Series de números reales
1
Convergencia de series numéricas
Ejercicio 1. Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible convergencia de las siguientes
series:
P nn
P n+1 n
d)
a)
2
3n−1
e(n +1)
−n2
P n 2n−1
P
b)
e)
1 + 1n
3n−2
P nn
c)
(2n+1)n
Solución 1.
q
n+1 n
n+1
a) Aplicamos el criterio de la raíz limn→∞ n 3n−1
= limn→∞ 3n−1
= 13 < 1. Por tanto, la serie
es convergente.
b) Aplicamos el criterio de la raíz
r
!2
n 2n−1
n
1
n 2n−1
n
=
= lim
< 1.
lim
n→∞ 3n − 2
n→∞
3n − 2
3
Por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio de la raíz,
r
lim n
n→∞
n
1
nn
= lim
= .
n
n→∞ 2n + 1
(2n + 1)
2
En consecuencia, la serie es convergente.
d) Aplicamos el criterio de la raíz:
lim
n→∞
√n
an = lim
n→∞
n
e
n2 +1
n
= lim
n
n→∞ en
1
=0<1
e1/n
de lo que se deduce que la serie es convergente.
e) Aplicamos el criterio de la raíz
s
!−n2
1
1
1
1
n
= lim lim
1+
= lim r
n = < 1
1
n→∞
n→∞
n→∞
n
e
n2
1+ n
n
1 + 1n
y, en consecuencia, la serie es convergente.
Ejercicio 2. Aplicar el criterio del cociente para estudiar la posible convergencia de las siguientes
series:
P 1
P 2·5·8···(3n−1)
a)
d)
n2n P1 2 n
P 1·5·9···(4n−3)
2n n!
b)
e)
n 5
nn
P (n+1)n
c)
3n n!
Solución 2.
–1–
a) Aplicamos el criterio del cociente:
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
1
(n+1)2n+1
1
n2n
n
1
= < 1.
n→∞ 2(n + 1)
2
= lim
Por tanto, la serie es convergente.
b) Aplicamos el criterio del cociente,
lim
n→∞
1
n+1
1
n
n+1
2
5
n
2
5
n 2 2
= < 1.
n→∞ n + 1 5
5
= lim
Por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio del cociente,
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
(n+2)(n+1)
3n+1 (n+1)!
(n+1)n
3n n!
1 n+2
= lim
n→∞ 3 n + 1
!n+1
=
e
< 1,
3
y, por tanto, la serie es convergente. Observa que en el último paso hemos utilizado la regla del
número e.
d) Aplicamos el criterio del cociente
2·5·8···(3n−1)(3n+2)
1·5·9···(4n−3)(4n+1)
lim
2·5·8···(3n−1)
n→∞
1·5·9···(4n−3)
= lim
n→∞
3n + 2 3
= <1
4n + 1 4
y, por tanto, la serie es convergente.
e) Aplicamos el criterio del cociente:
n n 2
2n+1 (n + 1)! nn
lim
= lim 2
= <1
n→∞ (n + 1)n+1 2n n!
n→∞
n+1
e
de lo que se deduce la convergencia de la serie.
Ejercicio 3. Aplicar el criterio de comparación para estudiar la posible convergencia de las
siguientes series:
P log(n)
P 1
a)
e)
P n1
P (2n−1)2n
√
b)
√1
f)
n(n+1)
n
P 1
P √3 n
c)
√
g)
P 2n−1
(n+1) n
1
d)
n
2 −n
Solución 3.
P
a) Comparamos con la serie 1n que no es convergente. Como log(n)
≥ 1n , la serie no es convern
gente.
P
b) Comparamos con la serie armónica n1 :
r
√
1
n(n + 1)
n(n + 1)
n
lim
= lim
= lim
= 1.
1
n→∞ √
n→∞
n→∞
n
n2
n(n+1)
–2–
Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie
P
1
n(n+1)
√
no es
convergente.
P
c) No es convergente. La serie se comporta igual que la serie armónica n1 .
P 1
d) Comparamos con la serie convergente 2n .
1
2n
n→∞ n1
2 −n
lim
2n − n
= 1.
n→∞ 2n
= lim
Por tanto, la serie es convergente.
P
e) Comparamos con la serie convergente n12
1
n2
1
n→∞
(2n−1)2n
lim
(2n − 1)2n
= 4.
n→∞
n2
= lim
Por tanto, las dos series tienen el mismo carácter y, en consecuencia, la serie es convergente.
f) No es convergente porque √1n ≥ 1n .
P 1
g) Comparamos con la serie convergente n7/6
√3
√
n n
n
7/6
lim n
√ = lim
√ =1
n→∞
(n + 1) n n→∞ (n + 1) n
y, por tanto, la serie es convergente.
Ejercicio 4. Aplicar el criterio de condensación para estudiar la posible convergencia de las
siguientes series:
P 1
a)
P n log(n)
1
b)
n(log(n))2
P
1
c)
n(log(n)) log(log(n))
Solución 4.
P
1
a) Aplicando el criterio de condensación, la serie tiene el mismo carácter que la serie 2n 2n log(2
n) =
P 1
P 1
P1
log(2n ) =
n log(2) y esta última serie no es convergente comparando con
n.
P n
P
1
1
b) Aplicando el criterio de condensación 2 2n (log(2
y esta última serie es conn ))2 =
n2 (log(2))2
P 1
vergente (compárase con n2 ).
c) El término general es decreciente y convergente a cero. Estamos en condiciones de aplicar el
criterio de condensación. La serie tiene el mismo carácter de convergencia que la serie
X
X
2n
1
=
n
n
n
2 log (2 ) log log (2 )
n log(2) log(n log(2))
P 1
que, a su vez y por el criterio de comparación por paso al límite, se comporta igual que n log(n)
.
Esta última serie ya sabemos que no es convergente (véase el Ejercicio ??).
Ejercicio 5.
P 2n
a)
P nn+1
b)
P 2n+11
c)
n2 log(n)
Discutir la convergencia de las siguientes series de números reales:
P n2
d)
2
P (3n−1)
3n−1
√
e)
n
( 2)
Solución 5.
–3–
n
a) No es convergente porque limn→∞ an = limn→∞ 2n = +∞.
n+1
= 21 .
b) No es convergente porque el término general no tiende a cero: limn→∞ 2n+1
P
1
≤ n12 , para cualquier n ≥ 3. La serie n12 es
c) Como log(n) ≥ 1 para n ≥ 3, se tiene que n2 log(n)
P 1
convergente y, el criterio de comparación nos dice que n2 log(n)
también lo es.
d) El término general no converge a cero y, por tanto, la serie no es convergente.
e) Aplicamos el criterio del cociente
lim
n→∞
3(n+1)−1
√ n+1
2
3n−1
√
( 2)n
!
3n + 2 1
1
= lim
√ = √ <1
n→∞ 3n − 1
2
2
y, por tanto, la serie es convergente.
Ejercicio 6. Discutir la convergencia de las siguientesseries
de números reales:
P1
P 3n n
a)
d)
3n+1
P n! 1
P n2
b)
(3n−2)(3n+1)
e)
4(n−1)
P 2n+1
c)
(n+1)2 (n+2)2
Solución 6.
a) Aplicamos el criterio del cociente
1
(n+1)!
lim 1
n→∞
n!
1
=0<1
n→∞ n + 1
= lim
y, por tanto, la serie es convergente.
P
b) Comparamos con la serie n12
1
n2
lim
1
n→∞
(3n−2)(3n+1)
= lim
n→∞
(3n − 2)(3n + 1)
=9
n2
y, por tanto la serie es convergente.
P
c) Comparamos con la serie n13 ,
2n+1
(n+1)2 (n+2)2
lim
1
n→∞
n3
= 2.
En consecuencia, las dos series tienen el mismo carácter de convergencia. Puesto que la serie
P 1
es convergente, ambas lo son.
n3
d) No es convergente porque el término general no converge a cero:
!n
!
3n
3n
L
lim
= e ⇐⇒ lim n
−1 = L
n→∞ 3n + 1
n→∞
3n + 1
y el segundo límite vale
!
!
3n
3n − 3n − 1
lim n
− 1 = lim n
= −1/3.
n→∞
n→∞
3n + 1
3n + 1
Por tanto el término general de la serie converge a e−1/3 6= 0.
e) Aplicamos el criterio de la raíz
–4–
r
lim
n2
n
n→∞
4(n−1)
= lim
n→∞
√n
n2
4
n−1
n
=
1
<1
4
y, por tanto, la serie es convergente.
Ejercicio 7. Estudiar la convergencia de las series
P n3
P n+1 n
a)
e)
en
n2
P 1·3·5···(2n−1)
P 2n+1 n2
f)
b)
3n+1
P 2·4·6···(2n+2)
2·4·6···2n
P (n!)2
g)
c)
5·7·9···(2n+3)
(2n)!
P
2n
d)
1·3·5···(2n+1)
Solución 7.
r
a) Aplicamos el criterio de la raíz lim
n
n→∞
convergente.
b) Aplicamos el criterio de la raíz
s
lim
n→∞
n
2n + 1
3n + 1
√n
n3
n3 1
=
lim
= < 1 y, en consecuencia, la serie es
√
en n→∞ n en
e
! n2
2n + 1
= lim
n→∞ 3n + 1
! 12
r
=
2
<1
3
y, por tanto, la serie es convergente.
c) Aplicamos el criterio del cociente
lim
n→∞
[(n+1)!]2
(2n+2)!
(n!)2
(2n)!
(n + 1)2
1
(n + 1)! (n + 1)! (2n)!
= lim
= <1
n→∞
n!
n! (2n + 2)! n→∞ (2n + 2)(2n + 1) 4
= lim
y, por tanto, la serie es convergente.
d) Aplicamos el criterio del cociente
2n+1
1·3·5···(2n+1)(2n+3)
lim
2n
n→∞
1·3·5···(2n+1)
2n+1
1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)
2
= lim
=0<1
n
n→∞ 2 1 · 3 · 5 · · · (2n + 1)(2n + 3)
n→∞ 2n + 3
= lim
y, en consecuencia, la serie es convergente.
e) Aplicamos el criterio de la raíz
s
!n
n+1
n+1
n
lim
= lim
=0<1
2
n→∞
n→∞
n
n2
y, por tanto, la serie es convergente.
f) Aplicamos el criterio del cociente
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
1·3·5···(2n−1)(2n+1)
2·4·6···(2n+2)(2n+4)
1·3·5···(2n−1)
2·4·6···(2n+2)
= lim
n→∞
2n + 1
=1
2n + 4
an+1
pero, como 2n+1
2n+4 ≤ 1, el criterio del cociente no decide. Ya que hemos calculado an , aplicamos
el criterio de Raabe
!
!
an+1
2n + 1
3n
3
= lim
= >1
lim n 1 −
= lim n 1 −
n→∞
n→∞
n→∞
an
2n + 4
2n + 4 2
–5–
y, por tanto, la serie es convergente.
g) Aplicamos el criterio del cociente
an+1
lim
= lim
n→∞ an
n→∞
pero
2n+2
2n+5
2·4·6···2n·(2n+2)
5·7·9···(2n+3)·(2n+5)
2·4·6···2n
5·7·9···(2n+3)
= lim
n→∞
2n + 2
= 1,
2n + 5
≤ 1 por lo que el criterio del cociente no decide. Aplicamos el criterio de Raabe
!
!
an+1
3n
2n + 2
3
lim n 1 −
= lim
= lim n 1 −
= >1
n→∞ 2n + 5
n→∞
n→∞
an
2n + 5
2
y, en consecuencia, la serie es convergente.
Ejercicio 8. Discutir la convergencia de las siguientes series
2 de números reales:
P
P
20n
a) (−1)n n+1
d) log nn2 +3
+2
P 1·3·5···(2n−1) 2
P √3 n log(n)
b)
e)
2
2·4·6···2n
P n +1
P
1
f) (−1)n e−n
c) log 1 + n
Solución 8.
a) No es convergente porque el término general no converge a cero.
2 +3n
b) Aplicamos el criterio de Raabe y llegamos a n 1 − aan+1
= 4n4n2 +8n+4
≤ 1, de lo que se deduce
n
la no convergencia de la serie.
P
c) Comparamos con la serie armónica n1
!
!n
log 1 + 1n
1
1
= lim n log 1 +
lim
= lim log 1 +
= log(e) = 1
1
n→∞
n→∞
n→∞
n
n
n
y, por tanto, la serie no es convergente.
d) Podemos escribir el término general de la forma:
!
!
n2 + 3
1
an = log 2
= log 1 + 2
.
n +2
n +2
P
Comparando con la serie n12 se obtiene la convergencia de la serie dada.
P
ya que
e) Comparamos con la serie log(n)
n5/3
an
lim
n→+∞ log(n)
n5/3
=1
P
Y aplicando el criterio de condensación a la serie log(n)
se obtiene que es convergente, luego
n5/3
la de partida también lo es.
f) No hay más que aplicar el criterio de Laeibnitz para series alternadas.
E
Ejercicio 9. Estudia el carácter de las siguientes series:
P 2n+1 n2
a)
.
2n+5
P 1+log(n)
b)
.
nn
Solución 9.
–6–
n2
. Tendremos entonces que
a) Aplicamos el criterio de la raíz, considerando como an = 2n+1
2n+5
√
estudiar el límite de { n an } y compararlo con 1; esto es
s
!n2
!n2 /n
!n
√n
2n + 1
2n + 1
2n + 1
n
=
an =
=
2n + 5
2n + 5
2n + 5
sucesión que presenta una indeterminación del tipo “1∞ ” por lo que aplicamos la regla del
número e:
!
√
−4n
2n + 1
lim n
− 1 = lim
= −2 ⇒ lim n an = e−2 < 1
2n + 5
2n + 5
Por tanto la serie dada es convergente.
b) Aplicamos el criterio del cociente, considerando como an = 1+log(n)
; de esta forma, habrá que
nn
estudiar el límite de la siguiente sucesión y compararlo con el valor1:
nn
nn
an+1 1 + log(n + 1)
1 + log(n + 1)
=
=
an
1 + log(n) (n + 1)n (n + 1)
(n + 1)n+1 1 + log(n)
1 + log(n + 1) n n 1
=
1 + log(n)
n+1 n+1
Finalmente, si calculamos el límite de cada uno de los tres factores que tenemos, el primer factor
es claro que converge a 1 (no hay más que dividir el numerador y denominador por log(n + 1)),
el segundo factor converge a e−1 (basta aplicar la regla del número e) y el tercero converge a
cero. Por tanto:
X
an+1
lim
=0<1 ⇒
an es convergente.
an
E
Ejercicio 10.
P an
a)
P na
b) an na
Estudiar, según los valores de a > 0 la convergencia de las siguientes series:
Solución 10.
a) Sólo tenemos en cuenta 0 < a < 1 puesto que en para a = 1 es la serie armónica que no
converge, y para a > 1 el término general no converge a cero. Entonces, para 0 < a < 1
aplicamos el criterio de la raíz y obtenemos que la serie es convergente.
b) Sólo tenemos en cuenta 0 < a < 1 puesto que para a ≥ 1 el término general no converge a
cero. Entonces, para 0 < a < 1 aplicamos el criterio de la raíz y obtenemos que la serie es
convergente.
2
Suma de series
Ejercicio 11. Suma, si es posible, las siguientes series
∞
X
15
a)
10n
n=0
∞
X
1
b)
2n(n
+ 1)
n=1
∞
X (−1)n
c)
3n
n=2
–7–
Solución 11.
a) Usando la suma de una progresión geométrica
∞
∞
X
X
1
15
1
150
=
15
= 15 ·
=
.
n
n
1
10
10
9
1
−
n=0
n=0
10
b) La suma es 21 puesto que la serie es la mitad de la del Ejemplo ??.
c) De nuevo utilizamos la suma de una progresión geométrica
∞
X
(−1)n
n=2
3n
=
∞
X
(−1)n
n=0
3n
−
1
X
(−1)n
n=0
3n
=
1
1
1
−1+ =
.
1
3 12
1 − −3
Ejercicio 12. Suma, si es posible, las siguientes series
∞
X
1
a)
(n
+
3)(n
+ 4)
n=0
∞
X 1
b)
2n+3
n=1
∞
X
2n + 3n
c)
5n
n=1
Solución 12.
a) Calculamos las sumas parciales usando la descomposición en fracciones simples del término
general:
∞
X
n=0
!
∞
X
1
1
1
=
−
(n + 3)(n + 4) n=0 (n + 3) (n + 4)
!
!
!
1 1
1 1
1
1
= lim
−
−
−
+
+ ··· +
n→∞ 3
4
4 5
n+3 n+4
1
1
1
−
= .
n→∞ 3
n+4 3
= lim
b) Aprovechamos que estamos sumando una progresión geométrica:
∞
∞
∞
X
X
1 X 1
1 1
1
1
=
=
=
n
n+3
n+4
16 n=0 2
16 1 −
2
2
n=1
n=0
1
2
=
1
.
8
c) Dividimos en dos progresiones geométricas y sumamos:
∞
X
2n + 3n
n=1
Ejercicio 13.
5n
=
∞
X
2n
n=1
Suma la serie de números reales
5n
+
∞
X
3n
n=1
5n
=
13
.
6
∞ 2
X
n +n+1
n=1
n!
∞
X
1
Solución 13. Esta serie se suma haciendo uso de que
= e, y para ello descomponemos el
n!
n=0
numerador del término general de la forma siguiente:
–8–
n2 + n + 1 = αn(n − 1) + βn + γ
e igualando coeficientes obtenemos que α = 1, β = 2 y γ = 1 . Por tanto la suma de la serie (que
existe por el criterio del cociente) es:
∞
X
n2 + n + 1
n=1
n!
=
=
∞
X
n(n − 1)
n=1
∞
X
n=2
n!
∞
∞
X
n X 1
+2
+
n! n=1 n!
n=1
∞
∞
X
X
1
1
1
+2
+
(n − 2)!
(n
−
1)!
n!
n=1
n=1
= e + 2e + (e − 1) = 4e − 1.
–9–
