Fórmulas y unidades Denotando el flujo magnético como Φm, se tiene: Φm = N.i / (ℓc / μAc) Donde: -N es el número de vueltas de la bobina. -La intensidad de la corriente es i. -ℓc representa la longitud del circuito. –Ac es el área de la sección transversal. -μ es la permeabilidad del medio. El factor en el denominador que combina la geometría más la influencia del medio es precisamente la reluctancia magnética del circuito, cantidad escalar a la cual se denota mediante la letra ℜ, para distinguirla de la resistencia eléctrica. Así: ℜ = ℓc / μ.Ac En el Sistema Internacional de unidades (SI) se mide a ℜ como el inverso del henrio (multiplicado por el número de espiras N). A su vez el henrio es la unidad para la inductancia magnética, equivalente a 1 tesla (T) x metro cuadrado /amperio. Por lo tanto: 1 H-1 = 1 A /T.m2 Como 1 T.m2 = 1 weber (Wb), la reluctancia también se expresa en A/Wb (amperio/weber o más frecuentemente amperio-vuelta/weber). ¿Cómo se calcula la reluctancia magnética? Ya que la reluctancia magnética tiene el mismo papel de la resistencia eléctrica en un circuito magnético, es posible extender la analogía mediante un equivalente de la ley de Ohm V = IR para estos circuitos. Aunque no circula propiamente, el flujo magnético Φm toma el lugar de la corriente, mientras que en lugar del voltaje V, se define la tensión magnética o fuerza magnetomotriz, análoga a la fuerza electromotriz o f.e.m en los circuitos eléctricos. La fuerza magnetomotriz es la encargada de mantener el flujo magnético. Se abrevia f.m.m y se denota como ℱ. Con ella finalmente se tiene una ecuación que relaciona las tres magnitudes: ℱ = Φm . ℜ Y comparando con la ecuación Φm = N.i / (ℓc / μAc), se concluye que: ℱ = N.i De esta forma, la reluctancia se puede calcular conociendo la geometría del circuito y la permeabilidad del medio, o también conociendo el flujo magnético y la tensión magnética, gracias a esta última ecuación, llamada ley de Hopkinson. Diferencia con la resistencia eléctrica La ecuación de la reluctancia magnética ℜ = ℓc / μAc es semejante a R = L / σA para la resistencia eléctrica. En esta última, σ representa la conductividad del material, L es la longitud del alambre y A es el área de su sección transversal. Estas tres magnitudes: σ, L y A son constantes. Sin embargo la permeabilidad del medio μ, en general no es constante, de manera que la reluctancia magnética de un circuito tampoco lo es, a diferencia de su símil eléctrico. Si existe un cambio del medio, por ejemplo al pasar de aire a hierro o viceversa, hay un cambio en la permeabilidad, con la consiguiente variación en la reluctancia. Y además los materiales magnéticos pasan por ciclos de histéresis. Esto significa que la aplicación de un campo externo ocasiona que el material retenga parte del magnetismo, aún después de retirado el campo. Por eso cada vez que se calcula la reluctancia magnética es necesario especificar cuidadosamente en qué punto del ciclo se encuentra el material y así conocer su magnetización. Ejemplos Aunque la reluctancia depende mucho de la geometría del circuito, también depende de la permeabilidad del medio. A mayor valor de esta, menor es la reluctancia; tal es el caso de los materiales ferromagnéticos. El aire por su parte tiene permeabilidad baja, por lo tanto su reluctancia magnética es mayor. Solenoides Un solenoide es un embobinado de longitud ℓ hecho con N vueltas, por el que se hace pasar una corriente eléctrica I. Las espiras por lo general se enrollan de forma circular. En su interior se genera un campo magnético intenso y uniforme, mientras que por fuera el campo se hace aproximadamente cero. Figura 2. Campo magnético en el interior de un solenoide. Fuente: Wikimedia Commons. Rajiv1840478 [CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/bysa/4.0)]. Si al embobinado se le da una forma circular se tiene un toroide. Dentro puede haber aire, pero si se coloca un núcleo de hierro, el flujo magnético es mucho mayor, gracias a la elevada permeabilidad de este mineral. Bobina enrollada sobre un núcleo de hierro rectangular Se puede construir un circuito magnético enrollando la bobina sobre un núcleo de hierro rectangular. De esta manera, cuando se hace pasar una corriente por el alambre, es posible establecer un flujo de campo intenso confinado en el interior del núcleo de hierro, como se aprecia en la figura 3. La reluctancia depende de la longitud del circuito y el área de la sección transversal señalados en la figura. El circuito mostrado es homogéneo, ya que el núcleo es de un solo material y la sección transversal se mantiene uniforme. Figura 3. Un circuito magnético sencillo que consiste en una bobina arrollada sobre un núcleo de hierro en forma rectangular. Fuente de la figura izquierda: Wikimedia Commons. Frecuentemente [CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)] Ejercicios resueltos – Ejercicio 1 Encontrar la reluctancia magnética de un solenoide rectilíneo de 2000 espiras, sabiendo que al hacer circular por él una corriente de 5 A se genera un flujo magnético de 8 mWb. Solución Se emplea la ecuación ℱ = N.i para calcular la tensión magnética, puesto que se dispone de la intensidad de la corriente y el número de vueltas en la bobina. Simplemente se multiplica: ℱ = 2000 x 5 A = 10.000 amperio-vuelta Seguidamente se hace uso de ℱ = Φm . ℜ, teniendo cuidado en expresar el flujo magnético en weber (el prefijo “m” significa “mili”, por lo que se multiplica por 10 -3: Φm = 8 x 10 -3 Wb Ahora se despeja la reluctancia y se sustituyen los valores: ℜ = ℱ/ Φm = 10.000 amperio-vuelta /8 x 10 -3 Wb = 1.25 x 106 amperiovuelta/Wb – Ejercicio 2 Calcular la reluctancia magnética del circuito mostrado en la figura con las dimensiones mostradas, las cuales están en centímetros. La permeabilidad del núcleo es μ = 0.005655 T·m/A y el área de la sección transversal es constante, de 25 cm2. Figura 4. Circuito magnético del ejemplo 2. Fuente: F. Zapata. Solución Aplicaremos la fórmula: ℜ = ℓc / μAc Se dispone de la permeabilidad y del área de sección transversal como datos en el enunciado. Falta por encontrar la longitud del circuito, la cual es el perímetro del rectángulo de color rojo en la figura. Para ello se promedia la longitud de un lado horizontal, sumando longitud mayor y longitud menor: (55 +25 cm)/2 = 40 cm. Después se procede de igual manera para el lado vertical: (60 +30 cm)/2 = 45 cm. Finalmente se suman las longitudes promedio de los cuatro lados: ℓc = 2 x 40 cm + 2 x 45 cm = 170 cm Resta sustituir valores en la fórmula de la reluctancia, no sin antes expresar longitud y área de la sección transversal -dada en el enunciado- en unidades SI: ℜ = 170 x 10 -2m / (0.005655 T·m/A x 0.0025 m2) = 120.248 amperio vuelta/Wb Referencias 1. Alemán, M. Núcleo ferromagnético. Recuperado de: youtube.com. 2. Magnetic circuit and reluctance. Recuperado de: mse.ndhu.edu.tw. 3. Spinadel, E. 1982. Circuitos eléctricos y magnéticos. Nueva Librería. 4. Wikipedia. Fuerza magnetomotriz. Recuperado de: es.wikipedia.org. 5. Wikipedia. Reluctancia magnética. Recuperado de: es.wikipedia.org.
