Unidad 1 Funciones 1. Funciones Definición Consideremos dos conjuntos X y Y en ese orden. Llamamos función de X a Y a una aplicación o correspondencia que a cada valor x de X le asigna un único valor y de Y. Observemos que en la definición estamos dando dos condiciones: Existencia: para cada x ε X existe un y ε Y Unicidad: ese "y" es único para cada "x" 2. Clasificación de las Funciones La clasificación general de funciones la podemos resumir en el siguiente cuadro: ENTERAS LINEALES CUADRATICAS GENERALES FRACCIONARIAS HOMOGRAFICAS GENERALES RACIONALES Funciones Algebraicas IRRACIONALES EXPONENCIALES Funciones Trascendentes LOGARITMICAS POTENCIALES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS INVERSAS HIPERBOLICAS DIRECTAS INVERSAS Unidad 1 Funciones 3. Funciones Algebraicas Funciones Racionales Enteras Son aquellas que responden a la expresión general: y = a o + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n x n con ai ∈ ℜ O sea son los llamados polinomios donde n es el grado ( es un número natural) y a 0 es el término independiente. La gráfica de una función racional entera se llama genéricamente parábola de grado n. El dominio de estas funciones es IR 4. Función lineal - recta A las funciones racionales enteras de grado 1 se las llama, comúnmente, funciones lineales. Tendrán la forma : y = mx + b. , con m, b ε Sabemos que la gráfica de esta función es una recta. 5. Funcion Cuadrática Definición Es la función racional entera de 2° grado. Su form a general es y = ax 2 + bx + c Veremos que dichas funciones representan un lugar geométrico llamado parábola. Unidad 1 Funciones 6. Otras Funciones 6.1 Función Homográfica Definición Es una función racional fraccionaria tal que el grado del numerador y el grado del denominador son iguales a 1 O sea es una función homográfica una expresión del tipo y= Si a = 0 se reduce a la recta y = mx + n ax + b n mx + b b Si efectuamos la división y= y na - bm = 0 m na - bm + a a (ax + b) se transforma en y = m/a recta paralela al eje x. Luego será la expresión una función homográfica si a ∫ 0 y na - bm ∫ 0. El polo de la función homográfica ( o sea el valor de x para el cual la función crece mucho ) es x = - b/a La recta x = - b/a es la asíntota vertical de la función. La abscisa al origen es el valor x = - n/m que anula al numerador solamente. La ordenada al origen es el valor y = n/b La recta y = m/a es la asíntota horizontal de la función. Y x= -b/a y=mx + n ax + b y= n a n/b -n/m X Unidad 1 Funciones 6.2 Funciones Irracionales Definición Se tiene una expresión irracional cuando la variable independiente está afectada por una operación de radicación Ejemplo y= x +4 y =3 x −8 3 En la primera como la x está bajo un símbolo de raíz cuadrada habrá que definir si se adopta para ella el signo + o -. En la segunda la raíz cúbica solo tiene un signo y por lo tanto será siempre una función uniforme. 6.3 Funciones Trascendentes Las funciones vistas hasta ahora eran funciones algebraicas ya que las operaciones que intervienen en su definición son operaciones del álgebra ( + , - , x , / , ). Existen otras funciones que trascienden el campo del álgebra como ser exponenciales, logarítmicas, circulares, hiperbólicas.