 102x + 72
x − 5x + 6 x − 3
3
x−2 (x2 − 3x + 1)(x2 − x + 1) + = 0
4
4
5
x − 16 x + 32
−
+ 6x3 = 0
2−x
x+2
6x + 2a + 3b + c
2x + 6a + b + 3c
=
6x + 2a − 3b − c
2x + 6a − b − 3c
1
1
1
+
+
=0
(x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 2)(x − 4)
2x − 4
23x − 46 3x + 6
−
=
253
51
34
x+1 x−1
−
x−1 x+1 = 1
x+1
2
1−
x−1
x2 − 4x − 5
x2 + 6x + 10
=
(x − 2)2
(x + 3)2
2 2
x
x
5
+
=
x−1
x+1
16
(x − 3)(x + 5)
(x − 4)(x + 2)
−1
−
=
5(x − 5)(x + 7) 4(x − 6)(x + 4)
20
II. Propiedades de las raı́ces de ecuaciones:
1) Qué valores deben tomar p y q para que las raı́ces de la ecuación x2 + px + q = 0,
sean también p y q?
2) Hallar el valor de “q” para tener dos raı́ces iguales en la ecuación x2 − 8x + q = 0
√
3) Si “r” y “s” son las raı́ces de la ecuación: x2 + bx + c = 0. Hallar el valor de r 2 + s2
48
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
4) Determinar uno de los valores de “p” en la ecuación: x2 − (3p − 2)x + (p2 − 1) = 0.
De modo que una raı́z sea el triple de la otra.
5) Hallar la ecuación de segundo grado si una de sus raı́ces es: −3 + 4i
6) Hallar “m” si la ecuación:
de signo contrario.
x2 − bx
m−1
=
tiene raı́ces numéricamente iguales pero
ax − c
m+1
2
7) Hallar la ecuación de segundo grado si una de sus raı́ces es: x = 2+
2
1+
2
3+
1+
8) En la ecuación x2 −px+36 = 0, determı́nese “p” de tal manera que se tenga
5
; x1 , x2 son raı́ces.
12
3
2
3+ .
..
1
1
+
=
x1 x2
−3
9) Hallar el producto de las raı́ces de la ecuación: 8Z 2n − 8Z 2n = 63
10) Qué valor debe tener “C”, en la ecuación x2 − 8x + C = 0, para que una raı́z sea
inversa de la otra?
11) Cuál es la diferencia de los cuadrados de las raı́ces de la ecuación: (x−1)2 +x2 = 1,22?
12) Formar una ecuación cuadrática que admite como raı́ces, la suma y el producto de
las inversas de aquella ecuación de coeficientes racionales que tiene como una de sus
5
i
raı́ces: +
2 2
13) Sea: (x+1)n2 −(7x+5)n+2n+12x = 0, una ecuación lineal en “x”. ¿Para qué valor(es)
de n la ecuación tiene infinitas soluciones?
14) Resuelva la ecuación: x2 + 6px − 2k = 0. Si 3x2 + (k + a)x + 5 − k = 0 tiene raı́ces
recı́procas y 6x2 + (2p − 1)x + 8 = 0 tiene raı́ces simétricas.
15) Si a y b son las raı́ces de la ecuación x2 − 6x + c = 0; entonces hallar el valor de
a2 + b2 + 2c
9
16) En la ecuación 3k2 x2 − 6kx − (k + 2) = 0, k 6= 0. Si la suma de sus raı́ces es igual al
doble de su producto, hallar k.
17) Para que valores de m la ecuación:
√ 2
3 2
3
+3 1+
= 0, tiene dos soluciones iguales.
(2 x) + √
m
x
18) Si {a, b} es el conjunto solución de la ecuación x2 − 197781x − 197771 = 0. Halle el
valor de: a2 + b2 + a2 b2 + 2ab(a + b + 1).
19) Si la ecuación x2 + 2(n + 3)x + (n2 + 1) = 0 tiene raı́ces reales diferentes, que valores
enteros negativos debe asumir “n”.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
49
20) Si las raı́ces son recı́procas, hallar la suma de las raı́ces de: (2n−2)x2 +4x−4nx = 2−n
21) Hallar “m + n” si la ecuación cuadrática: 1024x2 − (nm − 8)x + n10 = 0, m, n ∈ R+
tiene raı́ces simétricas y recı́procas.
22) Si las raı́ces de x2 + mx + n = 0 difieren en 4 y la diferencia de cubos de estas raı́ces
es 208. Entonces hallar el menor valor que puede tomar E = m + n
23) Si el conjunto solución de la ecuación x2 − 5x + 1 = 0 es {α, β}, calcule:
1
1
+
.
W =
α+2 β+2
24) Siendo α y β las raı́ces de x2 − 2x + 5 = 0, encuentre el término independiente de la
ecuación cuyas raı́ces son: x1 = 3α + β y x2 = α + 3β.
25) Sea la ecuación cuadrática x2 − 3x + 1 = 0, de raı́ces “x1 ” y “x2 ”, calcular:
(x1 + 4)(x2 + 6)(x1 + 6)(x2 + 4).
26) Si las ecuaciones en “x”:
0
(m+2)x2 +(n2 +3)x−2 = 0
y
(m+1)x2 +(n+1)x−1 =
admiten el mismo conjunto solución, determine mn.
27) Si la ecuación de incógnita “x”:
(m + n − 8)x2 + (m − n + 4)x + 5 = 0 es incompatible, calcular el valor de m + 3n.
3kx − 5
2kx − 3
28) Si la ecuación
+
= k + 8 se reduce a una ecuación de primero
x−1
x+1
grado en “x”. Hallar su solución.
2 p √
29) Resolver la ecuación de primer grado: a −1 x a x + a2 = a
30) Si las raı́ces de la ecuación: x2 − 2(m2 + 4m)x + m4 = 0, son iguales. Calcular el valor
“m”.
31) Si α y β son las raı́ces de
√
x − 3 = x − 3, con α > β. Calcular el valor de: αβ
32) Si el producto de las raı́ces de:
4x2 − (m + 2)x + (n − 2) = 0 es igual a 2/3. ¿Cuál es el valor de “n”?.
33) Se define la operación z como a z b = a(a + 2b); a, b ∈ R. Hallar la suma de los
posibles valores de “x” al resolver la ecuación: 2[x z (x − 3)] = 18.
−1
34) Si x1 y x2 son las raı́ces de la ecuación 2x2 − 5x + 1 = 0, calcular el valor de x−1
1 + x2 .
35) Si la ecuación cuadrática 5x2 + (nn − 27)x + (mm + 1) = 0 tiene raı́ces simétricas y
recı́procas, hallar el valor de W = mn + nm .
36) Hallar la ecuación de segundo grado que tenga por coeficiente del primer término la
unidad, por coeficiente del segundo término, una de sus raı́ces, y por último término
la otra raiz.
37) Si x1 , x2 , x3 , x4 son raı́ces de la ecuación: x4 + (n + 2)x2 + 9 = 0, calcular el valor de
n, sabiendo además que x1 x2 x3 = 3
50
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
38) Las cuatro raı́ces de la ecuación:
x4 + 5(k − 2)x2 + 9 = 0, están en progresión aritmética. Hallar el valor de k.
√
39) Hallar la ecuación bicuadrada si una de sus raı́ces es: 2 − 5
40) Hallar la ecuación bicuadrada donde dos de sus raı́ces son 1 y −2
41) La ecuación ax4 +bx2 +c = 0, tiene raı́ces x1 , x2 , x3 , x4 , tales que x2 = −x1 , x4 = −x3 ,
c = a, b = 3a. Calcular: x1 x2 + x3 x4 .
III. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

5 3
1


 x+y =2
1)
1

6 2

 − =
x y
3
2) x + y = 5;
y + z = 8;
z + u = 9;
u + v = 11;
3) x + y = xy; y + z = 3yz; z + u = 5zu;

(a + b)x − (a − b)y = 4ab
4)
(a − b)x + (a + b)y = 2a2 − 2b2

4x−1 − 3y −1 = 14
5)
6x−1 − 5y −1 = 18

1
1 1 1


+ + =
. . . . . . (1)
x
y
z
36
6)

 xy + yz + xz = 9 . . . . . . (2)
7)
8)
9)
10)
¿Cuál es el valor de xyz?
x
y
z
1
=
=
=
y+z
x+z
x+y
x+y+z
1
1
3
+
=
x−y x+y
16
1
1
1
−
=
x−y x+y
16


3x + 2y − z = 4



2x + 3y − 2z = 2




5x − y − 3z = −6


x + 3y + 4z = 3



x + 4y + 3z = −2




2x + 7y + 3z = −7
v+x=9
u + w = 7uw;
w + x = 9wx
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
51



w − 2x + 2y − 3z = 15





2w − 3x + 2y − z = 17
11)


w + x − 3y − 2z = −7





3w + 4x − y + z = −6


3x + 2y + z = 1



12) 5x + 3y + 4z = 2




x+y−z =1


x + 2y + 3z = 1



13) 4x + 5y + 6z = −2




7x + 8y + 10z = 5


−x + 3y + 2z = 12



14) 2x − 5y + z = −10




3x + y − 6z = 4


x + 2y − z = 6



15) 2x − y + z = 5




x − 8y + 6z = −7


3x + 2y + z = 8



16) 4x − 3y − z = −5




x+y−z =8


ax + y + z = 1



17) Hallar y en el sistema: x + ay + z = a




x + y + az = a2


ax + y = 3



18) Si el sistema: 2x + ay = 4
tiene solución única, indicar el valor de a




2ax − 3y = 1

(m + 1)x + 3y = 4m + 3
19) Para qué valores de “m” el sistema:
, tiene solución úni(m + 4)x + 3my = 5
ca?
20) Hallar el valor de k de modo que el sistema
ciones.
(
(k − 1)x = −y
x = 2y
tenga infinitas solu-
52
Matemática I
Walter Arriaga Delgado

(2m − 1)x + my = 6
21) Calcular el valor de “m” si el sistema:
15x = 6 − 8y
presenta infinitas
soluciones.
22) Si el sistema:

kx − 5 = −y
no admite solución. Calcular la suma de los valores
x + ky = 8
que admite “k”

(n + 2)x + 6y = k
23) Para que valor de “n” el sistema:
2x + (1 + n)y = 7

3x + ay = 7
24) Calcular ab sabiendo que los sistemas:
4x + by = 2
valentes
será compatible determinado.

ax + 3y = 8
bx + 4y = 7
son equi-



x+y+z =5





x + y + w = −1
25) Calcular el valor de: x − y + z − w del sistema:


x+z+w = 1





y + z + w = 4
(
x + my = 1
para que valor de “m” el sistema no tiene solución.
26) Dado el sistema
mx − 3my = 3
(
(a + 3)x + (2a + 3)y = 18
no admite solución.
27) Para que valor de a el sistema
(a − 3)x + (a − 1)y = 6
28) ¿Para qué valor de “m” el sistema no tiene solución?
2x + 3y + 4z = 1
4x + 3y + 2z = 2
6x + my + 6z = 6
29) Luego de resolver el sistema:


12(x + y) = 5xy



18(y + z) = 5yz




36(x + z) = 13xz
Hallar el valor de x + y − z
IV. Problemas de aplicación:
1) La diferencia de las cuartas potencias de dos números es 369 y el cuadrado de la suma
de sus cuadrados es 1681. ¿Cuál es la suma de dichos números?
2) Un padre va con sus hijos al estadio para comprar entradas a occidente que cuesta
S/. 30.00, le falta dinero para 3 de ellos y tiene que comprar entradas para popular
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
53
de S/. 15.00. Ası́ entran todos y le sobra S/. 30.00. ¿Cuánto eran los hijos?
3) El denominador de una fracción excede al numerador en una unidad. Si se agrega a
ambos miembros de la fracción una unidad, la nueva fracción excede a la original en
1/72. ¿Cuál es la fracción original?
4) El producto de dos números impares es 925. Si se divide el número mayor entre el
menor se obtiene un cociente 1 y residuo 12. Hallar dichos números.
5) La suma, el producto y el cociente de dos números dan un valor constante. ¿Cuál es
dicho valor?
6) Carlos tiene hoy cuatro veces los años que tenı́a Mario cuando él tenı́a 13 años y
Mario tiene hoy 22 años. ¿Cuál es la edad de Carlos?
7) Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el
del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a
la mitad, todos los hermanos tendrán también la misma cantidad en soles. ¿Cuánto
dinero tenı́a cada uno?
8) Por participar en los exámenes parciales del CPU, un Decano gana el doble del sueldo
de un Profesor Auxiliar y el triple del sueldo de un Profesor Jefe de Prácticas, si los
tres juntos perciben 3300 soles. ¿Cuánto gana el Decano?
9) Alessandra le dicta una ecuación cuadrática a sus dos primos: Leonardo se equivoca
en el término independiente y obtiene 8 y 2; mientras que Génesis se equivoca en el
coeficiente del término lineal y obtiene −9 y −1. ¿Cuál fue la ecuación cuadrática?.
10) Determinar una fracción sabiendo que si al numerador se aumenta en 2 y al denominador en 1 se obtiene 1/2 y que si al numerador se aumenta en 1 y el denominador
se disminuye en 2 se obtiene 3/5.
11) Una caja vacı́a pesa 50 gramos, depositamos 10 esferas rojas, 5 esferas blancas y 2
esferas azules. Se sabe que una esfera blanca pesa 2 gramos más que una roja y una
esfera blanca tiene un peso igual a los 4/5 del peso de una azul. Las esferas del mismo
color tienen igual peso. Evaluar el peso total en gramos de la caja con las esferas en
su interior.
12) Si A le da S/ 1.00 a C, ambos tienen lo mismo, si B tuviera S/ 1.00 menos, tendrá lo
mismo que C y si A tuviera S/ 5.00 más, tendrá tanto como el doble de lo que tiene
C, ¿Cuánto tiene C?.
13) Cuando dos bombas actúan a la vez, tardan 15 hrs. en vaciar un pozo. Si solamente
actuará una bomba, tardarı́a 16 horas más en vaciar el pozo, que si solamente actuará la otra bomba más potente, el vaciar el pozo. ¿Cuánto demora la bomba más
veloz en vaciar el pozo?
54
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
14) Dos negociantes de vinos ingresan por la frontera norte, portando uno de ellos 64
botellas de vino y el otro 20. Como no tienen suficiente dinero para pagar derechos de
aduana, el primero paga con 5 botellas de vino, mas S/. 40.00 y el segundo con dos
botellas de vino, pero recibe S/. 40.00 de vuelto. ¿Cuál es el precio de cada botella
de vino?
15) Un granjero amarra su caballo en la esquina de su casa. El observa que si la cuerda
fuera alargada en 10 metros el animal podrı́a abarcar cuatro veces el área original,
entonces la longitud original de la cuerda (en metros) es:
16) De un juego de 32 cartas se sacan primero “x” cartas y tres más, luego se saca la
mitad de lo que resta y todavı́a quedan 10 cartas. ¿Cuántas cartas se sacó la primera
vez?.
V. Resolver las siguientes inecuaciones:
1) Si a > b, resuelva: a(x + b) − b(x − a) ≥ a2 + b2 e indique cuantas soluciones negativas
tiene la inecuación.
2) Entre que lı́mites debe estar comprendido el valor de “n” para que la inecuación
3
x2 + 2nx + n > , se verifique para todo valor real?.
16
x2 + nx − 1
3) Para que valor de “n” se verifica la desigualdad
< 1, ∀x ∈ R
2x2 − 2x + 3
4) Hallar el valor de mn si la inecuación 2x2 −2mx−n < 0, tiene como conjunto solución
h−3, 5i.
ax2 + (a + b)x + c
3
5) Calcular 2a + b + c si el intervalo solución de
≤ 0, es
,2 .
5x2 + 2x + 1
2
1
6) Si: (5x + 1) ∈ h−3, 2i entonces a que intervalo pertenece:
2x − 2
7) (x + 3)(x3 + x − 2) ≤ 0
8) x3 + 3x2 + x − 1 < 0
9) 5x5 + 3x4 + 2x3 − 5x2 − 3x − 2 < 0
7x − 2
5x + 6
9x + 34
10)
<
<
2
3
5
x+5
1
x−3
>
−2
11) 3 +
6
3
3
12)
x −(3x + 1)
5
x2
x+2
+ 3x − 2
7
>5
2
VI. Hallar el menor número M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumple:
1) −x2 + 3x + 12 ≤ M
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
2) −x2 + 2x − 5/2 ≤ M
3) 4 + 6x − 3x2 ≤ M
4) 4x − 2x2 ≤ M
5) −x2 ≤ M
6) −x2 + 4x − 10 ≤ M
VII. Hallar el mayor número M con la propiedad de que para todo x ∈ R se cumple:
1) M ≤ x2 + 14x + 33
2) 2x2 − 4x + 1 ≥ 2M
3) M ≤ 2x2 − 4x + 2
4) M ≤ x2 − 10x + 32
5) M ≤ x(x − 2) − 3
6) M ≤ 1 − 6x + x2
VIII. Resolver las siguientes inecuaciones racionales:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
2x − 3
≥3
x−2
3x + 4
4x − 5
+2<
x−5
x−5
x−4 x+4
−
>0
x−3 x+5
2
x−1
7
<
<
3
x+3
9
4
x−2
4
−
<
4−x
5
x
6
3
7
−
−
<0
x−1 x+1 x+2
x2 − 5x + 6
≥0
x2 + x − 56
5x2
7
4x2
1
+
≥
− 2
2
2
2
3+x
6+x
3x + 9 2x + 12
8
11
(x − 5) (x + 1) (x − 2)5
≥0
(2x2 + x + 5)(x − 3)7
x5 (x3 − 8)3 (x − 1)2
<0
(x + 3)2 (x2 − 25)7
3x + 1
x2 − 12
1−x
+
< 2
2
2
x + 1 x + log 10
x + tan π/4
12) [(x − 1)2 + 2]−1 < 1
IX. Resolver las siguientes ecuaciones con radicales:
55
56
Matemática I
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
√
x−3=x−3
√
x − 4 − x2 = −1
√
x + x + 4 = 3x − 7
√
√
x+1− x+6 =1
√
√
3
x+1+ 3x−1
√
√
=2
3
x+1− 3x−1
√
x − 4 − x2 = −1
r
r
x2 − 2x + 14
x2 + 4x + 2
+
=2
x2 + 4x + 2
x2 − 2x + 14
√
√
√
x+1 p
x−
= x+1+2 x
2√
2
x − 6x − x2 − 6x − 3 = 5
p
√
√
x+ x− 1−x=1
√
√
3x − 2 − x + 3 = 1
√
√
x2 − 7ax + 10a2 − x2 + ax − 6a2 = x − 2a
√
x + x + 4 = 3x − 7
√
√
√
2x + 13 = x + 3 + x + 6
r
r
x−2
x+3
5
+
=
x+3
x−2
2
√
2
x − 6x − x2 − 6x − 3 = 5
√
√
x2 − 7ax + 10a2 − x2 + ax − 6a2 = x − 2a,
√
√
√
2x + 13 = x + 3 + x + 6
r
r
x−2
x+3
5
+
=
x+3
x−2
2
√
√
x+1− x+6 =1
r
r
x2 − 2x + 14
x2 + 4x + 2
+
=2
x2 + 4x + 2
x2 − 2x + 14
√
√
√
2x − 3 + x − 1 = 3x − 2
√
√
2+x− 2−x = x
√
√
√
3x − 6 + 2x + 6 = 9x + 4
√
√
√
2x + 7 − x − 5 = x
√
√
√
x − 2a = x − 5a − x + 3a, a > 0
√
√
√
x + 2a + x = 12x + a, a > 0
p
p
√
√
3
14 + x + 3 14 − x = 4
X. Resolver las siguientes inecuaciones con radicales:
Walter Arriaga Delgado
a>0
Walter Arriaga Delgado
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
Matemática I
√
x2 − x − 6 < 6 − x
√
√
x2 − 7 ≥ 6x
√
√
√
x2 − 5x + 6 + 2x2 − 5x + 2 + 5x − 4 − x2 > 0
√
√
10
x2 − 5x + 4 > − 12 9x − 14 − x2
r
x2 − 1
+2>0
9 − x2
r
r
2x − 8
5−x
+
≥0
x−1
x+3
√
1
√
> x−1
x+1
1
1
√
+√
>0
2
9−x
25 − x2
√
√
√
√
1 − x − 1 − 3x > 3 + x − 3 − x
√
√
8
4x + 2(x2 − 25)3 5 2x − 8
<0
(x + 1)2 (2x + 5)9
√
(x − 6)(x3 − 8)(x + 3)3 3 x − 1
√
≥0
x(x − 4)9 (x + 4)10 (x3 − 64) 5 − x
(x + 1)2 (x + 2)3 (x + 3)4 (x − 4)5
√
√
>0
√
44
x−1 5 9−x 6x
√
√
√
4
27 − x 7 x2 − 14x − 15(x − 2)8 3 x + 8(x − 3)11
√
≤0
x + 9(x2 + 7x − 8)(x − 27)9 (x3 − 27)
√
√
8
625 − x2 5 x2 − 4(x + 4)6 (x2 − 1)4
≤0
x3 − 2x2 − x + 2
s√
x2 − x − 2 − 2
√
≥x−4
2− x+4
s√
√
x2 − 5x − 3x
≥ x − 10
9−x
s√
x2 − 4x − 5
√
≥x−6
4 − x2 − 9
s√
x2 + x − 2 + 3
√
>x−4
x2 − 9 − 1
s√
x2 − 5x + 4 − 2
√
≥x−6
2− x−2
s√
x+4+2
√
≥x−4
2− x+4
XI. Resolver las siguientes inecuaciones exponenciales:
1) 4x − 9(2x ) < −8
57
58
Matemática I
√
322x+5
√ !4x
1 2(x−4)
2
3)
>
16
2
2x−1
x+2
p
p
4) 3 (0,5) 2 > 6 (0,25) 3
q
q x
x+1
2)
√
x+1
8x+3 <
(x−2)2
3
5)
4
2x+1
2x+1
Walter Arriaga Delgado
x−1
2
≤
8
3x−1
(2)(3)x+1
XII. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:
1) Hallar (y/x) con x, y ∈ Z en: x + y > 6 ; x − y < 2 ; y < 4
x+1
> 2 ; (x − 1)2 (x − 3)(x + 4)3 < 0
2) (x − 4)(−2x + 1) > 0 ;
x−1
13x − 3
x
1
< +5+
3) 5x − 6 > 3x − 14 ; 5x + 6 < 2(x + 12) ;
4
3
12
XIII. Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto:
1) |2x + 9| = x − 1
2) |2x + 3| + 4 = 5x
3) |2x − 6| = |4 − 5x|
4) (x − 4)2 − 2|x − 4| − 15 = 0
5) |2x − 3| + 2 = |x − 6|
6) |x − 2| + 2|3 − x| = |x + 1|
7) |x + 3| − |x − 1| = x + 1
8) ||x − 1| − 1| = 1
9) ||x| − 5| = 2x − 3
10) |11 − x| + |3x − 15| + |4 − 4x| = |2x − 10| + 5|x − 1| + |x − 11|
11) ||x2 − 1| − x| = x
12)
x2
|x2 − 16|
=
x−1
x+4
XIV. Hallar el valor de:
|5x − 20| − |3x − 20|
,
x
|12 + 5x| − |12 − 4x|
2)
,
x
|7x + 10| − |5x − 10|
3)
,
2x
|5x + 12| − 2|2x − 6|
4)
,
3x
1)
si x ∈ h−3, −2i
si x ∈ h1, 3i
si x ∈ h0, 1i
si x ∈ h0, 3i
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
XV. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto:
1) |2x − 5| < 3
2) |4x − 3| > x + 2
3)
x+1
x−2
<
x−2
x+3
4) |x − 1|2 + 2|x − 1| − 3 ≤ 0
5) |x3 − 1| ≤ x2 + x + 1
6) ||x| − 2| ≤ 1
7) |2x|2 > x + 3
8) |2x − 6| − |x − 2| ≤ |2x − 4| − |x − 3|
9) |8x − 1| ≤ 5|x − 1| + |3x + 4|
10) |x + 4| − |2x + 3| ≤ 4
11) 2|x + 1| − 3|x − 2| + |x − 5| ≤ x + 2
12) |2 − |4 − 3x|| ≥ 1
13) |x|3 < |x|
14) |x − 4| − |x − 2| ≤ |x − 1|
15) |2x − 6| + |15 − 5x| = 14
16) |x|3 + |x| − 3 = x3
17) |x + 1| + |x + 2| = 3
18) 3|x − 3|2 − 14|x − 3| − 5 = 0
|x| − 1
19)
≥0
2−x
√
20) 2 − x ≤ |x|
|x − 2| − |3x + 1|
21)
≤0
|2x − 1| − |x + 1|
x−4
x
22)
<
|x + 4|
4
|x|3 − 4x2 + 20
≥4
|x| + 1
(|x| − 1)(|x| − 2)(|x| − 3)(|x| − 4)
24)
≥0
(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)
23)
25)
26)
x2
x−1
1
<
− 4x + 8
x−1
x−2
1
≥
x
x−2
59
60
Matemática I
27) p
x2 − 16
|x − 4| − |x − 1|
√
28) 2|x|−1 ≥ 2|x|

|2x − 3| > 17
29)
|2x + 2| ≤ 17
Walter Arriaga Delgado
>0
XVI. Hallar el número M tal que:
1 3
x+2
1)
≤ M , si x ∈
,
x−2
2 2
2)
3)
x+3
≤ M,
x−5
x−3
< M,
x+4
si x ∈ [2, 4]
si |x| < 2
x2 − 6x + 2
4)
≤ M,
x+5
−9
si x ∈
,4
2
XVII. Resolver las siguientes ecuaciones con máximo entero:
1) J3xK = x + 2
s
{
|x − 2| + 3
2)
=5
2
XVIII. Resolver las siguientes inecuaciones con máximo entero:
{
s 2
x +1
<2
1)
x+2
XIX. Resolver las siguientes inecuaciones logarı́tmicas:
1) log5 (3x − 5) > log5 (7 − 2x)
2) log2 (|x − 2| − 1) > 1
3) log1/2 |2x − 3| > −3
2
|x + 4x| + 3
4) log7
≥0
x2 + |x − 5|
XX. Resolver las siguientes problemas:
1) Hallar un número de dos cifras, sabiendo que la suma de ellas es mayor que 10 y que
la diferencia entre la cifra de las decenas y el duplo de las unidades es mayor que 4.
2) Sabiendo que un lado de un triángulo es 65m, el otro 15m y el tercer lado es un número
exacto de metros que termina en 5. Calcular cuál (o cuáles) puede ser la longitud de
ese tercer lado.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
61
3) Leonardo, Alessandra y Grace son hermanos. Grace tiene 11 años; Leonardo tiene 5
años más que Alessandra, y la suma de los años de Leonardo y Alessandra no alcanzan
a los de Grace. ¿Cuántos años tiene Alessandra si su edad es un número impar?
4) Se desea saber el mayor número de lapiceros que hay en una caja, sabiendo que si al
doble del número de estos se le disminuye en 7, el resultado es mayor que 29 y si al
triple se le disminuye en 5, el resultado es menor que el doble del número aumentado
en 16.
5) En la librerı́a de la SGI “Luchando por la Paz Mundial”, el Dr. Daisaku Ikeda obsequia
1000 libros y le quedan mas de la mitad de los que tenı́a. Si luego obsequia 502 le
quedan menos de 500. Cuántos libros tenı́a?.
6) Tres cazadores Ricardo, José, Manuel reúnen mas de 8 canes. José piensa traer 4
canes más, con la cual tendrı́a más canes que entre Ricardo y Manuel. Se sabe que
José tiene menos canes que Manuel y los que este tiene no llegan a 5. Cuántos canes
tiene cada cazador?.
7) Un paciente recibió inulina para medir su tasa de filtración glomerular [T F G]. En el
curso de la medición, la tasa de flujo urinario se modifica deliberadamente dándole a
beber grandes cantidades de agua. La concentración plasmática de inulina (mg/ml),
[P ], se mantiene constante a 1.5 mg/ml mediante venoclisis. La tasa de flujo urinario
[U ]V
V es constante a 2 ml/min. Si [T F G] =
varı́a entre 90 y 100 ml/min, inclusive,
P
antes y después de ingerir agua, ¿cómo varı́a la concentración de inulina, [U ], en la
orina?
R. 67,5 ≤ [U ] ≤ 75
8) Se espera que la población P (en miles) de cierta ciudad crezca según la fórmula
√
P = 16 + 2t − 2, donde t es el tiempo en años. Utilizando inecuaciones, determine
el intervalo de tiempo para el cual la población sea a lo más 20 mil habitantes.
R. Entre 1 y 9 años.
9) Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas
con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pública decidió comenzar un tratamiento con un costoso medicamento a las personas que tengan un 6 % de
sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad del plomo en la sangre cox2 + 5x + 6
mo efecto de x gramos del medicamento, viene dado por la relación P = 2
,
x +x+1
con P expresado en %. ¿Al menos cuantos gramos deben administrarse para que el
porcentaje de plomo sea menor que 2 %?
R. h4, ∞i. Interpretación: Se debe suministrar un poco más de 4 gramos del medicamento para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %.
62
Matemática I
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10) Pasados t minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo,
10000
el número de bacterias está dado por N = 2
+ 2000. Determinar a partir de
t +1
qué momento el número de bacterias está por debajo de 4000
R. h2, ∞i. Interpretación: El número de bacterias será menor a 4000, si el tiempo es
mayor a 2 minutos.
11) Para que un medicamento tenga efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguı́neo debe ser mayor que cierto valor; llamado este último “nivel terapéutico mı́nimo”. Suponga que la concentración C (mg/l) de cierto fármaco al transcurrir t horas
20t
después de su ingestión está dada por C = 2
. Si el nivel terapéutico mı́nimo es
t +4
de 4 mg/l, entonces dentro de cuánto tiempo se excederá este nivel.
R. h1, 4i. Interpretación: El nivel terapéutico mı́nimo se excederá entre la 1° y la 4°
hora de la ingesta del medicamento.
12) El virus sincicial respiratorio (VSR) es el microbio más común que causa infecciones
en los pulmones y en las vı́as respiratorias en los bebés y en los niños pequeños. La
mayorı́a de los niños ha tenido esta infección hacia la edad de 2 años. El virus se
disemina a través de diminutas gotitas que van al aire cuando una persona enferma
se suena la nariz, tose o estornuda. Se ha establecido que el virus sincicial respiratorio
que ataca preferentemente a los niños se debe a dos factores que son: la posibilidad
de contagio C = 2x2 − 5x + 4, la disminución de ciertas vitaminas en el organismo
V = x2 + 6x − 8. Ambas expresiones dependen de la edad x. Si se estima que los
mayores trastornos producidos por este virus se producen cuando la diferencia entre
ambos factores es menor que 12 ¿Cuáles son las edades de mayor riesgo para contraer
esta enfermedad?.
13) Una persona se ha intoxicado al ingerir accidentalmente un medicamento vencido.
Se estima que el porcentaje de sangre contaminada t horas después de ocurrida la
intoxicación es p(t) = 18t − t2 . Se considera el paciente en riesgo vital cuando el
porcentaje de sangre contaminada es más de un 65 %.
Indique Dom(p) de acuerdo al contexto del problema.
¿En qué intervalo de tiempo el paciente está fuera de riesgo vital?
2
RELACIONES Y FUNCIONES
Objetivos:
z Determinar el dominio y el rango de relaciones y su inversa, como el inicio del estudio
de los fenómenos en los cuales está presente la relación causa – efecto.
z Trazar graficas de secciones cónicas, determinando el dominio y el rango de las mismas,
como ejemplo de relaciones de gran aplicación en el campo de la ciencia.
z Valorar el estudio de la geometrı́a analı́tica como pilar del pensamiento geométrico que
necesita un profesional en ciencias e ingenierı́a.
2.1.
Introducción
Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes tanto en las Matemáticas como
en sus aplicaciones, especialmente en Informática. Ejemplos prácticos de relaciones son las de
orden y divisibilidad entre números, las relaciones de equivalencia entre los datos de entrada
de un programa en cuanto a la detección de posibles errores de programación (validación de
programas), la relación de dependencia entre las distintas fases producción en una industria
o la agrupación de datos aislados en complejas bases de datos con relaciones de dependencia
entre sus campos. Desde el punto de vista matemático, estas relaciones se pueden describir
simplemente como subconjuntos de un cierto producto cartesiano.
De entre los diversos tipos de relaciones, las funciones pueden considerarse un caso especial
en donde se interpreta que uno de los campos es el resultado de realizar una cierta operación
con el resto.
Asimismo, las relaciones de equivalencia describen similitudes entre elementos con respecto
a una propiedad particular, y las relaciones de orden establecen una jerarquı́a con respecto
a un criterio fijado. Por último, las relaciones entre múltiples conjuntos son el fundamento
matemático del modelo relacional de bases de datos, que es el más extendido hoy en dı́a por
63
64
Matemática I
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su simplicidad, su potencia y su coherencia teórica y práctica.
Por ésta razón, las relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teorı́a como
en las aplicaciones a la informática.
Una estructura de datos tales como una lista, una matriz o un árbol, se usan para representar conjuntos e elementos junto con una relación entre los mismos.
Las relaciones que son parte de un modelo matemático están a menudo implı́citamente
representadas por relaciones en una estructura de datos.
Aplicaciones numéricas, recuperación de información y problemas de redes son algunos
ejemplos donde las relaciones ocurren como parte de la descripción del problema, y la manipulación de relaciones es importante en la resolución de procedimientos.
Las relaciones también juegan un importante papel en la teorı́a de computación, incluyendo
estructuras de programas y análisis de algoritmos.
Como concepto fundamental relación significa conexión o correspondencia entre dos entes
u objetos. Ası́ por ejemplo las expresiones “padre de”, “hermano de”, etc., son relaciones entre
seres vivos, mientras expresiones como “mayor que”, “múltiplo de”, etc. denotan relaciones
entre números. Ası́ de lo anterior podemos concluir que relación es un conjunto de parejas que
satisfacen determinada condición.
Un ejemplo de aplicación de las relaciones binarias es la gestión de la matriculación de
alumnos en una universidad. La estructura necesaria se puede considerar como una relación
entre dos conjuntos de elementos: los alumnos y las asignaturas, por la que cada alumno
está relacionado con todas las asignaturas que cursa y cada asignatura con todos los alumnos
que se han matriculado de la misma. Eventualmente, podrı́amos decidir almacenar la cualificación que el alumno ha obtenido de las asignaturas1 , y entonces obtenemos relaciones binarias
etiquetadas.
Abad
Adrianzen
Arce
CD
LM
LP
GA
×
×
×
×
×
×
×
×
TAN
AL
×
×
×
×
Cuadro 2.1: Representación de la relación alumnos – asignaturas
Donde:
1
El aspa significa que el alumno cursa la asignatura.
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CD
=
Cálculo Diferencial.
LM
=
Lógica Matemática.
LP
=
Lenguaje de Programación.
GA
=
Geometrı́a Analı́tica.
TAN
=
Teorı́a Algebraica de los Números.
AL
=
Algebra Lı́neal.
2.2.
65
Producto Cartesiano
2.2.1.
Par Ordenado
Es un conjunto de dos elementos denotado y definido por:
(a, b) = {{a}, {a, b}}
Donde:
“a”: es primera componente
“b”: segunda componente
Esta definición tiene el nombre de par de Kuratowski2 , y es bien básica, porque requiere
de apenas pocos axiomas para poder ser formulada (el axioma de extensión, el axioma de
separación y el axioma del par).
2.2.2.
Igualdad de pares ordenados
Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales sı́ y solo sı́ se cumple que:
(a, b) = (c, d)
⇐⇒
a=c
∧
b=d
Ejemplo 2.2.1. Hallar el mayor valor posible de a + b en:
(a2 , 9b − 1) = (6b − a , a3 )
Solución:
Si a2 = 6b − a entonces a2 + a = 6b de donde:
a(a + 1) = 6b
(2.1)
Si 9b − 1 = a3 entonces 9b = a3 + 1, luego 9b = (a + 1)(a2 − a + 1) de donde:
(a + 1)(a2 − a + 1) = 9b
2
(2.2)
Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 2 de febrero de 1896 al 18 de junio de 1980) fue un matemático y lógico
polaco.
66
Matemática I
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Dividiendo las ecuaciones (2.1) y (2.2) se tiene:
a2
a
2
=
−a+1
3
entonces (2a − 1)(a − 2) = 0, resolviendo se tiene: a = 2, b = 1 ó a = 1/2, b = 1/8. Por lo
tanto el mayor valor de a + b es 3.
2.2.3.
Producto Cartesiano
Dados dos conjuntos no vacı́os A y B se define el producto cartesiano A × B como el
conjunto de pares ordenados:
A × B = {(a, b)/a ∈ A y
b ∈ B}
Observación 2.2.1.
(a, b) ∈ A × B ⇔ a ∈ A ∧ b ∈ B
(a, b) ∈
/ A×B ⇔ a ∈
/A∨b∈
/B
Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana o diagrama cartesiano que consiste en trazar unos ejes perpendiculares, en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto A y en el eje vertical los elementos del conjunto B,
los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen
al trazar por los elementos del conjunto A paralelas al eje vertical y por los elementos del
conjunto B paralelas al eje horizontal.
Ejemplo 2.2.2. Sea A = {1, 2, 3}, B = {a, b} entonces:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Usando el diagrama cartesiano se tiene:
B
b
a
1
2
3
A
Figura 2.1: Diagrama cartesiano
Para saber el número de elementos del producto cartesiano nos fijaremos en el diagrama
de árbol, cuyo resultado surge de multiplicar el número de elementos del conjunto A por los
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
67
del conjunto B. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados,
el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de
maneras de ser llevado a cabo. También se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
A
B
a
A×B
(1, a)
b
(1, b)
a
(2, a)
b
(2, b)
a
(3, a)
b
(3, b)
1
2
3
Figura 2.2: Diagrama del árbol
En total se tiene 6 elementos de A × B.
Usando el diagrama sagital o diagrama de flechas se tiene:
A
B
1
a
2
b
3
Figura 2.3: Diagrama de flechas
En general, si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos respectivamente,
entonces el producto cartesiano A × B tieme mn elementos, es decir
n(A × B) = n(A) · n(B)
El concepto de producto cartesiano puede extenderse a 2 ó más conjuntos no vacı́os:
A × B × C = {(a, b, c)/a ∈ A
∧
b∈B
extendiendo el concepto de terna ordenada:
{a, b, c} = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}
∧
c ∈ C}
68
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Propiedades
Si A 6= B, entonces A × B 6= B × A, es decir el producto cartesiano no es conmutativo.
A×B =B×A
⇐⇒
A = B.
A × φ = φ × A = φ.
A×B =φ
⇐⇒
A = φ ó
B = φ.
A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
A × (B − C) = (A × B) − (A × C)
(A × B) × C 6= A × (B × C)
A⊂B
=⇒
A⊂C
y
(A × C) ⊂ (B × C)
B⊂D
⇐⇒
(A × B) ⊂ (C × D)
(A′ × B ′ ) ⊂ (A × B)′
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D)
(A × B) ∪ (C × D) ⊂ (A ∪ C) × (B ∪ D)
2.3.
Relación
Definición 2.3.1. Dados dos conjuntos no vacı́os A y B. Un conjunto R de pares ordenados
se llama Relación o Relación Binaria de A en B si es un subconjunto de A × B.
R es una relación de A en B ⇐⇒ R ⊂ A × B
Si R es una relación de A a B entonces un elemento (a, b) ∈ R será denotado como: aRb.
Para denotar que a no está relacionado con b por R se escribirá aRb.
Para representar una relación binaria definida en un conjunto finito se puede utilizar un
diagrama sagital, de modo que si aRb entonces se dibuja una flecha desde a hasta b. La flecha
será un bucle cuando un elemento esté relacionado consigo mismo.
Por ejemplo, dado el conjunto A = {a, b, c, d}, se verifica que el diagrama sagital de la
relación binaria R = {(a, a), (a, c), (b, b), (b, c), (c, d), (d, c)} es:
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Matemática I
69
b
a
d
c
2.3.1.
Dominio y Rango de una Relación
Definición 2.3.2. Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las
primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota por Dom(R) y se
simboliza:
R : A −→ B
Dom(R) = {x ∈ A/∃y ∈ B, (x, y) ∈ R}
Definición 2.3.3. Se llama rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las
segundas componentes de los pares ordenados de la relación. Se denota por Ran(R) y se
simboliza:
R : A −→ B
Ran(R) = {y ∈ B/∃x ∈ A, (x, y) ∈ R}
Observación 2.3.1. Dom(R) ⊆ A, Ran(R) ⊆ B. Si A = B se dice que R es una relación en
A.
Ejemplo 2.3.1. Sea A = {1; 2; 3} y R la relación “menor que” en A; esto es: aRb si y sólo si
a < b. Se puede ilustrar lo anterior con un diagrama:
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
1
2
3
donde cada elemento de este arreglo es un elemento de A × A y, (1,3); (2,3) y (1,2) son los
pares ordenados de la relación R. En este ejemplo: Dom(R) = {1; 2}, Ran(R) = {2; 3}.
Propiedades: Sean R1 y R2 dos relaciones entre A y B, entonces:
D.1: Dom(R1 ∪ R2 ) = Dom(R1 ) ∪ Dom(R2 )
D.2: Dom(R1 ∩ R2 ) ⊂ Dom(R1 ) ∩ Dom(R2 )
D.3: Dom(R1 − R2 ) ⊃ Dom(R1 ) − Dom(R2 )
R.1: Ran(R1 ∪ R2 ) = Ran(R1 ) ∪ Ran(R2 )
70
Matemática I
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R.2: Ran(R1 ∩ R2 ) ⊂ Ran(R1 ) ∩ Ran(R2 )
R.3: Ran(R1 − R2 ) ⊃ Ran(R1 ) − Ran(R2 )
2.3.2.
Relación inversa
Sea R una relación de A en B, se denomina relación inversa o recı́proca de R, al conjunto
definido por:
R∗ = R−1 = {(b, a) ∈ B × A / (a, b) ∈ R}
esto es: (b, a) ∈ R−1 si y sólo si (a, b) ∈ R
Propiedades: Dadas las relaciones R ⊂ A × B, S ⊂ A × B y sus respectivas relaciones
inversas R∗ ⊂ B × A, S∗ ⊂ B × A, se cumple que:
Dom(R∗ ) = Ran(R)
Ran(R∗ ) = Dom(R)
(R ∪ S)∗ = R∗ ∪ S∗
(R ∩ S)∗ = R∗ ∩ S∗
(R − S)∗ = R∗ − S∗
La gráfica de R∗ es simétrica a la gráfica de R con respecto a la recta y = x.
2.3.3.
Composición de relaciones
Dadas las relaciones R ⊂ A × B y S ⊂ B × C, la relación R compuesta con S, denotada
por R ◦ S, es la relación de A en C, definida por:
R ◦ S = {(x, z) ∈ A × C / ∃ y ∈ B, (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S}
Propiedades:
R ◦ S 6= S ◦ R
R ◦ R∗ 6= R∗ ◦ R
(R ◦ S) ◦ T = R ◦ (S ◦ T)
(R ◦ S)∗ = S∗ ◦ R∗
Ejemplo 2.3.2. Sean los conjuntos A = {1; 2; 3}, B = {4; 5; 6} y C = {2; 3; 4}, definamos la
relación R = {(1, 4); (1, 5); (2, 6); (3, 4)} de A en B, y la relación S = {(4, 2); (4, 3); (6, 2)} de
B en C. Luego podemos observar que:
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71
S ◦ R = {(1, 2); (1, 3); (3, 2); (3, 3); (2, 2)}
R∗ = {(4, 1); (5, 1); (6, 2); (4, 3)}
S∗ = {(2, 4); (3, 4); (2, 6)}
R∗ ◦ S∗ = {(2, 1); (3, 1); (2, 3); (3, 3); (2, 2)}
(S ◦ R)∗ = {(2, 1); (3, 1); (2, 3); (3, 3); (2, 2)}
(R ◦ S) y (S∗ ◦ R∗ ) no están definidos.
2.3.4.
Tipos de relaciones
Las propiedades que pueden cumplir las relaciones binarias son:
Relación Reflexiva
Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se dice que es reflexiva si
todo elemento de A está relacionado consigo mismo mediante R.
R : A −→ A, es reflexiva ⇐⇒ ∀x ∈ A entonces (x, x) ∈ R
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de reflexividad.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).
Cuando una relación es lo opuesto a una reflexiva, es decir, cuando ningún elemento de A
está relacionado consigo mismo mediante R, entonces decimos que es antirreflexiva, o irreflexiva, lo que denotamos formalmente por:
∀x ∈ A, ∼ (xRx)
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de antirreflexividad.
Gráficamente, R es reflexiva si todos los elementos tienen bucle. No lo es si hay algún
elemento que no tenga bucle.
b
b
a
a
d
c
R no es reflexiva
Ejemplo 2.3.3. Sea A un conjunto cualquiera:
d
c
R es reflexiva
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Matemática I
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La relación de congruencia de figuras en geometrı́a es una relación reflexiva puesto que
toda figura es congruente a si misma.
La relación de paralelismo k entre dos rectas en el plano es reflexiva, porque toda recta
es paralela a sı́ misma.
La relación de inclusión ⊂ es reflexiva, porque todo conjunto esta contenido en sı́ mismo.
Sea (A, ≥), ≥ (“mayor o igual que”) es reflexiva, pero > (“mayor estricto que”) no
lo es.
Sea (A, ≤), ≤ (“menor o igual que”) es reflexiva, pero < (“menor estricto que”) no
lo es.
Sea (A, =), = (la igualdad matemática), es reflexiva.
Sea (A, ⊆), ⊆ (la inclusión de conjuntos), es reflexiva.
Sea (N\{0}, \), \ (la divisibilidad) es reflexiva.
Sea (A, >), > (“mayor estricto que”) es antirreflexiva, al igual que < (“menor estricto
que”).
La relación de perpendicularidad ⊥ entre dos rectas en el plano es antirreflexiva, porque
una recta no puede ser perpendicular a sı́ misma.
Las relaciones Ser padre de y Ser madre de son antirreflexivas, porque en ningún caso
alguien puede ser padre o madre de sı́ mismo.
Relación Simétrica
Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se dice que es simétrica
cuando se tiene que si un elemento está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro
también está relacionado con el primero.
R : A −→ A, es simétrica
⇐⇒ (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R
En tal caso, decimos que R cumple con la propiedad de simetrı́a.
La aplicación de cualquier relación R sobre un conjunto A, se representa con el par ordenado (A, R).
Cuando una relación es lo opuesto a una simétrica, es decir, cuando se da que si un elemento
está relacionado con otro mediante R, entonces ese otro no está relacionado con el primero,
entonces decimos que es asimétrica, lo que denotamos formalmente por:
∀x, y ∈ A, xRy ⇒ y ∼ Rx
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73
En este caso, decimos que R cumple con la propiedad de asimetrı́a.
Gráficamente, R es simétrica si todos los elementos que están relacionados entre sı́ tienen
doble flecha. No lo es si hay alguna flecha que no sea doble.
b
b
a
a
d
d
c
R no es simétrica
c
R es simétrica
Ejemplo 2.3.4. Sea A un conjunto cualquiera:
La congruencia de triángulos es una relación simétrica pues si un triángulo X es congruente con un triángulo Y , entonces Y es congruente con X.
La relación de paralelismo k entre dos rectas en el plano es simétrica, puesto que si
L1 k L2 entonces L2 k L1 .
La perpendicularidad entre rectas de un plano es una relación simétrica puesto que: si
L1 ⊥ L2 entonces L2 ⊥ L1 .
Sea (A, =), = (la igualdad matemática), es simétrica.
Sea (A, ∪), ∪ es simétrica.
Sea (A, ∩), ∩ es simétrica.
La relación definida por “x es hermano de y” es simétrica.
“Estar casado con” es una relación simétrica, mientras que “ser más alto que” no lo es.
Sea (A, >),
> (“mayor estricto que”) es asimétrica, al igual que < (“menor estricto
que”).
Sea (A, ⊂), ⊂ (la inclusión estricta de conjuntos), es asimétrica.
Observación 2.3.2. La simetrı́a no es lo opuesto de la antisimetrı́a.
Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad),
otras que no son simétricas ni antisimétricas (como la divisibilidad), otras que son simétricas
pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación “menor que”).
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Relación Transitiva
Dado un conjunto A para el cual se define una relación R en A, se dice que:
R : A −→ A, es transitiva
⇐⇒ (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R
Esta propiedad es conocida como transitividad.
Gráficamente, R es transitiva si todos los grupos de 3 elementos relacionados de la forma:
a −→ b −→ c tienen también la flecha de a hacia c: a −→ c. No lo es si hay alguna flecha
doble.
b
b
a
a
d
d
c
R no es transitiva
c
R es transitiva
Ejemplo 2.3.5.
La relación de paralelismo k entre dos rectas en el plano es transitiva, puesto que si
L1 k L2 y L2 k L3 entonces L1 k L3 .
La relación binaria “menor que” en los enteros es transitiva: Si a < b y b < c entonces
a < c. Ası́, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2 < 7. En general
las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son
transitivas.
La relación binaria “divide a” en los enteros también es transitiva. Denotando por a|b
a la expresión “a divide a b”: Si a|b y b|c entonces a|c. Dado que 3|12 (3 divide a 12) y
12|48 (12 divide a 48), la transitividad establece que 3|48 (3 divide a 48).
La inclusión de conjuntos es una relación transitiva, pues si: A ⊂ B y B ⊂ C, entonces
A ⊂ C.
La implicación en Lógica es también una relación transitiva (Principio del silogismo
hipotético): p → q y q → r entonces p → r.
Sin embargo, no todas las relaciones binarias son transitivas. La relación “no es subconjunto de” no es transitiva. Por ejemplo, si X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3, 4, 5}, Z = {1, 2, 3, 4}.
Entonces se cumple X 6⊂ Y y Y 6⊂ Z pero no se cumple X 6⊂ Z puesto que X si es
subconjunto de Z.
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75
Otro ejemplo de relación binaria que no es transitiva es “ser la mitad de”: 5 es la mitad
de 10 y 10 es la mitad de 20, pero 5 no es la mitad de 20.
Relación de Equivalencia
Una relación R definida en un conjunto A es una relación de equivalencia, si y sólo si, se
verifica que es: Reflexiva, Simétrica y Transitiva.
Ejemplo 2.3.6.
La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia.
La relación de paralelismo k entre dos rectas en el plano es de equivalencia.
La relación de perpendicularidad ⊥ entre dos rectas en el plano no es de equivalencia.
Relación Antisimétrica
Una relación R definida en un conjunto A es una antisimétrica, cuando se da que si dos
elementos de A se relacionan entre sı́ mediante R, entonces estos elementos son iguales. Es
decir:
R : A −→ A, es antisimétrica
⇐⇒ (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∈ R entonces x = y
La antisimetrı́a no es lo opuesto de la simetrı́a. Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas
(como la divisibilidad para los enteros), otras que son simétricas pero no antisimétricas (como
la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como
la relación “menor que”).
Gráficamente, R es antisimétrica si todos los elementos que están relacionados entre sı́ tienen flecha simple. No lo es si hay alguna flecha doble.
b
b
a
a
d
d
c
c
R no es antisimétrica
R es antisimétrica
Ejemplo 2.3.7. Sea A un conjunto cualquiera:
Sea (A, ≥), ≥ (“mayor o igual que”) es antisimétrica.
76
Matemática I
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Sea (A, ≤), ≤ (“menor o igual que”) es antisimétrica.
La relación “x divide a y” es antisimétrica.
La relación “ser más alto que” es antisimétrica.
Relación de Orden
Una relación R definida en un conjunto A es una relación de orden si cumple las propiedades
de: Reflexividad, Antisimetrı́a y Transitividad.
Ejemplo 2.3.8.
Dado (N, ≤), ≤ es una relación de orden.
Ejemplo 2.3.9. Sea A = {1; 2; 3; 4}, definamos las siguientes realciones:
R = {(1, 2); (2, 3)}
S = {(1, 1); (2, 2); (1, 2); (2, 1); (3, 4)}
T = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (4, 4)}
entonces:
R no es reflexiva, no es simétrica, no es transitiva, es antisimétrica.
S no es reflexiva, no es simétrica, es transitiva, no es antisimétrica.
T es reflexiva, es simétrica, es transitiva, es antisimétrica.
Se puede también tener una idea gráfica de las propiedades anteriores. Por ejemplo, si
A = {1; 2; 3; 4}, entonces para que R sea reflexiva, debe contener al menos la diagonal principal.
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
1
2
3
4
si R es simétrica, entonces su gráfico debe ser simétrico con respecto a la diagonal principal:
Ası́, si (2,3) y (4,2) son elementos de R entonces (3,2) y (2,4) deben también estar en R.
2.4.
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos del espacio euclı́deo equivale a la longitud del segmento de
recta que los une, expresado numéricamente.
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Matemática I
77
La distancia entre los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), que se denota por d = d(P, Q)
cumple la siguiente condición:
d2 = |x2 − x1 |2 + |y2 − y1 |2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
entonces
d(P, Q) =
2.5.
p
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Gráficas de Relaciones
Definición 2.5.1. Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas
propiedades geométricas. Cualquier figura geométrica se puede definir como el lugar geométrico
de los puntos que cumplen ciertas propiedades si y solo si todos los puntos de dicha figura
cumplen esas propiedades y todo punto que las cumple pertenece a la figura.
Es un conjunto de puntos formados por el producto entre dos conjuntos tales que un subconjuntos de ellos satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplo 2.5.1. Estos son varios ejemplos de lugares geométricos en el plano:
El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos puntos dados es una recta, llamada
mediatriz.
El lugar geométrico de los puntos que equidistan a dos rectas son las dos bisectrices de
los dos ángulos determinados por dichas rectas, si estas son secantes, o la paralela media,
si éstas son paralelas.
Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares geométricos:
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al centro es un
valor dado (el radio).
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que, la suma de las distancias de
los puntos hasta los focos es un valor dado.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que, las distancias de los puntos
al foco y a la directriz son iguales.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que, la diferencia de distancias
entre los focos es un valor dado.
Figuras muy complejas pueden ser descritas mediante el lugar geométrico generado por
los ceros de una función o de un polinomio. Por ejemplo, las cuádricas están definidas como el
78
Matemática I
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lugar geométrico de los ceros de polinomios cuadráticos. En general, los lugares geométricos
generados por los ceros del conjunto de polinomios reciben el nombre de variedad algebraica,
las propiedades de dichas variedades se estudian en la geometrı́a algebraica.
2.6.
La Lı́nea Recta
La recta o lı́nea recta, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos
puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de lı́nea más corto que une dos
puntos).
Según uno de los postulados de Euclides establece que: Por dos puntos diferentes sólo pasa
una lı́nea recta.
Ecuaciones de la recta
La forma general de la recta está dada por:
R = {(x, y) / Ax + By + C = 0}
Definición 2.6.1. Se llama pendiente de la recta L, al valor de la tangente de su ángulo de
inclinación α, y se le denota con la letra m.
y1 − y0
x1 − x0
donde (x1 , y1 ) = Q ∈ L, y (x0 , y0 ) ∈ L. El valor de la pendiente m será constante para cada
m = tan α =
recta, y proporciona una medida de su inclinación con respecto al eje X.
Y
L
P
Q
P0
X
Figura 2.4: La recta
Ası́, la ecuación de una recta no vertical L queda completamente determinada si se indican
su pendiente m, y las coordenadas del punto de paso (x0 , y0 ).
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Matemática I
79
Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:
y − y0 = m(x − x0 )
Esta forma de obtener la ecuación de una recta se le debe a Jean Baptiste Biot.3 y se
denomina la forma PUNTO – PENDIENTE.
Consideremos ahora como punto de paso al punto (0, b) en el cual L intercepta al eje Y ,
entonces
L:
y = mx + b
esta forma proporciona directamente la pendiente m como el coeficiente de la variable x,
mientras que el término independiente b indica el punto en el eje Y donde la recta L lo corta.
2.7.
Secciones cónicas
Una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor
de otra recta fija, llamada vértice, a la que corta de modo oblicuo.
La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con
un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.
La circunferencia es un caso particular de elipse.
g
e
v
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año
350 (Menachmus) donde las definieron como secciones de un cono circular recto. Los nombres
de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perga. Actualmente, las secciones
3
Jean-Baptiste Biott fue un fı́sico, astrónomo y matemático francés. Nació el 21 de abril de 1774, en Parı́s
y falleció el 3 de febrero de 1862 en la misma ciudad.
80
Matemática I
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cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas
de la matemática (como la geometrı́a analı́tica, la geometrı́a proyectiva, etc.)
Las curvas cónicas son importantes en astronomı́a: dos cuerpos masivos que interactúan
según la ley de la gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro
de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan
demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten
ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas
perfectas.
2.8.
La Parábola
La parábola es una sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano paralelo
a la directriz.
Figura 2.5: La parábola en el cono
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje
o directriz) y un punto fijo llamado foco.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que las gráficas
de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de
los cuerpos bajo la influencia de la gravedad.
Historia
La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del
problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante
el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo
y Eratóstenes.
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Matemática I
81
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se
desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos
emitidos desde su foco, propiedad usada hoy en dı́a en las antenas satelitales. La parábola
también fue estudiada por Arquı́medes, nuevamente en la búsqueda de una solución para un
problema famoso: la cuadratura del cı́rculo, dando como resultado el libro Sobre la cuadratura
de la parábola.
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al
eje de la parábola en dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas
satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un
emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene
su aplicación en pequeñas cocinas solares y grandes centrales captadoras de energı́a solar.
Analogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al
eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder
enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen
o divergen si el emisor se deplaza de la posición focal.
La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al eje. Analogamente, un emisor situado
en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje.
Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un receptor situado en el foco. El
mismo principio se aplica en una antena de radar.
Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se emplea en las grandes centrales captadoras de energı́a solar.
Los faros de los automóviles envı́an haces de luz paralelos, si la bombilla se situa en el foco
de una superficie parabólica.
Ecuaciones de la parábola
De forma implicita:
R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Dx + Ey + F = 0}
R = {(x, y) ∈ R2 / Cy 2 + Dx + Ey + F = 0}
De forma explicita:
R = {(x, y) ∈ R2 / y = ax2 + bx + c}
R = {(x, y) ∈ R2 / x = ay 2 + by + c}
Completando trinomios cuadrados perfectos:
R = {(x, y) ∈ R2 / y − k = 4p(x − h)2 }
82
Matemática I
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R = {(x, y) ∈ R2 / x − h = 4p(y − k)2 }
Donde el vertice está dado por V (h, k). Para la parábola y −k = 4p(x−h)2 , si el parámetro
4p es positivo, la parábola se abre hacia arriba y cuando es negativo se abre hacia abajo. Para
la parábola x − h = 4p(y − k)2 , si el parámetro 4p es positivo, la parábola se abre hacia la
derecha y cuando es negativo se abre hacia la izquierda.
Y
Y
V (h, k)
k
k
V (h, k)
0
h
X
0
(a) Para 4p > 0
X
h
(b) Para 4p < 0
Figura 2.6: Parábola de la forma: y − k = 4p(x − h)2
Y
Y
k
0
V (h, k)
k
X
h
(a) Para 4p > 0
V (h, k)
0
h
X
(b) Para 4p < 0
Figura 2.7: Parábola de la forma: x − h = 4p(y − k)2
2.9.
La Circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo,
llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del cı́rculo
en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada,
es decir, la circunferencia es el perı́metro del cı́rculo cuya superficie contiene.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia
unitaria. Es una curva bidimensional con infinitos ejes de simetrı́a y sus aplicaciones son muy
numerosas.
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Matemática I
83
Figura 2.8: La circunferencia en el cono
La palabra circunferencia proviene del latı́n circumferentia que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor.
Durante mucho tiempo, se empleó el término cı́rculo para designar tanto la superficie,
como a la curva que lo delimita: la circunferencia.
En castellano, se suele utilizar el término geométrico disco, asociado al concepto cı́rculo, en
textos de topologı́a, una rama de las matemáticas. En cartografı́a se utiliza el término cı́rculo
como sinónimo de circunferencia, en expresiones como cı́rculo polar ártico.
No ocurre lo mismo en otros idiomas. En inglés, circle expresa el concepto de circunferencia
(curva cerrada plana equidistante del centro), mientras que circumference significa perı́metro
del cı́rculo (la longitud de la circunferencia). Sin embargo, disk se asocia al concepto de cı́rculo
(superficie plana limitada por una circunferencia).
En términos coloquiales (no estrictamente matemáticos) el uso de cı́rculo y circunferencia
es indistinto en algunas zonas geográficas por lo arraigado que está en la tradición, no obstante
se encuentra que circunferencia se asocia más frecuentemente con los conceptos de aro o anillo
en tanto que cı́rculo se asocia más frecuentemente con los conceptos de disco o plato.
Elementos de la circunferencia
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
Radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente,
pasa por el centro.
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud
máxima son los diámetros.
84
Matemática I
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Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos.
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia.
Arco, segmento curvilı́neo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Y
LT
R
C
X
Figura 2.9: Circunferencia
Circunferencias ortogonales
La familia de curvas en el plano x2 + y 2 = ax, x2 + y 2 = by, con a y b como parámetros, se
dicen ortogonales, pues en los puntos comunes, éstas se cortan ortogonalmente, es decir, sus
rectas tangentes en tales puntos son perpendiculares entre sı́.
2.10.
La Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias
a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva e igual a la distancia entre los
vértices.
Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetrı́a con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una
elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. Contenido
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Matemática I
85
10
5
–10 –8 –6 –4 –2
2
4
x
6
8 10
–5
–10
Figura 2.10: Circunferencias ortogonales
Figura 2.11: La elipse en el cono
Historia La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menaechmus, investigada por
Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección
cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler creı́a que la órbita de
Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol en
un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra “focus” y publicó su descubrimiento en 1609.
Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elı́ptica
alrededor del Sol.
Elementos de una elipse
La elipse posee un eje mayor, trazo AB (que equivale a 2a), y un eje menor, trazo CD;
la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de semieje, de tal manera que se los
denomina semieje mayor y semieje menor, respectivamente.
Sobre el eje mayor existen dos puntos F1 y F2 que se llaman focos.
El punto Q puede estar ubicado en cualquier lugar del perı́metro de la elipse.
86
Matemática I
2.11.
Walter Arriaga Delgado
La Hipérbola
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar
un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetrı́a con ángulo menor que el de la generatriz
respecto del eje de revolución.
Figura 2.12: La hipérbola en el cono
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante positiva igual a
la distancia entre los vértices.
Hipérbola deriva de la palabra griega uperbola, y es cognado de hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).
Historia Debido a la inclinación del corte, el plano de la hipérbola interseca ambas ramas
del cono.
Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo, en su estudio del
problema de la duplicación del cubo, donde demuestra la existencia de una solución mediante
el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo
y Eratóstenes.
Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas, considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se
desarrolla el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
Ecuaciones de la hipérbola
R = {(x, y) ∈ R2 / Ax2 + Cx2 + Dx + Ey + F = 0} donde A y C son de signos opuestos.
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Matemática I
87
Resumen
Dada la ecuación general:
Ax2 + Bxy + Cx2 + Dx + Ey + F = 0
(2.3)
Si A = B, la gráfica de la ecuación (2.3) es una circunferencia.
Si la ecuación general de dos variables (x, y) es de la forma:
ax2 + 2hxy + by 2 + 2gx + 2f y + c = 0
entonces:
Si h2 > ab, hipérbola.
Si h2 = ab, parábola.
Si h2 < ab, elipse.
Si a = b y h = 0, circunferencia (considerada un caso particular de elipse).
Figura 2.13: Cónicas
(2.4)
88
Matemática I
✍
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EJERCICIOS RESUELTOS
2.
I. Tipos de relaciones:
1. Sea A = {a, b, c, 8, 13}. Consideremos la relación binaria R = {(a, b), (b, c), (8, 13)}.
a) Completar la relación binaria R para que sea una relación de orden.
b) Completar la relación binaria R para que sea reflexiva y transitiva, pero no sea
simétrica ni antisimétrica.
c) Completar la relación del apartado b) para que sea una relación de equivalencia.
Solución:
a) Para que R sea una relacion de orden debe de ser reflexiva, antisimétrica y transitiva. Para ser reflexiva necesitamos anadir todos los pares (x, x) para cualquier
x ∈ A. La propiedad antisimétrica la conseguimos simplemente evitando que
los pares (x, y) e (y, x) con x 6= y aparezca a la vez en R. Por ultimo, para que
satisfaga la propiedad transitiva hemos de anadir los pares (x, z) siempre que
en R esten los pares (x, y) e (y, z) para cualesquiera x, y, z ∈ A, por ejemplo:
R = {(a, b), (b, c), (8, 13), (a, a), (b, b), (c, c), (8, 8), (13, 13), (a, c)}
de esta manera R es reflexiva, no es simétrica, es transitiva, es antisimétrica,
no es relación de equivalencia, es una relación de orden.
b) Ahora queremos que sea reflexiva y transitiva pero que no sea ni simetrica, ni
antisimetrica, para ellos añadimos todos los pares (x, x) para cualquier x ∈ A y
los pares (x, z) siempre que en R esten los pares (x, y) e (y, z) para cualesquiera
x, y, z ∈ A. Para evitar que sea antisimetica basta con que añadamos dos pares
(x, y) e (y, x) con x 6= y. Por último la simetrı́a se evita cuando tengamos en R
un par (x, y) y el par (y, x) no este en R, por ejemplo:
R = {(a, b), (b, c), (8, 13), (a, a), (b, b), (c, c), (8, 8), (13, 13), (a, c), (c, b)}
de esta manera R es reflexiva, no es simétrica, es transitiva, no es antisimétrica,
no es relación de equivalencia, no es relación de orden.
c) Para que la relación definida en el apartado b) sea una relación de equivalencia
debe de ser reflexiva, simétrica y transitiva. Como ya es reflexiva y transitiva,
sólo tenemos que añadir pares de manera que también sea simétrica. Para ello
basta con añadir el par (y, x) para cualquier par (x, y) que esté en R, ası́ por
ejemplo: R = {(a, b), (b, c), (8, 13), (a, a), (b, b), (c, c), (8, 8), (13, 13), (a, c), (c, b),
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Matemática I
89
(b, a), (13, 8), (c, a)}, de esta manera R es reflexiva, es simétrica, es transitiva,
no es antisimétrica, es una relación de equivalencia, no es relación de orden.
2. Sea A = {1, 2, 3}, definamos las siguientes relaciones:
R = {(1, 1), (2, 3), (a, 2), (3, b)} reflexiva
S = {(1, 3), (c, d)} simétrica
T = {(3, e), (2, 3)} transitiva
Hallar el valor de W = b − a + c − d + e
Solución:
Para que R sea reflexiva debe cumplirse que a = 2, b = 3
Para que S sea simétrica debe cumplirse que c = 3, d = 1
Para que T sea transitiva debe cumplirse que e = 3
∴ W =b−a+c−d+e =6
II. Resolver los siguientes ejercicios:
1. Sea el conjunto A = {2, 3, 4}, Si R1 = {(x, y) ∈ A2 / y 6= x}, R2 = {(x, y) ∈
A2 / y = x}, R3 = {(x, y) ∈ A2 / y − x = 1}. Hallar el valor de W = [n(R2 ) +
n(R3 )] ÷ n(R1 )
Solución:
R1 = {(x, y) ∈ A2 / y 6= x} = {(2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 3)}
R2 = {(x, y) ∈ A2 / y = x} = {(2, 2), (3, 3), (4, 4)}
R3 = {(x, y) ∈ A2 / y − x = 1} = {(2, 3), (3, 4)}
luego:
W =
3+2
5
n(R2 ) + n(R3 )
=
=
n(R1 )
6
6
∴ W =
5
6
III. Grafica de relaciones:
Graficar y calcular el dominio y rango de las siguientes relaciones:
1. R = {(x, y) ∈ R × R / 4 ≤ x2 + y 2 ≤ 16}
Solución:
90
Matemática I
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Y
1 2
3 4
X
Dom(R) = [−4, 4]
Ran(R) = [−4, 4]
La gráfica corresponde a una corona circular que viene a ser una figura geométrica
plana delimitada por dos circunferencias concéntricas.
Para determinar el área de una corona circular se usa la fórmula:
A = (R2 − r 2 )π
A = (42 − 22 )π = 12π
Para determinar el perı́metro o longitud de una corona circular se usa la fórmula:
L = 2(R + r)π
L = 2(4 + 2)π = 12π
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✍
91
EJERCICIOS PROPUESTOS
2.
I. Indicar que propiedades verifican las siguientes relaciones:
R1
R2
R3
b
b
a
b
a
d
e
c
R4
a
d
c
c
R5
R6
b
a
b
b
a
a
d
c
c
Relación
R1
c
R2
R3
R4
R5
R6
Reflexiva
Simétrica
Antisimétrica
Transitiva
De Equivalencia
De Orden
II. Indicar que propiedades verifican las siguientes relaciones:
1) R = {(x, y) ∈ A2 / x = y ó x + y = 5}. Donde: A = {1; 2; 3; 4}.
2) R = {(x, y)) ∈ A2 / “x divide exactamente a y”}. Donde: A = {2, 4, 6, 8}.
3) R = {(x, y) ∈ Q × Q/ x − y ≤ 3, y − x ≤ 4}.
4) R = {(x, y) ∈ N × N/xy es par}.
5) R = {(x, y) ∈ Z × Z/x2 + y = y 2 + x}.
6) R = {(x, y) ∈ Z × Z/xy = n2 , para algún n ∈ Z}.
7) R = {(x, y) ∈ Z × Z/x ≤ |y|}.
92
Matemática I
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8) R = {(x, y) ∈ Z × Z / x − y = 3m, m ∈ Z}
9) R = {(x, y) ∈ Z × Z / xy ≥ 0}
III. Resolver:
1) Dados
los conjuntos:
2n − 1
+
+
A= x∈Z /x=
∧ n∈Z
3
B = x ∈ Z+ / x2 + 1 ≤ 12
Hallar n[(B ∩ A) × (B − A)].
2) Hallar el cardinal de A × B:
A = {x ∈ Z / − 8 < x − 2 ≤ 8}
B = x ∈ Z / 100 < x2 < 256 .
3) Si P (a, a + 1) es un punto que equidista de A(2, 1) y B(−6, 5), hallar el valor de “a”.
4) Dadas las relaciones:
R = {(2; 7), (0; 1), (1; 0), (9; 6), (−1; −1), (8; 8)}
S = {(7; 6), (1; 2), (0; 3), (−1; 4), (−2; 5)}
Hallar el cardinal de R ◦ S.
5) Si A = {1, 2, 3, 4, 5} se define la relación:
R = {(1, 1); (2, 2); (3, 3); (5, 1); (5, 4); (5, 2); (4, 3); (3, 5)}.
Si M = {x ∈ A / (x, 2) ∈ R};
N = {y ∈ A / (3, y) ∈ R};
P = {x ∈ A / (x, 5) ∈ R}. Hallar (M ∪ N ) − P.
6) Dado el conjunto A = {1; 2; 3; 4} y la relación R definida por:
R = {(2, 2); (2, 1); (1, 1); (4, 4); (3, c); (a, b); (a, c); (2, 3); (c, b); (3, 1)}. Si R es una rela-
ción de equivalencia en A. Calcular el valor de: (a + b + c)2 .
7) Si consideramos que: (x2 +3x, y 2 −7y) = (−2, −12). Hallar M N ; donde M es el mayor
valor de x, y N es el menor valor de y.
8) Hallar el mı́nimo valor de x + y, sabiendo que: (x3 − 19, x2 y − 6) = (y 3 , xy 2 ); x, y ∈ Z.
9) Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y R = {(x, y) ∈ A2 / x + y 6= 8}. Calcular n(R).
10) Si A = {5, 6, 7}, definimos las siguientes relaciones:
R1 = {(x, y) ∈ A2 / x + y es un número primo}
R2 = {(a, b) ∈ A2 / ab es impar}.
Calcular n(R1 × R2 ).
11) Hallar el área de la región definida por las inecuaciones:
R1 = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≥ 1}
R2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≤ 1}
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
93
12) Hallar el área y el perı́metro de la región que resulta de la gráfica de R2 − R1 , donde:
R1 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < 9}
R2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 ≤ 16}
13) Hallar el área de T ∩ Q, si:
Q = {(x, y) ∈ R2 / (x + 1)2 + (y − 2)2 ≤ 6}
T = {(x, y) ∈ R2 / |x + 1| + |y − 2| ≥ 2}
14) Dadas las relaciones:
R1 = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≤ 4}
R2 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 ≥ 8}.
Hallar el área de la región R1 ∩ R2
15) Dadas las relaciones en R2 :
R1 = {(x, y) / x2 + 3y 2 − 4x + 6y − 20 ≤ 0}
R2 = {(x, y) / |x − 2| + |y + 1| ≥ 3}.
Hallar el área de la región R1 ∩ R2
16) Sean R = {(x, y) ∈ R2 / |x + 2| − |y − 3| ≥ 4}, S = {(x, y) ∈ R2 / |x + 2| ≤ 6},
T = {(x, y) ∈ R2 / |y − 3| ≤ 4}. Hallar el área de R ∩ S ∩ T .
17) Consideremos los conjuntos A = {1, 3, 5} y B = {2, 4, 6}, se definen las relaciones
R1 = {(x, y) ∈ A × B / x + y = 7};
R2 = {(x, y) ∈ A × B / y = 6}.
Hallar la suma de todos los elementos de D(R1 −R2 ) ∪ R(R1 −R2 ) .
IV. Grafica de relaciones:
Graficar y calcular el dominio y rango de las siguientes relaciones:
1) R = {(x, y) ∈ R × R / 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4}
2) R = {(x, y) ∈ R × R/y 2 = x2 + 9}
3) R = {(x, y) ∈ R × R / (2 − y)2 = 9 − x2 }
√
4) R = {(x, y) ∈ R2 / y + 2 = 5 + 4x − x2 }
5) R = {(x, y) ∈ R2 / 4y + x2 − 4x = 0}
6) R = {(x, y) ∈ R2 / y 2 − 6y − 4x + 5 = 0}
7) R = {(x, y) ∈ R2 / 16x2 + 9y 2 − 64x + 18y − 71 = 0}
8) R = {(x, y) ∈ R2 / x2 − 4y 2 + 2x + 24y − 51 = 0}
9) R = {(x, y) ∈ R2 / |x − 3| + |y − 1| = 3}
10) R = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 − 8x + 4y + 11 ≤ 0}
11) R = {(x, y) ∈ R2 / x2 ≤ 4 − y 2 , 2x + 3y > y + 4}
94
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
12) R = {(x, y) ∈ R2 / y ≤ 6 − x2 , y ≥ x2 − 2}
13) R = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≤ 5}. Hallar el área y el perı́metro.
14) R = {(x, y) ∈ R2 / |x| + |y| ≤ 5, |y| − |x| ≥ 3}. Hallar el área de la región.
15) R = {(x, y) ∈ R2 / y − x2 + 10x ≥ 24 , x + y − 6 < 0}
16) R = {(x, y) ∈ R × R / |y| ≥ x2 , |y| ≤ |x|}
1
2
√
17) R = (x, y) ∈ R / y = √
x 2+ 2
√
18) R = {(x, y) ∈ R2 / y = 3x + 6 + 3x − log(25)}
r
19) Hallar el dominio de: R = (x, y) ∈ R × R/ y =
49
x − 12
− 36
+
(x + 2)2
x+2
20) Hallar la sumade los valores enteros del complemento del dominio de la siguiente
x2 − 4
relación: W = (x, y) ∈ R2 / 2y =
+ log(x2 − 4)
x+2
21) Hallar el rango de la relación: Q = {(x, y) ∈ R2 / y = x2 + 4x + 8}
22) Hallar el dominio de la relación: R = {(x, y) ∈ R2 /
(x − 2)2 (y − 1)2
+
= 1}
9
4
23) Hallar el complemento del rango de la relación:
(x + 3)2 (y − 1)2
R = {(x, y) ∈ R2 /
−
= 1}
4
9
V. Relación inversa:
1) Si A = {2, 4, 6} y B = {0, 4, 6} se define la relación: R = {(x, y) ∈ A × B / x + y ≤ 8}.
−1
Hallar: Dom(R−1
1 ) ∩ Ran(R1 )
(
2x + 5
2) Dada la relación H = (x, y) ∈ R2 / y =
+
x−2
Hallar el rango de la relación inversa de H.
VI. Aplicaciones a la Biologı́a:
1)
VII. Curiosidades:
1) Carita feliz. Dadas las siguientes relaciones:
R1 = {(x, y) ∈ R2 / (x + 3)2 + (y − 3)2 = 1}
R2 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 3)2 + (y − 3)2 = 1}
R3 = {(x, y) ∈ R2 / 4(x + 3)2 + (y − 3)2 ≤ 1}
R4 = {(x, y) ∈ R2 / 4(x − 3)2 + (y − 3)2 ≤ 1}
R5 = {(x, y) ∈ R2 / y ≥ 2|x| − 1 ; y ≤ 1}
R6 = {(x, y) ∈ R2 / 9(y + 4) = 2x2 ; y ≤ −2}
R7 = {(x, y) ∈ R2 / y = −2 ; x ∈ [−3, 3]}
√
5
)
x3 + 3x2 + 5x
.
25
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
R8 = {(x, y) ∈ R2 / − 1 ≤ x ≤ 0 ; −3 ≤ y ≤ −2}
R9 = {(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤ 1 ; −3 ≤ y ≤ −2}
R10 = {(x, y) ∈ R2 / x2 + y 2 = 36}
10
[
Graficar R =
Ri
i=1
2) Bart Simpson. Dadas las siguientes relaciones:
R1 = {(x, y) ∈ R2 / 14x + 3y = −40 ; 3 ≤ y ≤ 15}
R2 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 3/2)2 + (y − 13/2)2 = 9}
R3 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 6)2 + (y − 8)2 = 9 ; 20x + 42y ≥ 443}
R4 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 23/2)2 + (y − 3)2 = 49/4 ; 27x − 10y ≤ 235}
R5 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 7/2)2 + (y + 2)2 = 1 ; 18x − 2y ≥ 69}
R6 = {(x, y) ∈ R2 / 8x + y = 67 ; 10,8 ≤ y ≤ 19}
R7 = {(x, y) ∈ R2 / (x + 7/2)2 + (y − 3/2)2 = 9/4 ; x ≤ −5/2}
R8 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 5/2)2 + (y − 15/2)2 ≤ 1/4}
R9 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 13/2)2 + (y − 17/2)2 ≤ 1/4}
4(x − 4)2
4y 2
R10 = {(x, y) ∈ R2 /
+
= 1 ; x − 5y ≥ 5}
121
9
2
2
R11 = {(x, y) ∈ R / (x + 1/2) + 4(y + 4)2 = 9 ; 10x − 118 ≥ 437}
R12 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 15/2)2 + (y − 5)2 = 9/4 ; x ≥ 7}
R13 = {(x, y) ∈ R2 / 4y − x = 19 ; 5 ≤ x ≤ 7}
R14 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 5)2 + (y − 13/2)2 = 1/4 ; x + y ≤ 11}
4(y + 9)2
R15 = {(x, y) ∈ R2 / (x − 3)2 +
= 1 ; x ≥ 7/2 ; −11 ≤ y ≤ −5}
81
2
2
R16 = {(x, y) ∈ R / (x − 7/2) + (y + 9/2)2 = 9/4 ; 16x − 15y ≤ 101}
R17 = {(x, y) ∈ R2 / x = −3 ; −4,6 ≤ y ≤ 0}
R18 = {(x, y) ∈ R2 / (x + 3)2 + (y + 5)2 = 4 ; y ≥ x}
4x2 4
R19 = {(x, y) ∈ R2 /
+ (y + 9/2)2 = 1 ; 19x − 5y ≥ 30}
49
9
2
(x
+
5)
(y + 11)2
R20 = {(x, y) ∈ R2 /
+
= 1 ; −11 ≤ y ≤ −5}
9
36
2
2
2
R21 = {(x, y) ∈ R / 2(x − 2) + (y + 1) = 49 ; x ≥ 7/2 ; −11 ≤ y ≤ −5}
R22 = {(x, y) ∈ R2 / 6x + 8y = 97 ; −6,5 ≤ x ≤ −4,5}
R23 = {(x, y) ∈ R2 / 10x − 4y = −107 ; −4,5 ≤ x ≤ −3,5}
R24 = {(x, y) ∈ R2 / 2x + 2y = 29 ; −3,5 ≤ x ≤ −1,5}
R25 = {(x, y) ∈ R2 / 10x − 4y = −79 ; −1,5 ≤ x ≤ −0,5}
R26 = {(x, y) ∈ R2 / 6x + 8y = 145 ; −0,5 ≤ x ≤ 1,5}
R27 = {(x, y) ∈ R2 / 2x − y = −14 ; 1,5 ≤ x ≤ 2,5}
R28 = {(x, y) ∈ R2 / 4x + 3y = 67 = −14 ; 2,5 ≤ x ≤ 4}
R29 = {(x, y) ∈ R2 / x − y = −13 ; 4 ≤ x ≤ 6}
R30 = {(x, y) ∈ R2 / 4x + y = −9 ; −6,5 ≤ x ≤ −6}
95
96
Matemática I
Graficar R =
30
[
i=1
Ri
Walter Arriaga Delgado
3
FUNCIONES
Objetivos:
z Definir intuitiva y formalmente una función.
z Operar con funciones reales de variable real identificando correctamente el dominio y
rango, construyendo su gráfica e interpretando las caracterı́sticas que ella posee.
z Modelar matemáticamente un fenómeno para predecir su comportamiento en el futuro.
3.1.
Introducción
La resolución de problemas con información y datos recolectados de fenómenos fı́sicos
adquiere dı́a a dı́a mayor auge como alternativa de enseñanza en los salones de clases. Las
corrientes contextualitas han contribuido a integrar otras áreas (estadı́stica, geometrı́a, modelación y simulación matemática, etc.) en los cursos de Precálculo y Cálculo. Se ha observado
que, durante las últimas décadas, se han incorporado nuevas estrategias en la enseñanza de
las funciones y herramientas tecnológicas en el salón de clases.
El contenido sobre funciones cubre gran parte del contenido del curso de precálculo, este
concepto permite desarrollar el proceso de la simulación y modelación desde situaciones fı́sica
y geométrica, lo que también permitirá que se puedan exponer conocimientos matemáticos
en forma ágil y atractiva a los estudiantes. Hitt (2000) señaló que “a través de las funciones
podemos modelar matemáticamente un fenómeno de la vida real, describir y analizar relaciones de hechos sin necesidad de hacer a cada momento una descripción verbal o un cálculo
complicado de cada uno de los sucesos que estamos describiendo”.
La modelación relacionada con sistemas de representaciones integra: sı́mbolos, signos, figuras, gráficas y construcciones geométricas. Éstos expresan el concepto y suscriben en sı́ mismos
el modelo con el cual es posible interpretar y predecir comportamientos de fenómenos fı́sicos.
La simulación y la modelación son representaciones de un objeto matemático que está vincu97
98
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
lado a una situación fı́sica o real. Cuando se logra la simulación matemática en el salón de
clase, pueden rescatarse ideas intuitivas que la matemática formal excluye cuando se transita
de lo concreto a lo abstracto en la enseñanza del conocimiento matemático. Una simulación
es un intento por imitar o aproximarse a algo; por su parte, modelar significa construir una
representación de algo. La diferencia semántica reside en que un modelo es una representación
de estructuras, mientras que una simulación infiere un proceso o interacción entre las estructuras del modelo para crear un patrón de comportamiento. El término modelo se refiere a
la generalización conceptual que se abstrae de un grupo de experiencias con el propósito de
categorizar y sistematizar nuevas experiencias.
Cuando se modelan situaciones reales u otras que se enmarcan en el proceso cognitivo
de la adquisición del concepto de función, se provoca que el estudiante, al aproximarse a
fenómenos reales, analice y describa los siguientes elementos matemáticos: la significación de
objetos: simbólicos, verbales, gráficos, algebraicos y numéricos. En el proceso de simulación
y de modelación se produce la distinción de variables y la relación entre las variables, los
cuales a su vez impulsa la construcción de otros registros de representación. Monk (1992)
consideró que los modelos fı́sicos proveen a los estudiantes una visión del procesamiento de la
situación funcional, la cual puede ampliar en éstos las perspectivas que tienen acerca de las
funciones.
En este sentido, se considera que la enseñanza se dirige a planteamientos más dinámicos en
la adquisición del conocimiento. Por lo tanto, la simulación y la modelación son alternativas
de transferencia dinámica del conocimiento desde situaciones fı́sicas y geométricas hasta la estructuración mental en el proceso de aprendizaje. La simulación y la modelación matemáticas,
la matemática en contexto y la incorporación de la nueva tecnologı́a pueden fortalecer el proceso enseñanza – aprendizaje. Los procesos matemáticos son complicados en término de aislar
el problema que se esté tratando dentro de un contexto. Sin embargo, en la década pasada y lo
que va de ésta, una corriente de investigadores impulsa el uso de las matemáticas planteadas
desde contextos reales en la adquisición de conceptos. La simulación de fenómenos fı́sicos a
través del uso de la microcomputadora es imprescindible para la generación de procesos de la
matematización y formación de conceptos.
La situación del concepto de función en el entorno de la modelación Los autores de la
mayorı́a de los textos de Precálculo presentan el tema de las funciones tomando como referencias situaciones de correspondencias que se dan en el contexto fı́sico-real. En el ámbito
matemático, esta relación se considera como una clase de correspondencia llamada función.
La definición de este concepto, en muchas ocasiones, se reduce a establecer la relación entre
dos cantidades. Callahan & Hoffman (1995) afirman que: “Una función describe cómo una
cantidad depende de otra”. De forma general este concepto se presenta en tres modalidades:
como una relación con lo fı́sico–real, como representaciones y como definiciones. La utilidad de
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
99
las funciones y el estudio con distintas representaciones llevan a reflexionar sobre el potencial
didáctico que se tiene cuando se aborda la realidad con determinados esquemas mentales o
modelos matemáticos o a través de una simulación del problema real.
Como se mencionó anteriormente, las estrategias que se utilizan para aprender matemáticas
a partir de situaciones y fenómenos del mundo fı́sico han cobrado fuerza en los últimos años.
Éstas incluyen interpretar la realidad a partir de la identificación de las variables participantes,
la recolección de datos que se generan en las situaciones reales o simuladas y modelación de las
situaciones. La perspectiva correcta se da principalmente a partir del medio ambiente hacia
las matemáticas y no en la otra dirección.
El concepto de función responde a diferentes definiciones y etapas históricas. Las definiciones han sido alteradas conforme a los avances tecnológicos que se han promovido en la
enseñanza de la matemática (calculadoras gráficas, paquete de programación de instrucción
interactiva, entre otro). En este sentido, Hitt y Torres (1994) incluyen en su trabajo cuatro
definiciones. La definición dada en términos de variables que señala que: “cuando dos variables
están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un
valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de la segunda”. Muy distinta a
la ofrecida en términos de conjunto de pares ordenados: “una función es un conjunto de pares
ordenados de elementos tales que ningunos dos pares ordenados tienen tiene el mismo primer
elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio y
el conjunto de los segundos elementos rango de la función”. La definición como una regla de
correspondencia se explica de la siguiente manera: “una función f de un conjunto A un conjunto B es una regla de correspondencia que asignan a cada valor de x de cierto subconjunto
D de A un elemento determinado de manera única f (x) de B”. Y por último, la definición
en términos de máquina, más acorde con los tiempos: “una función es un procedimiento P
que toma una o más entradas que salidas, y que tiene la propiedad de que cualesquiera dos
llamadas a P con las misma entrada regresa a la misma salida”. Dubinsky, Schwingendorf &
Mathews (1994) incluyeron otras categorizaciones de las funciones: función como expresión,
función como “computer function”, función como sucesión.
3.2.
3.2.1.
Función
Evolución del concepto de función
Función desde el punto de vista analı́tico
Entre las motivaciones que contribuyeron a la evolución del concepto de función se encuentra la extensión del concepto de número al de números reales, la creación del algebra
simbólica, los problemas de movimiento, la unión entre algebra y geometrı́a. continuación se
100
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
seleccionaron algunas de las definiciones dadas por grandes matemáticos a lo largo de la historia, se muestran en orden cronológico para resaltar como ha ido evolucionando el concepto,
como cada nueva definición enriquece la anterior y la generaliza.
Gregory (1638 – 1675). Es uno de los primeros en definir una función: “Una cantidad que
se obtiene de otras cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas o mediante
cualquier operación imaginable”. En la definición presentada por Gregory, se observa que
asume el concepto de función solo como cantidades que se obtenı́an a partir de operaciones
fundamentales.
Leibniz (1646 – 1716). En 1692 usó la palabra función para referirse a “cualquier cantidad
que varı́a de un punto a otro, de una curva, tal como la longitud de la tangente, de la normal,
de la subtangente y de la ordenada”. Esta definición muestra que el autor para llegar a la
definición debe tener claro conceptos como variable, constantes, coordenadas y parámetros en
términos de un segmento constante, arbitrario o como una cantidad.
Euler (1707 – 1783). Después de haber planteado varias definiciones y definir nociones
iniciales como constante y cantidad variable, usa la idea de dependencia arbitraria entre cantidades variables, y propone una definición moderna: “Si algunas cantidades dependen de otras
cantidades de modo que si las últimas cambian, las primeras también lo hacen, entonces las
primeras cantidades se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es de naturaleza
amplia e incluye cada método por el cual una cantidad pudiera ser determinada por otras. Si
por consiguiente, x denota una cantidad variable, entonces toda cantidad la cual depende de
x en cualquier manera o este determinada por ella es llamada una función de ella”. Euler en
sus primeras definiciones tuvo en cuenta los conceptos de variable, constante y otros términos
relacionados para incluirlos en ella, después se dio cuenta que para definir este concepto debı́an
aceptarse curvas arbitrarias, es decir, que no satisfacen ninguna ley analı́tica. Tenı́a en cuenta
el concepto de discontinuidad, pero más adelante fue refutado por Cauchy y Fourier.
Lagrange (1736 – 1813) presenta una definición de carácter más general, pero pasando
la representación geométrica cada vez más a un segundo plano: “Llamamos función a toda
expresión matemática de una o varias cantidades en la cual estas aparecen de cualquier manera,
relacionadas o no con algunas otras cantidades que son consideradas como constantes, mientras
las cantidades de la función pueden tomar todos los valores posibles”. Para desarrollar su
definición, Lagrange toma en cuenta el concepto de función continua y función diferenciable,
aunque se limita nuevamente a las funciones analı́ticas.
Fourier (1772 – 1837). Contribuyó a la evolución del concepto de función al considerar la
temperatura como función de dos variables: “Una función f (x) representa una sucesión de
valores u ordenadas, cada una de las cuales es arbitraria”. Fourier tiene en cuenta la discontinuidad al igual que Dirichlet quien generaliza para luego dar paso a definiciones de variable
compleja. Fourier demostró que algunas funciones podı́an representarse por las llamadas series
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
101
de Fourier, en donde la diferencia de funciones continuas y discontinuas no existı́a.
Dirichlet (1805 – 1859). Fue el primero en establecer una función como una correspondencia, “y es una función de la variable x, definida en el intervalo a < x < b, si para todo valor
de la variable x en ese intervalo, le corresponde un valor determinado de la variable y” por lo
tanto, el concepto de función adquiere ya un significado independiente de expresión analı́tica
y sugiere una separación entre el concepto y su representación. Dirichlet es quien generaliza
para luego dar paso a definiciones de variable compleja.
Hankel (1839 – 1873) admirador de Dirichlet, define una función ası́: “se dice que y es
función de x si a cada valor de x de un cierto intervalo corresponde un valor bien definido
de y, pero sin que esto exija que y sea definida sobre todo el intervalo por la misma ley en
función de x, ni tampoco que y sea definida por una expresión matemática explı́cita de x”.
Esta definición es la que se conoce y se trabaja en la mayorı́a de cursos de cálculo, el estudio
de las funciones por este camino conduce a la teorı́a de funciones que lleva a la caracterización
de ellas expresables analı́ticamente.
Función desde el punto de vista conjuntista
Gracias a la teorı́a de conjuntos en los años 70 del siglo XIX se abrió la posibilidad de
expresar la relación funcional entre dos conjuntos abstractos no necesariamente numéricos.
La primera definición que aparece la presenta Dedekind en 1887 de la siguiente manera:
“Por una representación φ de un sistema dado entendemos a una ley, de acuerdo a la cual
a cada elemento determinado s de un sistema se le asocia un determinado objeto que se
denomina imagen de s y se denota por el sı́mbolo φ(s); es posible decir que φ(s) se obtiene de
s por medio de la representación, o que s es transformado en φ(s) por la representación φ”.
Dedekind designa al sistema como conjunto y a la representación como función.
Georg Cantor creador de la teorı́a de conjuntos extiende la noción de función como: “toda
correspondencia arbitraria que satisfaga la condición de unicidad entre conjuntos numéricos y
no numéricos”.
Los dos autores anteriores no definı́an explı́citamente lo que significaba sistema (conjunto)
y representación (función), Peano elimina esta dificultad dejando como única noción indefinida
la de conjunto. Define primero el producto cartesiano de conjuntos como: X ×Y = {(x, y) : x ∈
X, y ∈ Y }, después el de relación como un subconjunto determinado del producto cartesiano
R ⊂ X × Y y el de función como una relación especial: “Si dos pares ordenados (x, y) y
(x, z) con el mismo primer elemento están en la relación funcional f , entonces necesariamente
y = z”.
Esta definición abstracta se repite en otros textos y en especial el trabajado por los Bourbaki que en 1939 escribe: “Sean E y F dos conjuntos, diferentes o no. Una relación entre una
variable x de E y una variable y de F se dice relación funcional de E hacia F , si, cualquiera
102
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
que sea x de E, existe un elemento y de F , y uno solo, que esté en la relación considerada con
x. Se da el nombre de función a la operación que asocia ası́ a todo elemento x de E el elemento
y de F que se encuentra en la relación dada con x; se dice que y es el valor de la función para
el elemento x, y que la función está determinada por la relación funcional determinada”.
3.3.
Definición de función
Para hablar de una función, por lo tanto, será necesario que escojamos una letra o sı́mbolo
con el que podamos representar cada una de las dos magnitudes. Normalmente utilizamos x
e y, pero en otras ocasiones se recurre a letras relacionadas con el nombre de las magnitudes
que entran en juego; por ejemplo, p y q para los precios (prices) y las cantidades (quantity),
respectivamente.
Cuando tratamos con funciones que relacionan dos magnitudes, una de éstas se conoce
como variable independiente, a la que podemos otorgarle los valores, y otra que se denomina
variable dependiente, que, como su propio nombre indica, depende del valor que le hayamos
asignado a la independiente. Los papeles de ambas variables pueden ser, a menudo, intercambiables, y en determinadas ocasiones nos interesarı́a intercambiarlos. Sin embargo, es preciso
fijar las ideas: podemos modificar la variable independiente x, pero la variable dependiente y
está en función del valor que le hayamos dado a x.
Resulta cómodo identificar la función con una letra. En general, para representar la función
escribiremos:
y = f (x)
donde x y y son las variables y f simboliza la relación que asocia y con x.
Sean A y B dos conjuntos no vacı́os y sea f una relación binaria de A en B, esto es,
f ⊂ A × B. Se entiende por función de A en B a toda regla que asocia a cada elemento x del
conjunto A un único elemento y del conjunto B.
Notación:
f : A → B y se lee “f es una función de A en B”
Definición 3.3.1. f es una función de A en B si y sólo si satisface las siguientes condiciones:
f ⊂ A×B
(x, y) ∈ f
∧ (x, z) ∈ f
⇒ y=z
Ejemplo 3.3.1. En la figura (3.1) se observa que: f , g y h son funciones, en cambio j no es
función.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
103
f
g
A
1•
•4
2•
•5
B
A
•6
3•
2•
•5
B
•6
3•
•7
(a)
1•
•4
(b)
h
•7
j
A
1•
•4
2•
•5
B
A
•6
3•
•4
2•
•5
B
•6
3•
•7
(c)
1•
(d)
•7
Figura 3.1: Ejemplos
3.4.
Dominio Rango y Gráfica de una función
Definición 3.4.1. El dominio de una función f : A → B es el conjunto de todas las primeras
componentes x ∈ A (conjunto de partida) de los pares ordenados de f , esto es:
Dom(f ) = {x ∈ A / ∃y ∈ B, (x, y) ∈ f } = A
f
A
x•
Dom(f )
B
•y
Ran(f )
Figura 3.2: Dominio y rango de una función
Para el cálculo del dominio de funciones reales de variable real f : R → R se debe tener
en cuenta el siguiente criterio:
104
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
1. Para las funciones polinómicas: Si y = P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n,
entonces el dominio está dado por el conjunto de los números reales, es decir: Domf = R.
Por ejemplo:
La función f (x) = 2x5 + 3x3 − 5x2 + 1, se tiene que: Domf = R
La función f (x) = 3x12 + 25x3 + 17x + 1, se tiene que: Domf = R
P (x)
, donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m
Q(x)
y n respectivamente, entonces Q(x) 6= 0; esto nos plantea el problema de tener que excluir
2. Para las funciones racionales: Si y =
del dominio las raı́ces del polinomio denominador. Ası́ pues si al resolver la ecuación
Q(x) = 0 obtenemos como raı́ces x1 , x2 , . . . , xn , entonces: Domf = R − {x1 , x2 , . . . , xn };
en otras palabras, Domf = R − {x ∈ R/Q(x) = 0}. Por ejemplo:
Dada la función f (x) =
x+2
.
x2 −9
Al resolver la ecuación x2 − 9 = 0; obtenemos x1 = 3
y x2 = −3. Por lo tanto: Domf = R − {−3, 3}.
Dada la función f (x) =
2
.
x2 +1
Al resolver la ecuación x2 + 1 = 0; observamos que
no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por
lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto: Domf = R.
3. Para las funciones irracionales:
a) Si las funciones irracionales son de la forma f (x) =
p
2n+1
P (x), donde P (x) es un
polinomio de grado n entonces el dominio el conjunto de los números reales, es
decir: Domf = R
p
b) Si f (x) = 2n P (x), donde P (x) es un polinomio de grado n, entonces P (x) ≥ 0, y
ası́: Domf = {x ∈ R/P (x) ≥ 0}.
q
(x)
c) Si f (x) = 2n PQ(x)
, donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectivamente, entonces
P (x)
Q(x)
(x)
≥ 0, y ası́: Domf = {x ∈ R/ PQ(x)
≥ 0}.
P (x)
, donde P (x) y Q(x) son polinomios de grado m y n respectivad) Si f (x) = 2n√
Q(x)
mente, entonces Q(x) > 0, y ası́: Domf = {x ∈ R/Q(x) > 0}.
Definición 3.4.2. El rango de una función f : A → B es el conjunto de todas las segundas
componentes y ∈ B (conjunto de llegada) de los pares ordenados de f , esto es:
Ran(f ) = {y ∈ B / ∃x ∈ A, y = f (x)} ⊆ B
Para calcular el rango de una función real de variable real y = f (x) se despeja x en términos
de y, y luego se analiza para que valores de y, x es real.
Definición 3.4.3. Si f es una función f : A → B, su gráfica denotada por Gr(f ) está dada
por:
Gr(f ) = {(a, f (a)) / a ∈ Domf } ⊂ A × B
Walter Arriaga Delgado
3.5.
Matemática I
105
Funciones especiales
A continuación analizaremos la gráfica, dominio y rango de ciertas funciones:
3.5.1.
Función Constante
Se llama función constante o función polinómica de grado cero a la que no depende de
ninguna variable.
Es la función f : R −→ R, definida por:
f (x) = c
donde c es una constante real.
Su gráfica es una recta paralela al eje X, veamos la figura (3.3). Si c = 0, la gráfica coincide
con el eje X. Veamos la gráfica:
Y
c
0
X
Figura 3.3: Función Constante
Domf = R
Ranf = {c}
3.5.2.
Función Identidad
Es la función f : R −→ R, definida por:
f (x) = x
La función f (x) = x de R en R tiene como representación gráfica en el eje de coordenadas
la lı́nea recta que cruza el origen subiendo en un ángulo de 45° hacia la derecha, es decir es la
bisectriz del primer y tercer cuadrante. Veamos la gráfica:
Domf = R
Ranf = R
106
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Y
0
X
Figura 3.4: Función Identidad
3.5.3.
Función de primer grado
Una función de primer grado (se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de
una variable real) es aquella función f : R −→ R, definida por:
f (x) = mx + b
Donde m y b con constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función
afı́n.
La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afı́n
f (x) = mx + b tiene una función lineal asociada f (x) = mx. De hecho, una ecuación de la
forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda función afı́n tiene orden de crecimiento
lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.
Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma
y = mx + b, que se conoce como ecuación de la recta en el plano XY , dnde m es denominada
la pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen, el valor de y para x = 0, es el punto
(0, b). Veamos la gráfica:
Y
0
X
b
Figura 3.5: Función de primer grado
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
107
Domf = R
Ranf = R
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economı́a (uso de la oferta y la
demanda), los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta
y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por
ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el
artı́culo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artı́culo determinado
que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley
de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P = mx + b, donde P es el precio por
unidad del artı́culo y m y b son constantes. La gráfica de una ley de demanda se llama curva
de demanda lineal.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. El
resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información es que
el tiempo de reacción de una persona R, en milisegundos, es estadı́sticamente función lineal
del tamaño del conjunto de memoria N en los siguientes términos R = 38N + 397.
3.5.4.
Función Cuadrática
Una función polinómica de grado dos o función cuadrática es la que corresponde a un
polinomio en x de segundo grado, según la forma:
f (x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
Su gráfica es una parábola simétrica respecto a la recta vertical x = h, llamada eje de
simetrı́a, abierta hacia arriba si a > 0 [figura 3.6(a)] y hacia abajo si a < 0 [figura 3.6(b)].
Y
Y
V (h, k)
k
k
0
V (h, k)
h
X
0
(a) Para a > 0
Figura 3.6: Función Cuadrática
h
(b) Para a < 0
X
108
Matemática I
Para la figura 3.6(a)
Walter Arriaga Delgado
Para la figura 3.6(b)
Domf = R
Domf = R
Ranf = [k, +∞i
Ranf = h−∞, k]
Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la
siguiente manera:
f (x) = a(x − h)2 + k
A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el
par ordenado (h, k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se
parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:
2
Dado f (x) =
ax + bx+ c se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el
b
lineal f (x) = a x2 + x + c
a
Luego se completa
perfecto, sumando y restando para no alterar la
el trinomio2cuadrado
2
b
b
b
igualdad: f (x) = a x2 + x + 2 + c −
a
4a
4a
b 2
b2
Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: f (x) = a x +
+c−
2a
4a
−b
b2
sustituyendo: h =
, k =c−
2a
4a
la expresión queda: f (x) = a(x − h)2 + k.
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino
también en fı́sica y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una
pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un rı́o al caer desde lo alto de una montaña,
la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido
desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partı́cula es lanzada con una
velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingenierı́a civil, para resolver problemas especı́ficos tomando como
punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se
encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de
los organismos. Por ejemplo, el análisis del efecto nutricional en ratas que se alimentaron con
una dieta que contenı́a cierto porcentaje de proteı́na. La proteı́na consistió en yema de huevos
y harina de maı́z. Al variar el porcentaje P de yema en la mezcla de proteı́na, el grupo de
investigadores estimó el aumento promedio en peso (en gramos) de un animal durante un
1
cierto periodo fue F (p) en donde: F (p) = p2 + 2p + 20, 0 < P < 100
50
Existen fenómenos fı́sicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse.
Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
109
la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura H de una
1
partı́cula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por H = v0 t − gt2 ,
2
donde H es la altura, v0 es la velocidad inicial de la partı́cula, g es la constante de gravedad
y t es el tiempo.
3.5.5.
Función Raiz Cuadrada
La función raı́z cuadrada es aquella función de la forma:
f (x) =
√
x
Veamos la gráfica:
Y
0
X
Figura 3.7: Función raiz cuadrada
Domf = R+
0 = [0, +∞i
Ranf = R+
0 = [0, +∞i
3.5.6.
Función Polinómica
Las funciones polinómicas son aquellas funciones f (x) = P (x) definidas por:
P (x) =
n
X
k=0
ak xk = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · · + an xn
donde n es un entero positivo y a0 , a1 , a2 , . . . , an son constantes reales (a0 6= 0).
Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal
es un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado.
La función P (x) = 0 se considera como un polinomio pero no se le asigna ningún grado.
110
Matemática I
3.5.7.
Walter Arriaga Delgado
Función Seccionada
Las funciones seccionadas llamadas también funciones por tramos, por trozos o por partes
son aquellas funciones que tienen un comporamiento distinto dependiendo de los valores del
dominio. Es decir, si una función está definida por



f1 (x) ,





f2 (x) ,
f (x) =


f3 (x) ,





 ...
dos o más secciones, entonces:
x ∈ D1
x ∈ D2
x ∈ D3
tales que D1 ∩ D2 ∩ D3 ∩ . . . = φ, entonces G(f ) = G(f1 ) ∪ G(f2 ) ∪ G(f3 ) ∪ . . .
Domf = Domf1 ∪ Domf2 ∪ Domf3 ∪ . . .
Ranf = Ranf1 ∪ Ranf2 ∪ Ranf3 ∪ . . .

f1 (x) , si x > 0
Ahora la función f (x) =
puede ser expresada como:
f (x) , si x < 0
2

f1 (x) , si x > 0
x + |x|
x − |x|
= f (x)
f (x) =
+ g(x)
f (x) , si x < 0
2x
2x
2
Ejemplo 3.5.1. La función g(x) puede ser expresada como:

x2 , si x > 0
x + |x|
x − |x|
= x2
+ x3
g(x) =
x3 , si x < 0
2x
2x
Esta expresión es útil si desea graficar una función por tramos con una calculadora.
3.5.8.
Función Valor Absoluto
Es aquella función seccionada definida por:

x ,
f (x) = |x| =
−x ,
si x ≥ 0
si x < 0
Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se
llama distancia o módulo de x a cero.
Veamos la gráfica:
Domf = R
Ranf = R+
0 = [0, +∞i
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Matemática I
111
Y
y = −x
y=x
0
X
Figura 3.8: Función valor absoluto
3.5.9.
Función Escalón Unitario
En ingenierı́a es común encontrar funciones que corresponden a estados de sı́ o no, o bien
activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o
una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto
tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir
una función especial llamada función escalón unitario denotada por ua . La función escalón
de Heaviside, también llamada función escalón unitario, debe su nombre al matemático inglés
Oliver Heaviside1 está definido por:

0 , si x < a
f (x) = µa (x) = µ(x − a) =
1 , si x ≥ a
Tiene aplicaciones en ingenierı́a de control y procesamiento de señales, representando una
señal que se enciende en un tiempo especı́fico, y se queda prendida indefinidamente. Veamos
su gráfica:
Domf = R
Ranf = {0, 1}
3.5.10.
1
Función Signo
Es aquella función denotada por sgn(x), que se lee


−1 ,



f (x) = sgn(x) = 0 ,




1,
“signo de x” y está definida por:
si x < 0
si x = 0
si x > 0
Oliver Heaviside, radiotelegrafista y matemático inglés, nació en Londres (Inglaterra) el 18 de mayo de
1850, falleciendo en Torquay (Inglaterra) el 3 de febrero de 1925.
112
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Y
1
0
a
X
Figura 3.9: Función escalón unitario
equivalentemente:
Veamos la gráfica:

x


,
f (x) = sgn(x) = |x|

0 ,
si x 6= 0
si x = 0
Y
1
0
X
−1
Figura 3.10: Función signo
Domf = R
Ranf = {−1, 0, 1}
3.5.11.
Función Rampa
Es aquella función denotada por rampa(x), que se lee “rampa de x” y está definida por:
f (x) = rampa(x) =

0 ,
si x < 0
x , si x ≥ 0
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
113
equivalentemente:
f (x) = rampa =
x + |x|
2
Veamos la gráfica:
Y
X
Figura 3.11: Función rampa
Domf = R
Ranf = [0, ∞i
3.5.12.
Función Máximo Entero
Es aquella función seccionada definida por:
f (x) = JxK
donde JxK es el máximo entero no mayor que x, es decir, JxK = n ⇔ JxK = máx{n ∈ Z / n ≤ x}
JxK = n ⇔ n ≤ x < n + 1
Para trazar la gráfica de f (x) = JxK, especificaremos f para algunos intervalos de longitud
unitaria a cada lado del origen.
114
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
[n, n + 1i
..
.
JxK
..
.
y = f (x) = JxK
..
.
−3 ≤ x < −2
−3
y = −3
−1 ≤ x < 0
−1
y = −1
−2 ≤ x < −1
0≤x<1
−2
y = −2
0
y=0
1≤x<2
1
y=1
2
y=2
3≤x<4
..
.
3
..
.
y=3
..
.
2≤x<3
Veamos la gráfica:
4
Y
3
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
1
−1
2
3
4
5 X
−2
−3
−4
Figura 3.12: Función signo
La gráfica de la función está constituida por un segmentos unitario faltándole a cada uno
su extremo derecho, por ser intervalo cerrado en la izquierda y abierto derecha.
Domf = R =
∞
[
n∈ Z
Ranf = Z
[n, n + 1i
Walter Arriaga Delgado
3.6.
Matemática I
115
Tipo de Funciones
3.6.1.
Función Inyectiva
Una función f : A → B es inyectiva, univalente o uno a uno si para todo par de elementos
distintos del dominio, sus imágenes son distintas. Es decir:
Si
x1 6= x2
⇒
Si
f (x1 ) = f (x2 )
f (x1 ) 6= f (x2 )
∀x1 , x2 ∈ Domf
equivalentemente
⇒
x1 = x2
∀x1 , x2 ∈ Domf
Una función real f es inyectiva si no contiene dos pares ordenados con la misma segunda
componente.
geométricamente se reconoce que f es una función inyectiva cuando toda recta horizontal
corta a la gráfica de f a lo más en un punto.
3.6.2.
Función Sobreyectiva
Una función f : A → B es sobreyectiva, suryectiva, suprayectiva o epiyectiva si el rango de
f coincide con el conjunto de llegada B; es decir:
Ran(f ) = B
donde Ranf = f (A).
De la definición de función sobreyectiva, se sigue que toda función de la forma f : A →
Ranf , siempre será sobreyectiva.
Una función f : A → B es sobreyectiva si y solo si para cada elemento b ∈ B existe un
elemento a ∈ Domf = A (al menos uno), tal que b = f (a).
3.6.3.
Función Biyectiva
Una función f : A → B es biyectiva si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
3.7.
Caracterı́sticas de algunas funciones reales
1. Función Acotada: Una función es acotada cuando el valor absoluto de la función es
menor que cierto número real fijo, para cualquier valor de la variable. Es decir, f es
acotada si existe un número real M > 0 tal que |f (x)| < M , para todo x ∈ Domf , M
se llama cota de la función.
116
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M1 tal
que f (x) ≤ M1 , para todo x ∈ Domf . Este número real M1 recibe el nombre de cota
superior de la función f . Geométricamente significa que ninguna imagen es superior al
valor M1 y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = M1 .
Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real M2 tal
que f (x) ≥ M2 , para todo x ∈ Domf . Este número real M2 recibe el nombre de cota
inferior de la función f . Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior al
valor M2 y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de la recta y = M2 .
Una función se dice que está acotada si lo está inferior y superiormente.
2. Función Monótona: Una función f se dice que es monótona en un punto x0 cuando sea
creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto.
3. Función Creciente: Una función f es creciente en ha, bi si para todo x1 , x2 ∈ ha, bi
con x1 < x2 se cumple que f (x1 ) ≤ f (x2 ).
4. Función Extrictamente Creciente: Una función f es creciente en ha, bi si para todo
x1 , x2 ∈ ha, bi con x1 < x2 se cumple que f (x1 ) < f (x2 ).
5. Función Decreciente: Una función f es decreciente en ha, bi si para todo x1 , x2 ∈
ha, bi con x1 < x2 se cumple que f (x1 ) ≥ f (x2 ).
6. Función Extrictamente Decreciente: Una función f es decreciente en ha, bi si para
todo x1 , x2 ∈ ha, bi con x1 < x2 se cumple que f (x1 ) > f (x2 ).
7. Función Periódica: Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo,
T , llamado periodo, tal que para todo x ∈ Domf , x + T ∈ Domf y se verifica que
f (x + T ) = f (x). De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función
f , también lo es 2T , 3T , . . ., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo
positivo T , que recibe el nombre de periodo principal o propio.
El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por
periodicidad toda la gráfica.
8. Función Par: Una función f es par si para todo x ∈ Domf se cumple que: f (−x) =
f (x). La gráfica de la función es simétrica respecto al eje Y .
9. Función Impar: Una función f es impar si para todo x ∈ Domf se cumple que:
f (−x) = −f (x). La gráfica de la función es simétrica respecto al origen.
Teorema 3.7.1. Si una función f es creciente, entonces f es inyectiva.
Teorema 3.7.2. Si una función f es decreciente, entonces f es inyectiva.
Walter Arriaga Delgado
3.8.
Matemática I
117
Función Trigonométrica
Las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo; tienen importancia en el estudio
de la geometrı́a de los triángulos y en la representación de fenómenos periódicos, entre otras
muchas aplicaciones.
El estudio de las funciones trigonométricas se remonta a la época de Babilonia, y muchos
de los fundamentos del tema fueron desarrollados por matemáticos de la antigua Grecia, de
la India y estudiosos musulmanes.
El primer uso de la función seno aparece en el Sulba Sutras escrito en India desde el
Siglo VIII AC hasta el Siglo VI AC. Las funciones trigonométricas fueron estudiadas luego
por Hiparco de Nicea (180 a 125 AC), Aryabhata (476 a 550), Varahamihira, Brahmagupta,
Muh.ammad ibn Mu-sa- al-K-wa-rizmi-, Abu’l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir alDin Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath al-Kashi y Ulugh Beg (Siglo XIV), Madhava (c.
1400), Rheticus, y el alumno de éste, Valentin Otho. La obra de Leonhard Euler Introductio
in analysin infinitorum (1748) fue la que estableció el tratamiento analı́tico de las funciones
trigonométricas en Europa. definiéndolas como series infinitas presentadas en las llamadas
“Fórmulas de Euler”.
Las funciones trigonométricas son conocidas también como funciones no algebraicas o
trascendentes. Estudiemos el comportamiento geométrico de cada una de estas funciones.
1. Función Seno: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = sen(x). Veamos la
gráfica 3.13 y observemos que la función es periódica de periodo 2π.
Domf = R
Ranf = [−1, 1]
Figura 3.13: Función seno
118
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
2. Función Coseno: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = cos(x). Veamos
la gráfica 3.14 y observemos que la función es periódica de periodo 2π.
Domf = R
Ranf = [−1, 1]
Figura 3.14: Función coseno
3. Función Tangente: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = tan(x). Veamos
la gráfica 3.15(a) y observemos que la función es periódica de periodo π.
(2k + 1)π
Domf = R −
2
Ranf = R
4. Función Cotangente: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = cot(x). Veamos la gráfica 3.15(b) y observemos que la función es periódica de periodo π.
Domf = R − {kπ}
Ranf = R
5. Función Secante: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = sec(x). Veamos
la gráfica 3.15(c) y observemos que la función es periódica de periodo 2π.
(2k + 1)π
Domf = R −
2
Ranf = h−∞, −1] ∪ [1, ∞i
6. Función Cosecante: Es la función trigonométrica denotada por: f (x) = csc(x). Veamos
la gráfica 3.15(d) y observemos que la función es periódica de periodo 2π.
Domf = R − {kπ}
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
119
(a) Función tangente
(b) Función cotangente
(c) Función secante
(d) Función cosecante
Figura 3.15: Función trigonométrica
Ranf = h−∞, −1] ∪ [1, ∞i
A continuación veamos la figura (5.1) donde podemos observar las seis funciones trigonométricas.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, ası́ como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.
En Topografı́a se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo.
Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido
a ello ésta se aparta cada ves más de su vertical. Originalmente tenı́a una altura de 54,6m,
aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,
determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar
al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la
torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para
determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de
cierto material. Se ha determinado que el rayo de salida es paralelo al de entrada.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un
ángulo b y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran
entre los mismos.
120
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Figura 3.16: Funciones trigonométricas
El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en lı́nea
recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino
correcto.
3.9.
Función Exponencial
La función exponencial es aquella función trascendental de la forma
f (x) = ax
donde a > 0 y x ∈ R.
Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las
matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. Constituyen una herramienta
útil para describir magnitudes que crecen o decrecen en forma muy rápida proporcionalmente
a su tamaño. Se encuentran innumerables ejemplos de fenómenos que tienen este tipo de comportamiento, en la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades
y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biologı́a, reacciones de primer orden en quı́mica orbitales
moleculares en quı́mica fı́sica, economı́a, medicina y otras. Por ejemplo, en el crecimiento de
una población; cuando se analizan los censos de población humana y se buscan modelos que
permitan hacer proyecciones, frecuentemente aparecen funciones de crecimiento exponencial.
Veamos la gráfica (3.17) para los casos a > 1 y 0 < a < 1
Domf = R
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
(a) Para a > 1
121
(b) Para 0 < a < 1
Figura 3.17: Función exponencial
Ranf = h0, +∞i
Propiedades:
1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1).
2. En la gráfica 3.17(a) se puede observar que para a > 1 la función f es creciente.
3. En la gráfica 3.17(b) se puede observar que para 0 < a < 1 la función f es decreciente.
4. El eje de las x es una ası́ntota horizontal.
5. Las funciones exponenciales son uno a uno.
Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio
y en otras disciplinas. Veremos aquı́ algunas de esas aplicaciones.
1. Fórmula de interés compuesto
r nt
A=P 1+
m
donde:
A es la cantidad acumulada o valor futuro.
P es el principal de la inversión.
r es la tasa de interés anual.
n es el número de periodos de tiempo por año.
t es el número de años.
122
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
2. Fórmula de interés contı́nuo
A = P eit
donde:
A es la cantidad acumulada o valor futuro.
P es el principal de la inversión.
i es el interés anual.
t es el número de años de la inversión.
3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial
A(t) = A0 ekt
donde:
A es la cantidad acumulada luego de un tiempo t.
A0 es la cantidad inicial.
k es la constante de crecimiento o decaimiento.
t es el número de años de la inversión.
Si k > 0 hay crecimiento o aumento en el valor de A.
Si k < 0 el valor de A decae o decrece.
En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con
respecto al tiempo. Al tiempo requerido para que se produzca a la mitad la cantidad
inicial del elemento se denomina semivida.
4. Fórmula de enfriamiento de Newton
T (t) = Tm + (T0 − Tm )ekt
donde:
T es la temperatura del objeto en un tiempo t.
Tm es la temperatura del medio ambiente.
T0 es la temperatura inicial.
t es el tiempo.
k es una constante. Si k > 0, el cuerpo se calienta y si k < 0, el cuerpo se enfrı́a.
5. Fórmula del crecimiento logı́stico
P (t) =
donde:
P es la población en un tiempo t.
a, b, c son constantes, c > 0, b > 0.
c
1 + ae−bt
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
123
t es el tiempo en años.
c es la capacidad de crecimiento.
6. Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio
(elemento radioactivo ) descubierto por Marie Curie en 1898 decae exponencialmente de
acuerdo a la función:
m = m0 e−0,005t
donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa al cabo de un tiempo y t es el
tiempo en dı́as.
7. El crecimiento poblacional (Demografı́a) de una región o población en años, parece estar
sobre una curva de caracterı́stica exponencial que sugiere el modelo matemático dado
por:
N = N0 ekt
donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante.
(En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era
válida para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que
como la cantidad de alimentos crecı́a de manera lineal, el mundo no podı́a resolver el
problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante
en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se
conoce con el nombre de modelo Malthusiano).
8. En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera
que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución, si N es la cantidad
de fármaco presente en el cuerpo al tiempo t, entonces N = N0 ekt , en donde k es una
constante positiva y N0 es la cantidad presente al tiempo t = 0.
3.10.
Función Logaritmo
La función logaritmo es aquella función trascendental de la forma
f (x) = logb x
donde b > 0 y b 6= 1, además x ∈ R+ .
Veamos la gráfica (3.18) para los casos b > 1 y 0 < b < 1
Domf = h0, +∞i
Ranf = R
124
Matemática I
(a) Para b > 1
Walter Arriaga Delgado
(b) Para 0 < b < 1
Figura 3.18: Función logaritmo
Propiedades:
1. Las funciones exponenciales pasan por el punto (1,0).
2. En la gráfica 3.18(a) se puede observar que para b > 1 la función f es creciente.
3. En la gráfica 3.18(b) se puede observar que para 0 < b < 1 la función f es decreciente.
4. El eje de las y es una ası́ntota vertical.
5. Las funciones logarı́tmicas son uno a uno.
La geologı́a como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarı́tmicas para el
cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un
terremoto está definida como R = log(A/A0 ) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y
A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, localizado a 100 kilómetros
del epicentro del terremoto).
Los astrónomos utilizan ciertos cálculos de carácter logarı́tmico para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta, ellos utilizan la siguiente ecuación: M = −(5/2) log(B/B0 ),
donde B es la brillantez y B0 es una constante. Se concluye que la magnitud (M ) está dada
en función de una ecuación logarı́tmica.
En la fı́sica la función logarı́tmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede
mencionar el cálculo del volumen L en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la
siguiente ecuación L = 10 log(I/I0 ), donde I es la intensidad del sonido (la energı́a cayendo en
una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oı́do humano
puede oı́r (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de
65 decibeles.
Walter Arriaga Delgado
✍
Matemática I
125
EJERCICIOS RESUELTOS
3.
I. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones:
II. Determinar dominio, rango y esbozar la grafica de las siguientes funciones:
1. f (x) = |x − 1| + |x − 2|
Solución
Desarrollando
 cada valor absoluto
x − 1 , x ≥ 1
|x − 1| =
1 − x , x < 1

x − 2 , x ≥ 2
|x − 2| =
2 − x , x < 2
separando en intervalos
|x − 2|
2−x
2−x
x−2
|x − 1|
1−x
x−1
x−1
1
2
desarrollando la función f (x) = |x − 1| + |x − 2| en cada intervalo
Para h−∞, 1i
y = |x − 1| + |x − 2| = 3 − 2x
Para [1, 2i
y = |x − 1| + |x − 2| = 1
Para [2, ∞i
y = |x − 1| + |x − 2| = 2x − 3
Y
1
0
1
2
X
126
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
de donde se observa que:
Domf = R
Ranf = [0, ∞i
2. f (x) = |x| + JxK


x2 ,



p
3. f (x) = JxK + x − JxK,



√
−x,

|x + JxK|,
si
4. f (x) =
|x + Jx − 1K|, si
si x ∈ [1, 2i
si x ∈ [−1, 1i
si x ∈ [−4, −1i
JxK es par
JxK es impar
III. Hallar el rango de cada una de las siguientes funciones:
x−1
2x + 3
4x
2. f (x) = 2
x − 25
1. f (x) =
IV. Algebra de funciones
Calcular (f + g)(x), (f − g)(x), (f.g)(x), (f /g)(x), donde:
√


x2 + 16, x ∈ h−4, −2i


2x + 4,

,
g(x) =
1. f (x) = JxK − 2x, x ∈ [−1, 2i
|x2 − 2|,



 2
x ∈ h4, 6i
|x + 2|,
2. Calcular (f + g)(x), donde:
s
{

p

x + x |x| − 1 x + 3, x ∈ [2, 3i
f (x) =

x + a,
x ∈ hb, 1i
s p
{

√

2 − x
x2 − 1 x, x ∈ [1, 7i
g(x) =

x + c,
x ∈ h8, di
,
donde {a, b, c, d} ⊂ R.
V. Composición de funciones
Hallar (f ◦ g)(x), donde:

|x2 − 1|, x < 3
1. f (x) = √
 x2 + 1, x ≥ 3
VI. Aplicaciones:
i A la Geometrı́a
,
g(x) =

x,
x≥4
|x| − x, x ≤ 0
x ∈ h−3, −1i
x ∈ [−1, 5i
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
127
1. Una región rectangular tiene un perı́metro de 200 metros. Expresar el área de
la región como función de la longitud de uno de sus lados.
Solución
Sean x, y las longitudes del rectángulo
y
x
El área del rectángulo está dado por
A = xy
como el perı́metro viene dado por P = 2x + 2y, entonces 200 = 2x + 2y, luego
x + y = 100, despejando y se tiene y = 100 − x, y reemplazando en la ecuación
anterior se tiene A = x(100 − x)
∴
A(x) = 100x − x2
2. Una caja de caras laterales rectangulares sin tapa, tiene su base cuadrada y un
volumen de 2m3 . Expresar el área de la caja como función de uno de los lados
de la base.
Solución
Sea x la longitud de uno de los lados de la base cuadrada y sea y la longitud
de una de las caras de la caja
y
x
El área de la caja estarı́a dado por
Area = Area de la base + Area de las caras laterales
A = x2 + xy
128
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
ahora, el volumen de la caja es V = x2 y, entonces x2 y = 2, despejando
y se
2
2
2
tiene y = 2 , y reemplazando en la ecuación anterior se tiene A = x +4x
x
x2
∴
A(x) = x2 +
8
x
i A las Ciencias económicas y administrativas
i A las Ciencias sociales
i A la Quı́mica
i A la Biologı́a
i A la Medicina
1. Un paciente con cáncer recibirá terapia mediante fármacos y radiación. Cada
centı́metro cúbico de medicamento que se usará contiene 200 unidades curativas,
y cada minuto de exposición a la radiación proporciona 300 unidades curativas.
El paciente requiere 2400 unidades curativas. Si d centı́metros cúbicos de la
droga y r minutos de radiación son administrados, determine la función lineal
que relaciona d y r. Grafique e interprete resultados.
Solución
De los datos aportados en el problema se tiene que 200d+300r = 2400. A partir
3
de esta igualdad, expresamos d como función lineal de r por d(r) = 12 − r.
2
El gráfico de d es
d
12
8
r
De la figura se desprenden algunos datos interesantes. Por ejemplo, si no se
usara radiación en el tratamiento, se deben administrar al paciente 12cm3 de
droga. Por otra parte, si no se usa drogas en el tratamiento, son necesarios 8
minutos de radiación. Observe que la función es decreciente, esto nos indica
que mientras más minutos de radiación se apliquen al paciente, se administrara
menos droga. El problema tiene sentido para r entre 0 y 8.
Walter Arriaga Delgado
✍
Matemática I
129
EJERCICIOS PROPUESTOS
3.
I. Hallar el dominio de cada una de las siguientes funciones:
2x
+1
√
f (x) = x2 − 3x + 2
1
f (x) = √
3 + 2x − x2
√
f (x) = 5 − 8 − 2x − x2
√
f (x) = x3 − 4x2 − x + 4
√
f (x) = 2x + x − x3
p
f (x) = 2 − |x|
p
f (x) = |x| − 4
√
f (x) = x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x + 12
r
x2 + 3x
f (x) =
x2 − 16
r
x3 − 2x2 − 5x + 6
f (x) =
x2 − x − 2
r
x4 + x2 + 1
f (x) =
x2 − x − 6
r
x4 − 13x2 + 36
f (x) =
−x4 + 17x2 − 16
p
f (x) = |x − 2|2 − 4|x − 2| − 5
p
f (x) = |2 − |4 − 3x|| − 1
v
u
1
f (x)u
t
5
|x − 2|2 − |6 − 3x| +
4
p
√
f (x) = 1 − 4 − x2
√
2x − 1
f (x) =
J1 − xK
x−2
f (x) =
JxK + 2
1) f (x) =
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
R. Df = R
x2
R. Df = h−∞, 1] ∪ [2, ∞i
R. Df = h−1, 3i
R. Df = [−4, 2]
R. Df = [−1, 1] ∪ [4, ∞i
R. Df = h−∞, −1] ∪ [0, 1]
R. Df = [−2, 2]
R. Df = h−∞, −4] ∪ [4, ∞i
R. Df = [−3, −2] ∪ [−1, 1] ∪ [2, ∞i
R. Df = h−∞, −4] ∪ [−3, 0] ∪ [4, ∞i
R. Df = [−2, −1i ∪ [1, 2i ∪ [3, ∞i
R. Df = h−∞, −2i ∪ h3, ∞i
II. Hallar el dominio y el rango de cada una de las siguientes funciones:
1) f (x) = 4x2 − 16x + 17
x−1
2) f (x) =
2x + 3
R. Df = R − {−3/2}; Rf = R − {1}
130
Matemática I
4x
− 25
1
f (x) = 2
x − 5x + 6
√
f (x) = 2x2 − 4x + 3
5
f (x) = √
x+2
√
f (x) = x − 2 + 1
r
2x
f (x) =
x2 − 9
|x2 − 4x + 4|
f (x) =
x2 + 4
3) f (x) =
4)
5)
6)
7)
8)
9)
x2
Walter Arriaga Delgado
R. Df = R − {−5, 5}; Rf = R − {0}
R. Df = R − {2, 3}; Rf = h−∞, −4] ∪ h0, ∞i
III. Determinar dominio, rango y esbozar la grafica de las siguientes funciones:
√ √
2x
=
R
−
{−
5, 5}; Rf = R
R.
D
f
x2 − 5
x3 − x2 − 13x − 3
f (x) =
R. Df = R − {−3}; Rf = [−5, ∞i
x+3
x3 + 9x2 + 27x + 35
f (x) =
R. Df = R − {−5}; Rf = [3, ∞i
x+5
5x3 − 6x2 − 18x − 8
f (x) =
5x + 4
3
x − 7x − 6
f (x) = 2
R. Df = R − {−2, 3}; Rf = R − {−1, 4}
x −x−6
x4 − 7x2 + 12
R. Df = R − {−2, 2}; Rf = [−3, 1i ∪ h1, ∞i
f (x) =
x2 − 4
x4 + x3 − 14x2 − 6x + 36
R. Df = R − {−2, 3}; Rf = [−7, ∞i
f (x) =
x2 − x − 6
x6 − 14x4 + 49x2 − 36
f (x) =
R. Df = R − {−3, −1, 13}; Rf = [−4, ∞i − {−3, 5}
x4 − 10x2 + 9
√
f (x) = x2 − 2x − 8
R. Df = h−∞, −2] ∪ [4, ∞i; Rf = [0, ∞i
p
f (x) = 4 − |x|
R. Df = [−4, 4]; Rf = [0, 2]
1) f (x) =
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) f (x) = x|x − 2|
12) f (x) = |x + 1| + |x − 1|
R. Df = R; Rf = [2, ∞i
13) f (x) = |x + 1| − |x − 1|
R. Df = R; Rf = [−2, 2]
14) f (x) = |x + 1| + |x − 1| − |x|
R. Df = R; Rf = [1, ∞i
15) f (x) = |x||x + 1|
R. Df = R; Rf = [0, ∞i
16) f (x) = |x − 2||x + 1|
x|x + 2| − x|x − 2|
17) f (x) =
4
18) f (x) = u(x) − 2u(x − 1) + u(x − 2)
R. Df = R; Rf = [0, ∞i
Walter Arriaga Delgado
19) f (x) = u1 (x2 )
Matemática I
131
R. Df = R; Rf = {0, 1}
20) f (x) = sgn(x2 − 4)
R. Df = R; Rf = {−1, 0, 1}
21) f (x) = sgn(x2 − x − 6)
R. Df = R; Rf = {−1, 0, 1}
22) f (x) = sgn(x3 − 5x2 + 2x + 8)
23) f (x) = sgn(x4 − 10x2 + 9)
x−3
24) f (x) = sgn
x+4
2
x −x−6
25) f (x) = sgn
x2 + x − 6
4
x − 10x2 + 9
26) f (x) = sgn
x4 − 20x2 + 64
√
27) f (x) = sgn( 9 − x2 )
R. Df = R − {−4}; Rf = {−1, 0, 1}
28) f (x) = sgn(|x + 1| − 1)
29) f (x) = sgn(|x2 − 2| − 2)
30) f (x) = xsgn(x + 1)
31) f (x) = |x| + sgn(x)
R. Df = R; Rf = h−1, ∞i
32) f (x) = |x|sgn(x − 1)
33) f (x) = |x|sgn(x2 − 1)
34) f (x) = rampa(x2 − 9)
35) f (x) = JxK + rampa(x)
36) f (x) = x + JxK
37) f (x) = x − JxK
R. Df = R; Rf =
[
[2n , 2n + 1i
n∈Z
38) f (x) = |x| + JxK
39) f (x) = JxK − |x|
q y
40) f (x) = x2
p
41) f (x) = x − JxK
r√
z
42) f (x) =
4 − x2
p
43) f (x) = JxK + x − JxK
|x|
JxK
|x|
45) f (x) =
JxK + 1
x
46) f (x) =
x − JxK
44) f (x) =
R. Df = R; Rf = Z+
0
R. Df = R; Rf = [0, ∞i
132
Matemática I
47) f (x) =
p
Walter Arriaga Delgado
x + J−xK + x JxK
48) f (x) = JxK + sgn(x)
R. Df = R; Rf = Z − {−1}
r
√
√
x4 − 13x2 + 36
3
49) f (x) =
+
x2 − 3x + 2 + √
−x4 + 17x2 − 16
3 + 2x − x2

2x + 1,
si x ∈ [−2, 1]
50) f (x) =
R. Df = [−2, 4]; Rf = [−3, 4]
x2 − 3x, si x ∈ h1, 4]
 3
2

 x + x − 2x − 2 , si x ∈ [−3, 2i
x+1
51) f (x) =

8 − 2x,
si x ∈ [2, 4i
R. Df = [−3, −1i ∪ h−1, 4i; Rf = [−2, 7]


1 − 2x,
si − 4 ≤ x < −1



52) f (x) = |x − 1| + x,
si − 1 ≤ x < 2



 2
x − 4x + 4, si 2 ≤ x < 5

| J−xK | − JxK , si x < 0
53) f (x) =
| J−xK | + JxK , si x ≥ 0
54) f (x) =


x2 ,



si x ∈ [1, 2i
p
JxK + x − JxK,



√
−x,

|x + JxK |,
si
55) f (x) =
|x + Jx − 1K |, si
56) f (x) =

|x − JxK |,
|x − Jx + 1K |,
si x ∈ [−1, 1i
R. Df = [−4, 2i; Rf = [0, 4i
si x ∈ [−4, −1i
JxK es par
JxK es impar
si JxK es par
si JxK es impar
p


|x|,
si x ∈ h−∞, −9i






3,
si x ∈ [−9, −2i





x2 − 1,
si x ∈ [−2, 1i
57) f (x) = √


x − 1, si x ∈ [1, 4i






Jx − 3K , si x ∈ [4, 7i





|x − 3|,
si x ∈ [7, ∞i
58) f (x) = sgn(x + 1) − sgn(x − 1)
IV. Esbozar la gráfica y determinar el rango de las siguientes funciones:
s
{
7x − 15
1) f (x) =
+ 2x, si x ∈ h−1, 0i
x−1
Walter Arriaga Delgado
2) f (x) =
Matemática I
133
|x + 1| − 3
, si x ∈ [−2, 4i
1 + |x − 3|
V. Algebra de funciones:
Calcular (f + g)(x), (f
√

x2 + 16,



1) f (x) = JxK − 2x,



 2
|x + 2|,
− g)(x), (f.g)(x), (f /g)(x), donde:
x ∈ h−4, −2i
x ∈ [−1, 2i
,
x ∈ h4, 6i
2) Calcular(f +sg)(x), donde:
{
p

x + x |x| − 1 x + 3, x ∈ [2, 3i
f (x) =

x + a,
x ∈ hb, 1i
{
s p

√

2 − x
x2 − 1 x, x ∈ [1, 7i
g(x) =

x + c,
x ∈ h8, di
donde {a, b, c, d} ⊂ R.
g(x) =

2x + 4,
x ∈ h−3, −1i
|x2 − 2|, x ∈ [−1, 5i
VI. Composición de funciones
Hallar (f ◦ g)(x), donde:

|x2 − 1|, x < 3
1) f (x) = √
 x2 + 1, x ≥ 3

x,
x≥4
,
g(x) =
|x| − x, x ≤ 0


log (x + 1),
3x − 1,
0≤x≤1
0≤x≤2
3
,
g(x) =
2) f (x) =
4 − √11 − x, 2 < x ≤ 11
−x2 + 8x − 5, 1 < x ≤ 4
VII. Tipo de funciones y función inversa: Determinar si las siguientes funciones son biyectivas
y hallar su inversa de ser posible
1) f (x) = 2x2 + 8x + 20
2) f : h−∞, −9] −→ h−∞, 4]
√
definida por f (x) = 4 − x2 + 8x + 7
3) f : R − {−2} −→ R − {1}
x+3
definida por f (x) =
x+2
3 − 2x
R. f es biyectiva, f −1 (x) =
x−1
4) f : R − {−3/7} −→ R − {2/7}
2x − 7
definida por f (x) =
7x + 3
3x + 7
R. f es biyectiva, f −1 (x) =
2 − 7x
134
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
5) f : h−∞, −3] ∪ h−2, ∞i −→ R+
0 − {1}
r
x+3
definida por f (x) =
x+2
3 − 2x2
−1
R. f (x) = 2
x −1
6) f : h−∞, 2i −→ R
definida por f (x) = 2 − log2 (4 − 2x)
R. f es biyectiva, f −1 (x) = 2 − 21−x
VIII. Ejercicios diversos:
1) Hallar elsmayor valor entero negativo del dominio de la función:
(x2 − 2x + 4)7 (1 − x)5 (2 + x)6
R. −2
f (x) =
x4 (2x + 1)3 (x + 4)
p
2) El complemento del dominio de la función f (x) = (1 − x)5 (x − 2)1002 (x − 4)8703 (x + 2)7
tiene la forma ha, bi ∪ hc, +∞i. Determinar el valor de abc
R. −8
3) Sabiendo que f es una función inyectiva y además f (9) = 2a, f (a − 2) = 3, f (5) = 3.
Calcular f (a + 2)
R. 14
IX. Aplicaciones:
i A las Ciencias económicas y administrativas
1. La tienda comercial Gotas de Oro, vende cacahuates a 0.70 soles la libra y
almendras a 1.60 soles la libra. Al final de un mes el propietario se entera que
los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras
para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a 1 sol la libra. ¿Cuántas
libras de cacahuates y de almendras deberá mezclar para mantener los mismos
ingresos?.
2. El costo de fabricar 10 maquinas al dı́a es de 3 500 soles, mientras que cuesta 6
000 soles producir 20 maquinas del mismo tipo al dı́a, suponiendo un modelo de
costo lineal, determine la relación entre el costo total de producir x máquinas
al dı́a y dibuje su grafica.
3. Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por
reloj es de 15 000 soles y los costos fijos son de 2 000 000 soles al mes. Si vende
cada reloj a 20 000 soles ¿Cuántos relojes deberá producir y vender cada mes
con objeto de garantizar que el negocio se mantenga en el punto de equilibrio?,
interprete gráficamente el punto de equilibrio.
4. Supóngase que el costo total diario (en dólares) de producir x sillas está dado
por y = 2,5x + 300
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
135
• Si cada silla se vende a 4 soles ¿Cuál es el punto de equilibrio?.
• Si el precio de venta se incrementa a 5 soles por silla, ¿Cuál es el nuevo
punto de equilibrio?.
• Si se sabe que al menos 150 sillas pueden venderse al dı́a ¿qué precio deberı́a
fijarse con el objeto de garantizar que no haya perdida?.
i A las Ciencias sociales
1. En 1980 la población de los Estados Unidos era aproximadamente 227 millones
y ha ido creciendo a una razón de 0.7 % por año. La población N (t), t años
más tarde, se podrı́a aproximar mediante N (t) = 227e0,007t Si continuara este
patrón de crecimiento, ¿Cuál será la población de Estados Unidos para el año
2010?.
2. Un problema importante de oceanografı́a consiste en determinar la cantidad
de luz que puede penetrar a varias profundidades oceánicas. La Ley de Beer
Lambert establece que se debe utilizar una función exponencial I, tal que I(x) =
I0 ax , para modelar este fenómeno. Suponiendo que I(x) = 10(0,4)x es la energı́a
lumı́nica equivalente (en cal cms 2 ) que llega a una profundidad de x metros.
¿Qué energı́a se tiene a una profundidad de 2 m?
R. 1,6.
i A la Fı́sica
1. Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. La trayectoria del proyectil
estáada por la función s(t) = −4, 5t2 + 24t, donde s es la altura en metros y t
es el tiempo en segundos.
• Calcule la altura del proyectil a los 3 segundos de lanzado.
R. 31,5 m.
• Calcule la altura del proyectil a los 5 segundos de lanzado
R. 7,5 m.
• Cuánto tiempo tarda el proyectil en caer al suelo?
R. 5,33 seg.
• Cuánto tiempo tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima? R. 2,66 s.
• Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?
R. 32 m.
2. Sea f la función dada por f (t) = 20t − 4, 9t2 + 50 que describe la trayectoria a
los t segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.
• Cuál es la altura de la piedra a los 4 seg?
• Cuánto dura la piedra en tocar el suelo?
• Cuánto dura la piedra en alcanzar su altura máxima?
• Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?
i A la Quı́mica
1. ¿Qué cantidad de aceite con contenido de 0.5 % de azufre debe mezclar un
136
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
quı́mico, en 100 litros con 0.8 % de azufre para conseguir un aceite que contenga
0.6 %
i A la Biologı́a
1. El crecimiento poblacional de cierto parásito se rige por la siguiente relación:
R = {(x, y) ∈ R2 / 2y = x2 − 5x + 3}, Donde: “y” representa el número
de individuos en un determinado tiempo de “x” horas. ¿Cuál es la suma del
número de individuos en un tiempo x = a + 2, y el número de individuos una
hora después?.
2. La población (en miles) de una colonia de bacterias t minutos después de la
introducción de una toxina está dada por la función:

 t2 + 7
si 0 ≤ t < 5
P (t) =
−8t + 72 si t ≥ 5
a) ¿Cuál es la población pasados 2 minutos?.
b) ¿Cuándo muere la población?.
3. La temperatura (medida en grados Celsius), que experimenta cierto cultivo e
bacterias, varı́a de acuerdo a: T (x) = −(x − 2)2 + 1 donde x, representada el
tiempo de exposición a fuentes de energı́a calórica.
a) Señale el intervalo de tiempo en que la temperatura del cultivo se mantiene
positiva.
b) ¿Después de cuánto tiempo la temperatura es máxima?.
4. El peso W (en kg) de una población de elefantes africanos hembras está relacionado con la edad t (en años) mediante: W (t) = 2600(1 − 0,5e−0,075t )3
a) ¿Cuánto pesa un elefante recien nacido?
b) ¿Suponiendo que la hembra adulta pesa 1800 kg estime su edad?.
5. En un laboratorio de Biotecnologı́a se tiene un cultivo de bacterias en un fermentador durante 4 horas. La población de bacterias crece rápidamente con el
paso del tiempo. La función que relaciona la cantidad de bacterias y el tiempo
2
t transcurrido en horas es: C(t) = 0,025et Determine en cuanto se incrementa
la población desde t = 1 hasta t = 3 horas.
6. Una centena de ciervos, cada uno de 1 año de edad, se introducen en un coto de
caza. El número N (t) de los que aún queden vivos después de t años se predice
que es N (t) = 100(0,9)t Estime el número de animales vivos después de 10 años.
i A la Medicina
1. La diabetes mellitus produce a largo plazo un aumento de peso del páncreas
y volumen del bazo. Suponga que se tiene un páncreas de 280 gramos cuyo
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
137
volumen de secreción es de 850ml, que para un páncreas de 350 gramos de volumen de secreción es de 990ml. suponiendo que existe una relación lineal entre
la masa y el volumen del bazo, determine la función del volumen pancreático
en términos de la masa pancreático.
2. A menudo los fisioterapeutas descubren que el proceso de rehabilitación se caracteriza por un efecto de rendimientos decrecientes. Es decir, la recuperación de
la funcionalidad suele aumentar con la duración del programa terapéutico, pero
con el tiempo el mejoramiento es cada vez menor en relación con los esfuerzos
adicionales del programa. Para una incapacidad particular, los terapeutas han
ideado una función que describe el costo C de un programa terapéutico en térmi5x
nos del porcentajes de la funcionalidad recuperada x dada por: C(x) =
100 − x
donde C se mide en miles de soles. Hallar el dominio, el rango e interprete los
resultados en el contexto del problema.
3. En cierto experimento de frecuencia respiratoria, se estimo que la proporción p
de la inspiración se relacionaba linealmente con un tiempo de estudio efectivo
t (en minutos). Para un tiempo de estudio efectivo de 5 minutos, la proporción
de inspiración fue de 0.32. Por cada minuto más en el tiempo de estudio, la
proporción de inspiración aumentaba en 0.059. Encuentre la función lineal de
p en términos de t.
4. Un virus en la rinofaringe se incrementa a razón del 2 % cada hora. Suponga
que al inicio de una infección estaban presentes 120 virus. Determine el número
de virus N (t) presentes después de t horas. ¿Cuántos virus están presentes en
el organismo después de 2 horas?
5. Una infección intestinal debe ser tratada con un determinado tratamiento antibiótico antes que estén presentes 10000 streptococos en el organismo, de lo
contrario el tratamiento sugerido es otro. Si se sabe que su número se incrementa a razón de 5 % cada hora y que al inicio estaban presentes 400 streptococos,
determine el número de streptococos N (t) presentes después de t horas ¿De
cuanto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento?
6. La clorfenamina es un medicamento utilizado en reacciones alérgicas y tiene
una vida media de 8 horas en el sistema de un paciente relativamente sano. Si
se dispone de 20 dosis para alcanzar el nivel deseado cuando 100 miligramos
de medicamento son administrados cada I hora. Determine el nivel y la dosis
reducida en función del tiempo I.
7. La regla de Crowling es un método para calcular dosis pediátricas. Si a denota
la dosis para un adulto (en mg) y t es la edad del niño (en años), entonces la
138
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
t+1
dosis infantil está dada por. D(t) =
a
24
a) Grafique la función para distintos valores de a. ¿Cómo influye este valor en
el comportamiento de la función D?.
b) Si la dosis de un adulto es de es de 500 mg, ¿cuál es la edad de un niño
cuya dosis pediátrica alcanza los 125 mg?.
8. El efecto de la anestesia bucal en un paciente (en porcentaje), luego de t minutos
25t2
+ 25t
de ser inyectado un fármaco es modelado por la función. G(t) = −
16
a) ¿En qué instante se produce el grado máximo de adormecimiento?.
b) ¿Después de cuánto tiempo no hay efecto de la anestesia?.
9. La concentración de cierto calmante suministrado mediante suero, varı́a en su
efectividad en el tiempo según. C(t) = −t2 + 6t, donde C es la concentración
del calmante en el suero medida en milı́gramos por litro para que haga efecto
durante t horas. ¿En qué instante la concentración es de 8 miligramos por litro?.
10. Los registros de salud pública indican que t semanas después de brote de
2
cierta clase de gripe, aproximadamente f (t) =
miles de personas
1 + 3e−0,8t
han contraı́do la enfermedad.
a) ¿Cuántas personas estaban infectados al comienzo del brote?
b) Después de un número grande de semanas. ¿cuántas personas estarán infectadas?.
11. Después de que un estudiante con un virus gripal represa a un campo universitario aislado de 3000 estudiantes, el número de estudiante infectados después
3000
de t dı́as, se pronostica por: N (t) =
1 + 2999e−0,895t
a) ¿Cuántos estudiantes estarán infectados después de 10 dı́as?
b) ¿En qué perı́odo de tiempo se estima que los infectados lleguen aproximadamente a 1000 estudiantes?
12. Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La dosis inicial
es de 10 mg y la cantidad en el cuerpo t horas después está dada por A(t) =
10(0,8)t .
a) Calcule la cantidad del fármaco restante en el organismo 8 horas después
de la ingestión inicial.
b) ¿Qué porcentaje del medicamento que está aún en el organismo se elimina
cada hora?.
4
LIMITES
Objetivos:
z Comprender el concepto intuitivo del lı́mite de una función e interpretar gráficamente
el lı́mite de una función.
z Identificar los distintos tipos de indeterminaciones que se pueden presentar en el cálculo de lı́mites y presentar los correspondientes métodos de resolución de cada una
de ellas.
El gran libro de la naturaleza puede ser leı́do
solamente por aquellos que conocen el lenguaje
en el cual está escrito, y ese lenguaje es el de las
matemáticas.
4.1.
Galileo (1564-1642)
Introducción
El Cálculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez
construı́do, la historia de la matemática ya no fue igual: la geometrı́a, el álgebra y la aritmética,
la trigonometrı́a, se colocaron en una nueva perspectiva teórica. Detrás de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teorı́a, existe, indudablemente, la evolución de ideas que hacen posible
su nacimiento. Es muy interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos que se
acumula, desarrolla y evoluciona a través de los años para dar lugar, en algún momento en
particular y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de una nueva idea, de una
nueva teorı́a, que seguramente se va a convertir en un descubrimiento importante para el estado
actual de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El Cálculo cristaliza conceptos
y métodos que la humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte siglos. Una larga
lista de personas trabajaron con los métodos “infinitesimales” pero hubo que esperar hasta el
139
140
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
siglo XVII para tener la madurez social, cientı́fica y matemática que permitirı́a construir el
Cálculo que utilizamos en nuestros dı́as.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo pero representan un eslabón
en una larga cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorı́tmica
y la precisión necesaria como método novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a partir de visiones de hombres como
Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances de las operaciones
iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron, fueron también resultado directo de
las contribuciones de Oresme, Arquı́medes y Eudoxo. Finalmente el trabajo de estos últimos
estuvo inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón,
Tales de Mileto, Zenón y Pitágoras. Para tener la perspectiva cientı́fica e histórica apropiada,
debe reconocerse que una de las contribuciones previas decisivas fue la Geometrı́a Analı́tica
desarrollada independientemente por Descartes y Fermat.
Sin la contribución de éstos y de muchos otros hombres más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no existirı́a. Su construcción fue parte importante de la revolución cientı́fica
que vivió la Europa del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la experiencia empı́rica y
la descripción matemática de nuestra relación con la realidad. La revolución cientı́fica supuso
una ruptura con las formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron
casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV. Esta ruptura y salto en la historia
del conocimiento estuvieron precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron
durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral están en el corazón del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad de la
que, esencialmente, somos parte.
El extraordinario avance registrado por la matemática, la fı́sica y la técnica durante los
siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo infinitesimal y por eso se puede considerar
como una de las joyas de la creación intelectual de la que el hombre puede sentirse orgulloso.
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas cientı́ficos y
matemáticos:
Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Encontrar el valor máximo o mı́nimo de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido,
encontrar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recı́procamente,
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
141
dada una fórmula en la que se especifique la aceleración o la velocidad en cualquier
instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo en un perı́odo de tiempo conocido.
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo,
concluyendo en la obra cumbre del filósofo–matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz
y el fı́sico–matemático inglés Issac Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques son diferentes. Los trabajos de Newton
están motivados por sus propias investigaciones fı́sicas (de allı́ que tratara a las variables como “cantidades que fluyen”) mientras que Leibniz conserva un carácter más geométrico y,
diferenciándose de su colega, trata a la derivada como un cociente incremental, y no como
una velocidad. Leibniz no habla de derivada sino de incrementos infinitamente pequeños, a
los que llama diferenciales. Un incremento de x infinitamente pequeño se llama diferencial de
x, y se anota dx. Lo mismo ocurre para y (con notación dy). Lo que Newton llamó fluxión,
para Leibniz fue un cociente de diferenciales (dy/dx). No resulta difı́cil imaginar que, al no
poseer en esos tiempos un concepto claro de lı́mite y ni siquiera de función, los fundamentos
de su cálculo infinitesimal son poco rigurosos. Se puede decir que el cálculo de fluxiones de
Newton se basa en algunas demostraciones algebraicas poco convincentes, y las diferenciales
de Leibniz se presentan como entidades extrañas que, aunque se definen, no se comportan
como incrementos. Esta falta de rigor, muy alejada del carácter perfeccionista de la época
griega, fue muy usual en la época post–renacentista y duramente criticada. Dos siglos pasaron
hasta que las desprolijidades en los fundamentos del cálculo infinitesimal se solucionaron, y
hoy aquel cálculo, potencialmente enriquecido, se muestra como uno de los más profundos
hallazgos del razonamiento humano.
Resulta muy interesante la larga y lamentable polémica desatada a raı́z de la prioridad en
el descubrimiento. Al principio la disputa se realizó en el marco de la cortesı́a pero al cabo
de tres décadas comenzó a ser ofensiva hasta que en el siglo XVIII se convirtieron en mutuas
acusaciones de plagio. La polémica se tornó cada vez mayor y finalmente se convirtió en una
rivalidad entre los matemáticos británicos y los continentales.
La discusión siguió hasta mucho después de la muerte de los dos grandes protagonistas y,
afortunadamente, hoy ha perdido interés y la posteridad ha distribuido equitativamente las
glorias. Hoy está claro que ambos descubrieron este cálculo en forma independiente y casi
simultánea entre 1670 y 1677, aunque fueron publicados unos cuantos años más tarde.
La difusión de las nuevas ideas fue muy lenta y al principio sus aplicaciones escasas. Los
nuevos métodos tuvieron cada vez más éxito y permitieron resolver con facilidad muchos
problemas. Los nuevos logros fueron sometidos a severas crı́ticas, la justificación y las explicaciones lógicas y rigurosas de los procedimientos empleados no se dieron hasta avanzado el
siglo XIX, cuando aparecieron otros matemáticos, más preocupados por la presentación final
de los métodos que por su utilización en la resolución de problemas concretos.
142
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
El siglo XVIII
Durante buena parte del siglo los discı́pulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos para resolver diversos problemas de fı́sica, astronomı́a e ingenierı́a, lo que les permitió, al
mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. Ası́, los hermanos Bernoulli
inventaron el cálculo de variaciones y el matemático francés Monge la geometrı́a descriptiva. Lagrange, también francés, dio un tratamiento completamente analı́tico de la mecánica,
realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones diferenciales y la teorı́a de números, y
desarrolló la teorı́a de grupos. Su contemporáneo Laplace escribió Teorı́a analı́tica de las probabilidades (1812) y el clásico Mecánica celeste (1799–1825), que le valió el sobrenombre de
“el Newton francés”.
Sin embargo el gran matemático del siglo fue el suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus aplicaciones. Euler escribió textos
sobre cálculo, mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a seguir para otros autores
interesados en estas disciplinas. El éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver problemas tanto matemáticos como fı́sicos utilizando el cálculo sólo sirvió para acentuar la falta de
un desarrollo adecuado y justificado de las ideas básicas del cálculo. La teorı́a de Newton se
basó en la cinemática y las velocidades, la de Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de
Lagrange era completamente algebraico y basado en el concepto de las series infinitas. Todos
estos sistemas eran inadecuados en comparación con el modelo lógico de la geometrı́a griega,
y este problema no fue resuelto hasta el siglo posterior.
A los matemáticos de fines del siglo el horizonte matemático les parecı́a obstruido. Se
habı́a llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que nos se les conocı́a o veı́a un
alcance claro. Los sabios sentı́an la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar nuevos
procedimientos.
El siglo XIX
Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y
el matemático francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet
quien propuso su definición en los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy,
consiguió un enfoque lógico y apropiado del cálculo y se dedicó a dar una definición precisa
de “función continua”. Basó su visión del cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de
lı́mite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica de número real.
Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino
el matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números
reales. Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi
al mismo tiempo.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
143
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a
las técnicas del cálculo, se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno
de los más importantes matemáticos de la historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo del análisis,
desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro
importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas,
hecho por Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos.
La teorı́a de Cantor fue considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquı́ un
espı́ritu crı́tico en la elaboración de estas nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista
muy diferente del que animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se trata de construir
expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta
entonces intuitivos.
Gauss desarrolló la geometrı́a no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera
causar su publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al
estudio de la estructura de sistemas algebraicos. Los fundamentos de la matemática fueron
completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por el matemático inglés Boole
en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).
Siglo XX y nuestros dı́as
Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido a la integración y a la teorı́a de la
medida y las modificaciones y generalizaciones realizadas por matemáticos que lo sucedieron.
En la Conferencia Internacional de Matemáticos que tuvo lugar en Parı́s en 1900, el matemático alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma sustancial en casi todas las ramas
de la matemática retomó veintitres problemas matemáticos que él creı́a podrı́an ser las metas de la investigación matemática del siglo que recién comenzaba. Estos problemas fueron el
estı́mulo de una gran parte de los trabajos matemáticos del siglo.
El avance originado por la invención del ordenador o computadora digital programable dio
un gran impulso a ciertas ramas de la matemática, como el análisis numérico y las matemáticas
finitas, y generó nuevas áreas de investigación matemática como el estudio de los algoritmos.
Se convirtió en una poderosa herramienta en campos tan diversos como la teorı́a de números,
las ecuaciones diferenciales y el álgebra abstracta. Además, el ordenador permitió encontrar
la solución a varios problemas matemáticos que no se habı́an podido resolver anteriormente.
El conocimiento matemático del mundo moderno está avanzando más rápido que nunca.
Teorı́as que eran completamente distintas se han reunido para formar teorı́as más completas
y abstractas. Aunque la mayorı́a de los problemas más importantes han sido resueltos, otros
siguen sin solución. Al mismo tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la ma-
144
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
temática más abstractas encuentra aplicación.
Conclusiones
El progreso de las ideas no se da en el tiempo a través de una trayectoria perfectamente
delineada y preconcebida; existen muchos elementos que en la construcción son desechados,
reformulados o agregados. Las concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la ciencia, y en especial las concepciones sobre las caracterı́sticas que debe reunir el conocimiento
matemático para ser considerado como conocimiento cientı́fico, determinaron los enfoques realizados en cada época. El impacto que tuvieron los personajes y las contribuciones consignadas
en la historia difı́cilmente puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se
toman en cuenta.
4.2.
Vecindad de un punto
Definición 4.2.1. Dado el punto x0 ∈ R, se llama vecindad abierta o bola abierta de centro
x0 y radio δ > 0 y se denota con V (x0 , δ) o Vδ (x0 ), al intervalo hx0 − δ, x0 + δi, esto es,
Vδ (x0 ) = hx0 − δ, x0 + δi.
δ
δ
x0 − δ
x0
R
x0 + δ
Figura 4.1: Vecindad de un punto
Observaciones
1. x0 es el punto medio de Vδ (x0 ) = hx0 − δ, x0 + δi.
2. La longitud de la vecindad Vδ (x0 ) es 2δ.
3. Dada la vecindad Vδ (x0 ), se tiene que:
x ∈ Vδ (x0 ) ⇔ x ∈ hx0 − δ, x0 + δi
⇔ x0 − δ < x0 < x0 + δ
⇔ −δ < x − x0 < δ
⇔ |x − x0 | < δ
Vδ (x0 ) = {x ∈ R / |x − x0 | < δ}
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
145
4. La intersección de dos vecindades de x0 es una vecindad de x0 , es decir, dadas las
vecindades de x0 : Vδ1 (x0 ) y Vδ2 (x0 ), entonces Vδ (x0 ) = Vδ1 (x0 ) ∩ Vδ2 (x0 ), donde δ =
mı́n{δ1 , δ2 }
5. Todo intervalo abierto ha, bi,
δ=
a < b, es una vecindad de centro x0 =
|b − a|
> 0, es decir:
2
ha, bi = Vδ
a+b
2
; con δ =
|b − a|
2
x0
a
a+b
2
R
b
Por ejemplo el intervalo h−1,8; 5,6i es la vecindad Vδ (x0 ) de centro x0 =
y radio δ =
a+b
y radio
2
|5,6 − (−1,8)|
= 3,7
2
−1,8 + 5,6
= 1,9
2
Definición 4.2.2. Se llama entorno de x0 , a cualquier intervalo abierto que contenga a x0 ,
esto quiere decir que x0 no necesariamente es el punto medio del intervalo abierto y se denota
por E(x0 ).
E(x0 )
a
x0
R
b
Figura 4.2: Entorno de un punto
Proposición 4.2.1. Todo entorno E(x0 ) de x0 contiene una vecindad de radio δ > 0 y centro
x0 .
Definición 4.2.3. Una vecindad reducida de centro x0 y radio δ > 0, es aquel conjunto que
resulta de quitarle el centro x0 a la ecindad Vδ (x0 ) y se denota por Vδ′ (x0 ), es decir:
Vδ′ (x0 ) = Vδ (x0 ) − {x0 } = hx0 − δ, x0 i ∪ hx0 , x0 + δi
4.3.
Punto de acumulación
Definición 4.3.1. Sea X ⊂ R. Un número a ∈ R se llama punto de acumulación del conjunto
X cuando toda vecindad Vδ (a) de centro en a y radio δ > 0, contiene algún punto x ∈ X
diferente de a.
146
Matemática I
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R
x0 − δ
x0
x0 + δ
Figura 4.3: Vecindad reducida
El conjunto de puntos de acumulación de X será representado por la notación X ′ a veces
llamado el derivado de X.
La condición a ∈ X ′ (a es punto de acumulación de X) se expresa simbolicamente del
modo siguiente:
∀ ε > 0, ∃ x ∈ X; 0 < |x − a| < ε
Ejemplo 4.3.1.
Sea X cualquiera de los siguientes intervalos ha, bi, [a, bi, ha, b], [a, b], entonces X ′ = [a, b].
Sea X = [0, 1i ∪ {2}, entonces X ′ = [0, 1].
1
1 1
1
+
Sea X =
/k∈Z
= 1, , , . . . , , . . . , entonces X ′ = {0}.
k
2 3
n
Q′ = (R − Q)′ = R′ = R.
Z′ = N′ = φ.
Un punto a ∈ X que no es punto de acumulación de X, se llama punto aislado.
Para que a ∈ X sea un punto aislado es necesario y suficiente que exista ε > 0 tal que
Vδ (a) ∩ X = {a}.
Todo punto a ∈ Z es un punto aislado de Z.
4.4.
Lı́mite de una función
El lı́mite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un lı́mite L en el punto a, significa que el
valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos
a a.
Aunque implı́cita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación
moderna del lı́mite de una función se remonta a Bolzano1 quien, en 1817, introdujo las bases
de la técnica epsilon–delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo.
1
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, Bohemia, 5 de octubre de 1781 al 18 de diciembre de
1848).
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Matemática I
147
Cauchy2 expuso lı́mites en su Cours d’analyse (1821) y parece haber expresado la esencia
de la idea, pero no en una manera sistemática.
La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass3 en
los años 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para lidiar con
lı́mites.
La notación de escritura usando el abreviación lim con la flecha debajo es debido a Hardy4
en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
Los lı́mites son importantes para estudiar el comportamiento de datos que se han modelado
mediante ecuaciones, como aumento de poblaciones, desintegración de materiales radioactivos,
inversiones de capital y velocidades lı́mites alcanzadas por cuerpos que caen desde una altura.
La noción de lı́mite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo:
Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función:
f (x) =
x3 − 1
, x 6= 1
x−1
Para todo punto x 6= 1, podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos
nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x = 1,
usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la
derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).
x se acerca al 1 por la izquierda ⇒
x
0.9
0.99
0.999
f (x)
2.71
2.9701
2.997001
⇐ x se acerca al 1 por la derecha
1
f (x) se acerca al 3 ⇒
1.001
1.01
1.1
3.003001
3.0301
3.31
⇐ f (x) se acerca al 3
Y
7
3
−2
2
3
−1
0
1
2
X
Augustin Louis Cauchy (Parı́s, 21 de agosto 1789– Sceaux, 23 de mayo 1857). Matemático frances.
Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (Weierstrass) (Ostenfelde, 31 de octubre de 1815 Berlı́n, 19 de febrero
de 1897). Matemático alemán.
4
Godfrey Harold Hardy (1877-1947) Matemático británico.
148
Matemática I
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x3 − 1
, x 6= 1, y como podemos
x−1
observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f
La figura anterior es la gráfica de la función: f (x) =
no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función: g(x) =
x2 + x + 1 menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f , factorizando
el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal:
Si f (x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados,
decimos que el lı́mite de f (x) cuando x tiende a a es L.
Definición 4.4.1. Dada la función f : R −→ R y dado el punto de acumulación a, se dice
que el lı́mite de f (x) es L, cuando x tiende hacia a, y se escribe lı́m f (x) = L cuando:
x→a
∀ε > 0, ∃δ > 0/ ∀x ∈ Domf, x 6= a y a − δ < x < a + δ =⇒ L − ε < f (x) < L + ε
(4.1)
En términos de valor absoluto:
∀ε > 0, ∃δ > 0/ ∀x ∈ Domf, 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| < ε
(4.2)
En términos de vecindades:
∀ε > 0, ∃δ > 0/ ∀x ∈ V (a, δ) ∩ Domf, x 6= a =⇒ f (x) ∈ V (L, ε)
Y
(4.3)
f
ε
L
ε
δ
δ
a
0
X
Figura 4.4: Definición de Lı́mite de una función
Observación 4.4.1. Si queremos demostrar que lı́m f (x) = L, con f (x) =
x→x0
manera más práctica de escoger el δ1 apropiado es:
δ1 =
1
|x0 − a|
2
P (x)
, una
Q(x)
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Matemática I
149
donde a es la ası́ntota de f (x).
Si hubiera más de una ası́ntota, supongamos que existen n ası́ntotas, esto es a1 , a2 , a3 , . . . , an ,
entonces debemos considerar:
1
1
1
1
δ1 = mı́n
|x0 − a1 |, |x0 − a2 |, |x0 − a3 |, . . . , |x0 − an |
2
2
2
2
4.5.
Teoremas de Limites
Teorema 4.5.1. Si |x| ≤ ε, para todo ε > 0, entonces x = 0.
Teorema 4.5.2. El lı́mite de una función, cuando existe, es único, es decir, si:
lı́m f (x) = L1 y
x→a
lı́m f (x) = L2 ⇒ L1 = L2
x→a
Teorema 4.5.3. Si f y g son dos funciones tales que:
a. f (x) ≤ g(x), para todo x ∈ Vδ (a), con x 6= a
b. lı́m f (x) = L
x→a
y
lı́m g(x) = M
x→a
entonces lı́m f (x) ≤ lı́m g(x), es decir L ≤ M
x→a
x→a
Teorema de sándwich
El teorema del sándwich (llamado también teorema de intercalación, teorema del enclaustramiento, teorema de compresión, criterio del sándwich, o squeeze theorem en inglés) es un
teorema usado en la determinación del lı́mite de una función. Este teorema enuncia que si dos
funciones tienden al mismo lı́mite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada
entre las dos anteriores tendrá el mismo lı́mite en el punto.
El teorema o criterio del sándwich es muy importante en demostraciones de cálculo y
análisis matemático. Y es frecuentemente utilizado para encontrar el lı́mite de una función a
través de la comparación con otras dos funciones de lı́mite conocido o fácilmente calculable.
Fue utilizado por primera vez de forma geométrica por Arquı́medes y Eudoxo en sus esfuerzos
por calcular π. Aunque la formulación moderna fue obra de Gauss.
A continuación enunciemos y demostremos el Teorema de sándwich, llamado también
Teorema de estricción o del encaje:
Teorema 4.5.4. Sean f , g y h funciones tales que:
a. f (x) ≤ g(x) ≤ h(x), para todo x ∈ Vδ (a), con x 6= a
b. lı́m f (x) = lı́m h(x) = L
x→a
x→a
150
Matemática I
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entonces lı́m g(x) = L
x→a
Ejemplo 4.5.1. Sean f , g y h las funciones definidas por:
f (x) = x2 − 6x + 11
g(x) =
1
9
x2 − 23 x + 3
h(x) = −x2 + 6x − 7
f(x)
20
10
g(x)
–2
2
0
2
3
4
x
6
8
–10
h(x)
–20
Figura 4.5:
Las gráficas de f , g y h son parábolas que tienen sus vértices en el punto (3; 2). Las tres
funciones están definidas en x = 3. También se observa que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x). Además:
lı́m (x2 − 6x + 11) = 2
x→3
lı́m (−x2 + 6x − 7) = 2
x→3
Por lo tanto, de acuerdo al teorema de estricción lı́m g(x) = 2
x→3
Teorema 4.5.5. Si f y g son dos funciones tales que:
a. lı́m f (x) = 0
x→a
b. ∃ M > 0 tal que |g(x)| < M , para todo x ∈ Vδ (a), con x 6= a
entonces lı́m f (x) · g(x) = 0
x→a
4.6.
Propiedades
Teorema 4.6.1. Sean f , g funciones tales que: lı́m f (x) = L y
x→a
1. lı́m c = c,
x→a
c constante.
lı́m g(x) = M . Entonces:
x→a
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Matemática I
2. lı́m [c f (x)] = c lı́m f (x) = cL,
x→a
151
c constante.
x→a
3. lı́m [f (x) ± g(x)] = lı́m f (x) ± lı́m g(x) = L ± M
x→a
x→a
x→a
4. lı́m [f (x).g(x)] = lı́m f (x). lı́m g(x) = L.M
x→a
x→a
x→a
1
1
1
=
=
,
x→a g(x)
lı́m g(x)
M
si M 6= 0
lı́m f (x)
L
f (x)
= x→a
=
,
x→a g(x)
lı́m g(x)
M
si M 6= 0
5. lı́m
x→a
6. lı́m
x→a
7. lı́m [f (x)]n = [ lı́m f (x)]n = Ln ,
x→a
8. lı́m
x→a
x→a
p
n
f (x) =
q
n
lı́m f (x) =
x→a
√
n
L,
n∈N
n ∈ N, si n fuera par debe cumplirse que b ≥ 0
9. lı́m (logb f (x)) = logb ( lı́m f (x)) = logb L;
x→a
x→a
lı́m f (x)
10. lı́m W f (x) = W x→a
= W L;
x→a
W ∈ R+ − {1}.
lı́m g(x)
11. lı́m (f (x)g(x) ) = ( lı́m f (x))x→a
= LM ;
x→a
L > 0.
x→a
L ∈ R+ − {1}.
Corolario 4.6.1. Si lı́m fi = Li , 1 ≤ i ≤ n, entonces:
x→a
n
X
x→a
n
X
fi (x) = lı́m [f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x)] = L1 + L2 + · · · + Ln =
b) lı́m
∞
X
fi (x) = lı́m [f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + · · · ] = L1 + L2 + · · · + Ln + · · · =
a) lı́m
x→a
4.7.
i=1
i=1
x→a
x→a
Li
i=1
∞
X
Li
i=1
Formas de indeterminación
Las formas de indeterminación son:
0
,
0
∞
, ∞ − ∞, 0 · ∞, 00 , 1∞ , ∞0
∞
Una vez identificada cada una de las indeterminaciones, vamos a proceder a explicar como se
resuelve cada una de ellas.
En el cálculo de lı́mites, los casos de indeterminación de 0/0 son los más frecuentes; de
ahı́ que nos ocupemos primero de este tipo.
152
Matemática I
4.8.
Walter Arriaga Delgado
Lı́mite de una función en un punto
Si queremos calcular el lı́mite de una función f (x) cuando x se acerca a cierto valor a,
simplemente hemos de sustituir el valor de a en f (x).
2x2 − 3x + 1
x→−3
x+2
Ejemplo 4.8.1. Calcular: lı́m
Solución
La solución la obtenemos reemplazando directamente el valor de −3 en la función f (x), ası́:
2 × (−3)2 − 3 × (−3) + 1
28
2x2 − 3x + 1
lı́m
=
=
= −28
x→−3
x+2
−3 + 2
−1
Sin embargo, al momento de reemplazar el valor de a en la función f (x), podrı́amos encon0
trarnos con la indeterminación
, lo cual nos conlleva a analizar las siguientes posibilidades:
0
Si la función f (x) =
P (x)
Q(x)
es una función racional sin radicales, entonces descomponemos
los polinomios P (x) y Q(x) en sus factores primos para luego simplificar y ası́ levantar
la indeterminación.
Si la función f (x) =
P (x)
Q(x)
es una función racional con radicales, entonces racionalizamos
las expresiones irracionales a través de sus factores racionalizantes o conjugadas para
luego simplificar y ası́ levantar la indeterminación.
Observación 4.8.1. Para la racionalización es necesario recordar:
(an − bn ) = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + abn−2 + bn−1 )
(an + bn ) = (a + b)(an−1 − an−2 b + an−3 b2 − · · · − abn−2 + bn−1 ), si n es impar.
4.9.
Lı́mites laterales
Recuérdese que en la definición de lı́mite de una función f (x) en un punto x0 , requerimos
que f esté definida al menos en una vecindad de x0 , salvo quizás en el punto x0 ; sin embargo,
esta definición requiere implı́citamente que f esté definida a la izquierda y derecha de x0 . Este
√
hecho descarta la posibilidad de calcular, por ejemplo, el lı́mite de x cuando x tiende a cero.
El problema radica en que no existe una vecindad (intervalo abierto) de 0 contenida en el
dominio de la función raı́z cuadrada (el cual es R+
0 ) para poder acercarnos a cero por ambos
lados. En esta sección solucionaremos esta incapacidad con la introducción del concepto de
lı́mites laterales. Cabe señalar que este nuevo concepto tiene más aplicaciones. Mencionemos
unas cuantas:
Mostrar que el lı́mite de una función existe o no en un punto x0 , mediante el cálculo de
los lı́mites laterales en x0 .
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
153
Verificar si la gráfica de una función posee ası́ntotas verticales en puntos donde la función
no esté definida. Más aún, en el caso que exista una ası́ntota vertical en, por decir, x0 = a,
los lı́mites laterales nos ayudarán a describir el comportamiento de los valores de f (x)
cuando x se acerque al punto a.
Disponer del concepto de continuidad en un intervalo cerrado.
Consideremos la función f (x) = sgn(x) cuya gráfica es:
Y
1
0
X
−1
Se observa lo siguiente:
Si x se aproxima a cero por la izquierda, f (x) se aproxima a −1, es decir: lı́m f (x) = −1.
x→0−
Si x se aproxima a cero por la derecha, f (x) se aproxima a 1, es decir: lı́m f (x) = 1.
x→0+
Pasamos ahora a las definiciones principales:
Definición 4.9.1.
lı́m f (x) = L1 ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ |f (x) − L1 | < ε
x→a+
lı́m f (x) = L2 ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ |f (x) − L2 | < ε
x→a−
Teorema 4.9.1. lı́m f (x) = L si y sólo si lı́m f (x) = lı́m f (x) = L
x→a
4.10.
x→a+
x→a−
Lı́mites al infinito
Para calcular el lı́mite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞,
dependiendo del coeficiente del término de mayor grado del polinomio, por ejemplo:
lı́m (2x5 − 3x2 + 5) = +∞
x→∞
154
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
lı́m (−3x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞
x→∞
pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de
x7 es negativo.
Si tenemos un cociente de polinomios con una indeterminación
verla bastará recordar la siguiente regla:
∞
, entonces para resol∞
Dados los polinomios P (x) y Q(x) de grados m y n respectivamente, donde:
P (x) = am xm + am−1 xm−1 + am−2 xm−2 + · · · + a1 x + a0
Q(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + · · · + b1 x + b0
entonces:



±∞










P (x) 
= 0
lı́m
x→∞ Q(x)




am



b

n




si m > n,
donde el signo depende de los coeficientes.
si m < n
si m = n,
siendo am y bn los coeficientes principales de cada polinomio.
Cuando nos encontramos con la indeterminación ∞ − ∞ entonces analizamos las siguientes
posibilidades:
Si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente
de polinomios que ya sabemos resolver.
En caso de que aparezca una raı́z, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado
de la expresión radical.
4.11.
Lı́mites infinitos
Definición 4.11.1.
lı́m f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > K
x→a
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ δ > 0 / 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < −K
x→a
lı́m f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f (x) > K
x→a+
lı́m f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f (x) > K
x→a−
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ δ > 0 / 0 < x − a < δ ⇒ f (x) < −K
x→a+
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
155
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ δ > 0 / 0 < a − x < δ ⇒ f (x) < −K
x→a−
Definición 4.11.2.
lı́m f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ N ≫ 0 / x > N ⇒ f (x) > K
x→+∞
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ N ≫ 0 / x > N ⇒ f (x) < −K
x→+∞
lı́m f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ N ≫ 0 / x < −N ⇒ f (x) > K
x→−∞
lı́m f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ K ≫ 0, ∃ N ≫ 0 / x < −N ⇒ f (x) < −K
x→−∞
4.12.
Ası́ntotas
La palabra ası́ntota, (antiguamente, “ası́mptota”), proviene del griego asumptotos, compuesto de a = sin y de sumpipto = encontrarse; por tanto, nuestro término viene a significar
“sin encontrarse, sin tocarse”. En el estudio de funciones llamamos ası́ a una lı́nea recta hacia
la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas
durante dicha aproximación infinita.
Las ası́ntotas surgen de manera natural al estudiar el comportamiento de una función “en
el infinito” de las variables.
Definición 4.12.1. Consideremos una curva cualquiera y un punto A que se mueve a lo largo
la curva. Se dice que el punto A, que se mueve a lo largo de la curva, tiende al infinito si la
distancia entre A y el origen de coordenadas tiende al infinito.
Definición 4.12.2. Si la distancia d entre una recta L y el punto A que se mueve a lo largo
de una curva tiende a cero, cuando el punto A tiende al infinito, la recta L es llamada ası́ntota
de la curva; es decir, si lı́m d(A, L) = 0.
A→∞
Y
Y
L
A
d
A
d
0
L
X
0
X
En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su ası́ntota A. Sin embargo
aquello que hace a A una ası́ntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho
156
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales
intersecciones. Esto explica también la etimologı́a de la palabra ası́ntota la cual ya se ha
explicado deriva del griego a-sým-ptōtos, donde a posee un valor privativo (= no), mientras
que sým-ptōtos está compuesto por sym, “con”, y ptōtos, un adjetivo que connota a aquello
que “cae”. Entonces sýmptōtos describe aquello que “cae junto (a algo)”, o también aquello que
“interseca”, y asýmptōtos etimológicamente describe aquello que “no interseca”. De este modo
se puede recurrir a un lenguaje figurado y decir que además de las eventuales intersecciones
finitas existe una “intersección al infinito” entre A y C, y que por esto tal intersección se puede
aproximar entonces indefinidamente pero sin jamás alcanzarse. Es esta particular, inalcanzable
“intersección al infinito” la que hace a A “ası́ntota” de C.
Las ası́ntotas se clasifican en:


Verticales



Ası́ntotas Horizontales




Oblı́cuas
4.12.1.
Ası́ntota Vertical
Definición 4.12.3. La recta x = a es una Ası́ntota Vertical de la gráfica de la función
y = f (x) si:
f (a+ ) = lı́m f (x) =
x→a+
−∞
y/o si:
f (a− ) = lı́m f (x) =
x→a−

+∞

+∞
−∞
Ası́ntota Vertical Superior Derecha (AVSD)
(4.4)
Ası́ntota Vertical Inferior Derecha (AVID)
Ası́ntota Vertical Superior Izquierda (AVSI)
(4.5)
Ası́ntota Vertical Inferior Izquierda (AVII)
En la construcción de gráficas, las ası́ntotas verticales corresponden a aquellos valores de
la variable independiente que indefinen la función con una división entre cero.
4.12.2.
Ası́ntota Horizontal
Definición 4.12.4. La recta y = k es una Ası́ntota Horizontal de la gráfica de la función
y = f (x) si:
lı́m f (x) = k
Ası́ntota Horizontal Derecha (AHD)
(4.6)
lı́m f (x) = k
Ası́ntota Horizontal Izquierda (AHI)
(4.7)
x→+∞
y/o si:
x→−∞
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
157
2
6
–3
4
–2
–2
1
2
3
4
5
0
2
–3
–1
–2
–1
1
2
3
4
–4
5
–2
–6
(a) AVSD y AVSI
(b) AVID y AVII
Figura 4.6: Ası́ntotas Verticales
4
2
3
y
1
y 2
–6
1
–4
0
–2
2
x
4
6
–1
–4
0
–2
2
x
–1
4
–2
(a) AHSD y AHSI
(b) AHID y AHII
Figura 4.7: Ası́ntotas Horzontales
Las ası́ntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a
los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente
(x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente.
Definición 4.12.5. La recta y = mx + b es una Ası́ntota Oblı́cua de la gráfica de la función
y = f (x) si existen en R, los dos lı́mites siguientes:
f (x)
m = lı́m
x→+∞
x
Ası́ntota Oblı́cua Derecha (AOD)
b = lı́m [f (x) − mx]
(4.8)
x→+∞
y/o si:
m = lı́m
x→−∞
f (x)
x
b = lı́m [f (x) − mx]
x→−∞
Ası́ntota Oblı́cua Izquierda (AOI)
(4.9)
158
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
30
20
y
–15
–10
x
10
–5
5
10
0
–10
–20
–30
–40
Figura 4.8: Ası́ntota Oblı́cua
Observación 4.12.1. Si m = 0 entonces se obtiene la ası́ntota horizontal y = b.
Observación 4.12.2. Si la ecuación de la curva está dada por x = g(y), entonces las ası́ntotas
verticales, horizontales y oblı́cuas se obtienen de la siguiente manera:
i. Si
lı́m g(y) = k ó si
y→+∞
ii. Si existe a ∈ R tal que
lı́m = k, entonces la recta x = k es ası́ntota vertical.
y→−∞
lı́m g(y) = k ó
y→a
lı́m g(y) = k ó
y→a+
lı́m g(y) = k, entonces
y→a−
la recta y = a es ası́ntota horizontal.
iii. La recta x = ty + b es ası́ntota oblı́cua si y sólo si:
g(y)
=t
y→+∞ y
y
g(y)
=t
y
y
lı́m
ó
lı́m
y→−∞
4.13.
Lı́mites trigonométricos
Proposición 4.13.1.
1) lı́m sen x = 0
x→0
2) lı́m cos x = 1
x→0
sen x
=1
x→0 x
3) lı́m
tan x
=1
x→0 x
4) lı́m
lı́m [g(y) − ty] = b
y→+∞
lı́m [g(y) − ty] = b
y→−∞
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
159
1 − cos x
=0
x→0
x
5) lı́m
1 − cos x
1
=
2
x→0
x
2
6) lı́m
Demostración.
1) Recordemos que la medida en radianes de un ángulo se define por la siguiente igualdad:
s
θ = , donde s el la longitud del arco interceptado por el ángulo, sobre una circunferencia
r
de radio r, cuyo centro coincide con el vértice del ángulo, como se muestra en la siguiente
figura:
B
s
0
r
A
donde s es la medida del arco AB y r es el radio del cı́rculo.
Consideramos ahora un cı́rculo de radio uno y un ángulo agudo AOP cuya medida en
radianes es x.
P
1
s
x
0
Q
A
s
, por lo que x = s. El triángulo P QA es
1
rectángulo y sus catetos P Q y QA miden respectivamente sen x y (1 − cos x) (Note
En este caso como r = 1 se tiene que x =
que OQ = cos x). Por el teorema de Pitágoras se obtiene que:
(sen x)2 + (1 − cos x)2 = (P A)2
Como la longitud de P A es menor que la longitud del arco AP , es decir, es menor que x,
se tiene que:
(sen x)2 + (1 − cos x)2 < x2
160
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Como los dos sumandos del primer miembro de la desigualdad anterior son positivos,
entonces cada uno de ellos es menor que la suma de ambos, por lo que: sen2 x < (AP )2 y
(1 − cos x)2 < (AP )2 y como (AP )2 < x2 entonces:
sen2 x < x2
(1 − cos x)2 < x2
y
de donde | sen x| < |x| y |1 − cos x| < |x|
Si ε es un número positivo, podemos tomar δ = ε de tal forma que | sen x| < |x| < ε
y
|1 − cos x| < |x| < ε, siempre que 0 < |x| < δ. De esta manera:
| sen x − 0| < ε siempre que 0 < |x − 0| < δ por lo que: lı́m sen x = 0
x→0
2) Considerando el criterio anterior, se tiene:
| cos x − 1| < ε siempre que 0 < |x − 0| < δ por lo que: lı́m cos x = 1
x→0
Otra manera de verificar esta propiedad, es usando identidades trigonométricas, ası́:
p
lı́m cos x = lı́m 1 − sen2 x = 1
x→0
x→0
3) Observe que este lı́mite no puede resolverse por los procedimientos ya estudiados de factorización, racionalización o cambio de variable, y que al evaluar directamente se obtiene la
0
forma . Consideremos nuevamente un cı́rculo unitario y designemos por x el ángulo cen0
π
tral AOP (siendo en radianes su medida), con 0 < x < , como se muestra en la siguiente
2
figura:
B
P
s
1
x
0
Q
A
podemos observar que:
Area del triángulo AOP
sen x
2
obteniéndose
≤
≤
Area del sector AOP
x
2
sen x ≤ x ≤ tan x
≤
≤
Area del triángulo AOB
tan x
2
π
, entonces sen x > 0, por lo que podemos dividir los términos de la
2
desigualdad anterior por sen x, obteniendo entonces que:
Ahora para 0 ≤ x ≤
1≤
x
1
≤
sen x
cos x
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
161
luego invirtiendo se tiene:
cos x ≤
sen x
≤1
x
−π
sen(−x)
− sen x
< x < 0, pues
=
=
Esta última desigualdad también es válida cuando
2
−x
−x
sen x
y además cos(−x) = cos x
x
sen x
≤ 1 y además lı́m cos x = 1 y lı́m 1 = 1, aplicando el teorema 4.5.4 se
Como cos x ≤
x→0
x→0
x
sen x
=1
concluye que: lı́m
x→0 x
tan x
sen x 1
sen x 1
4) lı́m
= lı́m
= lı́m
lı́m
=1
x→0 x
x→0 x cos x
x→0 x
x→0 cos x
1 − cos x
sen2 x
1
sen x 5) lı́m
= lı́m
= lı́m
lı́m
lı́m sen x = 0
x→0
x→0 x(1 + cos x)
x→0 1 + cos x
x→0 x
x→0
x
1 − cos x
sen2 x
1
sen x 2 1
=
lı́m
lı́m
=
lı́m
=
6) lı́m
x→0
x→0 x2 (1 + cos x)
x→0 1 + cos x
x→0 x
x2
2
4.14.
Lı́mites exponenciales
Para calcular lı́mites exponenciales de la forma lı́m [f (x)]g(x) ó lı́m [f (x)]g(x) se pueden
x→a
x→∞
presentar varios casos:
Si existen los lı́mites
lı́m f (x) = L
x→a
y
lı́m g(x) = M
x→a
lı́m [f (x)]g(x) = LM .
x→a
Ejemplo: lı́m (x + 1)2x−3 = 2−1 = 1/2
x→1
Si
Si
lı́m f (x) = L > 1 y
x→a
lı́m f (x) = L > 1 y
x→∞
entonces:
L+∞
Ejemplo: lı́m
x→∞
Si
Si
lı́m g(x) = ±∞, ó
x→a
lı́m g(x) = ±∞,
x→∞
L−∞
= +∞ y
=0
2x + 1 2x−3
= 2∞ = +∞.
1+x
lı́m f (x) = L, con 0 < L < 1 y
x→a
lı́m f (x) = L, con 0 < L < 1 y
x→∞
lı́m g(x) = ±∞, ó
x→a
lı́m g(x) = ±∞,
x→∞
entonces: L+∞ = 0 y L−∞ = +∞
∞
1 + x 2x−3
1
Ejemplo: lı́m
=
= 0.
x→∞ 2x + 1
2
Si
Si
lı́m f (x) = L ≤ 0, y
x→a
lı́m f (x) = L ≤ 0, y
x→∞
lı́m g(x) = ±∞, ó
x→a
lı́m g(x) = ±∞,
x→∞
y son finitos, entonces:
162
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
En este caso el lı́mite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario.
Ejemplo: lı́m
x→∞
Si
Si
−3x + 1
1+x
lı́m f (x) = 1, y
2x−3
= (−3)∞ =6 ∃.
lı́m g(x) = +∞, ó
x→a
x→a
lı́m g(x) = +∞ En este caso se tiene la indeterminación 1+∞
lı́m f (x) = 1, y
x→∞
x→∞
que se resuelve haciendo:
h(x) = f (x) − 1, de modo que lı́m h(x) = 0, entonces:
x→a
n
og(x)h(x)
1
lı́m [f (x)]g(x) = lı́m [1 + h(x)] h(x)
x→a
de donde:
x→a
lı́m g(x)[f (x) − 1]
lı́m [f (x)]g(x) = e x→a
(4.10)
lı́m g(x)[f (x) − 1]
lı́m [f (x)]g(x) = e x→∞
(4.11)
x→a
x→∞
Ejemplo: Calcular lı́m
x→0
Solución:
1+x
2x + 1
2x + 3
x
Primera forma: Agregando y quitando 1
2x + 3
2x + 3
2x + 3
1+x
1+x
−x
x
x
x
lı́m
= lı́m 1 +
−1
= lı́m 1 +
=
x→0 2x + 1
x→0
x→0
2x + 1
2x + 1

−x 





2x + 1 2x + 1 






−x


−x
lı́m  1 +

x→0 


2x + 1







2x + 3
x
lı́m
= e x→0
−x
2x + 1
2x + 3
x
= e−3
Segunda forma: Usando la fórmula (4.10)
2x + 3
1+x
2x + 3
2x + 3
lı́m
−
1
lı́m
1+x
x
x
2x + 1
lı́m
= e x→0
= e x→0 2x + 1 = e−3
x→0 2x + 1
Nota 4.14.1. El caso en que el exponentetiende
−n a −∞ se reduce a este sin más que recordar
a n
b
=
las propiedades de las potencias:
b
a
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Matemática I
✍
163
EJERCICIOS RESUELTOS
4.
I. Aplicando la definición de lı́mite, demostrar los siguientes lı́mites.
1. lı́m (4x − 1) = 7
x→2
Solución
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / 0 < |x − 2| < δ =⇒ |(4x − 1) − 7| < ε
En efecto
|(4x − 1) − 7| = |4x − 8| = 4|x − 2|
ahora como |x − 2| < δ ⇒ 4|x − 2| < 4δ
por lo tanto será suficiente considerar: δ = ε/4, luego:
para ε > 0, tomando δ = ε/4, se tiene:
si 0 < |x − 2| < δ ⇒ |(4x − 1) − 7| < ε, lo que demuestra que lı́m (4x − 1) = 7
x→2
2
2. Demostrar que lı́m (x + x + 1) = 3
x→1
Solución
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / 0 < |x − 1| < δ =⇒ |(x2 + x + 1) − 3| < ε
En efecto
|(x2 + x + 1) − 3| = |x2 + x − 2| = |x + 2||x − 1|
ahora debemos acotar la expresión x + 2, para ello:
Sea δ1 = 1, entonces:
|x − 1| < 1
−1 < x − 1 < 1
1<x+2<3
|x + 2| < 3
ahora como:
|x − 1| < δ
|x + 2| < 3
entonces:
|x + 2||x − 1| < 3δ
por lo tanto será suficiente considerar: δ = mı́n{1; ε/3}
II. Lı́mite de una función en un punto
Calcular los siguientes limites:
x2 − 1
x→1 x3 − 1
Solución
x2 − 1
(x + 1)(x − 1)
x+1
2
lı́m 3
= lı́m
= lı́m 2
=
2
x→1 x − 1
x→1 (x − 1)(x + x + 1)
x→1 x + x + 1
3
1. lı́m
∴
x2 − 1
2
=
x→1 x3 − 1
3
lı́m
164
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Nota 4.14.2. Generalizando se tiene:
xm − 1
m
=
n
x→1 x − 1
n
lı́m
x4 − a4
x→a x3 − a3
Solución
x4 − a4
(x + a)(x − a)(x2 + a2 )
(x + a)(x2 + a2 )
4a3
4
lı́m 3
=
lı́m
=
lı́m
=
= a
2
x→a x − a3
x→a (x − a)(x2 + xa + a2 )
x→a x2 + xa + a2
3a
3
2. lı́m
∴
x4 − a4
4
= a
x→a x3 − a3
3
lı́m
Nota 4.14.3. Generalizando se tiene:
m m−n
xm − an
=
a
n
n
x→a x − a
n
lı́m
3.
12x3 − 8x2 − x + 1
x→1/2 12x3 − 20x2 + 11x − 2
lı́m
Solución
12x3 − 8x2 − x + 1
(2x − 1)2 (3x + 1)
3x + 1
lı́m
=
lı́m
= lı́m
= −5
3
2
2
x→1/2 12x − 20x + 11x − 2
x→1/2 (2x − 1) (3x − 2)
x→1/2 3x − 2
∴
12x3 − 8x2 − x + 1
= −5
x→1/2 12x3 − 20x2 + 11x − 2
lı́m
√
x−1
4. lı́m √
x→1 3 x − 1
Solución
√
√
√
√ 2 √
√ 2 √
x−1
( x − 1)( x + 1)( 3 x + 3 x + 1)
(x − 1)( 3 x + 3 x + 1)
√
lı́m √
= lı́m
= lı́m √
=
√
√
√
x→1 3 x − 1
x→1 ( 3 x − 1)( 3 x 2 + 3 x + 1)( x + 1)
x→1
(x − 1)( x + 1)
√
√
2
3
x + 3x+1
3
√
lı́m
=
x→1
x+1
2
√
x−1
3
∴ lı́m √
=
x→1 3 x − 1
2
Nota 4.14.4. Generalizando se tiene:
√
n
x−1
m
√
lı́m m
=
x→1
x−1
n
√
√
5
x− 5a
√
5. lı́m √
x→a 3 x − 3 a
Solución
√
√
5
x− 5a
√ =
lı́m √
x→a 3 x − 3 a
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
165
√
√ √ 4 √ 3√
√ 2√ 2 √ √ 3 √ 4 √ 2 √ √
√ 2
( 5 x − 5 a)( 5 x + 5 x 5 a + 5 x 5 a + 5 x 5 a + 5 a )( 3 x + 3 x 3 a + 3 x )
lı́m √
=
√ √
√ √
√
√
√ √
√ √
√ √
√
x→a ( 3 x − 3 a)( 3 x 2 + 3 x 3 a + 3 x 2 )( 5 x 4 + 5 x 3 5 a + 5 x 2 5 a 2 + 5 x 5 a 3 + 5 a 4 )
√ 2 √ √
√ 2
(x − a)( 3 x + 3 x 3 a + 3 x )
=
lı́m
√
√ √
√ √
√ √
√
x→a (x − a)( 5 x 4 + 5 x 3 5 a + 5 x 2 5 a 2 + 5 x 5 a 3 + 5 a 4 )
√
√ √
√ 2
√ 2
2
3
x + 3x3a+ 3x
33a
3 −2
lı́m √ 4 √ 3 √
=
= a 15
√
√
√
√
√
√
2
2
3
4
4
x→a 5 x + 5 x 5 a + 5 x 5 a + 5 x 5 a + 5 a
5
55a
√
√
5
x− 5a
3 −2
√
√ = a 15
∴ lı́m 3
x→a
5
x− 3a
Nota 4.14.5. Generalizando se tiene:
√
√
n
x− na
m m−1 − n−1
n
√
√ =
lı́m m
a n
m
x→a
n
x− a
√
√
√
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
√
√
6. lı́m
3
x→2
5x − 2 + x + 2 − 2x
Solución
√
√
√
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
√
√
√
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
x−
√
√
√
√2
lı́m
= lı́m
3
3
x→2
x→2
5x − 2 + x + 2 − 2x
5x − 2 + x + 2 − 2x
x−2
√
√
√
3
4
2
( 7x + 2 − 4) − ( 5x + 7 − 3) − ( x − 1 − 1)
x
√
√− 2
= lı́m
x→2
( 3 5x − 2 − 2) + ( x + 2 − 2) − (2x − 4)
x−2
√
√
√
3
4
7x + 2 − 4
5x2 + 7 − 3
x−1−1
lı́m
− lı́m
− lı́m
A−B−C
x→2
x→2
x→2
x
−2
x−2
x−2
√
√
=
=
3
D+E−F
5x − 2 − 2
x+2−2
2x − 4
lı́m
+ lı́m
− lı́m
x→2
x→2
x→2 x − 2
x−2
x−2
√
√
√
7x + 2 − 4
( 7x + 2 − 4)( 7x + 2 + 4)
7(x − 2)
7
A = lı́m
= lı́m
= lı́m
=
x→2
x→2
x→2 8(x − 2)
x−2
8(x − 2)
8
luego A = 7/8
√
√
√
√
2
3
5x2 + 7 − 3
( 3 5x2 + 7 − 3)( 3 5x2 + 7 + 3 3 5x2 + 7 + 9)
B = lı́m
= lı́m
x→2
x→2
x−2
27(x − 2)
5x2 − 20
5(x + 2)(x − 2)
5(x + 2)
20
= lı́m
= lı́m
=
x→2 27(x − 2)
x→2
x→2
27(x − 2)
27
27
= lı́m
luego B = 20/27
√
√
√
√
√
3
2
4
x−1−1
( 4 x − 1 − 1)( 4 x − 1 + 4 x − 1 + 4 x − 1 + 1)
C = lı́m
= lı́m
x→2
x→2
x−2
4(x − 2)
x−2
1
= lı́m
=
x→2 4(x − 2)
4
luego C = 1/4
166
Matemática I
D = lı́m
√
3
x→2
Walter Arriaga Delgado
√
√
√
2
5x − 2 − 2
( 3 5x − 2 − 2)( 3 5x − 2 + 2 3 5x − 2 + 4)
= lı́m
x→2
x−2
12(x − 2)
5(x − 2)
5
=
x→2 12(x − 2)
12
= lı́m
luego D = 5/12
√
√
√
x+2−2
( x + 2 − 2)( x + 2 + 2)
x−2
1
= lı́m
= lı́m
=
E = lı́m
x→2
x→2
x→2 4(x − 2)
x−2
4(x − 2)
4
luego E = 1/4
2x − 4
2(x − 2)
= lı́m
= 2, luego F = 2
x→2
x−2
x−2
reemplazando
F = lı́m
x→2
lı́m
x→2
√
7 20 1
√
√
−
−
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
A−B−C
8
27 4 = 25
√
√
=
=
3
5
1
D+E −F
288
5x − 2 + x + 2 − 2x
+ −2
12 4
√
√
√
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
25
√
√
∴ lı́m
=
3
x→2
288
5x − 2 + x + 2 − 2x
III. Lı́mites Laterales
1. Dada la función f (x) =
Solución
|x − a|
, calcular (en caso de existir) lı́m f (x)
x→a
x−a
Por definición de valor absoluto se tiene:

x − a
, si x ≥ a
|x − a| =
−(x − a) , si x < a
luego la función f (x) queda definida como:

, si x ≥ a
|x − a| 1
f (x) =
=
−1 , si x < a
x−a
lı́m f (x) = lı́m (−1) = −1
x→a−
x→a−
lı́m f (x) = lı́m (1) = 1
x→a+
x→a+
se observa que lı́m f (x) 6= lı́m f (x)
x→a−
x→a+
∴


3x + 5



2. Dada la función g(x) = x2 + 1




6−x
lı́m f (x) = ✓
∃
x→a
, si x < −1
lı́m g(x) y lı́m g(x)
, si − 1 < x < 2 , calcular x→−1
x→2
, si x > 2
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
167
Solución
lı́m g(x) = lı́m (3x + 5) = 2
x→−1−
x→−1−
lı́m g(x) = lı́m (x2 + 1) = 2
x→−1+
se observa que
x→−1+
lı́m g(x) = lı́m g(x)
x→−1−
x→−1+
∴
lı́m g(x) = 2
x→−1
lı́m g(x) = lı́m (x2 + 1) = 5
x→2−
x→2−
lı́m g(x) = lı́m (6 − x) = 4
x→2+
x→2+
se observa que lı́m g(x) 6= lı́m g(x)
x→2−
x→2+
∴
lı́m g(x) = ✓
∃
x→2
Y
X
0
 3
x − 2x2 − 5x + 6


, si x < 3
x−3
3. Dada la función h(x) =
, calcular lı́m h(x)
x−3
x→3

√
, si x ≥ 3
x + 22 − 5
Solución
3
x − 2x2 − 5x + 6
(x − 3)(x2 + x − 2)
lı́m h(x) = lı́m
= lı́m
x−3
x−3
x→3−
x→3−
x→3−
= lı́m (x2 + x − 2) = 10
x→3−
x−3
10(x − 3)
√
√
lı́m h(x) = lı́m √
= lı́m
x→3+
x→3+
x→3+ ( x + 22 − 5)( x + 22 + 5)
x + 22 − 5
10(x − 3)
lı́m
= 10
+
x−3
x→3
se observa que lı́m h(x) = lı́m h(x)
x→3−
x→3+
∴
lı́m h(x) = 10
x→3
168
Matemática I
4. Calcular lı́m
x→3/2
Solución
p
Walter Arriaga Delgado
|x| + J2xK
Como x → 3/2, entonces se tiene que 2x → 3, luego
Si x → (3/2)− entonces 2x → 3− , es decir 2 ≤ 2x < 3 por tanto J2xK = 2
Si x → (3/2)+ entonces 2x → 3+ , es decir 3 ≤ 2x < 4 por tanto J2xK = 3
Ahora
√
√
14
2
√
p
√
3 2
lı́m
|x| + J2xK = lı́m
x+3 =
2
x→(3/2)+
x→(3/2)+
p
p
se observa que lı́m
|x| + J2xK = lı́m
|x| + J2xK
lı́m
x→(3/2)−
p
|x| + J2xK =
lı́m
x→(3/2)−
x+2=
x→(3/2)+
x→(3/2)−
lı́m
∴
x→3/2
IV. Lı́mites Trigonométricos
p
|x| + J2xK = ✓
∃
Calcular los siguientes limites:
sen 4x
x→0 sen 7x
Solución
1. lı́m
sen 4x
sen 4x
4 lı́m
sen 4x
4
x
lı́m
= lı́m
= x→0 4x =
sen
7x
sen
7x
x→0 sen 7x
x→0
7
7 lı́m
x→0 7x
x
lı́m
∴
x→0
sen 4x
4
=
sen 7x
7
Nota 4.14.6. Generalizando se tiene:
lı́m
x→0
sen mx
m
=
sen nx
n
1 − cos 3x
x→0 1 − cos 5x
Solución
2. lı́m
1 − cos 3x
1 − cos 3x
9 lı́m
x→0
1 − cos 3x
9/2
9
(3x)2
x2
lı́m
= lı́m
=
=
=
1 − cos 5x
x→0 1 − cos 5x
x→0 1 − cos 5x
25/2
25
25 lı́m
x→0
x2
(5x)2
∴
lı́m
x→0
1 − cos 3x
9
=
1 − cos 5x
25
Nota 4.14.7. Generalizando se tiene:
1 − cos mx
m2
= 2
x→0 1 − cos nx
n
lı́m
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
169
x sen(sen 2x)
x→0 1 − cos(sen 4x)
3. lı́m
Solución
x sen(sen 2x)
sen2 4x
2x sen(sen 2x)
x sen(sen 2x)
lı́m
= lı́m
= lı́m
2
x→0 1 − cos(sen 4x)
x→0 1 − cos(sen 4x)
x→0
sen 4x
sen2 4x
2x sen(sen 2x)
sen 2x
4x 2x sen 2x
2x sen 2x
4x
= lı́m
= lı́m
= lı́m
2
2
x→0
x→0 sen 4x
x→0 sen 4x sen 4x
sen 2x
sen 4x
16x2
sen 2x
1
sen 2x
1
= lı́m
=
x→0 8x
4 x→0 2x
4
= lı́m
∴
x sen(sen 2x)
1
=
x→0 1 − cos(sen 4x)
4
lı́m
V. Lı́mites Exponenciales
Calcular los siguientes limites:
a3x − 1
x→0 a5x − 1
Solución
1. lı́m
a3x − 1
a3x − 1
3
lı́m
3 ln a
3
−1
lı́m 5x
= lı́m 5xx
= x→0 5x3x
=
=
x→0 a
− 1 x→0 a − 1
5 ln a
5
a −1
5 lı́m
x→0
x
5x
a3x
∴
a3x − 1
3
=
5x
x→0 a
−1
5
lı́m
Nota 4.14.8. Generalizando se tiene:
amx − 1
m
=
x→0 anx − 1
n
lı́m
VI. Problemas
1. El número de individuos, en millones, de una población, viene dado por la función:
15 + t2
P (t) =
, donde t se mide en años transcurridos desde t = 0. Calcula la
(t + 1)2
población inicial y el tamaño de la población a largo plazo.
Solución
Población inicial: P (0) = 15 millones de individuos
15 + t2
Población a largo plazo: lı́m P (t) = lı́m
=1
t→∞
t→∞ (t + 1)2
170
Matemática I
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS PROPUESTOS
4.
I. Aplicando la definición de lı́mite, demostrar los siguientes lı́mites, hallando el valor de δ,
(δ > 0), para los valores de ε dados.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
lı́m (2x − 5) = 1
ε = 0,01
R. δ = 0,005
lı́m (5x − 3) = 12
ε = 0,03
R. δ = 0,006
lı́m (3x + 5) = −1
ε = 0,012
R. δ = 0,004
lı́m (7x2 − 20x + 2) = 5
ε = 0,001
R. δ = 0,0000344
lı́m
ε = 0,004
R. δ = 0,004
ε = 0,015
R. δ = 0,005
x→3
x→3
x→−2
x→3
x2
−4
=4
x→2 x − 2
3x2 − 2x − 1
lı́m
=4
x→1
x−1
4x2 − 1
=2
lı́m
x→ 21 2x − 1
√
x−1
1
lı́m
=
x→1 x − 1
2
3x − 1
lı́m
= −5
x→−3 3x2 − 25
x2
=4
lı́m
x→2 7x − 13
x3 − 14x
lı́m
= −8
x→4 10x − 41
ε = 0,07
ε = 0,013
R. δ = 0,026
ε = 0,001
ε = 0,01
ε = 0,1
II. Aplicando la definición de lı́mite, demostrar los siguientes lı́mites.
1. lı́m (x + 2) = 5
x→3
2. lı́m (3x) = 12
x→4
5x
=5
x→3 3
4. lı́m (2x + 3) = 5
3. lı́m
x→1
R. δ = ε
R. δ = ε/3
R. δ = 3ε/5
R. δ = ε/2
5. lı́m (5x − 2) = −7
R. δ = ε/5
6. lı́m (4 − 3x) = 10
R. δ = ε/3
x→−1
x→−2
7. lı́m x2 = 4
x→2
8. lı́m (x2 + x + 1) = 3
R. δ = mı́n{1, ε/4}
9. lı́m (x2 + 5) = 6
R. δ = mı́n{1, ε/3}
x→1
x→−1
10. lı́m (3x2 − x − 2) = 8
x→2
11. lı́m (x2 − 3) = 13
x→4
12. lı́m (4x3 + 3x2 − 24x + 22) = 5
x→1
R. δ = mı́n{1, ε/14}
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
171
13. lı́m (−2x3 + 9x + 4) = −3
x→−1
14. lı́m (x2 − 4x) = −4
x→2
x−1
=0
2(x2 + 1)
4
=2
lı́m
x→4 x − 2
4
lı́m
=4
x→3 x − 2
x+3
lı́m
= −4
x→1 x − 2
x−9
lı́m
=2
x→−7 x − 1
2x4 − 6x3 + x2 + 3
lı́m
= −8
x→1
x−1
1
=5
lı́m
x→0 x + 0,2
√
x−3
1
lı́m
=
x→4 x − 9
6
√
lı́m 4x − 1 = 1
R. δ =
√
ε
15. lı́m
x→1
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
R. δ = mı́n{1/2, ε/10}
x→1/2
24. lı́m
x→6
√
x+3=3
1
1
25. lı́m √
=
x→1
2
5−x
1
=2
26. lı́m x3 +
x→1
x
x+1
8
27. lı́m
=
x→7 9x − 60
3
28. lı́m |2x − 7| = 3
x→2
29. lı́m |x2 − 2x − 3| = 4
x→1
III. Lı́mite de una función en un punto
Calcular los siguientes limites:
24x3 − 10x2 − 3x + 1
x→1/2 30x3 + 11x2 − 9x − 2
1. lı́m
R.
2x4 − 5x3 + 3x2 + x − 1
x→1 3x4 − 7x3 + 3x2 + 3x − 2
4x4 + 9x3 + 3x2 − 5x − 3
3. lı́m
x→−1
3x4 + 9x3 + 9x2 + 3x
s 7
{
x −1
4. lı́m
x→1 x6 − 1
3
5
7
R.
3
2. lı́m
1 − x2
, a > 0 y a 6= 1
x→1 (1 + ax)2 − (a + x)2
5. lı́m
10
49
R.
R. 1
R.
1
1 − a2
172
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
x7 − a7
x→a x3 − a3
2x2n + 1 − 3x−2n
7. lı́m 2n
x→1 3x
− 5 + 2x−2n
x2 − (a − 1)x − a
8. lı́m 2
x→a x − (a − 2)x − 2a
2
2
− 2
9. lı́m
x→2 3x − 6
2x − 5x + 2
6. lı́m
2x3 − 5x2 − 2x − 3
x→3 4x3 − 13x2 + 4x − 3
x2 − a2
lı́m 2
x→a 2x − ax − a2
4x4 + 9x3 + 3x2 − 5x − 3
lı́m
x→−1
3x4 + 9x3 + 9x2 + 3x
x3 + 6x2 + 9x
lı́m 3
x→−3 x + 5x2 + 3x − 9
√
√
x+a+b− a+b
lı́m
, a>0 , b>0
x→0
x
√
√
b2 − x − b2 − a
lı́m
x→a
x−a
3x − 6
√
lı́m
x→2 1 − 4x − 7
x−3
lı́m √
2
x→3
x +7−4
√
3− 5+x
√
lı́m
x→4 1 − 5 − x
√
√
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
√
√
3
x2 − 4 3 x + 4
lı́m
x→8
(x − 8)2
√
x−8
lı́m √
x→64 3 x − 4
√
3
x−1
lı́m √
x→1 4 x − 1
√
√
7
x− 7w
√
lı́m √
x→w 5 x − 5 w
p
√
2+ 3x−2
lı́m
x→8
x−8
√
√
3
5x + 3 − 3x + 1
√
lı́m
x→1
x − 3x + 2
√
√
n
x− na
lı́m
, a>0
x→a
x−a
R.
R. 5
R.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
a+1
a+2
R. 4/9
R. 11/17
10. lı́m
11.
7 4
a
3
R. 2/3
R. 7/3
R. 3/4
R.
1
√
2 a+b
−1
√
2 b2 − a
R.
R. −3/2
R. 4/3
R. −1/3
R. −1/3
R. 1/144
R. 3
R. 4/3
R.
√
5 35
w−2
7
R. 1/48
R. 2/15
R.
1
na
n−1
n
Walter Arriaga Delgado
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Matemática I
√
2− x−1
p
lı́m
√
x→5 1 − 3 3 − x − 1
√
3
x+7−2
√
lı́m √
x→1
x+7− 8
√
3
x+6−2
lı́m √
x→2
2x + 5 − 3
5x − 10
√
lı́m √
x→2 5 x − 5 2
√
3
x + 27 − 3
lı́m √
4
x→0
x + 16 − 2
√
√
3x − 8 − x
√
lı́m
x→2 3x − 2 15 − 3x
√
24x−4−4
lı́m √
x→20 5 x + 12 − 2
f (4 + h) − f (4)
1
lı́m
, f (x) = 2
h→0
h
x +4
f (−1 + h) − f (−1)
, f (1 − 2x) = 8x2
lı́m
h→0
h
√
√
q√ y
3
h3 + 1 + 5 h5 + 1 + h2 −
5
√
lı́m
h→0
h−h h+1
√
√
q√ y
3
3
h + 1 + 5 h5 + 1 + h3 −
7
√
lı́m
h→0
h − h h2 + 1
r
√
a−b
x2 + 2ax + a2 + 3 x3 +
− 2x − b
3
√
lı́m
√
a→b
a+x− x+b
r
r
a
−
b
b−a
x2 +
− 3 x3 +
2
3
√
lı́m
√
3
3
a→b
a+x− x+b
√
3
9x − JπK
lı́m √
x→3
3x − JπK
√
√
3x2 − 8 − x 3 x + 6 + x2 − 2
lı́m
x→2
x3 − 2x2 + x − 2
√
−x + 6 − 3
√
lı́m
√
2
x→−3 x − −x − 2 − 3 x2 − 1 + 2x
√
1 − 2x − 3
p
lı́m
√
x→2 2 − 3 9 − 2x − 3
|x3 − 1|
x→1 |x − 1| + |x − 1|2
√
n
4 − x2
x−1−1
√
√
45. lı́m
m
x→2 3 − x2 + 5
x−1−1
44. lı́m
173
R. −3
R.
√
2/3
R. 1/4
√
5
R. 25 24
R. 32/27
R.
√
6/12
R. 5
R.
−1
50
R. −8
R. −2
R. −8/3
√
2 b + x(1 + 9x2 )
R.
9x2
R.
p
3
(b + x)2 (9x + 4)
12x2
R. 2/3
R. 29/30
R. 1/18
R. −12
R. 3
R. 6m/n
174
Matemática I
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
Walter Arriaga Delgado
p
√
3
3 sgn(x3 + 6) − 2x) 28 x2 + 13 − 196
s
lı́m
!
r
x→−6
rxz
√
3
x + 6 2 − 3 4 + |x − 2| − 4
4
√
√
3
3x2 + x + 4 + x2 + 5x + 10 − 6x2
p
lı́m
√
√
3
x→1
x + 3 + 6 + x + 8 − 5x2
√
√
3
5x2 + 7 + x4 + 9 − 8
lı́m p√
√
x→2 3
x2 + 5 + 9x + 6 + x + 2 − 5
p
√
√
3
(x2 + 1)2 − 2 3 2x2 + 2 + 3 4
lı́m
x→1
(x − 1)2
√
√
4x − 3 − 3 6x + 9
√
lı́m √
x→3 3 3x − 1 − 4 4x + 4
√
√
3
2x + 6 − 2x − 1 − 1
√
lı́m √
x→1 4 3x − 2 − 3 3x + 5 + 1
√
√
√
9
x − 1 + 4 11 x − 1 − 13 x − 1 + 4
√
√
lı́m √
x→0 3 x − 1 − 5 5 x − 1 + 7 x − 1 − 3
√
√
5
x+1−36x+1+2
√
lı́m √
x→0 18 x + 1 + 25 x + 1 − 2
√
√
3
3x + 2 − 3x − 2
√
lı́m √
x→2 4 2x + 12 − 3 x + 6
√
√
3
1−x+ x+3−2
√
lı́m
3
x→1
x2 − 3x + 2
√
√
3
x3 − 8 + 5 32 − x10
√
lı́m √
x→0
x3 + 4 − 4 x4 + 16
√
√
√
x2 − 3x + 3 + 3 2x2 + 3x + 3 − 5 7x3 + 10x2 + 8x + 7 − 1
√
√
lı́m
4
x→1
2x4 − 3x2 + 8x + 9 + 6 3x3 + 5x2 − 4x − 3 − 3
p√
3
−9x + 1 − 2
√
lı́m
x→3
2 − 3 x + 11
p√
|x + 1|3 + |x + Jx/8K | − 3 7 − x + 2
q √
lı́m
x→−1
2 + 5 9 3 7x − 20 + 5 sgn(x3 − 8)
p√
|x − 3|2 + 26|x + 3| − 26
3x + 33
r
lı́m
2
x→3
3 x + 15x − 6
4−2
x+3
q√
√
x3 + 3 x − 3x − 1
√
lı́m
√
x→1 x + 3 3 x − 3 3 x2 − 1
p√
√
x
x2 + 5 − x2 3 x3 + 3x2 + 7 + 4x − 2
√
lı́m
x→2
2x − x3 + 3x + 2
√
√
√
(x3 − 64)( 99 x − 3 − 1)( 3 3x − 4 + x2 + 9 − 7)
√
lı́m
√
√
x→4
(2 − 3 x + 4)( 33 x − 3 − 1)(7 − x3 − 15)
(3 −
p
√
R. −64 3 3
R.
R.
506
471
6384
985
R. 32/9
R. −5/3
−3584
4719
R.
R.
−135
43
R. 24
R. 1
R.
1
3
R. 0
R. 5/7
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
175

p
! q
√
5
5x − 10  2 + 8x/5 − 2 
√
64. lı́m
√
x→20 2 5 − x
x2 − 400
√
√
√
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
√
√
65. lı́m
3
x→2
5x − 2 + x + 2 − 2x
x2 − mx + 3x − 3m
, hallar los valores de m, tal que lı́m f (x) = m2 − 17
x→m
x−m
3
2
2
x − 2a x + ax
67. Si f (x) =
y lı́m f (x) = 2a − 5. Hallar el valor de a sabiendo
x→1
2ax + x2
que a > 0
f (x)
g(x)
f (x)
68. Si se sabe que lı́m
= 4 y lı́m
= −6. Calcular lı́m
x→1 1 − x3
x→1 1 − x2
x→1 g(x)
66. Si f (x) =
f (x + 2)
g(x + 2)
f (x)
69. Si lı́m √
=8 y
lı́m
= 3. Calcular lı́m
2
x→−2
x→−2 x − 4
x→0 g(x)
−2x − 2
p
√
f (a + x)
g(a + x)
√
70. Si lı́m √
= 12 b + x y lı́m √
= 9 3 (b + x)2 . Ha√
3
3
a→b
a→b
a+x− b+x
b+x− a+x
f (a + b + x)
llar lı́m
a→0 g(a + b + x)
71. Si f (x) = x − 2
y
(f · g)(x + 1)
x→2 (g · f )(x + 2)
g(x + 1) = x2 − x, calcular lı́m
x2 − 1
= L 6= 0, calcular el valor de a + b.
x→1 ax2 + 2x + b
√
√
k
x−1
x+1−1
73. Si lı́m
= L 6= 0 hallar lı́m √
.
x→1 x − 1
x→0 k x + 1 − 1
{
s √
1 p
3
4
100x + 2 sgn(16 − x ) + 3 x2 + 2 − x − 6
5
p
74. lı́m
√
x→−5
x2 + −5x + 6 − 6
√
f (m + x)
+
√
75. Sean m, n ∈ R . Si lı́m √
= 12 m + n, y si
x→n
m+x− m+n
p
f (m + n + x)
g(m + x)
√
lı́m √
= 9 3 (m + n)2 , hallar lı́m
3
3
x→n
x→0 g(m + n + x)
m+n− m+x
72. Si lı́m
R. −2
R. L−1
R.
296
189
R. −2
IV. Limites Laterales
En los siguientes ejercicios, trazar la gráfica y hallar el lı́mite indicado si existe, en caso
contrario justifique su respuesta.
x + |1 − x|
x2 + 1
i) lı́m f (x)
1. f (x) =
R. 1
x→0
ii) lı́m f (x)
x→1
√
√
36
x−1− 9 x−1
√
2. lı́m
36
x→1+ 3x2 − 3 +
x−1
R. 1/2
√
x3/2 − 1 + x − 1
√
x2 − 1
!
176
Matemática I
√
3. lı́m
x→1+
4. lı́m
x→ 35
5. lı́m
x→ 25
6. lı́m
x→0
p
p
p
Walter Arriaga Delgado
√
x+ x−1−1
√
x2 − 1
|x| + J(3x)K + 4
|x| + J(3x)K + 4
R.
√
2/2
R. ✓
∃
√
R. 3 6/2
J(9 + x2 )K
R. 3
x3 + x2 + 3x − 3
x→1
|x − 1|
7. lı́m
8. lı́m
x→1
x3 + x2 + 3x − 3
x−1
x3 − 2x2 − 4x + 8
x→2
|x − 2|
q 2
y
2 x + 1 + |x + 2| − 2
10. lı́m
√ −
J3x + 2K
x→ 2
9. lı́m
11.
2
2
lı́m
√ [x − sgn(|x − 1| − 1)]
+
x→ 2
4
2
12. lı́m
√ [x − sgn(|x − 1| − 1)]
x→ 2
13. lı́m [3x + sgn(|x2 − 1| − 1)]
x→0
14.
lı́m√ [x2 + 5 + sgn(|x2 − 1| − 1)]
x→− 2
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
q y
x2 − x3
lı́m
x→6 J2xK + 10
q y
12 − x3
lı́m
x→ 61 J3xK − 10
√
√
√
5 5 x − 2 + 3 3 2 − x + 2 2x − 1 + 6x2 − 6
lı́m
x2 − x
x→1−
√
√
√
√
5 5 x + 2 − 4 4 −1 − 2x + 3 2 + x − 2 −1 − 2x + 5x + 3
lı́m
x2 + x
x→1−
√
√
√
√
3
x2 − 2 3 x + x3 + 3 x − 3x
lı́m
(x − 1)2
x→1+
√
√
−9x + 3 x − 2
lı́m
x+1
x→−1+
r
x3 3 JxK √
−
+ 3−x
3
2
p
lı́m
x→3−
9sgn(x − 1) − x2

x−5


√
, si x ≥ 5

1− x−4
lı́m f (x), donde: f (x) =
2
x→5


 x − 12x + 35 , si x < 5
x−5
R. −7/6
R.
√
6/6
R. −2
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
23. lı́m f (x), donde: f (x) =
x→2


6x − x2



6
177
, si x < 2
, si x = 2




∃
R. ✓
2x2 − x − 3 , si x > 2

x3 − 5x2 + 11x − 10



, si x < 2


 5x3 − 22x − 10x2 + 44
24. lı́m f (x), donde: f (x) = −1
R. −3/2
, si x = 2
x→2



3x − 6


√
, si x > 2

1 − 4x − 7

Jx − 1K − x


, si − 9 ≤ x < −2
 p
x − JxK
25. lı́m f (x), donde: f (x) =
R. −2
x→−2

J3xK − 3 JxK − 8 Jx/3K


, si − 2 ≤ x < 7
x − |x|
26. Hallar a y b para que lı́m f (x) = f (0) y f (1) = 1, donde:
x→0
R. a = 3 y b = 1/4

bx2 + ab
f (x) =
2√x2 + b − b
, si x ≥ 0
, si x < 0
27. Hallar a y b de tal manera que existan los lı́mites de f (x) en x = −3 y x = 3, donde:

x3 + 3x2 − 9x − 27



, si x < −3


x+3

f (x) = ax2 − 2bx + 1
, si − 3 ≤ x ≤ 3


2

 x − 22x + 57


, si x > 3
x−3
R. a = −1 y b = 4/3
V. Lı́mites al infinito
Calcular los siguientes limites:
1.
2.
3.
4.
5.
2x3 + 3x2 − 5x + 7
x→+∞ 3x3 + 5x2 − 9x − 15
7x5 + 3x3 − 5x2 + 7
lı́m
x→−∞ 2x5 − 5x3 − 3x − 5
(x + 1)(2x + 1)(3x + 1) − 2
lı́m
x→∞
6x3 − 8x + 5
(3x3 + 8)(2x2 + 5) + 7x5 − 4
lı́m
x→∞ (2x2 − 9)(6x + 1)(2x2 − 1) + 2x5 + 6
q
√
√
√
3
8 4 x + 5 32x + 3 12 x + 3
lı́m q √
√
√
x→+∞ 4
16 3 x − 4 81x − 3 12 x − 2
lı́m
R. 2/3
R. 7/2
R. 1
R. 1/2
R. −5
178
Matemática I
x3 + 1
x2 − 7
−
+x+4
x+5
1 + 2 + 3 + ··· + x
lı́m
x→+∞
x2
2
2
1 + 2 + 32 + · · · + x2
lı́m
x→+∞
x3
13 + 23 + 33 + · · · + x3
lı́m
x→+∞
x4
q
p
√
x+ x+ x
√
lı́m
x→+∞
x+1
p√
√
√
x+ 3x+ 4x
√
lı́m
4
x→+∞
16x + 1
p
lı́m ( x2 − 4x + 3 − x)
x→+∞
p
lı́m ( x2 − 2x + 4 + x)
x→−∞
p
3
lı́m (x + 1 − 2x2 − x3 )
x→−∞
p
lı́m ( 4x2 − 12x + 5 − 2x)
x→+∞
p
lı́m ( 9x2 + 8x − 15 − 3x)
x→+∞
p
p
lı́m ( 16x2 + 8x + 6 − 16x2 − 8x − 6)
x→+∞
p
3
lı́m ( 8x3 + 4x2 + 5x − 7 − 2x)
x→∞
p
4
lı́m ( 256x4 + 32x3 − 13 − 4x)
Walter Arriaga Delgado
6. lı́m
R. 4
x→∞ x2
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
x→+∞
p
lı́m ( (x + a)(x + b) − x)
x→+∞
p
lı́m ( 3 (x + a)(x + b)(x + c) − x)
x→+∞
p
lı́m ( (x + a)(x + b) + x)
x→−∞
hp
i
3
lı́m
27x3 + 5x2 + 2x + 7 − JπK x
x→+∞
hp
i
4
lı́m
16x4 + 15x3 − 2x + 1 − 2x
x→+∞
hp
i
3
lı́m
64x6 + 16x4 − 5x + 12 − 4x2
x→+∞
hp
i
3
lı́m
125x9 + 15x6 − 2x2 + 8 − 5x3
x→+∞
"r
#
q
√
√
lı́m
4x + 4x + 4x + Jtan(2π/3)K x
x→+∞
p
p
4
lı́m ( x4 + x2 + 1 − x8 + x6 + 1)
x→+∞
R. 1/2
R. 1/3
R. 1/4
R. 1
R. 1/2
R. −2
R. 1
R. −2/3
R. −3
R. 1/3
R. 1/8
a+b
2
a+b+c
R.
3
a+b
R. −
2
R.
R. 5/27
R. 15/32
R. 1/3
R. 1/5
R. 1/2
R. 1/4
Walter Arriaga Delgado
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Matemática I
179
p
x(x + a) − x
R. 1/2
s {
1
3
x + x3 − ax2 + 5
x
s
s
"
#
s {
s {! p
1
1
3
+ 5 32 +
− 64x3 + 24x2 + 3
lı́m x 3 8 +
x→+∞
x3
x5
"r
#
r
2 − a2
a
−
b
b
3x + 2
3
lı́m
a2 x2 +
− a3 x3 +
R.
a→+∞
2
2
12x2
"
#
r
p
p
a+b
2
2
2
2
R. 0
lı́m
a + a x + b + a x − 2 a2 x2 +
a→+∞
2
"
#
r
p
p
a2 + b2
3
3
3
2
3
3
2
3
3
3
3
lı́m
a +a x + b +a x −2 a x −
a→−∞
3
√
√
3
8x9 + 3x4 + 1 + 5 x10 + x2 + 1 + 10
√
R. 2
lı́m √
x→+∞ 4 x4 + x2 + 1 + 4 x12 + x2 + 1 − 10
√
√
3
64x6 + 3x4 − 3 − 16x4 + 2x2 + 7
√
lı́m √
R. 15/4
x→+∞ 5 32x10 + x8 + 5 − 4 16x8 + 2x6 + 1
√
√
√
3
64x6 + x4 + 1 − 4x4 − x2 + 1 − 2 4 x8 + x6 − 1
−55
√
√
lı́m √
R.
x→+∞ 5 32x10 + x8 + 1 − 4 x8 + x6 + 1 − 3 x6 − x4 + 1
23
p
p
p
3
4
64x6 + 5x4 − 7 − 4x4 − 4x2 + 9 − 16x8 + 2x6 + 7x3 − 2
R. 25/24
lı́m
x→+∞
p
p
p
3
4
lı́m
8x6 + 3x4 + 5x2 − 8 − x8 + 5x6 + 1 − x4 + 6x2 − 1
x→−∞
p
p
p
p
3
4
5
27x3 + 2x2 + 1 − 16x2 − 2x + 16x4 + 5x3 − x5 + 2x4 − 1
lı́m
lı́m
x→+∞
s
x→∞
VI. Lı́mites infinitos
Calcular los siguientes limites:
x+1
x→1+ x2 − 1
x+1
lı́m 2
x→1− x − 1
x+3
lı́m 3
x→3− x − 27
3x2 − 5x + 16
lı́m
x→2+ x2 + x − 6
5x2 − 3x + 21
lı́m
x→2− x2 + x − 6
√
x2 − 25
lı́m
x−5
x→5+
1. lı́m
R. +∞
2.
R. −∞
3.
4.
5.
6.
R. −∞
R. +∞
R. −∞
R. +∞
VII. Ası́ntotas
Hallar las ası́ntotas de las gráficas de las funciones dadas y trazar su gráfica mostrando
sus ası́ntotas:
180
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
x2 + 2
x−2
x3
2. f (x) =
(x − 1)2
1. f (x) =
x4 + 1
2
√x
4. f (x) = 1 + x2 + 2x
3. f (x) =
x2
2−x
x
6. f (x) =
1 + x2
x2 − 3x + 2
7. f (x) =
x2 + 1
x2
8. f (x) = √
x2 − 1
5. f (x) =
9. f (x) = e1/x
10. f (x) = (x − 1)e−x
x2
1
11. f (x) = √ e− 2
2 2π
ln x
12. f (x) =
x
VIII. Lı́mites Trigonométricos
Calcular los siguientes limites:
sen(x + h) − sen x
h→0
h
n
sen(x )
lı́m
, m, n ∈ Z+ ; n > m
x→0 (sen x)m
5x + 2 sen x
lı́m
x→0 3x − 2 sen x
2x − arcsen x
lı́m
x→0 2x + arcsen x
1 − cos3 x
lı́m
x→0 x sen 2x
1 + sen x − cos x
lı́m
x→0 1 − sen x − cos x
tan x − sen x
lı́m
x→0
x3
cos(ax) − cos(bx)
lı́m
x→0
nx2
x − sen(ax)
lı́m
x→0 x − sen(bx)
√
1 − cos x
lı́m
x→0
x2
1. lı́m
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
R. cos x
R. 0
R. 7
R. 1/3
R. 3/4
R. −1
R. 1/2
b2 − a2
2n
1−a
R.
1−b
R.
R. 1/4
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
cos(a + x) − cos(a − x)
x→0
x
sen(a + x) − sen(a − x)
12. lı́m
x→0 tan(a + x) − tan(a − x)
3x2 + 1 − cos(5x)
13. lı́m 2
x→0 7x − 1 + cos(3x)
11. lı́m
3x2 + 1 − cos(2x)
x→0 5x2 − 1 + cos(3x)
1 + sen2 (3x) − cos(5x)
15. lı́m
x→0 1 − sen2 (3x) − cos(5x)
x2 + 1 + sen2 (2x) − cos(5x)
16. lı́m 2
x→0 x + 1 + sen2 (4x) − cos(3x)
181
R. −2 sen a
R. cos3 a
R. 31/5
14. lı́m
5x2 + tan2 5x
x→0 2x2 + tan2 2x
√
√
1 + sen x − 1 − sen x
lı́m
x→0
x
p
p
1 + sen(ax) − 1 − sen(ax)
lı́m
x→0
bx
√
√
1 + sen x − 1 − sen x
lı́m
x→0
tan x
√
√
2 − cos x − cos x
lı́m
x→0
x2
√
1 + sen2 x − cos x
√
lı́m
x→0 sec x − 1 − tan2 x
sen x cos x − sen x
lı́m
x→0
x3
sen(1 − cos x)
lı́m
x→0
x2
1 − cos(sen2 3x)
lı́m
x→0
x4
1 − cos(sen(ax))
lı́m
x→0 sen2 (sen(bx))
x sen(sen(ax))
lı́m
x→0 1 − cos(sen(bx))
sen2 (sen 3x)
lı́m
x→0 1 − cos(sen 2x)
x tan(2 sen 5x)
lı́m
x→0 1 − cos(tan 2x)
√
√
cos x + sen x − cos x − sen x
lı́m
x→0
x
√
√
5 − cos x − 3 + cos x
lı́m
x→0
x2
√
√
x( 9 + sen x − 9 − sen x)
√
lı́m √
x→0
17 − cos x − 15 + cos x
R. 43/7
R. 35/43
17. lı́m
R. 5
18.
R. 1
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
R. a/b
R. 1
R. 1/2
R. 1
R. −1/2
R. 1/2
R. 81/2
a2
2b2
2a
R. 2
b
R.
R. 5
R. 1
R. 1/4
182
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
sen x − cos5 2x sen x
R. 10
x→0
x3
√
x2 + 4 − 3 cos x + 1
lı́m
x→0
1 − cos x
√
√
3
2
x + 8 − x2 + 4 + cos 2x − 1
lı́m
R. −1/2
x→0
1 − cos 3x
sen2 (x + h) − sen2 x
R. sen 2x
lı́m
h→0
h
sen(a + 2h) − 2 sen(a + h) + sen a
lı́m
R. − sen a
h→0
h2
tan(a + 2h) − 2 tan(a + h) + tan a
lı́m
R. 2 tan a + 2 tan3 a
h→0
h2
√
√
√
2 − 1 + cos x
2
R.
lı́m
x→0
sen2 x
8
√
√
1 + x sen x − cos 2x
lı́m
R. 6
x
x→0
tan2
√2
√
x3 sen(sen( 1 + sen x − 1 − sen x))
√
lı́m
x→0
1 − cos(sen(1 − cos x))
π
π
sen
+ x − sen
− x 2(1 − cos x) 4
π
π4
lı́m
R. −1
x→0
x2
cos
+ x − cos
−x
4
4
1 + cos πx
π2
lı́m 2
R.
x→1 x − 2x + 1
2
−3
sen 3x
R.
lı́m
x→π sen 2x
2
√
cos x − sen x
2
lı́m
R.
cos 2x
2
x→π/4
1 − sen x
lı́m 2
x→π/2 π
−x
2
πx
lı́m (1 − x) tan
x→1
2
π
lı́m
− x tan x
x→π/2 2
p
nπ
3nπ
5nπ
6
lı́m n + 1 sen
sen
sen
R. 15π 3
n→∞
n+1
n+1
n+1
a
a
a
a
sen a
lı́m cos
cos 2 cos 3 · · · · · · cos n
R.
n→∞
2
2
2
2
a
a
a
a
a
a
lı́m 1 − tan2
1 − tan2 2
1 − tan2 3 · · · · · · 1 − tan2 n
R.
n→∞
2
2
2
2
tan a
33. lı́m
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
IX. Lı́mites Exponenciales
Calcular los siguientes limites:
x
x
1. lı́m
x→∞ x + 1
R. e−1
Walter Arriaga Delgado
2. lı́m
x→∞
3. lı́m
4. lı́m
5. lı́m
6. lı́m
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2x + 3
2x − 5
3x + 4
3x − 5
Matemática I
2x−7
R. e8
2x+5
x2 + 3x + 7
x2 − x + 1
x+2
2x2 − 4x + 11
2x2 − 9x − 7
3x2 + 12x + 5
3x2 + 5x − 3
3x+2
5x−12
3x+9
2x3 − 3x2 + 5x − 7
lı́m
x→∞ 2x3 − 7x2 − 5x + 8
3
5x2 +2x+7
3x + 5x − 7
lı́m
x→∞ 3x3 − 5x + 8
x2 +2
3
x + 5x + 3
lı́m
x→∞
x3 + 1
b x+b
a1 x2 + a2 x + a3 1 2
lı́m
x→∞ a1 x2 + a4 x + a5
b x+b
a1 x3 + a2 x2 + a3 x + a4 1 2
lı́m
x→∞ a1 x3 + a5 x2 + a6 x + a7
b x2 +b2 x+b3
a1 x3 + a2 x + a3 1
lı́m
x→∞ a1 x3 + a4 x + a5
√x4 −3x2 −x
4
x + 3x2 + 2x + 1
lı́m
x→+∞
x4 + 5x + 4
!

x sen 1
3x




1

s
lı́m 


x→+∞

1 
x sen
4x
15. lı́m
x→0
1−
√
183
cos x
x2
sen x − tan x
x3
1
16. lı́m [1 + sen ax] bx
x→0
R. e4
R. e15/2
R. e35/3
R. e6
R. e50/3
R. e5
R. e
(a2 −a4 )b1
a1
R. e
(a2 −a5 )b1
a1
R. e
(a2 −a4 )b1
a1
R. e3
R.
R. 2
R. ea/b
1
17. lı́m (cos ax) sen bx
R. 1
x→0
1
18. lı́m ln(cos 5x) x2
x→0
1 − cos e5x − 1
19. lı́m
x→0
x2
a
a x
20. lı́m cos + k sen
x→∞
x
x
√
3
2
−25
2
25
R.
2
R.
R. eak
184
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
21. lı́m (cos x + a sen bx)1/x
x→0
1 + tan x 1/ sen x
22. lı́m
x→0 1 − tan x
R. eab
R. e2
1
+ sen 3x 1 − cos 2x
23. lı́m
x→0
sen 3x
sen2 (sen 2x)
24. lı́m (1 + tan x) x sen 3x
x2 sen 2x
x→0
sen(sen 2x)
x(1
− cos(sen 4x))
25. lı́m (2 − cos x)
x→0
26. lı́m (2 −
x→0
√
1
√
√
cos x) x( 1 + sen x − 1 − sen x)
1
27. lı́m ( 1 + sen 3x) sen(7x)
x→0
√
3
ln(x + h) − ln x
h
p
3
ln cos(ax)
29. lı́m
x→0
bx2
x
3 − 7x
30. lı́m
x→0
x
2x − 5x
31. lı́m x
x→0 3 − 4x
28. lı́m
R. 1/x
h→0
eax − ebx
x→0
x
ex − e−x
lı́m
x→0 sen x
esen 2x − esen x
lı́m
x→0
x
sen
x(e 4x − esen 3x )
lı́m 1−cos 2x
x→0 e
− e1−cos 3x
1−cos
x
e
−1
lı́m
x→0
x sen x
x
ee −1 − 1
lı́m
x→0
x
sen(tan ax)
lı́m
x→0 tan(sen bx)
sen2 (e5x − 1) + 1 − cos(e4x − 1)
lı́m
x→0 sen2 (e3x − 1) + 1 − cos(e2x − 1)
(x + 1)a − 1
lı́m
x→0
x
x−a
lı́m
x→a ln x − ln a
32. lı́m
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
R. ln(3/7)
R.
ln(2/5)
ln(3/4)
R. a − b
R. 2
R. 1
R. 1/2
R. 1
R. a/b
R. 3
R. a
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
185
xn − an
x→a ln xn − ln an
42. lı́m
43. lı́m
e
√
sen 9x
√
−1
4x
√
√
3
1 + x − 1 − x + 1 + sen 3x − e3x
44. lı́m
x→0
tan 3x − e2x + 1
x→0+
R. 5/6
X. Problemas de aplicación
z A la fı́sica
1. La intensidad de la luz en los lagos disminuye con la profundidad. Si se indica
por I(z) la intensidad de la luz a profundidad z, siendo z = 0 la superficie,
tenemos que
1
I(z) = I0 e− 15 ln(10)z
¿Qué sucede con I cuando la profundidad es muy pero muy grande?.
R. 0
z A la biologı́a
1. La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:
P (t) =
20(t − 1)
+ 40
4 + (t − 1)2
donde t es el tiempo en años. Calcula la población máxima de manera aproximada y el lı́mite cuando t tiende al infinito y dibuja aproximadamente la gráfica
de la función.
R. Pmáx = 45; Pinf = 40
2. Un cultivo de bacterias crece siguiendo la función logı́stica
y=
1,25
,
1 + 0,25e−0,4t
0≤t
donde y denota el peso en gramos de cultivo y t el tiempo en horas. Calcular
el peso lı́mite del cultivo cuando t tiende al infinito.
R. 1,25
3. La población de un cultivo de bacterias viene descrita por la función logı́stica
y=
850
1 + e−0,2t
donde y es el número de bacterias y t el tiempo en dı́as. Hallar el lı́mite de la
función cuando t tiende al infinito.
R. 850
z A la medicina
1. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre mononucleosis t dı́as después del primer caso reportado está dado por
y=
100t2
2t2 + 32
Hallar el lı́mite de la función cuando t tiende al infinito.
R. 50
186
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
z Diversos
1. Alessandra y Grace tienen una piscina en su jardı́n y al llegar el verano necesitan
cambiar el agua de la piscina. Abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar
según la función:
v(t) =
√
t+3−2
t−1
donde t es el tiempo de vaciado en horas y v(t) es el volumen de agua expresado
en m3 . Averigua hacia donde se aproxima el volumen de la piscina cuando el
R. 0,25 m3
tiempo se aproxima a 1 hora.
2. La producción (en millones de pies cúbicos por acre) para un bosque a los t
años de edad viene dada por V = 6,7e−48/t , calcular el volumen lı́mite por acre
cuando t tiende al infinito.
R. 6,7
3. En un grupo de investigación sobre el aprendizaje se propone como modelo para
la proporción P de respuestas correctas tras n intentos
P =
0,83
1 + e−0,2n
calcular la proporción lı́mite de respuestas correctas cuando t tiende al infinito.
R. 0,83
5
CONTINUIDAD
Objetivos:
z Determinar si una función es continua o discontinua en un punto de su dominio.
z Determinar si la discontinuidad de una función es removible.
z Redefinir una función discontinua para que sea continua en un punto.
z Encontrar los puntos de discontinuidad de una función.
5.1.
Introducción
Cuando empezó a desarrollarse el cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se
trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentı́a la necesidad de penetrar en el significado
exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones
discontinuas en conexión con distintas clases de problemas fı́sicos. En particular, los trabajos
de J.B.J. Fourier (1758–1830) sobre la Teorı́a del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y
continuidad.
Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por medio
de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por primera vez en 1821
por el matemático francés Augustı́n Louis Cauchy1 .
5.2.
Continuidad de una función en un punto
La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una lı́nea sin
saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel. Esta idea se traspone
1
Augustin Louis Cauchy (Parı́s, 21 de agosto de 1789. Sceaux, 23 de mayo de 1857) matemático francés.
187
188
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
al gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad de una función.
Observemos los siguientes gráficos.
y
40
10
30
8
6
y
20
4
10
–4
–2
0
2
2
–10
x
4
–3
–2
0
–2
–1
1
x
2
3
–4
–20
–6
–30
–8
–40
–10
(a) Trazo continuo
(b) Trazo discontinuo en x = −1 y x = 1
Figura 5.1: Función continua y discontinua
Estos gráficos muestran lo que es trazo continuo y trazo no continuo. De acuerdo a esto
definimos entonces lo que es una función continua.
Definición 5.2.1. Una función f es continua en x0 ∈ Domf si:
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 / x ∈ Domf ∧ |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topologı́a.
Definición 5.2.2. Sea x0 un punto de acumulación del Domf , entonces f es continua en x0
si y sólo si:
I) Existe f (x0 ).
II) Existe lı́m f (x)
x→x0
III) lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
La primera de estas condiciones nos dice que la función debe estar definida en el punto
donde se requiere la continuidad, es decir, en x = x0 , dicho de otro modo, f (x0 ) debe ser un
número real.
La segunda condición nos habla acerca de la aproximación de la función a un valor numérico
por el lado izquierdo y por el lado derecho, valor numérico que debe ser el mismo. Recordemos
que la existencia del lı́mite depende de la igualdad de los lı́mites laterales.
La tercera condición condiciona la continuidad a la igualdad del valor de la función en
x = x0 , es decir, f (x0 ) con el el valor numérico obtenido en el lı́mite.
Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones.
Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Una función f no es continua en un punto
si deja de cumplir alguna de estas condiciones.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
189
Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una
función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese
punto y que la función es discontinua.
Veamos y analicemos las siguientes gráficas:
Y
f
f (x0 )
0
x0
X
En ésta gráfica se observa que:
f (x0 ) está definido.
No hay salto en x0
Existe lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
Entonces f es continua en x0
Y
0
f
x0
X
En ésta gráfica se observa que no existe salto en x0 pues x0 6∈ Domf , entonces no tiene
sentido analizar la continuidad de f en x0 , sin embargo f es continua en cada x ∈ Domf
190
Matemática I
Y
Walter Arriaga Delgado
f
f (x0 )
0
x0
X
En ésta gráfica se observa que f (x0 ) está definido, tiene salto en x0 y los lı́mites laterales
son diferentes en x0 , entonces f no es continua en x0
Y
f
f (x0 )
L
0
x0
X
En ésta gráfica se observa que f presenta un salto en x0 , existe lı́m f (x) = L y f está dex→x0
finido en x0 , pero L 6= f (x0 ), entonces f no es continua en x0
5.3.
Tipos de discontinuidad
La discontinuidad de una función puede ser clasificada en:


Evitable 


(





De salto f inito




De primera especie


Discontinuidad
De salto inf inito
 Esencial












 De segunda especie
Discontinuidad evitable
Se dice que f (x) presenta una discontinuidad evitable o removible en x = a si:
Walter Arriaga Delgado
6 ∃f (a)
∧
∃f (a)
∧
Matemática I
191
∃ lı́m f (x)
x→a
lı́m f (x) 6= f (a)
x→a
Cuando una función presenta una discontinuidad evitable o removible en el punto x = a se
puede redefinir en dicho punto de manera que lı́m f (x) = f (a) y ası́ convertirla en una función
x→a
continua en x = a.
Ejemplo 5.3.1. Sea la función
f (x) =


x2 ,



0,




x<1
x=1
2 − x, x > 1
El punto x0 = 1 es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contı́nua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f (x0 ) = 1.
Y
1
X
Discontinuidad esencial
1. Discontinuidad esencial de primera especie: En este tipo de discontinuidad existen
tres tipos:
Que existan lı́m f (x) y lı́m f (x) pero que no sean iguales. A este tipo de discontix→a−
x→a+
nuidad de primera especie se le llama salto finito. Y el salto viene dado por:
Salto =
lı́m f (x) − lı́m f (x)
x→a−
x→a+
Que existan lı́m f (x) y lı́m f (x) pero que uno sea finito y otro infinito. A este tipo
x→a−
x→a+
de discontinuidad de primera especie se le llama salto infinito.
192
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Que existan lı́m f (x) y lı́m f (x) pero que los dos sean infinitos. A este tipo de
x→a+
x→a−
discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x = a
la ası́ntota.
2. Discontinuidad esencial de segunda especie: Este tipo de discontinuidad se produce
cuando no existe uno de los lı́mites laterales, o ambos.
Ejemplo 5.3.2. Sea la función
f (x) =


x2 ,



0,




x<1
x=1
2 − (x − 1)2 , x > 1
El punto x0 = 1 es una discontinuidad por salto.
Y
1
5.4.
X
Teoremas sobre funciones continuas
Los siguientes teoremas que enunciaremos, señalan importantes propiedades de las funciones continuas y son al mismo tiempo herramientas útiles que permiten deducir, en muchos
casos, la continuidad de una función, sin recurrir directamente al empleo de la definición.
Teorema 5.4.1. (Algebra de funciones continuas)
Sean f y g dos funciones reales continuas en x = a, entonces:
a) kf es continua en x = a, siendo k constante
b) f ± g es continua en x = a
c) f · g es continua en x = a
Walter Arriaga Delgado
d)
Matemática I
193
f
es continua en x = a, con g(a) 6= 0
g
e) |f | es continua en x = a
Teorema 5.4.2. Sea f una función continua en a, y lı́m g(t) = a, entonces:
t→t0
lı́m f (g(t)) = f ( lı́m g(t)) = f (a)
t→t0
5.5.
t→t0
Funciones continuas especiales
A continuación mostramos las funciones que comúnmente usamos, y que son continuas en
todo su dominio.
Función Constante: La función constante f (x) = k es continua en todos los puntos.


 lı́m f (x) = k
x→x0
⇒
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0

f (x0 ) = k
Función Identidad: La función constante f (x) = x es continua en todos los puntos.


 lı́m f (x) = x0
x→x0
⇒
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0

f (x0 ) = x0
Función Potencia: La función potencial f (x) = xn es continua en todos sus puntos,
salvo el caso en que n < 0 y x = 0, ya que en este caso se tendrı́a una función racional
con denominador nulo.


 lı́m f (x) = xn0
x→x0

f (x0 ) = xn
0
⇒
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
Función Polinomial: La función f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn es una función
continua en todos los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.


 lı́m f (x) = a0 + a1 x0 + a2 x20 + · · · + an xn0
x→x0
⇒
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0

f (x0 ) = a0 + a1 x0 + a2 x2 + · · · + an xn
0
0
P (x)
, donde P (x) y Q(x) son funciones poQ(x)
linómicas, es continua en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por
Función Racional: La función f (x) =
ser un cociente de dos funciones continuas.
194
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Función Exponencial: La función exponencial f (x) = ax , con a > 0 es continua en
todos sus puntos.


 lı́m f (x) = ax0
x→x0

f (x0 ) = ax0
⇒
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
Función Logarı́tmica: La función f (x) = loga x, siendo a > 1, es continua en todos
los puntos de su campo de existencia h0, +∞i.


 lı́m f (x) = loga x0
x→x0
⇒

f (x0 ) = log x0
a
lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
Walter Arriaga Delgado
✍
Matemática I
EJERCICIOS RESUELTOS
195
5.
I. Problemas
1. Un comerciante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra
la cantidad de 5 soles. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, disminuye
el precio por unidad, y por cada x unidades cobra:


5x
, si 0 < x ≤ 10
C(x) = √

 ax2 + 500 , si x > 10
a) Hallar a de forma que el precio varı́e de forma continua al variar el número de
unidades que se compran.
b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran muchı́simas unidades?
Solución
El precio de una unidad es P =
a)
C(x)
x
lı́m C(x) = lı́m 5x = 50
x→10− p
√
lı́m C(x) = lı́m
ax2 + 500 = 100a + 500
x→10+
x→10+
√
Para que sea continua, ha de ser: 100a + 500 = 50, de donde a = 20
√
√
C(x)
ax2 + 500
20x2 + 500 √
= lı́m
= lı́m
= 20 soles.
b) lı́m
x→∞ x
x→∞
x→∞
x
x
x→10−
196
Matemática I
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS PROPUESTOS
5.
I. Grafique las funciones dadas. Determine los puntos de discontinuidad. Si existe alguno,
hallar los limites laterales y el salto de discontinuidad. Determinar si se puede completar
el dominio de la función de modo que sea continua en toda la recta:
x2 − 5x + 6
x−2
2
x −x−2
f (x) = 2
x − 4x + 4

 x2 x < 0



f (x) = −x 0 ≤ x ≤ 1




x
x>1


 x − 2 x 6= 2
2
f (x) = x − 4

4
x=2

2x + 1 x ≤ 1
f (x) =
 x2 + 3 x > 1
1) f (x) =
2)
3)
4)
5)
x2 − 16
x−4
7) f (x) = µ(x − 2) + sgn(x + 2)
s
{
1
8) f (x) = x +
2
6) f (x) =
II. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:
r
9−x
1) f (x) =
x−6
√
1 − cos x
2) f (x) =
x
x
3) f (x) = x +
|x|


x2 − 6x + 1 , si − 1 < x ≤ 2



4) f (x) = 2x − 6
, si 2 < x ≤ 3




4x − 3 − x2 , si 3 < x < 5

2x2 − 18



2


 9x q− 18x − 27 y
5) f (x) = x−1 sgn(x3 − 7)

√
√


2
2


 x + 2x − 6 − x − 2x + 6
x2 − 4x + 3
, si − 2 < x < 3
, si x = 3
, si 3 < x < 5
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
197
√
√

3x − 8 − x)
144(


√
, si x < 2



15 − 3x

 √3x − 2 √
, si x = 2
6) f (x) = 5 6 x + 2 6

√
√



12x − 18 − 6


p
, si x > 2

√
2 − 3 9 − 2x − 3

cos x − cos 3x


, si − π/2 < x < 0

2

x


, si 0 ≤ x ≤ 1
7) f (x) = 4 − x

√



x2 − x

√
, si x > 1
x−1

sen 2x − cos 2x − 1


, si x ∈ hπ/4, π/2i



 cos x − sen x
, si x = π/2
8) f (x) = 2x + 1 − π

√


 2 2πx − 2x − π


, si x ∈ hπ/2, πi
2x − π

4x sen(sen 2x)


, si x < 0



 1 − cos(sen 4x)
9) f (x) = 1 − ex + cos x
, si x = 0



5x
3x


e − e
, si x > 0
2x
III. Encontrar los valores de las constantes para que las siguientes funciones sean continuas
en su dominio:



x + 2a , si x < −2

1) f (x) = 3ax + b , si − 2 ≤ x ≤ 1




3x − 2b , si x > 1


3x + 6a , si x < −3



2) f (x) = 3ax − 7b , si − 3 ≤ x ≤ 3




x − 12b
, si x > 3


b J3x + 4K
, si 1 ≤ x < 2



3) f (x) = 9x + sgn(x4 − 1) − 1 , si x = 2



 √
3x a − 2x
, si 2 < x < 3
√
√
1
+
x
−
1 − x e3x − e4x


√
√
+
, si − 1 < x < 0


3
3

2x
1
+
x
−
1
−
x


2
4) f (x) = (x2 + ax − x + b − 1)ex −x
, si 0 ≤ x ≤ 1




1 − x2


√
, si 1 < x < 5
√
3
2 − x − 3 x2 − x + 1

a = 1/3
Rpta.
b = 2/3
Rpta.

a = 2
b = −3
Rpta.

a = 13
b = 2
Rpta.

a = 2
b = 2
198
Matemática I
 2√
√
3
x
+
6
−
x + 1 + 4x − 1 23
x



√
−

2

3
x
−
3
−
1


5) f (x) = sen(x2 + x − 2) + ax + a − b


√
√
√


4

x + 3 x + x − 3 9x2 + 8x + 6


+
x−1
7x2 − x + 6

sen |x|


, si x ∈ h−π, 0i


 x
6) f (x) = a JxK + b , si x ∈ [0, πi





cos x
, si x ∈ [π, 2πi
Walter Arriaga Delgado
, si − 5 < x < −2
, si − 2 ≤ x ≤ 1
Rpta.
b = 3
, si 1 < x < 5
√
√
1
+
sen
x
−
1 − sen x


, si x ∈ h−1, 0i



x

7) f (x) = ax + b + ln(x2 − x + 1)
, si x ∈ [0, 1]



2


 1 + cos πx − π
, si x ∈ h1, 2i
x2 − 2x + 1
2

tan πx
x2 + 11


+
, si − 5/2 < x < −2


x2 + 1

 πx + 2π
8) f (x) = x2 + (a + 2)x + b
, si − 2 ≤ x ≤ 0



2


 2 sen x + 3 sen x
, si x > 0
2x4 + x
√
3
3x + 5 + x + 3


√
, si − 5 < x < −2

3


x+1+1





ax + b
, si − 2 ≤ x ≤ −1




√
√
 3
3 x + 1 − 2 x + 1 + 4x − 1
9) f (x) =
, si − 1 < x < 0
2 + 2x

x





, si 0 ≤ x ≤ 4

mx + n


√



3 − 5 + x ex−4 − x2


√
+
, si 4 < x < 5
x+5
1− 5−x

a = 3

a = −1/2
Rpta.
b = 3/2
Rpta.

a = −1
b = 1
Rpta.

a = −1
b = 2



a=4





b = 9
Rpta.


m = −1





n = 2
IV. Problemas
1) La población (en miles) de una colonia de bacterias t minutos después de introducir
una toxina, está dada por
f : [0, 9] −→ R
t
−→ f (t) =

 t2 + 7
72 − 8t
, si t < 5
, si t ≥ 5
¿Cuál es la población a los 3 minutos y a los 8 minutos de ser introducida la
toxina?
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
199
¿En qué momento morirá la colonia?
Grafique.
Estudie la continuidad.
2) Para niveles de producción menores o iguales a 1000 unidades, la función costo de
una compañı́a es c(x) = 5000 + 8x, donde x es el nivel de producción. Para niveles
mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva lı́nea de montaje y la función costo
es c(x) = 9000 + 6x.
Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades.
Grafique.
Estudie la continuidad.
3) El radio de la Tierra es más o menos 4 000 millas. Si un objeto localizado a x millas
del centro de la Tierra pesa w(x) libras, entonces
w(x) =

ax
b
x2
, si x ≤ 4000
, si x > 4000
y donde a y b son constantes positivas. Si se supone que w(x) es continua para todos
los valores de x, ¿cómo deben ser a y b?, trazar la gráfica de w(x).
4) En el laboratorio de Biologı́a de la universidad, han determinado que el tamaño T
de los ejemplares de una cierta bacteria (medido en micras) varı́a con el tiempo t,
siguiendo la ley:

√

 t+a
T (t) = −3 + √3t − 15


t−8
, si t < 8 horas
, si t > 8 horas
El parámetro a es una variable biológica cuya interpretación trae de cabeza a los
cientı́ficos, pero piensan que puede haber un valor para el cual el crecimiento se
mantenga continuo en t = 8.
Decide la cuestión.
Investiga cuál llegará a ser el tamaño de una bacteria si se la cultiva indefinidamente.
200
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
6
LA DERIVADA
Objetivos
z Introducir el concepto de derivada, proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su interpretación fı́sica.
z Analizar en que puntos una función es derivable y en qué puntos no admite derivada.
z Aplicar las reglas de derivación en el cálculo de derivadas, con la regla de la cadena para
la derivación de funciones compuestas y con la derivación implı́cita.
z Aplicar la derivada para determinar la recta tangente a una curva en un punto; calcular
máximos y mı́nimos de una función y resolver problemas de optimización.
6.1.
Introducción
Los orı́genes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas
vinculados al movimiento de los cuerpos, ası́ como problemas de tipo geométrico de importancia en óptica y problemas de cálculo de valores máximos y mı́nimos de una función dada.
Simplificando podemos destacar dos problemas principales:
Determinar la tangente a una curva en un punto (el problema de las tangentes).
Determinar el área encerrada por una curva (el problema de las cuadraturas).
Son los conceptos de derivada e integral, respectivamente, los que permiten resolver satisfactoriamente dichos problemas. Mientras que el concepto de integral tiene sus raı́ces en la
antigüedad clásica, la otra idea fundamental del Cálculo, la derivada, no se formuló hasta
el siglo XVII. Fue el descubrimiento efectuado por Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried
Wilhelm Leibnitz (1646-1716) y de la relación entre estas dos ideas, tan dispares en apariencia,
lo que inició el magnı́fico desarrollo del Cálculo. Si bien los trabajos de Newton y Leibnitz
201
202
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
son decisivos por sus aportaciones e influencia, no hay que olvidar que ellos son el punto
culminante de un largo proceso en el que han participado cientı́ficos de la talla de Johannes
Kepler (1571-1630), René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), JohnWallis
(1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677) entre otros.
Leibniz fue el primero en publicar la teorı́a, pero parece ser que Newton tenı́a papeles
escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra,
esto produjo grandes disputas entre los cientı́ficos proclives a uno y otro pais.
Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la
velocidad de un móvil.
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal.
El otro concepto es la “antiderivada” o integral; ambos están relacionados por el teorema
fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en
el concepto de lı́mite, el cual separa las matemáticas previas, como álgebra, trigonometrı́a o
geometrı́a analı́tica, del cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del cálculo
infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación,
trazado de curvas, optimización de funciones, análisis de razones de cambio. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de fı́sica, quı́mica y biologı́a, o en ciencias sociales
como la economı́a y la sociologı́a. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el
punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el lı́mite cuando la distancia
entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma
la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas
propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
6.2.
Derivada de una función en un punto
Definición 6.2.1. Sea f : R −→ R una función definida en el punto a. Se dice que f es
derivable en a, si el lı́mite:
f ′ (a) = lı́m
h→0
f (a + h) − f (a)
h
(6.1)
existe y es finito. Si la función f es derivable en a, f ′ (a) se llama derivada de f en a. A
continuación se dan algunas notaciones para la derivada de una función en un punto:
Walter Arriaga Delgado
•
•
•
•
Matemática I
f ′ (a)
Usado por Lagrange.
Df (a)
df
(a)
dx
f˙(a)
Usado por Cauchy.
203
Usado por Leibnitz.
Usado por Newton.
La expresión definida en (6.1) representa un acercamiento por la derecha (derivada progresiva o hacia adelante) de la pendiente de la recta secante a la pendiente de la recta tangente.
La expresión definida por:
f (a) − f (a − k)
k→0
k
f ′ (a) = lı́m
(6.2)
representa tal acercamiento por la izquierda (derivada regresiva o hacia atraz). Ambas proveen
la regla de los cuatro pasos para el cálculo de la derivada de una función y son más sencillas
de calcular que considerando la derivada como lı́mite del cociente de dos diferenciales. Dicha
regla es un cálculo algebraico por lo que se emplean técnicas apropiadas de factorización,
racionalización u operaciones con fracciones, según el caso.
Al calcular la derivada por definición, el paso clave consiste en expresar el cociente diferencial de tal manera que se elimine h/h (o k/k) de manera apropiada, de modo que resulte
un lı́mite libre de la indeterminación 0/0.
Se puede demostrar que también puede definirse la derivada como sigue:
f (a + h) − f (a − h)
h→0
2h
f ′ (a) = lı́m
(6.3)
llamada derivada central, en la cual existe un acercamiento simétrico por ambos lados de
la pendiente de la recta secante a la pendiente de la recta tangente y sirve de base para la
derivación numérica.
Del modo más general, se define la derivada de una función como:
f (a + h) − f (a − k)
h,k→0
h+k
f ′ (a) = lı́m
(6.4)
en la que el acercamiento es también por ambos lados y puede ser simétrico o asimétrico según
sea h igual o distinta de k respectivamente.
Esta última expresión constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda
de manera simultánea, pero es más laboriosa de calcular algebraicamente por la regla de los
cuatro pasos.
Observación 6.2.1. La definición (6.1) es equivalente a
f ′ (a) = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x−a
(6.5)
204
Matemática I
6.3.
Walter Arriaga Delgado
Interpretación geométrica y fı́sica de la derivada
El problema de la tangente a una curva en uno de sus puntos es muy antiguo y se remonta
a la época del gran matemático griego Arquı́medes.1 El problema de la velocidad instantánea
es más reciente. Creció con los intentos de Keppler (1571–1630), Galileo (1564–1642), Newton
(1642–1727) y otros para describir la velocidad de un cuerpo en movimiento. Estos dos problemas, el uno geométrico y el otro fı́sico, en apariencia no están muy relacionados; sin embargo,
conducen al mismo lı́mite de cocientes incrementales, esto es, al concepto de derivada.
6.3.1.
Interpretación geométrica de la derivada
Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo:
data del gran cientı́fico griego Arquı́medes (287–212 a.C.), se llama problema de las tangentes
y se describe a continuación.
Se da una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x)
LS
Y
Q
Q1
Q2
Q3
LT
P
0
X
Sea P un punto fijo de la curva y Q un punto móvil de la curva y próximo a P . La recta
que pasa por P y Q se denomina recta secante.
Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas
Q1 , Q2 , Q3 , . . . , Qn , . . . , entonces la posición lı́mite (si existe) de la secante se denomina recta
tangente a la curva en P .
Ahora, sea f : R −→ R una función derivable en a y sean los puntos P y Q cuyas
coordenadas son P (a, f (a)) y Q(a + h, f (a + h)), respectivamente, entonces la pendiente de la
1
Arquı́medes de Siracusa (Nació en Siracusa (Sicilia), 287 a.C. Murió en ibı́dem, 212 a.C.) fue un matemático
griego, fı́sico, ingeniero, inventor y astrónomo. Aunque se conocen pocos detalles de su vida, es considerado
uno de los cientı́ficos más importantes de la antigüedad clásica. Se considera que Arquı́medes fue uno de los
matemáticos más grandes de la antigüedad y, en general, de toda la historia.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
205
recta secante P Q denotada por msec P Q está dada por:
msec P Q =
f (a + h) − f (a)
h
(6.6)
En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical) es la recta cuya pendiente
mT viene dada por:
f (a + h) − f (a)
= f ′ (a)
h→0
h
mT = lı́m msec P Q = lı́m
Q→P
(6.7)
De esta forma, la ecuación de la recta tangente (forma punto–pendiente de la recta) a la
curva en el punto P (a, f (a)) es:
y − f (a) = f ′ (a)(x − a)
6.3.2.
(6.8)
Interpretación fı́sica de la derivada
Velocidad promedio y velocidad instantánea
Si se conduce un vehı́culo de una ciudad A a otra B, separadas entre sı́ 100 km, en un tiempo
de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 km/h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia
entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado. Pero, durante el viaje, el velocı́metro
marcó con frecuencia lecturas diferentes de 50 km/h. Inicialmente marcó 0, a veces subió hasta
60 y al final volvió a marcar 0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿qué es lo que en realidad marca el velocı́metro? No
marca la velocidad promedio, sino la llamada velocidad instantánea.
Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacı́o. Los experimentos
demuestran que si un objeto parte del reposo en caı́da libre, la posición S del objeto, como
función del tiempo, viene dada por S = 16t2 (S en pies, t en segundos). Ası́, en el primer
segundo cae 16 pies y en el siguiente segundo cae 16 × 22 = 64 pies. Por tanto:
En el intervalo de t = 1s a t = 2s, P cae 64 − 16 pies, de manera que su velocidad
64 − 16
promedio será: Vprom
= 48 pies
s
2−1
En el intervalo de t = 1s a t = 1,5s, P cae 16 × 1,52 − 16 pies. En consecuencia, su
16 × 1,52 − 16
velocidad promedio será: Vprom
= 40 pies
s
1,5 − 1
En el intervalo de t = 1s a t = 1,1s, su velocidad promedio será: Vprom
33,6 pies
s
En el intervalo de t = 1s a t = 1,01s, su velocidad promedio será: Vprom
32,16 pies
s
16 × 1,12 − 16
=
1,1 − 1
16 × 1,012 − 16
=
1,01 − 1
206
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Lo que se ha hecho hasta ahora es calcular la velocidad promedio sobre los intervalos de
tiempo cada vez más cortos pero próximos a 1s. Cuanto más nos aproximamos a t = 1s, mejor
será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1s. Los números 48, 40,
33.6, 32.16 de las velocidades promedio, hacen sospechar que la velocidad instantánea es de
32 pies/s. El ejemplo anterior nos permite definir de una manera más precisa los conceptos de
velocidad promedio y de velocidad instantánea.
Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su
posición S en cada instante t es una función S = f (t). En el instante t = a, el objeto está en
f (a). En el instante próximo t = a + h, el objeto está en f (a + h). Por tanto, la velocidad
promedio durante este intervalo es:
f (a + h) − f (a)
h
Y se define la velocidad instantánea V en el instante t = a ası́:
f (a + h) − f (a)
V = lı́m Vprom = lı́m
= f ′ (a)
h→0
h→0
h
Ası́ se tiene que la derivada de la función f en cualquier punto es:
Vprom =
f (x + h) − f (x)
∆y
= lı́m
h→0
∆x→0 ∆x
h
f ′ (x) = lı́m
6.4.
(6.9)
(6.10)
(6.11)
Fórmulas de derivación
Teorema 6.4.1. Sean f , g funciones derivables en a y k una constante, entonces, las funciones:
kf , f + g, f − g, f g, f /g con g(a) 6= 0, son derivables en a y se tiene:
1. (kf )′ (a) = kf ′ (a),
k constante.
2. (f ± g)′ (a) = f ′ (a) ± g′ (a)
3. (f g)′ (a) = f ′ (a)g(a) + f (a)g′ (a)
′
1
g′ (a)
4.
(a) = −
si g(a) 6= 0
g
[g(a)]2
′
f
g(a)f ′ (a) − f (a)g′ (a)
5.
(a) =
g
[g(a)]2
si g(a) 6= 0
Corolario 6.4.1. Si f1 , f2 ,. . . ,fn son funciones derivables en a, entonces:
" n #′
X
a)
fi (a) = [f1 + f2 + · · · + fn ]′ (a) = f1′ (a) + f2′ (a) + · · · + fn′ (a)
i=1
" n #′
Y
b)
fi (a) = [f1 f2 f3 · · · fn ]′ (a) = f1′ (a)f2 (a)f3 (a) . . . fn (a) + f1 (a)f2′ (a)f3 (a) . . . fn (a) +
i=1
· · · · · · + f1 (a)f2 (a)f3 (a) . . . fn′ (a)
Walter Arriaga Delgado
6.5.
Matemática I
207
Regla de la cadena
Teorema 6.5.1. Sean f : A −→ R y g : B −→ R dos funciones con Im(f ) ⊂ B. si f es
derivable en a ∈ Domf , y g es derivable en b = f (a) ∈ B, entonces, g ◦ f es derivable en a y
se cumple:
(g ◦ f )′ (a) = g′ [f (a)] · f ′ (a)
6.6.
Derivación de funciones elementales
Propiedades:
z [kf (x)]′ = kf ′ (x),
k = constante
z [f (x) ± g(x)]′ = f ′ (x) ± g′ (x)
Fórmulas:
1)
d
(k) = 0
dx
12)
d √
u′
( u) = √
dx
2 u
2)
d
(x) = 1
dx
13)
d
(sen u) = u′ . cos u
dx
3)
d n
(x ) = nxn−1
dx
14)
d
(cos u) = −u′ . sen u
dx
4)
d n
(u ) = nun−1 u′
dx
15)
d
(tan u) = u′ . sec2 u
dx
5)
d u
(a ) = u′ .au ln a
dx
16)
d
(cot u) = −u′ . csc2 u
dx
6)
d u
(e ) = u′ .eu
dx
17)
d
(sec u) = u′ . sec u. tan u
dx
7)
d v
(u ) = vuv−1 u′ + uv v ′ ln u
dx
18)
d
(csc u) = −u′ . csc u. cot u
dx
19)
d
u′
(arcsen u) = √
dx
1 − u2
d
8)
(u.v) = u.v ′ + v.u′
dx
d u v.u′ − u.v ′
9)
=
dx v
v2
20)
d
−u′
(arc cos u) = √
dx
1 − u2
10)
d
u′
(loga u) = loga e
dx
u
21)
d
u′
(arctan u) =
dx
1 + u2
11)
d
u′
(ln u) =
dx
u
22)
d
−u′
(arccot u) =
dx
1 + u2
208
23)
24)
Matemática I
d
u′
(arcsec u) = √
dx
u u2 − 1
d
−u′
(arccsc u) = √
dx
u u2 − 1
d
(senh u) = u′ .cosh u
dx
d
(cosh u) = u′ .senh u
26)
dx
25)
6.7.
Walter Arriaga Delgado
27)
d
(tanh u) = u′ .sech2 u
dx
28)
d
(coth u) = −u′ .csch2 u
dx
29)
d
(sech u) = −u′ .sech u.tanh u
dx
30)
d
(csch u) = −u′ .csch u.coth u
dx
Derivadas Laterales
Continuidad y derivabilidad: En el capı́tulo anterior se estudiaron las condiciones
para que una función fuera continua en un punto. También se determinó la continuidad en
un intervalo, que puede asociarse con la representación gráfica de una curva que no tiene
“brincos” o “saltos bruscos”. Vamos ahora a relacionar la continuidad con la derivabilidad de
una función en un punto.
Sea f : R −→ R una función y a ∈ Domf
Definición 6.7.1. La derivada por la izquierda de f en a, se denota por f ′ (a− ) y se define
por:
f ′ (a− ) = lı́m
h→0−
f (a + h) − f (a)
h
y es equivalente a:
f ′ (a− ) = lı́m
x→a−
f (x) − f (a)
x−a
si este lı́mite existe y es finito, se dice que f es derivable por la izquierda en a.
Definición 6.7.2. La derivada por la derecha de f en a, se denota por f ′ (a+ ) y se define por:
f ′ (a+ ) = lı́m
h→0+
f (a + h) − f (a)
h
y es equivalente a:
f ′ (a+ ) = lı́m
x→a+
f (x) − f (a)
x−a
si este lı́mite existe y es finito, se dice que f es derivable por la derecha en a.
Teorema 6.7.1. Una función f : R −→ R es derivable en a si y sólo si existen y son iguales
f ′ (a− ) y f ′ (a+ ).
Teorema 6.7.2. Si una función f : R −→ R es derivable en a, entonces es continua en a.
Walter Arriaga Delgado
6.8.
Matemática I
209
Derivación implı́cita
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explı́cita, como en la ecuación y = x2 + 1 dónde la variable y está dada
explı́citamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están
implı́citas en una ecuación. Por ejemplo:
1
, viene definida implı́citamente por la ecuación: xy = 1.
x
√
La función y = 1 − x2 , viene definida implı́citamente por la ecuación: x2 + y 2 = 1.
La función y =
Si tenemos una ecuación en la que aparecen las variables x e y, además de constantes y de
operaciones entre ellas, nos podemos preguntar si y es función de x.
Es claro que si podemos despejar y, dejándola sola en un miembro, habremos contestado
afirmativamente a la pregunta, y decimos que y se expresa explı́citamente como función de x
y que en la igualdad original y estaba definida implı́citamente como función de x.
Si queremos hallar la derivada para estas ecuaciones, lo hacemos despejando y, ası́ se tiene
que:
1
−1
, su derivada es: y ′ = 2 .
x
x
√
−x
x
2
Para y = 1 − x , su derivada es: y ′ = √
=− .
2
y
1−x
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema
Para y =
es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Cabe recalcar que, no toda función dada
implicitamente puede ser representada en forma explicita, es decir en la forma y = f (x), como
por ejemplo la función implicita dada por y 7 + y − x2 + sen x + 4 = 0
Más aún, nos podemos seguir preguntando si la función y (expresada implı́citamente) es
derivable y en este caso, ¿cómo podrı́amos calcular su derivada directamente de la igualdad
original?, es decir sin la necesidad de transformarla en explı́cita.
Pues una forma de obtener y ′ es derivando la ecuación, término a término, considerando
a la variable y como una función de x, y de la ecuación resultante despejar y ′
Ejemplo 6.8.1. Hallar y ′ en la ecuación x2 + y 2 = 1
Solución:
Dada la ecuación:
x2 + y 2 = 1
derivamos ambos miembros respecto a x
2x + 2yy ′ = 0
de donde
yy ′ = −x
210
Matemática I
∴
y′ = −
Walter Arriaga Delgado
x
y
Teorema 6.8.1. Teorema de la función implı́cita: Sea F : A ⊆ R2 −→ R una función de
clase C k , definida en el conjunto abierto A. Si un punto P = (x, f (x)) ∈ A con y = f (x) es
tal que F (x, y) = 0 y Fy′ 6= 0, entonces existe una vecindad V = V (x, δ) ⊂ R y un intervalo
I = hy − ε , y + εi tal que F −1 (0) ∩ (V × I) es la gráfica de una función f : V ⊆ R −→ I de
clase C k , luego se tiene que:
y′ = −
Fx′
Fy′
(6.12)
Se dice que la función y = f (x) está definida implicitamente por la ecuación F (x, y) = 0
Para el ejemplo anterior se tiene x2 + y 2 − 1 = 0, luego hacemos:
F (x, y) = x2 + y 2 − 1
entonces usando la fórmula (6.12) se tiene:
y′ = −
∴
Fx′
2x
=−
′
Fy
2y
y′ = −
x
y
Ejemplo 6.8.2. Hallar y ′ en la ecuación x2 + xy + y 2 = 2x2 y 3 − 3x3 y 2
Solución:
Pasando al primer miembro en la ecuación se tiene x2 + xy + y 2 − 2x2 y 3 + 3x3 y 2 = 0, luego
hacemos:
E(x, y) = x2 + xy + y 2 − 2x2 y 3 + 3x3 y 2
entonces usando la fórmula (6.12) se tiene:
y′ = −
∴
6.9.
Ex′
2x + y − 4xy 3 + 9x2 y 2
=
−
Ey′
x + 2y − 6x2 y 2 + 6x3 y
y′ = −
2x + y − 4xy 3 + 9x2 y 2
x + 2y − 6x2 y 2 + 6x3 y
Derivadas de orden superior
Sea f (x) una función diferenciable, entonces se dice que f ′ (x) es la primera derivada
de f (x). Puede resultar f ′ (x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su
segunda derivada, es decir f ′′ (x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y
que sean derivables podemos encontrar la n–ésima derivada. A estas derivadas se les conoce
como derivadas de orden superior. Ası́ tenemos:
f ′ (x) =
d
f (x)
dx
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
211
d d
d2
f (x) =
f (x) = 2 f (x)
dx dx
dx
2
d d
d3
f ′′′ (x) =
f
(x)
=
f (x)
dx dx2
dx3
d dn−1
dn
(n)
f (x) =
f
(x)
=
f (x)
dx dxn−1
dxn
′′
Notación: Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden
superior
Primera derivada:
f ′ (x),
d
f (x), Dx f (x),
dx
dy
, ẏ, y ′
dx
Segunda derivada:
f ′′ (x),
d2
f (x), Dxx f (x),
dx2
d2 y
, ÿ, y ′′
dx2
Tercera derivada:
f ′′′ (x),
d3
f (x), Dxxx f (x),
dx3
n derivada:
f (n) (x),
6.10.
dn
f (x),
dxn
d3 y ...
, y , y ′′′
dx3
dn y
, y (n)
dxn
Diferenciales
Definición 6.10.1. Sea y = f (x) una finción derivable en un intervalo abierto que contiene
a x. La diferencial de y viene dada por:
dy = f ′ (x)dx
En esta definición dx puede tener cualquier valor no nulo. Sin embargo, en la mayprı́a de
las aplicaciones escogemos dx pequeño y denotaremos tal elección por dx = ∆x
Un uso posible de las diferenciales radica en la aproximación del cambio de f (x) que
corresponde a un cambio en x. Denotaremos ese cambio por
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
Ejemplo 6.10.1. Dada la función y = x2 , hallar ∆y y dy cuando x = 1, ∆x = 0,01, dx = 0,01
Solución
Como y = f (x) = x2 , entonces f ′ (x) = 2x, luego:
∆y = f (x + ∆x) − f (x) = f (1,01) − f (1) = 0,0201
212
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
dy = f ′ (x)dx = f ′ (1)(0,01) = 0,02
Analicemos la siguiente tabla:
∆y − dy
dx = ∆x
dy
∆y
0.1000
0.2000
0.21000000
0.01000000
0.0100
0.0200
0.02010000
0.00010000
0.0010
0.0020
0.00200100
0.00000100
0.0001
0.0002
0.00020001
0.00000001
Este tipo de aproximación se llama aproximación por la recta tangente, debido a que estamos
utilizando la recta tangente en un punto para aproximar la gráfica de la función cerca de él.
La validez de la recta tangente como aproximante a una curva proviene de su definición
como lı́mite. Es decir, la existencia del lı́mite
f ′ (x) = lı́m
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
implica que cuando ∆x es próximo a cero entonces f ′ (x) es próximo al cociente incremental
y tenemos
f (x + ∆x) − f (x)
≈ f ′ (x)
∆x
f (x + ∆x) − f (x) ≈ f ′ (x)∆x
(6.13)
∆y ≈ f ′ (x)∆x
sustituyendo dx en lugar de ∆x, resulta
∆y ≈ f ′ (x)dx = dy
de la ecuación (6.13) se tiene
f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′ (x)∆x
(6.14)
Teorema 6.10.1. Sea y = f (x) derivable en x con f ′ (x) 6= 0, si dx = ∆x, entonces
∆y
=1
∆x→0 dy
lı́m
Demostración. En efecto:
∆y
f (x + ∆x) − f (x)
f (x + ∆x) − f (x)
1
f ′ (x)
lı́m
= lı́m
=
lı́m
=
=1
∆x→0 dy
∆x→0
∆x→0
f ′ (x)∆x
∆x
f ′ (x)
f ′ (x)
Propagación de errores
Fı́sicos e ingenieros tienden a usar con amplia libertad la aproximación de ∆y por dy. Tal ocurre
por ejemplo en la estimación de errores propagados por los sistemas de medición fı́sicos. Ası́,
se tiene que en:
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
x representa el valor medido de una variable
∆x es el error de la medida
x + ∆x su valor exacto
∆y es el error propagado.
También se tiene que:
Error relativo =
△f . df
=
f
f
Error porcentual = 100
Propiedades:
Sean u y v funciones derivables en x, entonces:
d(ku) = k du
d(u ± v) = du ± dv
d(uv) = u dv + v du
u v du − u dv
d
=
v
v2
Derivada de la función inversa
△f .
df
= 100
f
f
213
214
Matemática I
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS RESUELTOS
6.
I. Aplicando la definición de la derivada, hallar f ′ (x) en cada una de las funciones dadas:
1. f (x) = k
Solución
f (x + h) − f (x)
k−k
0
= lı́m
= lı́m = 0
h→0
h→0
h→0 h
h
h
f ′ (x) = lı́m
∴
Si y = k =⇒ y ′ = 0
2. f (x) = x
Solución
f ′ (x) = lı́m
h→0
f (x + h) − f (x)
x+h−x
h
= lı́m
= lı́m = 1
h→0
h→0 h
h
h
∴
Si y = x =⇒ y ′ = 1
3. f (x) = x2
Solución
f (x + h) − f (x)
(x + h)2 − x2
x2 + 2hx + h2 − x2
= lı́m
= lı́m
=
h→0
h→0
h→0
h
h
h
lı́m (2x + h) = 2x
f ′ (x) = lı́m
h→0
Si y = x2 =⇒ y ′ = 2x
∴
4. f (x) = x3
Solución
f (x + h) − f (x)
(x + h)3 − x3
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3
= lı́m
= lı́m
h→0
h→0
h→0
h
h
h
f ′ (x) = lı́m
= lı́m (3x2 + 3xh + h2 ) = 3x2
h→0
∴
Si y = x3 =⇒ y ′ = 3x2
5. f (x) = xn
Solución
f (x + h) − f (x)
(x + h)n − xn
= lı́m
=
h→0
h→0
h
h
f ′ (x) = lı́m
C0n xn + C1n xn−1 h + C2n xn−2 h2 + · · · + Cnn hn − xn
h→0
h
lı́m
xn + C1n xn−1 h + C2n xn−2 h2 + · · · + Cnn hn − xn
h→0
h
lı́m
C1n xn−1 h + C2n xn−2 h2 + · · · + Cnn hn
h→0
h
lı́m
lı́m (C1n xn−1 + C2n xn−2 h + · · · + Cnn hn−1 ) = C1n xn−1 = nxn−1
h→0
∴
Si y = xn =⇒ y ′ = nxn−1
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
215
6. f (x) = ex
Solución
f (x + h) − f (x)
ex+h − ex
ex eh − ex
eh − 1
= lı́m
= lı́m
= ex lı́m
h→0
h→0
h→0
h→0
h
h
h
h
x
x
= e ln e = e
f ′ (x) = lı́m
Si y = ex =⇒ y ′ = ex
∴
7. f (x) = sen x
Solución
f (x + h) − f (x)
sen(x + h) − sen x
= lı́m
h→0
h→0
h
h
sen x cos h + cos x sen h − sen x
sen x + cos x sen h − sen x
= lı́m
= lı́m
h→0
h→0
h
h
sen h
= cos x lı́m
= cos x
h→0 h
f ′ (x) = lı́m
∴
Si y = sen x =⇒ y ′ = cos x
II. Aplicando la definición de la derivada en un punto, hallar f ′ (a), donde:
1. a = 3,
Solución
f (x) = 5x2 + 7x − 4
f (3 + h) − f (3)
5(3 + h)2 + 7(3 + h) − 4 − 62
= lı́m
h→0
h→0
h
h
f ′ (3) = lı́m
37h + 5h2
= lı́m (37 + 5h) = 37
h→0
h→0
h
= lı́m
∴ f ′ (3) = 37
III. Diferenciales
1. Aproximar mediante diferenciales:
√
1) 16,5
Solución
Consideremos la función f (x) =
√
1
x, donde f ′ (x) = √ , haciendo x = 16 y
2 x
dx = 0,5 se tiene:
p
16,5 = f (x + ∆x)
≈ f (x) + f ′ (x)dx
√
1
=
x + √ dx
2 x
√
1
=
16 + √ (0,5)
2 16
= 4,0625
∴
√
16,5 = 4,0625
216
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
2. La altura de un paralelepı́pedo de base cuadrada es 15 cm, si el lado de la base
cambia de 10 a 10.02 cm, usando diferenciales calcular el cambio aproximado de su
volumen.
Solución
El volumen del paralelepı́pedo es V = x2 h, pero como h = 15, entonces V = 15x2 y
dV = 30xdx. Ahora como x = 10 y dx = 0,02, entonces dV = 6 cm3
El volumen sufre aproximadamente un aumento de 6 cm3 .
dV
30xdx
El error relativo es
=
= 0,004
V
15x2
dV
100 % = 0,4 %
El error porcentual es
V
Walter Arriaga Delgado
✍
Matemática I
217
EJERCICIOS PROPUESTOS
6.
I. Aplicando la definición de la derivada, hallar f ′ (x) en cada una de las funciones dadas:
1) f (x) = 5x + 3
R. f ′ (x) = 5
2) f (x) = 3x2 + 1
R. f ′ (x) = 6x
3) f (x) = 7x2 − 12x + 9
R. f ′ (x) = 14x − 12
4) f (x) = 2x3 − 5x2 + 7
R. f ′ (x) = 6x2 − 10x
R. f ′ (x) = 3 cos(3x + 5)
5) f (x) = sen(3x + 5)
6) f (x) = cos(x2 + x + 1)
R. f ′ (x) = −(2x + 1) sen(x2 + x + 1)
7) f (x) = e2x+1
8) f (x) = e3x
2 −5x+3
R. f ′ (x) = 2e2x+1
R. f ′ (x) = (6x − 5)e3x
2 −5x+3
II. Aplicando la definición de la derivada en un punto, hallar f ′ (a), donde:
1) a = 2,
f (x) = 2x − 1
R. f ′ (2) = 2
2) a = 1,
f (x) = 5x2 − 3
R. f ′ (1) = 10
3) a = −2,
f (x) = 8x2 − 3x + 7
4) a = −1,
f (x) = 4x3 + 5x2 + 2x − 7
R. f ′ (−2) = −35
R. f ′ (−1) = 4
III. Funciones polinómicas: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
√
1) y = 5 ln 3 + 3eπ + 2 3 − 7
R. y ′ (π) = 0
R. y ′ (−10) = 3
2) y = 3x − 1
3) y = 5x2 − 3x + 7
R. y ′ (1) = 7
4) y = 2x3 + 8x2 − 9x + 2
R. y ′ (2) = 47
5) y = an xn + an−1 xn−1 + an−2 xn−2 + · · · a1 x + a0
R. y ′ (0) = a1
6) y = (2x + 1)8
R. y ′ (−1) = −16
7) y = (7x2 − 6x − 15)5
R. y ′ (2) = 110
8) y = (3x3 − 5x2 + 13x − 29)5
R. y ′ (2) = 145
9) y = (x + a)(x + b)(x + c)
R. y ′ (0) = ab + ac + bc
10) y = (2x + 1)5 (3x − 1)6
11) y = (3x2 − 5x + 7)4 (5x3 − 9x + 6)3
IV. Funciones racionales: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
R. y ′ (0) = −8
R. y ′ (1) = 49000
218
Matemática I
x+1
x−1
x2 + 1
= 2
x −1
x2 + x + 1
= 2
x −x+1
3x2 + 5x − 7
= 2
4x − 8x + 3
1 − x3
=
1 + x3
4
1
3
= x − 5 +3
x
2
5
x +1
=
x+1
5
2
x + x3 + 1
=
x5 − x2 + 1
2 2
x−1
x+1
=
+1 −
−1
x+1
x−1
Walter Arriaga Delgado
1) y =
R. y ′ (4) = −2/9
2) y
R. y ′ (2) = −8/9
3) y
4) y
5) y
6) y
7) y
8) y
9) y
R. y ′ (0) = 2
R. y ′ (1) = −11
R. y ′ (1) = −3/2
R. y ′ (1) = 864
R. y ′ (0) = −5
R. y ′ (1) = −6
R. y ′ (0) = −8
V. Funciones irracionales: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
5x2 + 15x − 25
√
5
x7
√
√
3
5
2 x2 − 3 x4 + 8
√
2) y =
x
1) y =
3) y = (10x1/2 − 45x1/3 + 4)1/5
√
4) y = 3x2 − 5x + 6
√
1+ x
√
5) y =
1− x
r
x+1
6) y =
x−1
√
√
1+x− 1−x
√
7) y = √
1+x+ 1−x
r
x2 − 1
8) y =
x2 + 1
r
2x2 + 9x − 11
9) y =
5x2 + 7x + 1
√
1 − 3 2x
√
10) y =
1 + 3 2x
x2
11) y = √
x2 + a2
2x − 1
√
12) y =
x − x2 + a2
R. y ′ (1) = 32
−5
R. y ′ (0) = √
2 6
R. y ′ (4) = 1/2
√
2
′
R. y (3) =
8
R. y ′ (0) = 1/2
Walter Arriaga Delgado
13) y =
14) y =
p
q
x+
Matemática I
219
√
x
p
√
x+ x+ x
p
√
15) y = 2 1 + x2 + 1
p
√
16) y = 4 1 + 1 + x3
R.
y ′ (1)
√
8+3 2
= p
√
16 1 + 2
R. y ′ (2) = 2
VI. Funciones trigonométricas: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
√
√
2 2
2
′
1) y = x sen x −
x
R. y (π/4) =
4
2
R. y ′ (π/4) = 1
2) y = sen2 x
π
3) y = sen2 x2 − x − 6 +
R. y ′ (3) = 5
4
√
1+ 2
sen2 x
′
4) y = sen x +
R. y (π/4) =
2
2
sen x + cos x
R. y ′ (π/2) = −2
5) y =
sen x − cos x
1 − sen x 3
6) y =
1 + sen x
√ 1− x
2
√
7) y = x cos
R. y ′ (1) = 1
1+ x
r
sec2 x − tan x
8) y =
sec2 x + tan x
−3
9) y =
(cot x − 1)2/3
2
r
sen x − cos x
10) y =
sen x + cos x
11) y = x cos(sen x)
R. y ′ (0) = 1
12) y = sen2 (cos(x2 ))
13) y = sen2 (cos2 x)
x sen x 14) y = tan
+ sen2 (x cos 2x)
2
sen x
3 sen x
15) y =
−
4
4 cos x 2 cos2 x
sen2 x
cos2 x
16) y =
+
1 + cot x 1 + tan x
1
17) y = −
6(1 − 3 cos x)2
R. y ′ (π/2) = 1
R. y ′ (π/3) = 5
√
3
′
R. y (π/6) = −
2
R. y ′ (π/2) = 1
VII. Funciones trigonométricas inversas: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) y = arcsen(5x3 − 2x + 3)
√
3
2) y =
arcsen2 x
π
R. y ′ (−1) = 13
R. y ′ (1/2) = 2/3
220
Matemática I
3) y = arcsen2 (cos x)
sec x 4) y = arc cos
2
r
1−x
5) y = arcsen
1+x
sen x − cos x
6) y = arctan
sen x + cos x
2
x +1
1
7) y = √ arcsec √
2
2x
√
2
8) y = arctan x
!
√
x2 − x + 1
9) y = 2 arcsen
x
tan x − 1
10) y = arccot
tan x + 1
√
11) y = arcsen x + 1 − x2
r
1−x
12) y = 2 arccot
1+x
35
3x − 1
13) y =
arcsec
2
2
Walter Arriaga Delgado
R. y ′ (0) = −π
π R. y ′
= −1
4
√
−2 3
′
R. y (1/2) =
3
R. y ′ (−5) = 1
R. y ′ (15) = −1
√
√
R. y ′ ( 3/2) = 2 − 3
2√
R. y ′ (1/2) =
3
3
√
R. y ′ (2) = 21
VIII. Funciones hiperbólicas: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) y = senh(6x − 3)
2) y = senh2 x
−1
3) y =
2(1 + cosh x)2
!
√
x2 + 1 − 1
4) y = tanh √
x2 + 1 + 1
5) y = senh(sen x + cos x)
3
2/5
x −x+1
2
6) y = sech
x5 + x2 + 1
7) y = cosh(sen x)
8) y = sen2 (cosh(x2 ))
9) y = senh2 (cosh2 x)
IX. Funciones logarı́tmicas: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) y = (x2 + 1) ln(x3 − 7)
2) y = ln2 x
3) y = ln(ln x)
R. y ′ (2) = 60
R. y ′ (1/e) = −2e
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
2
ln (ln x)
4) y = ee+2
2
x−1
5) y = ln
x+1
2
x +x+1
6) y = ln
x2 − x + 1
7) y = ln(sen x)
8) y = cos(ln x)
ln x + 2
9) y =
ln x + 3
2x − ln x
10) y =
2x + ln x
√
√
11) y = 2 ln(x + 1 + x2 )
−1
x2
ln
12) y =
16
x2 − 8
1 + sen x
13) y = ln
1 − cos x
14) y = ln2 (sen x + cos x)
15) y = x[sen(ln x) + cos(ln x)]
16) y = ln(x sen(x2 − 1) + x cos(x2 − 1))
1
1
17) y = ln(1 + 4x2 ) − arctan2 (2x)
8
2
2
2
18) y = arcsen (sen(ln x))
r
1 − sen x
19) y = ln
1 + sen x
1 + tan x
20) y = ln
1 − tan x
√
3
21) y = ln (x + x2 + 1)
22) y = ln2 x − ln(ln x)
!
√
x2 + 9 + x
23) y = ln √
x2 + 9 − x
24) y = x sen(ln x − π/4)
221
R. y ′ (ee ) = e
R. y ′ (0) = −2
R. y ′ (1) = 0
R. y ′ (1) = −1
R. y ′ (1) = 1
R. y ′ (0) = 0
√
R. y ′ (π/4) = 2
R. y ′ (1) = 3
R. y ′ (π/3) = −4
R. y ′ (0) = 0
R. y ′ (e) = 1/e
R. y ′ (4) = 2/5
R. y ′ (eπ/4 ) = 1
X. Funciones exponenciales: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) y = e2x
2) y = (x2 + x + 1)3 ex
3) y = (x2 + 3x − 2)e3x+sec x−1
4) y = ex sen x
R. y ′ (0) = 4
R. y ′ (0) = −3
R. y ′ (1) = 1
222
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
5) y = esen x
6) y = esen(ln x)
R. y ′ (1) = 1
7) y = esen(7x+2)
8) y = ex (x + cos x + sen x)
2
9) y = asen
R. y ′ (0) = 3
x
2
10) y = csc(e3x −5x+3 )
sen(ex − 1)
11) y = p
(x + 1)
R. y ′ (0) = 1
esen 3x − esen 2x
x
e1−cos x − 1
=
x sen x
1
= 3x
3e (1 − x)3
(4e)x
=
1 + ln 4
1 tan2 x
=
e
2e
√
= 4 arctan ex − 1
1
1
x
=
x−
ln(2 + 3)
3
ln 2
r x
e −1
=
ex + 1
= ex [sen(ln x) + cos(ln x)]
12) y =
13) y
14) y
15) y
16) y
17) y
18) y
19) y
20) y
21) y =
tan
π −1 e
esen x
πex
4
−1
24) y = ex
3 −πx2
R. y ′ (ln 5) = 1
R. y ′ (0) = 1/2
ecos x
−
sen x − cos x
23) y = e2x sen(x) cos3 (2x)
22) y =
R. y ′ (π/4) = 2
R. y ′ (0) = e − 2
R. y ′ (π/2) = −2eπ
cos(x3 − πx2 )
25) y = (x2 + 1)2 ex
2 −1
26) y = x − ln(2ex + 1 +
√
e2x + 4ex + 1)
27) y = ln(ex cos x + e−x sen x)
R. y ′ (π) = π 2
R. y ′ (1) = 16
1
R. y ′ (0) = √
6
′
R. y (0) = 2
XI. Derivación logarı́tmica: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
1) y = xx
2) y = x
2 +1
√
x
3) y = xsen x
R. y ′ (1) = 2
R. y ′ (1) = 1
Walter Arriaga Delgado
√
4) y = (sen x)
Matemática I
223
x
5) y = (sen x)cos x
R. y ′ (π/2) = 0
6) y = (ln x)ln x
7) y = (ln x)e
x
8) y = (arcsen x)arc cos x
9) y = (ln x)arctan x
10) y = (sen(ln x))cos(ln x)
x
11) y = (sen ex )cos e
XII. Funciones diversas: Hallar la derivada de las siguientes funciones:
√
+ 4 arctan( 2 cos2 x)
√
x−2
√
2) y = 2 arcsen
− 2 + 4x − x2
6
!
√
√
x + 1 − x2
3) y = ln
+ x2 + 1 − ln
x
1) y = e2 sen
4) y =
5) y
6) y
7) y
8) y
9) y
10) y
11) y
12) y
13) y
14) y
15) y
2
x−1
x arcsen2 x
√
− 2x + 2 1 − x2 arcsen x
R. y ′ (π/4) = 2 − π
√
R. y ′ (4) = 2 2
1
+
x
r
1
1+ 2
x
!
R.
r
√
√
1+x− 1−x
1−x
√
= ln √
+ 2 arctan
1+x
1+x+ 1−x
r
2
1
2x + 1
2x − 1
4 x + x + 1
= ln
+ √
arctan √
+ arctan √
x2 − x + 1 2 3
3
3
√
2
= x 25 − x + 25 arcsen(x/5)
√
1
1√
= (x − ) arcsen x +
x − x2
2
2
√
2
x
1
x−1
arctan √ + ln
=
3
x+1
2 6
√
√
1 + sen x
√
+ 2 arctan sen x
= ln
1 − sen x
2
3
x +1
1
x−1
1
= ln
+ ln
+ arctan x
2
4
x −1
4
x+1
2
1
1
1
2x − 1
2
√
= ln(1 + x) − ln(x − x + 1) + √ arctan
2
6
3
3
√
x√ 2
=
x − 16 − 8 ln(x + x2 − 16)
2
ln2 (x2 + 1)
= earctan x +
+ arctan x
4
√
√
4 + ex − 2
x
√
= 2 4 + e + 2 ln
4 + ex + 2
y′
1
√
2
=
√
3−
√
2
π2
16
√
R. y ′ (1/2) = 2 3
y′
R.
1
√
2
=
R. y ′ (1) = 1/3
R. y ′ (4) = 6
R. y ′ (1/4) = π/6
R. y ′ (2) = 2/9
R.
y ′ (π/6)
√
4 6
=
3
R. y ′ (2) = −
2
15
R. y ′ (2) = 1/6
R. y ′ (5) = 3
R. y ′ (0) = 2
R. y ′ (ln 5) = 3
224
Matemática I
16) y
17) y
18) y
19) y
20) y
21) y
22) y
23) y
√
300 6 x
√
= 65 arctan x +
1+ 3 x
√
√
√
√
= 2( 2x + 1 + x) − 2 arctan 2x + 1 + arctan x
r
x
1−x
x
2
= sen (cos 3x) + arcsen
+
1+x
1+x
√
2
1 − ln x
2
=
+ πe π ln(2x +3x−4)
1 + ln x
√
√
x+a− x−a
x−a
√
=√
+ ln
x+a
x+a+ x−a
arctan(5x) sen x cos x
=
+
+ esen(7x+2)
2
4
= sen2 (cos2 (ln2 x))
r
sen 2x + cos 3x
2
2
= sec (ln x) +
sen 2x − cos 3x
√
1
24) y = 2e 2 ln(x
Walter Arriaga Delgado
R. y ′ (64) = −1/8
R. y ′ (1) = 7e − 2
2 +x+1)−sen(5x+2)
XIII. Derivada implicita: Hallar y ′ en:
1) x3 + 2x2 y + 2y 3 = 4 + xy 2
2) ex sen y + ey cos x = (x2 + 1)(y 3 + 1)
3) 5x2 − 3xy 2 − 7y 4 = ex
2 +xy 2 +y 4
4) x + y = sen(x2 + y 2 ) − arctan(xy)
5) x2 y 3 + 3x sen y − 2y 2 ex = 5x3 y 4 − ln(xy)
√
6) xy + 3y = 6 + 2x
2
3
r
x−y
x − y2
x − y3
7)
+ sen
= ln
x+y
x2 + y 2
x3 + y 3
2
2
8) 3x6 y 2 + 2x2 y 6 = xex +y − xy sen(x2 + y 2 )
2
2
18x5 y 2 + 4xy 6 − (2x2 + 1)ex +y + 2x2 y cos(x2 + y 2 ) + y sen(x2 + y 2 )
′
R. y = −
6x6 y + 12x2 y 5 − 2xyex2 +y2 + 2xy 2 cos(x2 + y 2 ) + x sen(x2 + y 2 )
9) x2 y 3 tan(x2 + y 2 ) − (x2 + y 2 )ex
2 +xy+y 2
= 2x4 y 5
10) 1 + xy = xy(exy − e−xy )
q
p
√
11) y = ln x + ln x + ln x + · · · ∞
r
q
p
√
2
12) y = 5 + x 5 + x2 5 + x2 5 + · · · ∞
q
p
√
3
13) y = ex sen x + 3 ex sen x + 3 ex sen x + · · · ∞
XIV. Derivada de orden superior:
Hallar y (n) en:
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
225
1) n = 2;
y = x2 − 3x + 2
2) n = 5;
y = x5 − 6x4 + 4x3 − 7x2 + 9x − 5
3) n = 2;
y = e2x−1
4) n = 5;
y = sen2 x
5) n = 10;
y = ex sen x
R. y (10) (0) = 32
R. y (8) (1) = 720
6) n = 8;
y = x ln x
7) n = 4;
y = xex sen x
x+1
y=
x−1
y = tan(x + 1)
8) n = 2;
9) n = 3;
R. y v = 120
R. y iv (0) = 8
R. y iii (π/4) = 16
Derivada en un punto, hallar f (n) (a), donde:
1) n = 1,
a = 1,
f (x) = xx
2 +1
tan
2) n = 1,
a = 0,
3) n = 1,
a = 0,
4) n = 1,
a = π,
5) n = 1,
a = 0,
6) n = 1,
a = 1,
7) n = 1,
a = 1,
8) n = 1,
a = 1,
9) n = 1,
a = π/3,
10) n = 1,
a = π/3,
11) n = 1,
a = 0,
12) n = 1,
a = ln 2,
13) n = 1,
a = π/2,
14) n = 1,
a = 3,
15) n = 1,
a = 4,
R. 1
16) n = 1,
a = 1/2,
R. 2
πex
4
!
−1
R. 1/2
f (x) = π −1 e
esen x − ecos x
f (x) =
R. e − 2
sen x − cos x
R. eπ
f (x) = ex sen(x) cos3 (x)
√
√
1+x− 1−x
√
f (x) = √
R. 1/2
1+x+ 1−x
q
p
√
√
(8 − 3 2) x + x + x
p√
f (x) =
R. 23/8
2−1
√
√
f (x) = 2 ln(x + 1 + x2 )
R. 1
√
2x − ln x
f (x) =
− 2 eln(x2 +4x−1)
R. −4
2x + ln x
sen(x)
3 sen(x)
f (x) =
−
R. 5
4
4 cos (x) 2 cos2 (x)
1 + tan(x)
f (x) = ln
R. −4
1 − tan(x)
r
x7 − 2ex sen x + 1
f (x) =
R. −3/2
ex cos x
f (x) = ln[cos(arctan(ex − e−x ))]
R. −15/13
x sen x f (x) = tan
+ sen2 (x cos 2x)
R. 1
2
1
x2
f (x) =
ln
R. −1/3
16
x2 − 8
√
√
√
√
f (x) = 2( 2x + 1 + x) − 2 arctan 2x + 1 − 2 arctan x
f (x) =
1
1
ln(1 + 4x2 ) − arctan2 2x
8
2
R. (1 − π)/4
226
Matemática I
17) n = 1,
a = 1,
18) n = 2,
a = π/6,
19) n = 2,
a = 0,
20) n = 2,
21) n = 2,
a = 1,
√
a = π,
22) n = 3,
a = 0,
23) n = 3,
a = 0,
24) n = 3,
a = 1,
25) n = 3,
a = 1,
26) n = 3,
a = 1,
27) n = 4,
a = 0,
28) n = 4,
a = 0,
29) n = 5,
a = 0,
30) n = 6,
a = 0,
1
a= ,
8!
31) n = 7,
Walter Arriaga Delgado
f (x) = ex [sen(ln x) + cos(ln x)]
r
1 − sen x
f (x) = ln
1 + sen x
√
f (x) = arcsen x + 1 − x2
f (x) = (2x − 1)3
sen x + cos x
f (x) = arctan
sen x − cos x
sen
x
f (x) = e
f (x) = π −2 cos(πex )
!
√
x2 + 3 + x
f (x) = ln √
x2 + 3 − x
√
x√ 2
f (x) =
x + 8 + 4 ln(x + x2 + 8)
2
f (x) = x[sen(ln x) + cos(ln x)]
R. 2e
R. −2/3
R. −1
R. 24
R. 0
R. 0
R. 3
R. −1/16
R. 8/27
R. −2
R. −2
f (x) = ln(cos x)
2x + 3
f (x) = 2
x + 3x + 2
f (x) = ex sen x
R. 99/4
R. −4
f (x) = xex sen x
8
f (x) = tan eln(arctan x )
R. −24
R. 1
Hallar la expresión más reducida de la derivada enésima de la función:
1) f (x) = x ln x
x20 + x18 + x16 + · · · + x2 + 1 x11 − 1
−
x10 + x9 + x8 + · · · + x + 1
x+1
4
4
3) f (x) = sen (x) + cos (x)
2x
4) f (x) = 2
x −4
7x + 2
(−2)n n!
(−3)n n!
5) f (x) = 2
R. f (n) (x) =
+
2x − x − 1
(2x + 1)n+1 (x − 1)n+1
2) f (x) =
3x2 + 12x + 11
x3 + 6x2 + 11x + 6
1
7) f (x) =
(x − 1)2 (x − 2)
x+1
8) f (x) = ln
x−1
6) f (x) =
9) f (x) = ln(16x2 + 8x + 1)1/8
x−1
10) f (x) =
x+1
2x + 1
11) f (x) = 2
x +x−6
R. f (n) (x) = (−4)n−1 (n − 1)!(4x + 1)−n
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
227
3x2 + 6x + 2
x3 + 3x2 + 2x
x+2
13) f (x) = ln
x−2
2
x + 3x
14) f (x) = ln
x2 − x − 2
12) f (x) =
XV. Diferenciales:
1) Hallar la diferencial de las siguientes funciones:
f (x) = (3x2 + x)4
√
f (x) = x2 + 1
4xsgn(x2 − 1)
f (x) = rr z
, x ∈ h4, 6i
x
+ x2
2
2) Usando diferenciales, calcular el valor que se indica:
f (x) = x3 + 2x2 − x + 1,
R. 4(6x + 1)(3x2 + x)3 dx
x
dx
R. √
x2 + 1
8dx
R. p
(x2 + 2)3
f (3,002)
R. 43,076
f (x) = x4 + 5x2 − 4, f (−2,97)
√
5 + 2x
f (x) =
, f (2,024)
r x
1−x
, f (0,1)
f (x) = 3
1+x
3) Usando diferenciales, calcular el valor aproximado de:
√
35,5
√
3
7,45
√
√
82 + 4 82
r
5 1
p 31 √
81,6 81,6
R. 117,86
R. 1,2149
R. 0,8
R. 5,9583
R. 1,954
R. 12,06481
R. 0,503125
R. 27,15
sen 59
R. 0,8573
ln(1,1)
R. 0,1
4) Si la medida de la arista de un cubo es de 12 cm con un margen de error de 0.03 cm,
aproximar mediante diferenciales el posible error cometido al calcular:
El volumen del cubo.
El área del cubo.
R. dV = 12,96 cm3
R. dA = 4,32 cm2
5) La altura de un cono circular es el doble del radio de la base. Al medir se encontró que
la altura es de 12 pulg con un posible error de 0,005 pulg. Encontrar mediante diferenciales el error aproximado en el volumen calculado del cono.
R. dV = 0,18π pulg3
228
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
6) Una quemadura en la piel de una persona tiene la forma de una circunferencia tal que
si r cm es el radio y A cm2 es el área de la lesión, entonces A = πr 2 . Use la diferencial
para determinar la disminución aproximada en el área de la quemadura cuando el
radio decrece de 1 cm a 0.8 cm.
R. dA = 0,4π cm2
7) Un tumor situado en el cuerpo de una persona tiene forma esférica tal que si r cm es
4πr 3
el radio y V cm3 es el volumen del tumor, entonces V =
. Use la diferencial para
3
hallar el crecimiento aproximado en el volumen del tumor cuando el radio aumenta
de 15 cm a 15.001 cm.
R. dV = 0,9π cm3
8) Una caja metálica de forma cúbica de 64 cm3 de volumen interior, tiene por caras,
planchas de 1/4 cm de espesor. Si el costo de metal a emplearse es de 8 dólares por cm3
aplicando las diferenciales hallar el costo aproximado del metal que se empleará en la
construcción de la caja.
R. 864 dólares
9) Supóngase que el costo total, en dólares, de fabricar q unidades de cierto artı́culo es
C(q) = 3q 2 + 5q + 10. Si el nivel actual de producción es 40 unidades, estimar cómo
cambiará el costo total si se producen 40.5 unidades.
R. dC = 122,5 dólares
4
10) Una determinada célula tiene forma esférica. Si las fórmulas S = 4πr 2 y V = πr 3 se
3
utilizan para calcular el área de la superficie y el volumen de la célula, respectivamente,
estimar el efecto en S y V producidos por un 1 % de incremento en el radio r.
2πr 2
dS
πr 3
dV
R. dS =
;
= 0,02; dV =
;
= 0,03
25
S
25
V
11) Jean Poiseuille, fı́sico francés, descubrió la le que dice que el volumen de un fluı́do
que circula a través de un pequeño tubo en una unidad de tiempo a una presión fija
está dadopor la fórmula V = kr 4 , donde k es una constante positiva y r es el radio del
tubo. Esta fórmula se usa en medicina para determinar cuánto debe abrirse una arteria
atascada por un coágulo para lograr el flujo de sangre saludable. Supóngase que el
radio de una determinada arteria se incrementó en 5 % aproximadamente, ¿Qué efecto
tendrá esto en el volumen de circulación de la sangre a través de la arteria?
kr 4
dV
R. dV =
;
= 0,2
5
V
XVI. Problemas diversos:
Ax + B
2x
1) Calcular A y B para que la derivada de f (x) = √
sea f ′ (x) =
(4 − x)3/2
4−x
2) Hallar el área del triángulo que forman las rectas tangentes y normal a la curva dada
√
por xy − 2x + 3y − 6 = 0 en el punto (3, 3) y el eje Y .
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
229
3) Formar la ecuación de la recta tangente a la curva y = x3 + 3x2 − 5, perpendicular a
la recta 2x − 6y + 1 = 0.
4) Escribir la ecuación de la recta tangente y normal a la hipérbola y =
cuya abscisa es x = −1/2. Hallar la subtangente y la subnormal.
5) Formar las ecuaciones de las rectas tangentes a la hipérbola
perpendiculares a la recta 2x + 4y − 3 = 0
1
en el punto
x
x2 y 2
−
= 1 que sean
2
7
6) En los puntos de intersección de la recta x − y + 1 = 0 y la parábola y = x2 − 4x + 5
están trazadas las normales a la parábola. Hallar el área del triángulo engendrado por
las normales y la cuerda que subtiende los referidos puntos de intersección.
7) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x2 (x + y) = a2 (x − y) en el origen
de coordenadas.
230
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
7
APLICACIONES DE LA
DERIVADA
Objetivos:
z Trazar la grafica de una función después de analizar: Dominio y rango, intervalos donde
la función es creciente y decreciente, puntos máximos y mı́nimos de la función, puntos de
inflexión, concavidad.
z Aplicar los conceptos de la primera y segunda derivada en la resolución de problemas
prácticos que incluyan máximos y mı́nimos de una función.
7.1.
Problemas geométricos
Es el problema de hallar la ecuación de la tangente a una curva dada, en un punto. Su
origen es geométrico y técnico. Geométricamente, proviene del tiempo de los antiguos griegos,
que obtuvieron las tangentes de algunas curvas. Por otra parte, era necesario resolver este
problema para el diseño de lentes ópticas (una cuestión importante en la época de la que
hablamos, el siglo XVII). También desde un punto de vista fı́sico tenı́a su relevancia, por
cuanto era importante conocer la dirección instantánea de un movimiento curvo.
Apolonio (190 a.C.) construyó las tangentes a las cónicas. Arquı́medes (287–212 a.C.) hizo
lo propio para las espirales. Sin embargo, el punto de vista griego era “estático”: la tangente
era la recta que cortaba a la curva en un sólo punto, “dejándola a un lado”. No habı́a, pues,
proceso de paso al lı́mite.
Fermat (1601–1665) obtuvo un método para hallar la tangente a una curva definida por
un polinomio: y = f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · an xn , método que, en realidad, no hacı́a
ninguna referencia al paso al lı́mite, sino que se apoyaba en el siguiente razonamiento: si f (x)
231
232
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
es un polinomio, entonces f (x + h) − f (x) es un polinomio en h divisible por h, de modo que
se hace la división y se eliminan los términos en h, y se obtiene ası́ la ecuación de la recta
tangente. (Obsérvese que este sistema es el utilizado, hoy en dı́a, para calcular derivadas por
los estudiantes de bachillerato, que no manejan con soltura el concepto de lı́mite.) El punto
de vista de Fermat no es, por tanto infinitesimal, aunque está realmente cercano, ya que al
final acaba haciéndose h = 0 al eliminarse los términos en h.
Descartes (1596–1650) afirma que el problema geométrico que más desea solucionar es el
de las tangentes. Su procedimiento es todavı́a menos infinitesimal que el de Fermat y consiste
en trazar la circunferencia con centro en el corte de la normal a la curva (en el punto que se
considere) con el eje de abscisas y que pase por el punto en cuestión. Se impone la condición de
que la circunferencia no corte a la curva en ningún otro punto y de esta manera se tiene como
tangente la de la circunferencia en este punto. Este método es útil para curvas y = f (x) tales
que (f (x))2 sea un polinomio sencillo. Con él se retorna a la situación griega, completamente
“estática”. Tanto este método como el anterior fueron mejorados con posterioridad.
Barrow (1630–1677) parece que utiliza la idea de que la tangente es el lı́mite de las secantes
para aplicar el método de Fermat a curvas dadas en forma implı́cita: f (x, y) = 0. Ya se verá más
adelante que, no obstante, Barrow seguı́a con la idea griega de que la tangente era la recta
que cortaba a la curva en un solo punto.
Por otro lado, en esos mismos años (hacia 1650), se consiguió determinar la tangente a
algunas curvas por métodos “cinemáticos”. Para ello se daba la curva en forma paramétrica
(con parámetro el tiempo) y se interpretaba la velocidad como la suma (vectorial) de las
velocidades según los ejes. Era, pues, necesario que los dos movimientos tuvieran “buenas”
velocidades. De este modo se determinó la tangente a la cicloide, a la parábola y a la elipse.
7.2.
Valores extremos de una función y puntos crı́ticos
Se trata de hallar el máximo y el mı́nimo de una función dada. Como ejemplos prácticos
podrı́amos tener los siguientes: el alcance de un proyectil depende del ángulo de inclinación del
tubo del cañón. ¿Cuál es el ángulo que maximiza dicho alcance? En el movimiento planetario,
¿cuáles son las distancias máxima y mı́nima de un planeta al Sol?
El primer trabajo sobre este problema es de Kepler (1571–1630), quien tuvo que diseñar
cubas de vino de manera que tuvieran la máxima capacidad, lo cual motivó su estudio sobre la
cuestión. Encontró que el paralelepı́pedo de base cuadrada y volumen máximo inscrito en una
esfera es el cubo (lo obtuvo midiendo muchas formas distintas). Lo esencialmente importante
es su comentario de que, al acercarse al valor máximo, para un cambio fijo en las dimensiones,
el volumen crece cada vez más lentamente. La lectura actual de este hecho es que la derivada
se anula en un máximo relativo.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
233
Fermat parece que da un método de hallar extremos por medio de lo que el denomina
“pseudoigualdades”. Afirma que en un punto se alcanza un máximo si para un incremento
infinitesimal de la variable la función no varı́a. La esencia es semejante a la ya comentada
sobre el problema de la tangente.
7.2.1.
Valores extremos
Un problema de mucho interés es buscar la mejor alternativa frente a muchas posibilidades
de decisión. En términos matemáticos, muchas veces este planteamiento se traduce en buscar
el máximo o el mı́nimo de una función y donde se alcanza este máximo o mı́nimo. Cuando la
función es cuadrática se pueden determinar estos valores buscando el vértice de la gráfica de
este tipo de función. Para funciones más generales, la derivada puede ayudar a resolver este
problema. Recordemos primero la definición de valor máximo y mı́nimo.
Dada la función f : R −→ R una función cuyo dominio es Df y a ∈ Df
Definición 7.2.1. Se dice que f presenta máximo absoluto (MA) en x = a, si: f (x) ≤ f (a),
para todo x ∈ Df . f (a) se denomina máximo absoluto de f .
Definición 7.2.2. Se dice que f presenta mı́nimo absoluto (ma) en x = a, si: f (x) ≥ f (a),
para todo x ∈ Df . f (a) se denomina mı́nimo absoluto de f .
Definición 7.2.3. Se dice que f presenta máximo relativo (MR) o local en x = a, si existe
δ > 0 tal que f (x) ≤ f (a), para todo x ∈ B(a, δ) = ha − δ, a + δi. f (a) se denomina máximo
relativo o local de f .
Definición 7.2.4. Se dice que f presenta mı́nimo relativo (mr) o local en x = a, si existe
δ > 0 tal que f (x) ≥ f (a), para todo x ∈ B(a, δ) = ha − δ, a + δi. f (a) se denomina mı́nimo
relativo o local de f .
En la gráfica siguiente:
se puede observar que:
La función presenta un mı́nimo relativo en x0 , y el mı́nimo relativo es mr = f (x0 )
La función presenta un máximo relativo en x1 , y el máximo relativo es MR = f (x1 )
La función presenta un mı́nimo relativo en x2 , y el mı́nimo relativo es mr = f (x2 )
La función presenta un máximo absoluto en x3 , y el máximo absoluto es MA = f (x3 )
La función presenta un mı́nimo absoluto en x4 , y el mı́nimo absoluto es ma = f (x4 )
La función presenta un máximo relativo en x5 , y el máximo relativo es MR = f (x5 )
234
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Y
MA
MR
mr
MR
mr
x4
x0
x1
x2
x3
x5
X
ma
Figura 7.1: Valores extremos
Los máximos o mı́nimos absolutos de una función son llamados extremos absolutos. La
palabra absoluto suele ser omitida.
Observación 7.2.1.
Una función puede alcanzar un valor mı́nimo más de una vez. Similarmente puede alcanzar más de una vez un valor máximo.
Hay funciones tales que en un intervalo tienen un máximo pero no tienen mı́nimo, otras
no alcanzan ninguno de los dos extremos o alcanzan ambos.
Ejemplo 7.2.1. Dada la función f (x) =
√
25 − x2 , determinar sus valores extremos.
Solución. El dominio de la función f es Dom(f ) = [−5, 5] y su gráfica es una semicircunferencia.
Y
(0, 5)
(−5, 0)
O
(5, 0)
X
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Matemática I
235
La función presenta un máximo absoluto en x = 0, y el máximo absoluto es MA = f (0) = 5
La función presenta un mı́nimo absoluto en x = −5 y x = 5, y el mı́nimo absoluto es ma =
f (−5) = f (5) = 0
Ejemplo 7.2.2. Considerando la definición de extremo; si f (x) = k, (k = constante), todo
x ∈ R es un punto de extremo relativo y absoluto, es decir, k es a su vez máximo absoluto,
máximo relativo, mı́nimo absoluto y mı́nimo relativo.
7.2.2.
Punto crı́tico
Definición 7.2.5. Sea f : R −→ R una función real de variable real, cuyo dominio es D.
se dice que c ∈ D es un punto crı́tico de f , o punto singular de f , cuando la función no es
diferenciable en c (6 ∃f ′ (c)), o bien su derivada es cero, f ′ (c) = 0.
Teorema 7.2.1. Si f alcanza un extremo relativo en c entonces c es un valor crı́tico.
Remarcamos que el teorema no dice que si un punto es crı́tico entonces hay un máximo
o mı́nimo relativo en ese punto. Pero si que los puntos crı́ticos son los únicos candidatos a
máximos o mı́nimos relativos.
Observación 7.2.2. Una función f puede tener extremos relativos en los puntos crı́ticos;
para calcular estos, es suficiente resolver la ecuación f ′ (x) = 0 ó la que resulta de considerar
que f ′ (x) no existe.
Ejemplo 7.2.3. Determinar los puntos crı́ticos de cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x + 5
El dominio de la función es todo R.
Calculamos la derivada de la función: f ′ (x) = 6x2 + 6x − 36
resolvemos ahora la ecuación f ′ (x) = 0, es decir x2 + x − 6 = (x + 3)(x − 2) = 0, entonces
los puntos crı́ticos de f son: x = −3 y x = 2.
√
b) f (x) = x 3 x + 1
El dominio de la función es todo R.
4x + 3
Calculamos la derivada de la función: f ′ (x) = p
3
3 (x + 1)2
′
resolvemos ahora la ecuación f (x) = 0.
La derivada se anula cuando 4x + 3 = 0, de donde x = −3/4
p
la derivada f ′ (x) no existe cuando 3 3 (x + 1)2 = 0, de donde x = −1.
entonces los puntos crı́ticos de f son: x = −3/4 y x = −1.
√
c) f (x) = x( x + 1)
El dominio de la función es [0, ∞i
236
Matemática I
Calculamos la derivada de la función:
f ′ (x)
Walter Arriaga Delgado
√
3x + 2 x
√
=
2 x
resolvemos ahora la ecuación f ′ (x) = 0.
√
√
La derivada se anula cuando 3x + 2 x = 0 y no existe cuando 2 x = 0.
Despejamos x en ambas ecuaciones obteniéndose x = 4/9 y x = 0.
Como el valor x = 4/9 no verifica la primera ecuación, el único valor que anula f ′ (x) es
√
x = 0. Por otra parte, 2 x = 0 ⇔ x = 0, entonces el único punto crı́tico de f es x = 0.
7.3.
El teorema de Rolle y el teorema de Lagrange
Los resultados más útiles del cálculo diferencial se refieren a funciones derivables en todos
los puntos de un intervalo. El teorema del valor medio es frecuentemente atribuido a Joseph
Louis Lagrange; no obstante, fue publicado por vez primera en 1806 por el fı́sico André Marie
Ampére que justificaba el resultado usando ideas de Lagrange y suponiendo que la función
derivada era continua lo cual, como se verá enseguida, es innecesario. Quince años más tarde
Augustin Louis Cauchy volvió a probar el teorema con las mismas hipótesis. El teorema del
valor medio es uno de los resultados más útiles del Cálculo. Su utilidad se debe principalmente
a que dicho teorema permite acotar el incremento de una función cuando se conoce una cota
de su derivada. Michel Rolle1 fue miembro de la Académie des Sciences y en 1691 estudiando
un método para resolver ecuaciones estableció sin demostrar el teorema que ahora lleva su
nombre que, como veremos, es esencialmente equivalente al teorema del valor medio.
Pero antes de enunciar estos teoremas, demostraremos la siguiente proposición:
Proposición 7.3.1. Sea f : R −→ R una función tal que:
a) f (c) es un extremo relativo de f .
b) f es derivable en c.
Entonces f ′ (c) = 0
Teorema 7.3.1. Teorema de Rolle. Sea f : [a, b] −→ R una función tal que:
a) f es continua en [a, b].
b) f es derivable en ha, bi.
c) f (a) = f (b)
Entonces existe por lo menos un c ∈ ha, bi tal que f ′ (c) = 0
1
Michel Rolle, nació en Ambert, Basse-Auvergne el 21 de abril de 1652 y murió en Parı́s el 8 de noviembre
√
de 1719. Fue un matemático francés. Inventó la notación n x para designar la enésima raı́z de x.
Walter Arriaga Delgado
7.3.1.
Matemática I
237
Interpretación geométrica del teorema de Rolle
El teorema de Rolle afirma que si se cumplen las tres hipóteis para la función f , entonces
existe por lo menos un punto P (c, f (c)) en el cual la recta tangente es paralela al eje X.
Y
a
c
b
X
Figura 7.2: Teorema de Rolle
En la figura (7.2) se observa que en el punto P (c, f (c)) la recta tangente es paralela al eje
X, en efecto, si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor
inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en
éste, f ′ se anula. Sin embargo este teorema no asegura que el punto P (c, f (c)) sea único, pues
pueden existir más puntos que verifiquen este teorema. Veamos la figura (7.3), el cual muestra
que no se garantiza la unicidad de c.
Una importante aplicación del teorema de Rolle en la economı́a es que demuestra la veracidad de la Curva de Laffer, que representa la relación existente entre los ingresos fiscales y los
tipos impositivos, mostrando como varı́a la recaudación fiscal al modificar los tipos impositivos. Fue difundida por el economista Arthur Laffer, aunque cinco siglos antes el economista
norafricano Ibn Jaldún ya habı́a teorizado sobre la relación entre los tipos impositivos y la
recaudación, y también John Maynard Keynes unos pocos años antes.
Teorema 7.3.2. Teorema de Lagrange. Conocido también como el teorema del valor
medio. TVM. Sea f : [a, b] −→ R una función tal que:
a) f es continua en [a, b].
b) f es derivable en ha, bi.
Entonces existe por lo menos un c ∈ ha, bi tal que f ′ (c) =
f (b) − f (a)
b−a
238
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Y
c2
a
c1
b
X
Figura 7.3: Teorema de Rolle
7.3.2.
Interpretación geométrica del teorema de Lagrange
El teorema de Lagrange afirma que si se cumplen las dos hipóteis para la función f ,
entonces existe por lo menos un punto P (c, f (c)) en el cual la recta tangente es paralela a la
cuerda AB.
Y
a
c
b
X
Figura 7.4: Teorema de Lagrange
En la figura (7.4) se observa que en el punto P (c, f (c)) la recta tangente es paralela a
la cuerda AB, sin embargo este teorema no asegura que sea único, pues pueden existir más
puntos que verifiquen este teorema. Veamos la figura (7.5)
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
239
Y
a
c1
c2
b
X
Figura 7.5: Teorema de Lagrange
7.3.3.
Aplicaciones del teorema del valor medio
7.4.
Funciones monótonas
7.5.
Criterios de la derivada para máximos y mı́nimos
Definición 7.5.1. Se llama criterio de la primera derivada al método utilizado en el cálculo
diferencial para determinar los valores extremos: relativos y absolutos que pueden existir en
una función mediante el uso de la primera derivada, donde se observa el cambio de signo, en
un intervalo abierto señalado que contiene al punto crı́tico c.
7.5.1.
Criterio de la primera derivada
1. Determinar la derivada de f : f ′ (x)
2. Determinar los puntos crı́ticos de f
3. Si c es punto crı́tico, se debe determinar el signo de f ′ (x), primero para valores que están
antes que c (lo suficientemente próximo) y luego para valores que están después de c (lo
suficientemente próximo)
Si f ′ (x) cambia de (−) a (+), entonces f tiene un mı́nimo relativo en (c, f (c)). Luego
f (c) es un mı́nimo relativo.
Si f ′ (x) cambia de (+) a (−), entonces f tiene un máximo relativo en (c, f (c)). Luego
f (c) es un máximo relativo.
Si no existe cambio de signo, entonces no existe ni máximo ni mı́nimo relativo en c.
240
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Definición 7.5.2. Se llama criterio de la segunda derivada al método utilizado en el cálculo
diferencial en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los valores extremos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es
convexa en un intervalo abierto que contiene a c, y f ′ (c) = 0, f (c) debe ser un mı́nimo relativo
de f . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo
abierto que contiene a c y f ′ (c) = 0, f (c) debe ser un máximo relativo de f .
7.5.2.
Criterio de la segunda derivada
1. Determinar la derivada de f : f ′ (x)
2. Determinar los puntos crı́ticos de f
3. Determinar la segunda derivada de f : f ′′ (x)
4. Evaluar cada punto crı́tico en f ′′ (x)
Si f ′′ (c) > 0, entonces f tiene un mı́nimo relativo en (c, f (c)). Luego f (c) es un mı́nimo
relativo.
Si f ′′ (c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f (c)). Luego f (c) es un
máximo relativo.
Si f ′′ (c) = 0 o no existe, el criterio es inconsistente. Esto es, f quizás tenga un máximo
relativo en c, un mı́nimo relativo en c o ninguno de los dos.
Definición 7.5.3. El Criterio o prueba de la Tercera Derivada es un método del cálculo
matemático en el que se utiliza la tercera derivada para confirmar o comprobar los puntos
de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Estos puntos de inflexión siempre son
catalogados como posibles, ya que para comprobarlos hay que hacer la gráfica correspondiente.
En algunos casos especiales cuando la segunda derivada es 0 en un punto que no es un punto
de inflexión, es recomendable aplicar este criterio.
Al utilizarlo no es necesario graficar para comprobar la veracidad de los puntos de inflexión.
7.5.3.
Criterio de la segunda derivada
1. Determinar la primera, segunda y tercera derivada de de f : f ′ (x), f ′′ (x) y f ′′′ (x)
2. El resultado de la segunda derivada se iguala a 0 y se obtiene las raı́ces o posibles puntos
de inflexión.
3. Se evalúa la tercera derivada con los valores de las raı́ces o posibles puntos de inflexión
obtenidos en el paso anterior. Al momento de evaluar, en la raı́z donde se anule (o se haga
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
241
cero) la tercera derivada, allı́ no habrá un punto de inflexión. Si la tercera derivada no se
anula, en esa raı́z si habrá un punto de inflexión.
4. En la función original calculamos los valores de las ordenadas.
7.6.
Convexidad, concavidad y puntos de inflexión
Ası́ como los puntos máximos y mı́nimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los
cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión
de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de
la curva.
Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de
tipo intuitivo.
Y
x1
c
x2
X
Considere la función f cuya gráfica aparece en la figura y note en primer lugar que la curva
que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.
Se observa que en los puntos cercanos a x1 , pero diferentes de x1 , la curva se encuentra
por debajo de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en
el punto x1 .
Igualmente se observa que en los puntos cercanos a x2 , pero diferentes de x2 , la curva se
encuentra por encima de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia
arriba en el punto x2 .
242
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
7.7.
Ası́ntotas y cómo dibujar la gráfica de una función
7.8.
Regla de L’Hopital-Bernoulli para el cálculo de lı́mites
indeterminados
En ésta sección estudiaremos el método práctico más efectivo para calcular lı́mites de
0
∞
funciones en los que se presenta una indeterminación del tipo , o
. Esta regla recibe su
0
∞
nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine,2 marqués
de L’Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment
petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), el primer texto que se ha escrito sobre
cálculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli (16671748), que fue quien la desarrolló y demostró. La explicación es que ambos habı́an entrado en
un curioso arreglo de negocios por medio del cual el marqués de L’Hopital compró los derechos
de los descubrimientos matemáticos de Bernoulli. El principio general consiste en que, con las
hipótesis adecuadas, el comportamiento (convergencia o divergencia) del cociente f ′ /g′ entre
las derivadas de dos funciones (en un punto de la recta real, por la izquierda o por la derecha,
en +∞ o en −∞) implica el mismo tipo de comportamiento para el cociente f /g entre las
dos funciones. A la hora de concretar esta idea general, se comprende que serı́an necesarios
demasiados enunciados para estudiar uno a uno todos los casos. Presentaremos solamente dos
enunciados, conocidos como primera y segunda reglas de L’Hôpital, mostrando que a partir
de ellos puede resolverse cualquier otro de los casos.
7.8.1.
Primera regla de L’Hopital. Forma 0/0
Si las funciones f, g : R → R, son:
a) Continuas en [a, b]
b) Derivables en ha, bi
c) g′ (x) 6= 0, para todo x ∈ ha, bi
d) f (c) = g(c) = 0, c ∈ ha, bi
f ′ (x)
=L
x→c g ′ (x)
e) lı́m
f (x)
f ′ (x)
= lı́m ′
=L
x→c g(x)
x→c g (x)
entonces lı́m
2
Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (Parı́s, 1661 - Parı́s, 2 de febrero de 1704) fue un
matemático francés. El más importante de sus logros es el descubrimiento de la regla de L’Hôpital, atribuido a
su nombre, que se emplea para calcular el valor lı́mite de una fracción donde numerador y denominador tienden
a cero o ambos tienden al infinito.
Walter Arriaga Delgado
7.8.2.
Matemática I
Segunda regla de L’Hopital. Forma ∞/∞
Si las funciones f, g : R → R, son:
a) Continuas en ha, b]
b) Derivables en ha, bi
c) g′ (x) 6= 0, para todo x ∈ ha, bi
d) lı́m f (x) = lı́m g(x) = ∞, c ∈ ha, bi
x→c
x→c
f ′ (x)
=L
x→c g ′ (x)
e) lı́m
f (x)
f ′ (x)
= lı́m ′
=L
x→c g(x)
x→c g (x)
entonces lı́m
243
244
Matemática I
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS RESUELTOS
7.
I. Teorema de Rolle: Analizar si se puede aplicar el teorema de Rolle a las siguientes
funciones en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, encuentrar el punto cuya
existencia asegura el teorema.
1. f (x) = x2 − 5x + 6, en [0, 5]
Solución
Veamos si la funcion cumple las condiciones del teorema:
f es continua en [0, 5]: Es inmediato que f sea continua en [0, 5], ya que se trata
de un polinomio, y todo polinomio es continua en todo R.
f es derivable en h0, 5i: Es inmediato que f sea derivable en h0, 5i, ya que se
trata de un polinomio, y todo polinomio es derivable en todo R.
f (a) = f (b): En efecto f (0) = f (5) = 0
Podemos entonces afirmar que se cumple el Teorema de Rolle y que existe c ∈ h0, 5i
tal que f ′ (c) = 0.
Ahora hallemos el punto c:
f ′ (c) = 2c − 5 = 0 de donde c = 5/2 ∈ h0, 5i
∴ c = 5/2
II. Problemas de tasa de variación.
⊛ A la Medicina, Biologı́a y Ciencias de la Salud:
1. Un equipo de investigación médica determina que t dı́as después del inicio de una
epidemia
N (t) = 10t3 + 5t +
√
t
personas estarán infectadas. ¿A qué razón se incrementa la población infectada en
el noveno dı́a?.
Solución
Derivando la función N se tiene:
1
N ′ (t) = 30t2 + 5 + √
2 t
Ahora en t = 9 se tiene N ′ (9) = 14611/6 ≈ 2435,16
Esto significa que cuando t = 9 dı́as la población de bacterias está aumentando a
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
245
razón de 14611/6 por dı́a.
∴ N ′ (9) = 14611/6
2. La ley de Fick establece que el porcentaje de concentración de soluto en el interior
de una célula en el tiempo t es f (t) = C(1 − e−kt ), donde C es la constante positiva de concentración del soluto que rodea la célula y k es una constante positiva.
Suponga que para cierta célula, la concentración de soluto en el interior después de
2 horas es 0.8 % de la concentación de soluto en el exterior. ¿Cómo está cambiando
f respecto al tiempo? Interprete este resultado.
Solución
Como la concentración de soluto en el interior después de 2 horas es 0.8 % la concentación de soluto en el exterior, se tiene que f (2) = 0,008C = C(1 − e2k ). De esto,
0,008 = 1 − e2k , despejando y aplicando logaritmo natural se tiene −2k = ln(0,992),
luego k ≈ 0,004.
Obtenemos el modelo f (t) = C(1 − e0,004t ). Derivando f respecto al tiempo se tiene
que
f ′ (t) = −0,004Ce0,004t
Note que la función exponencial es positiva ası́ como también la constante C. Luego
df
es negativa. Esto nos indica que en un tiempo t0 , el porcentaje de concentración
dt
de soluto en el interior de una célula disminuye a razón de 0,004Ce0,004t por cada
unidad de tiempo adicional.
3. La temperatura de un determinado jarabe en el congelador está dada por T (r) =
√
r 2 + 4r + 10, donde r es la concentración de alcohol del medicamento por cada ml
500
y está dada en función del tiempo (en minutos) por r(t) = 2
. Hallar la razón
4t + 1
a la cuál está cambiando la temperatura después de 10 minutos.
Solución
Se pide hallar la razón de cambio de la temperatura respecto al tiempo. Debemos
obtener
dT
dT dr
=
dt
dr dt
Usando regla de la cadena nos queda
dT
r+2
=√
2
dr
r + 4r + 10
y por regla de la división
dr
40000t
=− 2
dt
(4t + 1)2
246
Matemática I
Ahora pasados 10 minutos se tiene que r(10) =
Walter Arriaga Delgado
5000
≈ 12, 47. Luego
4 × 102 + 1
dT
dT
dr
12,47 + 2
40000 × 10
(10) =
(12,47) (10) = − p
≈ −2,45
2
dt
dr
dt
12,47 + 4 × 12,47 + 10 (4 × 102 + 1)2
∴
dT
(10) =≈ −2,45
dt
⊛ A la Quı́mica:
1. La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante
P V = K donde P es la presión, V el volumen y K una constante. Si la presión
está dada por la expresión: P (t) = 30 + 2t con P en cm de Hg, t en segundos; y
el volumen inicial es de 60 cm3 , determina la razón de cambio del volumen V con
respecto al tiempo t a los 10 segundos.
Solución
Sebemos determinar la velocidad de cambio del volumen respecto del tiempo en el
dV
instante t = 10 segundos, o sea, el valor de la derivada
calculada en t = 10. La
dt
idea es expresar el volumen V en función del tiempo t.
La ley de Boyle establece que P V = K, además por dato del problema se sabe que
la presion varı́a con respecto al tiempo: P (t) = 30 + 2t, entonces despejando se tiene
K
V (t) =
luego sustituyendo tenemos
P (t)
V (t) =
K
30 + 2t
dV (t)
2K
dV (10)
2K
=−
y hallando su valor en t = 10
=− 2
2
dt
(30 + 2t)
dt
50
El dato de que el volumen inicial es de 60 cm3 nos permite calcular la constante
K
K
K, es decir V (0) =
, de donde 60 =
, con lo cual K = 1800, reemplazando se
30
30
dV (10)
3600
tiene
=−
= −1,44cm3 /s. El signo negativo indica disminucion.
dt
2500
En definitiva el gas esta disminuyendo su volumen a razon de 1,44 cm3 por segundo
derivando
a los 10 segundos de iniciado el proceso de compresión.
∴
dV (10)
= −1,44cm3 /s
dt
III. Problemas de aplicación de máximos y mı́nimos.
⊛ A la Aritmética y Algebra:
1. De todas las parejas de números reales cuyas componentes tienen suma S dada,
encontrar aquella para la cual el producto P de las mismas es máximo. Aplicar para
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
247
el caso S = 40.
Solución
Sean los números x e y. Se busca maximizar P tal que: P (x, y) = xy, pero se
sabe que x + y = S, despejando y se tiene y = S − x y sustituyendo tendremos
P (x) = x(S − x), de donde:
P (x) = −x2 + Sx
aplicando el criterio de la primera derivada: P ′ (x) = −2x + S = 0, se tiene que
x = S/2
+
S/2
−
ahora si x = S/2 entonces y = S/2 y la pareja de números buscada es: (S/2, S/2),
además el valor máximo del producto P es: P (S/2) = S 2 /4.
P
S 2 /4
0
S/2
S
X
Hallando la segunda derivada de P (x): P ′′ (x) = −2, luego por el criterio de la
segunda derivada se tiene que P ′′ (S/2) = −2 < 0 entonces en x = S/2 existe un
máximo relativo.
Para S = 40, la solución es x = 20, y = 20 o sea la pareja es: (20, 20), y el producto
máximo será entonces: Pmáx = 400.
∴ Pmáx = 400
2. De todas las parejas de números reales cuyas componentes positivas tienen P producto dado, encontrar aquella para la cual la suma S de esas componentes es mı́nima.
Aplicar para el caso P = 100.
Solución
Sean los números x e y. Se busca minimizar S tal que: S(x, y) = x + y, pero se sabe
que xy = P , despejando y se tiene y = P/x y sustituyendo tendremos:
P
S(x) = x +
x
248
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
aplicando el criterio de la primera√derivada:√
P
x2 − P
(x − P )(x + P )
S ′ (x) = 1 − 2 =
=
= 0,
2
x
x
x2
+
√
− P
−
−
0
√
+
P
trazando la gráfica de la función
S
0
√
P
X
Hallando la segunda derivada de S(x):
S ′′ (x) =
2P
x3
, luego por el criterio de la segunda derivada se tiene que
√
S ′′ (− P ) =
2P
−2
√
= √ <0
3
(− P )
P
√
entonces en x = − P existe un máximo relativo.
√
2P
2
S ′′ ( P ) = √ 3 = √ > 0
P
P
entonces en x =
√
P existe un mı́nimo relativo.
Se ha descartado la solución negativa, puesto que x > 0, luego el punto critico
√
√
x = P corresponde a un minimo, además y = P , y la pareja de números busca√ √
√
√
da es: ( P , P ); ahora el valor mı́nimo de la suma S es: S( P ) = 2 P .
Para P = 100, la solución es x = 10, y = 10 o sea la pareja es: (10, 10), y la suma
mı́nima será entonces: Smı́n = 20.
∴ Smı́n = 20
⊛ A la Geometrı́a:
1. Demostrar que de todos los rectángulos de perı́metro p dado, el de máxima área es
el cuadrado.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
249
Solución
Sean x e y los lados del rectángulo, cuyo perı́metro es p y área A. Se busca maximizar
A(x, y) = xy, pero se sabe que p = 2(x + y), despejando y se tiene y = p/2 − x y
sustituyendo tendremos A(x) = x(p/2 − x), de donde:
A(x) = −x2 +
px
2
aplicando el criterio de la primera derivada: A′ (x) = −2x + p/2 = 0, se tiene que
x = p/4
+
p/4
−
Hallando la segunda derivada de A(x): A′′ (x) = −2, luego por el criterio de la
segunda derivada se tiene que P ′′ (p/4) = −2 < 0 entonces en x = p/4 existe un
máximo relativo.
Ahora si x = p/4 entonces y = p/4, por lo que el rectángulo de área máxima es un
CUADRADO, además el valor máximo del área A es: Amáx = p2 /16.
∴ Amáx = p2 /16
2. Un granjero a comprado una cerca de 150 m de longitud para cercar todo su terreno,
la idea es dejar allı́ su ganado de vacas y ovejas para que no se mezclen entre si,
formando dos rectángulos similares, cuáles deben ser las dimensiones para que la
superficie sea máxima y cuál es esa superficie máxima.
Solución
Según el enunciado del problema, tenemos el sigiente gráfico:
y
x
ahora la función a maximizar es A(x, y) = xy, y como se cuenta con 150 m de valla,
150 − 2x
entonces 2x + 3y = 150, de donde y =
y reemplazando en la función a
3
maximizar se tiene:
150x − 2x2
A(x) =
3
Hallando la primera derivada de la función A(x) se tiene:
A′ (x) =
150 − 4x
3
250
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
luego resolvemos la ecuación A′ (x) = 0 para encontrar los puntos crı́ticos,
150 − 4x
A′ (x) =
= 0, entonces el punto crı́tico es x = 37,5
3
Hallando la segunda derivada de la función A(x) se tiene:
A′′ (x) = −
4
3
luego por el criterio de la segunda derivada se tiene que A′′ (37,5) = −4/3 < 0 entonces en x = 37,5 existe un máximo relativo, además reemplazando en la ecuación
2x + 3y = 150 se tiene y = 25, por tanto las dimensiones para que la superficie sea
máxima son x = 37,5, y = 25 y Amáx = A(37,5) = 937,5
∴ Amáx = 937,5 m2
⊛ A la Medicina, Biologı́a y Ciencias de la Salud:
1. Un biólogo realizó un experimento sobre la cantidad de individuos en una población
de paramecium en un medio nutritivo y obtuvo el modelo p(t) = ln(t2 −2t+5), donde
t se mide en dı́as y p(t) es el número de individuos en el cultivo. Indique después de
cuánto tiempo el número de individuos en la población es mı́nimo, además calcule
dicha población mı́nima.
Solución
La función que define la cantidad de individuos en una población de paramecium
en un medio nutritivo está dado por
p(t) = ln(t2 − 2t + 5)
Hallando la primera derivada de la función p(t) se tiene:
p′ (t) =
t2
2t − 2
− 2t + 5
como t2 − 2t + 5 tiene ∆ < 0, entonces la derivada p′ (t) existe para todo t ∈ R,
luego de la ecuación p′ (t) = 0 se tiene 2t − 2 = 0, obteniéndose como único punto
crı́tico t = 1.
Hallando la segunda derivada de la función p(t) se tiene:
p′′ (t) =
−2t2 + 4t + 6
(t2 − 2t + 5)2
1
> 0, luego por el criterio
2
de la segunda derivada se tiene que en t = 1 existe un mı́nimo relativo.
evaluando p′′ en el punto crı́tico t = 1 se tiene p′′ (1) =
Interpretamos este resultado en el contexto del problema, como transcurrido un dı́a
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
251
el número de individuos en el cultivo es mı́nimo, se sigue que para 0 < t < 1 la
función es decreciente y para t > 1 la función es creciente. A partir de t = 0 el
número de individuos comienza a disminuir hasta llegar a una cantidad mı́nima de
pmı́n = p(1) = ln 4 = 1,386 individuos al primer dı́a, pasado el primer dı́a la población aumenta.
∴ pmı́n = 1 individuo
2. En una investigación se descubrió que la concentración y(t) de un medicamento
inyectado en el organismo vı́a intramuscular está dada por
y(t) =
c
(e−at − e−bt )
b−a
donde t ≥ 0 es el número de horas transcurridas después de la inyección, a, b y c
son constantes positivas con b > a. ¿Cuándo ocurre la máxima concentración?.
Solución
La función que define la la concentración de un medicamento inyectado en el organismo vı́a intramuscular está dada por
y(t) =
c
(e−at − e−bt )
b−a
Hallando la primera derivada de la función y(t) se tiene:
y ′ (t) =
c
(−ae−at + be−bt )
b−a
luego resolvemos la ecuación y ′ (t) = 0 para encontrar los puntos crı́ticos
c
a
(−ae−at + be−bt ) = 0 entonces
= eat−bt aplicando logaritmo
y ′ (t) =
b−a
b
natural a ambos lados de la última igualdad obtenemos ln(a/b) = at − bt, de donde
se tiene que t =
1
a−b
ln(a/b) es un punto crı́tico de y.
Hallando la segunda derivada de la función y(t) se tiene:
c
cb2 e−at a2
′′
2 −at
2 −bt
(a−b)t
y (t) =
(a e
−b e )=
−e
b−a
b−a
b2
evaluando y ′′ en el punto crı́tico t =
y
′′
1
a−b
ln(a/b) se tiene
1
1
cb2 e−at a2
cb2 e−at a2 a
(a−b) a−b
ln(a/b)
ln(a/b) =
−e
=
−
a−b
b−a
b2
b−a
b2
b
a 2
Note que de los datos aportados por el problema 0 < a < b luego
< 1 y
b
a 2 a
1
− < 0, de esto y ′′ a−b
ln(a/b) < 0, por el criterio de la segunda derivada
b
b
1
se tiene que el punto crı́tico t = a−b
ln(a/b) es un máximo relativo.
252
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Ası́, la concentración máxima del medicamento ocurre cuando de t =
1
a−b
ras de la inyección. Como el punto es máximo tenemos que para 0 < t <
la concentración del medicamento es creciente y para t >
1
a−b
ln(a/b) ho1
a−b
ln(a/b)
ln(a/b) la concentra-
ción disminuye a medida que pasa el tiempo.
∴ Para t =
1
ln(a/b) la concentración es máxima
a−b
⊛ A la Economı́a, Administración y Ciencias Sociales:
1. Una fábrica de arcilla vende cada kilo a 20 soles y los gastos de producción están
x2
, los gastos de envı́o es 1 sol por cada kilo
dados por la fórmula P (x) =
1000
entregado. ¿Cuántas unidades se deben de producir para que el beneficio sea máximo
y cuánto será dicho beneficio?.
Solución
x2
entonces los gastos es:
1000
x2
G(x) = precio de costo + precio de distribución, es decir G(x) =
+ 1 × x.
1000
ahora la función
a 2maximizar
es el beneficio:
x
B(x) = 20x −
+ x , que reduciendo se tiene:
1000
Según datos del problema se tiene que P (x) =
B(x) = 19x −
x2
1000
Hallando la primera derivada de la función B(x) se tiene:
B ′ (x) = 19 −
x
500
luego resolvemos la ecuación B ′ (x) = 0 para encontrar los puntos crı́ticos,
x
B ′ (x) = 19 −
= 0, entonces el punto crı́tico es x = 9500
500
Hallando la segunda derivada de la función B(x) se tiene:
B ′′ (x) = −
1
<0
500
luego por el criterio de la segunda derivada se tiene que en x = 9500 existe un
máximo, reemplazando en la función B(x) se obtiene: Bmáx = B(9500) = 90250
soles.
∴ Bmáx = B(9500) = 90250 soles
IV. Regla de L’Hopital-Bernoulli.
Calcular los siguientes lı́mites:
Walter Arriaga Delgado
1.
Matemática I
253
lı́m (tan x − 1) sec 2x
x→π/4
Solución
tan x − 1
sec2 x
= lı́m
= −1
x→π/4 cos 2x
x→π/4 −2 sen 2x
lı́m (tan x − 1) sec 2x = lı́m
x→π/4
∴
lı́m (tan x − 1) sec 2x = −1
x→π/4
254
Matemática I
✍
Walter Arriaga Delgado
EJERCICIOS PROPUESTOS
7.
I. Teorema de Rolle: Analizar si se puede aplicar el teorema de Rolle a las siguientes
funciones en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, encuentrar el punto cuya
existencia asegura el teorema.
1) f (x) = x2 − 4x + 1,
en [0, 4]
2) f (x) = x3 − 5x2 + 3x,
en [0, 3]
3) f (x) = 4x3 + x2 − 4x − 1,
en [−1, 1]
en [−1, 2]
4) f (x) = x3 + 4x2 − 11x − 10,
√
5) f (x) = 25 − x2 ,
en [−5, 5]
π 5π
,
6) f (x) = ln(cos x),
en
6 6
7) f (x) = 4sen x ,
Rpta. 0
Rpta. 6 ∃
π
2
3
Rpta.
2
en [0, π]
8) f (x) =
√
3
9) f (x) =


4x2 + 4x,







Rpta. 2
1
Rpta.
3
1
2
Rpta. , −
2
3
Rpta. 1
x2 − 3x + 2,
Rpta.
en [1, 2]
x≤1
−4x3 + 12x2 ,
1 < x < 2,
x3 − 3x2 + 20,
x≥2
en [−1, 4]
Rpta. −
1
2
II. Teorema de Lagrange TVM: Analizar si se puede aplicar el teorema de Lagrange a
las siguientes funciones en los intervalos que se indican. En caso afirmativo, encuentrar
el punto cuya existencia asegura el teorema.
1) f (x) = x2 − 4x + 8,
2) f (x) = x3 − 5x2 − 3x,
en [0, 4]
Rpta. 2
7
Rpta.
3
1
2
Rpta. , −
2 √3
Rpta. 2 5
en [1, 3]
3) f (x) = 4x3 + x2 − 4x − 1,
en [−1, 1]
√
4) f (x) = 25 − x2 ,
en [3, 5]
5) f (x) = ln x,
en [1, e]

2


4x + 4x,

6) f (x) = −4x3 + 12x2 ,



 3
x − 3x2 + 20,
Rpta. e − 1
x≤1
1 < x < 2,
en [0, 4]
Rpta.
5 3
, y3
8 2
x≥2
III. Valores extremos.
Determinar los valores extremos máximos y mı́nimos, los puntos de inflexión, los intervalos de monotonı́a, la concavidad y bosquejar la gráfica de las siguientes funciones:
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
1) f (x) = x3 − 3x + 2
R. MR = f (−1) = 4,
2) f (x) = 2x3 − 3x2
R. MR = f (0) = 0,
255
mr = f (1) = 0
mr = f (1) = −1
3) f (x) = 2x3 − 6x2 − 18x + 7
mr = f (3) = −47
R. MR = f (−1) = 17,
4) f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x − 7
mr = f (1) = −7
R. MR = f (−2) = 13,
5) f (x) = x3 + 2x2 − 4x + 2
R. MR = f (−2) = 10,
6) f (x) = 3x − x3
R. mr = f (−1) = −2,
mr = f (2/3) = 14/27
MR = f (1) = 2
7) f (x) = −2x3 − 3x2 + 12x + 30
R. mr = f (−2) = −10,
MR = f (1) = 37
8) f (x) = x3 − 5x2 + 3x − 5
R. MR = f (1/3) = −122/27,
9) f (x) = x3 − 6x2 + 11
R. MR = f (0) = 11,
mr = f (3) = −14
mr = f (4) = −21
10) f (x) = 2x3 − 3x2 − 36x + 20
mr = f (3) = −61
R. MR = f (−2) = 64,
11) f (x) = −x3 − 3x2 + 9x + 1
R. mr = f (−3) = −26,
MR = f (1) = 6
12) f (x) = x4 − 14x2 − 24x + 50
R. mr = f (−2) = 58,
MR = f (−1) = 61,
13) f (x) = x4 − 8x2 + 3
R. ma = f (−2) = −13,
MR = f (0) = 3,
14) f (x) = 3x4 − 8x3 − 30x2 + 72x + 25
R. ma = f (−2) = −127,
MR = f (1) = 62,
ma = f (3) = −67
ma = f (2) = −13
mr = f (3) = −2
15) f (x) = x4 − 4x3
16) f (x) = x4 − 2x2 − 8
17) f (x) = x4 − 6x2 + 4
18) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 50
19) f (x) = −3x4 + 8x3 + 6x2 − 24x + 10
R. MA = f (−1) = 29,
mr = f (1) = −3,
mr = f (2) = 2
256
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
20) f (x) = 1 + 6x + 3x2 − 8x3 − 6x4
R. MR = f (−1) = 0,
mr = f (−1/2) = −5/8,
21) f (x) = 3x5 − 25x3 + 60x + 1
R. MR = f (−2) = −15,
mr = f (−1) = −37,
17
22) f (x) = 18x5 + 3x4 − 32x3 − 6x2 + 6x + 1
R. MR = f (−1) = 6, mr = f −1
= −14
3
27 ,
mr = f (1/2) = 27/8
MR = f (1) = 39,
MR = f
−10
1
5
=
23) f (x) = 2x6 − 39x4 + 216x2 − 200
24) f (x) = 3(x + 1)4 − 8(x + 1)3 − 6(x + 1)2 + 24x + 39
R. ma = f (−2) = −4,
MR = f (0) = 28,
mr = f (1) = 23
25) f (x) = (x − 1)2 (x + 1)2
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
R. ma = f (−1) = 0, MR = f (0) = 1, mr = f (1) = 0
25 + x2
f (x) =
5x
x2 − 2x + 17
f (x) =
4x − 4
R. MR = f (−3) = −2, mr = f (5) = 2
x
f (x) =
1 + x2
x+1
f (x) = 2
x +1
x+1
f (x) = 2
x +x+1
16
f (x) =
x(4 − x2 )
x2 − x − 2
f (x) = 2
x − 6x + 9
x2 + 2
f (x) = 2
x − 4x
x2 + x + 1
f (x) = 2
x −x+1
R. ma = f (−1) = 1/3, MA = f (1) = 3
x2 − x + 1
f (x) = 2
x +x+1
x
f (x) = √
3
2
x −4
x
f (x) = e (2x2 + x − 8)
√
= 13 e−7 ), ma = f (1) = −5e
R. MR = f −7
2
38) f (x) = ex (x − 1)2 (x + 1)
R. ma = f (−3) = −32e−3 ,
MR = f (0) = 1,
mr = f (1) = 0
5358
3125 ,
mr = f (2) =
mr = f (1) =
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Matemática I
257
39) f (x) = (x + 1)4 + ex
40) f (x) = e−x
2
41) f (x) = x + ln(x2 − 1)
42) f (x) = sen 2x
43) f (x) = esen x ,
−
π
π
≤x≤
2
2
44) f (x) = earctan x
45) f (x) = x4 (12 ln x − 7)
p
 25 − (x + 7)2
46) f (x) =
12 − x2
, si x ≤ −3
, si x > −3
IV. Problemas de tasa de variación.
⊛ A la Fı́sica:
1) La temperatura de un pastel que se saca a enfriar de un horno a 200 grados centı́grados, es una función del tiempo (medido en minutos) dada por
T (t) = (Ta − Th )(1 − e−kt ) + Th
donde Ta = 20 es la temperatura ambiente a la que inicialmente se colocó el pastel,
Th = 200 es la temperatura del horno.
Si después de 10 minutos el pastel está a 40 grado, calcula la constante k.
Encuentra la rapidez (en grados/minuto) con la que decrece la temperatura, cuando recién se saca del horno.
Describe que pasa con la temperatura del pastel para t muy grande.
⊛ A la Quı́mica:
1) La Ley de Boyle establece que cuando una muestra de gas se comprime a temperatura
constante, la presión P y el volumen V satisfacen la ecuación P V = c, donde c es una
constante. En determinado instante el volumen del gas es 600 cm3 , la presión es 150
KPa y crece a una razón de 20 KPa/min. ¿Con qué velocidad disminuye el volumen
en este momento?
⊛ A la Medicina, Biologı́a y Ciencias de la Salud:
1) Un modelo para la producción de células sanguı́neas es la función
p(x) =
Ax
B + xm
donde x es el número de células presentes, A, B y m son constantes positivas.
258
Matemática I
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Hallar la tasa de producción de sangre R(x) = p′ (x) y determine los valores de x
tales que R(x) = 0. ¿Qué indican estos valores?
Hallar la razón a la cuál cambia R(x) respecto a x. Interprete.
2) Un globo esférico diminuto se inserta en una arteria obstruida por un coágulo y se
infla a una tasa de 0.002π mm3 /min. ¿Con qué rapidez crece el radio del globo cuando
el radio es r = 0,005mm?.
3) Se introduce una población de 500bacterias enun cultivo, creciendo en número de
4t
acuerdo con la función P (t) = 500 1 +
donde t se mide en horas. Hallar a
50 + t2
que ritmo está creciendo la población cuando han pasado 120 minutos.
4) Consideremos una muestra de plancton cuya población crece de manera exponencial
de acuerdo a la ley P (t) = 15000e0,035t donde t es el tiempo transcurrido en dı́as.
Calcula la rapidez con la que crece la población 5 dı́as después.
V. Problemas de aplicación de máximos y mı́nimos.
⊛ A la Aritmética y Algebra:
1) Expresar el número 8 en dos sumandos tales que la suma de los cubos sea la menor
posible.
R. x = 4, y = 4
2) ¿Qué número positivo sumado a su inverso da lugar a la suma mı́nima?
3) Hallar dos números positivos cuyo producto es 36 y cuya suma es mı́nima.
R. x = 1
R.
x = 6, y = 6
4) Hallar dos números cuya suma es 24 y que la suma de los cuadrados de dichos números
sea mı́nimo.
R. x = 12, y = 12
5) La suma de un número y el doble de otro es 15. Calcula dichos números para que:
La suma de sus cuadrados sea mı́nima.
La diferencia de sus cuadrados sea máxima.
R. x = 3, y = 6
R. x = −5, y = 10
6) Hallar dos números cuya suma es 12 y el producto de un número por el cuadrado del
otro es máximo.
R. x = 4, y = 8, Pmáx = 256
7) La suma de dos números positivos es 20. Hallar dichos números si el producto de un
número por el cubo del otro es máximo.
R. x = 5, y = 15, Pmáx = 16875
8) Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los
logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.
Rpta. x = e/2, y = e/2, Smáx = 0,61
9) Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de
ellos menos el inverso del otro sea mı́nima.
R. x = 11, y = −1, Rmı́n = 12
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Matemática I
259
⊛ A la Geometrı́a:
1) Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes coordenados, que
puede inscribirse en la región limitada por las parábolas 3y = 12 − x2 y 6y = x2 − 12
2) Hallar un punto sobre la curva y = x2 que esté más próximo al punto (6, 3)
R. (2, 4)
3) Se desea cercar un lote que tenga 4000 m2 de superficie, con uno de sus lados a lo largo
de un rı́o recto. Si no se necesita cercar para el lado que da al rı́o, ¿qué dimensiones
requiere la menor cantidad de cerca?
4) Se desea construir una caja sin tapa y de base cuadrada disponiendo de 300 dm2 de
material. Hallar las dimensiones para que el volumen sea máximo.
5) La base menor de un trapecio isósceles mide 6 metros y la longitud de los lados no
paralelos es de 2 metros. Calcula cuánto debe medir la base mayor para que el área
del trapecio sea máxima y cuál es dicha área.
6) Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10 cm. ¿Cuánto debe medir la base mayor
para que el área sea máxima y cuál es dicha área?
7) Considera un rectángulo de perı́metro P y área A:
Si el perı́metro es 8 cm, calcula sus dimensiones para que el área sea máxima,
además calcular dicha área.
R. x = 2, y = 2, Amáx = 4
Si el área es 4 cm, calcula las dimensiones del que tiene perı́metro mı́nimo, además
calcular dicha perı́metro.
8) En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para
que doblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro
ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos soles como decı́metros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula la cantidad del
máximo premio que se pueda obtener en este concurso.
9) Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una
zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben
quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la
zona cercada para que su área sea la mayor posible y cuál es dicha área?
R. x = 40, y = 20, Amáx = 800
10) Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro
lineal de valla es de 4 soles. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el
costo de la valla sea mı́nimo y cuál es dicho costo?
260
Matemática I
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11) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un semicı́rculo. Encuentre
las dimensiones de la ventana que deja pasar más luz, si su perı́metro mide 5 metros.
12) Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de área. Sus márgenes laterales
y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la página
que permitan obtener la mayor área impresa posible.
13) Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e
inferior han de tener 2 cm. cada uno, y los laterales 1 cm. Halla las dimensiones de la
hoja para que el gasto de papel sea mı́nimo.
14) Un agricultor dispone de 1000 m de tela metálica para construir una cerca rectangular
aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones de la cerca para que el
área encerrada sea máxima.
15) Un segmento de longitud de 5 cm. apoya sus extremos en los semiejes positivos OX
y OY , de tal manera que forma con éstos un triángulo. Halla las dimensiones del
triángulo de área máxima ası́ construido.
16) Se considera una ventana rectangular en la que el lado superior se ha sustituido por
un triángulo equilátero. Sabiendo que el perı́metro de la ventana es 6.6 m, hallar sus
dimensiones para que la superficie sea máxima.
17) Dividir un segmento de 6 cm. de longitud en dos partes, con la propiedad de que la
suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero construidos sobre ellos sea
máxima.
18) Se considera una ventana como la que se indica en la figura (la parte inferior es
rectangular y la superior una semicircunferencia). El perı́metro de la ventana mide 6
m. Halla las dimensiones x e y del rectángulo para que la superficie de la ventana sea
máxima (Expresa el resultado en función de π).
19) Entre todos los rectángulos de perı́metro 12 m. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?
20) Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de
la longitudes de sus dos catetos valga 4 cm.
R. x = 2, y = 2, Amáx = 2
21) Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia
de 10 cm. de radio.
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Matemática I
261
22) En un jardı́n con forma semicı́rculo de radio 10 m se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos
en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máxima.
23) Calcule las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: el perı́metro de uno
de ellos sea triple del perı́metro de otro, se necesiten exactamente 1248 metros de valla
para vallar los tres y la suma de las áreas de los tres campos sea la mı́nima posible.
24) Una arquitecta quiere construir un jardı́n rectangular en un terreno circular de 100
metros de radio. Halla las dimensiones de dicho jardı́n para que el área sea máxima.
25) Entre todos los triángulos isósceles (dos lados iguales) de perı́metro 30 cm., ¿cuál es
el de área máxima?
26) Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes x y 100−x.
Con el de longitud x se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma
un cuadrado. Sea f (x) la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. Indicar para
qué valor de x se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es
mı́nima.
27) Sea T un triángulo de perı́metro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide x cm.
y los dos lados tienen la misma longitud.
Deducir razonadamente las expresiones de las funciones A y f tales que:
A(x) = Área del triángulo T
F (x) = {A(x)}2
Indicar además entre que valores puede variar x.
Obtener el valor de x para el que f (x) alcanza el valor máximo.
28) Comprueba que el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunfe√
rencia de ecuación x2 + y 2 = r 2 es un cuadrado de lado 2r.
29) Determine los puntos de la curva y 2 = 4x que están a distancia mı́nima del punto
P (4, 0).
30) Un rectángulo tiene por vértices los puntos de coordenadas (0, 0), (a, 0), (0, b) y (a, b),
de modo que el punto (a, b) tiene coordenadas positivas y está situado en la curva de
1
ecuación: y = 2 + 4. De todos estos rectángulos hallar el de área mı́nima.
x
31) Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas
un cı́rculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que:
La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima.
La suma de las áreas de las dos figuras sea mı́nima.
262
Matemática I
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32) Se debe hacer una caja con tapa, cuyo volumen sea de 72 cm3 . Los lados de la base
han de estar en relación 1:2. ¿Cuáles deben ser las medidas de todos los lados para
que la superficie total sea la menor posible?
33) Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa
recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser
la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea
máximo?. ¿Cuál es el volumen de la caja?.
34) De una hoja de cartón, de 18×18 cm2 , se desea construir una caja sin tapa, cortando
en sus esquinas cuadrados iguales y doblando convenientemente la parte restante,
resulte una caja que tenga la mayor capacidad posible. ¿Cuánto debe medir cada lado
del cuadrado?. ¿Cuál es el volumen de la caja?.
35) El volumen de un prisma triangular regular es igual a 54 cm3 . ¿Cuánto debe medir el
lado de la base para que su superficie total sea la menor posible?
R. x = 6
36) Una tina abierta tiene la forma de cilindro. Siendo su volumen iguala a V , ¿cuál debe
ser el radio de la base y la altura para que su superficie total sea la menor posible?
37) Hallar la relación entre el radio R y la altura H de un cilindro que tiene la menor
superficie total posible, conociendo su volumen.
38) Se debe hacer un embudo cónico que tenga la generatriz igual a 20 cm. ¿Cuál debe
ser la altura del embudo para que su volumen sea el mayor posible?
39) Un sector de ángulo central α está recortado de un cı́rculo. Al enrollarse el sector, ha
sido engendrada una superficie cónica. ¿Cuál debe ser la abertura del ángulo α para
que el volumen del cono obtenido sea el mayor posible?
40) El perı́metro de un triángulo isósceles es 2p. ¿Cuánto deben medir sus lados para que
el volumen del cuerpo engendrado por la rotación del triángulo en torno a su base sea
el mayor posible?
41) Al perı́metro de un triángulo isósceles es 2p. ¿Cuánto deben medir sus lados para que
el volumen del cono engendrado por la rotación del triángulo en torno a su altura
bajada sobre la base sea el mayor posible?
42) Hallar la altura del cilindro que tenga el volumen máximo posible y que sea susceptible
de ser inscrito en una esfera de radio R.
43) Hallar la altura del cono de máximo volumen que sea susceptible de ser inscrito en
una esfera de radio R.
⊛ A la Fı́sica:
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Matemática I
263
1) En una carretera a través del desierto un automóvil debe de ir desde la ciudad A
hasta el oasis P situado a 500 Km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una
carretera recta que une las ciudades A y B y que le permite ir a una velocidad de
100 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la
distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 Km,
determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible.
2) Un nadador, A, se encuentra a 3 km. De la playa enfrente de una caseta. Desea ir a
B, en la misma playa, a 6 Km. De la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y que anda
por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en
el menor tiempo posible.
x
P
6−x
B
3 Km
A
3) Determina el punto de la gráfica de la función f (x) = −x3 + 6x2 − 7x + 5 en el que la
pendiente de la recta tangente es máxima. ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente
en ese punto?
4) Al actuar la fuerza de gravedad sobre una gota de lluvia cuya masa inicial es igual a
m0 , la hace caer. La gota va evaporándose uniformemente de modo que la pérdida de
la masa es proporcional al tiempo (el coeficiente de proporcionalidad es k). ¿Al cabo
de cuántos segundos al comenzar la caı́da será máxima la energı́a cinética de la gota
y cuál será su valor? (Se prescinde de la resistencia del aire).
5) Una palanca de segundo género tiene A por su punto de apoyo. Del punto B(AB = α)
está suspendida la carga P . El peso de la unidad de la logitud de la palanca es igual a
k. ¿Cuál deberı́a ser la longitud de la palanca para que la carga P quede en equilibrio
con la fuerza mı́nima? (El momento de la fuerza compensadora debe equivaler a la
suma de los momentos de la carga P y de la palanca.)
⊛ A la Ingenierı́a:
1) (El problema del cable más corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia
de 10 metros. Calcule aproximadamente la longitud mı́nima de un cable que pueda
264
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los postes y
luego hasta la punta del otro poste.
⊛ A la Medicina, Biologı́a y Ciencias de la Salud:
1) Un investigador médico estima que t horas después de introducirse una toxina, la
población (en miles) de cierta colonia de bacterias será
√
200(8 + 3 3 2)
P (t) =
4 + et + e−2t
¿Cuándo es máxima la población? ¿Cuál es la máxima población de la colonia?
ln 2
R. t =
, Pmáx = 400
3
2) Un investigador médico estima que t horas después de introducirse una toxina, la
población (en miles) de cierta colonia de bacterias será
P (t) =
600
4 + e−0,01t + e0,003t
¿Cuándo es máxima la población? ¿Cuál es la máxima población de la colonia?
R. t = 92,3, Pmáx = 104,96
3) Las Doctoras Alessandra y Grace de la Clı́nica Soluciones Médicas afirman que
cuando alguien tose, el radio de la tráquea disminuye y afecta la velocidad del aire
en aquella. Si r0 es el radio normal de la tráquea, la relación entre la velocidad S del
aire y el radio r de la tráquea cuando se produce la tos está dada por una función de
la forma S(r) = ar 2 (r0 − r), donde a es una constante positiva. Encontrar el radio r
para la cual la velocidad del aire es mayor.
R. r = 2r0 /3
4) Existen varios modelos matemáticos en el estudio de enfermedades dinámicas como
la leucemia y otras enfermedades que afectan a las células sanguı́neas. Uno de estos
modelos de producción de células sanguı́neas fue desarrollado por A. Lasota en 1977
e involucra la función exponencial
p(x) = Axs e−sx/r
donde A, s y r son constantes positivas y x es el número de glanulocitos (un tipo de
glóbulos blancos) presentes.
Hallar el nivel x de glanulocitos de la sangre que maximizan la función de producción.
Si s > 1 demuestre que existen dos valores de x tales que p′′ (x) = 0.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
265
5) La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por
la función v(t) = 40+ 15t − 9t2 + t3 , donde t es el tiempo (en horas) transcurrido desde
que comienza en estudio (t = 0) indicar los instantes de máxima y mı́nima virulencia
en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.
6) Supongamos que en un tratamiento la concentración h(t), de cierta hormona es función
del tiempo transcurrido t: h(t) = 40(e−0,005t −e−0,15t ) donde h se mide en nanogramos
por decilitro de sangre (ng/dl ) y t en dı́as. Encuentre t para el cual se tiene la mayor
concentración de la hormona en la sangre.
7) La reacción R a cierta dosis D de un medicamento, se modela mediante la función
R(D) = 10De−0,02D . Calcula para que dosis se tiene la reacción máxima y cuál es esa
reacción.
8) En su fase inicial, de 1984 a 1990, el SIDA crecı́a de acuerdo a la función cúbica
C(t) = −170,36t3 + 1707,5t2 + 1998,4t + 4404,8, donde C es el número reportado de
casos, y t es el número de años transcurridos desde 1984, 0 ≤ t ≤ 6.
Calcula la tasa de propagación de la epidemia en 1984.
Calcula el número de casos reportados en 1990.
Calcula en qué momento el número de casos fue máximo de acuerdo a este modelo
y cuál fue el número máximo de casos.
Calcula en qué momento se propagó la enfermedad con mayor rapidez.
9) Una población P de una colonia de bacterias t dı́as después del inicio de la observación
se modela mediante la función cúbica P (t) = 1,035t3 + 103,5t2 + 6900t + 230000.
Calcula la tasa de cambio de la población después de un dı́a, ¿crece o decrece la
población?
Calcula la población inicial.
Calcula la razón de cambio de la población después de 10 dı́as.
Calcula la población máxima en el intervalo 0 ≤ t ≤ 20.
⊛ A la Economı́a, Administración y Ciencias Sociales:
1) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista
en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos
de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa
se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de
tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas
alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?
266
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
2) Si un cultivador valenciano planta 200 naranjos por hectárea, el rendimiento promedio
es de 300 naranjas por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por hectárea, el
cultivador obtendrá 15 naranjas menos por árbol. ¿Cuántos árboles por hectárea darán
la mejor cosecha?
3) El propietario de un edificio tiene alquilados los 40 pisos del mismo a un precio de
600 soles cada uno. Por cada 60 soles que el propietario aumenta el precio observa
que pierde un inquilino. ¿A qué precio le convienen alquilar los pisos para obtener la
mayor ganancia posible? (Ayuda: llamar x = nº de 60 soles que aumenta o lo que es
lo mismo el nº inquilinos perdidos.)
4) Para la fabricación de un determinado producto, se necesita invertir dinero en contratar empleados y comprar máquinas. El dueño de la fábrica ha estimado que si compra
x máquinas y contrata y empleados, el número de unidades de producto que podı́a
fabricar vendrı́a dado por la función: f (x, y) = 90xy 2 . Cada máquina le supone una
inversión de 2500 soles y cada contrato de un nuevo empleado otro de 1500 soles, si
el empresario sólo dispone de un presupuesto de 22500 soles para este fin, determine
el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar
para maximizar la producción.
5) Una esmeralda pesa 16 grs. y sabemos que su valor es proporcional al cuadrado de su
peso. Si partimos en dos trozos la esmeralda, halla el peso que debe tener cada uno
de ellos para que su valor sea mı́nimo.
6) El coste total de producir x unidades de un determinado producto es C(x) = 9 − 2x +
x3
y cada unidad se vende a (12 − 3x) unidades monetarias.
6
Calcula cuántas unidades se deben producir para que el coste medio por unidad
sea mı́nimo.
Calcula cuántas unidades se deben vender para que el beneficio sea máximo.
⊛ Problemas varios:
1) La suma que se gasta en el combustible para el hogar de la caldera de un barco es
proporcional al cubo de la velocidad. Es sabido que si el barco marcha a 10 km por
hora, se gastan 30 rublos (por hora) en el combustible. Los demás gastos, que no
dependen de la velocidad son de 480 rublos por hora. ¿A qué velocidad del barco
serı́an mı́nimos los gastos totales por un km? ¿Cuál serı́a la suma total de los gastos
por hora?
2) Tres puntos A, B y C se hallan situados de modo que ∠ABC = 60. Un automóvil
sale del punto A y en el mismo momento del punto B parte un tren. El auto avanza
hacia el punto B a 80 km por hora, el tren se dirige hacia el puto C a 50 km por hora.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
267
Teniendo en cuenta que la distancia AB = 200 km, ¿en qué momento, al comenzar el
movimiento, será mı́nima la distancia entre el auto y el tren?
3) Dado un cierto punto A en una circunferencia, trazar una cuerda BC paralela a la
tangente en el punto A de modo que el área del triángulo ABC sea la mayor posible.
4) Hallar los lados del rectángulo de máximo perı́metro e inscrito en una semicircunferencia de radio R.
5) Circunscribir en torno a un cilindro dado el cono que tenga el menor volumen posible
(los planos de las bases circulares del cilindro y del cono deben coincidir).
6) Hallar la altura del cono recto circular, de menor volumen posible, circunscrito en
torno a una esfera de radio R.
7) Hallar el ángulo en el vértice de la sección axial de un cono que tiene la menor
superficie lateral posible y que está circunscrito en torno a una esfera dada.
8) ¿Cuál ha de ser la abertura del ángulo en el vértice de un triángulo isósceles, de área
dada, para que el radio de un cı́rculo inscrito en dicho triángulo sea el mayor posible?
9) Hallar la altura de un cono que tiene el menor volumen posible y que está circunscrito
en torno a una semiesfera de radio R (el centro de de la base del cono coincide con el
de la esfera).
10) Hallar la altura de un cono inscrito en una esfera de radio R para que su superficie
lateral sea la mayor posible.
11) Demostrar que la cantidad de tela necesaria apara hacer una tienda de campaña de
forma cónica y de capacidad dada será la menor posible en el caso de que la altura
√
sea 2 veces mayor que el radio de la base.
12) Trazar una recta de modo que pase por un punto dado P (1, 4) y que la suma
de las longitudes de los segmentos positivos cortados por dicha recta en los ejes de
coordenadas, sea la menor posible.
x2 y 2
+ = 1.
a2 b2
14) Hallar el elipse cuya área sea la menor posible y que está circunscrita en torno a un
13) Hallar los lados del rectángulo, de mayor área posible, inscrito en el elipse
rectángulo dado (el área de la elipse de semiejes a y b es igual a πab).
x2
y2
+
= 1. Trazar una tangente de modo que el área del triángulo
8
28
enendrado por dicha tangente y los ejes de coordenadas, sea la menor posible. ¿Por
15) Dada la elipse
qué punto de la elipse debe pasar dicha tangente?
16) Sean dados dos puntos A(1, 4) y B(3, 0) en la elipse 2x2 + y 2 = 18. Hallar el tercer
punto C tal que el área del triángulo ABC sea la mayor posible.
268
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
17) Sean dados la parábola y 2 = 2px y un punto en su eje, a una distancia a del vértice.
Indicar la abscisa x del punto de la parábola más próximo al punto referido.
18) Una banda de hierro, de anchura a, ha de ser encorvada de modo que tome la forma
de canalón cilı́ndrico abierto (la sección del canalón ha de semejarse a un arco de
segmento circular). ¿Cuál ha de ser a abertura del ángulo central que se apoya en este
arco para que la capacidad del canalón sea la mayor posible?
19) Un tronco de árbol que mide 20 m, tiene la forma de un cono truncado. Los diámetros
de sus bases miden 2 m y 1 m, respectivamente. Se cortar una viga de sección transversal cuadrada cuyo eje coincida con el tronco y cuyo volumen sea el mayor posible.
¿Qué dimensiones debe tener la viga?
20) Una serie de experimentos con la magnitud A han dado como resultado n valores
distintos x1 , x2 , . . . , xn . Con frecuencia se admite como valor de A un valor de x tal
que la suma de los cuadrados de sus desviaciones de x1 , x2 , . . . , xn sea la menor posible.
Hallar x que satisfaga esta condición.
21) Un torpedo está anclado, a 9 km del punto más próximo la orilla. Se necesita enviar
a un mensajero al campamento situado en la orilla. La distancia entre éste y el punto
más próximo referido, es igual a 15 km. Teniendo en cuenta que el mensajero recorre
a pie 5 km por hora, y en una barca, remando, 4 km por hora, decir en qué punto de
orilla debe desembarcar para llegar al campamento lo más pronto posible.
22) Un farol debe ser colgado exactamente encima del centro de una plazoleta circular
de radio R. ¿A qué altura deberá estar el farol para que ilumine, lo mejor posible,
una senda que rodea la plazoleta? (La iluminación de la plazoleta es directamente
proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que media entre el foco luminoso y la plazoleta
en mención).
23) En un segmento de longitud l que une dos manantiales de luz de intensidad luminosa
I1 e I2 , hallar el punto peor iluminado.
24) Un cuadrado de latura 1,4 m cuelga de una pared de modo que su borde inferior
está 1,8 m por encima del radio de la vista de un observador. ¿A qué distancia de la
pared debe colocarse el observador para que su posición sea la más ventajosa para
completar el cuadro (es decir, para que el ángulo visual sea el mayor posible)?
25) Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto. Encuentre la longitud
de la barra recta mas larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro
por una esquina.
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
269
6 pies
B
α
C
Q
α
9 pies
A
π/3 − α
P
26) Una empresa ha decidido mejorar su seguridad instalando 9 alarmas. Un especialista
en el tema señala que dada la estructura de la empresa sólo puede optar por dos tipos
de alarmas, de tipo A o de tipo B; además, afirma que la seguridad de la empresa
se puede expresar como la décima parte del producto entre el número de alarmas de
tipo A instaladas y el cuadrado del número de alarmas instaladas de tipo B. ¿Cuántas
alarmas de cada tipo se deben instalar en la empresa para maximizar su seguridad?.
27) A un lado de un rı́o de 1 km de anchura hay una central eléctrica y al otro lado, 8 km
corriente arriba, una factorı́a. Tender un cable por tierra cuesta 0,3 soles el metro y
bajo el agua 0,5 soles el metro. ¿Cuál es el tendido más económico desde la central a
la factorı́a?.
28) Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto
de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. Una
compañı́a de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro
de cable es el 25 % mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el
cable, para que el costo total sea mı́nimo?.
A
300 m
x
B
Q
600 m
600 − x
D
VI. Regla de L’Hopital-Bernoulli.
Calcular los siguientes lı́mites:
x5 − 1
x→1 x6 − 1
1) lı́m
R. 5/6
270
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
x7 − a7
x→a x3 − a3
2x2n + 1 − 3x−2n
3) lı́m 2n
x→1 3x
− 5 + 2x−2n
24x3 − 10x2 − 3x + 1
4) lı́m
x→1/2 30x3 + 11x2 − 9x − 2
R. 7a4 /3
2) lı́m
R. 5
R.
2x4 − 5x3 + 3x2 + x − 1
x→1 3x4 − 7x3 + 3x2 + 3x − 2
4x4 + 9x3 + 3x2 − 5x − 3
6) lı́m
x→−1
3x4 + 9x3 + 9x2 + 3x
1 − x2
7) lı́m
, a > 0 y a 6= 1
x→1 (1 + ax)2 − (a + x)2
3
5
7
R.
3
1
R.
1 − a2
R.
5) lı́m
x2 − (a − 1)x − a
x→a x2 − (a − 2)x − 2a
8) lı́m
2x3 − 5x2 − 2x − 3
x→3 4x3 − 13x2 + 4x − 3
x2 − a2
lı́m 2
x→a 2x − ax − a2
4x4 + 9x3 + 3x2 − 5x − 3
lı́m
x→−1
3x4 + 9x3 + 9x2 + 3x
x3 + 6x2 + 9x
lı́m 3
x→−3 x + 5x2 + 3x − 9
√
√
x+a+b− a+b
lı́m
, a>0 , b>0
x→0
x
√
√
b2 − x − b2 − a
lı́m
x→a
x−a
3x − 6
√
lı́m
x→2 1 − 4x − 7
x−3
lı́m √
2
x→3
x +7−4
√
3− 5+x
√
lı́m
x→4 1 − 5 − x
√
√
x2 − 2x + 6 − x2 + 2x − 6
lı́m
x→3
x2 − 4x + 3
√
√
3
x2 − 4 3 x + 4
lı́m
x→8
(x − 8)2
√
x−8
lı́m √
x→64 3 x − 4
√
3
x−1
lı́m √
x→1 4 x − 1
√
√
7
x− 7w
√
lı́m √
x→w 5 x − 5 w
R.
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
a+1
a+2
R. 11/17
9) lı́m
10)
10
49
R. 2/3
R. 7/3
R. 3/4
R.
R.
1
√
2 a+b
−1
√
2 b2 − a
R. −3/2
R. 4/3
R. −1/3
R. −1/3
R. 1/144
R. 3
R. 4/3
R.
√
5 35
w−2
7
Walter Arriaga Delgado
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
41)
Matemática I
√
2+ 3x−2
lı́m
x→8
x−8
√
√
3
5x + 3 − 3x + 1
√
lı́m
x→1
x − 3x + 2
√
√
n
x− na
lı́m
, a>0
x→a
x−a
√
2− x−1
p
lı́m
√
x→5 1 − 3 3 − x − 1
√
3
x+7−2
√
lı́m √
x→1
x+7− 8
√
3
x+6−2
lı́m √
x→2
2x + 5 − 3
5x − 10
√
lı́m √
x→2 5 x − 5 2
√
3
x + 27 − 3
lı́m √
4
x→0
x + 16 − 2
√
√
3x − 8 − x
√
lı́m
x→2 3x − 2 15 − 3x
√
24x−4−4
lı́m √
x→20 5 x + 12 − 2
√
√
q√ y
3
h3 + 1 + 5 h5 + 1 + h2 −
5
√
lı́m
h→0
h−h h+1
√
√
q√ y
3
h3 + 1 + 5 h5 + 1 + h3 −
7
√
lı́m
h→0
h − h h2 + 1
r
√
a−b
2
2
x + 2ax + a + 3 x3 +
− 2x − b
3
√
lı́m
√
a→b
a+x− x+b
r
r
a
−
b
b−a
− 3 x3 +
x2 +
2
3
√
lı́m
√
3
a→b
a+x− 3x+b
√
3
9x − JπK
lı́m √
x→3
3x − JπK
√
√
3x2 − 8 − x 3 x + 6 + x2 − 2
lı́m
x→2
x3 − 2x2 + x − 2
√
−x + 6 − 3
√
lı́m
√
2
x→−3 x − −x − 2 − 3 x2 − 1 + 2x
√
1 − 2x − 3
p
lı́m
√
x→2 2 − 3 9 − 2x − 3
√
√
3
3x2 + x + 4 + x2 + 5x + 10 − 6x2
p
lı́m
√
√
3
x→1
x + 3 + 6 + x + 8 − 5x2
271
p
R. 1/48
R. 2/15
1
R.
na
n−1
n
R. −3
R.
√
2/3
R. 1/4
√
5
R. 25 24
R. 32/27
R.
√
6/12
R. 5
R. −2
R. −8/3
√
2 b + x(1 + 9x2 )
R.
9x2
R.
p
3
(b + x)2 (9x + 4)
12x2
R. 2/3
R. 29/30
R. 1/18
R. −12
R.
506
471
272
Matemática I
√
3
5x2 + 7 +
√
Walter Arriaga Delgado
x4 + 9 − 8
42) lı́m p
√
√
x→2 3
x2 + 5 + 9x + 6 + x + 2 − 5
p
√
√
3
(x2 + 1)2 − 2 3 2x2 + 2 + 3 4
43) lı́m
x→1
(x − 1)2
√
√
4x − 3 − 3 6x + 9
√
44) lı́m √
x→3 3 3x − 1 − 4 4x + 4
√
√
3
2x + 6 − 2x − 1 − 1
√
45) lı́m √
x→1 4 3x − 2 − 3 3x + 5 + 1
√
√
√
9
x − 1 + 4 11 x − 1 − 13 x − 1 + 4
√
√
46) lı́m √
x→0 3 x − 1 − 5 5 x − 1 + 7 x − 1 − 3
√
√
5
x+1−36x+1+2
√
√
47) lı́m 18
x→0
x + 1 + 25 x + 1 − 2
√
√
3
3x + 2 − 3x − 2
√
48) lı́m √
x→2 4 2x + 12 − 3 x + 6
√
√
3
1−x+ x+3−2
√
49) lı́m
3
x→1
x2 − 3x + 2
√
√
3
x3 − 8 + 5 32 − x10
√
50) lı́m √
x→0
x3 + 4 − 4 x4 + 16
√
√
√
x2 − 3x + 3 + 3 2x2 + 3x + 3 − 5 7x3 + 10x2 + 8x + 7 − 1
√
√
51) lı́m
4
x→1
2x4 − 3x2 + 8x + 9 + 6 3x3 + 5x2 − 4x − 3 − 3
p√
3
−9x + 1 − 2
√
52) lı́m
x→3
2 − 3 x + 11
q√
√
x3 + 3 x − 3x − 1
√
53) lı́m
√
x→1 x + 3 3 x − 3 3 x2 − 1
√
√
√
7x + 2 − 3 5x2 + 7 − 4 x − 1
√
√
54) lı́m
3
x→2
5x − 2 + x + 2 − 2x
sen(x + h) − sen x
55) lı́m
h→0
h
sen(xn )
56) lı́m
, m, n ∈ Z+ ; n > m
x→0 (sen x)m
5x + 2 sen x
57) lı́m
x→0 3x − 2 sen x
2x − arcsen x
58) lı́m
x→0 2x + arcsen x
1 − cos3 x
59) lı́m
x→0 x sen 2x
1 + sen x − cos x
60) lı́m
x→0 1 − sen x − cos x
tan x − sen x
61) lı́m
x→0
x3
cos(ax) − cos(bx)
62) lı́m
x→0
nx2
R.
6384
985
R. 32/9
R. −5/3
−3584
4719
R.
R.
−135
43
R. 24
R. 1
R.
1
3
R. 0
R. cos x
R. 0
R. 7
R. 1/3
R. 3/4
R. −1
R. 1/2
R.
b2 − a2
2n
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
x − sen(ax)
x→0 x − sen(bx)
√
1 − cos x
64) lı́m
x→0
x2
cos(a + x) − cos(a − x)
65) lı́m
x→0
x
sen(a + x) − sen(a − x)
66) lı́m
x→0 tan(a + x) − tan(a − x)
63) lı́m
3x2 + 1 − cos(5x)
x→0 7x2 − 1 + cos(3x)
67) lı́m
273
R.
1−a
1−b
R. 1/4
R. −2 sen a
R. cos3 a
R. 31/5
3x2 + 1 − cos(2x)
x→0 5x2 − 1 + cos(3x)
68) lı́m
1 + sen2 (3x) − cos(5x)
x→0 1 − sen2 (3x) − cos(5x)
69) lı́m
x2 + 1 + sen2 (2x) − cos(5x)
x→0 x2 + 1 + sen2 (4x) − cos(3x)
70) lı́m
5x2 + tan2 5x
x→0 2x2 + tan2 2x
√
√
1 + sen x − 1 − sen x
lı́m
x→0
x
p
p
1 + sen(ax) − 1 − sen(ax)
lı́m
x→0
bx
√
√
1 + sen x − 1 − sen x
lı́m
x→0
tan x
√
√
2 − cos x − cos x
lı́m
x→0
x2
√
1 + sen2 x − cos x
√
lı́m
x→0 sec x − 1 − tan2 x
sen x cos x − sen x
lı́m
x→0
x3
sen(1 − cos x)
lı́m
x→0
x2
1 − cos(sen2 3x)
lı́m
x→0
x4
1 − cos(sen(ax))
lı́m
x→0 sen2 (sen(bx))
x sen(sen(ax))
lı́m
x→0 1 − cos(sen(bx))
R. 43/7
R. 35/43
71) lı́m
R. 5
72)
R. 1
73)
74)
75)
76)
77)
78)
79)
80)
81)
sen2 (sen 3x)
x→0 1 − cos(sen 2x)
x tan(2 sen 5x)
83) lı́m
x→0 1 − cos(tan 2x)
√
√
cos x + sen x − cos x − sen x
84) lı́m
x→0
x
R. a/b
R. 1
R. 1/2
R. 1
R. −1/2
R. 1/2
R. 81/2
a2
2b2
2a
R. 2
b
R.
82) lı́m
R. 5
R. 1
274
Matemática I
85)
86)
87)
88)
89)
90)
91)
92)
93)
94)
95)
96)
97)
98)
99)
100)
101)
102)
103)
√
√
5 − cos x − 3 + cos x
lı́m
x→0
x2
√
√
x( 9 + sen x − 9 − sen x)
√
lı́m √
x→0
17 − cos x − 15 + cos x
sen x − cos5 2x sen x
lı́m
x→0
x3
√
x2 + 4 − 3 cos x + 1
lı́m
x→0
1 − cos x
√
√
3
2
x + 8 − x2 + 4 + cos 2x − 1
lı́m
x→0
1 − cos 3x
sen2 (x + h) − sen2 x
lı́m
h→0
h
sen(a + 2h) − 2 sen(a + h) + sen a
lı́m
h→0
h2
tan(a + 2h) − 2 tan(a + h) + tan a
lı́m
h→0
h2
√
√
2 − 1 + cos x
lı́m
x→0
sen2 x
√
√
1 + x sen x − cos 2x
lı́m
x
x→0
tan2
2
√
√
3
x sen(sen( 1 + sen x − 1 − sen x))
√
lı́m
x→0
1 − cos(sen(1 − cos x))
π
π
sen
+ x − sen
− x 2(1 − cos x) 4
π
π4
lı́m
x→0
x2
cos
+ x − cos
−x
4
4
1 + cos πx
lı́m
x→1 x2 − 2x + 1
sen 3x
lı́m
x→π sen 2x
cos x − sen x
lı́m
cos 2x
x→π/4
1 − sen x
lı́m 2
x→π/2 π
−x
2
πx
lı́m (1 − x) tan
x→1
2
π
lı́m
− x tan x
x→π/2 2
sen x − tan x
√
1 − cos x
x3
lı́m
2
x→0
x
1
104) lı́m [1 + sen ax] bx
x→0
1
105) lı́m (cos ax) sen bx
x→0
Walter Arriaga Delgado
R. 1/4
R. 10
R. −1/2
R. sen 2x
R. − sen a
R. 2 tan a + 2 tan3 a
√
2
R.
8
R. 6
R. −1
π2
2
−3
R.
2
√
2
R.
2
R.
R. 2
R. ea/b
R. 1
Walter Arriaga Delgado
Matemática I
275
−25
2
25
R.
2
1
106) lı́m ln(cos 5x) x2
R.
x→0
107)
108)
109)
110)
1 − cos e5x − 1
lı́m
x→0
x2
a
a x
lı́m cos + k sen
x→∞
x
x
lı́m (cos x + a sen bx)1/x
x→0
1 + tan x 1/ sen x
lı́m
x→0 1 − tan x
111) lı́m
x→0
R. eak
R. eab
R. e2
1
x2 sen 2x + sen 3x 1 − cos 2x
sen 3x
sen2 (sen 2x)
112) lı́m (1 + tan x) x sen 3x
x→0
sen(sen 2x)
113) lı́m (2 − cos x) x(1 − cos(sen 4x))
x→0
114) lı́m (2 −
x→0
√
1
√
√
cos x) x( 1 + sen x − 1 − sen x)
1
sen(7x)
115) lı́m ( 1 + sen 3x)
x→0
√
3
ln(x + h) − ln x
h
p
3
ln cos(ax)
117) lı́m
x→0
bx2
x
3 − 7x
118) lı́m
x→0
x
2x − 5x
119) lı́m x
x→0 3 − 4x
116) lı́m
R. 1/x
h→0
eax − ebx
x→0
x
ex − e−x
lı́m
x→0 sen x
esen 2x − esen x
lı́m
x→0
x
sen
x(e 4x − esen 3x )
lı́m 1−cos 2x
x→0 e
− e1−cos 3x
1−cos
x
e
−1
lı́m
x→0
x sen x
x −1
e
e
−1
lı́m
x→0
x
sen(tan ax)
lı́m
x→0 tan(sen bx)
120) lı́m
121)
122)
123)
124)
125)
126)
R. ln(3/7)
R.
ln(2/5)
ln(3/4)
R. a − b
R. 2
R. 1
R. 1/2
R. 1
R. a/b
276
Matemática I
sen2 (e5x − 1) + 1 − cos(e4x − 1)
x→0 sen2 (e3x − 1) + 1 − cos(e2x − 1)
(x + 1)a − 1
128) lı́m
x→0
x
x−a
129) lı́m
x→a ln x − ln a
xn − an
130) lı́m
x→a ln xn − ln an
127) lı́m
131) lı́m
e
√
sen 9x
√
R. 3
R. a
−1
4x
√
√
3
1 + x − 1 − x + 1 + sen 3x − e3x
132) lı́m
x→0
tan 3x − e2x + 1
x→0+
Walter Arriaga Delgado
R. 5/6
Bibliografı́a
[1] Anton, H. Cálculo y Geometrı́a Analı́tica, volume 1. Limusa, México, 1991.
[2] Anton, H. Cálculo y Geometrı́a Analı́tica, volume 2. Limusa, México, 1991.
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[4] Bittinger, M. Cálculo para Ciencias Económicas-Administrativas. Addison Wesley, Colombia, séptima edition, 2002.
[5] Douglas Faires, J.; De Franza, James. Precálculo. Thomson Learning, México, 2000.
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[7] Hoffmann, Laurence. Bradley, Gerald. Cálculo para Administración, Economı́a y Ciencias
Sociales. Mc Graw Hill, Bogotá, sexta edition, 1998.
[8] Ibañez Carrasco, Patricia.; Garcı́a Torres, Gerardo. Matemática V: Cálculo Diferencial.
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[9] Larson, Roland. Hostetler, Robert. Edwards, Bruce. Cálculo y Geometrı́a Analı́tica. Mc
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[10] Leithold, L. El Cálculo. Oxford University Press, México, séptima edition, 1999.
[11] Spivak, Michael. Cálculo infinitesimal. Repla, México, 1988.
[12] Stewart, J.; Redlin, l.; Watson, S. Precálculo. Thomson Learning, México, tercera edition,
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[13] Thomas,Jr., George B. Cálculo. Pearson Educación, México, undécima edición edition,
2006.
[14] Waits, Demana.; Kennedy, Foley. Precálculo: Gráfico, numérico, algebraico. Pearson
Addison Wesley, México, séptima edition, 2007.
278
Matemática I
Walter Arriaga Delgado
Índice alfabético
axiomas de los números reales, 5
axiomas para la
adición, 5
distributividad, 5
igualdad, 6
multiplicación, 5
cı́rculo, 82
circunferencia, 82
derivada, 202
implicita, 209
lateral, 208
diagrama
cartesiano, 66
de flechas, 67
del árbol, 66
sagital, 68
dicotomı́a, 6
discontinuidad, 189
asintótica, 192
esencial, 191
evitable, 190
ecuación
bicuadrada, 29
cúbica, 28
cuártica, 29
cuadrática, 25
de primer grado, 18
lineal, 18
polinomial, 30
entorno, 145
fórmula cuadrática, 26
función
acotada, 115
afin, 106
biyectiva, 115
constante, 105
continua, 188
creciente, 116
cuadrática, 107
decreciente, 116
escalón unitario, 111
exponencial, 120
identidad, 105
impar, 116
inyectiva, 115
lineal, 106
logaritmo, 123
máximo entero, 113
monótona, 116
par, 116
periódica, 116
polinómica, 109
raiz cuadrada, 109
rampa, 112
seccionada, 110
signo, 111
sobreyectiva, 115
trigonométrica, 117
univalente, 115
valor absoluto, 110
funciones, 97
generatriz, 79
intervalo, 38
abierto, 38
cerrado, 38
semiabierto, 38
semicerrado, 38
ley de composición
primera, 5
segunda, 5
ley de composición interna , 4
lugar geométrico, 77
279
280
operación binaria, 4
orden, 4
parábola, 80
producto cartesiano, 66
punto
crı́tico, 235
singular, 235
reflexividad, 6
regla de la cadena, 207
relación binaria, 68
relaciones, 63
salto, 191
simetrı́a, 6
sistema de números reales, 3
Tartaglia, 35
teorema
de Lagrange, 237
de Rolle, 236
del valor medio, 237
transitividad, 6
valor absoluto, 44
vecindad, 144
Matemática I
Walter Arriaga Delgado