UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL Determinar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔, 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟓 y es perpendicular al plano 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟐. Solución El vector direccional de la recta de intersección se calcula por 𝒖 = 𝑵𝟏 × 𝑵𝟐 𝑵𝟏 = ⟨1,1,1⟩ 𝑖 𝑗 𝒖= 1 1 0 1 𝑵𝟐 = ⟨0,1,3⟩ 𝑘 1 3 𝒖 = ⟨2, −3,1⟩ Un punto en la recta será Para 𝑧 = 0 𝑥+𝑦 =6 → 𝑥=1 𝑦=5 𝑃 = (1,5,0) Recta de intersección 𝐿: (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨1,5,0⟩ + 𝑡⟨2, −3,1⟩ La normal del plano a encontrar será: 𝑵 = 𝒖 × 𝑵𝟑 𝒖 = ⟨2, −3,1⟩ 𝑖 𝑵= 2 1 𝑗 −3 −2 𝑵𝟑 = ⟨1, −2,3⟩ 𝑘 1 3 𝑵 = ⟨−7, −5, −1⟩ 𝑁 · ⟨𝑃 − 𝑃 ⟩ = 0 ⟨−7, −5, −1⟩ · ⟨(𝑥, 𝑦, 𝑧) − (1,5,0)⟩ = 0 ⟨7,5,1⟩ · ⟨𝑥 − 1, 𝑦 − 5, 𝑧⟩ = 0 7𝑥 − 7 + 5𝑦 − 25 + 𝑧 = 0 𝟕𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝒛 = 𝟑𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 Calcular la longitud del astroide 𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝒂𝟑 Solución Parametrizando la curva 𝑥 = 𝑎 · cos 𝜃 𝑦 = 𝑎 · sin 𝜃 𝑟(𝜃) = 𝑎 · cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 · sin 𝜃 𝑗 ERVIN PUMA PEÑARANDA CALCULO II (MAT-102) UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL 𝑟 (𝜃) = −3𝑎 · cos 𝜃 · sin 𝜃 𝑖 + 3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃 𝑗 ‖𝑟 (𝜃)‖ = (−3𝑎 · cos 𝜃 · sin 𝜃) + (3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃) ‖𝑟 (𝜃)‖ = 9𝑎 · cos 𝜃 · sin 𝜃 + 9𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃 ‖𝑟 (𝜃)‖ = 3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃 ‖𝑟 (𝜃)‖𝑑𝜃 𝐿= 𝐿=4 3𝑎 · sin 𝜃 · cos 𝜃 𝑑𝜃 𝐿 = 6𝑎 sin 2𝜃 𝑑𝜃 𝐿 = −6𝑎 · cos(2𝜃) 2 𝐿 = −6𝑎 · cos(𝜋) cos(0) − 2 2 𝐿 = 6𝑎 Mostrar que las superficies 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 + 𝟖𝒛𝟐 = 𝟑𝟔, 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟒𝒛𝟐 = 𝟔 se cortan perpendicularmente. Solución 3𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 36 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 6 → 3𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 = 36 2𝑥 + 4𝑦 − 8𝑧 = 12 5𝑥 + 8𝑦 = 48 5𝑥 𝑦 + =1 48 6 Parametrizando 𝑥= 𝑧=± 48 · cos 𝜃 5 𝑦 = √6 · sin 𝜃 9 18 − · cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃 2 5 𝑟(𝜃) = ⟨ 48 9 18 · cos 𝜃 , √6 · sin 𝜃 , ± − · cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃⟩ 5 2 5 ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) · ∇𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥 + 4𝑦 + 8𝑧 − 36 ERVIN PUMA PEÑARANDA 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 − 6 CALCULO II (MAT-102) UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL ∇𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨6𝑥, 8𝑦, 16𝑧⟩ ∇𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ⟨2𝑥, 4𝑦, −8𝑧⟩ ⟨6𝑥, 8𝑦, 16𝑧⟩ · ⟨2𝑥, 4𝑦, −8𝑧⟩ = 0 12𝑥 + 32𝑦 − 128𝑧 = 0 12 48 · cos 𝜃 5 + 32 √6 · sin 𝜃 − 128 12 48 · cos 𝜃 5 + 32 √6 · sin 𝜃 − 128 9 18 − · cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃 2 5 9 18 − · cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃 2 5 =0 =0 576 9 18 · cos 𝜃 + 192 · sin 𝜃 − 128 · − · cos 𝜃 − 3 · sin 𝜃 = 0 5 2 5 576 2304 · cos 𝜃 + 192 · sin 𝜃 − 576 + · cos 𝜃 + 384 · sin 𝜃 = 0 5 5 576 · cos 𝜃 + 576 · sin 𝜃 − 576 = 0 576 − 576 = 0 0=0 Como el producto escalar entre ambos gradientes es igual a cero en todos los puntos de la curva se asegura que ambas superficies son ortogonales en su intersección. Minimizar 𝑽 = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝟔𝒙𝒚𝒛 , sujeto a 𝒙𝟐 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝒃𝟐 + 𝒛𝟐 𝒄𝟐 = 𝟏. Solución 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎 𝑏 𝑐 6𝑥𝑦𝑧 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑦 𝑧 + + −1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝜆 ∙ 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑓= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 +𝜆∙ + + −1 6𝑥𝑦𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 Derivando ERVIN PUMA PEÑARANDA CALCULO II (MAT-102) UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL 𝜕𝑓 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑓 =0 𝜕𝑦 𝜕𝑓 =0 𝜕𝑧 𝜕𝑓 =0 𝜕𝜆 𝑎 𝑏 𝑐 𝜆 + 2𝑥 ∙ =0 6𝑥 𝑦𝑧 𝑎 𝑎 𝑏 𝑐 𝜆 − + 2𝑦 ∙ =0 6𝑥𝑦 𝑧 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝜆 − + 2𝑧 ∙ =0 6𝑥𝑦𝑧 𝑏 𝑥 𝑦 𝑧 + + −1= 0 𝑎 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑥 ∙ 𝜆 6𝑥 𝑦𝑧 = 2𝑦 ∙ 𝜆 𝑎 𝑏 𝑐 6𝑥𝑦 𝑧 → 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑥 ∙ 𝜆 6𝑥 𝑦𝑧 = 2𝑧 ∙ 𝜆 𝑎 𝑏 𝑐 6𝑥𝑦𝑧 → 𝑥 𝑧 = 𝑎 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑦 ∙ 𝜆 6𝑥𝑦 𝑧 = 2𝑧 ∙ 𝜆 𝑎 𝑏 𝑐 6𝑥𝑦𝑧 → 𝑦 𝑧 = 𝑏 𝑐 → → → → 𝑎 𝑏 𝑐 6𝑥 𝑦𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑦 ∙ 𝜆 = 6𝑥𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑧 ∙ 𝜆 = 6𝑥𝑦𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 + + =1 𝑎 𝑏 𝑐 2𝑥 ∙ 𝜆 = 𝑥 𝑦 𝑧 = = 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑥 𝑥 + + =1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑏 → 𝑥 𝑧 = 𝑎 𝑐 𝑉 𝑦 = 𝑏 · 𝑎 3 → 𝑎 3 → 𝑎 𝑐 · 𝑎 → 𝑥= 𝑎√3 3 𝑦= 𝑏√3 3 𝑧= 𝑐√3 3 𝑎 𝑏 𝑐 = = 3𝑥 =1 𝑎 𝑦 = → 6· 𝑉 → 𝑎√3 𝑏√3 𝑐√3 · · 3 3 3 √3 · 𝑎𝑏𝑐 2 Calcular ∫ ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒅𝑨, Donde 𝑹 es la región limitada por 𝒙 + 𝒚 = 𝟏, 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎. Solución 𝑅= 𝑥=0 𝑦=0 𝑥=1 𝑦 = 1−𝑥 ERVIN PUMA PEÑARANDA CALCULO II (MAT-102) UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL 𝑥−𝑦 =𝑢 𝑥= 𝑢+𝑣 2 𝜕(𝑥, 𝑦) = 𝜕(𝑢, 𝑣) 𝑅= 𝑥+𝑦 =𝑣 𝑦= 1 2 1 − 2 𝑥=0 𝑦=0 𝐼= 1 2 1 2 1 · 2 𝑣 · sin 𝐼= 1 · 2 𝑣 · sin 𝐼= 1 · 2 2𝑣 · sin 1 𝑑𝑣 𝐼= 𝑅∗ = → 𝑣 = −𝑢 𝑣=𝑢 → 𝜕(𝑥, 𝑦) 1 = 𝜕(𝑢, 𝑣) 2 𝑥=1 𝑣=1 𝑢 1 · 𝑑𝑢𝑑𝑣 𝑣 2 𝐼= 𝐼 = sin 1 · 𝜕(𝑥, 𝑦) 1 1 = + 𝜕(𝑢, 𝑣) 4 4 → 𝑥=1 𝑦 = 1−𝑥 cos 𝐼 = sin 1 · 𝑣−𝑢 2 𝑢 𝑣 𝑑𝑣 𝑣 𝑣 − sin − 𝑣 𝑣 𝑑𝑣 𝑣𝑑𝑣 𝑣 2 sin 1 2 Hallar el volumen limitado por los cilindros 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒, 𝒙𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟒. Solución √ √ √ √ 𝑉= 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥 √ 𝑉= 2 4 − 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥 √ 𝑉= 2 4 − 𝑥 ∙ 2 4 − 𝑥 𝑑𝑧 𝑉= 4(4 − 𝑥 )𝑑𝑧 ERVIN PUMA PEÑARANDA CALCULO II (MAT-102) UNIVERSIDAD AUTONOMA TOMAS FRIAS FACULTAD DE INGENIERIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL 𝑉 = 16𝑧 − 4𝑧 3 𝑉 = 32 − 32 32 − −32 + 3 3 𝑉 = 64 − 64 3 𝑉= 128 3 ERVIN PUMA PEÑARANDA CALCULO II (MAT-102)