CALCULO NUMERICO

UD008436_V(01)
CÁLCULO NUMÉRICO
MD.UnidadDidácticaGrupo(01)Esp.dot
CÁLCULO NUMÉRICO
ÍNDICE
TU RETO EN ESTA UNIDAD ........................................................................ 3
1. APTITUDES NUMÉRICAS ....................................................................... 5
1.1. OPERACIONES DE CÁLCULO ........................................................................ 5
1.2. AGILIDAD MENTAL Y NUMÉRICA ................................................................. 6
1.2.1. TRUCOS MATEMÁTICOS .............................................................................. 7
1.3. PROBLEMAS .................................................................................................. 8
2. MATEMÁTICAS BÁSICAS .................................................................... 16
2.1. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS................................................... 16
2.2. MULTIPLICACIONES....................................................................................17
2.3. DIVISIÓN ......................................................................................................17
2.4. FRACCIONES ................................................................................................18
2.4.1. FRACCIONES EQUIVALENTES ...................................................................... 18
2.4.2. FRACCIÓN REDUCIBLE E IRREDUCIBLE ......................................................... 19
2.4.3. COMPARACIÓN DE FRACCIONES ................................................................. 19
2.4.4. SUMA DE FRACCIONES .............................................................................. 22
2.4.5. RESTA DE FRACCIONES.............................................................................. 23
2.4.6. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES .............................................................. 24
2.4.7. DIVISIÓN DE FRACCIONES .......................................................................... 25
2.4.8. NÚMEROS DECIMALES............................................................................... 25
2.5. POTENCIAS ..................................................................................................27
2.5.1. CUADRADOS PERFECTOS ........................................................................... 27
2.5.2. POTENCIAS DE BASE 10 ............................................................................ 28
2.5.3. POTENCIAS DE EXPONENTES: 1 Y 0 ............................................................ 28
2.5.4. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS ............................................................ 28
2.5.5. OPERACIONES CON POTENCIAS .................................................................. 29
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CÁLCULO NUMÉRICO
2.6. RAÍCES ......................................................................................................... 31
2.6.1. RAÍZ CUADRADA ENTERA........................................................................... 33
2.6.2. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA ENTERA POR APROXIMACIÓN ...................... 34
2.6.3. OPERACIONES CON RAÍCES ........................................................................ 35
2.7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO .............................................................. 37
2.7.1. ECUACIONES CON PARÉNTESIS .................................................................. 39
2.7.2. ECUACIONES CON FRACCIONES .................................................................. 41
2.7.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO ............... 42
2.7.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ............................................................. 44
2.7.5. DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ....... 47
2.7.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO ............ 48
¿QUÉ HAS APRENDIDO? .......................................................................... 51
AUTOCOMPROBACIÓN ............................................................................ 53
SOLUCIONARIO ........................................................................................ 57
EXCLUSIVO PARA ALUMNOS TOP ........................................................... 58
BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................... 61
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CÁLCULO NUMÉRICO
TU RETO EN ESTA UNIDAD
¿Qué significado tienen los números para ti? Si piensas en el 13, está relacionada con la mala suerte en la cultura cristiana, ya que se relaciona con Judas, el 13
apóstol; en cambio el 5 y el 7 se suelen asociar a la buena suerte. ¿Te suena
3,1416? Es el número π. Estamos rodeados de números, unidades de medida,
patrones, etc.
Reflexiona sobre el día que estás llevado hoy, ¿piensas que algo de lo que te ha
pasado está relacionado con las matemáticas?
En esta unidad didáctica resolveremos problemas, acertijos, y además mejorarás tu rapidez mental, incluso verás cómo se amplían los límites de tu mente.
¿Estás preparado?
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CÁLCULO NUMÉRICO
1. APTITUDES NUMÉRICAS
A través de los psicotécnicos de aptitudes numéricas, las personas que te van a
examinar van a evaluar el manejo que tienes de los números y de las operaciones básicas.
Te puedes encontrar con diversos ejercicios que evalúen estas capacidades:

Operaciones de cálculo.

Agilidad mental y numérica.

Problemas matemáticos.
Es momento de repasar las tablas de multiplicar, si
tienes una buena base matemática, no tendrás problema con los psicotécnicos de aptitudes numéricas.
1.1. OPERACIONES DE CÁLCULO
Estos psicotécnicos valoran la capacidad que tienes para resolver operaciones aritméticas, habiendo adquirido previamente las destrezas necesarias para resolver las operaciones.
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Los ejercicios pueden ser:

Operaciones básicas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con
números enteros, decimales y fracciones.

Ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones.

Potencias y raíces.

Porcentajes y proporciones.

Sistema métrico decimal: unidades de longitud, masa, capacidad y volumen.
Para realizar los ejercicios que te proponemos no
uses la calculadora ya que el día del examen oficial
no podrás utilizarla. Así te vas acostumbrando poco a
poco a realizar cálculos mentales.
1.2. AGILIDAD MENTAL Y NUMÉRICA
Los psicotécnicos de agilidad numérica sirven para comprobar la capacidad de
cálculo y valorar la rapidez que tienes para operar con números.
Soluciona las siguientes operaciones lo más rápido
que puedas:
 Tienes 1.000, súmale 40. Súmale 1.000 más.
 Añade 30 y después 1.000.
 Suma 20 y nuevamente 1.000 y añádele 10.
¿Cuánto te da? ¿Te da 5.000? Necesitas con urgencia
realizar ejercicios de cálculo. Si has contestado bien,
¡enhorabuena! A continuar practicando.
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CÁLCULO NUMÉRICO
Lo que acabas de hacer en el ejemplo es calcular de forma rápida una operación aritmética sin papel, sin calculadora, es cálculo mental.
Puedes incrementar la agilidad mental en tu vida cotidiana, por ejemplo puedes jugar a sumar los cuatro números de las matrículas de los coches mientras vas conduciendo, prueba este pequeño juego y verás como poco a poco
vas mejorando.
1.2.1. TRUCOS MATEMÁTICOS
Los matemáticos usan atajos y trucos para conseguir agilidad mental en los
cálculos. Casi todos estos trucos son fáciles de aprender y ahorrarás tiempo al
realizar las operaciones, ¡merece la pena que los aprendas!
Trucos para multiplicar:

Para multiplicar un número por 0,5 o calcular el 50%, es lo mismo que
dividir la cifra entre dos. Por ejemplo el 50% de 500, es lo mismo que
dividir 500 entre 2, el resultado es 250.

Para multiplicar un número por 0,25 o calcular el 25%, es lo mismo que
dividir la cifra entre cuatro. El 25% de 500, es lo mismo que 500/4= 125.

Para multiplicar un número por 4, puedes multiplicar dos veces x 2. Por
ejemplo 20 x 2 = 40 x 2 = 80.

Para multiplicar un número por 5, es lo mismo que multiplicar por 10 y
dividir entre 2.

Para multiplicar un número por 11 puedes multiplicar por 10 y sumarle
11. De esta forma 22 x 11 sería 22 x 10=220+11= 231.
Trucos para dividir:

Dividir entre 0,5 es lo mismo que multiplicar por 2.

Dividir entre 0,25, es lo mismo que multiplicar por 4.
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Pon a prueba tu agilidad mental con este juego, puedes jugar solo o con amigos:
Primero: Elije dos de estos números: 25, 50, 75 ó 100.
Selecciona cuatro números entre el 1 y el 10. Elige un
número entre en 100 y el 999.
Tienes dos minutos para sumar, restar, multiplicar o
dividir los primeros seis números que has escogido.
1.3. PROBLEMAS
Para resolver un problema matemático tienes que usar tu cerebro al máximo, ya
que tienes que comprenderlo, seleccionar la forma de solucionarlo y tener
la aptitud numérica suficiente para hacerlo.
De forma general, tienes que seguir los siguientes pasos:

Lectura superficial del enunciado para extraer la idea general del texto.

Lectura detenida del enunciado.

Organización de los datos, realización de dibujos si es necesario.

Planteamiento de las operaciones a realizar.

Resolución de las operaciones.

Comprobar el resultado sobre el enunciado y elegir la respuesta entre
las opciones.
En los exámenes oficiales, te vas a encontrar con un enunciado, y una serie de
soluciones entre las que se encuentra la respuesta correcta. Tienes que resolver
el ejercicio y posteriormente comparar tu resultado con las soluciones, así te
aseguras de que tu resultado es correcto.
A veces resulta más fácil resolver un problema si lo
representamos con una imagen o dibujo, esta técnica
es la visualización. Al visualizar un ejercicio de matemáticas, intervienen diferentes zonas del cerebro, y
esto nos ayuda a obtener la solución.
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Puedes encontrarte con problemas muy diferentes, vamos ver algunos ejemplos. Las soluciones a los ejercicios las tienes después de los enunciados, pero
por favor, no te rindas, intenta pensar en los problemas y no mires la solución
hasta que no tengas una respuesta en tu cabeza.
Problema relacionados con el teorema de Pitágoras:
El teorema de Pitágoras o teorema del triángulo rectángulo, dice que en un
triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al
ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los otros dos
lados). De forma matemática el teorema se escribe:
a2 = b2 + c 2
Teorema de Pitágoras
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CÁLCULO NUMÉRICO
Enunciado: tenemos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m
respectivamente, ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Solución:
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c 2 = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25
a2 = 25 → a = 25 = 5m
Problemas donde intervienen los conceptos velocidad, espacio y tiempo:
La velocidad, es la magnitud que expresa la relación de cambio de posición de
un móvil en función del tiempo, y expresa la tasa de rapidez de dicho cambio.
Su fórmula matemática es:
Velocidad =
espacio
tiempo
Es frecuente que se nos indique la velocidad en km/h. Para pasarla a m/s solo
debemos dividir para 3,6 ya que:
v (km / h)
km 1.000 m 1m
⇒ v (m s ) =
1
=
=
3,6
3.600 s 3,6 s
h
Enunciado: una moto recorre 50 m a una velocidad de 36 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en hacer este recorrido?
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CÁLCULO NUMÉRICO
Solución:
Primero pasamos la velocidad de kilómetros por hora a metros por segundo.
Convirtiendo la velocidad a m/s:
v = 36 x 1.000 m / 3.600 s = 10 m/s
Aplicando la ecuación t =
e
, obtengo:
v
t=
50 m
=5s
10 m s
La moto hará ese recorrido en 5 segundos.
Enunciado: un tren circula por un tramo recto de vía con una velocidad de 180
km/h. ¿Qué espacio expresado en metros recorrerá en 2 minutos?
Solución:
Convirtiendo los datos a las unidades del sistema internacional:
v = 180 x 1000 m / 3600 s = 50 m/s
t = 2 minx 60 s = 120 s
Aplicando la ecuación e = v ⋅ t , obtengo:
e = 50 (m/s) x 120 s = 6.000 m
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Problemas de lógica:
Enunciado: problema de las cerillas:
Tienes esta figura compuesta por 16 cerillas, intenta convertir los cinco cuadrados que forman estas cerillas, en cuatro cuadrados moviendo solo dos cerillas.
Con este problema te centras en pensar en dos dimensiones.
Problema de las cerillas
Solución:
Moviendo solo dos cerillas, conseguimos obtener 4 cuadrados:
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Enunciado: problema de la serpiente:
Una serpiente muy grande está intentando subirse a un árbol. La mitad de su
cuerpo está todavía en el suelo, las dos terceras partes de la otra mitad están
enroscadas alrededor del tronco y la parte de su cuerpo que cuelga de la rama
mide 1,5 metros. ¿Cuál es la longitud total de la serpiente?
Truco: aplica la técnica de la visualización, realiza un dibujo con las medidas que
te indica el problema.
Solución: problema de la serpiente: Con este problema empezamos a ver una
ecuación y tenemos que operar con fracciones. Vamos “traduciendo” el problema a fracciones:

Llamamos x a la longitud total de la serpiente.

La mitad del cuerpo está en el suelo:

La otra mitad está repartida:

1
x
2
2/3 partes de esa otra mitad enroscadas alrededor del tronco.
Nos encontramos con 2/3 de ½ de la longitud total, ¿qué significa
esto para ti? Tenemos que multiplicar fracciones:

2 1
1
⋅ x= x
3 2
6
1/3 parte de esa otra mitad cuelga de la rama y mide 1,5 m. Igual
que en el caso anterior 1/3 de ½ del total de la serpiente, se traduce a:
1 1
1
⋅ x= x
3 2
6
El enunciado nos dice que un sexto de x es igual a 1,5m, despejando la x ya sabemos la longitud total de la serpiente:
1
x = 1,5m
6
x = 1,5 ⋅ 6 = 9m
La serpiente mide 9 metros en total.
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CÁLCULO NUMÉRICO
Problemas de pensamiento lateral:
Algunos problemas no se pueden resolver paso a paso, hay que verlos desde
una perspectiva más “abstracta”, es difícil conocer el funcionamiento de nuestro
cerebro al razonar de forma intuitiva los problemas. A veces, hay que hallar la
solución abordando el problema de otra manera más imaginativa. A esto se
conoce como pensamiento lateral. Intenta realizar los siguientes ejercicios:
Las respuestas a los ejercicios las tienes detrás de los
enunciados.
Problema 1: imagina que participas en una carrera, adelantas a la persona que
va en segundo lugar, ¿en qué posición te quedas?
Problema 2: problema de peso: ¿cuánto pesa más un kilo de paja o un kilo de
plomo?
Problema 3: después de atender una llamada anónima, la policía registra una
casa en busca de un hombre llamado Juan. Dentro de la casa hay 5 personas
jugando a las cartas. Aunque los agentes no saben qué aspecto tiene Juan, lo
reconocen y lo detienen de inmediato. ¿En qué se basó la policía al realizar el
arresto?
Problema 4: un hombre ha construido una casa rectangular con las cuatro fachadas orientadas al sur, se asoma por una ventana de su casa y ve un oso ¿de
qué color será este oso?
Problema 5: tres adultos se conocen en una reunión y todos se estrechan las
manos en a modo de saludo. ¿Cuántos estrechamientos de manos hacen en
total? ¿Cuántos se harían si fueran cuatro? ¿Y si fueran cinco o seis?
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CÁLCULO NUMÉRICO
¿Qué tal va tu cerebro? Esperamos que funcionando
a plena capacidad. Como ves te pueden poner muchos problemas, a través de estos ejemplos tu cerebro está creando las conexiones neuronales que te
servirán para resolver futuros problemas.
Respuestas:
Solución 1: si adelantas al que va en segundo lugar, te quedas en segundo lugar.
Solución 2: ¿cuánto pesa más un kilo de paja o un kilo de plomo? Pesan lo mismo.
Solución 3: en la habitación había 4 mujeres y un solo hombre, por lo que la
policía arrestó al único hombre.
Solución 4: si todas las fachadas dan al sur, la única explicación es que la casa
está en el Polo Norte, donde habitan los osos polares blancos, por lo que el oso
será de color blanco.
Solución 5: tres adultos se conocen en una reunión y todos se estrechan las
manos en a modo de saludo. ¿Cuántos estrechamientos de manos hacen en
total? ¿Cuántos se harían si fueran cuatro? ¿Y si fueran cinco?

3 personas, tres estrechamientos de manos.

4 personas, seis estrechamientos de manos.

5 personas, diez estrechamientos de manos.
15
CÁLCULO NUMÉRICO
2. MATEMÁTICAS BÁSICAS
Para ayudarte con los psicotécnicos de cálculo numérico, vamos a repasar
matemáticas básicas, tener una buena base matemática, te ayudará con estos
ejercicios.
2.1. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
Veamos cómo se realizan estas operaciones:
16

La suma de 2 números positivos se realiza: 7 + 3 = 10.

Cuando realizamos la suma de 2 números negativos, calcularemos la
suma como si estos fuesen positivos y el resultado tendrá signo negativo. Por ejemplo, para realizar la suma (-3) + (-7), calcularemos mentalmente la misma como si ambos valores fuesen positivos, es decir 3 + 7
cuyo resultado es 10, sin embargo no debemos olvidar que ambos eran
negativos por lo que el resultado final será (-3) + (-7) = (-10).

Para restar dos números, basta con sumar al minuendo el opuesto
del sustraendo. En la expresión c-b=a; c es el minuendo, b es el sustraendo y la resta o diferencia es a.
CÁLCULO NUMÉRICO
2.2. MULTIPLICACIONES
El producto de dos números enteros es siempre otro número entero, cuyo valor
absoluto se obtiene de multiplicar el valor absoluto de los factores.
El signo se determina por las siguientes reglas:

El resultado de la multiplicación de un número par o impar de enteros
con signo positivo es siempre positivo.

El resultado de la multiplicación de un número par de enteros de signo
negativo tiene signo positivo.

El resultado de la multiplicación de un número impar de enteros de
signo negativo tiene signo negativo.
El resultado de la multiplicación de un número negativo por uno positivo o de
uno positivo por uno negativo tiene signo negativo.
Comúnmente, se suele decir que “más por menos
(o menos por más) es igual a menos” y que “menos por menos es igual a más”.
2.3. DIVISIÓN
Esta operación, como ocurre en el caso de los números naturales, no siempre
será posible con los conjuntos de números vistos hasta ahora. Solo podrá realizarse cuando el dividendo sea múltiplo del divisor, es decir, podemos calcular
12: 6 = 2 y el resultado es un valor entero, y, sin embargo, la división 6: 12 = 0,5
no es un número entero.
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CÁLCULO NUMÉRICO
2.4. FRACCIONES
Fracción o número racional es un par ordenado de números enteros de manera
que el segundo término del par divide al primero. Se representa como a / b o
por a : b, donde a y b son enteros
En la fracción, el valor a se llama numerador y es el primer componente del
par, y el valor b es el denominador y es el segundo componente del par. El valor de b nunca puede ser igual a cero.
2.4.1. FRACCIONES EQUIVALENTES
Son aquellas que representan el mismo valor pero sus términos son distintos;
por ejemplo: 18/6 y 6/2.
Entre dos fracciones equivalentes se cumple que da el mismo resultado el
pro-ducto del numerador de una de ellas por el denominador de la otra y el del
de-nominador de la primera por el numerador de la segunda.
Todas las fracciones equivalentes entre sí representan un solo número racional.
Por ejemplo: 5/10 = (-7)/ (-14) = 2/4 = (-6)/(-12), todas ellas representan al mismo
número racional, que es 1/2 (la fracción irreducible).
2
10
es equivalente a
, ya que 2 • 25 = 5 • 10.
5
25
Así, si multiplicamos o dividimos el numerador y el
denominador de una fracción por un mismo número,
se obtiene una fracción equivalente.
Otro ejemplo.
Si multiplicamos el numerador y denominador de la
fracción 16/4 por 2 se obtiene 32/8, que es equivalente a 16/4.
Si dividimos el numerador y denominador de la fracción
9/27 por 3, se obtiene 3/9, que es equivalente a 9/27.
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CÁLCULO NUMÉRICO
2.4.2. FRACCIÓN REDUCIBLE E IRREDUCIBLE
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador de la misma son primos entre sí. Por ejemplo: 5/7, 2/3, 11/23.
Una fracción es reducible cuando tanto el numerador como el denominador
son divisibles por un mismo número entero que sea distinto de 1. Por ejemplo:
4/6, 9/27, 16/36.
Así, cuando tenemos una fracción reducible, podemos transformarla en otra
fracción equivalente dividiendo tanto el numerador como el denominador de
dicha fracción por un divisor común a ambos valores. Esta reducción de una
fracción recibe el nombre de simplificación.
Por ejemplo, 4/6 = 2/3, donde se ha dividido tanto el
numerador como el denominador por 2, así hemos
obtenido una fracción equivalente.
Utilizando la simplificación sobre una fracción reducible podemos transformarla
en una fracción equivalente a ella e irreducible, para ello basta dividir el numerador y el denominador por el máximo común divisor de ambos números.
2.4.3. COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Antes de comenzar con la comparación de fracciones es interesante recordar
los operadores de comparación que se utilizan habitualmente:

El operador > significa “mayor que”.

El operador ≥ significa “mayor o igual que”.

El operador < quiere decir “menor que”.
19
CÁLCULO NUMÉRICO

El operador ≤ significa “menor o igual que”.

El operador ≠ quiere decir “distinto que”.
Hay diversas reglas nemotécnicas para recordar
los símbolos de mayor y menor:
 La “boca grande”, es decir la parte “ancha” del
símbolo > apunta hacia el número mayor.
5>2 2<5
 Imagínate este símbolo > como la boca de un
cocodrilo abierta como el cocodrilo es muy
grande, abre mucho la boca y come números
muy grandes.
 Ahora imagina el símbolo < como el pico de un
pajarito, como es pequeño, abre poco la boca y
como números pequeños.
La comparación de una serie de fracciones consiste en ordenarlas por orden
creciente o decreciente de sus valores. Se nos pueden presentar los siguientes
casos:

20
Idéntico denominador: en este caso, cuanto mayor sea el numerador,
mayor será el valor de la fracción.
CÁLCULO NUMÉRICO
Imagina que tienes que ordenar de mayor a menor
las siguientes fracciones con el mismo denominador:
2 5 7
,
,
11 11 11
Cuanto mayor sea en numerador, mayor será el valor
de la fracción:
7
5 2
>
>
11 11 11

Idéntico numerador: en este caso, cuanto menor sea el denominador
mayor será el valor de la fracción. Ejemplo:
3 3 3
, , ;
11 7 5

3 3 3
> >
5 7 11
Diferente numerador y denominador: el caso más normal es que las
fracciones a comparar tengan distintos numeradores y denominadores.
En este caso, reduciremos a común denominador. Reducir dos o más
fracciones a común denominador consiste en encontrar una fracción
equivalente por cada una de ellas, de manera que todas las equivalentes encontradas tengan el mismo denominador.
Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores. A este valor se le llama denominador
común. Lo que estamos buscando son fracciones equivalentes, así que
la transformación que le hayamos hecho al denominador, debemos
aplicarla también al numerador. Para hallar el nuevo numerador de cada fracción, hay que multiplicar el antiguo numerador por el cociente
entre el denominador común y el denominador de la fracción original.
21
CÁLCULO NUMÉRICO
Por ejemplo, si queremos reducir a común denominador las fracciones 2/5, 7/2 y 2/3, lo primero que debemos hacer es calcular el mínimo común múltiplo de
los tres denominadores:
m.c.m. (5, 2, 3) = 30
Este valor será el denominador común de las 3 fracciones.
Para hallar los numeradores:
 En la primera fracción: 30/5 = 6; luego el nuevo
numerador será 6 • 2 = 12.
 En la segunda fracción: 30/2 = 15; luego el
nuevo numerador será 15 • 7 = 105.
 En la tercera fracción: 30/3 = 10; luego el nue-
vo numerador será 10 • 2 = 20.
Por lo tanto, tras la reducción a común denominador,
quedan así:
12
30
105
30
20
30
De manera que la primera fracción es equivalente a
2/5, la segunda a 7/2 y la tercera a 2/3.
2.4.4. SUMA DE FRACCIONES
Para sumar dos o más fracciones es condición indispensable que todas ellas
tengan el mismo denominador. Si no lo tienen, habrá que reducir a común
denominador.
El resultado de la suma de varias fracciones es otra fracción que tiene el mismo
denominador que los sumandos y cuyo numerador resulta de la suma de los
numeradores.
22
CÁLCULO NUMÉRICO
Ejemplo 1: realiza la siguiente suma:
3 2 1 8
+ + +
5 5 5 5
En este caso todos los sumandos tienen el mismo
denominador y, por tanto, se suman directamente
los numeradores.
3 2 1 8 14
+ + + =
5 5 5 5 5
Ejemplo 2: realiza la siguiente suma:
7
3 4 3
+
+ +
12 6 24 18
Como no tienen el mismo denominador, primero
habrá que reducirlas a común denominador: m.c.m.
(12, 6, 24, 18) = 23 • 32 = 72.
3
4
3
7
18 48
9
28
+ +
+
=
+
+
+
=
12 6 24 18 72 72 72 72
=
18 + 48 + 9 + 28 103
=
72
72
2.4.5. RESTA DE FRACCIONES
Para restar fracciones es necesario que, como en el caso de la suma, todas
ellas tengan el mismo denominador. Una vez conseguido esto, el procedimiento es igual que en el caso de la suma, solo que ahora en vez de sumar todos los
numeradores, habrá que restar el numerador de aquellas fracciones que tengan signo negativo.
Ejemplo 1: realiza la siguiente resta:
7
5
−
8
8
En este caso todas las fracciones tienen el mismo
denominador y, por tanto, se restan directamente los
numeradores.
7
5
2
−
=
8
8
8
23
CÁLCULO NUMÉRICO
Ejemplo 2: realiza la siguiente resta:
3 2
4
2
−
+
−
=
2 3
5
7
=
315 140
168
60
283
−
+
−
=
210 210
210 210
210
2.4.6. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
El resultado de multiplicar dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y, por denominador, el producto de
los denominadores.
Ejemplo 1:
2 3 2·3 6 3
· =
=
=
5 2 5 · 2 10 5
Ejemplo 2:
3  2  3·(− 2) − 6 − 3 − 1
· −  =
=
=
=
8·3
8  3
24 12
4
Para multiplicar un entero por una fracción tenemos que transformarlo primero
en un número racional. Un entero se puede considerar como una fracción donde el numerador es el propio número entero y el denominador es la unidad, por
ejemplo:
5·
24
4
5 4
20
= ·
=
7
1 7
7
CÁLCULO NUMÉRICO
2.4.7. DIVISIÓN DE FRACCIONES
Al dividir dos números racionales siempre resulta otro número racional. Para dividir dos números racionales se multiplica el dividendo por el inverso del divisor.
Para dividir fracciones tenemos que multiplicar
en cruz.
Ejercicio 1:
2
5
:
2
3
2 2 2 3 6 3
: = · =
=
5 3 5 2 10 5
1
1  1
1
: ( −2) = ·  −  = −
3
3  2
6
Ejercicio 2:
1
1  1
1
: ( −2) = ·  −  = −
6
3
3  2
2.4.8. NÚMEROS DECIMALES
Como ya sabemos, los números racionales se expresan en forma de fracción. En
realidad una fracción no es más que un cociente entre números enteros, por lo
que si realizamos esta división encontramos otra forma de expresar los números racionales, en forma decimal, como por ejemplo: 3/2 = 1,5.
Así, podemos diferenciar en los números decimales, según la cantidad de cifras
decimales que tiene el número, entre decimales finitos y decimales infinitos.

Decimales finitos: los decimales finitos son aquellos que tienen un
número concreto de cifras decimales, ya sean 2, 3, 10… decimales; por
ejemplo: 3,58, que tiene dos cifras decimales. Para expresarlos como
fracción, se pone en el numerador el número sin la coma y en el denominador, un número entero que comience por 1 y este seguido de
tantos 0 como cifras decimales haya.
25
CÁLCULO NUMÉRICO
3,58 =
358
100
− 8,2 = −
82
10
- 12,6876 = -

126.876
10.000
Decimales infinitos: los decimales infinitos son aquellos números decimales que tienen infinitas cifras decimales. Pueden ser de dos tipos:
periódicos y no periódicos.

Periódicos: son aquellos que, aunque tienen un número infinito de
cifras decimales, contienen una cifra o grupo de cifras que se van
repitiendo indefinidamente; ejemplos: 1,6666666...; 32,676767...
Estos números se expresan matemáticamente colocando un arco
sobre las cifras que forman el periodo de dicho número:

1,6666666 ... = 1,6

32,67676767 ... = 3,67

No periódicos: son aquellos en cuyas cifras decimales no se encuentra ningún periodo; ejemplos: 2 = 1,4142135 …; el número π
= 3,141592...
Este tipo de números no se pueden obtener de una fracción de números enteros y, por ello, se denominan números irracionales.
¿Crees que los números enteros, los decimales finitos e
infinitos periódicos son también números racionales?
Sí, ya que se pueden expresar como fracción de dos
números enteros.
¿Y qué opinas de los números decimales infinitos no
periódicos?
Los números decimales infinitos no periódicos no
son números racionales, sino irracionales, ya que no
se pueden expresar como fracción de dos números
enteros.
26
CÁLCULO NUMÉRICO
2.5. POTENCIAS
Observa los siguientes productos de números naturales: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 o bien 3 ·
3 o bien 5 · 5 · 5. Todos ellos tienen factores iguales que se repiten, por lo que
podremos expresar este producto en forma de potencia.
Se escriben así: 25, 32 y 53; y se leen “dos elevado a la quinta”, “tres elevado al
cuadrado” y “cinco elevado al cubo”.
Recuerda que:
 Cuando el exponente de una potencia es dos,
no se dice elevado a la segunda sino al cuadrado.
 Cuando el exponente de una potencia es tres,
no se dice elevado a la tercera sino al cubo.
En la potencia 25 el factor que se repite es 2 y se le llama base, y el número de
veces que se repite es 5 y se le llama exponente.
Definición: una potencia de un número natural es el producto de ese número
por sí mismo tantas veces como indique el exponente.
2.5.1. CUADRADOS PERFECTOS
Como hemos recordado, las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados o,
también, cuadrados perfectos.
Conviene que memorices los cuadrados perfectos de los 10 primeros números
naturales:
Números
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Cuadrados
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
27
CÁLCULO NUMÉRICO
2.5.2. POTENCIAS DE BASE 10
Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como
indique el exponente.
102 = 100
104 = 10.000
2.5.3. POTENCIAS DE EXPONENTES: 1 Y 0
Un número elevado al exponente 1 es igual al mismo número:

21 = 2

321 = 32

101 = 10
Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 es igual a la unidad (1):

20 = 1

320 = 1

100 = 1
2.5.4. POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS
Ya hemos definido previamente qué es una potencia de número natural y de
base 10. En el caso de los números enteros hay que tener en cuenta que tanto
la base como el exponente pueden ser positivos o negativos, por lo cual tenemos que definir qué signo llevará el resultado de una potencia.
28
CÁLCULO NUMÉRICO
Recuerda las reglas de los signos:
Reglas de los signos:
Si el exponente es un número positivo, podemos
afirmar que, de acuerdo con el signo de la base y si el
exponente es número par o impar, tendremos:
 (+)impar = (+). Cualquier número positivo eleva-
do a exponente impar tiene resultado positivo.
 (+)par = (+). Cualquier número positivo elevado
a exponente par tiene resultado positivo.
 (-)impar = (-). Cualquier número negativo eleva-
do a exponente impar tiene resultado negativo.
 (-)par = (+). Cualquier número negativo elevado
a exponente par tiene resultado positivo.
2.5.5. OPERACIONES CON POTENCIAS
A continuación veremos cómo podemos operar con las potencias. Cuando el
cálculo que deseemos realizar no encaje en ninguna de las siguientes operaciones, deberemos realizar la potencia para seguir operando.

Producto de potencias de la misma base: para multiplicar potencias
de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.
54 · 53 = 54+3 = 57
4
2
 1  1
 1
  ⋅   =  
2
2
   
2
4 +2
 1
=  
2
6
29
CÁLCULO NUMÉRICO

División de potencias de la misma base: para dividir potencias de la
misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.
54 : 53 = 54-3 = 51 = 5
4
2
 1  1
 1
  :   =  
2 2
2

4 −2
 1
=  
2
2
Elevar una potencia a otra potencia: para elevar una potencia a otra
potencia se deja la misma base y se multiplican los exponentes.
(54)3 = (5)4·3 = 512
3
2⋅3
6
  1 2 
    =  1  =  1  .
 2  
2
2



Multiplicación de potencias con el mismo exponente: para multiplicar potencias del mismo exponente, pero distinta base, se multiplican
las bases y se deja el mismo exponente.
53 · 23 = (5 · 2)3 = 103
4
4
4
4
 1  1
 1 1
 1⋅ 1 
 1
  ⋅   =  ⋅  = 
 =  
2 3
2 3
2⋅3
6
30
4
CÁLCULO NUMÉRICO

Potencias de exponente negativo: cuando una potencia tiene exponente negativo, hay que transformarla en otra con exponente positivo.
Para ello, se calcula el inverso de la base y se eleva al mismo exponente, pero con signo positivo.
3
1
1
 1
5-3 =   = 3 =
125
5
5
 
 1
 
2
−4
=
1
= 24
4
1
2
( )
2.6. RAÍCES
La raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, es decir, es la
operación inversa de una potencia.
Si recuerdas, 42 es 16. Como la raíz cuadrada es la operación inversa del cuadrado, podemos concluir que la raíz cuadrada de 16 es 4.
Para indicar que 4 es la raíz cuadrada de 16 se escribe: 16 = 4.
se llama radical y es el signo de la raíz cuadrada.

El signo

El número que se encuentra debajo del signo se denomina radicando.

El resultado de la operación se denomina raíz cuadrada.
2
36 = 6, porque recuerda: 6 es 36.
36 es el radicando y 6 es la raíz cuadrada. Se lee: “la
raíz cuadrada de 36 es 6”.
31
CÁLCULO NUMÉRICO
¿Has memorizado los cuadrados perfectos de los primeros 10 números naturales? Ahora te será muy fácil aprenderte las raíces cuadradas.
Esta tabla te ayudará a recordarlos:
Números
naturales
Cuadrados
perfectos
Raíces
cuadradas
1
12 = 1
1= 1
2
22= 4
4 =2
3
32 = 9
9=3
4
42 = 16
16 = 4
5
54 = 25
25 = 5
6
62 = 36
36 = 6
7
72 = 49
49 = 7
8
82 = 64
64 = 8
9
92 = 81
81 = 9
10
102 = 100
100 = 10
Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos se denominan raíces cuadradas exactas, ya que su solución es un número natural.
Todas las raíces cuadradas cuyo resultado sea un número natural (es decir, que
no sea decimal) se llaman exactas.
32
CÁLCULO NUMÉRICO
Comprobemos si esta raíz cuadrada es exacta.
2
169 : sabemos que 10 es 100, así que tenemos
que encontrar un número natural que, elevado al
cuadrado, nos dé como resultado 169, y ya sabemos
que es mayor que el 10.
Comprobamos que 112 = 121, 122 = 144, 132 = 169.
Ya tenemos la respuesta:
169 = 13.
2.6.1. RAÍZ CUADRADA ENTERA
La raíz cuadrada entera de un número es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual que el radicando.

36 = 6 es una raíz cuadrada exacta.

49 = 7 es una raíz cuadrada exacta.
¿Cuál crees que es el resultado de
45 ?
Sabemos que el resultado no es ni 6 ni 7, por lo tanto
el resultado tiene que ser un número decimal entre
el 6 y el 7. Por eso decimos que es una raíz cuadrada
entera, porque el resultado es un número decimal y
la raíz cuadrada entera de 45 será 6, puesto que 62 =
36 < 45 y 72 = 49 > 45.
Para calcular la raíz cuadrada de 45:
compararla con
por defecto.
36 y
45 , podemos
49 y calcular el resultado
El cuadrado perfecto inmediatamente inferior a 45 es
36, 36 = 6.
Calculando la resta: 45 - 36 = 9; el resultado se llama
resto por defecto.
Así, podemos concluir que la raíz cuadrada entera
por defecto es 6 con un resto de 9.
33
CÁLCULO NUMÉRICO
2.6.2. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA ENTERA POR APROXIMACIÓN
Además de calcular la raíz cuadrada entera por defecto, como hemos visto en el
apartado anterior, podemos afinar un poco más el resultado. Para ello, utilizaremos el método de aproximación.
Siguiendo el ejemplo de explicación del apartado anterior, tenemos que calcular
45 . Hemos dicho que el resultado está entre 6 y 7 porque:
62 = 36 no llega a 45.
72 = 49 se pasa de 45.

Vamos a ir probando con decimales:
(6,7)2 = 44 ,89
 Por lo tanto, el resultado está entre: 6,7 <
(6,8)2 = 46,24 

Probamos con otro decimal (ahora las centésimas):
(6,705)2 = 44 ,95
 El resultado está entre: 6,705 <
(6,709)2 = 45,01 

45 < 6,8.
45 < 6,709.
Probamos con otro decimal (ahora las milésimas):
(6,7082 )2 = 44 ,999
 El resultado está entre: 6,7082 <
(6,7083)2 = 45,001 
45 < 6,7083.
Podríamos seguir intentando aproximar el resultado indefinidamente, ya que el
resultado de 45 es un número decimal con infinitas cifras decimales. Estos
números se llaman números irracionales.
Por ahora, cuando tengamos que calcular la raíz cuadrada entera de un número, aplicaremos el método de aproximación con una o dos cifras decimales,
según nos lo pidan.
34
CÁLCULO NUMÉRICO
2.6.3. OPERACIONES CON RAÍCES
Vamos a ver las operaciones que podemos realizar con las raíces cuadradas, de
las cuales extraeremos importantes conclusiones que nos ayudarán a realizar
los ejercicios.

Raíz de un producto: la raíz de un producto es igual al producto de las
raíces de los factores.
a ⋅b = a ⋅ b
3 ⋅ 5 = 3 ⋅ 5.
4
3
3 4
.
⋅
⋅ =
7
5
5 7

Raíz de un cociente: la raíz de un cociente es igual al cociente de las
raíces del dividendo y del divisor.
a
a
=
b
b
3
3
=
5
5
35
CÁLCULO NUMÉRICO

Raíz de una suma o una resta: observa que las propiedades anteriores no se pueden aplicar a la suma y a la resta:
a+b ≠ a + b
a−b ≠ a − b
Sin embargo, si los radicandos son iguales, sí podemos realizar su suma
o su resta.
Por ejemplo:
3 + 2 3 = (1+ 2) 3 = 3 3
3 − 2 3 = (1− 2) 3 = − 1 3
Podremos sumar o restar raíces siempre que tengan el mismo radicando:
3 5 + 4 5 − 5 5 = (3 + 4 ) 5 − 5 5 = 7 5 − 5 5 = 2 5

Extracción de factores de una raíz cuadrada: la extracción de factores de una raíz cuadrada es consecuencia de la propiedad del producto. Puede que no podamos calcular la raíz cuadrada de un número, pero si lo descomponemos en factores a lo mejor podemos calcular la
raíz cuadrada de alguno de ellos.
En principio, 600 no es una raíz exacta, pero si factorizamos 600 en
forma de 600 = 100 · 6, podemos decir que:
600 = 100 ⋅ 6 = 100 ⋅ 6 = 10 6
Hemos conseguido descomponer en 2 factores, de tal forma que uno
de ellos es un cuadrado perfecto: 100, del que podemos calcular la raíz.
36
CÁLCULO NUMÉRICO
Extrae los factores de las siguientes raíces:
27 = 9 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3 = 3 3.
150 = 25 ⋅ 6 = 25 ⋅ 6 = 5 6 .

Raíz cuadrada de números negativos: ya que hemos definido la raíz
cuadrada como la operación inversa del cuadrado, date cuenta de que,
si elevamos al cuadrado un número negativo, por la regla de signos,
siempre se convierte en positivo ( − ⋅ − = + ).
(− 3)2 = (− 3) ⋅ (− 3) = 9
Por lo que podemos concluir que no existe la raíz cuadrada de un
número negativo.
2.7. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de primer grado es una igualdad entre expresiones algebraicas
de primer grado. Es decir, las incógnitas aparecerán elevadas a exponente 1.
Solo vamos a tratar aquí las ecuaciones de primer grado con una incógnita de la
forma:
ax + b = 0
Donde a y b serán números reales. Un ejemplo sería: 7x + 5 = 0.
Si la ecuación que se nos plantea no tiene esta forma general, tendremos que
transformarla en una equivalente que la tenga.
Resolver una ecuación es hallar su solución si es una ecuación compatible. Si
llegamos a la conclusión de que no tiene solución, diremos que la ecuación es
incompatible.
37
CÁLCULO NUMÉRICO
Para resolver una ecuación, se debe pasar a otra equivalente cuya apariencia
sea más sencilla. Para averiguar el valor de x debe despejarse la incógnita, es
decir, debe quedar la x separada del resto de elementos de la ecuación.
Para ello nos valemos de las reglas n.º 1 y n.º 2 para obtener ecuaciones equivalentes, que nos permiten sumar un mismo número en ambos miembros de la
expresión algebraica, siempre y cuando se mantenga la igualdad.
Las reglas para la obtención o transformación de
ecuaciones equivalentes son:
 Si se suma o se resta un mismo número o ex-
presión algebraica a los dos miembros de una
ecuación, se obtiene una equivalente a ella.
 Si se multiplica o divide por un mismo número,
diferente de cero, los dos miembros de una
ecuación, resulta otra ecuación equivalente a ella.
Veamos un ejemplo:
1. Tenemos esta ecuación:
4x – 7 = 1
2. Para que el –7 se anule le sumamos 7; por eso se dice que un número
que está restando "pasa" sumando:
4x – 7 + 7 = 1 + 7
4x = 1 + 7
4x = 8
3. Para anular el 4 que está multiplicando dividimos ambos miembros por 4;
por eso se dice que un número que está multiplicando "pasa" dividiendo:
4x : 4 = 8 : 4
x=2
38
CÁLCULO NUMÉRICO
4. Por lo tanto, esta ecuación tiene una única solución: x = 2
5. Comprobación: sustituimos x = 2 en la ecuación y comprobamos que la
verifica:
4 · 2 – 7 = 1 ⇒ 8 – 7 = 1. OK.
Para resolver una ecuación de primer grado se pasan
a un lado de la ecuación los términos que tengan “x”
y al otro lado los números. Para ello tendremos en
cuenta las reglas de obtención de ecuaciones equivalentes, que en la práctica se traducen en:
 Un término que está sumando en un miembro
de la ecuación pasa al otro miembro restando.
 Un término que está restando en un miembro
de la ecuación pasa al otro miembro sumando.
 Un número distinto de cero que está multipli-
cando a un miembro de la ecuación pasa al
otro miembro dividiendo.
 Un número distinto de cero que está dividien-
do a un miembro de la ecuación pasa al otro
miembro multiplicando.
En muchas ocasiones, las ecuaciones de primer grado no tienen la forma sencilla “ax + b = 0”, sino que aparecen paréntesis, denominadores, etc. Veamos qué
hacer en esos casos.
2.7.1. ECUACIONES CON PARÉNTESIS
Cuando en una ecuación de primer grado aparecen paréntesis, debemos operar con ellos de la misma forma que lo haríamos con números.
39
CÁLCULO NUMÉRICO
Para resolver la ecuación aplicando las reglas de equivalencia para despejar la
incógnita debemos eliminar los paréntesis. Veamos un ejemplo:
1. Tenemos esta ecuación:
2(4x – 1) = 7 – 3 (1 – 2x)
2. Se eliminan los paréntesis (aplicando la propiedad distributiva) y se simplifica cada uno de los miembros agrupando los términos semejantes:
8x – 2 = 7 – 3 + 6x
8x – 2 = 4 + 6x
3. Se agrupan los términos con incógnitas en miembro y los términos
numéricos en otro:

El término 6x, que está en el 2.º miembro sumando, pasa al 1.º
restando.

El número 2, que está en el 1.er miembro restando, pasa al 2.º
sumando.
8x – 6x – 2 = 4
8x – 6x = 4 + 2
2x = 6
4. Se despeja la incógnita y se calcula la solución. Para ello, el 2 que está multiplicando en el primer miembro debe pasar al 2.º miembro dividiendo:
x = 6/2
x=3
5. Por lo tanto, esta ecuación tiene una única solución: x = 3
6. Comprobación: sustituimos x = 3 en la ecuación y comprobamos que
se verifica la igualdad:
2 · (4 · 3 – 1) = 7 – 3 (1 – 2 · 3 ) ⇒ 2 · (11) = 7 – 3 · (-5 ) ⇒ 22 = 22. OK.
40
CÁLCULO NUMÉRICO
2.7.2. ECUACIONES CON FRACCIONES
Antes de tratar de resolver ecuaciones en las que aparecen números fraccionarios y, por tanto, denominadores, para resolverlas, será necesario ir simplificando toda la ecuación hasta obtener una ecuación equivalente a la primera que
tenga la forma “ax + b = 0”, de la que ya sabemos hallar la solución.
Recuerda que los paréntesis hay que eliminarlos antes de nada. Después será
necesario quitar las fracciones. Veámoslo en este ejemplo:
1. Tenemos esta ecuación:
2x −
2x − 5
7 3x + 1
= 3x −
−
5
10
4
2. Reducimos todos los términos a común denominador:
40x 8x − 20 60x 14 15x + 5
−
=
−
−
20
20
20
20
20
3. Multiplicamos todos los términos de la ecuación por 20 para eliminar
los denominadores:
20 ⋅
40x
8x − 20
60x
14
15x + 5
− 20 ⋅
= 20 ⋅
− 20 ⋅
− 20 ⋅
20
20
20
20
20
4. Imaginamos que cada línea de fracción es un paréntesis que envuelve
al polinomio o monomio y quitamos los paréntesis, teniendo cuidado
con el signo de delante:
40x − 8x + 20 = 60x − 14 − 15x − 5
5. Sumamos o restamos los monomios semejantes:
32x + 20 = 45x − 19
6. Pasamos 45x restando al primer miembro de la ecuación (en realidad
restamos 45x a ambos miembros de la ecuación):
32x − 45x + 20 = − 19
7. Pasamos el 20 restando al segundo miembro de la ecuación:
32x − 45x = − 19 − 20
8. Sumamos y restamos monomios:
− 13x = − 39
41
CÁLCULO NUMÉRICO
9. Pasamos el -13 al otro miembro dividiendo (en realidad, dividimos ambos miembros de la ecuación entre –13):
x=
− 39
− 13
10. Simplificamos la fracción (en este caso dividimos):
x =3
Esta es la solución a la ecuación: x = 3.
Comprueba tú mismo que x = 3 es la solución de la ecuación.
Veamos si has entendido el proceso de resolución de ecuaciones de primer
grado realizando este ejercicio.
Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
a) 3 · (2-x) + 1- 3x = 8 – 3x.
b) 5x – 3 · (2x - 4) = 9.
c)
x 13 − 2x 1
−
= .
3
2
6
d)
15x − 35 4 − x 20 3x − 3
.
+
=
+
18
10
3
4
e) 2 · (2x+4) – 3 · (4x-2) = 7 – (5x-4).
Solución:
a) x = -1/3; b) x = 3; c) x = 5; d) x = 7; e) x = 1
2.7.3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER
GRADO
Las ecuaciones de primer grado que hemos aprendido a resolver anteriormente
nos van a servir para obtener la solución a problemas matemáticos.
Un problema consta de un enunciado, en el que se nos ofrecen unos datos o
condiciones y se pide hallar una incógnita (o valor desconocido); por ejemplo:
42
CÁLCULO NUMÉRICO
Problema 1: halla dos números enteros consecutivos cuya suma sea 173.
Dato: los números pedidos suman 173.
Incógnita: el número y su consecutivo.
Resolvemos un problema es hallar el valor de la incógnita que cumple la condición dada. Para poder hacerlo necesitaremos plantear y resolver una ecuación
siguiendo los siguientes pasos:

Paso 1: se lee detenidamente el problema hasta comprenderlo, de
manera que sea posible identificar y expresar algebraicamente los datos conocidos y desconocidos.

Paso 2: se elige un dato desconocido como incógnita y se plantea una
ecuación que lo relacione con los datos conocidos.

Paso 3: se resuelve la ecuación planteada.

Paso 4: se escribe, comprueba e interpreta la solución del problema.
Vamos a aplicar estos pasos al problema planteado previamente:
Problema 2: Halla dos números enteros consecutivos cuya suma sea 173.

Paso 1: se pide calcular el valor de 2 números que sean consecutivos
(es decir, que se diferencien en 1 unidad, o bien uno sea igual al otro
más 1 unidad) sabiendo que su suma es 173.

Paso 2: elegimos como incógnita 1 de los 2 números pedidos, el menor
de ellos por ejemplo, y le llamamos x. Puesto que son consecutivos, el
segundo número puede escribirse como x + 1.
Dado que la suma de los 2 números es 173, podemos escribir la ecuación “primer número + segundo número = 173”. Es decir:
x + ( x + 1 ) = 173

Paso 3: resolvemos la ecuación.
x + x + 1 = 173
2x = 173 – 1
2x = 172
43
CÁLCULO NUMÉRICO
x = 172/2
x = 86

Paso 4: escribimos la solución.
x = 86 es el primer número.
x + 1 = 87 es el segundo número.
Comprobación: los 2 números hallados son consecutivos y, efectivamente, su
suma es 173; por lo tanto, el problema está bien resuelto.
2.7.4. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Hasta ahora hemos trabajado con ecuaciones de primer grado en las que la
incógnita aparecía elevada a uno.
Cuando en una ecuación la incógnita aparece elevada al cuadrado, diremos que
tenemos una ecuación de segundo grado. Para poder resolverlas, deberán
estar expresadas como un polinomio de segundo grado igualado a cero:
ax2 + bx + c = 0
Las letras a, b y c (llamados coeficientes) representan valores numéricos fijos,
donde:
a: es el coeficiente de x2 o coeficiente cuadrático.
b: es el coeficiente que multiplica a x, y es conocido también como coeficiente lineal.
c: es el llamado término independiente.
44
CÁLCULO NUMÉRICO
La solución de esta ecuación (es decir, los valores de la x que verifican la ecuación) se calcula mediante la fórmula general siguiente, que debes memorizar:
x=
− b ± b2 − 4ac
2a
Cuando en la ecuación de segundo grado no haya
ningún número acompañando a x2 o a x, el coeficiente correspondiente es 1.
En la ecuación: x2 + x - 1 = 0, los coeficientes a, b y c
son:
a = 1; b = 1; c = -1.
Por ejemplo, la ecuación 2x2 + 5x + 3 = 0, de coeficientes a = 2, b = 5, c = 3, se
resuelve así:
−5 +1

− 5 ± 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 ± 1 − 5 ± 1  x1 = 4 = −1
x=
=
=
=
3
−5 −1
2⋅2
4
4
x 2 =
=−
4
2

Observa que hemos obtenido 2 soluciones, x1 = -1 y x2 = - 3/2.
La solución de una ecuación de segundo grado
ax2+bx+c=0 es:
x=
− b ± b2 − 4ac
2a
Si la ecuación no está en la forma general deberás
transformarla hasta obtenerla. Para ello, resolverás
primero los paréntesis, luego los denominadores
(podrás denominador común), productos y, finalmente, sumas y restas.
45
CÁLCULO NUMÉRICO
Casos especiales de la ecuación general ax2 + bx + c = 0
Las ecuaciones de segundo grado de los tipos siguientes se llaman incompletas porque les falta uno de los términos:

ax2 + bx = 0; en este caso, c = 0 (ejemplo: 2x2 – 3x = 0).

ax2 + c = 0; en este caso, b = 0 (ejemplo: 2x2 – 32 = 0).
Se pueden resolver aplicando la fórmula general, pero es más cómodo resolverlas despejando directamente la x.
Primer caso: ax2 + bx = 0
Se extrae factor común x de los dos términos: x · (ax + b) = 0
Una solución es x = 0 y la otra se obtiene resolviendo la ecuación lineal ax +
b = 0.
Por ejemplo:
3x2 + 5x = 0
x · (3x + 5) = 0
x = 0 y 3x + 5 = 0
Despejando x de la segunda ecuación, concluimos que las soluciones son:
x1 = 0 y x2= –5/3 (de nuevo hemos obtenido 2 soluciones a la ecuación de segundo grado).
Segundo caso: ax2 + c = 0
Se pasa el término independiente al otro miembro: ax2 = –c.
Se despeja x2 pasando su coeficiente al otro miembro (pasa dividiendo): x2 = –c/a.
46
CÁLCULO NUMÉRICO
Para obtener el valor de x, tomamos la raíz cuadrada de los dos miembros:
x2 = ±
−c
.
a
De ahí obtenemos: x = ±
−c
.
a
Por ejemplo:
3x2 - 27 = 0
3x2 = 27
x2 = 27/3
x2 = 9
x = ± 9 ⇒ x1 = + 3y x2 = -3 son las 2 soluciones de esta ecuación.
2.7.5. DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE
SEGUNDO GRADO
Hasta el momento, en todas las ecuaciones de segundo grado que hemos resuelto hemos hallado dos soluciones. No siempre ocurre así. Como veremos a
continuación es posible que una ecuación de segundo grado tenga dos, una o
ninguna solución.
Hacer una discusión de las soluciones de una ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0 es averiguar cuántas soluciones va a tener según los valores de
los coeficientes a, b y c.
47
CÁLCULO NUMÉRICO
Como base del estudio tomaremos la expresión b2 - 4ac (recuerda que es lo que
quedaba dentro de la raíz en la fórmula general de la solución de la ecuación de
segundo grado). A esta expresión la llamaremos discriminante (∆) de la ecuación,
porque sirve para distinguir la naturaleza de las raíces. Así, tendremos que:

Si b2 - 4ac > 0, obtendremos 2 soluciones reales distintas.
Ejemplo: 3x2 – 2x - 1 = 0;
b2 - 4ac = (-2)2 - 4 · 3 · (-1) = 4 + 12 = 16 > 0.
Puesto que el discriminante es positivo (mayor que 0), esta ecuación
tendrá 2 soluciones reales distintas.

Si b2 - 4ac = 0, los valores que se obtienen para las raíces son iguales.
Ejemplo: x2 -2x + 1 = 0;
b2 - 4ac = (-2)2 - 4 · 1 · 1 = 4 - 4 = 0.
Puesto que el discriminante es nulo, esta ecuación tendrá una única
solución.

Si b2 - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, ya que los números negativos no tienen raíz cuadrada real.
Ejemplo: 6x + 10x + 6 = 0;
b2 - 4ac = (10)2 - 4 · 6 · 6 = 100 - 144 = -44 < 0.
Puesto que el discriminante es negativo, no tiene raíces reales.
2.7.6. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
Al igual que las ecuaciones de primer grado, las ecuaciones de segundo grado
también nos van a servir para obtener la solución de problemas matemáticos.
La estrategia de resolución de problemas es la misma que con las ecuaciones
de primer grado, solo que ahora la incógnita aparecerá elevada al cuadrado y
podremos obtener dos soluciones distintas, una solución o ninguna.
48
CÁLCULO NUMÉRICO
Veamos cómo resolver el siguiente problema:
Halla dos números enteros consecutivos cuyo producto es 272.

Paso 1: se pide calcular el valor de 2 números que sean consecutivos
(es decir, que se diferencien en 1 unidad, o bien uno sea igual al otro
más 1 unidad) sabiendo que su producto es 272.

Paso 2: elegimos como incógnita 1 de los 2 números pedidos, el menor
de ellos, por ejemplo, y le llamamos x. Puesto que son consecutivos, el
segundo número puede escribirse como “x + 1”.
Dado que el producto de los 2 números es 272, podemos escribir la
ecuación “primer número · segundo número = 272”. Es decir:
x · ( x + 1 ) = 272

Paso 3: resolvemos la ecuación:
x 2 + x = 272
x 2 + x – 272 = 0
− 1+ 33

= 16
− 1± 12 − 4 ⋅ 1⋅ (−272) − 1± 1089 − 1± 33  x1 =
2
=
=
=
x=
− 1− 33
2
2 ⋅1
2
x 2 =
= −17
2


Paso 4: puesto que hemos obtenido 2 soluciones de la ecuación, debemos escribir las 2 soluciones del problema diciendo:
Si x = 16 es el primer número, el segundo número será x + 1 = 17 (efectivamente, son consecutivos y su producto es 272).
Si x = -17 es el primer número, el segundo número será x + 1 = -16
(efectivamente son consecutivos y su producto es 272).
Comprobación: los 2 pares de números hallados son consecutivos y su producto es 272; por lo tanto, el problema está bien resuelto.
49
CÁLCULO NUMÉRICO
¿QUÉ HAS APRENDIDO?
Cuando te preguntábamos (allá por la página 3) acerca de la aplicación de las
matemáticas en tu día a día, espero que hayas respondido que sí que las aplicas, ya que no aplicarlas es casi imposible. Aunque no nos demos cuenta las
utilizamos constantemente, al decir la hora con nuestro móvil o reloj; cuando
pagamos y nos dan las vueltas en una tienda; al ir conduciendo y predecir si nos
da tiempo a adelantar o no, etc.
En este tema hemos recordado conceptos matemáticos básicos, para poder
afrontar los psicotécnicos en los que valoran nuestras aptitudes numéricas
con éxito, como operaciones de cálculo, agilidad mental y numérica y problemas.
Como las operaciones con fracciones suelen causar algún problema, recuerda:
Operaciones con racionales:

Suma:
a c a+c
+ =
b b
b

Resta:
a c a−c
− =
b b
b

Multiplicación:
a c a·c
· =
b d b·d

División:
a c a·d
: =
b d b·c
51
CÁLCULO NUMÉRICO
AUTOCOMPROBACIÓN
1.
Calcula y simplifica el resultado de la siguiente operación:
1 3
1 
 2 1  1
 − 1+  + (− 2) + 3 + 
34
2 
 3 2  2
a) 5/6.
b) 4/6.
c) 3/2.
d) 1/2.
2.
3,1 horas son:
a) 3 horas y 6 minutos.
b) 3 horas y 10 minutos.
c) 3 horas y 1 minuto.
d) 3 horas y media.
3.
1/4 x 1/4 da:
a) 2/7.
b) 2/12.
c) 7/12.
d) 4/3.
53
CÁLCULO NUMÉRICO
4.
Si sumas el 10% a 100, te da 110. Si restas el 10% a 110, te da:
a) 90.
b) 99.
c) 100.
d) 101.
5.
Un atleta corre 100 metros lisos en 10 segundos. ¿cuál es su velocidad
en m/s?
a) 100 m/s.
b) 10m/s.
c) 1 m/s.
d) 0,1 m/s.
6.
Pedro es más viejo que Luis. Alba es de la misma edad que Carmen.
Ambas son mayores que Pedro. ¿Quién es el más joven de los cuatro?
a) Pedro.
b) Alba.
c) Luis.
d) Carmen.
7.
Agustín tiene 24 €; Luis tiene 8 € más que él y Augusto 12 € más que
Luis. ¿Cuántos € tienen entre los tres amigos?
a) 44 €.
b) 88 €.
c) 90 €.
d) 100 €.
54
CÁLCULO NUMÉRICO
8.
Una persona deja en herencia 192.000 € a sus dos nietos y sus dos sobrinos. Si tienen que pagar 9.000 € de impuestos, 6.000 € a un centro
de beneficencia y 27.000 € van a cada uno de los sobrinos, ¿cuánto
heredará cada nieto?
a) 75.000 €.
b) 59.500 €.
c) 61.500 €.
d) 57.000 €.
9.
¿Cuál es la suma total de cuatro números, sabiendo que el primero es
40, el segundo 18 más que el primero, el tercero 28 más que el segundo y el cuarto 16 menos que el tercero?
a) 254.
b) 228.
c) 214.
d) 258.
10. Un barco dispone de 55 camarotes dobles e individuales. ¿Cuántos hay
de cada tipo, sabiendo que el número total de camas es 85?
a) 29 dobles y 26 individuales.
b) 27 dobles y 28 individuales.
c) 30 dobles y 25 individuales.
d) 28 dobles y 27 individuales.
55
CÁLCULO NUMÉRICO
SOLUCIONARIO
1.
a
2.
a
3.
c
4.
b
5.
b
6.
c
7.
d
8.
c
9.
a
10.
c
Explicación pregunta 1:
1 3
1 
 2 1  1 1  3 − 4 + 2  
 4 + 3  1
 − 1+  + (− 2) + 3 +  = 
 + (− 2) + 3
 =
34
2 
3
2
2
3
4



 
 6  2
=
1 1 
7 1 1 
7 1 1 −4 +7 1 1 3 1
⋅ + (− 2) + 3 ⋅  =
+ − 2 +  =
+
+ ⋅ =
 =
3 4 
6  2 12 
2  2 12  2  2 12 2 2
=
1 3 1+ 9 10 5
+ =
=
=
12 4
12
12 6
57
CÁLCULO NUMÉRICO
EXCLUSIVO PARA ALUMNOS TOP
A continuación te planteamos el problema del tren y la mosca, es uno de los
más famosos que existen dentro de la matemática recreativa, no se sabe cuándo fue la primera vez que se planteó, tiene dos formas de solucionarlo, una
sencilla y otra compleja. ¿Qué camino te llevará a la solución?
Te recomiendo que te tomes tu tiempo para leerlo, releerlo y pensarlo. Siempre
tienes el recurso de consultar después la solución del mismo, pero te privas de
la satisfacción de pensar y resolver el problema tú solo. Ahí va el enunciado del
problema del tren y la mosca:
Dos trenes separados por 100 kilómetros se mueven el uno hacia el otro por la
misma vía, la velocidad de ambos trenes es de 50km/h. En el momento inicial
una mosca situada en el morro de uno de los trenes comienza a volar hacia el
otro, a una velocidad de 75 km/h, cuando llega a la locomotora que viene de
frente, da la vuelta instantáneamente y se dirige hacia el otro tren. El proceso se
repite hasta el momento en que los dos trenes chocan entre sí con la mosca en
medio.
La cuestión es: ¿cuántos kilómetros recorre la mosca antes de morir aplastada
entre las dos locomotoras?
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CÁLCULO NUMÉRICO
Solución:
Si calculamos el tiempo que tardan los dos trenes en chocar, este será el tiempo
que la mosca está volando. Los dos trenes van a 50 km/h, están a una distancia
de 100 km, chocarán a medio camino, cuando hayan recorrido 50 km. Como los
trenes van a 50 km/h, habrán recorrido los 50 km en una hora. Por lo tanto la
mosca en una hora habrá recorrido 75 km, ya que vuela a 75km/h.
¿En lugar del camino directo para solucionar el problema has elegido pensar de
otra forma, tratando de sumar todos los segmentos que va recorriendo la mosca?
Puedes comentarnos a los profesores cómo has resuelto este problema.
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CÁLCULO NUMÉRICO
BIBLIOGRAFÍA

VV. AA. EULER. Matemáticas I. Madrid: S.M., 2001.

VV. AA. Matemáticas I. Madrid: Edelvives, 2003.

VV. AA. Matemáticas II. Madrid: Edelvives, 2003.

MARTÍNEZ LORENZO, A. Física COU. Madrid: Bruño, 1995.
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