MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
12.10
Un paquete de 40 kg. Se encuentra sobre un plano inclinado cuando se le aplica una
fuerza P. Los coeficientes de fricción estática y cinética entre el paquete y el plano son:
0.30 y 0.25 respectivamente. Determine: la magnitud de P si se requieren 4 s para que el
paquete recorra 10 m al ascender por el plano.
∑ F=ma →
Tomando la dirección del movimiento como eje x.
→ ∑ Fx=ma
Pcos 500−Wsen 200−f r=ma [ 1 ]
↑ ∑ Fy=0
N−Psen 500−Wcos 200 =0 [ 2 ]
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Si f r =μN
De la ecuación
[ 1 ] se tiene:
f r=μN
0
0
Pcos 50 −Wsen 20 −μN=ma [ 3 ]
Despejando N de la ecuación
0
[ 2]
0
N=Psen 50 +Wcos 20
Sustituimos N en la ecuación
[ 3]
Pcos 500−Wsen 200−μ [ Psen50 0+ Wcos200 ] =ma
0
0
0
0
Pcos 50 −μPsen 50 =ma+Wsen 20 + μWcos20
P ( cos 500−μsen 50 0) =ma+W (sen 200 + μcos 20 0)
Despejando P de la ecuación:
0
P=
0
ma+W ( sen 20 + μcos 20 )
[4]
( cos 500−μsen 500 )
Siendo la aceleración la única incógnita, la calculamos utilizando las ecuaciones de
movimiento:
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
a=
dv
⟹ adt=dv
dt
Integramos con sus respectivos límites:
t
v
∫ adt =∫ dv ⟹ at=v−v 0
t=0
v0
v=
Sustituimos
at=
dx
dt
dx
dt
e integramos
atdt=dx
Evaluando en sus respectivos limites:
t
x
∫ atdt=∫ dx
t=0
x0
1 2
a t =x−x 0
2
Despejando la aceleración:
a=
2 ( x−x 0 )
t
2
[ m/ s2 ]
Sustituyendo valores:
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
a=
2 ( 10 )
m
=1.25 2
2
( 4)
s
Tomamos la ecuación [4] y considerando que
a=0 y μ=0.30
ma+W ( sen 200 + μcos 200 )
P=
(cos 500−μsen 500 )
Así la fuerza necesaria para iniciar el movimiento es:
P=
244.46
=591.91 N
0.413
La fuerza que se requiere para que el bloque se mueva a una aceleración de 1.25 m/s 2
(considerando μ=0.25) es:
ma+W ( sen 200 + μcos 200 )
P=
(cos 500−μsen 500 )
P=
276.02
=612.01 N
0.451
12.51
Una curva en una pista de carreras tiene un radio de 1000 ft y una rapidez
máxima de 120 mi/h. (Vea en el problema resuelto 12.6 la definición de velocidad
máxima.) Si se sabe que un automóvil de carreras comienza a derrapar sobre la
curva cuando viaja a una rapidez de 180 mi/h, determine a) el ángulo θ del
peralte, b) el coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las
condiciones prevalecientes, c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil
podría pasar la curva sin dificultades.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
El automóvil se traslada en una trayectoria circular de radio ρ = 1000 ft. La
2
componente normal an =v / ρ , la masa del auto es W / g . Puesto que no se
ejerce fuerza de fricción lateral sobre el auto, la reacción R de la pista se presenta
perpendicular al mismo. Aplicando la segunda ley de Newton:
+↑ ∑ F y =0
R cos θ−W =0 [ 1 ]
R=
W
[ 2]
cosθ
+ ¿ ∑ F N =ma n
→
¿
R senθ=
W
a [3 ]
g n
a) ángulo θ del peralte
Considerando que
2
an =v / ρ :
Sustituimos [2] en [3]:
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
2
( )( )
W
W
senθ=
cosθ
g
v
ρ
v 2=gρ tanθ
θ
Despejando
v2
gρ
θ=tan −1
θ=tan
(
−1
177
ft
s
2
)
(
( 1000 ft ) 32.2
ft
s2
)
θ=44.210
an =v 2 / ρ
ft 2
s
m
an =
=31.32 2
1000 ft
s
(
177
)
b) coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista bajo las condiciones
prevalecientes.
→ ∑ Fx=ma
→−F N +Wsenθ =ma
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Con
a=0
F N =Wsenθ
Pero:
μS =F N ↔ μ S=Wsenθ
↑ ∑ F y=0
N−Wcosθ=0
μS =Wcosθ
Así que:
μS =
Wsenθ
=tg θ
Wcosθ
μS =0.972
c) la rapidez mínima a la cual el mismo automóvil podría pasar la curva sin
dificultades.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Iniciamos el análisis de movimiento y plateamos las ecuaciones del mismo, en
este caso Movimiento normal y tangencial.
→ ∑ F N =m an
R=F + N
Sabiendo que
R sen ( μ S−θ )=m
y
an =
v2
ρ
v2
[4]
ρ
↑ ∑ F y =0
R cos ( μS −θ ) −W =0
R cos ( μS −θ ) −W =mg[5 ]
De lo anterior deducimos por identidad trigonométrica:
v2
R sen ( μs −θ ) m ρ
=
R cos ( μs−θ ) mg
Y despejando la velocidad:
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
v min =√ gρtg ( μS −θ )
v min =80.86
ft
s
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
12.5 Un bloque de 40 lb inicia su movimiento desde el reposo desplazándose
hacia arriba cuando se aplican fuerzas constantes de 10 y 20 lb sobre las
cuerdas que lo sostienen. Si se ignoran las masas de las poleas y el efecto de
fricción, determine la velocidad del bloque después de que se ha movido 1.5 ft
Analizando por poleas se tiene:
F=ma
Por lo tanto
a=
f
m
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
2
322 lbft / s
a=
40lb
a=8.05 ft / s ²
a=
dv
dv
=v=
dt
dy
ady=vdv
y
v
a=∫ dy=∫ vdv
y0
0
1
a(Y −Y ₀)= V 2
2
V 2=2 a ( y− y 0 )
V =√ 2(8.05
V =4.91
ft
)(1.5 ft )
2
s
ft
s
12.5 La plomada de un péndulo de 2 m describe un arco de círculo en un plano
vertical. Si la tensión de la cuerda de estos puntos es cinco veces el peso de la
plomada en la posición que se indica, determine la velocidad y la aceleración de
la plomada en esa posición.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
DEL DCL SE TIENE QUE
2
∑ F N =ma n an=
v
ρ
T −mg cosθ=ma n
Si T =5 mg
5 mg−mgcosθ=ma n
mg (5−cos θ)=m an
an =g (5−cos θ)
¿ 9.8
m
(5−cos 30)
2
s
an =40.51
m
2
s
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
2
an =
v
entonces
ρ
√
v =√ an ρ= (40.51
v =9.0
m
)(2 m)
s2
m
s
12.6 Determine la velocidad máxima de la curva de una autopista de radio
ρ=400 ft que tiene un ángulo de peralte de θ =18 ° . La velocidad máxima
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
de la curva peraltada de una autopista es aquella a la cual un automóvil debe
viajar para que no exista fuerza de rozamiento lateral en sus neumáticos.
+↑ ∑ F y =0
.
R cosθ−W =0
R=
W
[ 1]
cosθ
+ ¿ ∑ F n=m an
←
¿
R senθ=
W
a [2 ]
g n
( 1)
Al sustituir R de
en
2
( )( )
W
W
senθ=
cosθ
g
v
ρ
2
v =gρ tg θ
√(
v = 32.2
ft
( 400 ft ) tg 180
2
s
)
( 2)
y recordando que
v2
an =
ρ
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
v =64.7
ft
mi
=44.1
s
h
12.46 En el transcurso de una persecución a alta velocidad, un automóvil
deportivo de 2400lb que viajaba a una rapidez de 100 mi/h apenas pierde
contacto con el camino cuando alcanza la cresta A de una colina.
a)
ρ
Determine el radio de curvatura
del perfil vertical del camino en A. b)
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
utilizando el valor de ρ . Que se encontró en el inciso anterior a), determine la
fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160lb que conduce un automóvil
de 3100lb, cuando este último, viajando a una rapidez constante de 50 mi/h, pasa
por A.
Datos:
g=32.2 ft /s
2
W 1 =2400lb
auto
v =100 mi/h =146.66 ft/s
a) Determine el radio de curvatura
ρ
del perfil vertical del camino en A.
W pers =160 lb
W 2 3100 lb
auto
v =50 mi/h =73.33 ft/s
b) utilizando el valor de ρ . Que se encontró en el inciso anterior a), determine
la fuerza que ejerce el asiento de un conductor de 160 lb que conduce
un automóvil de 3100 lb, cuando este último, viajando a una rapidez constante de
50 mi/h, pasa por A.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Teniendo realizada las conversiones de la velocidad a pies por segundo. De acuerdo al
diagrama de cuerpo libre, se procede analizar con la ecuación de la segundo ley Newton.
+↓ ∑ F n=ma n
m=
2
W
g
a=
y
v
ρ
W1
∗v 2
g
=
ρ
auto
∴W 1
auto
Despejando
ρ
en la ecuación anterior se tiene:
g∗¿
W 1 ∗v2 v 2
ρ=
=¿
g∗W 1
auto
auto
ρ=
(146.66 ft /s )2
=667.98 ft
9.81 m/s 2
Para el inciso b) se analiza el diagrama de cuerpo libre sig.:
Como la velocidad es constante, entonces se tiene que
at =0 , por lo tanto,
solo se analizara la aceleración normal que ejerce el conductor.
+↓ ∑ F n=ma n
W pers 2
∗v
g
W pers−N =
ρ
Despejando n se tiene:
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
W pers 2
∗v
g
N=W pers−
ρ
2
v
N=W pers(1−
)
g∗ρ
2
73.33 ft /s ¿
(¿ ¿ 32.2 ft / s2∗667.98 ft )
1−¿
N =160 lb¿
N=119.984 lb
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
12.44. Un niño que tiene una masa de 22 kg se sienta sobre un columpio y un segundo
niño lo mantiene en la posición mostrada. Si se desprecia la masa del columpio,
determine la tensión en la cuerda AB a) mientras el segundo niño sostiene el columpio
con sus brazos extendidos de manera horizontal, b) inmediatamente después de soltar el
columpio.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Diagrama de cuerpo libre:
a)
Σ F y =0
ο
T AB cos 35 −W =0
ο
T AB cos 35 −22 kg x 9.81
T AB =
m
=0
s2
215.82
=263.4
cos 35ο
La tensión se divide en dos cuerdas
263.4
=131.7 N
2
b)
Σ F=ma
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
El movimiento que hace el columpio es curvilíneo por lo tanto tenemos una aceleración
normal y tangencial
En
t=0 ;
v =0
2
entonces
an =
v
=0
ρ
Hacemos una sumatoria de fuerzas normales
Σ F n=0
BA−¿ wcos35 °=0
T¿
BA−¿ 176.8=0
T¿
T BA=
176.8
=88.39 N
2
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
12.26 Un resorte AB de constante k se une a un soporte A y a un collarín de
masa m. La longitud no alargada del resorte es l. Si se suelta el collarín desde el
reposo en x = x0 y se desprecia la fricción entre el collarín y la varilla horizontal,
determine la magnitud de la velocidad del collarín cuando pasa por el punto C.
Diagrama de cuerpo libre
El movimiento del collarín es en el eje X por lo
tanto hacemos el análisis de fuerzas en este
eje
ΣF=ma
Σ F x =ma
−F R cos θ=ma
Donde:
x
√ x 2+l2
cos ¿
θ=¿
La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte sobre un cuerpo es proporcional
a la deformación x del resorte a partir de la posición inicial x 0
F=Kx
F=K √ x 2 +l 2−l
2
2
- K √ x +l −l
x
(√ )
k
2
2
- m √ x +l −l
2
x +l
(
2
=ma
x
=a
√ x 2 +l2
)
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
k
xl
x−
=a
- m
√ x2 +l2
(
)
Como tenemos
a
Sabemos que
a=v
la integramos para obtener la velocidad
dv
dx
Usamos esta ecuación porque necesitamos conocer la velocidad y las ecuaciones
anteriores están en función de la posición x y l
x=x 0 ;
En t=0 ;
v =0
Integramos
v
0
∫ vdv= −k
∫
m
0
x0
(
x−
xl
dx
√ x 2+ l 2
[
)
]
1 2 −k 1 2
v=
x −l √ x2 +l 2 0
2
m 2
x0
[ (
1 2 −k
v=
(−l 2 ) − 1 x 02−l √ x 02 +l2
2
m
2
v=
√
)]
k
( √ x 02 +l2−l )
m
Problema 12.49 Una piloto de 54 kg vuela un jet de entrenamiento en una media vuelta
vertical de 1 200 m de radio de manera que la velocidad del jet disminuye a razón
constante. Si se sabe que los pesos aparentes de la piloto en los puntos A y C son
respectivamente de 1 680 N y 350 N, determine la fuerza que ejerce sobre ella el asiento
del jet cuando éste se encuentra en el punto B.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Dadom=54 kg ; at =constate A +C :
( W A ¿ A =1680 N
( W c ¿c=350 N
Finalmente ( F piloto)
El peso aparente del piloto es igual a la fuerza vertical que ella ejerce sobre el asiento del
avión de entrenamiento.
Ya que at =es constante de A a C .
2
+↑ Σ F n=m an : N A −W =m
v
→ va
ρ
N A −mg v 2 n
=
m
ρ
m/¿ s
1680 N
−9.81 ¿
54 kg
¿
2
m / ¿s
2
2
2
A
v =( 1200 ) ¿
√(
ρ
NA
−g
m
)
¿ v A =159.87
m
s
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
DCL A
+↓ Σ F n=m an : N c +W =m
v2
ρ
N A −mg v 2 n
=
m
ρ
m/¿ s
350 N
+9.81 ¿
54 kg
¿
2
m /¿s
2
v c =( 1200 m ) ¿
2
2
N
(
√ m −g)
ρ
v C =139.82
m
s
A
¿ vC
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
at =cte .
Desde
teniendo desde
v 2c =v 2A +2 at Δ S AC
A a C . Ecuación de MUA.
↔V 2 =V 20 +2 a( X −X 0 )
V 2=V 20 +2 a( ∆ S AC )
2
m /s
1954.7
2
=25561.3
2
m /s
2
+
2 at ( π∗1200 m )
19549.7 m2 /s 2−25561.3 m2 /s 2
2400 π
at =¿
at =−0.79730 m/s
= -0.79730
2
Entonces desde A a B
2
2
v B=v A +2 at Δ S AB
2
2
¿ 25561.3 m/s +2(−0.79730 m/s )(
v 2B=22555.54 m2 /s 2
π
x 1200 m)
2
m/ s 2
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
+← Σ F n=m an : N B−W =m
N B =5 4 Kg (
V 2B
ρ
22555 m2 /s 2
) = 1014.98 N
1200 m
+↓ Σ Ft =m at : w+ PB m|at|
P=m at −w
P=m( at−mg)
PB =( 54 K g ) ( 0.79730−9.81 ) m/s 2
PB =486.69N ↑
F
¿
¿
¿
=
√N
2
B
+ P2B
=
√(1014.98)2+(486.69)2
F Piloto ¿ B=1126 N
¿
(
F PILOTO ¿ B=1126 N ∢ 25.6 0
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Problema 12.9. Un paquete de 20 kg se encuentra en reposo sobre un plano inclinado
cuando se le aplica una fuerza P. Determine la magnitud de P si se requieren 10 s para
que el paquete recorra 5 m hacia arriba por el plano inclinado. Los coeficientes de fricción
estática y cinética entre el paquete y el plano inclinado son iguales a 0.3.
m=20 kg
t=10 s
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
x=5 m
Usando la ecuación de movimiento se determina la aceleración
1
x=x 0+ v 0 t+ a t 2
2
a=
5 (2)
m
=0.1 2
2
10
s
Haciendo sumatorias de fuerzas en
xyy
∑ F y =0
N−wcos 20−P sen 50=0
N=mgcos 20+ P sen 50 [ 1 ]
Fr =μk ∗N
∑ F x =ma
P cos 50−w sen 20−μk N=ma [ 2 ]
Despejando la ecuación 1 en 2
P cos 50−mg sen 20−μk (mg cos 20+ P sen 50)=ma
Resolviendo para P
P cos 50−67.1−0.3(184.36+ P sen 50)=2
P cos 50−0.3 ( P sen 50 )=2+67.1+55.3
P=
124.4
=301.22 N
cos 50−0.3 sen 50
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Problema 12.12 Los dos bloques que se muestran en la figura se encuentran
originalmente en reposo. Si se desprecian las masas de las poleas y el efecto de fricción en
éstas y se supone que los componentes de fricción entre el bloque A y la superficie
horizontal son
μ s=0.25
tensión en el cable.
y
μ k=0.20 , determine a) la aceleración de cada bloque, b) la
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Determinando si los bloques se moverán donde primero suponemos que no se mueven
por lo tanto:
a A =a B=0
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Haciendo sumatorias de fuerzas
∑ F y =0
w B−3 T =0
1
T = mB g [ 1 ]
3
∑ F x =0
Fa −T =0
FrA −T =0 [ 2 ]
Despejando
FrA
y sustituyendo la ecuación
1
m
FrA = ( 25 kg ) 9.81 2 =81.75 N
3
s
(
∑ F y=0
w A−N A =0
N A =m A g [ 3 ]
)
[ 1 ] en [ 2 ] :
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
Frmax =μs A∗N A [ 4 ]
Frmax =μsA∗m A g
[ 3 ] en [ 4 ]
Despejando ecuación
Frmax =0.25∗30 kg∗9.81
F A > Frmax
m
=73.575 N
s2
Esto implica que el bloque se moverá
Entonces se utilizara el coeficiente de fricción dinámico para resolverlo, entonces
haciendo sumatorias de fuerzas
∑ F y =0
Para el bloque A
w A−N A =0
N A =m A g
Fr =μkA∗N A
Fr =0.2∗m A g [ 5 ]
∑ F x =mA a A
Para el bloque A
Fr −T =m A a A [ 6 ]
Despejando
T
y sustituyendo la ecuación
[ 5 ] en [ 6 ] :
T =0.2∗m A g−3 mA aB [ 7 ]
∑ F y =mB a B
Para el bloque B
w B−3 T =m B aB [ 8 ]
Sustituyendo la ecuación
[ 7 ] en [ 8 ] y resolviendo para
aB
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
mB g−3 (0.2∗m A g+3 m A a B )=mB a B
245.25−176.58−270 aB =25 a B
a B=
−68.67
m
=0.2327 2
−295
s
Despejando para T
T =(0.2∗30 kg∗9.81
m
m
)+(3∗30 kg∗0.2327 2 )
2
s
s
T =79.803 N
Despejando para
aA
Fr −T =m A a A
F
(¿¿ r−T ) 0.2∗m A g−T
=
mA
mA
a A =¿
0.2∗(30 kg)(9.81
aA=
a A =−0.698
30 kg
m
s2
m
)−79.803
s2
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
.
MECANICA II: EJERCICIOS
UNIDAD 2
0
