FUNCIONES Definiciones generales función

FUNCIONES
Definiciones generales
Una función es una regla de asociación que relaciona dos o más conjuntos entre
sí; llamados conjunto de llegada y conjunto se salida, en la función el conjunto de
salida y el dominio son el mismo, el dominio y el rango son conjuntos. Esta regla
de asociación no permite relacionar un mismo elemento del dominio con dos
elementos del rango.
No estamos en presencia de una función cuando:


De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas .
Se dice que f: A  B (f es una función de A en B, o f es una función que toma
elementos del dominio A y los aplica sobre otro llamado rango B)
El dominio de una función son todos los valores que toma el conjunto del dominio
y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado rango, generalmente
cuando se habla del plano, el dominio es el intervalo de valores que están sobre el
eje x, y que nos generan una asociación en el eje y.
El otro conjunto llamado rango, es la gama de valores que toma la función; en el
caso del plano son todos los valores que toma la función o valores en el eje y.
Las variables dependientes como su nombre lo indica, dependen del valor que
toma las otras variables Por ejemplo: f(x)= x, y o f(x) es la variable dependiente ya
que esta sujeta a los valores que se le subministre a x.
La variable independiente no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo
anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los
valores de x.
El intercepto en el eje y se halla reemplazando a x por 0, y el intercepto en el eje
x se halla igualando la función a 0 y solucionando la ecuación resultante.
Cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real de A en B
al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos
tienen como coordenadas (x, y) donde x ∈ A y y ∈ B.
Clasificación:

Función Inyectiva:
Una función es inyectiva si cada elemento del conjunto A le corresponde un solo
valor tal que, en el conjunto A no puede haber dos o más elementos que tengan la
misma imagen.

Función Sobreyectiva:
Sea f una función de A en B, f es una función sobreyectiva, y sólo si cada
elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f.

Función Biyectiva:
Sea f una función de A en B, f es una función biyectiva, si y sólo si f es
sobreyectiva e inyectiva a la vez.
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la
función es inyectiva y la función es sobreyectiva cuando todo elemento de B es
imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las
dos condiciones tenemos una función biyectiva.

Función Par: si f(x) = f (-x).
Ejemplo: La función 𝑦 = 𝑥 2 es par pues se obtienen los mismos valores de y
independientemente del signo de x.
La función 𝑦 = 𝑥 2 es par ya que f (-x) = (−𝑥)2 = 𝑥 2

Función Impar: si f(x) = -f (-x).
Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f (-x) = -x pero como f(x) = x entonces:
f(-x) = - f(x).

Función Creciente:
Una función es creciente en un intervalo [a, b] si al tomar dos puntos cualesquiera,
se verifica que:
f (𝑥1 ) < f (𝑥2 ).
Se dice que una función es creciente si de 𝑥1 < 𝑥2 se deduce que f (𝑥1 ) < f (𝑥2 ).
Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica,
(𝑥1 , f(𝑥1 )) y (𝑥2 , f(𝑥2 )) con 𝑥1 <𝑥2 se tiene que f(𝑥1 ) < f(𝑥2 ). Prevalece la relación <.

Función Decreciente:
Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica,
(𝑥1 , f (𝑥1 )) y (𝑥2 , f (𝑥2 )) con 𝑥1 <𝑥2 se tiene que f (𝑥1 ) > f (𝑥2 ). Cambia la relación de
< a >.
Siempre que de 𝑥1 < 𝑥2 se deduzca f (𝑥1 ) > f (𝑥2 ), se dice que la función es
decreciente.
La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se
obtiene sin más que sustituir el símbolo " por < y el " por el >.
Tipos de funciones
1. Funcione polinómica
Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de
polinomios. En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los
siguientes tipos de operaciones:
Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x) que
corresponde a un polinomio obtenido como la suma de los polinomios
representativos de f (x) y g (x).
Producto de una función f (x) por un número : produce una nueva función (  f)
(x) determinada por el polinomio resultante de multiplicar todos los coeficientes de
f (x) por .
Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f  g) (x), cuyo
polinomio representativo resulta del producto de los polinomios que definen f (x) y
g (x).
Dominio= Conjunto de Salida= Reales
Conjunto de llegada=Reales
Según el grado del polinomio las funciones Polinómicas pueden clasificarse en:
1. Función de grado par
1.1. Función cuadrática
 Es una función polifónica cuya expresión matemática viene dada por
la ecuación: y= ax2+bx+c
 Donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
 La parábola es forma de la función cuadrática, tiene un eje de simetría,
se divide exactamente en dos, un lado es el reflejo del otro lado.
 Puede ser vertical abierta hacia arriba, con mínimo relativo; o puede ser
vertical abierta hacia abajo, con un máximo relativo.
 Los mínimos o máximos relativos son los puntos más altos y más
bajos donde llega la parábola, se usa la ecuación:
 El rango es desde el máximo o mínimo relativo, hasta infinito.
 En la función cuadrática c indica el punto de corte con y.
 Para hallar el punto de corte en x se utiliza la ecuación:
x=
Ejemplo: y= 2x2+5x+4
Elementos

Punto de corte con y = 4

Conjunto de salida = Reales

Conjunto de llegada = Reales

Dominio = Reales

Rango: [ 4 , infinito)

Gráfica
−5
2. Función grado cero
2.1. Función constante
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la
ecuación: y = a, donde a pertenece a los numeros reales.
No depende de ninguna variable.
Ejemplo: y = 2
Elementos

Punto de corte con y = 2

Conjunto de salida = Reales

Conjunto de llegada = Reales

Dominio = Reales

Rango = {a}

Gráfica
3. Función de grado impar
3.1. Función lineal
 m es una constante que se denomina pendiente que indica el grado
de inclinación de la recta y se halla mediante la ecuación:
o Si m > o: la función es creciente
o Si m < 0: la función es decreciente
o Si m = 0: la función es constante
 y - x son dos variables.
o Dominio= Conjunto de Salida= Reales
o Rango= Reales (con excepción a la función constante).
o Conjunto de llegada=Reales
 En la ecuación Y= mx + n, n indica el punto de corte con y, el
desplazamiento vertical de la función.
3.1.1. Función lineal
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la
ecuación: y = mx
Ejemplo: y = 2x
Elementos

Punto de corte con x: 0

Punto de corte con y: 0

Conjunto de salida= Reales

Conjunto de llegada= Reales

Dominio= Reales

Rango= Reales

Pendiente = 2

Gráfica
3.1.1.1.
Función Idéntica
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la
ecuación: y = x
A cada número del eje de abscisas le corresponde el mismo número en
el eje de ordenadas, es decir, que las dos coordenadas de cada punto
son idénticas .
La pendiente es igual a 1 y no esta desplazada verticalmente.
Ejemplo: y = x
Elementos

Punto de corte con x = 0

Punto de corte con y = 0

Conjunto de salida = Reales

Conjunto de llegada = Reales

Dominio = Reales

Rango =Reales

Pendiente = 1

Gráfica
3.1.2. Función afín:
Es una función lineal cuya expresión matemática viene dada por la
ecuación: y = mx + n, y tiene un desplazamiento vertical.
 Cuando m>0, n>0 la gráfica es:
 Cuando m<0, n>0 la gráfica es:
 Cuando m>0, n<0 la gráfica es:
 Cuando m<0, n<0 la gráfica es:
Ejemplo: y = 2x+3
Elementos
3

Punto de corte con x:

Punto de corte con y: 3

Conjunto de salida: Reales

Conjunto de llegada: Reales
2

Dominio: Reales

Rango: Reales

Pendiente: 2

Gráfica
3.2. Función cúbica
Es una función polifónica de grado 3, cuya expresión matemática viene
dada por la ecuación:
Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2
Elementos

Punto de corte con x = -1.5

Punto de corte con y = 2

Conjunto de salida = Reales

Conjunto de llegada = Reales

Dominio = Reales

Rango = Reales

F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito)

F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito)

Gráfica
2. Función de valor absoluto
3. Función logarítmica
4. Función Exponencial
5. Función racional
6. Función por partes
7. Función trigonométrica
http://www.slideshare.net/mariela311072/funciones-polinmicas-introduccin-presentation