ÁLGEBRA APLICADA - AAP1S1
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS
INTRODUCCIÓN
Álgebra
●
Es una rama de las matemáticas que generaliza los métodos y
procedimientos de la aritmética para efectuar cálculos y
resolver problemas con cantidades, mediante reglas y
operaciones que no necesariamente requieren de números
específicos.
Benjamín Garza O.
Aritmética
Álgebra
52 alumnos – 0 reprobados = 52 Aprobados
A = Alumnos
B = reprobados
X = Aprobados
X=A-B
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Signos de Operación
+
–
Adición
–
Sustracción −
–
Multiplicación x
–
División ÷ o también
–
–
Potenciación xⁿ
Radicación
x
y
x/ y
√2 a
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Signos de Relación
–
Igualdad =
–
Diferente de ≠
–
Mayor que >
–
Menor que <
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Signos de Agrupación
–
Paréntesis curvo ( )
–
Paréntesis recto o corchete [ ]
–
Paréntesis de llave { }
–
Signo de vínculo ⸺
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Signos Lógicos
Y lógico ∧
O lógico ∨
No lógico ¬
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Variables
–
Letra o Símbolo que:
●
●
Puede tomar cualquier valor
Puede cambiar de valor
Y = 2X
Si X = 1
Si X = 2
Si X = 3
Y = 2(1)
Y = 2(2)
Y = 2(3)
Y=2
Y=4
Y=6
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Constantes
–
Letra o Símbolo que:
●
●
Tiene un valor numérico fijo
No Puede cambiar de valor
Y = 2X → El 2 será 2
Π = 3,1416 → Tendrá ese valor sin cambiar
R = 8,314 → Valor fijo en química
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Expresión Algebraica
–
Es una representación que se aplica a un conjunto de literales
y números que conforman una o más operaciones
algebraicas.
●
En las expresiones algebraicas, los símbolos que NO están
separados por el signo + o −, reciben el nombre de Términos
Algebraicos.
X ; 7 z ² ; 2 a+5 b ;
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√8 x ;
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x²a²
X
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Elementos de un Término Algebraico
–
Signo antes del término:
●
–
-6xy²; -ax; -8mn → Negativos
Coeficiente. Generalmente el primer factor de un término.
●
●
–
5x; 7uvw → Positivos
+ Positivos. −, Negativos
Numérico: 5ax → Coeficiente 5
Literal: mv → Coeficiente m
Parte Literal. Son los factores literales de un término.
●
5ax → la Parte Literal es ax
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Elementos de un Término Algebraico
–
Grado de un término. Determinado por el exponente de la
parte literal.
●
●
Absoluto. Es la suma de los exponentes de la parte literal
–
2x → Primer grado
–
5ab → Segundo grado
–
8a²x → Tercer grado
Relativo. Es el exponente que tenga la literal considerada
–
xy² → Primer grado respecto a x. Segundo grado respecto a y.
–
m²n³x → Segundo grado respecto a m. Tercer grado respecto a n. Primer
grado respecto a x.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Clasificación de las expresiones algebraicas por el número de
términos.
–
Monomios. Constan de un solo término. Los números y letras
están ligados por la operación de multiplicar.
●
–
5x;
-3ab; x²z/2y;
3ab³
Polinomios. Constan de más de un término. Son la suma
algebraica de dos o más monomios.
●
a + 2b;
3x² – 5y + z;
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2x³ – 7x² – 3x + 8
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Grado de Polinomio
–
Absoluto. Determinado por el exponente de sus términos, con
el valor más alto.
●
–
a⁴ – 5a³ + 7a² + 3a + 1 → El grado absoluto es Cuarto
Relativo a una literal. Es el mayor exponente que tiene la
literal que se considere del polinomio.
●
x⁷ + x⁴y³ – x²y⁵ → El grado con respecto a x es séptimo, con
respecto a y es quinto.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Evaluación de expresiones algebraicas
–
Es un proceso que consiste en sustituir valores numéricos
asignados para las literales de una expresión algebraica y
efectuar las operaciones indicadas para obtener como
resultado un valor numérico específico correspondiente.
●
2a²bc³
cuando a=2; b=3; c=1
2(2)²(3)(1)³ = 2(4)(3)(1) = 8(3)(1) = 24(1) = 24
●
4 √ bx
3
Cuando b=8 ;
3
4 √(8)(2)
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x=2
= 4 √(8)(8) = 4 √ 64 = 4 (8) = 32
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Notación algebraica
●
Términos Semejantes
–
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a
todos aquellos términos que tienen igual factor literal ; es
decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos
literales) e iguales exponentes.
6 a2 b3 Es un término semejante a −3 a 2 b3
2 3
porque ambos tienen la misma parte literal: a b
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Reducción de términos semejantes (eliminando signos de
agrupación)
–
–
–
La reducción de términos semejantes es un proceso de
simplificación de dos o más términos en uno solo, que
represente la expresión algebraica dada.
Se emplean los signos de agrupación, los cuales permiten
encerrar en un todo los términos dados y representar las
operaciones de un modo fácil y claro.
Los signos de agrupación indican que algunas operaciones se
deben realizar antes que otras.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Reducción de términos semejantes (eliminando signos de
agrupación)
–
Reglas
●
●
●
Los signos de agrupación precedidos por el símbolo + pueden
agregarse en una expresión o eliminarse de una expresión sin
cambiar los signos de la misma.
Los signos de agrupación precedidos por el símbolo – pueden
agregarse en una expresión o eliminarse de una expresión
cambiando los signos de los términos de la expresión.
Por lo general, uno o más signos de agrupación están contenidos
unos en otros, por lo que se recomienda comenzar a eliminar los
signos interiores.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Reducción de términos semejantes (eliminando signos de
agrupación)
{8x – [5x – (– x+y) + 7y] + 2y}
=
{8x – [5x + x – y + 7y] + 2y}
= {8x – 5x – x + y – 7y + 2y}
= 8x – 6x + 3y – 7y
= 2x – 4y
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
Ordenar polinomios
●
–
–
Permite realizar los cálculos y operaciones más fácilmente.
Se ordenan respecto al exponente de una literal en forma
ascendente o descendente.
3
5
2
4
Polinomio desordenado→ 2 x +9+3 x + x −4 x −5 x
5
4
3
2
3 x −4 x +2 x + x −5 x+9→Ordenado descendente respecto al exponente de X
2
3
4
5
9−5 x+ x +2 x −4 x +3 x →Ordenado ascendente respecto al exponente de X
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Suma o Adición de polinomios
–
–
Consiste en reunir dos o más expresiones algebraicas en una
sola.
La adición con polinomios se realiza sumando solo términos
semejantes.
●
●
●
–
3a² + 5a² + 7a² = 15a²
2mn + 3mn = 5mn
ax² + 2ax² + 3ax² = 6ax²
En aritmética se suman los números positivos. En álgebra la
suma puede ser con cantidades positivas y negativas. Este
proceso se denomina suma o adición algebraica.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Suma o Adición de polinomios
–
Para fines prácticos se colocan verticalmente los términos
semejantes para facilitar la operación.
●
3a² + 5b + 2a² – 3ab + 4b + 7ab -b
-
3ab
+
5b
2a² +
7ab
+
4b
-
b
+
8b
3a²
5a² +
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4ab
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Suma o Adición de polinomios
–
Para fines prácticos se colocan verticalmente los términos
semejantes para facilitar la operación.
●
5x³y – 6x²y² + 7xy³ – 2x³y – 3xy³ + x²y² + 3x³y + 4x²y² – 2xy³
5x³y – 6x²y²
– 2x³y +
+ 7xy³
x²y²
– 3xy³
3x³y + 4x²y²
– 2xy³
6x³y –
+ 2xy³
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x²y²
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Resta o sustracción de polinomios
–
Restar de l una cantidad m significa determinar la cantidad r
tal que al sumar m con r nos de como resultado l.
●
–
–
–
l – m = r ya que
r+m=l
La sustracción con polinomios se realiza utilizando términos
semejantes.
En aritmética la resta indica disminución, en álgebra puede
indicar aumento o disminución.
Se restan del minuendo cada uno de los términos del
sustraendo, cambiándole el signo a todos sus términos.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Resta o sustracción de polinomios
–
De: 11x + 9y – 5z restar: 7x – 4y + 2z
11x + 9y – 5z
– (7x - 4y + 2z)
Minuendo
Sustraendo
11x +
9y
–
5z
– 7x +
4y
–
2z
4x +
13y
–
7z
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Resta o sustracción de polinomios
–
De: 11a – 6bc + 3ac – 1 restar: 15a + 7ac –
8bc + 4
11a + 3ac – 6bc – 1
– (15a + 7ac – 8bc + 4)
Minuendo
Sustraendo
11a +
3ac
–
6bc
–
1
–15a –
7ac
+
8bc
–
4
–4a –
4ac
+
2bc
–
5
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
–
Dos expresiones denominadas multiplicando y
multiplicador dan como resultado un producto.
Al multiplicando y al multiplicador de les denomina factores.
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Se regula por las siguientes leyes:
●
●
●
Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto
(a)(b)(c) = (b)(a)(c) = (c)(b)(a) = abc
Asociativa. Los factores de un producto pueden agruparse de
cualquier modo.
a(bc) = b(ac) = c(ab) = abc
Distributiva. El producto de un factor por una suma es igual a
la suma de los productos del factor con cada uno de los
sumandos.
a(b + c) = ab + ac
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Se regula por las siguientes leyes:
●
Leyes de los signos.
(+)(+) = +
(‒)(‒) = +
(+)(‒) = ‒
(‒)(+) = ‒
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Se regula por las siguientes leyes:
●
Ley de los exponentes. Cuando cantidades iguales o de la
misma base se multiplican, los exponentes se suman.
x
y
(a )(a )=a
x+ y
(5 x 2 y )(−2 xy)=−10 x 3 y 2
(ax)(3 a2 y )(2 xy 2 )=6 a3 x 2 y 3
2
3
(m )(5 mn)=5 m n
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Monomios
●
Se fundamenta en el producto de los coeficientes, las leyes de
los signos y la ley de los exponentes.
3
Multiplica 3 x por 4 x
2
3
2
2
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5
2
Multiplica 5 ax por −2 x
Multiplica −x y por 3 xz
2
→ (3 x )(4 x )=12 x
→ (5 ax )(−2 x)=−10 ax
2
2
2
3
3
→ (−x y )(3 xz )=−3 x y z
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2
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Monomios por Polinomios
●
Se fundamenta en el producto de los coeficientes, las leyes de
los signos, la ley de los exponentes y la ley distributiva
(multiplicar el monomio por cada término del polinomio).
2
Multiplica ax por x −2 xy + y
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2
2
2
3
2
→ ax (x −2 xy+ y )=ax −2 ax y+axy
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2
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Monomios por Polinomios
2
2
Multiplica −3 xy por 2 x y−7 x−2 y +5 :
2
2
=−3 xy (2 x y−7 x−2 y +5)
3
3
2
2
3
=6 x y +21 x y +6 xy +15 xy
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2
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Monomios por Polinomios
2
2
Multiplica a +5 a+6 por −2 ab :
2
2
=(a +5 a+6)(−2 ab )
3
2
2
2
=−2 a b −10 a b −12 ab
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2
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Polinomios
●
Es igual a la suma de los resultados obtenidos de multiplicar
cada término de un polinomio por cada término del otro
polinomio.
Multiplica (x + y) por (u−v ):
(x + y)(u−v )
xu− xv+ yu− yv → ( orden descendente )
ux−vx+uy− yv → ( orden ascendente )
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Polinomios (método horizontal)
2
2
2
Multiplica (m + n ) por (4 x − 3 x + 1) :
2
2
2
(m + n ) (4 x − 3 x + 1)
2
2
2
2
2
2
2
2
4 m x −3 m x + m + 4 n x − 3 n x + n
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
Multiplicación o Producto
–
Multiplicación de Polinomios (método vertical)
●
La expresión que tenga menor cantidad de términos se coloca
debajo
2
2
Multiplica (7 x + x) por (4 x −3 x + 1) :
2
4x - 3x + 1
7 x2 +
x
28 x 4 − 21 x 3 + 7 x 2 + 4 x 3 − 3 x2 + x
28 x 4 − 21 x 3 + 4 x 3 + 7 x 2 − 3 x2 + x → Se ordena para facilitar la suma
4
3
2
28 x − 17 x + 4 x + x
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36/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
Dos expresiones denominadas dividendo y divisor dan como
resultado un cociente.
●
Se regula por la ley de los signos:
(+)÷(+)=+
(+)÷( -)= ●
( -)÷(-)=+
( -)÷(+)=-
Ley de los exponentes.
–
Cuando cantidades iguales o de la misma base se dividen, los
exponentes se restan.
x
a
x− y
=a
y
a
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37/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
3
a
3−1
2
=a =a
a
6
x
6−3
3
=x
=
x
3
x
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2
y
2−2
0
=
y
=
y
=1
2
y
4
m
4−3
=m
=m
3
m
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
Toda cantidad con exponente cero es igual a 1
●
Sea dividir x⁵ entre x⁵.
Por ser iguales el dividendo y el divisor, se tiene que:
x⁵ ÷ x⁵ = 1
Según la regla de la división de potencias de una misma literal
se tiene:
x⁵ ÷ x⁵ = x⁵¯⁵ = x⁰
Por tanto:
X⁰ = 1
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39/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o cociente
–
Toda cantidad con exponente negativo equivale a un
quebrado cuyo numerador es 1, y el denominador es la
misma cantidad con exponente positivo.
Dividir x⁴ entre x⁷:
Según la regla de la división de potencias de una misma literal
x⁴ ÷ x⁷ = x⁴¯⁷ = x¯³
Esta misma división puede expresarse:
x 4 x 4 ÷x 4 1
= 7 4= 3
7
x x ÷x
x
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1
De donde: x = 3
x
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−3
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
De lo anterior se establece que, cualquier factor del
numerador de una fracción puede pasar al denominador,
cambiando el signo del exponente y viceversa
1
x = m
x
−m
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de Monomios
●
Operación que se fundamenta en la división de los coeficientes,
las leyes de los signos y la ley de los exponentes.
Dividir 6x³ entre 2x
3
6x
3−1
2
=3 x =3 x
2x
Dividir 5ax⁴ entre -3ax²
4
5 ax
5 1−1 4−2
5 0 2
5 2
5 2
=− a x =− a x =− 1 x =− x
2
3
3
3
3
−3 ax
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42/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de Monomios
●
Cuando el dividendo es menor que el divisor.
Dividir — 4a2 b5 entre — 16ab3:
−4 a2 b5 a(2−1) b(5−3) a b2
=
=
3
4
4
−16 ab
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43/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Monomio
●
●
Operación que se fundamenta en las leyes de los signos,
exponentes, coeficientes y en la ley distributiva (dividir cada
término del polinomio entre el monomio).
Divide a²b – 2ab² + 4a entre a
2
2
2
2
a b−2 ab +4 a a b 2 ab 4 a
2
=
−
+
= ab−2 b +4
a
a
a
a
3
2
3
2
4 x −12 x −8 x+2
4x
12 x
8x
2
1
2
=
−
−
+
= −2 x +6 x +4−
−2 x
−2 x −2 x −2 x −2 x
x
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
●
●
Tiene un proceso de solución similar al de la división
aritmética.
Es necesario ordenar el dividendo y el divisor en forma
descendente respecto a una literal.
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45/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio - Procedimiento
1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término
del divisor, obteniéndose el primer término del cociente, éste se
multiplica por el divisor y cuyo producto se escribe cambiando de
signo bajo los términos semejantes del dividendo.
2. Se eliminan los términos semejantes para dar lugar al nuevo
dividendo, se escoge el primer término del nuevo dividendo y se
divide entre el primer término del divisor, obteniéndose el
segundo término del cociente, el cual se multiplica por el divisor y
su producto se escribe cambiando de signo bajo los términos
semejantes del dividendo.
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
46/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
3. Se eliminan los términos semejantes para dar lugar a un nuevo
dividendo.
4. Se repiten las operaciones anteriores sucesivamente hasta que
el residuo sea cero (exacta) o de grado inferior al divisor
(inexacta).
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
47/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
3
2
2
Dividir a +5 a +6 a+8 entre a +a+2
3
2
a +5 a +6 a+8
3
2
−a − a −2 a
2
a +a+2
a+4
2
0+4 a +4 a +8
−4 a2−4 a−8
0
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
48/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
3
2
5
2
Dividir 37 m −15 m−8 m −20 m + entre 4 m −5
5
−20 m +
5
+20 m
0
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
3
2
37 m −8 m −15 m
3
−25 m
+12m3−8 m2−15 m
−12 m3
+15 m
2
0 −8 m
0
+8m2
−10
−10
Álgebra Aplicada - AAP1S1
2
4 m −5
3
−5 m +3 m−2
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
●
Resumiendo el procedimiento sería así:
1. Ordenar
2. Buscar la expresión para multiplicar
3. Multiplicar
4. Restar o cambiar el signo
5. Bajar el siguiente término
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
2
Dividir 2 x −15 x +25 entre x−5
2
2 x −15 x +25
−2 x 2 + 10 x
−5 x +25
+5 x−25
0
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
x−5
2 x−5
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
2
2
Dividir 6 x −2 y − xy entre y +2 x
2
2
6 x −xy−2 y
−6 x 2− 3 xy
−4 xy−2 y 2
+4 xy +2 y 2
0
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
2 x+ y
3 x−2 y
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Operaciones Fundamentales (Adición, sustracción, multiplicación y división)
●
División o Cociente
–
División de un Polinomio entre un Polinomio
5
4
2
2
Dividir 6 x + x +4 x −7 x +1 entre 2 x + x−3
5
6 x +x
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
4
2
+4 x −7 x+1
2
2 x + x−3
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Productos Notables
●
Son ciertos productos que se efectúan directamente,
basándose en reglas notables que al memorizar su aplicación,
permiten llegar al resultado sin necesidad de realizar la
multiplicación.
–
El Producto de la suma y la diferencia de dos números.
2
2
(m+n)(m−n)=m −mn+mn−n
=m2− n2
El producto de la suma y diferencia de dos términos es igual al
cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo
término.
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Productos Notables
–
El cuadrado de un binomio
2
2
1. (m+n) =(m+n)(m+n)=m + 2 mn+ n
2
2. (m−n)2=(m−n)(m−n)=m2−2 mn+ n2
–
El cuadrado del primer término
–
[Más/Menos] El doble producto de los términos
–
Más el cuadrado del segundo término
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Productos Notables
–
El cubo de un binomio
3
2
2
1. (m+n) =(m+n)(m+n)(m+n)=(m +2 mn+n )(m+n)
3
2
2
2
2
3
=m +m n+2 m n+2 mn +mn +n
=m3 + 3 m 2 n+ 3 mn2 + n3
3
2
2
2. (m−n) =(m−n)(m−n)(m−n)=(m −2 mn+n )(m−n)
3
2
2
2
2
3
=m −m n−2 m n+2 mn +mn −n
3
2
2
3
=m −3 m n+ 3 mn − n
–
El cubo del primer término
–
[Más/Menos] El triple producto del primer término al cuadrado por el
segundo
–
Más el triple producto del primero por el segundo al cuadrado
–
[Más/Menos] el segundo término al cubo
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
●
Es el proceso mediante el cual un producto se descompone en
sus factores.
Dado un producto se obtienen sus factores.
Factor es cada uno de los términos que al multiplicarse entre
sí dan lugar a un producto
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factores de un monomio
–
Se determina al descomponer el monomio en factores más
simples.
12 xy=(3)(4)(x )( y)
12 xy=(2)(6)( x)( y )
6 a2=(2)(3)(a)(a)
15 a2 b3 c=(3)(5)(a)(a)(b)(b)(b)(c)
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factores de un polinomio
–
–
Significa transformar una suma algebraica en un producto de
factores.
ax +ay = a(x + y )
4 x 3−2 x 2 +6 x = 2 x (2 x 2−x +3)
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
●
●
No todo polinomio se descompone en dos o más factores
diferentes de la unidad.
Hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellas
mismas y por la unidad.
Un polinomio está completamente factorizado si ninguno de
sus factores puede factorizarse más.
2+ x → Solo es divisible por 2+ x y por la unidad
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factores Comunes
–
Si cada término de un polinomio tiene un factor común, su
factorización será el producto de dos factores. El factor
común por el polinomio restante.
De bx +2 x el factor común es x
Se divide el polinomio entre el factor común
y se obtiene el otro factor
bx 2 x
+
= (b+2)
x
x
bx +2 x = x (b+2)
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
61/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factores Comunes
2
2
2
12 x y−2 z y+8 w y → El factor común es 2 y
2
2
2
12 x y 2 z y 8 w y
−
+
= 6 x 2− z 2 +4 w 2
2y
2y
2y
2
2
2
2
2
2
12 x y−2 z y+8 w y = 2 y (6 x − z +4 w )
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
62/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de cuadrado perfecto
–
–
Se identifica porque su primer y tercer término tienen raíz
cuadrada exacta
El segundo término es el doble producto de dichas raíces
cuadradas.
2
16
⏟x + 16
⏟x + 4⏟
2
√ 16 x =4 x
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
2∗4 x∗2
Álgebra Aplicada - AAP1S1
√ 4=2
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de cuadrado perfecto
–
Se aplica la siguiente regla:
●
●
●
Se determina la raíz cuadrada del primer y tercer término
El signo del segundo se emplea para separar dichas raíces
El binomio formado se eleva al cuadrado o se multiplica por sí
mismo
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
64/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de cuadrado perfecto
2
16 x +16 x +4
√ 16 x
√4
2
=4 x
=2
}
2
16 X +16 x +4 = (4 x+2)(4 x +2) = (4 x +2)2
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
65/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de cuadrado perfecto
2
25 x −30 xy+9 y
√ 25 x 2
√ 9 y2
=5 x
=3 y
2
}
25 x 2−30 xy+9 y 2 = (5 x−3 y )(5 x−3 y ) = (5 x−3 y)2
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
66/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de cuadrado perfecto
2
1−2 a +a
√1
√ a4
4
=1
=a2
}
1−2 a2 +a4 = (1−a2 )(1−a2 ) = (1−a2 )2
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
67/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de cuadrado perfecto
2
x +3 x +
√x
√
9
4
2
9
4
=x
3
=
2
x 2 +3 x +
}
2
9
3
3
3
= (x + )( x+ ) = (x + )
4
2
2
2
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
68/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c
–
–
–
El primer término tiene raíz cuadrada exacta
El segundo término consta de coeficiente numérico o literal,
positivo o negativo y su parte literal es igual ala raíz cuadrada
del primer término.
El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o
negativa, distinto al primero y segundo término
2
x +bx+c
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
69/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
●
Forma de resolver
–
–
Se factoriza en 2 factores binomios; para el primer término de
los binomios se extrae la raíz cuadrada al primer término
Los segundos términos de cada factor son aquellos que:
●
●
Sumados algebraicamente sean igual al coeficiente del término
central del trinomio x2 + bx + c
El producto sea igual al tercer término del trinomio x2 + bx + c
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
70/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Factorización
x 2 +11 x+24
( + )⋅( + )
( x + 3)⋅(x + 8)
2
√x = x
Primer término de los binomios factores
24
24∗1=24
12∗2=24
8∗3=24
6∗4=24
11
24 +1=25
12+2=14
8+3=11
6+4=10
8 y 3 cumplen las condiciones para la solución
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
71/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Las fracciones numéricas son expresiones en las que hay un
numerador y un denominador
–
–
Numerador: la cantidad que se toma de una unidad
Denominador: la cantidad de partes en las que se dividió esa
unidad.
1
3
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
1
3
Álgebra Aplicada - AAP1S1
72/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen
el numerador y denominador por una misma cantidad (debe
ser distinta de cero).
a x
ax
ax
a
⋅ =
=
=
b x
bx
bx
b
a x
5⋅3 15
⋅ =
=
= 0,56
b x
9⋅3 27
Si a=5 ; b=9 ; x=3
a
5
=
= 0,56
b
9
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
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OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Simplificación de fracciones algebraicas
–
–
Reducir una fracción a sus términos mínimos es alterar su
forma sin alterar su valor.
Es transformarla en una fracción equivalente en la que el
numerador y el denominador ya no tienen ningún factor
común, excepto la unidad.
2
3
m n
1
=
3 4
m n mn
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
74/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Simplificación de fracciones algebraicas
3
2
9x y
3x
=
3
y
3 xy
2
2
3
2
4
27 a b c d
3
=
3 3 4 5
7abcd
63 a b c d
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
2
r
r
=
rq q
2
3
8a b
1b b
= =
3 2
24 a b 3 a 3 a
2
x + x−6 ( x+3)(x−2) x +3
=
=
2
( x+2)(x−2) x +2
x −4
Álgebra Aplicada - AAP1S1
75/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Suma algebraica de fracciones
–
–
Abarca tanto la suma y resta
El procedimiento es igual al que se emplea en la aritmética
●
●
●
●
Si tienen diferentes denominadores, se determina el mínimo
común denominador (MCD).
Se divide el MCD entre el denominador de cada fracción y se
multiplica por su numerador.
Se efectúa la suma algebraica de los numeradores.
Se simplifica a los términos mínimos.
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
76/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Suma algebraica de fracciones
–
Fracciones con igual denominador
(2 x−1)−(x−1)+ x
2 x−1 x−1 x
−
+
=
x+1 x +1 x +1
x+1
2 x−1−x +1+ x
=
x +1
2x
=
x +1
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
77/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Suma algebraica de fracciones
–
Fracciones con diferentes denominadores
4 y
+ 2 → MCD → x 2 y
xy x
2
(4)(x)+( y)( y)
4 x+ y
=
=
2
2
x y
x y
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
78/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Multiplicación de fracciones algebraicas
–
El procedimiento es igual al que se emplea en la aritmética
●
●
–
Se multiplican los numeradores con los numeradores
Se multiplican los denominadores con los denominadores
Simplificar la fracción al mínimo término posible
a c a⋅c
=
b d b⋅d
( )( )
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
79/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
Multiplicación de fracciones algebraicas
2x
3 x +5
⋅
x−1
x2
2 x (3 x +5)
2 x (3 x +5)
2(3 x+5)
6 x+10
=
=
=
2
2
2
( x−1) x
( x−1) x
( x−1) x
x −x
2 a 15 b
30 a b
6
=
=
2
2
2 2
ab
5b a
5a b
( )( )
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
80/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
División de fracciones algebraicas
–
–
Antes de realizar la división se debe simplificar cuando se
pueda.
Al igual que en aritmética se procede multiplicando los
numeradores de una fracción con los denominadores de otra.
a c
ad
÷ =
b d
bc
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
81/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
División de fracciones algebraicas
2
2x
x
÷
x +1 x−2
2 x ( x−2)
2
( x+ 1) x
Se simplifica x
{
=
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
2 x ( x−2)
2( x−2)
=
( x+1) x
( x+1) x 2
2 x−4
x2+ x
Álgebra Aplicada - AAP1S1
82/83
OPERACIONES ALGEBRAICAS
Fracciones Algebraicas
●
División de fracciones algebraicas
2
4a
2a
÷
7
21
2
2
3
4 a ⋅21 4 a ⋅21 4 a⋅3 12 a
=
=
=
=6 a
7⋅2 a
7 ⋅2 a
2
2
1
Ing. Igor F. Dávalos Rojas
Álgebra Aplicada - AAP1S1
83/83
