Documento 895019

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un experimento
aleatorio. En muchos de los ejemplos relativos a experimentos aleatorios que han
sido considerados hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los
posibles resultados. En algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en
otros se hace útil asociar un número con cada resultado del espacio muestral. Es
así como se llega a la definición de variable aleatoria.
Una variable aleatoria X es una función que asigna un número real a cada
resultado en el espacio muestral  de un experimento aleatorio. El conjunto de los
posibles valores de la variable aleatoria X se denomina rango. Diremos que la
variable aleatoria es discreta si su rango es finito (o infinito contable).
A menudo el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria X
tome un valor particular x, esto se denota P(X=x). La distribución de probabilidad
de X será entonces la descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de
X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. La
distribución de probabilidad de una variable aleatoria es a menudo el resumen
más útil de un experimento aleatorio.
Diremos que la función p(x)=P(X=x) que va del conjunto de valores posibles de
la variable aleatoria X al intervalo [0, 1] es la función distribución de
probabilidad para X si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades:
0  p(x)  1 para todo x
 p x   1
x
Se define la distribución acumulada F(x) para la variable aleatoria X como
F(x) = P(X  x) =
 p t 
tx
Ejemplo 1
Experimento aleatorio: se lanza una moneda 3 veces
 = {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss }
Sea X : # caras observadas
x
p(x)
0
1
1
8
3
2
8
3
3
1
8
8
La distribución anterior es una distribución de probabilidades para la variable
aleatoria X, en efecto 0  p(x)  1 para todo x (x = 0, 1, 2 y 3) y además
p x  1. Para determinar la distribución acumulada de probabilidad observe

x
que
P(X  0) = P(X = 0) = 1
8
P(X  1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1 + 3
8
1
8 = 2
P(X  2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1 + 3
8
7
3
8 + 8 = 8
P(X  3) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 1 + 3
8
1
3
8 + 8 + 8 =1
Se tiene entonces,
x
F(x)
0
1
8
1
1
2
2
7
8
3
1
Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de
X se repite muchas veces, entonces se obtiene una secuencia de valores para X.
A partir de esta secuencia de valores se puede identificar el valor promedio o valor
esperado de la variable aleatoria X, que denotamos EX , y se define en la forma
siguiente:
EX =
 xp x
x
Propiedades:
a) E(k)=k
b) E(kX)=kE(X)
c) E(XY)=E(X)E(Y)
d) E(g(X))=g(x)p(x)
e) Si X y Y son independientes entonces E(XY)=E(X)E(Y)=XY
Para el ejemplo dado, EX =
 xp x = 0 p0   1p1  2p2  3p3
x
1
8
= 0 .  1.
3
3
1 12 3
 2.  3.  
8
8
8 8 2
A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria.
Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X, denotada VX , ó σ2
mediante la siguiente ecuación:
V(X) = E [(X-E(X))2] y su forma reducida es:
 
VX = E X2  EX2
 2  =  x2 p x
Donde, E X
x
 2  = 0 2 p0   12 p1  22 p2  32 p3
Para el ejemplo dado, E X
1
8
= 0 .  1.
3
3
1 24
 4.  9.   3
8
8
8 8
 3  12 9 3

Entonces, VX = 3    
4
4
 2
2
a)
b)
c)
d)
V(k)=0
V(kX)=k2V(X)
V(XY)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientes
V(aX+bY)= a2V(X)+b2V(Y)+2abCov(XY)
Donde Cov (XY) = E ((X-X)(Y-Y)) = E(XY)-XY
La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz cuadrada positiva de
la varianza, es decir, σ = VX .