IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS _ cepreuni

CICLO ADMISIÓN 2017 –I
FORMULARIO
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se
verifican para todo valor admisible de la variable angular. Es decir las razones trigonométricas
estén definidas.
S i asen  x   b cos  x   c  a 2  b 2  c 2
I. Identidades fundamentales
I.1 Identidades reciprocas
sen  x  .csc  x   1  csc  x   1 / sen  x 
cos  x  . sec  x   1  sec  x   1 / cos  x 
tan  x  .cot  x   1  cot  x   1 / tan  x 
a
b
 cos  x  
c
c
I.5 Identidades adicionales
 se n 4  x   cos 2  x   1  se n 2 (x )cos 2 (x )
 cos4  x   sen 2  x   1  se n 2 (x )cos 2 (x )
 tan 2  x   sen 2  x   tan 2 (x ).sen 2 (x )
I.2 Identidades por cociente
tan  x  
 sen  x  
sen  x 
cos  x 
 cot  x  
cos  x 
sen  x 
 cot 2  x   cos 2  x   cot 2 (x ).cos 2 ( x )
 sec 4  x   tan 4  x   1  2 sec 2 (x )tan 2 (x )
 sec 6  x   tan 6  x   1  3 sec 2 (x )tan 2 (x )
I.3 Identidades Pitagóricas
sen 2  x   cos 2  x   1 sec 2  x   tan 2  x   1
 csc 4  x   cot 4  x   1  2 csc 2 (x )cot 2 (x )
csc 2  x   cot 2  x   1
 csc 6  x   cot 6  x   1  3 csc 2 (x )cot 2 (x )
  sen  x   cos  x     sen  x   cos  x    2
2
I.4 Identidades auxiliares
4
2
2
sen 8  x   cos8  x  
 x  .cos  x   2 sen  x  .cos  x 
tan  x   cot  x   sec  x  csc  x 
sec 2  x   csc 2  x   sec 2  x  csc 2  x 
1  4 sen
2
2
1  sen  x   cos  x  
2
  tan  x   cot  x     tan  x   cot  x    4
2
 x   cos  x   1  2 sen  x  .cos  x 
sen 6  x   cos6  x   1  3 sen 2  x  .cos 2  x 
sen
4
2
4
I.6 Algunas desigualdades importantes
 x 
 n
4
 2 1  sen  x   1  cos  x  
sen  x 
1 cos  x 
cos  x 
1 sen  x 



1  cos  x 
sen  x 
1  sen  x 
cos  x 
S i sec  x   tan  x   p  sec  x   tan  x   p 1
S i csc  x   cot  x   q  csc  x   cot  x   q
1
2
1
2
 x 
n 1

 sen 2n (x )  cos 2n (x )  1
 n, m 
 sen(x )
 x , a, b 
:
2n

:
 cos(x )
2m

nn  m m
 n  m n m
:
 a2  b 2  asen(x )  b cos(x )  a 2  b 2
 x 
 n

  / n    a, b 
2


:
a tan(x )  b cot(x )  2 ab
CEPRE-UNI
TRIGONOMETRÍA
-1-
CICLO ADMISIÓN 2017 –I
II. Identidades de los ángulos
compuestos
II.1 Para la suma de dos ángulos
sen  x  y   sen  x  cos  y   sen  y  cos  x 
cos  x  y   cos  x  cos  y   sen  x  sen  y 
tan  x  y  
tan  x   tan  y 
1  tan  x  tan  y 
II.2 Para la diferencia de dos ángulos
sen  x  y   sen  x  cos  y   sen  y  cos  x 
FORMULARIO
 Si x  y  45
 (1  tan(x )) 1  tan(y)  2
 Si x  y  30
 ( 3  tan(x ))
tan  x   tan  y 
1  tan  x  tan  y 
II.3 Identidades auxiliares
sen  x  y  sen  x  y   sen 2 x  sen 2 y
cos  x  y  cos  x  y   cos 2 x  sen 2 y
tan  x   tan  y  
sen  x  y 
cos  x  cos  y 
cot  x   cot  y  
sen  y  x 
sen  x  sen  y 
a.sen  x   b.cos  x   a 2  b 2 .sen  x   
Donde tan() 
b
a

3  tan(y)  4
II.4 Identidades para tres ángulos
sen(x  y  z )
 S1  S 3
cos(x )cos(y)cos(z )
cos(x  y  z )
 1  S2
cos(x )cos(y )cos(z )
cos  x  y   cos  x  cos  y   sen  x  sen  y 
tan  x  y  

tan(x  y  z ) 
S1  S 3
….(*)
1  S2
Donde:
S1 : tan(x )  tan(y)  tan(z)
S 2 :tan(x )tan(y)  tan(y)tan(z)  tan(z)tan( x)
S 3 : tan(x )tan(y)tan(z)
A partir de la identidad (*) se presentan estos
casos particulares.

S i x  y  z   2n  1  ; n 
2
Entonces
tan  x  tan  y   tan  y  tan  z   tan  z  tan  x   1
cot  x   cot  y   cot  z   cot  x  cot  y  cot  z 
S i x  y  z  n ; n 
Entonces
Con frecuencia se utiliza las siguientes
identidades
 sen  x   cos  x   2.sen  x  45  


 3.sen  x   cos  x   2.sen  x  30  


 sen  x   3.cos  x   2.sen  x  60  
tan  x   tan  y   tan  x  tan  y  tan  x  y   tan  x  y 
tan  x   tan  y   tan  x  tan  y  tan  x  y   tan  x  y 
S i x  y   entonces
 cot()  tan(x ) cot()  tan(y)  csc 2 ()
Algunas aplicaciones de esta identidad son:
CEPRE-UNI
cot  x  cot  y   cot  y  cot  z   cot  z  cot  x   1
tan  x   tan  y   tan  z   tan  x  tan  y  tan  z 
Identidades adicionales
Si x  y  z  0
cos 2  x   cos 2  y   cos 2  z   2 cos  x  cos  y  cos  z   1
Si x  y  z   / 2
sen 2  x   sen 2  y   sen 2  z   2 sen  x  sen  y  sen  z   1
Si x  y  z  
cos 2  x   cos 2  y   cos 2  z   2 cos  x  cos  y  cos  z   1
III.
Identidades de los ángulos
múltiples
TRIGONOMETRÍA
-2-
CICLO ADMISIÓN 2017 –I
FORMULARIO
III.1 Identidades del ángulo doble
sen  2 x   2 sen  x  cos  x 
sen  2 x   2 sen  x  cos  x 
tan  2 x  
2 tan  x 
Identidades para degradar
2 sen 2  x   1  cos  2 x  2 cos 2  x   1  cos  2 x 
También
2 tan  x 
1  tan 2  x 
III.2 Identidades del ángulo mitad
x
1  cos x
sen( ) 
2
2
cos  2 x  
1  tan 2  x 
1  tan 2  x 
Una forma práctica de recordar estas dos
identidades, es utilizando la siguiente figura
x
1  cos x
cos( ) 
2
2
x
1  cos x
tan( ) 
2
1  cos x
1  tan 2  x 
Otras formas del cos(2x)
2

cos  2 x   1  2 sen  x 

2

cos  2 x   2 cos  x   1
sen  2 x  
 8 cos4 (x )  3  4 cos(2 x )  cos(4 x )
Nota: El signo que se considerara, dependerá
del cuadrante al cual pertenezca x/2 y de la
razón trigonométrica.
También
x
x
tan( )  csc  x   cot  x  cot( )  csc  x   cot  x 
2
2
III.3 Identidades del ángulo triple
sen  3 x   3 sen  x   4 sen 3  x 
cos  3 x   4 cos3  x   3 cos  x 
tan  3 x  
3 tan  x   tan 3  x 
1  3 tan 2  x 
Identidades para degradar
4 sen 3  x   3 sen  x   sen  3 x 
4 cos 3  x   3 cos  x   cos  3 x 
Identidades auxiliares
 cot  x   tan  x   2 csc  2 x 

cot  x   tan  x   2 cot  2 x 

sen 4  x   cos4  x  

3 1
 cos  4 x 
4 4
5 3
sen6  x   cos6  x    cos  4 x 
8 8
1  sen  2 x   sen  x   cos  x 

sec 2  x   csc 2  x   4 csc 2  2 x 

tan  2 x  cot  x   sec  2 x   1

 tan  2 x  tan  x   sec  2 x   1
 8 sen 4 (x )  3  4 cos(2 x )  cos(4 x )
CEPRE-UNI
Identidades auxiliares
sen  3 x   sen  x   2 cos  2 x   1 
cos  3 x   cos  x   2 cos  2 x   1 
tan  3 x   tan  x  (
2 cos  2 x   1
)
2 cos  2 x   1
sen  3 x   4 sen  x  sen  60   x  sen  60   x 
cos  3 x   4 cos  x  cos  60   x  cos  60   x 
tan  3 x   tan  x  tan  60   x  tan  60   x 
Identidades adicionales
sen 3 (x )  cos 3 (y) 3
 S i x  y  30  

sen(x )  cos(y )
4
TRIGONOMETRÍA
-3-
CICLO ADMISIÓN 2017 –I

tan(x )  tan(x  60)  tan(x  120)  3 tan(3 x)

csc(x )  csc(x  120)  csc(x  240)  3 csc(3 x)

sec(x )  sec(x  120)  sec(x  240)  3 sec(3 x)
IV.
Transformaciones
trigonométricas
FORMULARIO
A
B
C
sen  A   sen  B   sen  C   4 cos( )cos( )cos( )
2
2
2
A
B
C
cos  A   cos  B   cos  C   1  4 sen( )sen( )sen( )
2
2
2
sen  2 A   sen  2 B   sen  2C   4 sen( A)sen(B)sen(C)
cos  2 A   cos  2 B   cos  2C   1  4 cos  A  cos  B  cos  C 
En general, para k 
sen  2kA   sen  2kB   sen  2kC  
Caso 1
x y
x y
sen  x   sen  y   2 sen(
)cos(
)
2
2 
x y
x y
sen  x   sen  y   2 sen(
)cos(
)
2
2
x y
x y
)cos(
)
2
2
x y
x y
cos  x   cos  y   2 sen(
)sen(
)
2
2
cos  x   cos  y   2 cos(
Algunas aplicaciones
 sen(x  120)  sen(x )  sen(x  120)  0
 cos(x  120)  cos(x )  cos(x  120)  0
3
2
3
 cos 2 (x  120 )  cos 2 ( x )  cos 2 ( x  120 ) 
2
Caso 2
 sen 2 (x  120 )  sen 2 (x )  sen 2 (x  120 ) 
2 sen  x  cos  y   sen  x  y   sen  x  y 
2 cos  x  cos  y   cos  x  y   cos  x  y 
2 sen  x  sen  y   cos  x  y   cos  x  y 
A partir de las siguientes identidades
sen  x   sen  y   sen  z   sen  x  y  z 
 4 sen(
x y
yz
zx
)sen(
)sen(
)
2
2
2
k 1
4  1 
Serie de senos para ángulos en progresión
aritmética
nr
P U
sen( )sen(
)
n
2
2
 sen  x  kr  
r
k 1
sen( )
2
Serie de cosenos para ángulos en progresión
aritmética
nr
P U
sen( )cos(
)
n
2
2
 cos  x  kr  
r
k 1
sen( )
2
Donde consideramos que
n: número de términos r: razón de la P.A.
P: primer ángulo
U: último ángulo
Otras series (n  )
cos(

3
(2n  1) 1
)  cos(
)  ... cos(

2n  1
2n  1
2n  1
2
cos(
2
4
2 n
1
)  cos(
)  ... cos(
)
2n  1
2n  1
2n  1
2
sen(
x y
yz
zx
)cos(
)cos(
)
2
2
2
Determinamos las identidades condicionales

2
n
)sen(
)  ... sen(
)
2n  1
2n  1
2n  1
cos(
cos  x   cos  y   cos  z   cos  x  y  z 
 4 cos(
sen  kA  sen  kB  sen  kC 
tan(
2n  1
2n

2
n
1
)cos(
)  ... cos(
) n
2n  1
2n  1
2n  1 2

2
n
)tan(
)  ... tan(
)  2n  1
2n  1
2n  1
2n  1
Si A  B  C  180, entonces
CEPRE-UNI
TRIGONOMETRÍA
-4-