Numerico

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
CALCULO NÚMERICO
Integrantes:
Sergio García C.I. 24.774.035
Greg Gómez C.I. 24276877
Alexander De Azevedo C.I. 25641434
1)
a) Matriz Diagonalmente Dominante:
Un matriz diagonalmente dominante es una matriz en la cual la suma de su diagonal es
mayor a la suma de los valores absolutos sus renglones. Si existe un renglón cuya suma es
mayor entonces no es diagonalmente dominante.
b) Métodos Iterativos:
Un método iterativo es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la
solución de un problema. Esto se logra repitiendo un mismo proceso N veces teniendo ya
una solución aproximada. En cada iteración se obtiene una solución más aproximada que la
original.
El método de Jacobi es un método iterativo que sirve para resolver sistemas de ecuaciones
cuadrados, es decir, un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas.
c) Pasos para Jacobi:
Paso 1:
Se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las ecuaciones e incógnitas.
De la ecuación i se despeja i.
Paso 2:
Se toma una aproximación para las soluciones y a ́esta se le designa por xo.
Paso 3:
Se itera en el ciclo que cambia la aproximación
En ciertas iteraciones es mejor tener una matriz diagonalmente dominante para jacobi.
El método de Gauss-Seidel es parecido al de Gauss-Jacobi, pero en vez de calcular todas las
aproximaciones y usarlas en la siguiente iteración se van usando las aproximaciones
halladas en la misma iteración.
Ejercicio:
x = Tipo I, y = Tipo II, z = Tipo III y w = Tipo IV
Sistema:
20𝑥 + 200𝑦 + 30𝑧 + 40𝑤 = 50000
150𝑥 + 30𝑦 + 20𝑧 + 10𝑤 = 30000
20𝑥 + 20𝑦 + 40𝑧 + 100𝑤 = 80000
10𝑥 + 50𝑦 + 150𝑧 + 40𝑤 = 100000
Se puede resolver por método de Jacobi o Gauss-Seidel por que el sistema es cuadrado
Jacobi:
Gauss Seidel:
2)
Paso 1:
Se divide el intervalo [a, b] en n partes al cual llamaremos h y el intervalo [c, d] en m partes
al cual llamaremos k, n y m son números pares.
h= (b-a)/n y k= (d-c)/m
Paso 2:
Se hallan los puntos del intervalo de la integral interna, en caso de ser [1,9] el intervalo y
n=4 entonces:
h= (9-1)/4 = 2, luego, el formato de los puntos es Xi = a + i*h, entonces:
x0=1+0*2 =1 ,
x1=1+1*2 =3,
x2=1+2*2 =5 ,
x3=1+3*2 =7 y x4=1+4*2 =9
Paso 3:
Se usa la fórmula:
A1=h/3*(f(x0) + 4 f(x1) + f(x2) ) por cada tres puntos hasta cubrirlos todos , en este caso
faltan los puntos x3 y x4 , por ende , A2= h/3*(f(x2) + 4 f(x3) + f(x4) ) , hay que recordar que
se está trabajando con el diferencial interno , por lo cual la variable que corresponde al
diferencial externo es una constante . La suma de los Ai será el resultado de la integral
interna A1+A2.
Paso 4:
Se ejecuta el mismo paso dos pero con el intervalo de la integral externa y m como divisor
de intervalos para hallar “k” (paso 1) y luego hallar los puntos (yi) del intervalo externo.
Paso 5:
Se usa la misma fórmula del paso 3 hasta cubrir todos los puntos (yi) y la suma de esas
fórmulas será el resultado de esa integral.
3)
a) Métodos multipaso
Los métodos lineales multipaso se utilizan para la resolución numérica de ecuaciones
diferenciales ordinarias. Conceptualmente, los métodos numéricos comienzan tras la
elección de un punto inicial y luego realizan un paso de aproximación para encontrar el
siguiente punto que permita seguir acercándose a la solución. El proceso continúa con los
siguientes pasos para reconocer la solución.
Los métodos de Adams son métodos multipasos. Los métodos de Adams se clasifican en
dos grandes clases: los métodos de Adams-Bashforth y los métodos de Adams-Moulton. Se
pueden combinar para formar los métodos predictor-corrector de Adams-BashforthMoulton.
La idea fundamental del método de Adams-Bashforth de n pasos es usar un polinomio de
interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n puntos:
La idea fundamental del método de Adams-Moulton de n pasos es usar un polinomio de
interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n+1 puntos:
b) Método de Adams de cuarto orden
Los métodos multipaso implícitos, no se pueden usar directamente. Estos métodos sirven
para mejorar las aproximaciones obtenidas con los métodos explícitos. La combinación de
un método explícito con un método implícito del mismo orden se denomina un método
predictor-corrector.
c) Iteración 1:
2
k1= f(t1;y1)= f(0;1)= 1+−2= 0
k2= f(t1+h/2;y1+h k1/2) = f(-2+0.1 ; 2+0.2 k1/2) =f(-1.9 ; 2)= -0.05263
k3= f(t1+h/2 ; y1+hk2/2) = f(-2+0.1 ; 2+0.2 k2/2)= f(-1.9 ; 1.9947)= -0.04984
k4= f(t1+h, y1+h k3) = f(-2+0,2 ; 2+0.2 k3)= f(-1.8 ; 1.9900)= -0.10555
y2 = y2 +h(k 1 + 2k 2 +2k 3 + k 4)/6
y2 = 2+0.2(0 + (2*-0.04984) + (-0.10555) + (2*-0.05263))/6 = 1.9896503
t2 = t1 + h = 2.2
Iteración 2
k1= f(t2,y2)= f(2.2 ; 1.9896503 ) =1.90436
k2= f(t2+h/2,y2+hk1/2)=f(2.3 ;0.1904)=1.08279
k3= f(t2+h/2,y2+h k2/2) f(2.3 ; 2.0978)= 1.91208
k4= f(t2+h,y2 + hk3) =f(2.4 ; 2.378) = 1.99084
y 3 = y2 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6
y 3 =1.9896503 +0.2 (1.90436 + 2*1.08279 +2*1.91208+ 1.99084) /6 = 2.3191483
t3 = t2 + h = 2.4
Iteración 3
k1= f(t3,y3)= f(2.4 ; 2.3191483) = 1.9662
k2= f(t3+h/2,y3+hk1/2)=f(2.5 ; 2.5156)= 2.0062
k3= f(t3+h/2,y3+h k2/2) f(2.5 ; 2.5196)= 2.0078
k4= f(t3+h,y3 + hk3) =f(2.6 ; 2.72056) = 2.0463
y4 = y3 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6
y4=2.3191483+0.2 (1.9662 + 2*2.0062 + 2*2.0078 + 2.0463) /6= 2.7204983
t4 = t3 + h = 2.6
Iteración 4:
Y5 = y4+ h(55 f4 – 59 f3+37 f2 -9 f1)/24
f1= f(t1;y1)= f(-2;2)= 0
f2= t2;y2)= f(2.2 ; 1.9896 ) =1.90436
f3= f(t3;y3)= f(2.4 ; 2.319 ) = 1.9662
f4= f(t4 ;y4)= f(2.6; 2.7203)= 2.0462
t5 = t4+ h = 2.8
y5 = y4+h (55 f4 – 59 f3+37 f2 -9 f1)/24
y5= 2. 7204983 + 0.2(55*2.0462 – 59*1.9662 + 37*1.90436 – 9*0)/24
y5=3.278802
y5 = y4 + h(9 f5+19 f4 - 5 f3 + f2 )/24;
f5 = f (t5 ; y5)= f(2.8; 3.2786) =2.1709
y5= 2.7204983+ 0.2(9*2.1709 + 1.90436– 5*1.9662 + 19*2.0462)/24
y5=3.141242
Iteración 5:
Y6 = y5+ h(55 f5 – 59 f4+37 f3 -9 f2)/24
f2= t2;y2)= f(2.2 ; 1.9896 ) =1.90436
f3= f(t3;y3)= f(2.4 ; 2.319 ) = 1.9662
f4= f(t4 ;y4)= f(2.6; 2.7203)= 2.0462
f5=f(t5;y5)= f(2.8; 3.2786) =2.1709
y6 = y5+h (55 f5 – 59 f4+37 f3 -9 f2)/24
y6= 3. 278802+ 0.2(37*1.9662 + 55*2.1709 – 59*2.0462+ 55*2.1709 – 9*1.90436)/24
y6=3.731167
t 6= t 5+ h = 3
y6 = y5 + h(9 f6+19 f5 - 5 f4 + f3)/24;
f6 = f (t6 ; y6)= f(3; 3.731167) =2.24368y6= 3. 278802 + 0.2(9*2.24368 +1.9662 – 5*2.0462+
19*2.1709)/24
y6=3.7219305
Concluimos que:
y(2)≈ y6 = 3.7219305