limites

Bloque 4. Cálculo
Tema 2 límites
Ejercicios resueltos
4.2-1 Resolver los siguientes límites:
x3  1
;
x 1 x 2  1
a) lim
d)
lim
x 0
b) lim
x 5
;
x 2  25
e) lim
x2  2x
;
x2  4 x  4
x 5
x2  2
;
x
x 2
x 1  2
;
x 3
c ) lim
x 3
f ) lim
 x  h 3  x 3
h
h 0
Solución
x3  1
0 
indeterminación de la forma   .
2
x 1 x  1
0 
descomponemos
en
factores
numerador
y
simplificamos y por último sustituimos x por -1:
Para
a) lim
evitarla,
denominador,
 x  1  x 2  x  1
x3  1
x2  x  1
3
 lim
 lim

lim 2
1
x 1 x  1
x 1
x

x 1
2
 x  1 x  1
x 5
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
2
x 5 x  25
0 
descomponemos
en
factores
numerador
y
denominador,
simplificamos y por último sustituimos x por 5:
b) lim
lim
x 5
x 5
x 5
1
1
 lim
 lim

2
x  25 x 5  x  5  x  5  x 5 x  5 10
x 1  2
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
x 3
x 3
0 
racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 3:
c) lim
lim
x 3
x 1  2
 lim
x 3
x 3
 lim
x 3
G3w

x 1  2
 x  3 
x 1  2
x 1  2
x 3
 x  3 
Conocimientos básicos de Matemáticas.

x 1  2


  lim
x 3
 lim
x 3

x 1  4
 x  3 
1
x 1  2


x 1  2


1
4
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 1
x 2  2
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
x
0 
racionalizamos, simplificamos y por último sustituimos x por 0:
d) lim
x 0
lim
x 0
x 2  2
 lim
x 0
x

 lim
x 0
x2  2
x
x



x 2  2
x 2  2
x 22
x 2  2


 lim
x 0

1
1
2


4
x 2  2 2 2
x2  2x
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
2
x 2 x  4 x  4
0 
descomponemos
en
factores
numerador
y
denominador,
simplificamos y por último sustituimos x por 2:
e) lim
lim
x 2
x  x  2
x2  2x
x
 lim
 lim
 
2
2
2
2
x

x

x  4x  4
 x  2
 x  2
3
 x  h   x3
0 
indeterminación de la forma   . Para evitarla,
h 0
h
0 
realizamos las operaciones que se nos indica en el numerador,
simplificamos y por último sustituimos h por 0:
f) lim
lim
3
 x  h   x3
h 0
4.2-2 Resolver:
h
x 3  3 x 2 h  3 xh2  h 3  x 3

h 0
h
3 x 2 h  3 xh2  h3
 lim
 lim  3 x 2  3 xh  h 2   3x 2
h 0
h 0
h
 lim
lim
x 
2x  3
x3 x
Solución
Indeterminación de la forma


. Para evitarla, dividimos numerador y

denominador por x :
2x  3
3
2
2x  3
x 2
lim
 lim x3  lim
3
x  x  3 x
x  x 
x

x
x
1
x
x
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 2
3


0
lim

x  x


3
lim x  lim 3 x  lim 3 1  0 
x 

x 3 x  x 2
 x  x
4.2-3 Resolver:
lim x
x 

x2  1  x

Solución
   . Para evitarla, en primer lugar
Indeterminación de la forma
racionalizamos:
lim x
x 

2

x  1  x  lim
x

x2  1  x

x 
 lim
x 

x2  1  x
x  x2  1  x2 

x2  1  x
x2  1  x


 lim
x 


x
x2  1  x

En la última expresión dividimos numerador y denominador por x, con lo
cual obtenemos:
lim
x 




x
1
1
x
 lim

x

2
2
1
x 1  x 
1  2 1

x

x

4.2-4 Resolver:
lim
x 
x
x x x
Solución
Indeterminación de la forma
denominador por
G3w


. Para evitarla, dividimos numerador y

x:
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 3
lim
x 
x
x x x
 lim
x 
x
x
x x x
x
1
 lim
x 
1
x x
x
1
n
 1
4.2-5 Sabemos que lim  1    e
n 
 n
x
Resolver:
 1
a) lim 1   ;
x  
x
 1
b) lim 1  
n  
n
x
d)
 x 3
e) lim 

x 
 x 1 
2

lim  1   ;
x 
x

n 5
 1
; c ) lim 1  
x  
x
3x
x 3
Solución
x
 1
a) lim 1   Indeterminación de la forma 1 
x 
x

n
 1
Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e
n 
 n
Hacemos un cambio de variable:
T    x  1  x  T  1
Si x    T  
Con este cambio:
x
1 
 1

lim 1    lim 1 

x  
T

T  1 
x

 T 1 1 
 lim 

T   T  1 
1

 lim 1  
T  
T
 1
b) lim 1  
n 
 n
n 5
 T 1
 T 1
 T 1
1 

 lim  1 

T  
T 1 
 T 
 lim 

T   T  1 
  T 1
 T 1

 T 1 
 lim 

T   T

 T 1

T
1 
1

 lim 1    1    e 1  e
T  
T  T
Indeterminación de la forma 1 
n
G3w
 1
Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e
n 
 n
Conocimientos básicos de Matemáticas.
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 4
 1
lim  1  
n 
 n
n 5
 1
c ) lim  1  
x 
x

5
n
 1  1
 lim  1   1    e 1  e
n 
n  n

3x
Indeterminación de la forma 1 
n
 1
Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e
n 
 n
 1
lim  1  
x 
x

3
3
x
 1  x  
 1 
 lim  1     lim 1     e3
x 
x    x  
x 

3x
x
d)
2

lim 1   Indeterminación de la forma 1 
x 
x

n
 1
Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e
n 
 n
x

 x


2
1    T  x  2T 

lim  1    lim  1    2

x 
x 
x
x




 x    T  
2 

x
1

 lim  1  
T 
 T
 x 3
e) lim 

x 
 x 1 
x 3
2T
2
T

1 
 lim 1     e 2
T 
 T  
Indeterminación de la forma 1 
n
 1
Tenemos que escribirlo de la forma del número e : lim  1    e
n 
 n
 x 3
lim 

x 
 x 1 
x 3
 x 1  4 
 lim 

x  
x 1 



1 
 lim  1 
x 
x 1 


4 

1

 lim  1  
T  
T
G3w
x 3
 x 1  4
4T 4
Conocimientos básicos de Matemáticas.
4 

 lim 1 

x  
x 1 
x 3
4 

 lim 1 

x  
x 1 
 x 1  4

 x 1

 T  x  1  4T 

 4

 x    T  

1

 lim 1  
T  
T
4T
4
1

 lim 1    e 4 1  e 4
T  
T
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 5

n
n 1 
lim 


n 
n2 
 n 1
4.2-6 Resolver:
Solución


. Sabemos que el límite de una suma

es la suma de los límites, por lo tanto:
Indeterminación de la forma

n
n 1 
n
n 1
lim 

 lim
 lim
 1 1  2

n 
n  2  n n  1 n n  2
 n 1
También lo podríamos resolver racionalizando.
4.2-7 Resolver:
lim
n 

n 4  2n 3   n 2  n 

Solución
Indeterminación de la forma    . Racionalizamos:
lim
n 

n  2n   n
4
3
2

 n    lim
n 4  2n 3   n 2  n 

n 
 lim
n 
 lim

n 4  2n3   n2  n 
 lim


n  2n   n  n 
3


2
n 4  2n3   n2  n 
4
n 4  2n3   n2  n 
n 4  2n 3   n 2  n 

n 4  2n 3  n 4  2n 3  n 2
n 
n 

2


n 2
n 4  2n3   n2  n 
Dividiendo numerador y denominador por n2 obtenemos:
lim
n 
G3w
1
1

2
2
1
1  1 
n
n
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ejercicios resueltos 6
4.2-8 Resolver:
lim
x 7
2 x 3
x 2  49
Solución
0 
Indeterminación de la forma   . Racionalizamos, descomponemos en
0 
factores, simplificamos y finalmente sustituimos x por 7:
lim
x 7




2 x 3 2 x 3
4   x  3
2 x 3

lim
 lim 2

2
2
x 7
x  49
 x  49  2  x  3 x7  x  49  2  x  3
 lim
x 7

7x
 x  7  x  7   2  x  3 
  lim
x 7
4.2-9 Resolver:

1
 x  7  2  x  3 

  lim
x 7

x 7
 x  7  x  7   2  x  3 

1
1

14  4
56
1 x  1 x
x
lim
x 0
Solución
0 
Indeterminación de la forma   . Racionalizamos, simplificamos y
0 
sustituimos x por cero:
lim
x 0
1 x  1 x
 lim
x 0
x
 lim
x 0
 lim
x 0
G3w

1 x  1 x
x
x




1 x  1 x
1  x  1  x 
1 x  1 x
2
1 x  1 x
Conocimientos básicos de Matemáticas.
1 x  1 x


 lim
x 0

x


2x
1 x  1 x


1
Bloque 4. Cálculo. Tema 2. Límites
Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González
MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza
Ejercicios resueltos 7
4.2-10 Resolver:
lim
x 64 3
x 8
x 4
Solución
0 
Indeterminación de la forma   .
0 
Vamos ha realizar un cambio de variable. Como el mínimo común de los
índices de las raíces es 6:
y6x
Si x  64  y  6 64  2 con lo cual:
lim
x 64 3
y3  8
x 8
 lim 2
x  4 y 2 y  4
Descomponemos en factores, simplificamos y sustituimos y por 2:
y 2  2y  4 
 y  2   y 2  2y  4 

y3  8
lim 2
 lim
 lim
3
y 2 y  4
y 2
y 2
y2
 y  2  y  2 
G3w
Conocimientos básicos de Matemáticas.
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Ejercicios resueltos 8