MATEMATICAS FINANCIERAS Renta temporal constante prepagable Una vez que hemos visto como se valora una renta unitaria, veremos como se valora una renta de importes constantes. El valor actual "Vo" de una renta temporal prepagable de términos constantes de cuantía "C" será: Vo = C * Áo Por lo que: Vo = C * (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 500.000 pesetas, durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%: Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 Luego, 1 + 0,12 = (1 + i2)^2 Luego, i2 = 5,83% Una vez que tenemos el tipo de interés semestral, vamos a aplicar la fórmula del valor actual, Vo = C * (1 + i2) * ((1 - (1 + i2)^-n)/ i2) luego, Vo = 500.000*(1 + 0,0583)*((1 - (1 + 0,0583)^-10)/0,0583) "n" es 10, ya que 5 años tienen 10 semestres (todo va en base Periodo Importe (ptas) 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 semestral). luego, Vo = 3.926.151 ptas. El valor actual de esta renta es de 3.926.151 ptas. Para calcular el valor final "Vn" Vn = C * Sf Por lo que: Vn = C * (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) Veamos un ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior: Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i2) * (((1 + i2)^n - 1) / i2) luego, Vn = 500.000*(1+0,0583)*(((1 + 0,0583)^10 - 1) / 0,0583) luego, Vn = 500.000 * 13,8384 luego, Vn = 6.919.185 ptas. Luego el valor final de esta renta es 6.919.185 ptas. Renta perpetua constante La renta perpetua constante es aquella de duración infinita, en la que los importes de capital son siempre iguales (p.e. un título de deuda pública a perpetuidad a tipo fijo). Al igual que las rentas temporales, las rentas perpetuas pueden ser pospagables (los importes se originan al final de cada subperiodo) o prepagables (se originan al principio de los subperiodos). A) RENTAS PERPETUAS POSPAGABLES Comenzaremos viendo el caso más sencillo, el de las rentas unitarias: Periodo Importe (ptas) 1 2 3 4 5 ..... ..... ..... ..... ..... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por APo. Vamos descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 4 1 1 / ( 1 + i )^4 5 1 1 / ( 1 + i )^5 ..... 1 1 / ( 1 + i )^.... ..... 1 1 / ( 1 + i )^.... ..... 1 1 / ( 1 + i )^.... La suma de todos los importes descontados es el valor actual APo. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: APo = 1 / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%: Aplicamos la fórmula APo = 1 / i MATEMATICAS FINANCIERAS luego, APo = 1 / 0,16 luego, APo = 6,25 ptas. Si en lugar de una renta unitaria, estamos analizando una renta de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será: Vo = C * APo = C / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%: Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 Luego, 1 + 0,10 = (1 + i2)^2 Luego, i2 = 4,88% Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i luego, Vo = 1.000.000 / 0,0488 luego, Vo = 20.491.803 ptas. En las rentas perpetuas no se puede calcular valor final (ya que nunca finalizan). B) RENTAS PERPETUAS PREPAGABLES Periodo Importe (ptas) 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 Calculamos el valor actual de una renta unitaria, que representaremos por Po. Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1 2 1 1/(1+i) 3 1 1 / ( 1 + i )^2 4 1 1 / ( 1 + i )^3 5 1 1 / ( 1 + i )^4 ..... 1 1 / ( 1 + i )^.... ..... 1 1 / ( 1 + i )^.... ..... 1 1 / ( 1 + i )^.... Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Po = (1 + i) / i Veamos un ejemplo: Supongamos una renta perpetua anual prepagable de 1 peseta, con un tipo de interés anual del 16%: Aplicamos la fórmula Po = (1 + i) / i luego, Po = (1 + 0,16) / 0,16 luego, Po = 7,25 ptas. Si la renta es de importe constante "C", entonces la fórmula del valor actual será: Vo = C * Po = C * (1 + i) / i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral prepagable de 1.000.000 ptas., con un tipo de interés anual del 10%: Aplicamos la fórmula de valor actual, Vo = C * (1 + i) / i luego, Vo = 1.000.000 * 1,0488 / 0,0488 luego, Vo = 21.491.803 ptas. La relación entre el valor actual de una renta perpetua pospagable APo y el de una renta perpetua prepagable Po es la siguiente: Po = (1 + i) * APo Comprobar esta relación con el ejemplo de la renta unitaria. Renta diferida y anticipada La renta diferida es aquella cuyo valor inicial se calcula con anterioridad al comienzo de la renta. Por ejemplo: calculo hoy el valor de un contrato de alquiler que se va a poner en vigor dentro de 6 meses. La renta anticipada es aquella en la que se calcula su valor final en un momento posterior a la finalización de la renta. Por ejemplo: calculo hoy el valor de una serie de depósitos mensuales que fui realizando en un banco y que finalicé hace unos meses. En la modalidad de renta diferida, lo que varía respecto a los modelos que hemos venido analizando es el calculo del valor inicial, ya que el valor final coincide con la terminación de la renta (al igual que en los modelos que hemos visto). En la renta anticipada, la peculiaridad está en el cálculo del valor final, ya que el valor inicial coincide con el comienzo de la renta . Estas modalidades de renta diferida o anticipada pueden darse en los distintos supuestos de renta constante que hemos estudiado: MATEMATICAS FINANCIERAS Una renta diferida puede ser una renta temporal (prepagable o pospagable), o una renta perpetua (también prepagable o pospagable). Por su parte, la renta anticipada sólo puede darse en rentas temporales, nunca en el supuesto de rentas perpetuas, ya que estas no terminan nunca. Vamos a analizar ahora en que medida estas peculiaridades afectan al cálculo del valor actual de la renta. A) RENTA DIFERIDA Vamos a suponer que entre el momento de la valoración y el momento del inicio de la renta transcurren "d" periodos. Luego la diferencia con los modelos que hemos analizado, en los que se descontaban los importes hasta el momento de inicio de la renta, está en que en el caso de la renta diferida hay que descontar cada importe "d" periodos adicionales. Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable: Periodo x x 1 Periodo Importe (ptas) Importe descontado Importe descontado (Renta normal) (Renta diferida) 1/(1+i) 1 / ( 1 + i )^1+d 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 2 1 / ( 1 + i )^2 1 / ( 1 + i )^2+d 3 1 / ( 1 + i )^3 1 / ( 1 + i )^3+d ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 / ( 1 + i )^n-2 1 / ( 1 + i )^n-2+d n-1 1 / ( 1 + i )^n-1 1 / ( 1 + i )^n-1+d n 1 / ( 1 + i )^n 1 / ( 1 + i )^n+d Luego, el valor actual sería el siguiente: Valor actual Renta normal Renta diferida Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) Este mismo razonamiento se aplica en todos los caso. En el siguiente cuadro se presentan las fórmulas del valor inicial de una renta diferida en los distintos supuesto: Tipo de renta Renta normal Renta diferida Temporal Ao = (1 - (1 + i)^-n)/i pospagable d/ Ao = (1+i)^-d * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) Temporal o = (1 + i) * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) prepagable d/ o = (1+i)^-d+1 * ((1 - (1 + i)^-n)/i) Perpetua APo = 1 / i pospagable d/ APo = (1+i)^-d / i Perpetua Po = (1 + i) / i prepagable d/ Po = (1+i)^-d+1 / i Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua anual pospagable de 300.000 pesetas, con un tipo de interés anual del 16%, y que se encuentra diferida 2 años: Aplicamos la fórmula Vo = C * d/APo luego, Vo = 300.000 * (1+0,16)^-2 / 0,16 luego, Vo = 1.393.430 ptas. Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta semestral prepagable de 1.000.000 ptas. durante 7 años, con un tipo de interés anual del 8%, y que se encuentra diferida 3 años: Como los importes son semestrales tendremos que utilizar la base semestral Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 luego, 1 + 0,08 = (1 + i2)^2 luego, i2 = 3,92% Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/o luego, Vo = C * (1+i2)^-d+1 * ((1 - (1 + i2)^-n)/i2) luego, Vo = 1.000.000*(1,0392)^-6+1 * ((1 - (1,0392)^-14)/0,0392) MATEMATICAS FINANCIERAS (los periodos van expresados en semestres) luego, Vo = 1.000.000*0,825*10,619 luego, Vo = 8.760.783 ptas. Renta diferida y anticipada (II) B) RENTA ANTICIPADA Comentamos en la lección anterior que en las rentas anticipadas, lo que varía respecto a los modelos normales que hemos analizado es el cálculo del valor final, ya que el cálculo del valor inicial es el mismo. Vamos a suponer que entre el momento final y el de la valoración transcurren "k" periodos. La diferencia en el cálculo del valor final está en que en los modelos normales los importes se capitalizan hasta el momento final de la renta, mientras que en la renta anticipada cada importe hay que capitalizarlo "k" periodos adicionales. Veamos un ejemplo con una renta unitaria pospagable: Periodo Importe capitalizado Importe capitalizado x x (Renta normal) (Renta anticipada) Periodo Importe (ptas) 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 1 1 * ( 1 + i )^n-1 1 * ( 1 + i )^n-1+k 2 1 * ( 1 + i )^n-2 1 * ( 1 + i )^n-2+k 3 1 * ( 1 + i )^n-3 1 * ( 1 + i )^n-3+k ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 * ( 1 + i )^2 1 * ( 1 + i )^2+k n-1 1 * ( 1 + i )^1 1 * ( 1 + i )^1+k n 1 1 * ( 1 + i )^k Luego, el valor final sería el siguiente: Valor final Renta normal Renta anticipada Sf = ((1 + i)^n - 1) / i k/ Sf = (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i) Este mismo razonamiento se aplica también en el caso de la renta prepagable: Valor final Renta normal Renta anticipada Sf = (1 + i) * (((1 + i)^n - 1) / i) k/ Sf = (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i) Hemos comentado en la lección anterior, que la modalidad de renta anticipada sólo se puede dar en las rentas temporales, pero no en las rentas perpetuas, ya que estas no finalizan, por lo que no se puede calcular un valor final. Ejemplo: Calcular el valor final de una renta perpetua anual pospagable de 500.000 pesetas, de 6 años de duración, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 4 años: Aplicamos la fórmula del valor final Vn = C * k/Sf luego, Vn = C * (1 + i)^k*(((1 + i)^n - 1) / i) luego, Vn = 500.000 * (1+0,12)^4 * (((1,12)^6 -1)/0,12) luego, Vn = 500.000 * 1,5735 * 8,1152 luego, Vn = 6.384.625 ptas. Ejemplo: Calcular el valor final de una renta trimestral prepagable de 150.000 ptas. durante 5 años, con un tipo de interés anual del 12%, y que se encuentra anticipada 2 años y medio: Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral Tipo de interés trimestral: 1 + i = (1 + i4)^4 luego, 1 + 0,12 = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,874% Aplicamos ahora la fórmula de valor final, Vn = C * k/Sf luego, Vn = C * (1 + i)^1+k * (((1 + i)^n - 1)/i) luego, Vn = 150.000*(1,02874)^1+10 * (((1,02874)^20 -1 )/ 0,02874) (los periodos van expresados en trimestres) luego, Vn = 150.000*1,3657*26,5286 luego, Vn = 5.434.521 ptas. MATEMATICAS FINANCIERAS Rentas constantes: Ejercicios • Ejercicio 1: Tenemos una renta pospagable de 500.000 ptas. semestrales, durante 4 años, y se le aplica un tipo de interés del 10% anual. Calcular el valor actual Calcular el valor final Ver la relación entre valor actual y valor final • Ejercicio 2: El mismo ejercicio anterior, pero suponiendo que la renta es prepagable. • Ejercicio 3: Calcular el valor inicial de una renta perpetua pospagable de 100.000 ptas. mensual, aplicando un tipo de interés anual del 8% anual. • Ejercicio 4: Tenemos una renta trimestral de 200.000 ptas., prepagable, con una duración de 4 años, y se le aplica un tipo de interés anual del 10%. La renta se encuentra diferida 2 años. Calcular el valor inicial Calcular el valor final SOLUCIONES Ejercicio 1: A) Valor inicial Como la renta es semestral, hay que utilizar la base semestral Periodo Importe (ptas) 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16 Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i2)^2 luego, 1 + 0,1 = (1 + i2)^2 luego, i2 = 4,881% Aplicamos la fórmula Vo = C * ((1 - (1 + i)^-n)/ i) luego, Vo = 500.000 * (1 - (1,04881)^-8) / 0,04881) luego, Vo = 500.000 * 6,4944 luego, Vo = 3.247.209 ptas. B) Valor final Aplicamos la fórmula Vn = C * (((1 + i)^n - 1) / i) luego, Vn = 500.000 * (((1,04881)^8- 1) / 0,04881) luego, Vn = 500.000 * 9,5086 luego, Vn = 4.754.281 ptas. C) Relación entre el valor inicial y el valor final Tenemos que verificar la fórmula Sf = Ao (1 + i)^n luego, 4.754.281 = 3.247.209 * 1,464 luego, 4.754.281 = 4.754.281 Por lo tanto, se verifica la relación Ejercicio 2: Vamos a suponer ahora que la renta es prepagable Ejercicio 3: Como la renta es mensual, hay que utilizar la base mensual Tipo de interés mensual: 1 + i = (1 + i12)12 luego, 1 + 0,08 = (1 + i12)^12 luego, i12= 0,643% Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C / i luego, Vo = 100.000 / 0,00643 luego, Vo = 15.552.100 ptas. Ejercicio 4: A) Valor inicial Como los importes son trimestrales tendremos que utilizar la base trimestral Tipo de interés semestral: 1 + i = (1 + i4)^4 luego, 1 + 0,1 = (1 + i4)^4 luego, i4 = 2,411% Aplicamos ahora la fórmula de valor actual, Vo = C *d/o luego, Vo = C * (1+i4)^-d+1 * ((1 - (1 + i4)^-n)/i4) luego, Vo = 200.000 * (1,02411)^-8+1 * ((1 - (1,02411)^-16)/0,02411) (los periodos van expresados en trimestres) luego, Vo = 200.000 * 0,8464 * 13,146 luego, Vo = 2.225.325 ptas. B) Valor final El valor final de una renta diferida coincide con el de una renta normal, en este caso, con el correspondiente a una renta prepagable MATEMATICAS FINANCIERAS Aplicamos la fórmula Vn = C * (1 + i4) * (((1 + i4)^n - 1) / i4) luego, Vn = 200.000 * (1 + 0,02411) * (((1 + 0,2411)^16- 1) / 0,02411) luego, Vn = 200.000 * 1,02411 * 19,246 luego, Vn = 3.941.958 ptas. Periodo Importe (ptas) 1 2 3 ..... ..... ..... ..... n-2 n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vamos a calcular su valor actual, que representaremos por Ao. Para ello tenemos que traer cada uno de los importes al momento actual. Aplicaremos la ley de descuento compuesto: Cf = Co * ( 1 + d ) ^ -t que es equivalente a: Cf = Co / ( 1 + d ) ^ t Vamos a ir descontando cada importe: Periodo 1 Importe Importe descontado 1 1/(1+i) 2 1 1 / ( 1 + i )^2 3 1 1 / ( 1 + i )^3 ..... ..... ..... ..... ..... ..... n-2 1 1 / ( 1 + i )^n-2 n-1 1 1 / ( 1 + i )^n-1 n 1 1 / ( 1 + i )^n La suma de todos los importes descontados es el valor actual Ao. Si realizamos esta suma y simplificamos, llegamos a: Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i Veamos un ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 peseta, durante 7 años, con un tipo de interés del 16%: Aplicamos la fórmula Ao = (1 - (1 + i)^-n)/ i luego, Ao = (1 - (1 + 0,16)^-7)/0,16
