Método de Jacobi Algoritmo Jair Balcazar Cobeña Métodos numéricos 5to Nivel 09/02/2020 Mg. José Luis Centeno SANTO DOMINGO, ECUADOR 1. Se verifica que la matriz cumpla con la condición de diagonal dominante, es decir, los coeficientes de las variables diagonal deben ser mayor o igual a la suma de los valores absolutos de los coeficientes de su misma fila. 2. Si cumple la condición anterior se procede con la resolución (Paso 4), caso contrario se puede reorden el sistema haciendo uso del intercambio de reglones. 3. Si haciendo uso del intercambio de reglones aun no se cumple la condición del paso 1, el sistema no puede ser resuelto por el método de Jacobi, caso contrario se procede con la resolución. (Paso 4). 4. En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matriz A. La matriz Q toma la forma: 5. y la ecuación general se puede escribir como Qx(k) = (Q-A)x(k-1) + b 6. Si denominamos R a la matriz A-Q: 7. la ecuación (se puede reescribir como: Qx(k) = -Rx(k-1) + b 8. El producto de la matriz Q por el vector columna x(k) será un vector columna. De modo análogo, el producto de la matriz R por el vector columna x(k-1) será también un vector columna. La expresión anterior, que es una ecuación vectorial, se puede expresar por inecuaciones escalares (una para cada componente del vector). De este modo, podemos escribir, para un elemento i cualquiera y teniendo en cuenta que se trata de un producto matriz-vector: 9. Si tenemos en cuenta que en la matriz Q todos los elementos fuera de la diagonal son cero, en el primer miembro el único término no nulo del sumatorio es el que contiene el elemento diagonal qii,, que es precisamente aii. Más aún, los elementos de la diagonal de Rson cero, por lo que podemos eliminar el término Materia/título 1 i=j en el sumatorio del segundo miembro. De acuerdo con lo dicho, la expresión anterior se puede reescribir como: 10. de donde despejando xi(k) obtenemos: 11. que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x(k) en función de vector anterior x(k-1) en la iteración de Jacobi. En la figura siguiente se presenta un algoritmo para el método de Jacobi. Materia/título 2
