1.9 La compañía Trucking Giant Yellow Corp. acordó comprar a la empresa rival Roadway en $966 millones a fin de reducir los costos denominados indirectos de oficina, por ejemplo, los costos por nómina y seguros que tienen un monto de $45 millones al año. Si los ahorros fueran los que se planearon, ¿cuál sería la tasa de rendimiento de la inversión? 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 = $45 𝑥100 $966 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 = 4.65% 1.10 Si las utilidades por cada acción de Ford Motor Company se incrementaron de 22 a 29 centavos en el trimestre entre abril y junio en comparación con el trimestre anterior, ¿cuál fue la tasa de incremento en las utilidades de dicho trimestre? (29 − 22) 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = [ ] 𝑥100 22 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 31.18 % 1.11 Una compañía que ofrece una gran variedad de servicios recibió un préstamo de $2 millones para adquirir equipo nuevo y pagó el monto principal del crédito más $275 000 de intereses después de un año. ¿Cuál fue la tasa de interés del préstamo? 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 = $275000 𝑥100 $2000000 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠 = 13.75% 1.12 Cierta empresa de ingeniería que diseña construcciones terminó el proyecto de un ducto por el que obtuvo una utilidad de $2.3 millones en un año. Si la cantidad de dinero que invirtió la compañía fue de $6 millones, ¿cuál fue la tasa de rendimiento de la inversión? 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = $2.3 𝑥100 $6 𝑇𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = 38.33% Pérez Bonilla Angel 1.13 La compañía US Filter celebró un contrato, para una planta pequeña que desala agua, con el que espera obtener una tasa de rendimiento de 28% sobre su inversión. Si la empresa invirtió $8 millones en equipo durante el primer año, ¿cuál fue el monto de la utilidad en dicho año? 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = $8(0.28) 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 = $2,240,000 1.14 Una compañía constructora que cotiza al público reportó que acababa de pagar un préstamo recibido un año antes. Si la cantidad total de dinero que pagó la empresa fue de $1.6 millones y la tasa de interés sobre el préstamo fue de 10%anual, ¿cuánto dinero recibió en préstamo la compañía un año antes? 𝑃= $1.6 (1.10)1 𝑃 = $1,454,545 1.15 Una compañía química que comienza a operar se fijó la meta de obtener una tasa de rendimiento de al menos 35% anual sobre su inversión. Si la empresa adquirió $50 millones como capital de riesgo, ¿cuánto debe percibir en el primer año? 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝐴ñ𝑜 = $50,000,000(0.35) 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝐴ñ𝑜 = $17,500,000 1.16 Con una tasa de interés de 8% por año, ¿a cuánto equivalen $10 000 de hoy, a) dentro de un año, b) hace un año? a) 𝐹 = $10,000(1.08)1 𝐹 = $10,800 b) 𝑃= $10,000 (1.08)1 𝑃 = $9259.259 Pérez Bonilla Angel Resolver los siguientes problemas. En cada uno de ellos, plantear primero el diagrama de flujo de efectivo correspondiente. I. Calcule B en el siguiente Diagrama de Flujo de efectivo, si i = 8%. 30 30 30 1 2 3 0 40 40 40 Sugerencia: utilizar el “Teorema fundamental de la Ing. Económica”. 4 5 6 7 i = 8% 𝐵+ 30 30 30 40 40 40 𝐵 𝐵 + + + + + + = 1 2 3 5 6 7 8 (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08) (1.08)4 𝐵 [1 + 1 1 − ] = −153.8 8 (1.08) (1.08)4 𝐵= −153.08 1 1 − [1 + ] 8 (1.08)4 (1.08) 𝐵 = $190 Pérez Bonilla Angel II. Calcule F en el siguiente Diagrama de Flujo de efectivo, donde i = 5%. 30 0 20 20 1 2 30 30 30 6 7 20 3 4 i = 5% 1 1 1 1 1 30 [ + + + ] + 20[(1.05)2 + (1.05) + 1] = 𝐹 [1 + ] 4 3 2 (1.05) (1.05) (1.05) (1.05)2 (1.05) 𝐹= 169.43 1 1+ (1.05)2 𝐹 = 88.84 III. Una persona compró un televisor en $7,500 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales, comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a tres pagos mensuales. Si el televisor se adquirió el 1 de enero del año 1, tendrá que pagar en diciembre del año 1 y diciembre del año 2, cuatro mensualidades en cada periodo (una normal más la anualidad). Si el interés que se cobra es de 1% mensual, a) ¿A cuánto ascienden los pagos mensuales? (1.01)24 − 1 (1.01)12 − 1 (1.01)24 − 1 7,500 ≡ 𝐴 ⌈ ⌉ + 3𝐴 ⌈ ⌉ + 3𝐴 ⌈ ⌉ 0.01(1.01)24 0.01(1.01)12 0.01(1.01)24 7,500 ≡ 𝐴⌈21.24⌉ + 3𝐴⌈0.8874⌉ + 3𝐴⌈0.7876⌉ 7,500 ≡ 𝐴(26.265) 7,500 ≡𝐴 (26.265) 𝐴 = 283.5511 Pérez Bonilla Angel b) Compruebe el resultado obtenido en a) mediante una tabla en excel. IV. Se depositan $15,000 en un banco que paga un interés de 24% anual con capitalización mensual. El primer retiro se realiza hasta el final del mes 25 y a partir de ese mes se realizan retiros iguales de $854.50 mensuales. a) ¿En qué mes se agota totalmente el depósito? 𝐹 = $15,000(1.02)24 𝐹 = $24,126.56 Posicionando F como un presente en el mes n, abre paso al siguiente procedimiento algebraico para conseguir el valor n. (1.02)𝑛 − 1 ∴ 24,126.56 = 854.5 ⌈ ⌉ 0.02(1.02)𝑛 (1.02)𝑛 − 1 28.23 = ⌈ ⌉ 0.02(1.02)𝑛 28.23 = ⌈ 1 1 ⌉−⌈ ⌉ 0.02 0.02(1.02)𝑛 −21.77 = ⌈ −50 ⌉ (1.02)𝑛 50 = (1.02)𝑛 21.77 Despejando exponencial con logaritmo. 50 log( ) = n log(1.02) 21.77 50 log(21.77) 𝑛= log(1.02) 𝑛 = 41.99 ≈ 42 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ∴ 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑖𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑃 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 24 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑟í𝑎 42 + 24 = 66 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠. b) Compruebe el resultado obtenido en a) mediante una tabla en excel. Pérez Bonilla Angel V. Una persona desea ahorrar para comprar un automóvil, que tiene un costo de $20,000 (USD), dentro de 18 meses. Si esta persona realiza depósitos de $1500, $1800 y $2000 al final de los periodos 5, 11 y 16, respectivamente, en una cuenta bancaria que ofrece una tasa de interés del 6% anual capitalizado mensualmente: a) ¿de cuánto deberá ser su depósito inicial con el fin de reunir la cantidad requerida para comprar su auto? 𝑃= 20,00 1,500 1,800 2,000 − − − 17 4 10 (1.06) (1.06) (1.06) (1.08)15 𝑃 = $4,399.51 b) Compruebe el resultado obtenido en a) mediante una tabla en excel. c) Si en lugar de los tres depósitos mencionados, se hacen depósitos de $480 a partir del mes 4 hasta el mes 18, ¿de cuánto deberá ser su depósito inicial con el fin de reunir los $20,000? 𝑃+ (1.06)14 − 1 20,000 1 = 480 ⌈ ⌉[ ] 17 14 1.06 0.06(1.06) 1.063 𝑃 = $3,681.29 d) Compruebe el resultado obtenido en c) mediante una tabla en Excel Pérez Bonilla Angel VI. Un exclusivo club deportivo ofrece dos opciones a los posibles socios: Un pago de contado de $10,000 que da derecho a una membresía por 10 años, o pagos anuales al inicio de cada año. En el primer año se pagarán $1,200 y este monto se incrementará en $100 anualmente. Si se considera una tasa de interés de 12% capitalizado cada año, ¿cuál plan escogería usted en caso de que deseara pertenecer al club por un periodo de 10 años? ¿Por qué? La segunda opción sería la idea; al ser menor que los 10,000 a pagar debido a los siguientes cálculos. 𝑃 = 1,200 − 1,300 1,400 1,500 1,600 1,700 1,800 + + + + + 2 3 4 5 (1.12) (1.12) (1.12) (1.12) (1.12)6 (1.12) + 1,900 2,000 2,100 + + 7 8 (1.12) (1.12) (1.12)9 𝑃 = $9.862.3 Pérez Bonilla Angel VII. Una persona se propuso ahorrar $1,000 cada fin de año durante 10 años, en un banco que paga un interés de 12% anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar tuvo que disponer de $500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumuló al final de los 10 años, si hizo ocho depósitos de $1000? 9 8 7 6 4 𝐹 + 500(1.12)5 + (1.12)3 = 1000 (1.12 + 1.12 2 + 1.12 1+1.12 0+ 1.12 ) = +1.12 + 1.12 + 1.12 14,382.46 = 𝐹 + 500(1.12)5 + (1.12)3 𝐹 = $12,798.83 Pérez Bonilla Angel VIII. Se anuncia la venta de un mueble de cocina por $2,000 de contado. Otra forma de pagar el mueble es mediante seis mensualidades iguales; la primera se empieza apagar tres meses después de hecha la compra. Si el vendedor aplica una tasa de interés de 18% anual capitalizado mensualmente, ¿de cuánto serán los seis pagos iguales que son necesarios para cubrir la deuda? 𝐴 = 2,000 ⌈ 0.015 1 ⌉[ ] 6 (1.015) 1.0152 𝐴 = $311.681 Pérez Bonilla Angel IX. Una compañía nueva que fabrica arrancadores suaves de voltaje medio gastó $85,000 para construir un sitio web nuevo. El ingreso neto fue de $60,000 el primer año, con un incremento de $15,000 anuales. ¿Qué tasa de rendimiento tuvo la compañía en sus primeros cinco años? ----- X. La Lotería Nacional es juego que consiste en que, si se gana el premio mayor, por cada peso que se apueste se recibirán 10,000 a cambio. Una persona jugó $10 por semana durante muchos años y nunca obtuvo el premio mayor. Si se considera una tasa de interés de 18% anual capitalizado mensualmente, ¿cuánto tiempo sería necesario para que, si hubiera ahorrado todo ese dinero a la tasa mencionada en vez de jugar, la ganancia acumulada fuera igual a la del premio mayor? 𝑴𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 $𝟒𝟎 = 𝑨 𝑭 = $𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎 𝒊= 0.18 = 0.015 0.12 (1.015)𝑛 − 1 𝐹 = 40 ⌈ ⌉ 0.015 (1.015)𝑛 − 1 2,5000 = ⌈ ⌉ 0.015 37.50 + 1 = (1.015)𝑛 log(38.5) = n log(1.015) 𝑛= log(38.5) log(1.015) 𝒏 = 𝟐𝟒𝟓. 𝟏𝟗𝟖 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒗𝒊𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂 𝟐𝟎. 𝟒𝟑 𝒂ñ𝒐𝒔. Pérez Bonilla Angel
