Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Capítulo 13 VIGAS COMPUESTAS 1 INTRODUCCIÓN Una manera de construir estructuras eficientes es utilizando láminas delgadas rigidizadas por perfiles. Tales construcciones son de uso frecuente en la industria mecánica y aeronáutica. Denominaremos indistintamente como alma, placa, chapa o panel a la lámina delgada que transmite fundamentalmente el corte. Por otro lado denominaremos como platabandas, largueros, refuerzos, cordones o rigidizadores a los perfiles que solicitados principalmente en el sentido axial de la viga compuesta, equilibran el momento flector. 2 TEORÍA SIMPLIFICADA PARA VIGAS COMPUESTAS La hipótesis básica de la teoría simplificada es suponer que el alma sólo transmite el corte, en realidad el alma también colabora para resistir la flexión pero esto no se tiene en cuenta. En consecuencia se supone que los refuerzos equilibran, por sí solos; todo el momento flector a través de fuerzas axiales. Otra simplificación se logra al ignorar el área de la chapa cuando se calcula el momento estático y el momento de inercia; de esta forma el flujo de corte en cada tamo resulta constante porque el momento estático permanece constante en cada tramo entre refuerzos. En realidad el alma toma cierta fuerza axial que equilibra en parte al momento flector. Esto puede ser tenido en cuenta considerando un “área efectiva” correspondiente al alma que se adiciona al área del cordón ( platabanda). Esto se ve en detalle en la Sección 5. A continuación desarrollaremos la teoría simplificada de vigas compuestas (placa-refuerzo) analizando una serie de casos de complejidad creciente. 2.1 Almas de corte planas Comenzamos analizando un caso sencillo de una viga en voladizo de altura h, siendo A1 y A2 las áreas de las platabandas superior e inferior respectivamente y t el espesor del alma ( Figura 1). Figura 1 : Esfuerzos en una viga compuesta en voladizo con dos platabandas Se desea calcular los esfuerzos y las tensiones a una distancia x del extremo libre donde actúa la fuerza Q. El problema es estáticamente determinado: hay tres incógnitas: las dos fuerzas en las platabandas (F1, F2 ) y el flujo de corte (q); y se pueden plantear tres ecuaciones de equilibrio en el plano: ∑F ∑M ∑M → Q −= qh 0 → = q Q/h →= τ q/t B → Q x − F1 h = 0 → F1 = Q x / h → σ 1 = F1 / A1 A → Q x − F2 h = 0 → F2 = Q x / h → σ 2 = F2 / A2 V (1) Una manera alternativa de resolver el problema es utilizar la teoría de vigas. Para ello debemos determinar el centro de gravedad y el momento de inercia de la sección ignorando la contribución del alma y luego calcular las tensiones en las platabandas ( usando la “fórmula del espejo” para la flexión σ =M/W ). El flujo de corte se calcula por Jourasky ignorando la contribución del alma al momento estático. De esa manera el momento estático sólo depende del área de la platabanda (que se considera como punto inicial del tramo) por lo que permanece constante a lo largo de la altura del alma y en consecuencia el “flujo de corte es constante” en la altura de la viga. 277 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Los esfuerzos en los diferentes elementos de la viga compuesta de la Figura 1 se muestran a continuación en la Figura 2. Figura 2 : Esfuerzos en los componentes de la viga de la Figura 1 La platabanda superior está comprimida por la acción del flujo de corte q que le transmite el alma. La determinación del flujo de corte es importante para verificar los remaches o la soldadura que une el alma con la platabanda. Notar que para cierto valor de N ( compresión) la platabanda puede llegar a pandear. El alma está solicitada a corte y como generalmente es bastante delgada existe la posibilidad de pandeo si el valor de q supera el valor crítico para la estabilidad del equilibrio de la placa. El comportamiento en el estado poscrítico es bastante diferente y se estudia más adelante en la Sección 3 al tratar el campo de tensión diagonal. En lo que sigue de esta sección consideraremos que el alma trabaja al corte y se encuentra solicitada en el nivel precrítico. En el caso de la viga compuesta que se muestra en la Figura 3 hay 5 incógnitas : las fuerzas axiales en las tres platabandas y los flujos de corte en los dos paneles. El problema resulta estáticamente indeterminado porque la estática sólo provee 3 ecuaciones independientes, pero puede resolverse aplicando la teoría de vigas en flexión y las hipótesis simplificativas anteriormente enunciadas para vigas compuestas. Figura 3 : Esfuerzos en una viga compuesta en voladizo con tres platabandas y ( A1 + A2 + A3 )= A1 (a + b) + A2b I = A1 a12 + A2 a22 + A3 a32 QS Q = A1 a1 (constante) I I Q Q q2 =( A1 a1 + A2 a2 ) = q1 + A2 a 2 I I = q1 = σ 1 Qx a1 I → = F1 σ 1 A1 σ= 2 Qx a2 I → = F2 σ 2 A2 σ= 3 Qx a3 I → = F3 σ 3 A3 (comp.) (2) Los esfuerzos en los elementos de la viga compuesta (el montante, los dos paneles y los tres cordones) están bosquejados en la Figura 4. Figura 4: Variación de los esfuerzos en los componentes de la viga de la Figura 3 278 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 El montante izquierdo está solicitado a tracción N ( variable) por la acción de los flujos de corte q1 y q2 que equilibran a la carga exterior Q. Los paneles están solicitados a corte ( flujo de corte constante). Los cordones ( platabandas) superiores están traccionados mientras que el cordón inferior está comprimido, en los tres cordones el esfuerzo axial varía linealmente. En el caso de una viga de sección variable como la mostrada en la Figura 5 no es aplicable la teoría de vigas que sólo es válida cuando la sección no varía a lo largo de la viga. Figura 5: Viga compuesta de sección variable El problema es estáticamente determinado. Las tres incógnitas F1, F2 y q se pueden calcular empleando tres ecuaciones de equilibrio en el plano. La solución se deja como ejercicio para el lector. Notar que parte del corte es equilibrado por la fuerza axial en la platabanda superior. El flujo de corte disminuye notablemente con x debido a dos causas; i ) aumento de F1 lo que disminuye Q y ii ) aumento de la altura h. En el caso de una viga como la mostrada en la Figura 6-a se puede aplicar la teoría de vigas en flexión empleando los diagramas de momento flector Mf ( Figura 6-b) y de corte Q ( Figura 6-c). Figura 6: Diagrama de esfuerzos en una viga Wagner Como el problema es estáticamente determinado los esfuerzos ( F1, F2 y q ) en una sección genérica a distancia x pueden calcularse en forma alternativa planteando tres ecuaciones de equilibrio en el plano para el diagrama de “cuerpo libre” que se indica en la Figura 6-d. Cálculo de desplazamientos Cuando es aplicable la teoría de vigas, los desplazamientos pueden calcularse empleando el Principio de los Trabajos Virtuales considerando flexión y corte de la manera habitual: = δ ∫ L 0 L Q M M dx dx + ∫ 0 Q EI Ac G (3) donde δ es el desplazamiento que se desea calcular aplicando una carga unitaria en un estado auxiliar. M es el momento flector y Q es el esfuerzo de corte (ambos funciones de x) , el trazo sobre un esfuerzo indica que corresponde al estado auxiliar. E y G son los módulos de Young y de corte del material. I y Ac son respectivamente el momento de inercia y el área de corte de la sección y L es el largo de la viga. 279 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Cuando la teoría de vigas no es aplicable, como en el caso de la Figura 5, se puede usar el Teorema de Castigliano aplicando una fuerza ficticia “X ” en el punto donde se quiere calcular el desplazamiento y en la dirección deseada. La energía complementaria de deformación resulta: W = * ∑ ∫ alma 2 2 1 q 1 F δ → ht dx + ∑ ∫ Adx= 2G t 2E A cordones ∂W * ∂X (4) X =0 donde δ es el desplazamiento, q es el flujo de corte, t y h son el espesor y la altura de los paneles mientras que F y A son respectivamente la fuerza y el área de los cordones. Notar que las magnitudes q, t, h, F y A pueden variar con x. 2.2 Almas de corte curvas En el caso de un alma de corte no plana de forma arbitraria cuya sección no varía a lo largo de la viga recta se puede anticipar que el flujo de corte (en la teoría simplificada) es constante. Recodar que despreciamos la variación del momento estático debido al alma cuando aplicamos Jourasky. En la Figura 7-a se esquematiza un alma de corte no plana que une dos cordones ( A y B ) donde el eje “x” pasa por el punto origen A y por el punto extremo B. Se utiliza una coordenada curvilínea “s” para recorrer el panel AB. Figura 7 : Flujo de corte en un alma de corte no plana y determinación de la resultante El valor del flujo de corte q, que como ya se comentó se considera constante en el contorno, se calcula integrando, entre A y B, las componentes según el eje “x” de las fuerzas ( qds ) = Qx ∫ B A (qds= ) cos θ B q ∫ cos = θ ds A B q= ∫ dx q AB A q = → Qx AB (5) Por otro lado el lector puede verificar que esfuerzo de corte Qy que se calcula integrando, entre A y B, las componentes según el eje “y” de las fuerzas (qds) es igual a cero. En conclusión: 1) El valor del flujo de corte q es independiente de la forma del alma y sólo depende de la distancia AB . 2) La viga recta cuya sección constante se muestra en la Figura 7 sólo resiste cargas que actúan en la dirección AB ( porque Qy = 0 ) . Como la viga cuya sección se muestra en la Figura 7 no tiene rigidez torsional (en la teoría simplificada ), la carga debe ser aplicada en el centro de corte. Para ubicar al centro de corte debe determinarse la línea de acción de la resultante Qx del flujo de corte q de modo que produzca el mismo momento torsor respecto a cualquier punto. Tomando momentos respecto al punto P se tiene: Qx (d += e) ∫ 2Γ P 2Γ +e + ) q 2 (Γ + Γ P ) → d = r (q ds = A AB AB q = Qx / AB Γ P = ½ AB d B 280 → e= 2Γ AB (6) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 La ecuación (6) muestra que la ubicación del centro de corte depende del área encerrada Γ, entre el contorno curvo y la recta AB. Además, conceptualmente es importante destacar que: “e” es el doble de la altura media ym del área Γ como se indica en la Figura 7-b En el caso de una sección abierta de 3 cordones y dos paneles de corte curvo como se indica en la Figura 8, se tienen cinco incógnitas: las tres fuerzas en los cordones y los dos flujos de corte en los paneles curvos. El caso es estáticamente determinado porque podemos plantear equilibrio de fuerzas según las direcciones “x”, “y” y “z” y además equilibrio de momentos según “y” y “z”. Notar que la viga no tiene rigidez torsional ( en la teoría simplificada ), por lo tanto la carga debe actuar en el centro de corte. Figura 8 : Esfuerzos en una sección abierta de tres cordones y dos paneles de corte no planos La ubicación del centro de corte resulta simple si se tienen en cuenta la ecuación (6). La viga sólo puede resistir una carga según AB a través del flujo de corte en el panel AB si actúa a una distancia e1 dada por (6) y similarmente puede resistir una carga paralelas a la dirección BC si actúa a una distancia e2 La determinación del centro de corte se indica en la Figura 9. Figura 9: Determinación del centro de corte de una viga con tres cordones y dos paneles no planos Los casos de secciones abiertas con más de tres cordones resultan estáticamente indeterminados porque el número de incógnitas es superior al número de ecuaciones de equilibrio independientes que pueden plantearse, que son cinco. El caso general de secciones abiertas se trata a continuación. 2.3 Secciones abiertas Utilizando la teoría de vigas y las hipótesis simplificativas para vigas compuestas enunciadas anteriormente se pueden resolver secciones abiertas, con paneles curvos o rectos y un número arbitrario de cordones, como las mostradas en la Figura 10. La teoría de vigas también permite resolver todos los casos anteriores excepto el caso de la Figura 5. Figura 10 : Diversos tipos de vigas compuestas de secciones abiertas Es importante recordar que en la determinación de los momentos de inercia y de los momentos estáticos para aplicar Jourasky deben usarse obligatoriamente ejes principales de inercia. 281 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Una vez calculados los flujos de corte aplicando Jourasky se puede hallar la resultante de las fuerzas generadas por tales flujos de corte y de esa forma puede determinarse el centro de corte. En el caso de la sección mostrada en la Figura 10-a conviene tomar momentos respecto de la intersección de la prolongación de los paneles exteriores como se esquematiza en la Figura = Qe F = 3d q3 h d e= → q3 hd Q (7) Figura 11 : Determinación del centro de corte de la sección abierta de la Figura 10-a En el caso de la sección de la Figura 10-b, que tiene un eje de simetría, se puede anticipar que el centro de corte está ubicado sobre el eje de simetría. Una vez calculados los flujos de corte qi se pueden tomar momentos respecto a un punto arbitrario, por ejemplo el punto P indicado en la Figura 12-a, para determinar la ubicación del centro de corte. Usando las ecuación (10) del Capítulo 10 sobre vigas de pared delgada, se llega a la ecuación (8): Q e = ∑ 2 Γ i qi ↓ e= 2 Q ∑Γ i qi (8) Figura 12 : Dos alternativas para calcular el centro de corte en la sección de la Figura 10-b Notar que Γi en la ecuación (8) está asociado al panel “i” y es el área de un elemento de tres lados, uno de los cuales es el contorno del panel que puede ser curvo o recto y los dos restantes son rectas que unen los extremos del panel con el punto respecto al cual se está tomando momentos. Como alternativa pueden encontrarse las resultantes Fi del flujo de corte en cada tramo de panel curvo empleando (5) y utilizar los ei dados por (6) como se indica en la Figura 12-b. En los casos de secciones abiertas sin ejes de simetría ni centro de simetría como el de la Figura 10-c deben determinarse primero los ejes principales de inercia. A continuación se ubica la recta de acción de la resultante de los flujos de corte causados por un esfuerzo cortante según uno de los ejes principales de inercia, obteniendo una de las coordenadas del centro de corte referida a ejes principales. Después se debe repetir el mismo procedimiento para el otro eje principal. 2.4 Secciones cerradas simétricas En el caso de una sección cerrada no es posible aplicar Jourasky como se hace en el caso de secciones abiertas porque a priori no se conoce ningún punto donde el flujo de corte es nulo. Ese conocimiento permitiría iniciar la acumulación de momento estático a partir de ese punto (donde el flujo de corte se anula). En la Figura 13-I se muestra una sección cerrada y simétrica de una viga compuesta para la cual se desea determinar los flujos de corte en los paneles causados por una fuerza Q perpendicular al eje de simetría cuyo valor y ubicación son conocidos. Figura 13 : Determinación de los flujos de corte de una viga compuesta de sección cerrada 282 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 A continuación se presenta un procedimiento para determinar todos los flujos de corte de la sección simétrica (empleando la teoría simplificada) que no requiere conocer la ubicación del centro de corte. Se elige un panel arbitrario, digamos el superior, cuyo flujo de corte es q0 ( Figura 13-I ) y se descompone al sistema I donde actúan los flujos qi desconocidos en la suma de dos estados : i) el estado II que se obtiene restando a cada uno de los paneles del sistema I el valor q0 del panel superior y ii ) el sistema III donde el flujo de todos los paneles es constante e igual a q0. Resulta obvio que: ( qI )i (qII )i = (qI )i − q0 y qi = = ( qI )i (qIII )i = q0 → (qII )i + (qIII )i (9) El procedimiento propuesto garantiza que el valor del flujo en el panel superior del estado II es nulo ya que (qI )0 − q0 ⇒ (qII )0 = (qI )0 − q0 = q0 − q0 (qII )0 = 0 → (10) y en consecuencia los flujos de corte en el estado II, (qII )i, se pueden calcular aplicando Jourasky. Paso 1: Se calculan flujos de corte ( qII )i en el estado II, aplicando Jourasky. Paso 2: Se calcula q0 con la ecuación (12). El valor de los flujos de corte en los paneles del estado I (suma de los estados II y III ) puede calcularse ahora con la condición de que produzcan el mismo momento torsor que la fuerza Q (cuya ubicación es dato del problema) respecto a cualquier punto arbitrario. En la Figura 14 se eligió tomar momentos respecto al punto P. Qd = ∑ 2Γ (q i II + q0 )i (11) Esto permite despejar el valor de la incógnita q0 Qd − 2∑ Γ i ( qII )i q0 = 2Γ (12) donde Γ (= Σ Γi ) es el área encerrada por la línea media del contorno. Figura 14 : Determinación del flujo q0 que debe adicionarse a los flujos de Jourasky del estado II Notar que en el caso de una sección circular conviene tomar momentos con respecto al centro del círculo porque facilita el cálculo de los Γi. Paso 3 : Se determinan los flujos qi usando los resultados de los pasos 1 y 2. Se emplea (9) para calcular el flujo del estado I en todos los paneles: = qi (= qI ) i (qII ) i + q0 (13) donde (qII ) i se calculó por Jourasky en el paso 1 partiendo del punto donde el flujo de corte es nulo y el valor de q0 se calculó en el paso 2 usando (12). Notar que los flujos de corte qi determinados en (13) corresponden en parte al esfuerzo de corte (esos flujos toman valores distintos en cada panel) y en parte al momento torsor ( esos flujos tienen el mismo valor en todos los paneles). Se conoce el flujo total pero no se conoce qué parte corresponde al corte y qué parte corresponde a la torsión. Para evitar confusiones hay que dejar muy en claro que el flujo q0 calculado en (12) no es el causado por la torsión ! El flujo q0 calculado en (12) es simplemente el flujo del panel superior causado por el corte y por la torsión. Si se desea calcular el giro por torsión por unidad de longitud, β, se debe emplear la forma generalizada de la ecuación (10) del Capítulo 10 sobre vigas de pared delgada, donde el flujo de corte no es constante en todo el contorno, pero sí lo es en cada panel, lo que permite reemplazar la integral por una sumatoria β = 1 2G Γ ∫ q ds t β →= 1 2G Γ ∑ i qi li ti donde qi está dado por (13) mientras que li es el largo del panel curvo “i” y ti es su espesor. 283 (14) Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Cálculo del centro de corte de una sección cerrada simétrica Para calcular el centro de corte en el caso de Figura 13 se procede en tres pasos siguiendo los lineamientos de la página anterior y adaptando las ecuaciones (11) y (14): Paso 1: Se calculan flujos de corte ( qII )i en el estado II de Figura 13, aplicando Jourasky. Paso 2 : Se calcula q0 con la ecuación (15) obtenida modificando (14) haciendo β = 0 porque la carga Q actúa en el centro de corte. l l l 1 q0 = ∑ (qII )i i ∑ i (qII + q0 )i i =0 → (14) → β =0 → (15) ∑ ti i t i ti 2G Γ i i / Paso 3: Se determina la coordenada “e” del centro de corte con la ecuación (16). Se modifica (11) reemplazando el valor conocido “d ” por la incógnita “e”. El valor de q0 dado en (15) se reemplaza en la ecuación de momentos respecto al punto P y eso permite despejar la coordenada del centro de corte. Q = e ∑ 2Γ (q i II + q0= )i → e 2 Q ∑Γ (q i II + q0 )i (16) 2.5 Secciones cerradas no simétricas En la Figura 15 se presenta una sección cerrada no simétrica solicitada por cargas (P1 y P2) que no actúan en el centro de corte y por lo tanto producen torsión además de corte. Primero se ubica el centro de gravedad G, los ejes principales de inercia y el centro de corte ( punto C de coordenadas ηc y ξ c ). A continuación se reemplaza al sistema de fuerzas (P1 y P2 ) por los dos esfuerzos de corte según los ejes principales ( Qη y Qξ ) que actúan en el centro de corte y el momento torsor T de las fuerzas respecto al centro de corte. Notar que para calcular T se necesita conocer ηc y ξ c. Figura 15 : Sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión Para resolver el problema de determinar los flujos de corte de una sección cerrada no simétrica solicitada en corte y torsión existen dos alternativas : 1) calculando previamente la ubicación de centro de corte, y 2) sin utilizar las coordenadas del centro de corte. Alternativa 1. Determinación de los flujos de corte encontrando previamente el centro de corte 1. Se determinan primero los flujos de corte en cada panel “i ”, causados por el esfuerzo de corte Qξ actuando en el centro de corte ( punto C en las Figuras 15-b y 16 ). Como el problema es estáticamente indeterminado se procede a descomponer el sistema en la suma de dos estados (estado I y estado II ) como se muestra en la Figura 16. Los flujos de corte qIξi del estado I se obtienen restando a cada flujo qξ i el flujo qξA del panel A. De esa manera el flujo de corte en el panel A del estado I es nulo y permite resolver el problema aplicando Jourasky acumulando momentos estáticos a partir del panel A Figura 16: Descomposición en dos estados para calcular los flujos de corte causado por Qξ 284 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 2. El flujo de corte constante del estado II ( qξA ) se calcula exigiendo que la sección no gire por torsión ( β = 0 ) porque la carga Qξ actúa en el centro de corte. Utilizamos la expresión generalizada (10) del Capítulo 10 para el caso de flujo de corte variable (pero constante por tramo ) y obtenemos la ecuación (17). l l l 1 qξ A = ∑ (qI ξ ) i i ∑ i β= 0 → (qI ξ i + qξ A ) i = 0 → (17) ∑ ti i ti ti 2G Γ i i / 3. Se determinan luego los flujos de corte en cada panel qηi causados por el esfuerzo de corte Qη actuando en el centro de corte ( punto C en la Figura 17 ) repitiendo el procedimiento del punto 1. Figura 17 : Descomposición en dos estados para calcular el flujo de corte causado por Qη 4. El flujo constante del estado II (qηA ) se calcula repitiendo el procedimiento del punto 2. 5. A continuación se calcula el flujo de corte por torsión usando la fórmula de Bredt. Notar que para calcular T se necesita conocer las coordenadas del centro de corte ηc y ξ c.! qT = T / (2 Γ ) (18) 6. Finalmente se calcula el flujo de corte total en cada panel, q i, causado por el momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Qξ y Qη (donde ξ y η son los dos ejes principales de inercia). qi = (qI ξ i + qξ A ) + (qIη i + qη A ) + qT (19) Alternativa 2. Determinación de los flujos de corte sin usar como dato al centro de corte Notar que la ecuación (19) puede reescribirse como: qi = qξ i + qη i + q0 donde: q0 = (q ξA + qη A + qT ) (20) Esto da lugar a un procedimiento alternativo más simple porque basta con calcular q0 como se muestra esquemáticamente en la Figura 18, en lugar de calcular sus tres componentes. Figura 18 : Descomposición en tres estados Paso 1: Se calculan por Jourasky los flujos qξi (estado I) de la Figura 18. Paso 2: Se calculan por Jourasky los flujos qηi (estado II) de la Figura 18. Paso 3: Se determina el valor del flujo constante q0 del estado III de la Figura 18 igualando el momento de las cargas aplicadas con el momento de los flujos de corte en los paneles del contorno de la sección cerrada respecto a un punto arbitrario que resulte conveniente: = P d ∑ 2Γ ∑ k k k i i (qξ i + qη i + q0 ) → = q0 1 ∑ Pk d k − 2Γ k ∑ 2Γ (qξ i i i + qη i ) (21) Paso 4: Se calcula el flujo de corte total, qi, causado por el momento torsor T y los dos esfuerzos de corte, Qξ y Qη , usando la ecuación (20) y los valores qξi, qηi y q0 calculados en los pasos 1, 2 y 3. 285 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Cálculo del centro de corte de una sección cerrada no simétrica En el caso de una sección compuesta cerrada sin ejes de simetría, como la mostrada en la Figura 15, se deben calcular por separado las coordenadas ξ c y ηc del centro de corte ( punto C ) respecto a ejes principales de inercia aplicando la teoría simplificada. Para determinar la coordenada ηc se descompone el sistema donde actúa el corte Qξ en dos estados ( I y II) haciendo ( qξi = qIξi + qξA ) como se muestra en la Figura 16. qIξi se calcula por Jourasky y qξA se calcula con la ecuación (17). Posteriormente se iguala el momento del esfuerzo de corte Qξ con el momento de los flujos de corte respecto al centro de gravedad G y se despeja la coordenada ηc. Observar la similitud entre la ecuación (22) y las ecuaciones (8) y (16). = Qξ ηC ∑2Γ i qξ i ηC = → 2 Qξ ∑Γ i qξ i (22) Para calcular la coordenada ξ c se procede de manera análoga. 3 CAMPO DE TENSIÓN DIAGONAL Según se comentó en la Sección 2.1, si el flujo de corte supera el valor crítico se produce el pandeo del alma. Antes del pandeo, debido al corte, se tienen tensiones de tracción y compresión a 45º respecto a la dirección del corte como se indica en la Figura 19-a. Esto puede verificarse fácilmente empleando el círculo de Mohr. Figura 19 : Esquema de una viga Wagner trabajando en el campo de tensión diagonal Cuando la tensión (τ ) alcanza el valor crítico la placa pandea. Para cargas mayores ( Q > Qcrít ) la tensión de compresión σ1 no aumenta mientras que la de tracción σ2 crece. Para cargas aún mayores (Q >> Qcrít ) se puede hacer la hipótesis simplificativa de que la tensión σ1 es despreciable frente a σ2 y suponer que el alma trabaja sólo a tracción ( σ ) con una inclinación próxima a los 45º. En tal caso es necesario colocar montantes para resistir la acción que tiende a aproximar las platabandas entre sí. El modelo simplificado de la Figura 19-b se conoce como viga Wagner. La tensión de tracción ( σ ) y la fuerza en las platabandas (F1 y F2 ) pueden calcularse por estática observando la Figura 20: Fσ = σ t (h cos α ) Q σ = (23) → α cos α ht sen Fσ sen α − Q = 0 Tomando momentos respecto al punto A se tiene: h cos α Fσ + F1 h + Q x = 0 → 2 Qx Q − − F1 = h 2 tan α (24) Qx Q − h 2 tan α (25) F2 Tomando momentos respecto a B: = Figura 20: Cálculo de los esfuerzos en el alma y en las platabandas de una viga Wagner Cuando x = 0, F1= – Q/(2tan α) y esto se debe a que la acción transversal Fσ sobre el montante del extremo izquierdo es resistido por la compresión de las platabandas (superior e inferior ). La tensión de tracción σ actuando sobre el alma ejerce una fuerza Fd sobre las platabandas que a su vez comprimen los montantes internos con una fuerza FV ( ver Figura 21). Fd = σ t (d senα ) Q d tan α FV = (26) σ dada por (23) → h FV = Fd senα Figura 21 : Compresión de los montantes debido a la acción del alma sobre las platabandas 286 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Debido a la fuerza de compresión FV , los montantes deben verificarse al pandeo en el plano perpendicular a la viga. En estudios experimentales se han medido valores de FV bastante inferiores al valor dado en (26). Las platabandas trabajan como vigas continuas cargadas en el sentido axial y transversal (ω =FV / d ). El montante extremo también está cargado en sentido axial y transversal. Ambos aspectos se esquematizan en la Figura 22. Figura 22 : Esquema de los esfuerzos actuando sobre el primer montante de la viga Wagner Una hipótesis simplificativa consiste en ignorar Mo en el primer montante con lo que se obtiene un Mmáx mayor al real y se está del lado de la seguridad. El valor del ángulo α (ver Figura 19-b) se puede calcular a partir de la siguiente expresión aproximada: 1 + ht/ Aplat 4 (27) ( tan α ) = 1 + d t/ Amont donde los valores t, h y d ya fueron definidos con anterioridad: t es el espesor del panel, h es la altura del montante ( Figura 20) y d es la distancia entre montantes ( Figura 21). Aplat y Amont son respectivamente el área de la platabanda y del montante que rodean al panel. En los casos prácticos se cumple aproximadamente que: h d ≈ Aplat Amont → α ≈ 45o (28) La teoría presentada en esta sección es muy resumida y aproximada pero permite calcular valores tentativos. El lector interesado en este tema deberá recurrir a la literatura especializada. Esta sección sólo pretende ilustrar sobre el comportamiento estructural de la viga Wagner en el estado poscrítico conocido como campo de tensión diagonal. 4 ESTRUCTURAS A RECUBRIMIENTO RESISTENTE Las estructuras a recubrimiento resistente (ver Figura 23 ) están constituidas por tres tipos de elementos: i) la lámina delgada del recubrimiento, ii) los cordones longitudinales ( largueros) y iii) los refuerzos transversales ( cuadernas). Figura 23 : Elementos componentes de una estructura a recubrimiento resistente 287 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 I. El recubrimiento trasmite el corte, resiste el momento torsor a través de tensiones de corte y además resiste parte de la flexión a través del ancho efectivo ( el resto lo toman los largueros). II. Los largueros resisten la flexión a través de esfuerzos normales, los que resultan comprimidos deben verificarse a pandeo. Estos elementos estabilizan los paneles definiendo el ancho de pandeo (b) de los paneles que es igual a la distancia entre largueros (ver Figura 23-b). III. Las cuadernas son marcos cerrados que tienen dos funciones: i) estabilizar los largueros definiendo la longitud de pandeo “a” que es igual a la distancia entre cuadernas (ver Figura 23-a). ii ) recibir cargas concentradas y transmitirlas al recubrimiento y viceversa. 5 CONTRIBUCIÓN DE LOS PANELES A LA FLEXIÓN - ANCHO EFECTIVO La teoría simplificada desarrollada en la Sección 2 que desprecia la contribución de los paneles en cuanto a la resistencia a flexión produce diseños que en algunos casos resultan demasiado conservativos y esto debe evitarse especialmente en el campo aeronáutico que es muy exigente con el peso de la estructuras. En las llamadas “estructuras a recubrimiento resistente” se considera la contribución del área de los paneles en el cálculo del centro de gravedad, momentos estáticos y momentos de inercia. Figura 24 : Contribución del área de los paneles en una estructura a recubrimiento resistente Una manera simple de tratar el problema es considerar un “área modificada ” para el refuerzo como se indica en la Figura 24 : = A Ar + bt (29) Esta forma de trabajar supone que el alma y el refuerzo son del mismo material y además que la tensión calculada para el refuerzo es la misma tensión que solicita al alma. Esta última hipótesis es correcta para las zonas traccionadas y en las zonas comprimidas donde la tensión ( por flexión) es menor que la tensión crítica de la placa. Es necesario recordar la fórmula de la tensión crítica de pandeo de una placa: = K Pcrít π 2D b → σ crít = K π 2D t b2 → σ crít = K π 2E t2 12 (1 − υ 2 ) b 2 (30) donde E y υ son el módulo de Young y el módulo de Poisson del material, t y b son respectivamente el espesor y el ancho del panel mientras que K depende de las condiciones de borde. Para bordes simplemente apoyados donde a/b > 1 resulta K ≈ 4. Figura 25 : Variación de la tensión en los paneles y esquema del ancho efectivo be 288 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Cuando un panel como el de la Figura 25-a se comprime progresivamente, al principio la tensión es constante en todo el ancho del panel como se indica en los niveles de carga 1 y 2 de la Figura 25-b. Cuando la carga supera el valor de la carga crítica de pandeo ( P > Pcrit ) dada por (30), la distribución de tensiones no es uniforme en el ancho del panel comprimido. Esto se puede observar en los niveles de carga 3, 4, 5 y 6 de la Figura 25-b; en la proximidad de los refuerzos el panel toma la tensión máxima pero en el centro apenas supera la tensión crítica. Esta diferencia se hace más notable a medida que la carga de compresión crece. El concepto de “ancho de colaboración” establece que el ancho real “b” trabajando a una tensión variable en el ancho del panel puede reemplazarse por un “ancho efectivo be” solicitado por una tensión constante e igual la tensión máxima ( σmáx ) que ocurre en los bordes. = P ∫ b 0 σ= σ máx t be (x) (t dx ) → be = ∫ b 0 σ (x) dx σ máx (31) donde be es el “ancho efectivo” o “ancho de colaboración” definido precisamente por (31). Como la distribución de tensiones es bastante compleja se recurre a fórmulas prácticas (aproximadas) para el cálculo de be. Existen varias expresiones, pero la más utilizada es la siguiente: be = b Fórmula general σ crít σ máx (32) que fue propuesta por Von Kármán en 1932. Esta expresión surge de considerar una placa cuyo ancho be es tal que su tensión crítica es la σmáx. panel real ancho b ...............σ crít = K panel efectivo ancho be .......σ máx π 2D t b2 → se deduce (32) π 2D = K t (be ) 2 (33) Reemplazando (30) en (32) y considerando υ = 0,3 se obtiene: K E /σ máx be = 0,95 t (34) Suponiendo que a/be > a/b > 1 y que los bordes están simplemente apoyados → K ≈ 4 be = 1,9 t Caso particular K ≈ 4 y υ = 0,3 E /σ máx (35) El valor de σmáx debe ser menor que la tensión crítica de pandeo del conjunto placa-refuerzo esquematizado en la Figura 23-b. Notar que la tensión máxima en cada panel se calcula por la fórmula clásica de la flexión σ máx = M y I (36) La ubicación del eje neutro depende de las áreas modificadas ( = A Ar + be t ) dadas en (29), que a su vez dependen de los anchos efectivos be . Por lo tanto el momento de inercia ( I ) y la distancia a la fibra neutra ( y) dependen de la tensión σmáx en los diferentes paneles. En la Figura 26 se muestra el caso de una viga comprimida en la parte superior que tiene una sección circular, con 32 largueros y 32 paneles. Se ha indicado el ancho efectivo para un panel genérico ( se eligió el panel 4 ). 289 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Figura 26 : Contribución de los paneles a la flexión - Ancho efectivo Notar que si bien el ancho “b” de los paneles es único, cada panel tiene su propio ancho efectivo “be” dividido en dos mitades iguales “be /2” cuyas áreas ( t be / 2 ) se suman a los largueros en los extremos de ese panel. Notar que en la parte inferior de la sección que esta traccionada el ancho efectivo es b. A modo de ejemplo en (37) se indica el valor del área modificada del larguero número 5: ( A) 5 =( Ar ) + ( t be /2 )4 + ( t be /2 )5 5 (37) Para resolver el problema se debe proceder en forma iterativa proponiendo un be tentativo para cada panel de la zona comprimida donde σmáx > σcrít que puede ser posteriormente mejorado reemplazando el valor provisto por (36) para σmáx en la en la expresión (32) para be hasta convergencia. 6 ANÁLISIS DE LAS CUADERNAS Las secciones anteriores están dedicadas al análisis del recubrimiento y de los cordones longitudinales. En esta sección se encara el análisis de las cuadernas que son pórticos planos (marcos cerrados ). En la Figura 27 se muestra un ejemplo sencillo. La cuaderna central recibe una carga concentrada P y está apoyada en el recubrimiento. Las cuadernas de extremo reciben la acción del flujo de corte y lo transmiten a los apoyos. Figura 27 : Esquema mostrando las cuadernas de una estructura a recubrimiento resistente Partiendo del diagrama de corte que se muestra en la Figura 28 pueden calcularse los flujos de corte como se indica en la Sección 2.4. El flujo de corte en una sección próxima al extremo A se obtiene a partir de RA. El flujo de corte a izquierda de la cuaderna central C se obtiene a partir de Q1 mientras que el flujo de corte a derecha de la cuaderna C se obtiene a partir de Q2. La acción sobre la cuaderna es la suma ambos esfuerzos de corte ( Q1 + Q2 ) que es igual a la carga concentrada P actuando sobre la cuaderna. 290 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Figura 28 : Diagrama del esfuerzo de corte en el recubrimiento de la viga de la Figura 27 Las cuadernas son generalmente simétricas, lo que facilita su análisis, en tales casos el centro de corte está ubicado sobre el eje de simetría. Si la estructura es simétrica y además el sistema de cargas es simétrico, como en el caso de la Figura 29, se puede reducir el análisis a la mitad de la cuaderna. Figura 29 : Análisis de una cuaderna simétrica con cargas simétricas El sistema de cargas ( q, P ) esquematizado en la Figura 29-c es autoequilibrado. Por simetría corresponde colocar empotramientos deslizantes en A y en B. La reacción vertical en A es nula por ser el sistema de fuerzas aplicado autoequilibrado. Sin embargo, si se utiliza el método de rigidez es imprescindible restringir el desplazamiento vertical de cuerpo rígido y esto se logra restringiendo el desplazamiento vertical de cualquier punto (en este caso se eligió el punto A ). Una alternativa es considerar un modelo como el de la Figura 30. El sistema de cargas consiste sólo en q y la reacción en el punto C (donde actuaba la carga) resultará igual a P. Figura 30: Modelo alternativo para resolver el problema de la Figura 29-d Si las cargas resultan asimétricas la determinación del flujo de corte reactivo resulta sencilla. Aprovechando la simetría de la geometría de la cuaderna, el sistema de la Figura 31-a se puede descomponer en dos estados trasladando la carga al eje de simetría y considerando el momento torsor (T = Pa). Notar que en los sistemas de las Figuras 31-b y 31-c se ha agregado el flujo reactivo que ejerce el recubrimiento sobre la cuaderna para establecer el equilibrio. Figura 31 : Análisis de una cuaderna simétrica con cargas asimétricas El sistema de cargas de la Figura 31-d es autoequilibrado. Si se analiza por el método de las fuerzas tiene tres incógnitas hiperestáticas. Si en cambio se analiza por el método de rigidez es imprescindible restringir el desplazamiento de cuerpo rígido a través de una sustentación isostática como se muestra en las Figuras 32-a, b y c. En todos los casos las reacciones de apoyo resultan nulas dado que el sistema de cargas es autoequilibrado. 291 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 Figura 32 : Modelos alternativos para restringir desplazamientos de cuerpo rígido al resolver el problema de la Figura 31-d por el método de la rigidez Aprovechando la simetría se puede descomponer el sistema asimétrico como la suma de dos estados, uno simétrico y otro antisimétrico como se muestra en la Figura 33. En ambos estados se analiza sólo la mitad imponiendo condiciones de apoyo adecuadas sobre el eje de simetría y evitando desplazamientos de cuerpo rígido. Figura 33 : Descomposición de un estado asimétrico en un estado simétrico y otro antisimétrico Las acciones (solicitaciones ) sobre la cuaderna son la carga P y el flujo de corte reactivo q que equilibra la cuaderna. Figura 33-b → Q= P ; T= 0 ; q= 1 Q Sy Figura 33-c → Q= 0 ; q= 2 Pd 2Γ T= P d ; Iy flujo de corte por corte (Jourasky) (38) flujo de corte por torsión (Bredt) (39) Notar que en la determinación del flujo de corte que “sostiene” a la cuaderna no intervienen las propiedades de la cuaderna y si intervienen las propiedades del panel que sostiene a la cuaderna. Si q1 se calcula usando sólo el momento estático Sy del recubrimiento, su variación es continua. En cambio si se calcula Sy usando sólo los largueros, q1 resulta constante entre largueros. Lo más conveniente es discretizar el área del panel en áreas concentradas que se agregan a las áreas de los largueros, de modo que el flujo de corte resulte constante en cada tramo. En la Figura 34 se indican las solicitaciones S correspondientes a la cuaderna de la Figura 33 cuando se aprovecha la simetría. Figura 34 : Determinación de los esfuerzos aprovechando la simetría de la cuaderna de la Figura 33 Primero se resuelven los casos b y c ( Figura 34) obteniéndose S1 y S2 para la mitad izquierda y posteriormente resulta S = S1 + S2 para la mitad izquierda, mientras que a derecha se tiene S = S1 – S2. El flujo de corte q1 se calcula por Jourasky usando la ecuación (53) del Capítulo 10 y está bosquejado en la Figura 34-b mientras que el flujo de corte q2 constante se calcula por la fórmula de Bredt usando la ecuación (10) del Capítulo 10 y está bosquejado en la Figura 34-c. Las solicitaciones totales S se muestran en la Figura 34-d. 292 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 PRÁCTICO Vigas Compuestas −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 293 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 SOLUCIÓN del PRÁCTICO Vigas Compuestas −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 294 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 295 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 296 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 297 Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC J.Massa-J.Giro-A.Giudici - 2015 298
