número de habitantes en función del tiempo

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COLEGIO UNIVERSITARIO SOCORRO
ÁREA DE MATEMÁTICAS
TALLER DE FUNCIONES
PRIMERA PARTE: GRÁFICAS
1) Un grupo de colonos llegó en 1900 a un sitio y fundó un pueblo. La figura muestra la curva de
crecimiento de la población.
NÚMERO DE HABITANTES EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
NÚMERO DE HABITANTES
𝑁 = 𝑓(𝑡)
TIEMPO EN AÑOS
a) ¿Cuál era la población inicial?
b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto B y qué significan?
c) ¿En qué año habían 4000 habitantes?
d) ¿Cuál fue el incremento de la población entre 1920 y 1940?
e) ¿Cuál fue la rapidez promedio del crecimiento de la población entre 1920 y 1960? ¿Qué
significa este resultado?
f) ¿Cuál fue la rapidez promedio del crecimiento de la población entre 1940 y 1960? ¿Qué
significa este resultado?
g) ¿Podría usted decir cuántos habitantes había en el año 2000?
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2) La gráfica siguiente representa el costo C (en pesos) de una carrera en taxi en función de la
distancia recorrida d (en metros)
𝐶 = 𝑓(𝑑)
VALOR EN PESOS
C
d
DISTANCIA RECORRIDA EN METROS
a) ¿Qué representa el primer segmento de la gráfica?
b) ¿Qué representa el segundo segmento de la gráfica?
c) ¿Cuánto cuesta una carrera con un recorrido de 2 km?
d) ¿Cuánto cuesta una carrera con un recorrido de 1800 m?
e) ¿Cual es el incremento en el precio de una carrera entre 𝑑 = 1400 𝑚 y 𝑑 = 2500 𝑚?
f) ¿Qué distancia máxima puede ocupar el taxi una persona que sólo cuenta con $5000? ¿Y si
tiene $10000?
3) La siguiente gráfica muestra la forma como desciende la temperatura de una olla de agua
cuando se baja del fogón y se coloca en un ambiente más frío. (El estudio de este caso recibe el
nombre de ley de enfriamiento de Newton)
a) ¿Cuál es la temperatura inicial del agua?
b) ¿Cuál es la temperatura a los 10 minutos?
c) ¿Cuándo la temperatura es de 26.57 ºC?
3
d) ¿Cuál es el incremento en la temperatura entre 𝑡 = 10 y 𝑡 = 10 minutos?
e) ¿Cuál es la razón media de cambio de la temperatura con relación al tiempo entre 𝑡 = 0 y
𝑡 = 10 minutos?
𝑇 = 𝑓(𝑡)
TEMPERATURA EN ºC
T
t
TIEMPO EN MINUTOS
SEGUNDA PARTE: TABLAS DE VALORES
1) Desde la plataforma superior de una torre de 450 m de altura se deja caer una pelota y en una
tabla se registra su altura h medida desde el nivel del suelo a intervalos de 1 segundo.
Tiempo t en
segundos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Altura h en
metros
450
445
431
408
375
332
279
216
143
61
a) Construya la gráfica de ℎ = 𝑓(𝑡)
b) ¿A qué altura se encontraba la pelota a los 5 segundos?
c) ¿A qué altura se encontraba la pelota a los 8 segundos?
d) ¿En qué momento estaba la pelota a 279 metros de altura?
e) ¿En qué momento estaba la pelota a 431 metros de altura?
f) ¿En qué momento estaba la pelota a 200 metros de altura?
g) ¿Cuál fue el incremento de la altura entre 𝑡 = 2 y 𝑡 = 4 segundos?
4
h) ¿Cuál fue el incremento de la altura entre 𝑡 = 5 y 𝑡 = 8 segundos?
i) Cuál es la razón media de cambio entre 𝑡 = 0 y 𝑡 = 4 segundos
j) Cuál es la razón media de cambio entre 𝑡 = 4 y 𝑡 = 9 segundos
2) Los estudiantes de un laboratorio midieron la fuerza F (en libras) necesaria para que una pieza
de madera de 12 pulgadas de largo, 2 de ancho y 𝑥 de altura se rompa. Los resultados se
recogieron en la siguiente tabla:
𝑥 en pulgadas
4
6
8
10
12
F en libras
2300
5400
10300
16300
23800
a) Construya la gráfica de 𝐹 = 𝑓(𝑥)
b) ¿Cuánta fuerza se necesitó para que la pieza se rompiera
cuando ésta tenía 6 pulgadas de alto?
c) ¿Cuánta fuerza se necesitó para que la pieza se rompiera
cuando ésta tenía 10 pulgadas de alto?
d) ¿Qué altura tenía la pieza si se rompió al aplicarle 10300
libras?
e) ¿Qué anchura tenía la pieza si se rompió al aplicarle 2300
libras?
𝑥
f) Cuál es el incremento en el valor de la fuerza de ruptura
entre 𝑥 = 4 y 𝑥 = 8 pulgadas.
g) Cuál es el incremento en el valor de la fuerza de ruptura entre 𝑥 = 8 y 𝑥 = 12 pulgadas.
h) Cuál es el incremento en el valor de la fuerza de ruptura entre 𝑥 = 6 y 𝑥 = 12 pulgadas.
i) Cuál es la razón media de cambio de la fuerza de ruptura con relación a la altura de la pieza
entre 𝑥 = 4 y 𝑥 = 8 pulgadas.
j) Cuál es la razón media de cambio de la fuerza de ruptura con relación a la altura de la pieza
entre 𝑥 = 6 y 𝑥 = 12 pulgadas.
TERCERA PARTE: ECUACIONES
1) El número de habitantes de una población crece de acuerdo con la ecuación
𝑁(𝑡) = 500 × 20,05𝑡
donde N es el número de habitantes y t es el tiempo en años.
a) Complete la siguiente tabla de valores:
t
0
N
b) ¿Cuál era la población inicial?
c) ¿Cuál era la población a los 20 años?
d) ¿Cuál era la población a los 60 años?
20
40
60
80
5
e) Compruebe que, según la tabla, los datos corresponden a la gráfica del primer ejercicio de
la primera parte de este taller.
f) ¿Cuál era la población a los 150 años?¿Y a los 200 años?
g) ¿Cuál fue el incremento de la población entre 𝑡 = 150 y 𝑡 = 200 años?
h) ¿Cuál fue el incremento de la población entre 𝑡 = 25 y 𝑡 = 90 años?
i) ¿Cuál es la tasa media de crecimiento de la población para t entre los 25
y 50 años?
2) Una pelota de tenis es lanzada hacia arriba desde lo alto de un edificio. La
ecuación que determina la altura h de la pelota con relación al suelo es
ℎ(𝑡) = −16 𝑡 2 + 128 𝑡 + 320 pies a los t segundos. La figura muestra en la
trayectoria seguida por la pelota el momento inicial del movimiento la
posición en el instante t y la posición en el momento de llegar al suelo.
ℎ(𝑡)
a) Complete la siguiente tabla de valores:
t
0
1
2
3
4
5
en segundos
ℎ(𝑡)
en pies
b) Haga una gráfica de la altura en función del tiempo.
6
7
8
9
c) ¿Qué representa el punto cuando 𝑡 = 0?
d) ¿Cuál es la altura del edificio?
e) ¿En qué instante alcanza el punto más alto de la trayectoria?
f) ¿Qué representa el punto cuando 𝑡 = 10 segundos?
g) ¿Cuánto tiempo demora la pelota en pasar frente al punto desde donde fue lanzada?
h) Haga una estimación del instante en que la pelota está a una altura de 245 pies.
3) Un tanque tiene forma de cono y se está llenando con agua. El tanque
tiene 8 m de diámetro y 8 m de profundidad. El volumen del agua que
se va depositando en el tanque está dada por la ecuación
𝜋ℎ3
𝑉(ℎ) =
12
metros cúbicos.
a) Construya una tabla de valores donde se muestre los valores del
volumen del agua contenida en el tanque para cuando h es de 0, 1, 2,…, 8 m.
b) Haga una gráfica del volumen en función de la altura.
c) ¿Cuál es la cantidad máxima de agua que puede contener el tanque?
d) ¿Cuál es el volumen del agua cuando esta llega hasta una altura de 2,5 m?
e) ¿Cuál es el incremento en el volumen del agua cuando su altura está entre 3m y 5 m?
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