Calculos Acustica para Arquitectura

Acústica arquitectónica
Estructuras integradas
Diseño
Recubrimientos
Medición acústica
Pantallas
Objetivos
Magnitudes físicas del
acondicionamiento
acústico
Naturaleza del sonido
Percepción
del sonido
Audición
Magnitudes subjetivas
Mecánica de ondas
Energía propagada
Fenomenología de ondas
Ondas mecánicas
Diseño acústico
Medición
Absorción
Resonancia
Materiales
El sonido: Perturbación oscilatoria del aire delante del tímpano
Conservación de la energía
Wse
Wes
sistema
Es
Eg
Es  Emecánica
 Etérmica
El
 Equímica  Eotras
Es  Eg  El  We
Fundamentos energéticos
Interfase
Exterior
Interior
r
ES [J]
Energía
Acústica
El
Fundamentos energéticos
Medición
absoluta
Fuente
Medición
subjetiva
r
I [W/m2]
P [W]
Potencia
sonora
Intensidad
sonora
Propagación
ondulatoria
S [decibel]
Sensación
sonora
Ondas mecánicas en una cuerda
Energía químico
mecánica
(sacudida)
propagación
Energía mecánica
(oscilación armónica)
¿Cuánto vale la energía mecánica que se propaga?
¡Tenemos que entender la energía en las oscilaciones mecánicas!
Movimiento oscilatorio: ejemplos
El mínimo de la energía
mecánica potencial nos
da la posición de
equilibrio
U
x
Equilibrio, relajación
1 2
kx
2
Movimiento oscilatorio: ejemplos
 a 12  a 6 
U  U 0    2  
 x  
 x 
x0
Distancia de equilibrio
Oscilación fundamental: movimiento armónico
x  A sin(t   )
T
Asin
x  elongación
A  amplitud
  fase inicial
  frecuencia angular
f=/2  frecuencia [Hz=s-1]
T=1/f=2/  período [s]
Oscilador armónico: dinámica de Newton en un muelle
F= -k x
F  m a  k x  ma  k x  0
Aplicando condiciones iniciales
d 2x k
d 2x
 m 2  kx  0  2  x  0
dt
m
dt
La solución general de esta ecuación:
 x  A sin(t   ), donde  
k
m
t  0, x  0
dx
t  0, v 
0
dt
 x  A sin t
Energía del oscilador armónico
Energía cinética
Ek 
1
m v2
2
2
1
1  dx 
 m    m A2 cos 2 (t   )
2
2  dt 
1
x 2  ; y como   k
1
2 2
2 2
2
 m  A 1  sin (t   )  m  A 1  2 
m
2
2
 A 



1
2
2
 Ek  k A  x
2

Energía del oscilador armónico
Energía potencial:
Como es una fuerza conservativa  F  k x  
Aplicando condiciones de contorno x=0, Ep=0
dE p
dx
1 2
 E p  k x  cte.
2
1 2
 Ep  k x
2
Por lo que la energía total del oscilador armónico
1
2
 E  Ek  E p  k A
2
Energía que se propaga en la cuerda
Energía químicomecánica
(sacudida)
propagación
¿cuánto vale la energía que se propaga?
A
1
2
E  Ek  E p  k A
2
La energía que se propaga en la cuerda es la energía mecánica de la oscilación…
…que al final es proporcional al cuadrado de la amplitud de la “sacudida”
Ejercicio 1
Una masa de 3 Kg unida a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un período de 2 s.
a) ¿Cuál es la expresión matemática de la oscilación? ¿Cuál es la energía mecánica total?
b) ¿Cuánto vale la velocidad máxima de la masa?
c) ¿En qué posición x la velocidad es la mitad del valor máximo?
(a)
x  A sin(t   ) ; A  0,04 m ;  
 x  0,04 sin(t )
 EM 
(b)
(c)
EM 
1
k  A2
2

2
  seg -1 ;   0
T
k
 k   2  m  3 2 N/m
m
1
 3 2  (0,04) 2  23,4 mJ
2
k
1
1
2
 vmax 
 A    A    0,04 m/s
k  A2  Ek ,max  m  vmax
m
2
2
v
1
1
1
1 k
m  v 2  k  x 2  k  A2 ; max 
A
2
2
2
2
2 m
1 1 k
1
1
1
 m    A2  k  x 2  k  A2  x  A 1   0,87  A  0,035 m
2 4 m
2
2
4
Propagación de ondas
Onda transversal (sacudida en la cuerda, olas del mar)
Propagación (eje x)
Perturbación (eje y)
Onda longitudinal (sonido)
Perturbación
(eje x)
Propagación
(eje x)
Ecuación de ondas
El oscilador armónico describe una perturbación…¡pero sólo en el tiempo!
y  f (t )  A sin(t   )
¿Cómo definimos la perturbación que se propaga en el tiempo y en el espacio?
 f ( x, t )
Sea la función f(x) que describe la perturbación en la cuerda en t=0 y t=t
y
f(x, t=0)
v  velocidad de propagación
v·t
f(x, t=t)
x
 f(x,t) = f (x-vt) (perturbación que se propaga a la derecha)
Conociendo la deformación f y la velocidad v,
 Definimos la perturbación f (x-vt) que se propaga en el espacio y en el tiempo
Ecuación de ondas: onda transversal
Sea una onda propagándose a través de una cuerda. En un instante t, alrededor del punto perturbado:
Elemento diferencial de
la cuerda de longitud x
y densidad 
Nos interesa el movimiento vertical (eje y) de este elemento diferencial:
densidad
2 y
 F  m a  F sin 2  F sin 1  m a   x  t 2 ; donde m   x
pero 1 , 2  1  sin 1  tan1 , sin  2  tan 2  sin  2  sin 1  tan 
 y 

 
2
2
2

y

y
tan  
2 y

y

x



F


F

F

2
x 2
t 2
x
t
x
t 2
 y  y
v
 2
2
x
t
2
2
2
Ecuación de ondas
F
donde v 
 velocidad de propagación

Ecuación de ondas
2
2

y

y
2
v
 2
2
x
t
…¡¡que cualquier perturbación f(x-vt) cumple!!
 2 f ( x  vt)
 f " ( x  vt)
2
x
 2 f ( x  vt)
2

v
 f " ( x  vt)
2
t
2
2

f
(
x

vt
)

f ( x  vt)
2
v

2
x
t 2
¿Pero cuál es la función f(x-vt) en una cuerda?
Pues depende de la “sacudida”
Fuente armónica
y
Aquí ya ha llegado la
perturbación
x vt
Si la sacudida de la cuerda es contínua en el
tiempo, a través de la cuerda se propaga
energía contínuamente: La magnitud
característica de la fuente es su potencia.
x
Si las oscilaciones del punto x=0 son armónicas, las perturbaciones del medio
material en el que se propagan también lo son, y se expresan de esta manera
(siempre cumpliendo la ecuación de ondas)

  x 
 A sin     t  

  v 
y
0

t
x
v
t
x
v
Por lo tanto tenemos una perturbación armónica en el tiempo y en el espacio:
T
y
2


y
2v

Aquí todavía no ha
llegado
t
En el tiempo: oscilación vertical del punto material
haciendo k0 
2

expresamos la perturbación de la cuerda
x
En el espacio: fotografía de la cuerda
 y  A sin(k0 x  t )
Perturbación en el tiempo y en el espacio
y
T
2


y
2v

t
x
y  A sin(k0 x  t )
k0 
2

T
2

   v T
k0 

v
Generalización tridimensional
Sea la perturbación0 que se transmite en el espacio
0 se genera en el origen de coordenadas
Perturbación  que se
propaga a distancia r:
(fuente puntual)
r
Onda esférica
Frente de ondas esférico
Lo exige la conservación de la energía!
 Cumple la ecuación de ondas espacial:
     
v  2  2  2
y
z
 x
2
2
2
2
 
  2
 t
2

k  k  (k x , k y , k z )
 
1
    0 sin(k  r  t )
r
Solución
;
r  r  (x , y , z)
Ondas circulares y planas
Onda circular
Propagación de energía
¡Conservación de energía!

1

ψ(r ,t) 
 0 sin(k .r  t )
r
Onda plana



2
kx
x
ψ(x,t)   0 sin(k x x  t )
Propagación en el espacio: frentes de onda y rayos
Sea la fuente puntual que emite una onda circular
Rayo: Perpendicular al frente de onda
Frente de onda:
Une los puntos del medio en el
mismo estado de oscilación
Define la dirección de propagación
…y la de transmisión de energía!
Fenomenología de ondas: Interferencias
Sean dos fuentes de frecuencia  y vector k iguales (fuentes síncronas)
1


 0 
 Formalment e, A1 
r



 1 (r1 , t )  A1 sin(k  r1  t )
r1
r2
 

 2 (r2 , t )  A2 sin(k  r2  t )



 (r , t )   1 (r1 , t )  2 (r2 , t )
   
 
fase  k  r1 - k  r2  2n  r1 - r2  n
   
  2n  1
antifase  k  r1- k  r2  2n  1    r1 - r2 

2
   
A  A  A  2 A1 A2 cos(k  r1  k  r2 )
2
1
2
2
Fenomenología de ondas: Difracción
Sea un emisor puntual en frente de una
rendija de tamaño análogo a la longitud
de onda
Sean dos rendijas de tamaño similar a
la longitud de onda.

 (r, t )  A sin(k  r  t )
r
y
d
D
d
r’

 ' (r, t )  A' sin(k  r't )
La rendija se convierte en emisor
puntual secundario siempre que:
d ~
D
Las dos rendijas se convierten
en fuentes síncronas
 Aparecen líneas de interferencia
en la pantalla de enfrente
Fenomenología: Reflexión, refracción
Sea una onda que incide sobre la
interfase entre dos medios
Medio A
(velocidad de propagación vA)
Onda reflejada
El concepto de rayo es mucho más útil
para describir la reflexión/refracción
i r
Onda incidente
ref
Onda transmitida
(refractada)
Medio B
(velocidad de propagación vB)
Reflexión 
Refracción 
i   r
sin  i
v
 A
sin  ref vB
Reflexión y refracción en una cuerda
Como la velocidad de propagación depende de la densidad (v = (T/)1/2)  vA≠vB
vA
vB
Energía transmitida
Energía reflejada
Ondas estacionarias en una cuerda
Sea la perturbación armónica en una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos.
Las ondas reflejadas en dichos extremos dan lugar a interferencias entre ondas síncronas.
Onda que viaja hacia
la derecha
y  A sin(k x x  t )
+
y  A sin(k x x  t ) Onda que vuelve hacia
 y  2  A  sin (k x x)  cos(t )
la izquierda
En la situación estacionaria observaremos una “fotografía” especial, en la que en
función de T y para una longitud total de la cuerda L:
2L

; n  1, 2,3... (“Modos” de la cuerda)
n
Interferencia
Interferencia
positiva
negativa
(vientre)
(nodo)
 1 
x  n  
2 2

x  n

2
Ondas estacionarias circulares
Si el movimiento oscilatorio está confinado en un recinto circular surgen
los modos de vibración, es decir, las ondas estacionarias circulares
L
Y en el espacio, igualmente, las ondas esféricas estacionarias
Ejemplo, resonancia acústica
Ondas estacionarias de electrones
Atomo de oro
Ejercicio 2
En una cuerda la velocidad de propagación es función de la tensión con la que se sujeta y de la
densidad:
v T/
Una cuerda de 20 m y 0,06 Kg, y sometida a una tensión de 50 N se sujeta por ambos extremos.
Encontrar las frecuencias de resonancia de la cuerda.
2 L ;   v

f
n
v
 fn 
n 129
2  20
 f 
nv
2 L
50
 129 m/s
0,003
 3,22 Hz, 6,44 Hz, 9,66 Hz,...
Propagación de ondas
Onda transversal (sacudida en la cuerda, olas del mar)
Propagación (eje x)
Perturbación (eje y)
Onda longitudinal (sonido)
Perturbación
(eje x)
Propagación
(eje x)
El sonido es una onda longitudinal
Perturbación periódica del aire
Oscilación periódica
de presión y
volumen
(masa constante)
Onda de deformación longitudinal en un tubo
Sea la perturbación de la presión p (dp = p-p’ ) que se propaga por un tubo, provocando a su vez una
deformación elástica d:
Si p ≠ p’, dp ≠0, y la
deformación d se desplaza
relajado
perturbado
dx
dx+d
p
p
p’
p
(x,t) y p(x,t) cumplen la ecuación de ondas:
2
 2


2

v
t 2
x 2
ó
2
2 p
2  p
v
2
t
x 2
donde v 
Y
Y  módulo de Young

  densidad del medio
Pudiendo demostrarse que entre presión y deformación hay un desfase /2:
    0 sin(kx  t ) ; p  p0 sin(kx  t   / 2)
Y estando presión y deformación máximas ligadas
por la velocidad de propagación:
 p0    v  0
Sound is a pressure wave

Onda de presión que se propaga
p  p0 sin(kx  t   / 2)
[N/m2 ]
Onda de deformación asociada
   0 sin(kx  t ) [m]
p0    v  0
p
Velocidad de propagación del sonido
sólido
Berilium
 (g/cm3)
v (m/s)
1,87
12890
Steel
7,85
5960
Silver
10,4
3650
Glass
2,32
5640
Brick
1,8
3650
Wood (Oak)
 (g/cm3)
v (m/s)
Acetone
0,79
1174
Chloroform
1,49
987
Water
1
1947
líquido
3850
 (g/m3)
gas
v (m/s)
Air
1,293
331,45
Chlorine
3,214
206
Carbon dioxide
1,977
259
Ejercicio 3
La frecuencia de un diapasón es 440 Hz. La velocidad del sonido en el aire es 340 m/s. Encontrar :
a)
La longitud de onda de la perturbación acústica armónica generada
b)
El número de ondas de la perturbación acústica
c)
La expresión matemática de la onda de presión y de la de deformación
d)
Si la amplitud de la presión que se propaga es 0,5 N/m2 y la densidad del aire es =1,2250 kg/m3,
determinar la amplitud de deformación asociada
(a)   v  T 
(b) k x 
(c)
2 


v 340

 0,77 m
f 440
2 
 8,13 m -1
0,77
p  p0 sin(k x x  t ) p0 sin(8.13x  2    440t )  p0 sin(8.13x  2765t ) N/m2
   0 sin(k x x  t   / 2)   0 sin(8.13x  2765t   / 2) m
(d)
0,5
p0    v  0   0 

 0,4m
  v 1,225  2765  340
p0
Sonido puro, musical y ruido
Perturbación armónica, frecuencia única  sonido puro
p
t
p  p0 sin(k x x  t )
Perturbación periódica  armónicos múltiples  sonido musical
p
p  p0  F (k x x  t )
t
(suma armónica en el
tiempo)
 p0  Ai sin(k x x  ni  t )
i
p
Perturbación aperiódica  ruido
t
Descomposición armónica del sonido musical
Sound is a pressure wave

Onda de presión que se propaga
p  p0 sin(kx  t   / 2)
[N/m2 ]
Onda de deformación asociada
   0 sin(kx  t ) [m]
p0    v  0
p
Potencia transmitida por la cuerda
Sea el elemento diferencial de la cuerda m
1
1
 dy 
Ek  (m) v y2  ( x)  
2
2
 dt 
2
E p 
1  dy 
F   x
2  dx 
2
 Ek 
1
  2 A2 x cos 2 (k0 x  t )
2
 E p 
1
  2 A2 x cos 2 (k0 x  t )
2
Sin demostrar…
 Em  Ek  E p    2 A2 x cos 2 (k0 x  t )
El valor promedio:
Em    2 A2 x

T
0
cos 2 (k0 x  t ) dt 
Por tanto, la potencia:
1
x
1
1
t    2 A2 vt
  2 A2 x    2 A2
2
t
2
2
Em 1
P
   2 A2 v
t
2
Ejercicio 4
En una cuerda la velocidad de propagación es función de la tensión con la que se sujeta y de la
densidad:
v T/
En una cuerda de 20 m y masa 0,06 Kg se ejerce una tensión 50 N, y en ella se propaga una
perturbación armónica de 200Hz y 1cm de amplitud.
a) Encontrar la expresión matemática de la onda que se propaga
b) Determinar la potencia mecánica transmitida por la onda.
c) Determinar la velocidad lineal máxima en un punto de la cuerda.
50
0,06
v

 129 m/s
 0,003 kg/m
(a) y( x, t )  A sin(k x x  t )  
0
,
003
20
2
v 129
   2    f  1257 s-1    v  T  
 0,645 m  k x 
 9,73 m-1
f 200

 y( x, t )  0,01sin(9,73x  1257t )
1
1
2 2

P

0,003  1257 2  0,012 129  30,6 W
 A v
2
2
1
1
1
2 2
2 2
2 2
2


E



x


A


m


A

E



A

x
cos
(
k
x


t
)
(c)
k
,
max
k
x
(b) P 
2
2
1
1
  m   2 A2   m  v 2  v    A  12,57 m/s
2
2
2
Energía y potencia acústica
Sea la perturbación 0 que se propaga por el espacio
Para el elemento diferencial de la cuerda m hemos visto que
1
1
EM   2 A2 m   2 A2 x
2
2
En el espacio m=V . Generalizando el análisis de la cuerda para una perturbación 0, la energía que se propaga
por unidad de volumen es:
V
S
0
1 2 2
 E    0 V [J]
2
Pero V  S x  S vt , y por tanto
E 
1
 2 02vS t
2
E 1
P
  2 02 vS [W]
t 2
Intensidad acústica
O potencia acústica por unidad de superficie, a una distancia r
I (r ) 
P(r )
S
[W/m 2 ]
En cualquier caso, si el emisor es armónico, definimos la perturbación a una distancia r
p (r )  p0 (r ) sin( kr  t )
1 p02 (r )
 I (r ) 
[W/m 2 ]
2 v
Sea P0 la potencia de un emisor acústico puntual, que emite de manera homogénea en todo el
espacio. La superficie esférica a distancia r
S  4r 2
S
P0
r
I(r)
P0
P0
 I (r )  
S 4r 2
[W/m 2 ]
Ejercicio 5
La perturbación de presión de un diapasón a 3 m de distancia es 0,5 N/m2. Si la densidad del aire es
=1,2250 kg/m3 y la velocidad del sonido 340 m/s, encontrar:
a)
b)
La intensidad acústica en ese punto
La potencia acústica del diapasón
0,52
1
1 p02 (3)
(a) I (3) 
 
 0,3 mW/m 2
2 1,225  340
2 v
(b)
2

0,3

4



3
 34 mW
P0  I (r )  4  r
2
3m
P0
I(3)
Ejercicio 6
En un largo tubo de 100 cm2 de sección oscila un pistón a 500 Hz con una amplitud de 0,1 mm. Si las
condiciones ambientales son normales (300K, 1 atm), encontrar:
a) La amplitud de presión de la onda sonora que se propaga.
b) La intensidad sonora del tubo.
c) La potencia que se necesita para mantener el pistón oscilando.
(a)
(b)
(c)
p0    v  0  1,225  2π  500  340  0,0001  130,8 N/m2
2
1 130,8
1 p02
 20,55 W/m 2
 
I
2 1,225  340
2 v
Podemos definir un emisor puntual integrando la intensidad en la superficie del pistón
0
I
P
S
 P  I  S  20,55  0,01  0,2055 W
I
S  superficie emisora
Sensación sonora
Medición
absoluta
Fuente
Medición
subjetiva
r
P [W]
Potencia
sonora
I [W/m2]
Intensidad
sonora
S [decibel]
Sensación
sonora
Oído humano
Amplificación,
conversión eléctrica
S
I
S  sensación
sonora
I  intensidad
acústica
Audible sound
Delante del
tímpano

Frequency:
20 Hz - 20,000 Hz
Intensity (I):
10-12 - 5 watt/m2
Pressure (p0):
4 x 10-5 - 100 Newton/m2
  1,225 kg/m 3 ; v  340 m/s
}
1 p02
I
2 v
Ley de Weber-Fechner
La sensación sonora psicológica es logarítmica.
Por lo tanto para definir la sensación S , haremos una conversión logarítmica de la intensidad:
S  log
I
[bel]
I0
donde I 0  10-12 [W/m 2 ] es la intensidad umbral promedio.
La mayor parte de las veces, en lugar del “bel” se utiliza el “decibel”
I
S  10  log
[decibel]
I0
Sensibilidad espectral
Sensación sonora promedio (dbel)
Umbral de dolor
Umbral de sensibilidad
Sdolor
S2
S0
S1
Factor 1/2
Chart of sound pressure levels and corresponding
sound pressure and sound intensity
Sound Pressure
Level dBSPL
Sound Pressure
N/m2 = Pa
Sound Intensity
watts/m2
30 m from jet aircraft
140
200
100
Threshold of pain
130
63.2
10
Threshold of discomfort
120
20
1
Chainsaw 1m distance
110
6.3
0.1
Disco 1 m from speaker
100
2
0.01
Diesel truck (10 m away)
90
0.63
0.001
Kerbside of busy road
80
0.2
0.0001
Vacuum cleaner, distance 1 m
70
0.063
0.00001
Conversational speec, 1m
60
0.02
0.000001
Average home
50
0.0063
0.0000001
Quiet library
40
0.002
0.00000001
Quiet bedroom at night
30
0.00063
0.000000001
Background in TV studio
20
0.0002
0.0000000001
Rustling leaf
10
0.000063
0.00000000001
0
0.00002
0.000000000001
Examples
Threshold of hearing
Ejercicio 7
La sensación mínima del oído humano a 100 Hz y 1000 Hz es de 25 dbel y 5 dbel,
respectivamente, mientras que el umbral de dolor es 125 dbel y 120 dbel. Determinar las
deformaciones mínima y máxima del tímpano a 100 Hz y 1000 Hz.
S
I
S  10 log
 I  I 0 1010
I0
100Hz
2
100Hz
 I min
 3,16 1010 W/m 2 I max  3,16 W/m
1000Hz
2
1000Hz
I min
 3,16 1012 W/m 2 I max  1 W/m
2
1
1 p0

   v   2   02
I 
2  v 2
100Hz
  min
 2 109 m
 0 
100Hz
 max
 2 104 m
1000Hz
5
1000Hz
 min
 1,9 1011 m  max  110 m
2 I
2 I

2
1,29  340  2    f 
  v  2
Potencia acústica de una fuente
Al igual que en el caso de la sensación, la potencia acústica de una fuente puede expresarse en escala
logarítmica. Sea la fuente de potencia P . Definimos el nivel de potencia acústica de la fuente
(Power Level, PWL) cómo:
P
PWL  10  log
[decibel]
P0
donde P0 = 10-12 W, es la potencia umbral
Ejercicio 8
Encontrar la potencia acústica de un motor que provoca una sensación acústica de 30 decibel a 10 m.
10 m
P
I(10)
S  10 log
I
I0
 30  10 log
 I (10)  109 W/m 2
P  I  4  r 2  109  4 102  1,26 106 W
1,26 106
PWL  10  log
 61 decibel
12
10
I (10)
I0
Ejercicio 9
El nivel de intensidad sonora en un cocktail que genera cada asistente es el mismo. Si sólo habla una
persona, el nivel de intensidad sonora es 72 dB. Encontrar la sensación sonora a 10 m de una reunión de 38
personas
PWL1  10  log
10 m
 P1  10
12
10
PWL1
10
 10
P1
1012
12
10
72
10
 1,58 105 W
I(10)
P
PWL
P
I (r )  2
4r
1,58 105
-8
2
 I1 (10) 

1,26

10
W/m
4   102
 I 38 (10)  38  I1 (10)  38 1,26 10-8  4,79 10-7 W/m 2
S  10 log
I
I0
 S38  10 log
I 38
 56,8 dbel
I0
Objetivos
Magnitudes físicas del
acondicionamiento
acústico
Naturaleza del sonido
Percepción
del sonido
Audición
Magnitudes subjetivas
Mecánica de ondas
Energía propagada
Fenomenología de ondas
Ondas mecánicas
Diseño acústico
Medición
Absorción
Resonancia
Materiales
El sonido: Perturbación oscilatoria del aire delante del tímpano
Diseño acústico
Evitar ecos y reverberaciones
Homogeneizar el fondo
Difracción versus reflexión
rayos
ondas
λ
λ
λ
λ
F
F
≥d
sombra
d
~1m
<d
En general, en una sala-auditorio se deben evitar sombras y aumentar la difracción para homogeneizar el sonido.
Como la longitud de onda acústica es del orden de un metro, todos los objetos deben ser de un metro o menos
Absorción: absorbente acústico
Para aislamiento exterior
Para atenuación interior
transmitido
reflejado
absorbido
Para aislar salas ruidosas se
utilizarán elementos estructurales
absorbentes
Para mejorar las condiciones de trabajo, se deben
disminuir el sonido y sus reverberaciones, para lo
que se utilizarán recubrimientos absorbentes.
Coeficiente de absorción
El coeficiente de absorción expresa la
atenuación de la energía acústica (E)
Eabsorbida
Medio 1
Medio 2
Aislamiento exterior
 
E  Et Er  a

E
E
Ereflejada
E
Etransmitida
Atenuación interior
 
E  Er Et  a

E
E
Acondicionamiento de una sala
1.- Aislamiento exterior
 Materiales estructurales absorbentes
Absorbente acústico
Ejercicio 10
Por medio de un absorbente acústico disminuimos la sensación sonora 30 dB. ¿Cuál es el coeficiente de absorción?
S  S ' 30
I
S  10 log
I
I0
 S  S ' 30  10 log
 1    103
   0,999
(1-)I
S '  10 log
I'
(1   )  I
 10 log
I0
I0
1
I
(1   )  I
 10 log
 10 log
1
I0
I0
Tiempo de reverberación
En condiciones normales de presión y temperatura, podemos diferenciar dos sonidos diferentes si su
intervalo mínimo es 0,05-0,1 segundos. Por tanto, el eco se nota cuando las ondas reflejadas tienen un
retraso mínimo de 0,1 segundos.
Eso quiere decir que para evitar ecos las paredes pueden estar sólo a una distancia máxima:
2d  v  t  340  0,1  d  17 m
Por tanto, en una sala la distancia máxima entre paredes será de 15-20 m, y para salas más grandes
introduciremos objetos pequeños (sillas, lámparas) para provocar difracción
Si la reflexión de una onda acústica llega con un retraso de 50 ms, no provoca ninguna sensación
desagradable, al contrario, refuerza el sonido directo.
En cualquier caso, la reverberación siempre ocurre, al mezclarse el sonido original y el reflejado. El
conjunto de todas las reflexiones secundarias del sonido se conoce como “cola de sonido”.
La duración de la sensación sonora provocada por la cola de sonido se denomina tiempo de “reverberación”.
El tiempo de reverberación es función de la absorción de las paredes, y por tanto, de la frecuencia
Promediando todas las frecuencias el tiempo de reverberación debe ser inferior a 2 segundos para
escuchar música, y menor que 1 segundo para una conversación clara.
El tiempo de reverberación en función de la absorción y del volumen
Sea una sala de volumen V, donde todas las fuentes acústicas generan la densidad de energía acústica total
E0 [j/m3] (original y reflejada) y, por unidad de tiempo, la densidad de potencia acústica P0 [W/m3].
Debido al coeficiente de absorción  de las paredes la energía y potencia acústicas se reducen a E y P
Vamos a calcular el tiempo necesario para que, debido a la absorción E0 y P0 se atenúen un factor 10-6
Fuente de volumen diferencial
Calculemos la energía que recibe el elemento
diferencial de superficie de una pared dS :
r sen φ dθ
Z
r dφ
dV
r sen φ
dErecibida
 I (r )  dSefectiva
dt
 P dV

 dS cos 
4 r 2
dPrecibida 
dr
r
Y
φ
dS
θ
En coordenadas esféricas:
Superficie receptora (absorbente)
 P dV
X
dV
Volumen emisor
(semiesfera espacial)
φ
φ
Integración a todo el espacio
r,, 
dS
dS cosφ
r
dV  r 2 sin dr d d

dErecibida  P  dS cos  2

r sen dr d d
2
dt
4 r
Integrando a todo el volumen
dE

dt
 
 P  dS cos  2
 4 r 2 r sen dr d d
 P
dS
4
r
2
0
0
 dr 
d


0
2
sen cos  d
¡Atención! v  r  t y  E  t   P
dE
dS
 recibida   P
dt
4

t
0

vdt
2
d
0


0
2
sen cos  d
1
1
    P  v  t  dS     E  v  dS
4
4
La potencia absorbida por toda la superficie receptora S
dE
1
1
      E  v   dS       E  v  S
dS dt
4
4
Pabsorbida    Precibida    
Para el volumen de la sala V

d E
E

E
E 0

d E
E
 v S
4 V

E   E V
4 V
dE d E
d
  E  v  S

V  E  
dt
4 V
dt
dt
Por tanto la disminución de la energía acústica en el tiempo por absorción en S
dt
 v S
y Pabsorbida 
t
 dt
 ln
E
 vS

t
E0
4 V
El tiempo de reverberación T se define como el necesario para atenuar 10-6 (60 dB) veces el sonido original
 6  
 v S
4 V
T
Si v=340 m/s
 T  6
4 V
 vS
 T  0,161
V
 S
Tiempo de reverberación y fórmula de Sabine
En cualquier caso, la reverberación siempre ocurre, al mezclarse el sonido original y el reflejado. El
conjunto de todas las reflexiones secundarias del sonido se conoce como “cola de sonido”.
La duración de la sensación sonora provocada por la cola de sonido se denomina tiempo de “reverberación”.
El tiempo de reverberación es función de la absorción de las paredes, y por tanto, de la frecuencia
T  0,161
V
 S
Promediando todas las frecuencias el tiempo de reverberación debe ser inferior a 2 segundos para
escuchar música, y menor que 1 segundo para una conversación clara.
Fórmula de Sabine
Tipo de sala
Aulas
Sala de Conferencias (entre 100 y 10000 m3 )
Cines
Salas polivalentes
Teatro (entre 100 y 10.000 m3)
Teatro 1500 plazas
Teatro 500 plazas
Teatro de ópera
Sala de conciertos de cámara
Sala de conciertos de orquesta sinfónica
Recintos deportivos
Locutorio de radio
T (sg) con sala
ocupada al 100 %
0,5 – 0,8
0,7 – 1,2
0,9 – 1,2
1,2 – 1,5
0,7 – 1,2
1,2 – 1,4
1 – 1,2
1,4 – 1,8
1,3 – 1,7
1,7 – 2,1
1-3
0,2 – 0,4
T
Por tanto, conociendo el T adecuado
Volumen de la sala
Podremos calcular el coeficiente de absorción  necesario para cubrir las paredes de la sala con la fórmula
de Sabine.
V
T  0,161
 S
Fórmula general de Sabine
En la formulación anterior no se ha tenido en cuenta:
1) La forma de la sala
2) Las características de la fuente y su localización
3) Las reflexiones secundarias
En cualquier caso, empíricamente funciona.
Si en una sala las paredes tiene un coeficiente diferente αi, se define el coeficiente medio como:
 
S 
 S
i
i
i
Teniendo en cuenta la variación del coeficiente de absorción, llegamos a la fórmula general de Sabine
T 
0,161 V

Si  i
Ejercicio 11
La altura y la superficie de las paredes de una sala son 3 m y 4x4m2 respectivamente. Todas las paredes son de
mármol (α = 0.01), el techo de yeso (α = 0.7), y el suelo de madera (α = 0.1) (todos los coeficientes para
frecuencias de 500 Hz). Determinar el tiempo de reverberación:
T 
0,161 V

Si  i

0,161 3  4  4
 0,58 seg
4  (0,01 3  4)  0,7  4  4  0,1 4  4
Coeficientes de absorción
Frecuencia (Hz)
Material
125
250
500
1000
2000
4000
1
1
1
1
1
1
Hormigón
0,01
0,01
0,02
0,02
0,02
0,03
Madera
0,04
0,04
0,03
0,03
0,03
0,02
Fieltro asbestos (1cm)
-
-
0,35
0,30
0,23
-
Fieltro de pelo y asbestos
-
-
0,38
0,55
0,46
-
Fieltros sobre pared (3cm)
0,13
0,41
0,56
0,69
0,65
0,49
Corcho ( )
0,08
0,08
0,30
0,31
0,28
0,28
Corcho perforado y pegado a la pared
0,14
0,32
0,95
0,90
0,72
0,65
Tapices
0,14
0,35
0,55
0,75
0,70
0,60
Ladrillo visto
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,05
Enlucido de yeso sobre ladrillo
0,02
0,02
0,02
0,03
0,04
0,04
Enlucido de yeso sobre cemento
0,04
0,04
0,04
0,05
0,06
0,03
Enlucido de cal
0,04
0,05
0,06
0,08
0,04
0,06
Paneles de madera
0,10
0,11
0,10
0,08
0,08
0,11
Alfombra sobre cemento
0,04
0,04
0,08
0,12
0,03
0,10
Vidrio
0,04
0,04
0,03
0,03
0,02
0,02
Placas perforadas de material poroso
0,44
0,57
0,74
0,93
0,75
0,76
Ventana abierta
Acondicionando la sala
1.- Aislamiento exterior
 Materiales estructurales absorbentes
Acondicionando la sala
2.- Disminuyendo el tiempo de reverberación
 Escoger la capa absorbente adecuada
 Fórmula de Sabine
 Provocar difracción para homogeneizar el sonido
Ejercicio 12
a) Encontrar el cambio en el tiempo de reverberación de una sala de dimensiones15 m×15 m×3 m, si el
coeficiente de absorción todas las paredes se aumenta de 0,01 a 0,5.
b) Si la intensidad acústica se supone proporcional al tiempo de reverberación, determinar el cambio en la
sensación acústica que se logra en el interior de la sala.
(a)
(b)
0,161V
T
S 
0,01 1
T' 


 
0,5 50
T '
T  I ; S  10 log
I
I0
 ΔS  S ' S  10 log
I'
T'
1
 10 log
 10 log
 17 decibel
I
T
50
Ejercicio 13
Un aula de 8 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de altura tiene los siguientes coeficientes de absorción:
paredes laterales =0,06, suelo = 0,08, y techo = 0,28. Encontrar:
a) El tiempo de reverberación de la sala
b) La absorbancia de las paredes para que el tiempo de reverberación baje a 0,5 segundos
0,161V
0,161 8  5  3

 1,01 seg
S

2

(
0
,
06

8

3
)

2

(
0
,
06

5

3
)

0
,
28

8

5

0
,
08

8

5
 i i
(a)
T
(b)

0,161 8  5  3
 0,5 seg
2  (  8  3)  2  (  5  3)  0,28  8  5  0,08  8  5

19,32
 0,5    0,31
78    14,4
c) Si practico 1 ventana de 2x1m2 en cada una de las paredes laterales, calcular el tiempo de
reverberación si
i)
El coeficiente absorción del vidrio es 0,02.
ii) Abrimos las ventanas a una calle silenciosa.
d) Si el ruido de fondo en el centro de la sala es 55 decibel, y el ruido de la calle es 70 decibel, estimar
el aumento en la sensación sonora del centro de la sala al abrir las ventanas.