INTEGRAL DE RIEMANN

INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DE RIEMANN
Definición: Dado un intervalo cerrado [a,b] llamamos partición de [a,b] a todo conjunto
finito P={t0,t1,…,tn}⊆[a,b] con t0=a<t1<…<tn=b. Denotamos por P([a,b]) al conjunto
de las particiones de [a,b]
Definición: Dadas P1,P2∈P([a,b]), decimos que P2 es más fina que P1, denotado por
P2 ≥P1, si P1⊆P2
Teorema: P1,P2∈P([a,b]), existe P3 ∈P([a,b]) con P1, P2≤ P3
Definición: Dada f : [a, b] → ℜ acotada y P={t0,t1,…,tn}∈P([a,b]) definimos los
siguientes números
• mi=Inf{f(x):ti-1≤x≤ti} para i=1,…,n
• Mi=Sup{f(x):ti-1≤x≤ti} para i=1,…,n
n
• I(f,P)= ∑ mi (t i − t i −1 ) (Suma inferior de f para P)
i =1
n
• S(f,P)= ∑ M i (t i − t i −1 ) (Suma superior de f para P)
i =1
Teorema: Dada f : [a, b] → ℜ acotada y P1,P2∈P([a,b]), tenemos
i) I(f,P1)≤S(f,P1) ii) Si P1≤ P2 entonces I(f,P1)≤I(f,P2) y S(f,P1)≥S(f,P2)
iii) I(f,P1)≤S(f,P2)
Definición: Dada f : [a, b] → ℜ acotada definimos la integral inferior de f en [a,b]
b
como el nº
∫ f =Sup{I(f,
P): P∈ P([a,b])} y la integral superior de f en [a,b] como el
a
b
nº
∫ f = Inf{S(f,
P): P∈ P([a,b])}
a
Teorema: En las condiciones anteriores
b
b
a
a
∫ f ≤∫ f
Definición: En las condiciones anteriores diremos que f es integrable (Riemann) en [a,b]
b
si
∫
a
b
∫
a
b
f = ∫ f , en este caso definimos también la integral de f en [a,b] como
a
b
b
a
a
f =∫ f =∫ f
a
Nota: Observemos que ∫ f =0, además, por convenio definiremos
a
b
a
a
b
∫ f =− ∫ f
si a>b
FUNCIONES INTEGRABLES
Teorema: (Criterio de Riemann)
Dada f : [a, b] → ℜ acotada, son equivalentes
i) f es integrable en [a,b]
ii) ∀ε > 0 ∃P ∈ P([a, b]) t.q. S ( f , P) − I ( f , P) ≤ ε
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INTEGRAL DEFINIDA
Definición: Dada f : [a, b] → ℜ acotada definimos para cada n∈ℵ la partición
b−a
b−a
b−a
Pn={ a, a +
,a + 2
,...., a + n
= b } y las sumas de Riemann
n
n
n
n
(b − a ) n
Rn ( f ) = ∑ f (ξ i )(t i −1 − t i ) =
∑1 f (ξ i ) donde ξ i ∈ [t i −1 , t i ] ∀i = 1,...n
n
1
Teorema: Dada f : [a, b] → ℜ acotada, son equivalentes
i) f es integrable en [a,b]
ii) lim I ( f , Pn ) = lim S ( f , Pn ) (Además estos límites coinciden con la integral)
n
n
iii) Existe lim Rn ( f ) y es independiente de la elección de los puntos ξ i (Además estos
n
límites coinciden con la integral)
Teorema: Dada f : [a, b] → ℜ acotada y c∈[a,b], se tiene f integrable en [a,b] si y solo
si f integrable en [a,c] y [c.d]. Además en este caso
b
c
b
a
a
c
∫ f =∫ f +∫ f
Nota: Observemos que por los convenios anteriores la fórmula anterior es valida en
todos los casos siempre que tenga sentido la integración.
Teorema: Dadas f,g integrables en [a,b], λ,m,M∈ℜ tenemos
b
b
i) λf es integrable en [a,b] y ∫ λf = λ ∫ f
a
a
b
∫
ii) f+g es integrable en [a,b] y
a
b
b
f +g =∫ f +∫ f
a
a
b
iii) Si m≤f(x)≤M ∀x∈[a,b] entonces m(b-a)≤ ∫ f ≤M(b-a)
a
iv) Si f(x)≤g(x) ∀x∈[a,b] entonces
v) |f| es integrable en [a,b] y
b
b
a
a
∫ f ≤∫g
b
b
a
a
∫ f ≤ ∫| f |
Teorema: Las funciones continuas sobre [a,b] son integrables en [a,b].
Las funciones monotonas sobre [a,b] son integrables en [a,b].
Las funciones con una cantidad finita de discontinuidades sobre [a,b] son integrables en
[a,b].
Las funciones con una cantidad infinita numerable de discontinuidades sobre [a,b] son
integrables en [a,b].
Teorema: (Criterio de Lebesgue)
Dada f : [a, b] → ℜ acotada, son equivalentes
i) f es integrable en [a,b]
ii) f es continua en casi todo punto de [a,b]
Teorema: Como corolario dadas f,g integrables en [a,b] se tiene fg integrable en [a,b]
Teorema: (TEOREMA VALOR MEDIO)
Dada f : [a, b] → ℜ continua, existe c∈(a,b) con
b
∫f
= f (c)(b − a)
a
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INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Definición: Dada f integrable en [a,b], se define la función integral como la función
x
F(x)= ∫ f definida en [a,b]
a
Teorema: (TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO)
Dada f integrable en [a,b], tenemos:
i) F es continua en [a,b]
ii) Si f es continua en c∈[a,b] entonces F es derivable en c y F'(c)=f(c)
iii) Si f es continua en [a,b] entonces admite primitiva en [a,b]
iv) (REGLA DE BARROW) Si f es continua en [a,b] y G es una primitiva de f en
b
[a,b] entonces
∫f
( )
= F (b) − F (a) = F ]a
b
a
v) (REGLA DE BARROW) Si f es integrable en [a,b] y G es una primitiva de f en
b
[a,b] entonces
∫f
= F (b) − F (a )
a
REGLAS DE INTEGRACIÓN
Nota: Estudiar los análogos de integración por partes y cambio de variable para
integrales definidas
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL
AL CÁLCULO DE AREAS,
LONGITUDES Y VOLUMENES
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