Los números enteros

UNIDAD 1 . NÚMEROS
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS
La operación de restar es muy intuitiva, así si disponemos de 5 y restamos 2,
decimos que nos quedan 3. Pensando en la suma, decimos que 5 - 2 = 3 porque 3 + 2
= 5.
Pero si tengo 2 y resto 5, esto ya parece que no es muy razonable, si es que se
piensa que de donde no hay no se puede sacar.
Sin embargo si tengo 2.000 ptas. y tengo que pagar 5.000 ptas., es decir resto de
2.000 las 5.000, digo que debo 3.000 ptas.
Así, también, si un termómetro marcaba 2 grados y la temperatura bajó 5 grados, decimos que al final marcaba 3 grados bajo 0.
Estas situaciones tienen sentido para nosotros, las encontramos muy razonables.
Para explicarlas, a estas y a otras análogas, matemáticamente, aparecieron unos nuevos números: los números NEGATIVOS.
Con ellos puedo decir que me quedaron - 3.000 ptas., en vez de decir que debo
3.000 ptas., y que la temperatura era de - 3 grados, en los ejemplos anteriores.
Podriamos decir que los números negativos nos han servido para contar las deudas. A los números naturales Ν se les denomina POSITIVOS.
Al conjunto formado por los números positivos, los negativos y el número cero,
se le denomina el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS y lo simbolizaremos por Ζ.
Como ya será conocido este conjunto de los números enteros, sólo vamos a recordar su representación gráfica mediante la siguiente escala en la recta.
-6
-5
-4
|
|
|
...así sucesivamente
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
+1
|
+2
|
+3
|
+4
+5
+6
|
|
|
así sucesivamente...
Comentarios:
• El origen está marcado con el número cero; los enteros positivos, a la derecha del
origen; los enteros negativos, a la izquierda.
• Se observa en la escala que cada número negativo tiene un simétrico, que es positivo, y cada número positivo tiene un simétrico que es negativo.
El número cero es el único que tiene la propiedad de ser simétrico de si mismo.
Al simétrico de un número entero se le denomina opuesto de dicho número. Por
ejemplo:
El opuesto de 3 es -3 y se representa así: -(+3) = - 3
El opuesto de -5 es 5 y se representa así: -(-5) = + 5
• La distancia de un número al cero en la escala se denomina valor absoluto del número. Así el valor absoluto de + 4 es 4 y se representa de la forma:
+4 = 4
y el valor absoluto de -2 es 2, es decir −2 = 2.
• Un número entero es MENOR que otro si el primero está a la izquierda del segundo en la escala. Así 3 es menor que 5, y se representa de la forma 3 < 5, ó lo que es
lo mismo, 5 es MAYOR que 3, que se representa 5 > 3.
También es cierto que:
0 < 6 ; -4 < 1 ; -8 < -7 ; 0 > -6 ; -5 > -8 ; 2 > -1
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 1
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Cuando queremos designar o hablar de un número, pero de ninguno en concreto,
es decir, de cualquier número, recurrimos a un truco para simbolizarle: lo representamos mediante una letra, la que nos de la gana. Por ejemplo la letra a va a ser un número entero cualquiera.
•
¿Puede la letra a valer 3?
•
Claro que si, pues 3 es un número entero.
•
¿Y puede valer cero?
•
También, pues 0 es un entero. Y también puede valer - 8, o -324, o un
millón.
•
Y si yo quiero hablar de otro número que no sea el a, ¿que hago?
•
Pues lo simbolizo con otra letra distinta que la a.
•
Con la b por ejemplo.
•
¿Como escribiríamos el opuesto del a?
•
Así: - a
•
¿Y el número -a es positivo o negativo?
•
Depende de como sea el número a.
•
Por ejemplo, si a es 5 entonces -a valdrá -5,y es negativo, pero si a vale
-8 -a vale 8, que es positivo.
•
¿Como representariamos el valor absoluto del número a?
•
Así: a .
•
¿Puede ser a un número negativo?
•
No, porque el valor absoluto de un número, hemos quedado que era la
distancia desde él al cero, y las distancias siempre las damos con números
positivos.
•
¿Puede ser cero?
•
Sólo en el caso de que a valga cero.
1.1.- Contesta a las siguientes cuestiones:
a) Halla y representa simbólicamente :
el opuesto de 10
, el opuesto de 1.000
el opuesto de -11
, el opuesto de 0
el opuesto de -100
, el opuesto de 4
el valor absoluto de 6 , el valor absoluto de -101
el valor absoluto de 0 , el valor absoluto de 1.000
el valor absoluto de -6 , el valor absoluto de 4
b) Ordena de menor a mayor los siguientes números, separándolos con el
signo correspondiente :
200 , -30 , -80 , 20 , 33 , 14 , -11 , 0
c) Halla los valores concretos que tomen los siguientes números - a y
a
 cuándo a vale :
-73 , 15 , 0 , -15 , 24
Con los números enteros, tanto positivos, como negativos, como con el cero se
pueden realizar operaciones entre ellos.
UNIDAD 1.
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SUMA
Al sumar dos números enteros (llamados sumandos o términos) obtenemos otro
número entero, que llamamos suma, siguiendo las siguientes reglas:
•
Si los dos sumandos tienen el mismo signo, es decir son los dos positivos,
o los dos negativos, la suma se obtiene sumando sus valores absolutos,
poniendo el signo que tienen en común.
Así:
3 + 4 = 7 ; -3 + (-4) = -7
•
Si los dos sumandos tienen distinto signo, es decir, uno es positivo y otro
es negativo, la suma se obtiene restando sus valores absolutos, y asignandole el signo del de mayor valor absoluto.
Así:
- 3 + 7 = 4 ; 3 + (-7) = -4
•
Simbólicamente:
Si los sumandos son los números cualesquiera a y b y el número suma es el c
entonces lo representaremos:
a+b = c
sumandos o
términos
Suma
PROPIEDADES DE LA SUMA:
1. Asociativa.
Dados tres números enteros a, b y c se cumple que
a + (b + c) = ( a + b) + c
2. Elemento neutro.
Para cualquier número entero a existe otro e tal que:
a + e = e+ a = a
Para la suma el elemento neutro es el 0.
3. Elemento simétrico.
Dado cualquier número entero a existe otro número entero a’ tal que:
a + a, = a, + a = 0
a’ en este caso será el opuesto de a - a
4. Conmutativa.
Dados dos números enteros a y b:
a+b = b+a
UNIDAD 1.
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UNIDAD 1 . NÚMEROS
1.2. Calcula a + b en la tabla siguiente :
a/b
-3
0
4
-5
8
-8
5
3
-4
0
DIFERENCIA
Al restar de un número (llamado minuendo) otro número (llamado sustraendo),
obtenemos otro número (llamado diferencia) de la forma siguiente:
Sumando al minuendo el opuesto del sustraendo
Simbólicamente:
Si a es el minuendo y b el sustraendo, entonces:
a − b = a + ( −b )
Así:
5 − 2 = 5 + ( −2 ) = 3
2 - 5 = 2 + (-5) = -3
-2 - 5 = -2 + (-5) = -7
4 - (-3) = 4 + 3 = 7
-3 - (-5) = -3 + 5 = 2 ...
De los anteriores ejemplos observarás que en la escritura de los símbolos poner +(-a)
es lo mismo que poner -a.
El opuesto del
Por otro lado:
opuesto de a
− (− a ) = a
es igual a a
− (a + b) = − a − b
Lo que nos dicen es que el opuesto de a + b, es decir, - (a + b), es el número que
resulta de efectuar -a - b. Para ver que esto es cierto, comprobaremos si la suma del
número (a + b) y el que dicen que es su opuesto, el -a - b, da como resultado 0.
Veamos:
a +b− a −b = a − a +b−b = 0+ 0 = 0
Luego es verdad.
Los paréntesis: Indicar que lo primero que hay que realizar es la operación encerrada
entre ellos. Así:
−5 + ( 4 − 3) = −5 + 1 = −4
Primero lo que hay dentro del paréntesis
UNIDAD 1.
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UNIDAD 1 . NÚMEROS
Pero si queremos quitar un paréntesis que encierra una suma y tiene un signo “-” delante, lo que tendremos que hacer es cambiar de signo cada término. Así:
−( −5 − 6) = −5 − (−6) = −5 + 6 = +1
− ( 2 • 3 − 5 • 4 ) = −2 • 3 + 5 • 4
1.3.- Calcula a - b en la tabla siguiente :
a/b
-3
1
5
0
-8
8
-5
-2
-3
6
PRODUCTO
Al multiplicar dos números (llamados factores) obtenemos otro número llamado
producto de la forma siguiente:
•
Si los factores son del mismo signo, el producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores.
•
Si los factores son de distinto signo, el producto es igual al producto de los
valores absolutos de los factores y con signo “-”.
Si los factores son a y b , y el producto c, simbólicamente se expresa:
a•b = c
Convenio:
Después del signo de multiplicación hay que poner paréntesis si el factor que le
sigue tiene signo “-”. Así:
2 • -3 = estaria mal escrito.
2 •(-3) = es correcto.
Se conviene así para que no haya confusiones con la diferencia al no poner el
“•“ para multiplicar.
Ejemplos:
4 • 2 = 8 ; (-4) • (-2) = 8
4 • (-2) = -8 ; -4 • 2 = -8
1•4=4 ; 0•4=0
PROPIEDADES DEL PRODUCTO:
1. Asociativa.
Dados tres números enteros a, b y c se cumple que
a • (b • c) = ( a • b) • c
2. Elemento neutro.
Para cualquier número entero a existe otro e tal que:
UNIDAD 1.
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UNIDAD 1 . NÚMEROS
a • e = e• a = a
Para el producto el elemento neutro es el “1”.
3. Elemento simétrico.
Dado cualquier número entero a existe otro número entero a’ tal que:
a • a, = a, • a = 1
1
a’ en este caso será el INVERSO de a a −1 =
pero éste no seria un número
a
entero por lo tanto esta propiedad no se cumpliría.
4. Conmutativa.
Dados dos números enteros a y b:
a•b = b•a
1.4.- Calcula a • b en la tabla siguiente :
a/b
3
-4
0
-1
5
-2
1
-6
3
0
La multiplicación tiene prioridad para realizarse antes que la suma y la resta, en
cualquier expresión indicada de cálculo con números.
Por ejemplo:
3 + 4 • 2 = 3 + 8 = 11 es correcto.
3 + 4 • 2 = 7 • 2 = 14 es incorrecto.
4 - 5 • 2 = 4 - 10 = -6 es correcto.
Sin embargo, si aparece la suma entre paréntesis, el paréntesis tiene prioridad y
se realizará antes. Por ejemplo:
(3 + 4) • 2 = 7 • 2 = 14 ; (4 - 5)•2 = -1 • 2 = -2
Precisamente una de las propiedades más importantes que liga a la suma y al producto
dice así:
Si a, b y c son números enteros, entonces:
a • (b + c) = a • b + a • c
Esta propiedad se llama distributiva del producto respecto de la suma.
Si leemos de izquierda a derecha, es decir:
a • (b + c) = a • b + a • c
decimos que hemos quitado paréntesis. Si leemos de derecha a izquierda:
a • b + a • c = a • (b + c)
decimos que hemos sacado factor común a “a”, ya que “a” aparece como factor en los
dos sumandos, es decir, es común a los dos.
Comprobemos que se verifica la igualdad anterior para a = -2 , b = 3 , c = -4
efectivamente
a • (b + c) = -2 • (3 - 4) = -2 • (-1) = 2
son iguales
a • b + a • c = -2 • 3 + (-2)•(-4) = -6 + 8 = 2
1.5.- La propiedad distributiva :
a•(b+c) = a•b + a•c
Comprueba que se verifica esta propiedad cuando :
1)
a = -4 , b = -3 ,
c = -1
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 6
UNIDAD 1 . NÚMEROS
2)
3)
a = 3 , b = 0 , c = -5
a = 1 , b = -5 , c = 6
Si el producto de dos números enteros es igual a cero es, bien porque uno de
ellos es cero, o los dos son cero.
a•b = 0 ⇒ a = 0 o b = 0
El número a - 2•a + 4•a = a - 2a + 4a se puede expresar más simplemente, observando que es una suma y sus tres términos tienen un factor común que es “a”. Así:
a - 2a + 4a = (1 - 2 + 4)a= 3a
fíjate que a = 1 • a
POTENCIACIÓN
Al elevar un número entero (llamado base) a otro número positivo (llamado
exponente) obtenemos otro número (llamado potencia), como resultado de multiplicar
la base tantas veces por sí misma como indica el exponente.
Por ejemplo:
43 = 4 • 4 • 4 = 64
(-3)3 = (-3) • (-3) • (-3) = - 27
Simbólicamente:
Si la base es el número “a” y el exponente es el número “n” y la potencia es el
número “b”, se escribirá:
an = b
Convenios de escritura:
•
La potenciación tiene prioridad de realizarse antes que la suma la diferencia y el producto. Así:
3 + 22 = 3 + 4 = 7
es correcto
3 + 2 2 = 52 = 25
es incorrecto
4 • 32 = 4 • 9 = 36
es correcto
4 • 3 = 12 = 144 es incorrecto
Cuando la base tiene un signo “-”. Se encierra en un paréntesis. Así:
( −3) 2 = ( −3) • ( −3) = 9
2
•
•
2
Sin embargo: −32 = −3 • 3 = −9
El exponente tiene la prioridad de un paréntesis, aunque no esté encerrado
en él. Así:
2 2 +1 = 2 3 = 8
Que sería lo mismo que si estuviera escrito así:
2 ( 2 + 1) = 2 3 = 8
UNIDAD 1.
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UNIDAD 1 . NÚMEROS
1.5.- Calcula a n en la tabla siguiente:
a/n
-2
3
1
0
-1
2
2
3
1
4
5
Propiedades de las potencias:
I. El producto de dos potencias de la misma base, es una potencia que tiene por
base la misma y por exponente la suma de los exponentes.
Observa:
2 3 • 2 2 = ( 2 • 2 • 2) • ( 2 • 2) = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 = 2 3+ 2
En general:
a m • a n = a m+ n
Por ejemplo:
a 3 • a 4 = ( a • a • a ) • ( a • a • a • a ) = a • a • a • a • a • a • a = a 7 = a 3+ 4
II. Al elevar una potencia a un exponente, obtenemos otra potencia con la misma base y por exponente el producto de los exponentes.
Observa:
(2 )
3 4
En general:
= 2 3 • 2 3 • 2 3 • 2 3 = 2 3+ 3+ 3+ 3 = 212 = 2 3• 4
(a )
m n
= a m• n
1.6.- Expresa como una única potencia los números siguientes, indicando cual es la
base y cual el exponente :
25 , -8 , 3 2 •33 , 42 + 32 , ((-2)2 )3 , 32 • 23 , (6 + 3)2
Ya se han estudiado las definiciones y cuestiones más importantes, relativas a
las cuatro operaciones con números enteros: suma, diferencia, producto y potenciación. Estas cuatro operaciones no tienen por qué actuar siempre por separado, sino que
lo más frecuente es que aparezcan mezcladas con números dando lugar a expresiones
numéricas. Estas expresiones vienen escritas simbólicamente, por ejemplo:
2
3
−3 • 4 − 2 • ( 3 − 4) − 32 • ( −3 + 1) • ( −1 − 2)
y nosotros las tenemos que leer, entender y calcular su valor. Para ello hay que conocer muy bien las normas de escritura, es decir, cómo se utilizan y qué significan los
signos y los símbolos. Algo parecido a lo que ocurre con el código de la circulación y
las señales de tráfico. Tal es así que si no respetamos las señales seguro que nos da-
UNIDAD 1.
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UNIDAD 1 . NÚMEROS
mos un buen porrazo, en este caso no hallaremos el verdadero valor de la expresión y
todo estará mal.
Es importantísimo aprenderse y saber manejar muy bien las siguientes normas,
que podríamos decir que constituyen el código del cálculo con números.
SEPARACIÓN DE SIGNOS:
Los signos de las operaciones suma (+), diferencia (-) y multiplicación (•), nunca pueden ir seguidos. Para separarlos hay que hacer uso de los paréntesis, como en
los ejemplos siguientes:
5 • ( −6) ; 6 + ( -8) ; + 3 - ( -7) − 8 ; - 4 • ( -6) + 8
1.7.- a)
rios:
b)
Coloca paréntesis en las expresiones siguientes, sólo donde son necesa4 + −7 + 2 ;
15 + -8 + 3
+2 • -6 + 8 ;
7 + 6 - -9
;
3 + 5 • -1
-+8-3
4 - -3 • -6
;
4 • -3 • -5
;
- 3 • -8
;
Señala cuáles de las siguientes expresiones son correctas y cuáles no:
3 • ( −8) + 6 ; 5 - +7 • 4 ; 7 - -9
4 + (5 -) 6
;
3 - ( -4)
;
5- 4 +8• 5
PRIORIDAD DE OPERACIONES:
El orden de prioridad de las operaciones es el siguiente:
POTENCIAS , PRODUCTOS , SUMAS Y RESTAS
Esto quiere decir que si en una expresión aparecen potencias, productos, sumas
y restas, éstas no siempre se pueden realizar en el orden en que aparecen, sino que las
potencias son las primeras en realizarse, los productos son los segundos a realizar, y
por último las sumas y las restas, operando los números anterior y posterior al signo
correspondiente a la operación en cuestión.
Por ejemplo:
14 + 5 • 12 − 8 = 14 + 60 − 8 = 66
7 • 4 + 6 = 28 + 6 = 34
−7 + 3 • 4 = −7 + 12 = 5
1.8.- Efectuar las operaciones siguientes :
a) 6 • 9 - 12
c) 12 • 3 + 8
e) 4 - 3 • 7 - 2
g) 4 • 3 - 2 + 5 - 8 • 2
b)
d)
f)
h)
15 - 4 • 2
5•4 + 3•2
-5 + 6•2 -1
-1 + 7 • 4 + 3
Muy importante: Si se quiere dar preferencias a sumas o restas respecto de multiplicaciones o potencias, entonces hay que utilizar paréntesis y encerrar en ellos lo que primero se quiera hacer.
Observa en los siguientes ejemplos lo importante que son los paréntesis:
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 9
UNIDAD 1 . NÚMEROS
8 • ( 3 + 9) = 8 • 12 = 96
8 • 3 + 9 = 24 + 9 = 33
7 + 4 • 6 − 1 = 7 + 24 − 1 = 30 ;
( 7 + 4) • ( 6 − 1) = 11 • 5 = 55
( 7 + 4) • 6 − 1 = 11 • 6 − 1 = 66 − 1 = 65
1.9.- Efectúa las operaciones siguientes:
a ) ( 6 + 5) • 4
b) - 3 • ( 7 + 8)
d)
( -4 + 7) • (8 − 3)
c) 4 • ( 6 + 1) − 3
e) 5 • ( -1 + 2) + 6 • ( 4 − 7)
f) - 2 + 8 - 3 • ( 4 + 5)
La suma y la diferencia tienen entre sí la misma preferencia. Se realizan en el
orden en que vienen en la expresión (si en ella sólo aparecen esas operaciones). Ejemplos:
5 − 3 + 8 = 10
13 + 8 - 4 + 2 = 21 - 4 + 2 = 17 + 2 = 19
PARÉNTESIS EN POTENCIAS:
Un número negativo elevado a una potencia se escribe entre paréntesis. Ejemplos:
( −5) 4
( -1) 2
Si una potencia es, a su vez, base de otra potencia, se escribe entre paréntesis.
Ejemplos:
( )
23
5
;
[( ) ]
34
2 3
;
[ (-2) ]
3 6
POTENCIA DE UNA SUMA O DE UN PRODUCTO:
Una suma o un producto elevados a un exponente se escriben entre paréntesis.
2
Ejemplos: (5 + 7)
( 3 • 5 • 7) 3
AGRUPAMIENTO DE SUMANDOS O FACTORES:
Si en una suma de varios sumandos se quieren agrupar dos o más seguidos para
indicar un solo sumando, éstos se escriben entre paréntesis. La misma regla se aplica a
producto de varios factores.
También se escribe entre paréntesis una suma o un producto si se le antepone un
menos para indicar su opuesto. Ejemplos:
El opuesto de - 9 + 7 es - ( - 9 + 7)
El opuesto de 4 •5 es - (4 • 5)
Naturalmente todas las reglas anteriores pueden aparecer combinadas, dando
lugar a expresiones más o menos complicadas, pero que conociendo bien las reglas
explicadas no son difíciles.
SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS.
Según sabemos el opuesto de una suma de dos sumandos o más es igual a la
suma de los opuestos de cada uno de ellos. Por tanto, si un paréntesis que agrupa una
suma está precedido del signo (-), se puede suprimir cambiando los signos de cada
uno de los sumandos. Ejemplos:
−(8 + 7 − 3 • 2) = −8 − 7 + 3 • 2
−( −3 • 5 − 7) = 3 • 5 + 7
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 10
UNIDAD 1 . NÚMEROS
1.10.-Suprime el paréntesis en las expresiones siguientes :
a) - ( -2 + 6 • 5) + 8
b) -4 - ( 5 + 7 • 2 ) - 4
c) - ( 5 - 3 - 7 )
d) - 2 - ( 7 - 6) + 4
Si un paréntesis, precedido del signo (+), agrupa a una suma; se puede suprimir conservando cada sumando el signo que tiene. Por lo tanto en este caso no son
necesarios los paréntesis.
Ejemplo: 5 + (3 + 4) = 5 +3 + 4
Para suprimir un paréntesis que agrupa a varios sumandos, si éste está multiplicado por un número, se multiplica dicho número por cada uno de los sumandos
(propiedad distributiva del producto respecto de la suma). Ejemplos:
6 • ( 4 + 5) = 6 • 4 + 6 • 5
7 • ( −4 + 3 + 8) = 7 • ( −4) + 7 • 3 + 7 • 8
En ocasiones, nos encontramos con uno o más paréntesis incluidos dentro de otros. En
estos casos, para suprimirlos todos, lo más conveniente es realizar la operación en
varios pasos, comenzando por eliminar los paréntesis más interiores, aplicando las
reglas que ya hemos dado.
Ejemplos:
3 − [ 4 − ( 6 + 1 − 9) − 4] = 3 − ( 4 − 6 − 1 + 9 − 4) = 3 − 4 + 6 + 1 − 9 + 4
8 + [ 6 − 3 • (8 − 5) − ( −3 + 5)] = 8 + ( 6 − 24 + 15 + 3 − 5) = 8 + 6 − 24 + 15 + 3 − 5
1.11.-Una moto sale de Bilbao con dirección a Vitoria , situada a 66 km. de distancia.
Al llegar a Durango situado a 30 km. de Bilbao, retrocede hasta Galdácano, a 21
km. de Durango. En Galdácano descansa una hora y marcha de nuevo hacia Vitoria.
Calcular la velocidad, sabiendo que llegó al cabo de tres horas de salir de Bilbao.(Conviene que te hagas un gráfico)
1.12.-Antes de hacer operaciones fíjate si hay paréntesis o no. Sustituye los a){66 - (42 - 18)} ÷ = -1
c) (-6)•{(-2) + (-7)} - (-5) - = 24
b) -4 + 6•5 ÷ 2 + + 2•4 - 1 = 15
1.13.-Dados los números :
a = -3 - 4 • 2
c =-3•4 +8•2
b = -4 + 3 • 5 + 6
d = - 3 2 + 7 • (- 4 )2
a) Calcular sus valores
b) Ordenarlos de mayor a menor, utilizando los símbolos convenientes.
c) Hallar su valor absoluto y su opuesto, simbolizándolos convenientemente.
d) Representarlos gráficamente en la recta.
UNIDAD 1.
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UNIDAD 1 . NÚMEROS
1.14.-Calcula el valor que se obtiene de las siguientes operaciones con números enteros, detallando los pasos que realizas :
1) (-10) + 5 =
2) 9 + (-20) =
3) 15 + (-5) =
4) (-5) + (-30) =
5) (-101) + 44 =
6) (-304) + 1001 =
7) - 7 + 10 - 4 =
8) 100 - 91 + 15 - 3 =
9)
10) 10 - (-4) =
11) - 51 - (-10) =
12) - (-40) + (-10) - (-5) =
13) 5 - (7 + 8) =
14) -8 - (8 - 3) =
15) - (5 - 10) + (8 - 20) =
16) (- (-14 + 20) - 14) - (8 - 4 ) =
203 - 300 +4 - 8 =
17) - (-(15 - 3) - (3 - 4)) - (5 -2) + 4 =
18) -23 + (-40) - (-53) + 8 =
19) - ( - 5 + 6 - 8) - (4 - (8 + 3)) =
20) (-5 - (-8 - 3)) - (-5 - (4 - 3)) =
21) -15 • 5 =
22) 7 • (-15) =
23) (-15) • (-8) =
24) -44 • (-12) =
25) ( (-5)•8 ) • (-8) =
26) (-2)•(5 • 4) =
27) (-2)•(5 + 4) =
28) (-2)•5 + 4 =
29) 2 • (5 - 6 • 4) =
30) (3 - 4) •(3 + 4•(-2)) =
=
31) 5 • ((-6)•5 - 2)) - ((-5)•6 - 2•(-4))
32) (-3) • ((-5) • (-2) - 10) + 6 • (-8 + 4•2) =
33) (5 - 4)•(6•2 - 3) + 8•(8 - (2•3 + 1) =
35) (8 - 3 - 4)••(2 - ( - 3) - 3••( - 4))=
3••14)=
34) (( - 5)••4 + 2)•( - 3) =
36) ( - 8 - 3)••(( - 5)••3 + 15) - 13••(42 -
37) ( - 2)5=
38) ( - 3) - ( - 3)3=
39) 3•22=
40) (3••4)2 - 4••23=
41) ( - 3)2•5 - 32=
42) - 42•5••( - 2)3 =
43) ( - 2) - (3 - 2 - 4)2 - 3•22=
44) (2 - 9••3)2 •(5•( - 3) + 4)3 =
45) ( - 3)••(5 - (11 - 3••2))2 - 4••(7 - ( - 3 + 2)2) - (23 + 15)3=
46) - 3 - 42 - (5 - 6••2)3•( - 22) =
47) (8 - 7••2 + 5)••(6 - 3)3 - 6••(23 - 24)2=
48) 23•33 - (8 - 5••3)3 - (5 - 3••2)5)3=
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 12
UNIDAD 1 . NÚMEROS
1.15.-Estas parrillas tienen una entrada y una salida (indicadas con flechas). Se trata
de encontrar el itinerario que va de la primera a la segunda, de manera que sumando los números inscritos en cada casilla del recorrido, incluso la de entrada, se encuentre el número inscrito en la casilla de salida.
No se puede pasar dos veces por la misma casilla; el itinerario puede ser vertical u horizontal pero no diagonal.
1
-4
-1
- 15
8
⇓
-6
3
10
-9 -7 -8
14
2
-7
3
12
5
7 - 21 9
- 10 3
-5
- 11
⇓
6
4
-8
13
-2
⇒
3
-4
-8
10
-9
7
1
4
5
- 12
-7
- 15
⇒
1.16.-El montacargas de una fábrica se mueve a una velocidad de dos pisos cada minuto. Las diferentes plantas están numeradas como se indica en el esquema. El
cero corresponde a la salida a la calle.
En cada piso hay una señal luminosa que indica si el ascensor sube ▲ o baja
▼.
En un momento dado se encuentra en la planta cero y la señal indica ▲ :
1.- ¿Dónde estaba el montacargas hace dos minutos?
2.- ¿Dónde estará el montacargas dentro de tres minutos?
Si la señal hubiera sido hacia abajo :
3.-¿Dónde habría estado hace 4 minutos?
4.-¿Dónde estaría dentro de un minuto?
Acordemos que el tiempo es negativo o positivo según se cuente antes o después
del momento indicado y que la velocidad de subida ▲ es positiva y la de bajada
▼ es negativa.
espacio = velocidad • tiempo
+6
+5
+4
+3
+2
+1
bajo 0
-1
-2
-3
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 13
UNIDAD 1 . NÚMEROS
-4
-5
1.17.-Rellena los ✈ de forma que sean ciertas las igualdades siguientes :
a) ✈ - 6 = -1
d) -6 + (-2) - ✈ = -3
f) (-4)•✈ = 12
b) ✈ + 15 = 4
c) -9 - ✈ = -5
e) (-4) + ✈ + {(-6) - (-2)} = (-7 + 2) + 1
g) (-36) ÷ ✈ = -9
h) -1 • ✈ = -7
1.18.-¿ Qué operación se ha realizado en cada tabla ? Complétalas.
6
4
-6
-7
3
-2
-5
18
12
-28
-4
-8
3
-40
-36
14
1
12
3
-6
4
-7
Una vez que ya conocemos las normas del cálculo con números enteros, nos
toca ahora aprender, como si de un idioma se tratara, a traducir. Es decir si me dan
una frase en lenguaje simbólico, por ejemplo:
3
−( −3) • 4 + ( −2 − 3)
se traduzca al lenguaje ordinario, que sería algo así:
La suma del producto del opuesto de - 3 por 4 , más el cubo de la diferencia
del opuesto de 2 y 3.
Y a la inversa, si nos dan una frase en lenguaje ordinario, por ejemplo:
La diferencia del producto de 2 por el cuadrado de la diferencia de 3 menos 4,
menos el producto del cuadrado de 3 por la suma del opuesto de 3 más 1.
se traduzca a lenguaje simbólico, que en este caso sería.
2
2 • ( 3 − 4) − 32 • ( −3 + 1)
Nos ejercitaremos en:
I. Leer e interpretar correctamente una expresión numérica dada en forma
simbólica.
Expresión numérica: Es una combinación de números, signos de operación y
paréntesis, respetando las normas del cálculo. Por ejemplo:
2
−3 • 4 + 8 • ( 6 − 2) es una expresión numérica.
Términos: Los signos de suma y diferencia dividen a una expresión numérica en
términos (excepto si los signos están dentro de un paréntesis).
La expresión del ejemplo anterior tiene dos términos uno es −3 • 4 y el otro
2
8 • ( 6 − 2) .
Factores: Los factores de una expresión numérica son aquellas cantidades que al
multiplicarse entre si dan como resultado la expresión.
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 14
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Por ejemplo: en la expresión anterior el primer término consta de dos factores
que son - 3 y 4 , y el segundo término consta de otros dos: 8 y (6 - 2)2
En una expresión numérica es fundamental describir el orden de las operaciones
que intervienen y los números que operan con ellas. En este proceso es necesario que
recuerdes la prioridad de las operaciones a la hora de escribir simbólicamente.
Lo realizaremos siguiendo este orden:
Al paso lo veremos con un ejemplo. Sea la expresión:
3
−( −3) • 4 + ( −2 − 3)
Consta de dos términos:
3
−( −3) • 4
y ( -2 - 3)
1. Identificar los términos de la expresión.
2. Si consta de un sólo término la expresión no es una suma, sino un producto
o una potencia, según cual sea la última operación realizada, siguiendo el
orden de la prioridad de las operaciones.
Según qué sea la expresión hay que
identificar:
a) Si un producto, todos y cada uno de
los factores.
b) Si es una potencia , la base y el
exponente.
3. Si consta de varios términos a cada
uno de ellos se les somete al análisis
descrito en 2.
4. A cada una de las expresiones que
intervienen en una operación y que
han sido aisladas en los pasos 2. y 3.,
se les somete, a su vez, al mismo análisis comenzando por el paso 1., hasta
describir todas las operaciones intervinientes en la expresión numérica
inicial.
Primer término:
−( −3) • 4 , es un producto
de factores: - (-3) y 4.
Segundo término:
( −2 − 3)3 es una potencia de
base: -2 - 3 y exponente 3.
En este caso únicamente:
-2 - 3
que es una diferencia de
dos términos: -2 y 3.
Lo haremos de una forma esquématica y gráfica,
así:
−( −3) • 4 + ( −2 − 3)
3
SUMA
( −2 − 3) 3
−( −3) • 4
POTENCIA
PRODUCTO
−( −3)
UNIDAD 1.
4
OPUESTO
−3
E
B
−2 − 3
3
DIFERENCIA
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 15
−2
3
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Una vez realizado el análisis, y teniendo a la vista el diagrama, ya es muy sencillo leer la expresión en lenguaje ordinario: se realiza leyendo de arriba abajo:
La suma del producto del opuesto de - 3 por 4 , (después de acabar una rama
del diagrama se coloca una coma para indicar que pasamos a otra) más el cubo de la
diferencia de -2 menos 3.
Si se quiere hallar el valor de la expresión, una vez que has realizado el árbol de
análisis, se procede operando de abajo hacia arriba.
1.19.-Realiza el árbol de análisis, expresa en lenguaje ordinario y calcula su valor,
utilizando dicho árbol, en cada una de las siguientes expresiones numéricas :
a) 3 • ( 5 + ( -2) ) - 3 • 42
b) -3 • 4 - 5 • ( -2 + 3) - ( 2 • 4)2
c) -6 - 3 • 4 - 52
d) ( 2 - 3 )•{3 • 4 - 2 • (6 • 3 - 1)}
e) - (-3 - 4•2)2 - (-2 - 5)2 - (3•(-3))3
II. Expresar en lenguaje simbólico cualquier frase dada en lenguaje ordinario y factible de traducción.
El proceso de traducción del lenguaje ordinario al lenguaje simbólico, requiere
imprescindiblemente que se entienda el significado de las frases en lenguaje ordinario.
Este lenguaje no está sometido a reglas tan estrictas y rígidas como el simbólico, y
para expresar algo se puede hacer de varias formas sinónimas por lo que no se pueden
dar reglas precisas para la traducción del ordinario al simbólico. En cualquier caso hay
que tener muy en cuenta la composición sintáctica de las frases en lenguaje ordinario
para proceder a su traducción a la correspondiente expresión numérica, así como entender ciertos giros y expresiones idiomáticas que se utilizan en contextos diferentes.
Traduzcamos la frase:
La diferencia del producto de 2 por el cuadrado de la diferencia de 3 menos 4
, menos el producto del cuadrado de 3 por la suma de - 3 más 1.
Comenzamos a leer, haciendolo paso a paso:
La diferencia....
del producto......
de 2 por .....
el cuadrado de .....
la diferencia .....
de 3 menos 4 ...
, menos....
el producto .....
del cuadrado de 3 ...
por la suma .....
de -3 más 1.
UNIDAD 1.
(
)−(
)
Lo primero que se diga a continuación
vendrá referido al minuendo.
( •
)−(
)
( 2•
)−(
)2 ) − (
( 2•( ( 2•( 3 -4 ) )−(
2
)
)
)
significa pasar al sustraendo.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 16
UNIDAD 1 . NÚMEROS
)
( 2 • ( 3 - 4 ) ) − (3 •
( 2 • ( 3 - 4 ) ) − ( 3 • ( + ))
( 2 • ( 3 - 4 ) ) − ( 3 • (-3 +1))
2
2
2
2
2
2
Quitando paréntesis innecesarios quedaría:
2
2 • ( 3 − 4) − 32 • ( −3 + 1)
1.20.-Traducir a expresiones numéricas escritas simbólicamente, las siguientes frases :
a) El triple de la suma de -4 y 5.
b) La suma del triple de -4 , más 5.
c) El producto de -2 por la diferencia del producto de 3 por 5 , menos 4
d) La suma del producto de -4 por 2 y por el opuesto de 3 , más el producto de 3, 4 y 6.
e) La suma de los productos : de -10 con el cuadrado de 2 , de 4 con el
opuesto de 5 , y de los opuestos de 5 y 3.
f) La suma de la suma de -3 y -3 , más el producto de -3 , por el opuesto de
3 y por la diferencia del producto de -3 por el opuesto de 3 , menos 3.
g) El cuadrado de la diferencia del doble de -2 menos 2.
h) h)La diferencia del cuadrado del doble de -2 menos 2.
En el tema siguiente estudiaremos una nueva operación entre números enteros:
la división o cociente. Hay que recordar que la división entre números enteros no
siempre nos da un número entero como resultado, es decir, no siempre es exacta. Por
ahora nosotros sólo la tendremos en cuenta cuando sea exacta. Esta operación enriquece nuestro cálculo con números enteros por lo que vamos a dar las normas de escritura que relacionan esta operación con las restantes.
Separación de signos:
Los signos de la operación suma (+), diferencia (-), producto (•) y división o
cociente (÷ ó /) nunca pueden ir seguidos. Para separarlos hay que hacer uso de los
peréntesis, como en los ejemplos siguientes:
−8 ÷ ( −2)
- 20 ÷ ( -2 + 6)
Prioridad de operaciones:
El orden de la prioridad de operaciones es el siguiente:
POTENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES, SUMAS Y RESTAS.
Esto quiere decir que si en una expresión aparecen potencias, productos, divisiones, sumas y restas, éstas no siempre se pueden realizar en el orden en que
aparecen, sino que las potencias son las primeras en realizarse, los productos y la
división son los segundos a realizar, y por último las sumas y las restas, operando los
números anterior y posterior al signo correspondiente a la operación en cuestión.
Por ejemplo:
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 17
UNIDAD 1 . NÚMEROS
- 32 − 62 ÷ ( −3) = −9 − 36 ÷ 9 = −9 − 4 = −13
18 − 14 ÷ 7 = 18 − 2 = 16
2
1.21.- Efectúa las operaciones siguientes:
a) 12 ÷ 3 + 8
b) - 5 + 6 ÷ 2 -1
c) 4 • 3 - 2 + 5 - 8 ÷ 2
d) - 8 ÷ 2 2 − 2 • 5
Muy importante: Si se quiere dar preferencias a sumas o restas respecto de multiplicaciones, divisiones o potencias, entonces hay que utilizar paréntesis y encerrar en
ellos lo que primero se quiera hacer.
Observa en los siguientes ejemplos lo importante que son los paréntesis:
15 − 6 ÷ 3 = 15 − 2 = 13
(15 − 6) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3
La división y el producto tienen la misma prioridad. Se realizan en el orden en
que vienen en la expresión o sea de izquierda a derecha.
Ejemplos:
14 ÷ 2 • 3 = 7 • 3 = 21
5 • 8 ÷ 2 ÷ ( -4) = 40 ÷ 2 ÷ ( −4) = 20 ÷ ( −4) = −5
Si se quisiera cambiar la prioridad habría que introducir paréntesis:
18 ÷ ( 2 • 3) = 18 ÷ 6 = 3
5 • ( 8 ÷ ( -4)) ÷ 2 = 5 • ( −2) ÷ 2 = −10 ÷ 2 = −5
1.22.- Efectúa las siguientes operaciones:
a) 16 ÷ ( -5 + 7)
b)
d)
e)
( -2) • 7 • 3 ÷ 6
( 4 + 2) ÷ ( 9 − 7)
6 • ( -2) ÷ ( −3) • 5
c) - 80 ÷ 4 • 5
Potencia de un cociente:
Un cociente o división elevado a una potencia se escribe entre paréntesis. Por
ejemplo:
( −16 ÷ 2) 2 = ( −8) 2 = 64
−16 ÷ 2 2 = −16 ÷ 4 = −4
1.23.- Realiza las siguientes operaciones.
a ) - 8 ÷ ( -2)
b) 5 - 4 ÷ 2
c) - 5 + 4 ÷ 2 • 5 - 8
d)
f)
(8 - 6 ÷ 3) 2 − 6 ÷ 2 • ( 62 ÷ 3)
2
(5 + 3) ÷ 2 − ( 3 − 6 ÷ 3) 3 + (5 − 52 ) ÷ (5 • 2)
i ) 63 ÷ 2 2 − ( 3 − 8 ÷ 2 • 3 ÷ 2) − 32 • 6 ÷ 33
UNIDAD 1.
( )
e) - 8 ÷ 2 • ( -3) − −32 ÷ 9 + (10 ÷ 2)
2
h) - ( 6 -10 ÷ ( -2)) + 8 ÷ 2 − 1 • ( −3)
3
j)
( -3
2
+ 5 • 22
) ÷ (8 + ( −12)( −2 ))
2
2
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 18
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Recordando lo que hemos realizado anteriormente vamos analizar expresiones
numéricas donde intervengan divisiones.
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 19
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Sea la expresión:
−( −4 − 5) ÷ ( 2 + 1) − 12 • 7 ÷ (8 − 2 • 3)
2
2
DIFERENCIA
−( −4 − 5) ÷ (2 + 1)
12 • 7 ÷ (8 − 2 • 3)
2
COCIENTE
D
COCIENTE
D
d
−( −4 − 5)
(2 + 1)
OPUESTO DE
2 +1
7
12
POTENCIA
B
2
5
E
8− 2• 3
2
SUMA
DIFER.
-4
(8 − 2 • 3)2
PROD.
E
−4 − 5
d
12 • 7
2
POTENCIA
B
2
2
DIFER.
2•3
8
1
PROD.
3
2
Ayudados por el árbol de análisis, la expresión numérica formulada en lenguaje ordinario quedaría así:
La diferencia del cociente del opuesto de la diferencia del opuesto de 4 y 5
entre el cuadrado de la suma de 2 y 1, menos el cociente del producto de 12 y 7 entre
el cuadrado de la diferencia de 8 menos el producto de 2 y 3.
1.24.- Realiza el árbol de análisis, expresa en lenguaje ordinario y calcula su valor
utilizando dicho árbol para cada una de las siguientes expresiones:
a)
- 8 ÷ ( -2)
d)
(8 - 6 ÷ 3)
f)
(5 + 3) ÷ 2 − ( 3 − 6 ÷ 3) 3 + (5 − 52 ) ÷ (5 • 2)
b) 5 - 4 ÷ 2
2
(
)
− 6 ÷ 2 • 62 ÷ 3
c) - 5 + 4 ÷ 2 • 5 - 8
i ) 63 ÷ 2 2 − ( 3 − 8 ÷ 2 • 3 ÷ 2) − 32 • 6 ÷ 33
UNIDAD 1.
( )
e) - 8 ÷ 2 • ( -3) − −32 ÷ 9 + (10 ÷ 2)
2
2
h) - ( 6 -10 ÷ ( -2)) + 8 ÷ 2 − 1 • ( −3)
3
j)
( -3
2
+ 5 • 22
) ÷ (8 + ( −12)( −2 ))
2
2
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 20
UNIDAD 1 . NÚMEROS
Traduzcamos siguiendo el procedimiento expuesto anteriormente la frase:
El cociente de la suma de la mitad de 6 más 6, entre la suma del producto de 5
y 2 más el opuesto de 7.
Paso a paso:
El cociente .........
de la suma ..........
de la mitad de 6 ......
más 6 .....................
entre la suma ...........
del producto de 5 y 2.......
más el opuesto de 7.
(
)÷(
+ )÷(
(
(6 ÷ 2 + ) ÷ (
(6 ÷ 2 + 6 ) ÷ (
(6 ÷ 2 + 6 ) ÷ (
(6 ÷ 2 + 6 ) ÷ (
(6 ÷ 2 + 6 ) ÷ (
5• 2
5• 2
)
)
)
)
+
)
+
)
+ ( -7) )
Quitando los paréntesis innecesarios quedaría:
( 6 ÷ 2 + 6) ÷ (5 • 2 − 7)
1.25.- Traducir a expresiones numéricas escritas simbólicamente, las siguientes frases:
a) La cuarta parte de la suma de 20 y -4.
b) La suma de la cuarta parte de 20, más -4.
c) El cociente de 8, entre la diferencia del cociente de 4 entre 2 con 4.
d) El cubo del cociente de la mitad de 6, entre 3.
e) El cociente del cubo de la mitad de 6, entre 3.
UNIDAD 1.
TEMA 1. LOS NÚMEROS ENTEROS. Página 21