LEYES LÓGICAS
EQUIVALENCIAS NOTABLES
Estos principios lógicos permiten transformar de los esquemas llamado origen a otro llamado
derivado que será de absoluta equivalencia, para ello es necesario usar de manera adecuada y
correcta cada uno de los principios lógicos. Los principios más comunes son:
1) La Conmutación (COM).- Es aplicable a fórmulas conjuntivas, disyuntivos débiles y
bicondicionales, si se cambian de lugar sus componentes, resultado será el mismo. No
hay alteración alguna.
( A B ) ( B A )
(AvB) (B v A)
( A B ) ( B A )
Demostración a través de un ejemplo:
( p q ) ( q p )
Si esta fórmula es reemplazada por proposiciones tenemos:
Javier Rodríguez Flores estudia en la Universidad y Miguel Rojas Acuña trabaja en una
empresa naviera.
Aplicando la conmutación dice:
Miguel Rojas Acuña trabaja en una empresa y Javier Rodríguez Flores estudia en la
Universidad.
Como se puede observar no hay variación en el mensaje, las dos proposiciones son
equivalentes.
También podemos demostrar a través del método de tablas:
(p q) (q p)
V V V
V V V
V F F
F F V
F F V
V F F
F F F
F F F
Ambos resultados son equivalentes.
2) La Doble negación (DN).- Según este principio: "Toda doble negación equivale a una
afirmación". Es decir, toda proposición doblemente negada equivale a una afirmación. Ejemplo:
Es falso que no estudie en la Universidad. Equivale a decir: Estudio en la Universidad.
Simbólicamente se representa:
~~AA
1
Nota: Cuando el número de negaciones es impar, entonces es negativo, caso contrario
(cuando las negaciones son pares) se considera afirmativo.
3) La idempotencia (IDEM).- Es aplicable sólo en fórmulas conjuntivos y disyuntivos débiles.
Según este principio, las variables redundantes en fórmulas conjuntivos o disyuntivos débiles
pueden reducirse a una sola.
Es decir:
( A A A A A ) A
(AvAvAvAvAvA) A
Ejemplo: ( ~ p v q ) v ( ~ p v q ) v ( ~ p v q ) ~ p v q
4) La Asociatividad o Ley asociativa (ASOC).- Considera que los elementos o componentes
de igual jerarquía en esquemas conjuntivos, disyuntivos débiles y bicondicionales se pueden
agrupar indistintamente y no existe alteración alguna puesto que son equivalentes ambos
esquemas.
[ A (B C ) ] [ ( A B) C]
[ A v (B vC ) ] [ ( A vB) v C]
[ A (B C ) ] [ ( A B) C]
Ejemplo: ( p q r ) [ p (q r ) ] [ ( p q) r]
5) La absorción (ABS).- Este principio permite abreviar la distribución reduciendo el número
de variables al mínimo pero sólo en esquemas conjuntivos y disyuntivos débiles. Los
disyuntivos de mayor jerarquía absorben a los conjuntivos de menor jerarquía y viceversa.
[ ( A B ) v A ] A
[ ( A B ) v ~ A ] ( B v ~ A )
[ ( A v B ) A ] A
[ ( A v B ) ~ A ] ( B ~ A )
6) La distribución (DIST).- Según estas leyes la distribución puede presentarse en dos casos:
a) Cuando es la distribución del conjuntivo al disyuntivo, que consiste en uno de los
miembros del esquema conjuntivo se atribuye a cada miembro del disyuntivo. El equivalente es
una disyunción de conjunciones.
Ejemplos:
1)
(~A B)vC
Ejemplo:
2)
( ~ p q ) v ( ~ p r )
( A v B ) ( C v D )
Ejemplo:
[ ( p r ) v ( p s ) ] v [ ( q r ) v ( q s ) ]
2
b) Cuando la distribución del disyuntivo al conjuntivo que consiste en que cada miembro
del esquema disyuntivo se distribuye en cada miembro del conjuntivo. El equivalente es una
conjunción de disyunciones.
Ejemplos:
1)
A v ( ~ B ~ C )
Es equivalente a:
2)
( p v ~ q ) ( p v ~ r )
~ A ( B ~ C )
Ejemplo:
( ~ p q ) (~ p ~ r )
7) Leyes de De Morgan (DM).- Son equivalentes los esquemas conjuntivos y disyuntivos.
Conjunciones no negadas son equivalentes a disyunciones negadas y viceversa.
A B) ~ ( ~ A v ~ B )
A v B) ~ ( ~ A ~ B )
~ ( A B ) ~ A v ~ B
~ ( A v B ) ~ A ~ B)
8.- Definiciones del condicional (Def.Cond.).
Una formula condicional es equivalente a otras en los siguientes casos:
a) A un esquema disyuntivo débil cuyo primer elemento es negado.
(AB) (~AvB)
b) A un esquema conjuntivo negado cuyo segundo elemento es negado también.
(AB)~(A~B)
9) Definición del bicondicional (Def. Bicond.).
Una formula bicondicional es equivalente a otras en dos casos que son:
a) A una conjunción de condicionales, donde la segunda condicional presenta sus
componentes invertidos.
( A B ) [ ( A B ) (B A ) ]
b) A una disyunción de conjunciones, donde la segunda conjunción presenta sus
componentes negados.
( A B ) [ ( A B ) v ( ~ A ~ B ) ]
3
10) La transposición (TRANS).- Es aplicable solo en formulas condicionales y bicondicionales
(a este último se le llama transposición simétrica). Según este principio, estos esquemas son
equivalentes a si mismas, pero con sus componentes invertidos y negados.
a) ( A B ) ( ~ B ~ A )
b) ( A B ) ( ~ B ~ A )
TAUTOLOGÍAS NOTABLES
Son leyes lógicas que permiten llegar a una conclusión de las premisas o antecedentes
propuestos, tomando en cuenta el uso adecuado. Entre las principales leyes tenemos:
a) Modus Ponens (MPP):
Estructura
Fórmula
AB
: Premisa 1
Premisa 2
A
Conclusión
B
: [ ( p q ) p ] q
Es decir si afirmamos el antecedente de una premisa condicional, entonces podemos llegar a la
conclusión de afirmar su consecuente. Ejemplo:
Si los niños tienen juguetes entonces están contentos. Los niños tienen juguetes. Por lo tanto
están contentos.
b) Modus Tollens (MTT):
Estructura
P1)
AB
P2)
~B
~ A
Fórmula
: [ ( p q ) ~ q ] ~ p
Según esta ley, Si negamos el consecuente de una premisa condicional, entonces podemos
concluir en la negación de su antecedente.
Ejemplo:
Si José es profesional entonces estudió en la Universidad. José no estudió en la Universidad.
Por lo tanto José no es profesional.
c) Silogismo Disyuntivo (SD):Estructura:
a)
P1)
AvB
Fórmula
P2)
~A
[ ( p v q ) ~ p ] q
B
b)
P1)
AvB
Fórmula
P2)
~B
[ ( p v q ) ~ q ] p
A
4
Esta ley establece que si negamos uno de los miembros de una premisa disyuntiva,
entonces podemos concluir en la afirmación del otro miembro.
d) Silogismo Hipotético puro (SHP):
P1)
AB
P2)
BC
Fórmula
AC
[(pq) (qr)](pr)
Según esta ley, de dos o más esquemas condicionales en conjunción, se concluye el
antecedente del primer condicional con el consecuente del último condicional, unidos por un
condicional.
e) Transitividad Simétrica (TS):
P1)
AB
P2)
BC
A C
[ ( p q ) ( q r ) ] ( p r )
Esta ley establece que de dos o más esquemas bicondicionales en conjunción, se concluye la
primera variable del primer bicondicional con la segunda variable del último bicondicional, en
bicondicional.
f) Ley del Absurdo (ABS):
P1)
A (B ~ B )
~A
[ p ( q ~ q ) ] ~ p
Según esta ley, si se tiene una fórmula condicional, cuyo consecuente es una contradicción, se
concluye negando el antecedente.
g) Dilema Constructivo Compuesto (DCC):
P1)
AB
P2)
CD
P3)
A v C
B v D
Fórmula
{ [ ( p q )( r s ) ]( p v r ) } (q v s)
Según esta ley, si en la conjunción de dos condicionales afirmamos los antecedentes
disyuntivamente, se concluye en la afirmación disyuntiva de los consecuentes.
5
i) Dilema Constructivo Simple (DCS):
Estructura:
P1)
AB
P2)
CB
P3)
A v C
B
Fórmula:
{ [ ( p q ) ( r q ) ] ( p v r ) } q
Según esta ley, se distingue del dilema constructivo compuesto porque los consecuentes son
similares y la conclusión se reduce a un sólo elemento.
i) Dilema Destructivo Compuesto (DDC) Estructura:
P1)
AB
P2)
CD
P3)
~Bv~D
~Av~C
Fórmula: { [ ( p q ) ( r s ) ] ( ~ q v ~ s ) }( ~ p v ~ r )
Según esta ley, si negamos los dos consecuentes alternativamente de la conjunción de dos
condicionales se concluye en la negación alternativa de los antecedentes.
j) Dilema Destructivo Simple (DDS):
Estructura:
Fórmula:
P1)
AB
P2)
AC
P3)
~Bv~C
~A
{ [ ( p q )( p r ) ] (~ q v ~ r )} ~ p
Según esta ley, como en el caso del constructivo simple, hay un elemento que se repite. Son
similares sus antecedentes y la conclusión también es sólo un elemento negado.
k) Principio de Simplificación (SIMP):
Estructura:
a)
P1)
A B
Fórmula:
A
( p q ) p
b)
P1)
A B
Fórmula:
B
( p q ) q
Según esta ley, de una premisa conjuntiva se puede concluir en cualquiera de sus miembros.
6
l) Principio de Conjunción CONJ):
Estructura:
P1)
A
P2)
B
AB
Fórmula:
( p q ) ( p q )
Esta ley establece que de un conjunto de premisas se puede concluir en la conjunción de ellas.
m) Principio de Adición (ADIC):
Estructura:
P1)
A
AvB
Fórmula:
p(pvq)
Según este principio, se puede agregar o adicionar cualquier fórmula a las existentes pero el
operador de enlace debe ser una disyunción débil.
n) Prueba Condicional (PC):
Estructura:
P1)
AB
A ( A B )
Fórmula:
( p q ) [ ( p ( p q ) ]
Según esta ley, de una fórmula condicional se concluye el antecedente en condicional con la
fórmula condicional.
7
EL MÉTODO DE LA DEDUCCIÓN NATURAL
Concepto
La deducción Natural o Derivación, es un método de demostración de validez de una
argumentación. Este método es un procedimiento sintáctico, porque consiste en transformar las
fórmulas que componen las premisas, mediante la aplicación de reglas o leyes lógicas, hasta
llegar a la conclusión.
El método de las derivaciones es un método decisorio, que consiste en pasar de un conjunto
de fórmulas (premisas), en una secuencia finita de pasos donde cada paso está justificado por
una regla lógica del sistema en el que se trabaja, hasta obtener la fórmula que aparecen la
conclusión del problema.
Proceso
No hay una secuencia especial a seguir ni tomar algunas reglas rígidas, depende en todo caso
del conjunto de premisas y tratar de buscar elementos comunes entre estas y justificar con las
reglas de equivalencia o tautologías. Cada acción debe registrarse indicando los números que
se trabajan así como la resultante.
El desarrollo de la deducción formal, se realiza a través de dos filas:
1. FILA DE PREMISAS
En esta columna, se registra entre paréntesis los números de las premisas originales, que
intervienen en la deducción de cada línea así como la conclusión luego de la última premisa
seguida del símbolo: // que significa en conclusión, en consecuencia, luego, etc.
2. FILA DE SECUENCIAS O PASOS
En esta fila, se anotan numéricamente y secuencialmente las fórmulas que se obtienen cuando
se aplican las reglas de equivalencias y/o tautologías notables, es en esta columna donde se
deriva hasta hallar la conclusión en la última fila.
Nota: Deben de operarse con todas las premisas. Para la aplicación de las reglas lógicas se
puede utilizar una o más premisas y las veces que sean necesarias siempre y cuando se usen
las reglas adecuadamente.
P1)
p
FILA
P2)
p q
DE
P3)
~r~q
PREMISAS
P4)
s v ~ r // s
5)
MP (2-1)
q
FILA
6)
MT (3-5)
~ ~r
DE
7)
DN (6)
r
DERIVACIONES
8)
SD (4-7)
s
FORMULA VALIDA
8
Tipos de Derivación
a) Derivación Directa. o ( Prueba Directa)
Consiste en demostrar la validez de la argumentación a través de pasos que conduzcan
a la conclusión, partiendo de las premisas originales.
DEMOSTRACIÓN
~s ~r
~(ps)
p ( ~ q r) //q
(2)
~ (~ p s)
4 D.C.
(4)
p ~s
5 D.M.
~s
6 SIMP. (5)
(1-6) ~ r
7 M.P.
p
8 SIMP. (5)
(3-8) ~ q r
9 M.P.
10 M.T. (7-9) ~ ~ q
11
D.N. (10) q
P1
P2
P3
b) La prueba Condicional.
Llamada también demostración condicional, se emplea solo cuando la conclusión de la
argumentación es una condicional o implicación. El procedimiento es exactamente similar a
la prueba directa con la diferencia de agregar una premisa adicional que es el primer
elemento de la condicional (conclusión) y buscar en la fila de derivaciones el otro elemento.
En el último paso se debe unir a través de la Prueba Condicional (PC) la premisa adicional
y el valor encontrado y de esa manera se ha encontrado la similitud con la conclusión del
problema por lo que sería una fórmula válida.
DEMOSTRACIÓN
1. Se introduce el antecedente de la conclusión como premisa adicional. (P.A.).
2. Se efectúan las deducciones, hasta conseguir el consecuente de la conclusión.
3. Se une la premisa adicional y la expresión conseguida en el último paso,
condicionalmente (P.C.). Ejemplo:
r t
pq
s p
sr
PA
5
6 M.T.
7 S.D
8 M.P.
9 M.P.
10 P.C.
P1
P2
P3
P4
//~ q t
~q
(2-5) ~ p
(3-6) s
(4-7) r
(1-8) t
(5-9) ~ q t
9
c) La Prueba Indirecta o Reducción al Absurdo.
En este método se combinan la Prueba Condicional y la regla de Reducción al Absurdo.
Básicamente, consiste en negar la conclusión y realizar las deducciones hasta llegar a la
contracción.
PROCESO DE PRUEBA POR REDUCCIÓN AL ABSURDO
1. Se niega la conclusión y se introduce como premisa adicional (P.A).
2. Se realiza la derivación hasta conseguir una contradicción.
3. Se une la premisa adicional con la contradicción hallada condicionalmente (P.C.)
4. Se establece la conclusión, sobre la base del paso o anterior, por R.A.
Ejemplo:
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
~q
~pq
r ~ p //~ r
P.A
r
M.P. (3-4) ~ p
M.T. (2-1) p
CONJ (6-5) p ~ p
P.C. (4-7) r ( p ~ p )
R.A. (8)
~r
Actividades
A) Encontrar las conclusiones derivadas, de acuerdo a las reglas aplicadas.
a)
b)
P1 p p
P1 q r
P2 ( r s ) p
P2 q s
//p
P3 s //
3 Simp. (2)
(1-3)
4 N.C. (1)
4 MP
5 Simp. (4)
5 Simp. (2)
6 M.T. (2-5)
6 Conj. (4-5)
7 S.D. (6-3)
7 Adic. (6)
8 D.Cond. (7)
9 Transp. (8)
c)
P1
P2
( p q ) q
(rs)q
P3
( p q ) t
d)
P1 r
P2 t (q s )
//
P3
p(rq)
//
B) Resolver los siguientes ejercicios aplicando las reglas propuestas siguientes:
a)
P1)
P2)
P3)
4)
5)
6)
~p~q
~p
~ r q // r
MP
(1-2)
MT
(3-4)
DN
(5)
b)
P1)
P2)
P3)
4)
5)
ps
~s
~ p s // s
MT
(1-2)
MP
(3-4)
.
10
c)
P1)
P2)
3)
4)
5)
6)
p(qv~r)
p ~ q // ~ r
Simp (2)
MP (1-3)
Simp (2)
SD (4-5)
d)
P1)
P2)
P3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
p(~qr)
~(ps)
~ s ~ r //q
Df.Cond (2)
DM (4)
Simp (5)
MP (1-6)
Trans (3)
SHP (7-8)
Simp (5)
MT (9-10)
DN (11)
C) Aplique la prueba directa y la reducción al absurdo a cada uno de los ejercicios:
a)
b)
P1 s v t
P1 p ( s p )
P2 t
P2 r p
P3 p ~ s // p
P3 s r
// p
c)
P1
P2
~(pq)
~ p v (q v r) //r vs
d)
P1
P2
~(q~p)
q~r
P3
~pq
//qr
11
0
