Documento 888914

Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Ingeniería Mecánica
DAIA
P.A. 2012-2
16/10/12
EXAMEN PARCIAL CONTROL MODERNO Y ÓPTIMO - MT227
Se permite el uso de una hoja de Formulario.
Problema 1

Se desea diseñar un control de velocidad h para un helicóptero de masa
m en el campo gravitatorio de la Tierra. La acción de control del sistema
es dada por el par motor M , que se aplica sobre el rotor. El rotor tiene
una inercia J y la rotación de éste producirá un momento aerodinámico
2
contrario M A  k , en el que  es la velocidad del rotor. El giro del
F  b 2
rotor finalmente genera un empuje hacia arriba s
. Además de la
fuerza de la gravedad y la fuerza de empuje generada por la resistencia
del aire, existe una fuerza que contrarresta el movimiento del Fig. 1 Modelo de control de altura de un
 
helicóptero la cual se puede definir como FL  c.sign(h)h y esta
2
Helicóptero

descrita en la Fig.1 para el ascenso ( h  0 ).
a) (2ptos)Determine las ecuaciones de movimiento para el rotor y el helicóptero.

b) (1pto)Describa el sistema en la forma espacio de estado no lineal x  f ( x, u), y  g ( x, u)
T


con entrada, salida y vector de estado dados por: u (t )  M (t ), y (t )  h(t ), x(t )  h 
c) (1pto) Alinear alrededor del punto de reposo. Presente las Matrices (A,B,C,D).


sign( y).y  y
Nota:
d) (1pto) Determine los valores propios y analice la estabilidad del sistema.
Problema 2
a) (2 ptos) Determinar los valores de los parámetros
𝑎, 𝑏, 𝑐 del sistema dada la Fig. 2. La figura
muestra la respuesta impulsiva del sistema lineal
invariante en el tiempo de 1er orden:
𝑥̇ (𝑡) = 𝑎𝑥(𝑡) + 𝑏𝑢(𝑡),
𝑦(𝑡) =
𝑐𝑥(𝑡)
Fig.2 Respuesta impulsiva sistema
de 1er orden
𝑥(0) = 0
donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ.
𝑡
Dato: 𝑦(𝑡) = 𝑐𝑒 𝑎𝑡 𝑥(0) + ∫0 𝑐𝑒 𝑎(𝑡−𝜏) 𝑏𝑢(𝜏)𝑑𝜏
b) Considerar el sistema:
0 1 𝑥1
0
[
] [ ] + [ ] 𝑢(𝑡)
6 0 𝑥2
1
𝑥1
𝑦(𝑡) = [50 2] [𝑥 ] ,
2
que describe la dinámica de la
inclinación vertical 𝑦(𝑡) de una
𝑥̇
[ 1] =
𝑥̇ 2
Fig.3 Vistas esquemáticas de una bicicleta 1
bicicleta en movimiento y donde la entrada 𝑢(𝑡) es el ángulo de la dirección.
b.1) (1 pto) ¿Puede el conductor evitar que la bicicleta se incline únicamente rotando el timón?
b.2) (1 pto) ¿Será necesaria la intervención de un conductor para evitar que la bicicleta se incline?
Problema 3
Los trenes de levitación magnética (Fig. 4) circulan suspendidos en el aire, sin
contacto físico con el suelo. El objetivo es alcanzar grandes velocidades con un
consumo bajo de energía, ya que el único rozamiento es el aerodinámico. La
levitación magnética se consigue gracias a unas bobinas que producen una fuerza de
levitación
f l (t )  k p
que
se
puede
aproximar
según
la
ecuación
2
i (t )
. El peso del tren se opone a esta fuerza. El conjunto
x 2 (t )
total de estas fuerzas determinan el movimiento vertical del tren. Para
poder ajustar el nivel de levitación a un valor de referencia, x r, se
diseña un sistema de control.
La dinámica es no lineal debido a la fuerza de levitación. Linealizando
alrededor del punto de reposo definido, el conjunto de ecuaciones
algebro-diferenciales, en incrementos, quedará:
∆𝑓𝑙 (𝑡) = 𝑀∆𝑥̈ (𝑡)
2𝑖
2𝑖 2
∆𝑓𝑙 (𝑡) = 𝑘𝑝 [ 2 ] ∆𝑖(𝑡) + 𝑘𝑝 [− 3 ] ∆𝑥(𝑡)
𝑥 0
𝑥 0
Fig. 4 Tren de Levitación
Punto de reposo: f l 0  Mg x0  0.1m i0  50A g=10m/s2
a) (1 pto) Determine el modelo espacio estado para el sistema alineado en el punto de reposo,
considere la intensidad de corriente como entrada, i(t), y como salida la distancia de levitación
x(t).¿ Es posible que el modelo lineal trabaje sin un sistema de control en lazo cerrado?. Justifique.
b) (2 ptos)¿Es completamente controlable el sistema? Asuma que puede medir exactamente todos los
estados. Diseñe el controlador por realimentación de todos los estados y formule la ley de control
para seguir la referencia r (t ) . El controlador debe garantizar error cero en estado estacionario
para entradas del tipo escalón en la referencia r (t ) . Se desea que en lazo cerrado presente la
siguientes características:  n  4 ,y que sea críticamente amortiguado (  =1).
c) (2 ptos) Considerando una perturbación constante d a la salida como en la Fig.5, determine la ley
de control que usaría, para lo cual la matriz de retroalimentación será calculada considerando un
tercer polo en lazo cerrado en s=-6.
Fig. 5 Sistema de control con perturbación a la salida
2
Problema 4
En la industria los calderos proveen de vapor a turbinas y otros procesos. Este problema presenta un
caldero que alimenta a un tanque donde se acumula el vapor hasta aumentar su presión. El objetivo es
controlar la presión en el tanque mediante la regulación del flujo de combustible hacia el caldero. Así,
la presión en el tanque debe mantener un valor (referencia) aún existiendo demanda de vapor
(disturbios).
El modelo linealizado del caldero es descrito por:
0
𝐾 /𝑇
0
flujo de combustible
] 𝑥𝑏 + [ 𝑠
]𝑢
−𝐾/𝑉
0
𝐾/𝑉 𝑏 , 𝑢𝑏 = [
], 𝑦𝑏 = flujo de vapor
presión en el tanque
[0 𝐾 ]𝑥𝑏 + [0 −𝐾 ]𝑢𝑏
𝑦𝑏 =
El modelo del tanque es básicamente un integrador:
𝑥̇ 𝑏 =
−1/𝑇
[
1/𝑉
𝑥̇ ℎ = [−1/𝑉𝐻 1/𝑉𝐻 ]𝑢ℎ
,
𝑦ℎ =
𝑥ℎ
𝑢ℎ = [
demanda de vapor
],
flujo vapor hacia el tanque
𝑦ℎ = presión del tanque
El volumen del caldero es V = 800 m3, del tanque VH = 100 m3; T = 10 s, Ks = 10 ton/hr, K =40
ton/(hr.bar).
a) (2 ptos) Presentar el diagrama de bloques del sistema indicando las variables correspondientes a la
referencia, disturbios, actuación y señales medidas; incluir los bloques caldero, tanque,
compensador.
b) (1 pto) Demostrar que la planta (caldero + tanque) es como detallado a continuación:
𝑥̇
[ ℎ] =
𝑥̇ 𝑏
𝑦𝑏 =
−𝐾/𝑉𝐻
[ 0
𝐾/𝑉
0
−1/𝑇
1/𝑉
[1
𝐾/𝑉𝐻
0
−1/𝑉𝐻
𝑥
0 ] [𝑥ℎ ] + [𝐾𝑠 /𝑇] 𝑢𝑓 + [ 0 ] 𝑢𝑑
𝑏
−𝐾/𝑉
0
0
𝑥ℎ
0 0] [ 𝑥 ] ,
𝑏
donde ud es la demanda de vapor y uf es el flujo de combustible.
c) (1 pto) Para la ganancia del controlador por realimentación de estados 𝐾 =
[5.469 0.953 39.253], calcular la ganancia por alimentación directa para seguimiento de
referencias constantes kr.
d) (2 ptos) Calcular la ganancia del observador de orden completo; asumir que los polos del
observador son tres veces más rápidos que los del sistema controlado. Presentar el compensador
en la forma de función de transferencia. ¿Consigue el compensador eliminar el efecto de una
demanda constante?
Las Profesoras.
3
Solución del Examen Parcial
Problema 1
a)
El momento angular del rotor:
Impulso del helicóptero:
b)
c)
Punto de operación: h  h0   0 
M
,
k
Sistema linealizado:
   2c sgn(h )h
0
0
 h    m

 
0
  

2b

0   
 h  +
m
2k   
 0   
J
 
0
 1  M
 J 
 
 

h  1 0  h 
 
d)
Análisis de estabilidad
Det(SI-A)= 0
S1= 
2c 
h
m
s2= 
2k
 0 es estable.
J
4
Problema 2
5
Problema 3
kpi 02
 0.1m
Mg
x0 

𝑲𝒑
𝑴
= 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓
Haciendo x1  x  0.1 , x 2  x , u  i  50
x 1 = x2
∆𝑥̇ 2 = +
𝐾𝑝 2𝑖
𝐾𝑝 2𝑖 2
[ ] ∆𝑢
[− 3 ] ∆𝑥1 +
𝑀 𝑥2 0
𝑀
𝑥 0
1  x1   0 
 x1   0

 x    200 0  x   0.4 u
 2   
 2 
 x1 
y  [1 0]

 x2 
Polos s1=0 + 14.1421i
s2=0 - 14.1421i
Es inestable. Por lo que se recomienda un sistema de control en lazo cerrado.
 0 0.4
 Tiene rango 2 , por lo tanto es completamente controlable.
0.4 0 
Polos deseados:   1,   4
des(s)= s 2  2 * 4s  16
1. Co=[ B AB]= 
8 
  184

 1600  184
des(A)= A2  2 * 4 A  16  
K=[0 1]*Co-1des(A)= =[-460 20]
2.
Nr= 1/G(0)=-(C(A-B*k)-1B)-1 =40
a)
1 1  x1   0 
 x 1   0
 x     200 0 0  x   0.4 u  ...
 2 
 2   
 e   1
0 0  e   0 
Ka = -340
35 240
 x1 
 -240e
x2 
Ley de control u= -[-340 35] 
6
Problema 4
7