Métodos Numéricos: Teoría de Error y Aritmética Computacional

Métodos Numéricos y Programación
I.
TEORÍA DE ERROR
Cuando se resuelve un problema matemático por medio de una calculadora,
estamos conscientes de que los números decimales que calculamos quizá no sean
exactos. Estos números se redondean cuando los registramos. Aun cuando los
números no se redondean de manera intencional, el número limitado de dígitos de la
calculadora puede provocar error de redondeo.
En una computadora, los errores de redondeo aparecen por las mismas razones
y afectan los resultados de los cálculos; haciendo que los resultados de los cálculos
carezcan por completo de sentido. Es muy importante aprender algunos aspectos
básicos de las operaciones aritméticas en las computadoras y comprender bajo qué
circunstancias pueden ocurrir severos errores de redondeo. Muchos de los problemas
de error por redondeo se pueden evitar por medio de prácticas de programación
adecuada; además, de otros tipos de errores que se verán en este capítulo.
1.1
ARITMÉTICA DE PUNTO FIJO Y PUNTO FLOTANTE
Las operaciones aritméticas con número en base r (un número de base r
contiene los dígitos 0, 1, 2,..., r-1) siguen las mismas reglas que los números
decimales. Cuando se usa una base que no sea la 10 tan familiar, se debe tener
cuidado de emplear sólo r dígitos admisibles y realizar todos los cálculos con dígitos
de base r.
Los complementos se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la
operación de sustracción o resta y para la manipulación lógica. Existen dos tipos de
complementos para cada sistema de base r:
1. El complemento radical, y
2. El complemento radical disminuido
El primero se conoce como el complemento a r’s y el segundo como el
complemento a (r-1)’s. Cuando el valor de la base se sustituye en el nombre, los dos
tipos se conocen como complemento a 2’s y a 1’s para números binarios y a 10’s y a
9’s para números decimales.
1
.
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COMPLEMENTO RADICAL DISMINUIDO
Dado un número N de base r que tiene n dígito, el complemento a (r-1)’s de N
se define (rn - 1) - N
Para números decimales, r =10 y r-1 = 9; de este modo el complemento a 9’s
de N es (10n - 1) - N. Ahora,
10n
representa un número que consta de un 1 seguido de n ceros.
10n -1 es un número representado por n nueve.
Por ejemplo, si n = 4, se tiene
10n = 104 = 10000
10n -1 = 9999
se deduce que el complemento a 9’s de un número decimal se obtiene restando cada
dígito a 9. Encontrar el complemento a 9’s de los siguientes números:
Decimal
-546700
-12389
-125
-450
-733
Operación
999999 -546700
99999 -12389
999 - 125
999 - 450
999 - 733
CA 9’s
453299
87610
874
549
266
Teniendo la representación de los números negativos en complemento a 9’s,
solamente se haría la operación de suma de los números. Por ejemplo:
Complemento a 9’s
1
725
- 307
999
- 307
( 692)9
325
- 784
Complemento a 10’s
725
+
692
417
1
- 418
Complemento a 9’s
999
- 784
( 215)9
Complemento a 9’s
+
325
215
540
999
- 540
- 459
2
.
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En el caso de números binarios, r = 2 y r-1=1, de este modo el complemento a
1’s de N es (2n -1) - N. Una vez más
representa por medio de un número binario que consta de un 1 seguido de n
ceros.
n
2 -1 es un número binario representado por n unos.
2n
Por ejemplo, si n = 4 , se tiene que
2n
= (10000)2
n
2 -1 = (1111) 2
Por lo tanto, el complemento a 1’s de un número binario se obtiene restando
cada dígito de 1. Sin embargo, cuando se restan dígitos binarios de 1, se puede tener
1 - 0 = 1 ó 1 - 1 = 0; lo que hace que el bit cambie de 0 a 1 o bien de 1 a 0. En
consecuencia, el complemento a 1’s de un número binario se forma combinando unos
por ceros y ceros por uno.
El complemento a 1’s de 1011001, es 0100110
El complemento a 1’s de 0001111, es 1110000
Si el número es positivo el complemento a 1’s se representa igual, si el
número es negativo se toma el número binario positivo y se complementan todos los
bit incluyendo el del signo.
Decimal
+5
-5
Binario
0 0101
1 1010
En el complemento a 2’s, si el número es positivo se representa igual. Si el
número es negativo se suma 1 al complemento a 1’s. para obtener el signo del
número negativo.
Decimal
+5
-5
Binario
0 0101
1 1011
Valor de -5 en Binario
Complemento a 1’s
Complemento a 2’s
0 0101
1 1010
1 1010
1
1 1011
Sustracción con Complemento
El método directo de sustracción que se enseña en las escuelas primarias aplica el
concepto de “Pedir prestado de otra cantidad”. En método, se pide prestado un 1 de
3
.
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una posición significativa superior cuando el dígito minuendo es menor que el
sustraendo. Este parece ser el método más sencillo cuando las personas realizan la
resta con papel y lápiz. Cuando la resta se efectúa con hardware digital, se observa
que este método es menos eficiente que el que se utiliza complementos. Para
realizar la resta de dos números sin signo de n dígitos, M - N. en base r, se puede
hacer de la siguiente manera:
1. Súmese el minuendo M al complemento de r del sustraendo N.
realiza como M + (rn -N) = M - N + rn
Esto se
2. Si M >= N, la suma producirá un acarreo final, rn , que se desecha, lo que
queda es el resultado M - N.
3. Si M < N, la suma no producirá un acarreo y es igual a rn - (N -M) que es
el complemento a r’s de (N - M).
Ejemplo 1: Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 72532 - 3250
M=
Complemento a 10’s de N =
Suma =
Acarreo final desechado 105 =
Respuesta =
72532
+ 96750
1 69282
- 1 00000
69282
99999
03250
96749
1
96750
Ejemplo 2: Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 3250 - 72532
M=
03250
Complemento a 10’s de N =
+ 27468
Suma =
30718
No hay acarreo final =
Respuesta = - (Complemento a 10’s para 30718)
= - 69282
99999
72532
27467
1
27468
99999
30718
69281
1
69282
Ejemplo 3: Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la
resta: M - N, utilizando el complemento a 2’s.
M=
Complemento a 10’s de N =
Suma =
Acarreo final desechado 27=
1010100
+ 0111101
1 0010001
- 1 0000000
0111100
1
0111101
(CA1’s de N)
(CA2’s)
4
.
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Respuesta =
0010001
Ejemplo 4: Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la
resta: N - M, utilizando el complemento a 2’s.
0101011
1
0101100
N=
1000011
Complemento a 2’s de M =
+ 0101100
Suma =
1101111
No hay acarreo final =
Respuesta = - (CA 1’s para 1101110)
= - 0010001
1.2
(CA1’s de M)
(CA2’s)
REPRESENTACIÓN INTERNA DE NÚMEROS
Un diseñador de computadoras elige el método para representar la
información en una computadora basándose en la evaluación de costos y velocidad y
en ocasiones en la exactitud y conveniencia del programador. Después elige el
diseño de computadora que tenga operaciones para manejar información de dichas
representaciones. Normalmente, sólo se usa una única representación para datos de
carácter (aunque algunas computadoras proporcionan representaciones tanto ASCII
como EBCDIC). Sin embargo, para una amplia gama de problemas, de manera que
las computadoras con frecuencia tiene más de una forma de representación numérica.
Lo común es que existan representaciones binarias enteras y de punto flotante y tal
vez también representaciones de cadenas de caracteres decimales.
Deben
proporcionarse instrucciones diferentes para cada forma de número que se maneje.
NÚMEROS ENTEROS Y DE PUNTO FIJO
En el Sistema de Numeración Binaria, la expresión matemática de enteros es
 ak ak-1 ak-2 ... a2 a1 a0
donde a es un bit con valor 0 o 1. Su valor decimal es
I =  (ak 2k +ak-1 2k-1 + ... + a2 22 + a1 21 + a0 20 )
Por ejemplo, el número binario dado por
 110101
es igual a
I =  ( (1) 25 + (1) 24 + (0) 23 +(1) 22 + +(0) 2 + 1)
5
.
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I =  (32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1)
I =  53
El valor máximo de K esta limitado en algunas computadoras, debido al diseño de
hardware. Se usan 2 bytes (16 bits) para representar un entero ; en donde el primer bit
registra el signo (positivo si es 0, negativo si es 1). Los restantes 15 bits se usan para los
ai. Por lo tanto, el valor máximo posible para un entero positivo es
N°. de bit 0
Binario
0
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10
1
11
1
12
1
13
1
14
1
15
1
El valor decimal de lo anterior es
i=0
14
2i = 32 767
Para almacenar un número negativo se utilizan los mismos dígitos que el
número positivo de la misma magnitud, excepto que el primer bit se pone en 1.
Aunque en ocasiones, algunos computadoras usan el complemento a 2’s para
almacenar números negativos.
Por ejemplo, el complemento a 2’s para (-32767)10 es
Binario (32767)
Aplicar CA1’s
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
CA 2’s
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
6
0
7
0
12
0
13
0
14
0
15
1
El valor máximo entero negativo es
N°. de bit 0
Binario
1
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
8
0
9
0
10
0
11
0
El cual se obtiene utilizando el complemento a 2’s que consiste en cambiar los
0 por 1, y los 1 por 0 y añadiendo 1 al resultado para el número 32767.
En el complemento a 2’s, se determina primero el valor decimal como si los
16 bits expresaran un número positivo. Si este número es menor que 215, o 32768,
se le interpreta como positivo. Si es mayor o igual, entonces se transforma en un
número negativo restándole 216.
El equivalente decimal del número binario es: Z = 215 + 1;
por lo que la resta da
32768 - 216 = 32768 + 1 - 65536 = -32767
6
.
Métodos Numéricos y Programación
El número negativo de menor magnitud se representa por
(1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111)2 que es igual a -1 en decimal.
Se utilizan 4 bytes para la representación de signo/magnitud de un entero.
Por lo que, el máximo número positivo es
232-1 - 1 = 2147483648 -1 = 2147483647
0 1
2
n-1
n
...
- (2n-1 - 1) a (2n-1 - 1)
La magnitud se refiere al número más chico que puede ser representado y al
número más grande que se puede representar y la precisión es la cantidad de cifras
que caven dentro de un rango estipulado por la máquina en posición.
Cuando hablamos de signo/magnitud nos referimos a que la representación de
los números enteros en signo/magnitud se representan con su respectiva
representación binaria, lo que cambia es su signo. Por ejemplo,
Decimal
2
-2
Binario
0 010
1 101
El número de punto fijo es aquel cuyo punto se encuentra en un lugar fijo con
relación a la palabra, de esta forma, un entero es también un número de punto fijo.
NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE
No siempre resulta conveniente restringir los números representables a punto
fijo. En muchos problemas deben utilizarse números cuyo tamaño varía de 10-50 a
250.
Por esta razón, la mayor parte de las computadoras científicas incluyen
aritmética de punto flotante. Con frecuencia se utiliza punto decimal flotante para
escribir en “Notación Científica”. Por ejemplo,
1.05203 x 10 16 = 10 520 300 000 000 000
5.32635 x 10 -14 = 0.000 000 000 000 053 263 5
7
.
Métodos Numéricos y Programación
La primera parte de la representación científica se denomina mantisa,
mientras que la segunda es el exponente, en este caso un exponente decimal. En el
primer ejemplo anterior la mantisa es 1.05203 y el exponente 16.
El formato para un número real de punto flotante en una computadora define
según el diseño de hardware y software.
Los números de punto flotante se
almacenan en el formato de punto flotante normalizado en binario. En precisión
simple se usan 4 bytes, o 32 bits para almacenar un número de punto flotante.
Si se introduce como dato un número decimal, primero se convierte al binario
más cercano en el formato normalizado.
 0.abbbbbb ... bbbb)2 x 2z
donde
a
b
z
siempre es 1
cada b es un dígito 0 ó1
es un exponente que se expresa en binario (se utilizan 24 dígitos
para la matiza incluyendo la a y las b)
Para la representación de un número en punto flotante los 32 bits se
distribuyen de la siguiente manera:
 El primer dígito se usa para representar el signo de la mantisa
 Los siguientes 7 bits para el exponente z
 Los últimos 24 bits para la mantisa
0
1
30
7
31
24
En el formato normalizado de punto flotante, el primer dígito de la matiza
siempre es 1, por lo que no se almacena físicamente. Esto explica por qué una
mantisa de 24 bits se almacena en 23.
0
1
111 1111
31
11111111 11111111 11111111 11111111
Si los 8 bits asignados al exponente se usan para enteros positivos, el
exponente puede representar desde o hasta 28 - 1 = 255, aunque puede incluir
números negativos. Para registrar exponentes positivos y negativos, el exponente en
decimal es sesgado (o sumado) con 128 y después convertido a binario
(complemento a 2’s). Por ejemplo, si el exponente es -3, entonces -3 +128 = 125.
8
.
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Se convierte a binario y se almacena en los 8 bits. Por lo tanto, los exponentes que
se pueden almacenar en 8 bits van de 0 - 128 = -128 hasta 225 - 128 = 127
En la computadora, la representación consiste de una mantisa normalizada,
seguida de un exponente, esto es, entre la primera cifra significativa y el punto
decimal no existen ceros.
Los siguientes ejemplo ilustran la representación de los números con punto
flotante normalizado:
Sistema Decimal
12534.33
14332607951032.20
0.00000325
475.22
0.00000000145128
Mantisa Normalizada
0.1253433 x105
0.1433260795103220 x1013
0.325 x10-5
0.47522 x103
0.145128 x10-8
Un número de punto flotante que se representa en la forma cuyo exponente sea
mínimo se conoce normalizado. La Normalización en una computadora consiste en
el corrimiento a la izquierda de la mantisa hasta que el primer dígito sea diferente del
cero, reduciendo al mismo tiempo el exponente de acuerdo con esto. El número
0.00173 podría representarse en una máquina decimal con una mantisa de 6 dígitos
en cualquiera de las formas:
0.000 173
0.001 730
0.017 300
0.173 000
x101
x100
x10-1
x10-2
De las cuatro representaciones de 0.00173, sólo la última esta normalizada.
Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar
observando su precisión y exactitud.
Precisión
La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan la
cantidad o la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna
propiedad física.
9
.
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Exactitud
La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al
valor verdadero que se supone representa.
1.3
OPERACIONES CON PUNTO FLOTANTE NORMALIZADA
1.3.1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
La computadora al realizar las operaciones con punto flotante normalizada,
sigue los siguientes pasos, en el caso de la adición y sustracción
Paso 1: La máquina compara los exponentes de ambos operadores.
 Si los exponentes son iguales, sumar o restar, la mantisa conservando el
exponente.
 Si los exponentes son diferentes, desplazar hacia la derecha la mantisa
del operando con menor exponente hasta igualarlos. Con este proceso
aumenta en una unidad el exponente para cada posición que se desplace
la mantisa, hecho esto efectuar la operación conservando el exponente.
Paso 2: Si el resultado de la suma se va ha exceder al máximo el máximo de 6
dígitos de la mantisa, la máquina desplaza hacia la derecha las mantisas de
ambos operando e incrementando los exponentes antes de efectuar la
operación.
Paso 3: Si en el resultado de la resta se obtuviese cero entre el punto decimal y
la primera cifra significativa, la máquina los elimina antes de almacenar el
resultado reduciendo el exponente y desplazando la mantisa.
 Igualación de exponentes:
1523.3
1225.4
0.15233 x 104
0.12254 x 104
0.27487 x 104
Respuesta:
0.274870 x 104
10
.
Métodos Numéricos y Programación
 Exponentes diferentes:
7386.94
1.97328
0.738694 x 104
0.197328 x 101
Respuesta:
 Prevención del sobreflujo
12.4614
89.3172
0.124614 x 102
0.893172 x 102
0.738694
x 104
0.000197328 x 104
0.738891328 x 104
0.738891 x 104
0.0124614 x 103
0.0893172 x 103
0.1017786 x 103
0.101778 x 103
Respuesta:
 Normalización de la resta
98643.2
- 97924.2
0.986432 x 105
0.979242 x 105
0.012190 x 105
Respuesta:
0.121900 x 104
1.3.2 MULTIPLICACIÓN
La mantisa del producto es igual al producto de las mantisas de los operadores
y el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los operandos.
(317.26)(1.2) =
0.31726 x 103)(0..12 x 101)
(0.31726)(0.12) (x 104)
0.0380712 x 104
Respuesta:
0.038071 x 104
11
.
Métodos Numéricos y Programación
1.3.3 DIVISIÓN
La mantisa del cociente es igual al cociente de la mantisa del dividendo entre
el divisor y el exponente del cociente es igual a la diferencia del exponente del
dividendo menos el exponente del divisor.
1.4
729000.0/0.81 =
(0.729000 x 106)(0.810000 x 100)
(0.729000)/(0.810000) x (106-0)
0.9 x 106
Respuesta:
0.900000 x 106
FORMAS DE MEDIR EL ERROR
El estudio del error es central en análisis numérico, de manera que utilizamos y
extenderemos las ideas de este capítulo a lo largo de todo el curso. Estudiaremos
varios tipos de errores: Cómo se definen, la manera en que surgen, cómo podrían
estimarse, la forma de advertirles y qué podría hacerse a fin de minimizarlos.
1.4.1
ERROR ABSOLUTO
Se define como la diferencia que existe entre el valor exacto y su valor
calculado o redondeado. El error absoluto no es negativo, debido a que la definición
se dio en términos del valor absoluto. Así pues, una suma (colección) de errores
siempre se incrementa juntas, sin reducirse.
Error Absoluto = | valor exacto - valor calculado|
Ea = |X - Xr|
1.4.2
ERROR RELATIVO
El error relativo es el error absoluto dividido entre un número positivo
adecuado. Por lo general, el divisor es una de tres elecciones:
 La magnitud del valor exacto
 La magnitud del valor calculado o redondeo
 El promedio de estas dos cantidades
12
.
Métodos Numéricos y Programación
La mayoría de las veces se utiliza el valor exacto, como divisor y se modifica
esto cuando sea necesario, como cuando el valor exacto es cero.
Error Relativo = |X - Xr| / |X|
1.4.3
ERROR RELATIVO MODIFICADO
Error Relativo Modificado = |X - Xr | / |X|
Problemas:
1. Si se reemplaza el número 0.24691356 por el número flotante 0.246913. Cuál
es el error absoluto y el error relativo?
2. Si se reemplaza el número 0.24691356x1010 por el número de punto flotante
0.246913x1010. Cuál es el error absoluto y el error relativo?
3. Si se supone que la salida de un programa de computadora es 737.8 y se toma
como 5.52794. Cuál es el error absoluto y el error relativo?
4. Si 5.52794 fuera el valor exacto y 737.8 el valor calculado. ¿Cuál es el error
absoluto y el error relativo?
1.5
TIPOS DE ERRORES
1.5.1 ERROR POR REDONDEO
El error por redondeo se define como el error que resulta de reemplazar un
número que tiene más de n dígitos por un número que tiene m dígitos.
Por ejemplo, cuando se utiliza la computadora para resolver un número
determinado de ecuaciones simultáneas, puede haber una pérdida considerable de la
precisión en los resultados debido al error por redondeo que se acumula durante el gran
número de operaciones efectuados al obtener la solución.
13
.
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1.5.2
ERROR POR TRUNCAMIENTO
Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de
pasos se detiene en un número finito de pasos. Ya que es el error que resulta de
utilizar una serie de pasos truncados en vez de una serie de pasos completa.
1.5.3
ERROR SIGNIFICATIVO
Ocurre cuando el número de cifras significativas que tengan sentidos y sean
válidas, algunas veces son menores de lo esperado.
Se presentan con frecuencia
cuando:
 Se restan números desiguales
 Se suman varios números de magnitudes pequeñas.
 Se emplean un divisor relativamente pequeño.
1.5.4
ERROR PROPAGADO
Es el error de salida provocado por un error en las entradas, suponiendo que
todos los cálculos intermedios se efectúan exactamente, sin error de redondeo.
Problemas
1. Supóngase que se debe evaluar f(x) = 5X² + 7X - 30; la exacta debería ser 3.01, pero
se ha redondeado a Xr = 3. Cuál es el error en f(x)?
Error Absoluto = |X
- Xr|
Error Absoluto = |f(3.01) - f(3)|
Error Absoluto = |36.3705 - 36|
Error Absoluto = 0.3705
Error Relativo = |X - Xr | / |X|
Error Relativo = |f(3.01) - f(3)| / |f(3.01)|
Error Relativo = |36.3705 - 36| / |36.3705|
Error Relativo = |0.3705| / |36.3705|
Error Relativo = 0.0102
El error relativo en f(x) es 0.0102, comparado con el error relativo en x de
0.01/3.01 = 0.0033. Por tanto, el error relativo propagado es alrededor de tres
veces el error relativo de entrada.
14
.
Métodos Numéricos y Programación
ERROR DE REDONDEO Y PROPAGADO
El valor de una función debe redondearse, por lo que en un cálculo típico hay
tantos errores de redondeo como propagado. Consideremos una función de una
variable, ƒ(x), de la misma manera que:
xr denota un valor redondeado de x;
ƒr(t) indicará el valor redondeado de ƒ(t).
ƒ(tr) podría ser un número decimal infinito que debe o requeriría redondeo.
Fórmulas para el Cálculo de errores
Error absoluto
| X – Xr |
| X – Xr |
Error Relativo
|X|
2 | X – Xr |
Error Relativo Modificado
|X| + |Xr|
Fórmulas para el Cálculo de Errores a Funciones Variables
Error Propagado Absoluto
o Error Absoluto Exacto
Error Propagado Relativo
Error de Redondeo
Error Total de la Evaluación
Factor de Amplificación
’(Xr)
| (X) – (Xr) |  | X – Xr | | ’(Xr) |
| X – Xr | | ’(Xr) |
|(X) |
| (Xr) - r(Xr)|
| (X) - r(Xr)|
’(Xr) = | (X) – (Xr) |
| X – Xr |
EJEMPLO: Sea F(t)= 0.32t y una evaluación en un instrumento de cálculo que sólo
puede conservar cuatro cifras significativas en base diez para cualquier número, con
x=10.007.
Xr = 10.01
ƒ(x) = ƒ(10.007) = 0.32 (10.007) = 3.20224
ƒ(xr) = ƒ(10.01) = 0.32 (10.01) = 3.2032
ƒr(xr) = 3.203
ƒr(x) = 3.202
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Error de Redondeo = |ƒ(xr) - ƒr(xr)| = | 3.2032 - 3.203| = 0.00020
Error Propagado
= |ƒ(x) - ƒ(xr)| = |3.20224 - 3.2032| = 0.00096
Error total
= |ƒ(x) - ƒr(xr)| = |3.20224 - 3.203| = 0.00076
de la evaluación
Nota:
Estos errores son absolutos, pero se pueden hacer relativos dividiendo entre
|ƒr(xr)|= 3.203 o entre |ƒ(x)|, dado que en este caso lo conocemos.
El error propagado absoluto podría haber sido aproximado usando la ecuación
(ya que estamos manejando una función lineal).
|ƒ(x) - ƒ(xr)| = |X - Xr| ƒ'(xr) = |10.007 - 10.01| |0.32| = 0.00096.
ERROR ABSOLUTO TOTAL EN UNA ECUACION
|ƒ(Xr) - ƒr(Xr)| = |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + |ƒ(X) - ƒr(Xr)| <= |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + ƒr(Xr)|
Esta desigualdad afirma que el error total absoluto no es mayor que la suma de
los errores absolutos propagados y redondeados.
Problemas Propuestos:
1. Calcule, en porcentaje, el error cometido cuando 1.503. se redondea a 1.5.
2. Si X = 3.1415927 usamos un sistema numérico de punto flotante (en base diez)
con una longitud de palabra de 6. ¿Cuál es el error absoluto al representar X?.
3. Calcule el error absoluto y el relativo comedido cuando .abc*10 7 se escribe
erróneamente como a.bc *107.
4. Suponga que en cierto cálculo obtenemos 0.0002 cuando deberíamos obtener
cero. ¿Mediante cuál fórmula calcularía el error relativo? ¿Qué obtendría usando
esa fórmula?
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5. Si f(x) = 18 t4 –5t3 + 2t – 7, la exacta x =  y la redondeada xr = 3, aproxime el
error propagado al evaluar f(x). Compare este error con el error propagado
absoluto real.
6. Estime el error propagado absoluto al evaluar f(x) = x2 – ln x en x = 1/2 
0.70710678 si usamos xr = 0.7. Calcule el error propagado absoluto exacto.
7. Aproxime el error propagado absoluto al evaluar f(x) = ex en x = 2.0003 si xr = 2,
¿Cómo se calcularía el error relativo usando su respuesta?
8. Estime el error propagado relativo y el absoluto al evaluar f(t) = 2e3(t - 2) para t
cercana a 2 si el error absoluto en t es 5 * 10 –7.
9. Sea f(t) =  t (1 + t2)-1. Supongamos que necesitamos el valor exacto de
f(0.16037), pero que sólo podemos usar aritmética de tres dígitos. Esto significa,
que  debe aproximarse por 3.14. Determinar el error propagado absoluto, el
error de redondeo y el error total.
10. Estime los errores propagado relativo y el absoluto al evaluar f(x) = e(x - 2)2 para x
cercano a 2 si el error absoluto en x es 10 –5.
11. Si en notación exponencial redondeamos a k cifras (en base diez) en la mantisa.
¿Cuál es el máximo error relativo posible?
12. Sea f(x) = (4 – x2)-1, x = 1.99904 y xr = 1.999.
amplificación” ’(Xr).
Aproxime el “factor de
13. Determinar el error absoluto cometido cuando en base dos una computadora
representa  = 3.14159265 como 11.001001dos.
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