Equações Equações do 1.º grau e do 2.º grau Matemática em ação 9 1 Equações do 1.º grau Atividade Observa as equações: −2𝑥 + 24 = 0 𝑥 − −9 + 5𝑥 = 10 − 𝑥 𝑥+2 𝑥 1− = 6 8 a) Reduz cada uma delas à forma 𝑎𝑥 = 𝑏 , em que 𝑎 e 𝑏 representam números reais. b) Acaba de as resolver. Toda a equação que se pode reduzir a uma equação do tipo 𝑎𝑥 = 𝑏, em que 𝑎 e 𝑏 representam números reais, diz-se uma equação do 1.º grau. Porquê do 1.º grau? Repara que o 1.º membro é um polinómio (monómio) de grau 1. Soluções Matemática em ação 9 Equações do 2.º grau Uma equação que se pode reduzir à forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ,𝑎 ≠ 0 , polinómio do 2º grau em que o primeiro membro é um polinómio do 2.º grau, diz-se uma equação do 2.º grau . Chama-se equação do 2.º grau a toda a equação que se pode reduzir à forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 , em que 𝑎, 𝑏 e 𝑐 representam números reais e 𝑎 ≠ 0 Matemática em ação 9 Quando 𝑏 = 0 e 𝑐 ≠ 0 Quando 𝑏 ≠ 0 e 𝑐 = 0 Equações incompletas do 2.º grau Já sabes resolver… Matemática em ação 9 2 Equações incompletas do 2.º grau Atividade 2.1. Equações incompletas do tipo 𝒂𝒙𝟐 +𝒄 = 𝟎 Resolve as equações: a) 9𝑥 2 − 7 = 0 b) 𝑥 2 + 36 = 0 c) 5𝑥 2 = 200 2.2. Equações incompletas do tipo 𝒂𝒙𝟐 +𝒃𝒙 = 𝟎 Resolve as equações: a) 2𝑥 2 + 3𝑥 = 0 b) −𝑥 2 + 14𝑥 = 0 c) 5𝑥 2 = 2𝑥 2.3. Quando 𝒃 = 0 e 𝒄 = 0 : equações incompletas do tipo 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Resolve a equação 23𝑥 2 = 0 . Soluções Matemática em ação 9 3 Equações completas do 2º grau Atividade Considera a equação 2𝑥 𝑥 + 5 2 =3. a) Escreve-a na forma 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 e indica o valor de 𝑎 , de 𝑏 e de 𝑐 . R: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 , com 𝒂 = 𝟎 , 𝒃 = 𝟓 e 𝒄 = −𝟑 Obtiveste uma equação completa do 2.º grau. Como a resolver? Matemática em ação 9 3 Equações completas do 2º grau Atividade Demonstra-se que qualquer equação do 2.º grau se pode resolver utilizando a fórmula seguinte: Com 𝑎 ≠ 0 , 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 −𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 fórmula resolvente b) Aplica a fórmula resolvente para resolveres a equação dada. R: 𝑺 = −𝟑, Matemática em ação 9 𝟏 𝟐 4 Equações completas do 2.º grau Atividade Considera as equações completas do 2.º grau: I) 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 = 0 II) 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 0 4.1. Nas duas equações, o 1.º membro é o desenvolvimento do quadrado de um binómio. Identifica em cada caso o quadrado do binómio e resolve as equações pela lei do anulamento do produto. 4.2. Resolve as duas equações utilizando a fórmula resolvente. R: I) (𝑥 + 5)2 = 0 ; 𝑆 = −5 solução dupla II) (2𝑥 − 3)2 = 0; 𝑆 = Qual o processo que te pareceu mais simples? Matemática em ação 9 3 solução dupla 2 5 Atividade Equações do 2º grau Resolve as seguintes equações da atividade 2, utilizando a fórmula resolvente: 2.1. a) 9𝑥 2 − 7 = 0 2.2. b) −𝑥 2 + 14𝑥 = 0 Qual o processo que te pareceu mais simples? Caso não te proponham um caminho, resolve as equações do 2.º grau pelo método que te parecer mais conveniente. Matemática em ação 9 Soluções: 1. a) −2𝑥 = −24 em que 𝑎 = −2 e 𝑏 = −24 −3𝑥 = 1 em que 𝑎 = −3 e 𝑏 = 1 −𝑥 = −16 em que 𝑎 = −1 e 𝑏 = −16 b) 𝑆 = 12 𝑆 = 16 Matemática em ação 9 voltar 1 𝑆= − 3 Soluções: 2. 2.1. a) 𝑆 = − 𝟕 , 𝟑 𝟕 𝟑 b) Equação impossível. 𝑆 = c) 𝑆 = −2 10, 2 10 3 2.2.a) 𝑆 = − 2 , 0 c) 𝑆 = 0, 2.3. 𝑆 = 0 Matemática em ação 9 2 5 voltar b) 𝑆 = 0, 14
