Inferència

LLIÇÓ 6. INFERÈNCIA
Els temes que es tractaran són els següents:
INFERÈNCIA
ESTIMACIÓ
MITJANA,
PROPORCIÓ
CONTRAST HIPÒTESI
V. QUANTITATIVES
ANÀLISI
VARIÀNCIA
CONTRAST HIPÒTESI
V.QUALITATIVES
REGRESSIÓ
KHI QUADRAT
Inferència
És el coneixement del comportament d’una població a partir de l’estudi d’una
mostra.
És un procés inductiu, se suposa que tota la població es comportarà igual que la
mostra.
La inferència, per ser vàlida, és imprescindible que treballi amb mostres
autènticament representatives de tota la població.
Problemes de la inferència
Elecció d’una mostra representativa; això s’aconsegueix mitjançant:
• Grandària adequada.
• Mètode de selecció correcte.
Mètodes de selecció de la mostra
Aleatoris
Aleatori simple. Tots els elements de la població tenen la mateixa
probabilitat de ser elegits per formar part de la mostra.
Mostreig estratificat. Si la població està dividida en estrats naturals, per
exemple, sexe, edat, etc. Es pot fer un mostreig aleatori simple en cada
estrat.
60
Mostreig per conglomerats. Com per estrats, però els estrats són zones
geogràfiques. Sol fer-se per etapes.
Mostreig sistemàtic. S’elegeix un element a l’atzar i a partir d’aquest,
sistemàticament, cada n elements formaran part de la mostra.
Per seleccionar una mostra representativa s’ha d’utilitzar un mètode aleatori.
No aleatoris.
Els elements de la mostra no són elegits per cap procediment a l’atzar.
Errors
La coincidència total entre l’estadístic mostral i la població no es produeix.
Error és la diferència entre el valor desconegut de la població i el que s’obté de la
mostra.
•
•
Error de biaix. Es pot evitar utilitzant un bon mètode de selecció de la mostra.
Error aleatori. No es pot evitar però es pot quantificar.
Distribucions en el mostreig
Paràmetres poblacionals. Són les mesures relatives a la població.
Característiques mostrals. Són les mesures relatives a la mostra.
Variables
quantitatives
Variables
qualitatives
Paràmetres poblacionals
Mitjana poblacional µ
Variància poblacional σ2
Desviació tipus poblac. σ
Proporció poblacional
Mida de la població
π
N
Característiques mostrals
Mitjana mostral x
Variància mostral s2
Desviació tipus mostral s
Proporció mostral
Mida de la mostra
p
n
Valors mostrals
Cada un dels elements de la mostra els simbolitzem amb xi .
D’una població determinada és possible seleccionar diverses mostres possibles
d’una mateixa mida n. No totes les mostres proporcionen la mateixa informació,
n’hi ha que s’aproximen més que altres a la població.
Com que la inferència utilitza una única mostra, hi ha el problema de valorar la
qualitat de la informació mostral.
L’elecció d’aquesta única mostra, com que s’utilitza un mètode aleatori, depèn
exclusivament de l’atzar. És una variable aleatòria.
61
Distribució de probabilitat d’un valor mostral
Cada valor mostral és una variable aleatòria, per tant, podem fer-ne la distribució
de probabilitat.
Tot valor mostral xi seguirà la mateixa distribució de probabilitat que la població.
L’esperança de la distribució de probabilitat de cada valor mostral és igual a la
mitjana poblacional.
E [xi ] = µ
La variància de la distribució de probabilitat de cada valor mostral és igual a la
variància de la població.
2
i
V [x ] = σ
Estadístic
És qualsevol funció efectuada amb els valors mostrals.
Estadístics més importants: les característiques mostrals (x, p, etc.).
Tot estadístic serà també una variable aleatòria i tindrà una distribució de
probabilitat.
Distribució de probabilitat de la mitjana mostral
La mitjana mostral és una variable aleatòria.
x =
x1 + x 2 + Λ + x n
n
L’esperança de la distribució de probabilitat de la mitjana mostral és igual a la
mitjana poblacional.
E[x] = µ
La variància de la distribució de probabilitat de la mitjana mostral és igual a la
variància poblacional dividida per la mida de la població.
V [x
La
distribució
de
la
mitjana
]=
mostral
σ 

N µ,

n 

62
σ
n
2
segueix
una
distribució
normal.
Exemple
Població. Distribució de probabilitat
Edat
21
22
23
24
25
Prob.
1/5
1/5
1/5
1/5
1/5
µ = 23
σ2 = 2
Mostres possibles, amb reemplaçament i mitjana mostral
21
(21,21)
21
(22,21)
21,5
(23,21)
22
(24,21)
22,5
(25,21)
23
21
22
23
24
25
σ
n
22
(21,22)
21,5
(22,22)
22
(23,22)
22,5
(24,22)
23
(25,22)
23,5
23
(21,23)
22
(22,23)
22,5
(23,23)
23
(24,23)
23,5
(25,23)
24
Mitjana mostral
21
21,5
22
22,5
Probabilitat
1/25
2/25
3/25
4/25
23
5/25
23,5
24
24,5
25
4/25
3/25
2/25
1/25
1
2
=
2
= 1
2
63
24
(21,24)
22,5
(22,24)
23
(23,24)
23,5
(24,24)
24
(25,24)
24,5
E [x ] = 23
V [x ] = 1
25
(21,25)
23
(22,25)
23,5
(23,25)
24
(24,25)
24,5
(25,25)
25
Mostres possibles, sense reemplaçament i mitjana mostral
21
21
22
23
24
25
σ
n
2
(22,21)
21,5
(23,21)
22
(24,21)
22,5
(25,21)
23
22
(21,22)
21,5
23
(21,23)
22
(22,23)
22,5
(23,22)
22,5
(24,22)
23
(25,22)
23,5
(24,23)
23,5
(25,23)
24
Mitjana mostral
21,5
22
22,5
Probabilitat
2/25
2/25
4/25
23
4/25
23,5
24
24,5
Total
4/25
2/25
2/25
1
24
(21,24)
22,5
(22,24)
23
(23,24)
23,5
25
(21,25)
23
(22,25)
23,5
(23,25)
24
(24,25)
24,5
(25,24)
24,5
E [x ] = 23
V [x ] = 0 , 75
N − n
2 5 − 2
=
= 0 , 75
N −1
2 5 −1
Distribució de probabilitat de la proporció mostral
La proporció mostral és una variable aleatòria.
L’esperança de la distribució de probabilitat de la proporció mostral és igual a la
proporció poblacional.
E [ pi ] = π
La variància de la distribució de probabilitat de la proporció mostral és:
V [p] =
π (1 − π )
n
Si la població és normal, la proporció mostral segueix una distribució normal:

π (1 − π ) 

N π ,

n


64
ESTIMACIÓ
Definició
Estimar un paràmetre poblacional és assignar-li un valor aproximat a partir de la
informació que ens dóna la mostra.
Estimar
1. Per punt. Donar un número com a estimació del paràmetre poblacional.
2. Per interval. Donar un interval on s’estima que es troba el vertader valor del
paràmetre poblacional amb una determinada probabilitat.
Estimador
Tota funció dels valors mostrals que ens serveix per estimar puntualment un
paràmetre poblacional.
Estimacions
Els diferents valors que obtenim en aplicar l’estimador a les diferents mostres.
Propietats dels estimadors
Asimptòticament no esbiaixat
No esbiaixat
lim E[x ] = µ
E[x] = µ
n→∞
Eficient. El que té la variància més petita.
Òptim = no esbiaixat + eficient
Consistent. Ha de ser no esbiaixat o asimptòticament no esbiaixat i la variància ha
de tendir a zero quan n tendeix a infinit.
Estimadors puntuals
Població
Mostra
µ
x
σ
π
ŝ
p
Estimació per interval
Donar un interval on s’estima que es troba el vertader valor del paràmetre
poblacional amb una determinada probabilitat.
D’aquesta probabilitat que serà la probabilitat d’encertar se’n diu nivell de
confiança (1- α ). α és el nivell de significació o probabilitat d’errar.
65
Per una mateixa mida de la mostra, en augmentar el nivell de confiança, augmenta
la longitud de l’interval.
El més habitual és treballar amb nivells de confiança del 95 % i del 99 %.
Hi ha una relació inversa entre la mida de la mostra i la longitud de l’interval.
Mitjana poblacional µ
σ coneguda
σ desconeguda
x ± zα
σ
/ 2
n
s
sˆ
= x ± t (n −1 )α / 2
n −1
n
x ± t (n −1 )α / 2
Proporció poblacional π
π desconegut
p ± zα
/ 2
p .q
n
Diferència de mitjanes µ1 - µ2
Variàncies desconegudes
σ1 ≈ σ2
(n > 30)
(x 1
Variàncies desconegudes
σ1 ≈ σ2
(n ≤ 30)
( x1 − x 2 ) ± t ( n + n
− x 2 ) ± t ( n 1 + n 2 − 2 )α
1
S
2
p
66
=
∑ (x
1
/2
Sp
2 − 2 )α / 2
− x1
)2
+
n1 + n
∑ (x
2
− 2
sˆ12
sˆ 22
+
n1
n2
1
1
+
n1 n 2
2
− x
2
)2
Diferència de proporcions π1 - π2
( p1 −
Vàlid per a valors grans de n1 i n2
p 2 ) ± zα / 2
p1 q1 p 2 q 2
+
n1
n2
Grandària de la mostra
L’estadística proporciona les millors fórmules per trobar una mostra que sigui
representativa de la població.
Les fórmules es deriven de les de l’estimació per intervals.
Abans de calcular la fórmula s’ha de decidir:
1. Nivell de confiança al qual volem treballar (95 %, 99 %, etc.).
2. Marge d’error sobre el paràmetre poblacional que estem disposats a
assumir; se simbolitza amb d (±1, ±2, etc.).
Les fórmules que utilitzarem són les següents:
Una mostra
Per µ
σ coneguda
Interval
pobl. infinita
pobl. finita
pobl. infinita
σ
desconegud
a
Pobl. finita
x ± z α/2 . σ
n
x ±z
α /2
x ±t
x ±t
α /2
α /2
. σ
n
n=
N-n
N-1
. s
n
. s
n
n=
n=
N-n
N-1
z α /2 2 . σ2
d2
z α /2 2 . σ2. N
d2 . N - 1 + z α /2 2 . σ2
zα/2 2 . S
Pobl. infinita
Pobl. finita
p ± zα/2
p ± z α /2
0,25
n
0,25
n
67
2
d2
2
z α /2 2 . S . N .
n=
d2 . N - 1 + z α /2 2 . S
Interval
Per π
π
desconegut
Mida
2
Mida
n≅
N-n n ≅
N-1
1
d2
es pren p = q = 0,5
N
d . (N - 1) + 1
2