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DISEÑO CON TRES FACTORES
En esta ocasión se considera un experimento con tres factores A, B y C en
niveles a, b y c, respectivamente en un diseño experimental completamente
aleatorizado.
Supóngase de nuevo que se tienen “n” observaciones para cada una de las
abc combinaciones de tratamiento. Se procederá a esbozar las pruebas de
significancia para los tres efectos principales y las interacciones involucradas.
Se espera entonces se pueda utilizar la descripción dada aquí para
generalizar el análisis a k>3 factores.
El modelo para el experimento de tres factores está dado por:
Xijkl= μ + αi + βj + γk + (αβ)ij+ (αγ)ik + (βγ)jk + (αβγ)ijk + εijkl
i=1,2,……,a; j=1,2,…,b; k=1,2,…,c; y l=1,2,….,n;
Dónde:
 αi, βj,γk son los factores principales;
 (αβ)ij, (αγ)ik , ( βγ)jkson los efectos de la interacción de dos factores que
tienen la misma interpretación que en el experimento de dos factores.
 El termino (αβγ)ijk recibe el nombre de efecto de interacción de tres
factores, un término que representa la no actividad de las (αβ)ij sobre
los diferentes niveles de factor C.
Igual que antes, la suma de todos los efectos principales es cero y la suma de
cualquier subíndice de los efectos de interacción de dos y tres factores es
cero. En muchas situaciones experimentales estas interacciones de orden
más alto son insignificantes y sus cuadrados medio reflejan únicamente
variación aleatoria, pero el análisis se hará en forma general.
De nuevo, con objeto de que se puedan realizar pruebas válidas de
significancia, se debe asumir que los errores son valores de variables
aleatorias independientes y con distribución normal, cada una con media
cero y varianza σ2.
La filosofía general del análisis es la misma que utilizada para los
experimentos de uno y dos factores. La suma de cuadrados se particiona en
ocho términos, cada uno representa una fuente de variación de las cuales se
obtienen estimaciones independientes de σ2 cuando todos efectos
principales y los efectos de interacción son cero. Si los efectos de cualquier
factor o interacción dados no todos son cero, entonces el cuadrado medio
estimara la variancia del error más una componente debida el efecto
sistemático en cuestión.
Ahora se procede directamente a la parte de cálculo para obtener las sumas
de cuadrados en el análisis de varianza de tres factores se requiere la
siguiente notación:
T….= promedio de todas las abcn observaciones.
Ti...= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo del factor A.
T.j..=promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo del factor B.
T..k.= promedio de las observaciones para el nivel k-ésimo del factor C.
Tij..= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel
j-ésimo de B
Ti.k.= promedio de las observaciones para el nivel i-ésimo de A y el nivel
k-ésimo nivel de C
T.jk.= promedio de las observaciones para el nivel j-ésimo de B y el nivel
k-ésimo de C.
Las sumas de los cuadrados se calculan:
∑∑∑∑
∑
∑
∑
(
)
(
)
(
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Análisis de varianza para un experimento de tres factores de n réplicas
Fuente de Variación
Efectos principales
Suma de Cuadrados Grados de Libertad
Cuadrado Medio
Razón de Varianza
A
SCA
a-1
F1=
B
SCB
b-1
F2=
C
SCC
c-1
F3=
AB
SC(AB)
(a-1)(b-1)
F4=
AC
SC(AC)
(a-1)(c-1)
BC
SC(BC)
(b-1)(c-1)
ABC
SC(ABC)
(a-1)(b-1)(c-1)
Error
SCE
abc(n-1)
Total
SCT
abcn-1
Interacción de dos factores
F5=
F6=
Interacción de tres factores
F7=
Y SCE, como es usual, se obtiene por sustracción.
Para el experimento de tres factores con una sola replica se puede utilizar el
análisis de la tabla haciendo n=1 y utilizando la suma de cuadrados de la
interacción ABC para SCE. En este caso se estará asumiendo que los efectos
de interación(αβγ)ijkson todos iguales a cero de tal forma que:
[
(
(
)
)(
)(
)
∑
]
(
∑
∑
)(
(
)(
)
)
Esto es, SC(ABC) representa la variación debida únicamente al error experimental. Su cuadrado
medio por tanto proporciona una estimación insesgada de la varianza del error. Con n=1 y
SCE=SC(ABC), la suma de cuadrados del error se encuentra de las efectos principales y las
interacciones de dos factores de la suma total de cuadrados.
Ejemplo 1
El departamento de control de calidad de una planta de acabados textiles
estudia el efecto de varios factores sobre el teñido de una tela de algodón y
fibras sintéticas utilizada para fabricar camisas para caballero. Se
seleccionaron tres operadores, tres duraciones del ciclo y dos temperaturas,
y se tiñeron tres ejemplares pequeños de la tela bajo cada conjunto de
condiciones. La tela terminada se comparó con un patrón, y se le asignó una
evaluación numérica. Los datos se presentan enseguida. Analizar los datos y
sacar conclusiones.
Temperatura
1
23
24
25
350
Operador
2
27
28
26
3
31
32
29
50
36
35
36
34
38
39
60
28
24
27
35
35
34
Duración del ciclo
40
1
24
23
28
350
Operador
2
38
36
35
3
34
36
39
33
34
35
37
39
35
34
38
36
34
36
31
26
27
25
26
29
25
36
37
34
28
26
24
1) Modelo
Xijkl=µ+ αi+ βj+γk+(αβ)ij+ (αγ)ik+ (βγ)jk+ (αβγ)ijk+Eijkl
i=1,2,3 j=1,2,3
k=1,2
l=1,2,3
2) Suposiciones
a) Todas las muestras provienen de poblaciones con distribución
normal
b) Las ab muestras tienen igual variante
c) Las abc muestras son independientes
3) Hipótesis
a) Para la Temperatura
H0:γ 1= γ 2
H1: No todos los γ k son iguales
b) Para la Duración del Ciclo
H0:α1= α2= α3
H1: α1 ≠α2 ≠α3
c) Para los Operadores
H0: β1= β2=β3
H1: No todos los βj son iguales
d) Para la Interacción Duración de Ciclo-Operador
H0: (αβ)11=(αβ)12=(αβ)13=(αβ)21=(αβ)22=(αβ)23
H1: No todos los (αβ)ijson iguales
e) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura
H0: (αγ)11=(αγ)12=(αγ)13=(αγ)21=(αγ)22=(αγ)23
H1: No todos los (αγ)ikson iguales
f) Para la Interacción Operador-Temperatura
H0:(βγ)11=(βγ)12=(βγ)13=(βγ)21=(βγ)22=(βγ)23
H1:No todos los (βγ)jk son iguales
g) Para la Interacción Duración de Ciclo-Temperatura
H0: (αβγ)111=(αβγ)121=(αβγ)131=(αβγ)211=(αβγ)221=(αβγ)231=(αβγ)311=
(αβγ)321=(αβγ)331=(αβγ)112=(αβγ)122=(αβγ)132=(αβγ)212=(αβγ)222=
(αβγ)232=(αβγ)312=(αβγ)322=(αβγ)332=
H1: No todos los (αβγ)ijk son iguales
4) Cálculos
Temperatura
350
Operador
Duración del
ciclo
40
50
60
1
23
24
25
72
36
35
36
107
28
24
27
79
2
27
28
26
81
34
38
39
111
35
35
34
104
3
31
32
29
92
33
34
35
102
26
27
25
78
350
Operador
81
84
80
245
103
107
110
320
89
86
86
261
1
24
23
28
75
37
39
35
111
26
29
25
80
2
38
36
35
109
34
38
36
108
36
37
34
107
3
34
36
39
109
34
36
31
101
28
26
24
78
96
95
102
293
105
113
102
320
90
92
83
265
SCT=55128 53770.67=1757.33
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
)
53770.67=435.44
53770.67=261.28
53770.67=50.07
356.23
79.37
(
)
11.26
(
)
54823.67 54335.56 54
093.33 54206.11 54032 53820.74 53770.67=45.63
SCE=1757.33 435.44 261.33 50.07 356.23 79.37 11.26 45.63
=518
5) Análisis de Varianza
Fuente de
Variación
Efectos
principales
A
B
C
Interacción de
dos factores
AB
AC
BC
Interacción de
tres factores
ABC
Error
Total
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Cuadrado Medio
Razón de Varianza
F
Tabla
435,44
261,33
50,07
2
2
1
217,72
130,665
50,07
15,13
9,09
3,48
3,29
3,29
4,14
356,23
79,37
11,26
4
2
2
89,06
39,685
5,63
6,19
2,76
0,39
2,66
3,29
3,29
45,63
518,00
1757,33
4
36
53
11,41
14,39
0,79
2,66
NOTA: Si la F calculada es mayor que la F tabla entonces rechazamos
H0 y aceptamos H1 de donde obtenemos un nivel de significancia F0,05
la prueba del efecto principal del factor C es significativa al igual que la
interacción de 2 factores AC,BC y la interacción de 3 factores.
6) Conclusión
Concluimos de este análisis que la variación de la temperatura, la
interacción de duración de ciclo-temperatura, operador-temperatura y
la interacción de duración del ciclo-operador-temperatura afectan al
teñido del algodón y a las fibras sintéticas para fabricar camisas para
caballeros
Ejemplo 2:
En un experimento para investigar las propiedades de resistencia a la compresión de
mezclas de Cemento y Tierra, se utilizaron dos períodos (Edad A) diferentes de curado en
combinación con dos Temperaturas(B) diferentes de curado y dos tierras(C) diferentes.
Se hicieron dos réplicas para cada combinación de niveles de los tres factores, resultando
los siguientes datos:
Edad (A)
Temperatura (B)
1
Tierra
2
(C)
Tierra (C)
1
2
1
2
1
471
413
385
434
485
552
530
593
2
712
637
770
705
712
789
741
806
1) Modelo :
2) Suposiciones :
a) Todas las muestras provienen de población con distribución normal.
b) Las ab muestras tiene igual variante.
c) Las abc muestras son independientes.
3) Hipótesis:
Variable Respuesta: Resistencia a la compresión de la mezcla de Cemento y Tierra.
Forma Verbal
a) H0: La edad o períodos no influye significativamente en las propiedades de resistencia
a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: La edad o períodos influye significativamente en las propiedades de resistencia a la
compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
b) Ho: La Temperatura no influye significativamente en las propiedades de resistencia a la
compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: La Temperatura influye significativamente en las propiedades de resistencia a la
compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
c) H0: Los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de resistencia
a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: Los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de resistencia a la
compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
d) H0: La edad y la temperatura no influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: La edad y la temperatura influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
e) H0: La edad y los tipos de tierra no influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: La edad y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades de
resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
f) H0: La temperatura y los tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: La temperatura y los tipos de tierra influyen significativamente en las propiedades
de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
g) H0: La edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
H1: La edad, Temperatura y tipos de tierra influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Datos
a = b = c =2 , n=2 N = abcn = 2x2x2x2= 16 , i=1,2 j=1,2 k=1,2
Como puede observarse en la tabla los datos obtenidos tienen valores grandes. A
continuación se presentan la tabla de los datos codificados (divididos por 100); para llevar
a cabo de una manera mas fácil y eficiente los cálculos matemáticos.
Edad (A)
Temperatura (B)
1
Tierra
1
2
2
(C)
Tierra
(C)
1
2
1
2
4.71
3.85
4.85
5.30
4.13
4.34
5.52
5.93
7.12
7.70
7.12
7.41
6.37
7.05
7.89
8.06
4) Calculos :
Totales por celdas
y111.= 4.71 + 4.13 =
y211. = 7.12 + 6.37 = 13.49
8.84
y112. = 3.85 + 4.34 = 8.19
y212. = 7.70 + 7.05 = 14.75
y121. = 4.85 + 5.52 = 10.37
y221. = 7.12 + 7.89 = 15.01
y122. = 5.30 + 5.93 = 11.23
y222. = 7.41 + 8.06 = 15.47
Totales del factor A (yi…
=
)
Totales del factor B (y.j..
=
y1.. = 8.84 + 8.19 + 10.37 + 11.23 = 38.63
y.1. = 22.33 + 22.94 = 45.27
y2... = 13.49 + 14.75 + 15.01 + 15.47 = 58.72
y.2.. = 25.38 + 26.70 = 52.08
Totales del factor C (y..k. =
y..1. = 22.33 + 25.38 = 47.71
)
y..2. = 22.94 + 26.70 = 49.64
Totales de la interacción AxB (yij.. =
y11.= 8.84 + 8.19 = 17.03
y21..= 13.49 + 14.75 = 28.24
)
y12.. = 10.37 + 11.23 = 21.60
y22.. = 15.01 + 15.47 = 30.48
)
Totales de la interacción AxC (yi.k. =
)
y1.1.= 8.84 + 10.37 = 19.21
y2.1.= 13.49 + 15.01 = 28.50
y1.2.= 8.19 + 11.23 = 19.42
y2.2.= 14.75 + 15.47 = 30.22
Totales de la interacción BxC (y.jk. =
)
y.11. = 8.84 + 13.49 = 22.33
y.21. = 10.37 + 15.01 = 25.38
y.12. = 8.19 + 14.75 = 22.94
y.22. = 11.23 + 15.47 = 26.70
Total general
y….=
y…. =
= 4.71 + 4.13 + 3.85 + 4.34 + 4.85 +…+ 7.89 + 7.41 + 8.06 = 97.35
= 38.63 + 58.72 = 97.35
y…. =
= 45.27 + 52.08 = 97.35
y…. =
= 47.71 + 49.64 = 97.35
y…. =
ó
ó
ó
= 22.33 + 22.94 + 25.38 + 26.70 = 97.35
Ahora el siguiente cuadro con los datos …
Edad (A)
Temperatura (B)
1
2
Tierra (C)
Tierra (C)
1
2
1
2
1
8.84
8.19
10.37
11.23
38.63
2
13.49
14.75
15.01
15.47
58.72
Totales BXC (y.jk.)
22.33
22.94
25.38
26.70
y…. = 97.35
y.j..
45.27
yi…
52.08
Totales AxB
Edad (A)
( yij..)
Totales AxC
Temperatura (B)
1
2
1
17.03
21.60
2
28.24
30.48
(yi.k.)
Edad (A)
Tierra (C)
1
2
1
19.21
19.42
2
28.50
30.22
Totales del factor C (y..k.)
Tierra (C)
1
2
47.71
49.64
Suma de Cuadrados :
= (4.71)2 + (4.73)2 + (3.85)2 +….+ (7.89)2 + (7.41)2 + (8.06)2
= 623.2289 - 592.3139063 = 30.91
Las sumas de cuadrados de los efectos principales se obtiene usando los totales de cada
uno de los factores de la siguiente manera:
=
= 617.5394125 - 592.3139063 = 25.2255062  25.23
=595.2124125 - 592.3139063=2.8985602  2.90
La suma de cuadrados del error se obtiene:
Restando a la suma total de cuadrados las sumas de cuadrados de los efectos
principales, las sumas de las interacciones dobles y la suma de cuadrados de la
interacción triple.
SSE = SST - SSA - SSB - SSC - SSAB - SSAC - SSBC
= 30.91499-25.22550-2.89850-0.23280-0.33924-0.1425063-0.03150-0.33356
= 1.7113503
5) Analisis de Varianza :
Medias de Cuadrados :
Las Medias de Cuadrados se obtienen dividiendo las Sumas de Cuadrados por sus
grados de libertad respectivos, como se muestra a continuación.
Los estadísticos para llevar a cabo la prueba de las hipótesis (F0) se obtienen dividiendo
sus respectivas Medias de Cuadrados por la Media de Cuadrados del error, de la siguiente
manera:
Para el factor Edad (A)
Para el factor Temperatura (B)
Para el factor Tierra (C)
(AxB)
Para la interacción Edad-Tierra (AxC)
(BxC)
Para la interacción Edad-Temperatura
Para la interacción Temperatura-Tierra
Para la interacción Edad-Temperatura-Tierra (AxBxC)
Acontinuaciòn se presentara la tabla ANVA con los respectivos datos hallados
anteriormente.
Tabla ANVA:
Fuente de Variación
Edad (A)
Sumas
Grados
Medias
de
de
Libertad
de
F0
1
Cuadrados
25.23
117.95
Cuadrados
25.23
Temperatura (B)
2.90
1
2.90
13.55
Tierra (C)
0.23
1
0.23
1.07
EdadxTemperatura (AxB)
0.34
1
0.34
1.59
EdadxTierra (AxC)
0.14
1
0.14
0.65
TemperturaxTierra(BxC)
0.03
1
0.03
0.14
EdadxTemperaturaxTierra (AxBxC)
0.33
1
0.33
1.54
Error
1.71
8
0.2139
Total
30.91
15
Tomando α = 0.05, encontrando para cada hipótesis a probar sus respectivos FTablas,
se tiene: Ya que a = b = c = 2, entonces abc(n-1) = 2x2x2(2-1) = 8.
6) Conclusiones:
Respecto a la Hipótesis a (Factor A(Edad))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (117.95 > 5.32); por
lo tanto, se rechaza H0; es decir, la edad o períodos influye significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis b (Factor B (Temperatura))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 > FTablas (13.55 > 5.32); por lo
tanto, se rechaza H0; es decir, la Temperatura influye significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis c (Factor C (Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.07 < 5.32); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, los tipos de tierra no influyen significativamente en las
propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis d (Interacción(Edad y Temperatura))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (1.58 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad y la temperatura no influye significativamente en
las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis e (Interacción(Edad y Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.66 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad y los tipos de tierra no influyen significativamente
en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis f (Interacción(Temperatura y Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.14 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la temperatura y los tipos de tierra no influyen
significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de
Cemento y Tierra.
Respecto a la Hipótesis g (Interacción(Edad,Temperatura y Tierra))
Se observa de la tabla de Análisis de Varianza que el F0 < FTablas (0.55 < 2.54); por lo
tanto, se acepta H0; es decir, la edad, Temperatura y tipos de tierra no influyen
significativamente en las propiedades de resistencia a la compresión de mezclas de
Cemento y Tierra.
EJERCICIOS:
1. Los siguientes estudios datos se toman en un estudio que incluye tres
factores A, B y C, todos efectos fijos:
C1
A1
A2
C2
C3
B1
B2
B3
B1
B2
B3
B1
B2
B3
15.0
14.8
15.9
16.8
14.2
13.2
15.8
15.5
19.2
18.5
13.6
14.8
15.4
12.9
11.6
14.3
13.7
13.5
22.1
12.2
13.6
14.3
13.0
10.1
13.0
12.6
11.1
11.3
17.2
16.1
18.9
15.4
12.4
12.7
17.3
7.8
14.6
15.5
14.7
17.3
17.0
13.6
14.2
15.8
11.5
18.2
14.2
13.4
16.1
18.6
15.2
15.9
14.6
12.2
a) Realice pruebas de significancia sobre todas las interacciones al
nivel α=0.05
b) Realice pruebas de significancia sobre los efectos principales en el
nivel α=0.05
c) Proporcione una explicación de cómo una interacción significativa
encubre el efecto del factor C.
2. El método de fluorescencia de rayos X es una herramienta analítica
importante para determinar la concentración de material en los
propulsores sólidos de misiles. En el artículo An XrayFluorescenceMethodforAnalyzingPolybutadieneAcrylicAcid(PBAA)
Propellants,
QuarterlyReport,
RK-TR-62-1
ArmyOrdinanceMissileCommand(1962), se postula que el proceso de
mezcla del propulsor y el tiempo del análisis tienen una influencia en
la homogeniedad del material y por ello sobre la precisión de las
mediciones de la intensidad de rayos X. Se llevó a cabo un
experimento con el uso de tres factores: A, condiciones de mezclado
(4 niveles); B, el tiempo del análisis (2 niveles); y C, el método de
carga del propulsor en los soportes de la muestra (caliente y
temperatura ambiente). Se registraron los siguientes datos, que
representan el análisis en porcentaje de peso de perclorato de
amonio en un propulsor particular:
Método de carga, C
Caliente
A1
A2
A3
A4
Temperatura Ambiente
B1
38.62
37.20
B2
38.45
38.64
B1
39.82
39.15
B2
39.82
40.26
38.02
37.67
37.57
37.85
37.51
37.74
37.58
37.52
37.15
38.75
37.81
37.75
37.91
37.21
37.42
37.79
37.60
37.55
39.78
39.53
39.76
39.90
39.34
39.60
39.62
40.09
39.63
39.72
39.56
39.25
39.04
39.74
39.49
39.45
39.36
39.38
37.51
37.91
39.67
39.00
Realice un análisis de varianza con α=0.01 para probar la significancia de
los efectos principal y de interacción.
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE
GROHMANN
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE
INGENIERIA EN INFORMATICA Y SISTEMAS
Diseño con 3 factores
INTEGRANTES
:
Jorge Maquera Parihuana
Jhonatan Cabrera Jara
Alan Quispe Acho
Andre Valdivia Chipana
Herson Urbina
2009-34080
2010-35516
2010-35524
2010-35530
2010-35558
PROFESOR
: Luis Solórzano
ASIGNATURA
: Estadística y Probabilidades
AÑO
: 2º “A”
TACNA-PERU
2011
FACTOR C
FACTOR
A
A1
TOTAL
B1
X1111
X1112
C1
FACTOR B
B2
Bb
X1211
X1b11
X1212
X1b12
B1
X1121
X1122
Cc
FACTOR B
B2
Bb
X1221
X1b21
X1222
X1b22
TOTAL
Ƭ1.11
Ƭ1.12
TOTAL
Ƭ1.21
Ƭ1.22
..
..
X111n
Ƭ111.
X2111
X2112
..
..
..
..
X121n
Ƭ121.
X2211
X2212
..
..
..
..
X1b1n
Ƭ1b1.
X1b11
X1b12
..
..
..
..
Ƭ1.1n
Ƭ1.1.
Ƭ1.11
Ƭ1.12
..
..
..
..
X112n
Ƭ112.
X1b22
X1b22
..
..
..
..
X122n
Ƭ122.
X1b22
X1b22
..
..
..
..
X1b2n
Ƭ1b2.
X1b22
X1b22
..
..
..
..
Ƭ1.2n
Ƭ1.2.
Ƭ1.21
Ƭ1.22
..
..
X211n
Ƭa11.
Ƭ.11.
X121n
Ƭa21.
Ƭ.21.
X1b1n
Ƭab1.
Ƭ.b1.
Ƭ1.1n
Ƭi.k.
Ƭ..k.
X112n
Ƭa12.
Ƭ.12.
X122n
Ƭa22.
Ƭ.22.
X1b2n
Ƭab2.
Ƭ.b2.
Ƭ1.2n
Ƭi.k.
Ƭ..k.
Aa
TOTAL
FACTOR
A
A1
A2
……
Aa
TOTAL
FACTOR
A
A1
A2
……
Aa
TOTAL
FACTOR
B
B1
B2
……
Bb
TOTAL
B1
Ƭ11..
Ƭ21..
……
Ƭa1..
Ƭ.1..
FACTOR B
B2
Ƭ12..
Ƭ22..
……
Ƭa2..
Ƭ.2..
Bb
Ƭ1b..
Ƭ2b..
……
Ƭab..
Ƭ.3..
TOTAL
Ƭ1...
Ƭ2...
……
Ƭ3...
Ƭ....
C1
Ƭ1.1.
Ƭ2.1.
……
Ƭa.1.
Ƭ..1.
FACTOR C
C2
Ƭ1.2.
Ƭ2.2.
……
Ƭa.2.
Ƭ..2.
Cc
Ƭ1.c.
Ƭ2.c.
……
Ƭa.c.
Ƭ..c.
TOTAL
Ƭ1...
Ƭ2...
……
Ƭ3...
Ƭ....
C1
Ƭ.11.
Ƭ.21.
……
Ƭ.b1.
Ƭ..1.
FACTOR C
C2
Ƭ.12.
Ƭ.22.
……
Ƭ.b2.
Ƭ..2.
Cc
Ƭ.1c.
Ƭ.2c.
……
Ƭ.bc.
Ƭ..c.
TOTAL
Ƭ.1..
Ƭ.2..
……
Ƭ.b..
Ƭ....