CAPITULO 5 Parte 1 (1)

Profesor: Ing. Pedro Rojas Cruz
M. Sc. Ph. D.
Curso: Diseño Estructural
CAPITULO 5
REQUERIMIENTOS DE DISEÑO PARA ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS
(Ref. ASCE 7-10, NEC 2015)
INTRODUCCIÓN
5.1



En este capítulo se presentarán los requerimientos para el análisis y diseño sísmico de
las estructuras para edificios y sus componentes.
La estructura debe incluir un sistema COMPLETO resistente a cargas verticales (D,
L) y laterales (E, W).
La estructura debe poseer adecuada resistencia, rigidez y capacidad de disipación de
energía (ductilidad) a fin de resistir los movimientos del terreno de diseño
5.1.1 DISEÑO Y DEFORMACIONES

Los elementos deben tener resistencia adecuada a:
-


Flexión
Cortante
Axial
Flexo-compresión o Flexo-tensión
Las conexiones deben desarrollar la resistencia de los miembros conectados.
La estructura debe satisfacer los límites de derivas entrepiso ante cargas laterales.
5.1.2 TRAYECTORIA DE CARGA CONTINUA


Trayectoria de carga debe ser continua y tener adecuada resistencia y rigidez para
transferir todas las cargas desde el punto de aplicación hasta el punto final de
resistencia.
Conexiones deben ser capaces de transmitir la fuerza sísmica (𝐹𝑝 ) desarrollada por
los elementos conectados.
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SELECCIÓN DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
5.2
5.2.1 SELECCIÓN Y LIMITACIONES SEGÚN EL ASCE 7-10




Los sistemas básicos laterales y verticales resistentes a cargas sísmicas deben sujetarse
a uno de los “tipos” indicados en la tabla 12.2-1 o a una combinación sistemas según
lo permitido en las secciones 12.2.2 a 12.2.4.
Cada tipo es subdividido en función de los elementos verticales usados para resistir
las cargas sísmicas laterales.
El sistema estructural usado deberá estar de acuerdo con la Categoría de Diseño
Sísmico (CDS) y las limitaciones de altura indicadas en la tabla 12.2.1.
Sistemas estructurales:
A: Sistemas de Muros Portantes.
B: Sistemas Combinados de Pórticos.
C: Sistemas con Pórticos Resistentes a Momento.
D: Sistema Dual con Pórticos Especiales a Momento capaces de resistir
por lo menos el 25% de las cargas sísmicas prescritas.
E: Sistemas Dual con Pórticos Intermedios a Momento capaces de resistir por
lo menos al 25% de las fuerzas sísmicas prescritas.
F: Sistemas de interacción pórtico-muro de corte con pórticos y muros de corte
ordinarios de concreto reforzado.
G: Sistemas con columnas en voladizo.
H: Sistemas de acero estructural no detallados específicamente para
proporcionar resistencia sísmica.

La Tabla 12.2-1 presenta coeficientes y factores de diseño:
R = Coeficiente de modificación de respuesta.
Ω0 = Factor de sobre-resistencia.
Cd = Factor de amplificación de deflexión.
R, Ω0 y Cd se utilizan para determinar el cortante basal, las fuerzas de diseño de los
elementos y la deriva de entrepiso de diseño.
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
𝛺0 =
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝑉𝑑𝑖𝑠
(5.1)
La sobre-resistencia del sistema se da por consideraciones estructurales en la etapa
de diseño, la sobre-resistencia del material y del sistema.


𝛿𝑥𝑒 = 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑉
𝛿𝑥𝑖 = desplazamiento real de la estructura debido a la incursión en el rango
inelástico.
𝛿𝑥𝑖 =
𝐶𝑑 ×𝛿𝑥𝑒
𝐼
(5.2)
3
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5.2.2 SELECCIÓN DEL SISTEMA ESTRUCTURAL EN LA NEC 2015




Los sistemas básicos laterales y verticales resistentes a cargas sísmicas deben sujetarse
a uno de los tipos indicados en las Tabla 15 y 16 (2.14 en la NEC 2011).
Vigas descolgadas o peraltadas son aquellas cuyo peralte es mayor al de la losa.
Vigas bandas o chatas son aquellas cuyo peralte es igual al de la losa por lo que
también se las conoce como vigas perdidas en la losa.
La NEC 2011da valores R más apropiados que los que constan en el CEC 2001. Los
valores R del CEC 2001 en general son demasiados altos y contiene errores
conceptuales como por ejemplo el de considerar R = 7 para acero conformado en frio.
Tabla 15 Coeficiente de Reducción de Resistencia Sísmica
(Tomado de la NEC 2015)
Tabla 16 Coeficiente de Reducción de Resistencia Sísmica
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(Tomado de la NEC 2015)
Tabla 2.14 Coeficiente de Reducción de Respuesta Estructural
(Tomado de la NEC 2011)
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5.3
NIVELES DE FUERZAS DE DISEÑO
𝑉 = 𝐶𝑠 × 𝑊
(5.3)
Cs = Coeficiente de respuesta sísmica
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5.3.1 SEGÚN ASCE 7-10
a) Determinación de Cs
𝐶𝑠 =
𝑆𝐷𝑆
(5.4)
𝑅
𝐼𝑒
en donde SDS (11.4.4), R (T. 12.2-1) e Ie (11.5.1) fueron definidos en el capítulo 4.
𝐶𝑠 ≤
𝑆𝐷1
𝑅
𝐼𝑒
𝑇×
ó
𝐶𝑠 ≤
𝑆𝐷1 ×𝑇𝐿
𝑅
𝐼𝑒
𝑇 2 ×( )
para T≤ 𝑇𝐿
(5.5)
para T > 𝑇𝐿
(5.6)
𝐶𝑠 ≥ 0.044 𝑆𝐷𝑆 𝐼𝑒 ≥ 0,01
(5.7)
Si 𝑆1 ≥ 0,6 𝑔; entonces:
𝐶𝑠 ≥
0,5×𝑆1
(5.8)
𝑅
𝐼𝑒
b) Determinación de T [12.8.2] (Periodo fundamental de la estructura).
Método 1: Análisis Modal (SAP 2000)
En este método, T es determinado por medio de un análisis modal (SAP 2000)
𝑇 ≤ 𝐶𝑢 × 𝑇𝑎
(5.9)
𝑇𝑎 : Periodo aproximado de la estructura
𝐶𝑢 : Coeficiente para límite superior en la determinación del periodo [T.12.8-1]
𝑇𝑎 = 𝐶𝑡 × ℎ𝑛𝑥
(5.10)
ℎ𝑛 : Altura en pies del edificio
SD1
≥ 0.4
0.3
0.2
0.15
≤ 0.1
Cu
1.4
1.4
1.5
1.6
1.7
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Tipo de Estructura
PARM
PCRM
PAAE y PAARP
Otros sistemas
Ct
0.028 (0.0724)
0.016 (0.0466)
0.03 (0.0731)
0.02 (0.0488)
x
0.8
0.9
0.75
0.75
Los valores en paréntesis son en el sistema métrico
PARM = Pórticos de Acero Resistentes a Momento
PCRM = Pórticos de Concreto Resistentes a Momento
PAAE = Pórticos de Acero Arriostrados Excéntricamente
PAARP = Pórticos de Acero Arriostrados Restringidos al Pandeo
Método 2: Sin Análisis modal
𝑇 = 𝑇𝑎
(5.11)
𝑇𝑎 = 0.1 𝑁
(5.12)
(5.12) se aplica siempre que se cumplan las 3 condiciones siguientes:



PARM o PCRM
N≤ 12 pisos
ℎ𝑥 ≥ 3 𝑚 𝑑𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑖𝑠𝑜𝑠
Explicación gráfica de métodos 1 y 2
Método 1:
Caso a
Caso b
Método 2:
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Para estructuras con muros de hormigón o mampostería, Ta puede calcularse como:
(5.13)
(5.14)
AB = área de la base de la estructura en p2.
Ai = área del alma del muro cortante i en p2.
Di = Longitud del muro cortante i en p2.
hi = altura del muro cortante i en pies.
x = número de muros cortantes efectivos en el edificio que resisten las fuerzas laterales en la
dirección de análisis
c)
Determinación de W [12.7.2]
El peso sísmico efectivo W de una estructura debe incluir la carga muerta total
wD+wPP y las siguientes cargas.
1. En áreas de bodega y almacenes: un mínimo de 0.25 wL; excepción: en garajes
públicos y estructuras de parqueos (pienso que si se debe incluir).
2. Peso de operación total del equipo permanente (wep).
𝑊 = (𝑤𝐷 + 𝑤𝑃𝑃 + 0.25𝑤𝐿 + 𝑤𝑒𝑝 ) × 𝐴 × 𝑁
(5.15)
ton/m2
A: área de piso
N: número de pisos
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Ejemplo 5.1: Para el edificio de oficinas de las figuras, compuesto por PCRM determinar:
a)
b)
c)
d)
El periodo de los estructura T
El peso sísmico efectivo W
El coeficiente de respuesta sísmica Cs
El cortante basal sísmico
Asuma los mismos datos del ejemplo 4.1)
A
B
C
4
3
3m
Nervios
5m
3m
3
2
5m
3m
2
4m
1
1
5m
A = 10 x 10 = 100m2;
5m
hn = 13 m = 42.64’
a) El periodo de los estructura T
Usamos el método 2:
𝑇 = 𝑇𝑎
(5.11)
𝑇𝑎 = 𝐶𝑡 × ℎ𝑛𝑥
(5.10)
𝑇𝑎 = 0.1 𝑁
(5.12); se cumplen las 3 condiciones
PCRM
𝑇𝑎 = 0.016 × (42.64)0.9= 0.47 s.
𝑇𝑎 = 0.1 (4) = 0.4 𝑠.
T será el promedio de Ta:
𝑇 = (0.47 + 0.40)/2
𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟑𝟓 𝒔 //
b) El peso sísmico efectivo W
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Determinamos WD. Para 5.00 m; uso Tabla 9.5(a) del ACI
hmin= l / 18.5 (un extremo continuo)
hmin= 5 / 18,5
hmin= 0.27 m
adopto
hmin= 0,30m //
Con h=0.30m ver Sección 1.2.2.1:
-wD =0.74
-Peso propio de la viga: wpp ≈ 0.25 a 0.40
-wD+ wpp = 0.70 + 0.34 = 1.04
𝑡𝑜𝑛
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
;
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
(Tabla capítulo 1)
Adoptamos wpp = 0.30
𝑚2
Adoptamos wD + wpp = 1.05
𝑡𝑜𝑛
𝑚2
𝒕𝒐𝒏
𝒎𝟐
-wL = 0
-wep = 0
(5.15): 𝑊 = (𝑤𝐷 + 𝑤𝑃𝑃 + 0.25𝑤𝐿 + 𝑤𝑒𝑝 ) × 𝐴 × 𝑁
𝑊 = (1.05 + 0 + 0 ) 𝑥 100 𝑥 4
𝑾 = 𝟒𝟐𝟎 𝒕𝒐𝒏
c) Coeficiente de respuesta sísmica Cs
Para T = 0.435 s:
R=8;
Región 2: De (5.4):
SDS = 1.0;
Ie = 1;
SD1 = 0.43
(Ver Ejemplo 4.1)
(Ver Ejemplo 4.3)
1
𝐶𝑠 = 8⁄ = 0.125
1
Región 3: De (5.5):
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𝐶𝑠 ≤
𝑆𝐷1
𝑇𝑥
𝑅
𝐼𝑒
𝐶𝑠 ≤
0.435
0.435 𝑥
8
1
≈ 0.125;
Ok
De (5.7): 𝐶𝑠 ≥ 0.044𝑥1.0𝑥 1 = 0.044 > 0.01; 𝑂𝐾
No se aplica (5.8) ya que S1< 0.6g
Adoptar 𝑪𝒔 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟓
= 𝟏𝟐. 𝟓%
d) Cortante Basal Sísmico V
Aplicar (5.3):
𝑉 = 𝐶𝑠 𝑥 𝑊
𝑉 = 0.125 𝑥 420
𝑽 = 𝟓𝟐. 𝟓 𝒕𝒐𝒏
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5.3.2 SEGÚN NEC 2011 [Sección 2.7.2]
𝑉 = 𝐶𝑠 × 𝑊
(5.3)
a) Determinación de Cs [2.7.2.1]
𝑪𝒔 =
𝑰𝑺𝒂
(5.16)
𝑹𝝋𝑷 𝝋𝑬
en donde I, Sa y R fueron ya definidos en el Capítulo 4. P y E son factores de
configuración estructural en planta y en elevación, definidos en [2.6.6 y 2.6.7]. Para
este curso asumiremos generalmente que los valores de P y E son iguales a 1.0.
b) Determinación de T [2.7.2.2] (Periodo de vibración T de la estructura).
Método 1: En este método, T es determinado por medio de la expresión:
𝑇 = 𝐶𝑡 × ℎ𝑛∝
(5.17)
hn = altura del edificio total en metros
Tipo de Estructura
PARM
PCRM
PAA
Ct
0.072
0.047
0.073

0.8
0.9
0.75
PCRM con muros estructurales o
diagonales y para otras estructuras
con muros estructurales y
mampostería estructural
0.049
0.75
Alternativamente, para estructuras que tengan muros estructurales de hormigón armado o
mampostería estructural, el valor de Ct puede calcularse mediante la siguiente expresión y el
valor de  es 1.0.
(5.18)
AB = área de la base de la estructura en m2.
Awi = área del alma del muro cortante i en el primer nivel de la estructura en m2.
Iwi = Longitud del muro cortante i en el primer nivel en m2.
hwi = altura del muro cortante i en metros desde la base.
nw = número de muros cortantes efectivos en el edificio que resisten las fuerzas
laterales en la dirección de análisis
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Método 2: En este método, T es determinado por medio de la expresión:
(5.19)
fi representa cualquier distribución aproximada de las fuerzas laterales en el piso i, de acuerdo
a los principios descritos más adelante, o cualquiera otra distribución racional.
i es la deflexión elástica del piso i, calculada utilizando las fuerzas laterales fi.
El valor de T calculado según el método 2 no debe ser mayor en un 30% al valor de T
calculado con el método 1.
c) Determinación de W [2.7.1.1]
La carga sísmica reactiva W de una estructura debe incluir la carga muerta total
wD+wPP, 0.25 wL y las siguientes cargas.
1. En áreas de bodega y almacenes: 0.50 wL(en lugar de 0.25 wL).
𝑊 = (𝑤𝐷 + 𝑤𝑃𝑃 + 0.25𝑤𝐿 ) × 𝐴 × 𝑁
(5.20)
ton/m2
A: área de piso
N: número de pisos
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Ejemplo 5.2: Repita el Ejercicio 5.1 asumiendo suelo firme, edificio localizado en
Guayaquil. Refiérase al Ejercicio 4.2 y use la NEC 2011.
a) El periodo de los estructura T
𝑻 = 𝑪𝒕 × 𝒉𝜶𝒏
𝑻 = 0.047 × 130.9
𝑻 = 𝟎. 𝟒𝟕 𝒔
b) La carga sísmica reactiva W
(5.20): 𝑊 = (𝑤𝐷 + 𝑤𝑃𝑃 + 0.25𝑤𝐿 ) × 𝐴 × 𝑁; ver ejemplo 5.1 y Sección 1.2.2.1
wD = 1.05 ton/m2 y wL = 0.25 ton/m2.
𝑾 = (1.05 + 0.25 ∗ 0.25) × 100 × 4
W = 1.113x 400 = 445 ton
c) Coeficiente de respuesta sísmica Cs
𝑪𝒔 =
𝑰𝑺𝒂
(5.16)
𝑹𝝋𝑷 𝝋𝑬
De ejemplo 4.2:
Z = 0.4
Para T = 0.47 s,
I = 1;
R = 6;
P y E son iguales a 1.0
(para Guayaquil; ver ejemplo 4.2)
Sa = 0.864
(ver ejemplo 4.3)
𝐶𝑠 =
1 ∗ 0.864
6∗1∗1
𝐶𝑠 = 0.144 = 14.4%
d) Cortante Basal Sísmico V
Aplicar (5.3):
V = Cs x W
V = (0.0144) (445)
V = 64.08 ton
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5.4
DISTRIBUCION VERTICAL DE FUERZAS SISMICAS
 Una vez determinado el cortante basal, debe definirse cuáles son las fueras
individuales aplicadas en cada masa (piso), las que sumadas dan lugar a dicho cortante
basal. Asumamos una distribución lineal de aceleraciones de cero en la base a ümax
en la cubierta.
a) Fuerzas Sísmicas y cortantes
de entrepiso
b) Distribución de
aceleraciones
c) Distribución de
cortantes de entrepiso
Figura xx. Distribución vertical de Fuerzas Sísmicas
De (3.1): 𝐹𝑖 = 𝑚𝑖 × 𝑢̈ 𝑖
ℎ
𝑢̈ 𝑖 = 𝑢̈ 𝑚𝑎𝑥 × 𝐻𝑖
𝐹𝑖 =
𝑊𝑖
𝑔
(a)
× 𝑢̈ 𝑖
𝑉 = ∑𝑁
𝑖=1 𝐹𝑖
(b)
(c)
Reemplazando (a) en (c):
𝐹𝑖 =
𝑊𝑖
𝑔
ℎ
× 𝑢̈ 𝑚𝑎𝑥 × 𝐻𝑖
𝑢̈
𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑖 = 𝑊𝑖 × ℎ𝑖 × ( 𝐻×𝑔
)
(d)
Notar que el paréntesis es constante
De (b) y (d):
𝑉 = ∑𝑁
𝑖=1 𝐹𝑖 ;
𝑉×𝐻 x 𝑔
𝑢̈ 𝑚𝑎𝑥 = ∑𝑁
𝑉=
𝑢̈ 𝑚𝑎𝑥
𝑖=1 𝑊𝑖 ×ℎ𝑖
(f) en (d):

𝑢̈ 𝑚𝑎𝑥
𝐻x𝑔
𝐻×𝑔
= ∑𝑁
𝑊𝑖 ×ℎ𝑖
𝐹𝑖 = ∑𝑁
× ∑𝑁
𝑖=1 𝑊𝑖 × ℎ𝑖
𝑖=1 𝑊𝑖 ×ℎ𝑖
𝑉
(f)
𝑖=1 𝑊𝑖 ×ℎ𝑖
×𝑉
(e)
(5.17)
En general, los pisos son muy rígidos en su plano, de manera que cada piso se moverá
como un cuerpo rígido y podrá considerarse que Fi actúa en el centro de masas (CM)
de cada piso. Cuando los pisos son muy rígidos se considera que cada piso es
infinitamente rígido.
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5.4.1 ASCE 7-10 [12.8.3]
𝐹𝑥 = 𝐶𝑣𝑥 × 𝑉
𝐶𝑣𝑥 =
𝑊𝑥 × ℎ𝑥 𝑥
𝑥
∑𝑛
𝑖=1 Wi ×ℎ𝑖
(5.18)
(5.19)
Fx = Fuerza sísmica lateral en el nivel x
Cvx = Factor de distribución vertical
Wi y Wx = Porción del peso sísmico efectivo total W localizado al nivel i o x
hi y hx = Altura (en pies o m) desde la base al nivel i o x
k = exponente relacionado al periodo de la estructura como sigue:
𝑘= 1
(
𝑘 = 0.5 𝑇 − 0.5) + 1
𝐾=2
𝑆𝑖 𝑇 ≤ 0.5 𝑠𝑒𝑔
𝑆𝑖 0.5 < 𝑇 < 2.5 𝑠𝑒𝑔
𝑆𝑖𝑇 ≥ 2.5 𝑠𝑒𝑔
5.4.2 CEC 2001 (6.3)
𝑛
𝑉 = 𝐹𝑡 + ∑ 𝐹𝑖
(5.21)
𝑖=1
𝐹𝑡 = 0,07 𝑇 × 𝑉 ≤ 0.25 𝑉
(5.22)
Ft = Fuerza concentrada adicional a aplicarse en el último piso de la estructura
Ft = 0
para 𝑇 ≤ 0.7 𝑠𝑒𝑔
𝑊𝑥 ℎ𝑥
( 𝑉 − 𝐹𝑡) (5.23)
ℎ𝑖
Fx = Fuerza en el nivel x de la estructura que debe aplicarse sobre toda el área del
edificio en ese nivel, de acuerdo a su distribución de masa en cada nivel
𝐹𝑥 =
∑𝑛𝑖=1 𝑊𝑖
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Ejemplo 5.3El edificio de oficinas de 5 niveles representado esquemáticamente en la
figura, está ubicado en la ciudad de Guayaquil en una zona identificada como de terreno
compresible. Las cargas son las siguientes:
Terraza: WD + Wpp = 0.64 𝑡𝑜𝑛 ⁄𝑚2 Otras plantas: WD + Wpp = 0.79𝑡𝑜𝑛 ⁄𝑚2
WL = 0.07 𝑡𝑜𝑛⁄𝑚2 WL = 0.25 𝑡𝑜𝑛⁄𝑚2
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a) Predimensionar las columnas del entrepiso inferior
b) Distribuir verticalmente las fuerzas sísmicas, usar especificaciones ASCE 7-05
Literal a)
Columna más crítica: e2 (mayor área de influencia Ai)
𝐴𝑖 =
7+6
5+4
×
2
2
= 6,5 × 4,5 = 29,25 𝑚2
𝑛
𝑃𝑖 = ∑ 𝑊𝑖 × 𝐴𝑖
𝑖=𝑥
En donde:
Pi = carga axial de servicio en columna al nivel i = x
Wi = Carga uniformemente distribuida que incluye la carga muerta y la carga viva
reducida

De acuerdo al ASCE 7 – 05: (4.8.1)
Si KLL x Ai ≥ 400 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 (37,16 𝑚2 ) la carga viva Lo se puede reducir a un valor L
dado por:
15
𝐿 = 𝐿𝑜 (0,25 +
(4.1)
√𝐾𝐿𝐿 × 𝐴𝑇
En SI:
4,57
𝐿 = 𝐿𝑜 (0,25 +
√𝐾𝐿𝐿 × 𝐴𝑖
En donde 𝐾𝐿𝐿 = factor de carga viva del elemento (Tabla 4-2)
Para una columna interior: 𝐾𝐿𝐿 = 4
𝐾𝐿𝐿 x Ai = 4 x 29,25 = 117 𝑚2 > 37,16 𝑚2
Reducir L a Lo
𝐿 = 0,25 (0,25 +
4,57
√117
1−𝐿
) = 0,17 𝑇⁄𝑚2
% Reducción = = ( 𝐿𝑜 ) 𝑥 100
≈ 32%
No reduciremos la carga viva de cubierta
𝑃1 = (0,64 + 0,07 ) 𝑥 29,25 + 4 (0,79 + 0,17)𝑥 29,25
𝑃1 = 20,77 + 28,08 = 133,09 𝑇
Ae = Área de sección transversal de columna
𝑃𝑖
𝐴𝑒 =
𝛼 𝑓′𝑐
19
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En donde α = 0,20 a 0,25 para diseño sismorresistente
Sea α = 0,20
𝐴𝑒 =
y
133.09
0,20 𝑥 0,28
𝑘𝑔
f’c = 280 𝑐𝑚2
=
2377 𝑐𝑚2
Sea b = 400 mm
ℎ=
2377
40
= 59,41 𝑐𝑚
ADOPTAR: columnas de 400 x 600 mm

De acuerdo al CEC 2001; se usa la tabla 6,1
N. de pisos soportados por
el elemento en análisis
1
2
3
4
5 a 10
> 10
% de Reducción
de L
0
10
20
30
40
50
Nótese que el CEC 2001 daría resultados similares
Literal b)
Paso 1: Determinar el cortante basal Vx y Vy
a) T =?
usamos método 2: Sin análisis modal
- Dirección x:
T = Ta
(5,11)
Ta = Ct * ℎ𝑛 𝑥 (5,10)
Ta = 0.1 N (usamos para PCRM, si N≤12 y hx ≥3m)
Ta = 0,016 (52,48)0,9 = 0,57𝑠𝑒𝑔
Ta = 0,1 (5) = 0,5 seg
Tx = 0,535 seg
- Dirección y:
Ta = 0,02 (52,48)0,75 = 0,39 𝑠𝑒𝑔
Ty = 0,39 seg
b) W = ?Aplicar fórmula 5,13 con N=1,0 (piso/piso)
𝑊1 = 𝑊2 = 𝑊3 = 𝑊4 = 0,79 × 247 = 𝟏𝟗𝟓 𝑻𝒐𝒏
20
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𝑊5 = 0,64 × 247 = 𝟏𝟓𝟖 𝑻𝒐𝒏
𝑊 = ∑ 𝑊𝑖 = 158 + 4 × 195 = 𝟗𝟑𝟖 𝑻𝒐𝒏
c) Hallar Cs
Ss = 1,50g ; Asumir suelo clase F
S1 = 0,60g
Fa = 0,90
Fv = 2,40
Ver cap. 4
(4,1)a = SMs = 0,9 (1,50) = 1,35
(4,1)b = SM1 = 2,40 (0,60) = 1,44
2
2
(4,2)a = SDs = 3(SMs) = 3 (1,35) = 0,90
2
2
3
3
(4,2)b = SD1 = (SM1) =
-
Dirección en x: R=8
(5,4) 𝐶𝑠 =
(5,5) 𝐶𝑠 ≤
0,90
8⁄ 𝑪𝒔
1
0,96
0,535 ×
8
1
(1,44) = 0,96
I=1 ; PCRM (especial)
= 𝟎, 𝟏𝟏
𝑪𝒔 ≤ 𝟎, 𝟐𝟐 𝒐𝒌
(5,7) 𝑪𝒔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟏 𝒐𝒌
(5,8)𝑆1 ≥ 0,6𝑔
→
𝐶𝑠 ≥
0,5 ×0,6
8⁄
1
𝑪𝒔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 𝒐𝒌
Adoptamos Csx = 0,11
-
Dirección en y:
(5,4) 𝐶𝑠 =
(5,5) 𝐶𝑠 ≤
0,90
5⁄ 𝑪𝒔
1
0,96
0,39 ×
5
1
R=5 I=1
= 𝟎, 𝟏𝟖
𝑪𝒔 ≤ 𝟎, 𝟒𝟗 𝒐𝒌
(5,7) 𝑪𝒔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟏 𝒐𝒌
21
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(5,8) 𝑆1 ≥ 0,6𝑔
→
𝐶𝑠 ≥
0,5 ×0,6
5⁄
1
𝑪𝒔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟔 𝒐𝒌
Adoptamos Csy = 0,18
d) V=?
- Direccion en x:
Vx = Csx x W
Vx = (0,11) x (938)
Vx = 103 Ton
- Direccion en y:
Vy = Csy x W
Vy = (0,18) x (938)
Vy = 169 Ton
Paso 2: Distribución vertical de la fuerza sísmica
a) K= ?
-
Direccion en x:
(5,20) Kx = 1⁄2 (𝑇 − 0,5) + 1
Kx = 1⁄2 (0,535 − 0,5) + 1
Kx = 1,02
-
Direccion en y:
𝑇𝑦 = 0,39 𝑠𝑒𝑔
→
𝑲𝒚 = 𝟏, 𝟎
b) F = ?
Fx = Cvx x V
22
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𝑪𝒗𝒙 =
𝑾𝒙 × 𝒉𝒙𝒌
∑ 𝑾𝒊 𝒉𝒊𝒌
nivel
5
4
3
2
1
Altura Wx
(m)
(ton)
16
158
13
195
10
195
7
195
4
195
938
Direccion x ; Vx = 103
Fx
Cvx (ton)
2672 0,28 28,7
2668 0,28 28,6
2042 0,21 21,9
1419 0,15 15,2
802 0,083
8,6
9603
Vx
28,7
57,3
79,2
94,4
103
Direccion y ; Vy = 169
Fx
Cvx (ton) Vx
2528 0,28 46,7 46,7
2535 0,28 46,8 93,5
1950 0,21
36 129,5
1365 0,15 25,2 154,7
780 0,085 14,4 169
9158
5.5 METODO DEL PORTAL
* Definición
- El método del portal es un método aproximado para analizar estructuras
hiperestáticas ante cargas laterales (sismo, viento)
- Nos permite determinar fuerzas internas y reacciones
* Hipótesis básicas
1.- En un entrepiso cualquiera el cortante en las columnas interiores es el doble del
cortante en las columnas exteriores
23
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2.- Los puntos de inflexión PI están situados en los puntos medios de las columnas
3.- La fuerza horizontal total en un nivel dado es la suma de todas las fuerzas
horizontales aplicadas encima de dicho nivel (cortantes de entrepiso)
* Limitaciones
- Los resultados obtenidos por este método son satisfactorios para edificios bajos (N<=
25 pisos) y pórticos uniformes (luces y alturas de entrepisos similares)
- Para edificios altos, los resultados obtenidos para los últimos 2 pisos y primeros 2
pisos tienen a menudo errores de hasta el 50%
Comportamiento ante cargas laterales
Ejemplo 5.4: Predimensionar las vigas del pórtico eje 2 del ejemplo 5.3
𝑊𝐷 + 𝑊𝑝𝑝 = 0,79 𝑡𝑜𝑛⁄𝑚2
𝑊𝐿 = 0,25 𝑡𝑜𝑛⁄𝑚2
24
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−
Paso 1: Estimar los momentos por carga muerta:𝑴𝑫
-
Asumiendo losa nervada con nervios paralelos al eje y
q D = 0,79 x 45 = 3,56 ton⁄m
2
−𝑞 ×𝑙̅̅̅
𝑀𝐷− = 𝐷10 𝑛
lni = 7 – 0,4 = 6,6
𝑙̅𝑛 = 6,1
𝑀𝐷−
lne = 6 – 0,4 = 5,6
−3,56 × 6,12 −
=
𝑴𝑫 = −𝟏𝟑, 𝟐𝟓 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
10
Paso 2: Estimar momentos por carga viva: 𝑴𝑳−
𝑞𝐿 = 0,25 × 4,5 = 1,13 𝑡𝑜𝑛⁄𝑚
25
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𝑀𝐿−
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2
−𝑞𝐿 × 𝑙̅𝑛
−1,13 × 6,12 −
=
𝑀𝐿− =
𝑴𝑳 = −𝟒, 𝟐𝟎 𝒕𝒐𝒏 − 𝒎
10
10
Paso 3: Estimar momentos para sismos (Método del portal)
a.
-
Determinar el cortante en cada columna
Aplicar la hipótesis 1
Los resultados del ejemplo 5,3
Asumimos que cada pórtico lleva la misma carga
𝐹5⁄
28,7⁄ = 7,20 𝑡𝑜𝑛
4=
4
Entrepiso 5
∑F = 0
7,20 − 6Vcs = 0 𝑽𝒄𝒔 = 𝟏, 𝟐𝟎 𝒕𝒐𝒏
Entrepiso 4
∑F = 0
7,20 + 7,20 − 6Vcs = 0 𝑽𝒄𝒔 = 𝟐, 𝟒𝟎 𝒕𝒐𝒏
26
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b. Encontrar fuerzas internas en el elemento en cuestión
. Subestructura ABC
∑ 𝑀𝐴 = 0
6(1,5) − 7,20 (1,5) + 𝐶𝑦 (3) = 0
𝑪𝒚 = 𝟎, 𝟔 𝒕𝒐𝒏
∑ 𝐹𝑦 = 0
0,6 − 𝐴𝑦 = 0
Ay =0,6 ton
Subestructura AEFD
∑ 𝐹𝑥 = 0
7,20 + 1,20 − 2,40 − 𝐹𝑥 = 0
Fx = 6 ton
27
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∑ 𝑀𝐷 = 0
6(1,5) − 1,2(3) − 7,20(1,5) + 𝐹𝑦(3) = 0
Fy = 1,8 ton
∑ 𝐹𝑦 = 0
0,6 + 1,80 − 𝐷𝑦 = 0
Dy = 2,4 ton
3,3 Encontrar momentos en los extremos de las columnas
Tomamos la sub-columna ED
ℎ
3
𝑀𝑐 = 𝑉𝑐 . 𝑀𝐸 = 2,40 × 𝑀𝐸 = 3,60 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚
2
2
Comentarios
1.- Los momentos tienen el mismo sentido
2.- El cortante es constante
3.- La fuerza axial es constante
3,4 Encontrar momentos en los extremos de las vigas
Tomamos la sub-viga EF
28
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ℎ
6
𝑀𝑣 = 𝑉𝑣 . 𝑀𝐸 = 1,80 × 𝑀𝐸 = 5,40 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚
2
2
Paso 4: Determinar momento Mu
(2,2) Mu = 1,2 D + 1,6L + 0,5Lr
Mu = 1,2 (13,25) + 1,6(4,20) + 0
Mu = 22,62 ton-m
En diseño sismo-resistente, el ancho
mínimo de la viga es de b=250mm
Paso 5:
(2,5) 𝑀𝑢 = (1,2 + 0,2 𝑆𝐷𝑆 )𝐷 + 𝜌. 𝑄𝑒 + 0,5𝐿
𝑆𝐷𝑆 = 0,9 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 5,3
Edificio regular: ρ = 1
𝑄𝐸 = 𝑀𝐸 = 5 𝑡𝑜𝑛 − 𝑚
𝑀𝑢 = (1,2 + 0,2(0,9)(13,25)) + (1)(5) + (0,5)(4,2)
Mu = 25,39 ton-m
Paso 6: Predimensionar vigas
29
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(1,3): 𝑐𝑜𝑛 𝑓 ′ 𝑐 = 280
𝐾𝑔⁄
→
𝐾𝑢 = 40,6
𝑐𝑚2
25,39 × 105
𝑏𝑑 2 =
= 62537 𝑐𝑚3
40,60
b = 250 mm (ancho mínimo)
62537
𝑑= √
25
𝑑 = 50 𝑐𝑚
Adoptamos 250 x 550 mm
. Revisando el cortante
. 𝑉𝐷 = 1,15 𝑥 3,56 𝑥 6,1⁄2= 12,5 ton
. 𝑉𝐿 = 1,15 𝑥 1,13 𝑥 6,1⁄2= 4 ton
. 𝑉𝑈 = 1,2 (12,5) + 1,6 𝑥 4 = 21,4 ton
. 𝑉𝑈 = 1,38 (12,5) + 1 𝑥 1,8 + 0,5 𝑥 4 = 21,05 ton
𝑉𝑢
21400
𝐾𝑔⁄
=
= 22,91
𝑐𝑚2
∅𝑏𝑑
(0,75)(25)(49)
𝐾𝑔⁄
℧𝑐 = 0,53 √280 = 8,87
𝑐𝑚2
𝐾𝑔⁄
𝐾𝑔⁄
′
℧𝑠 = ℧𝑢 − ℧𝑐 = 22,91 − 8,81 = 14,04
𝑐𝑚2 < 2,2 √𝑓 𝑐 = 36,81
𝑐𝑚2
℧𝑢 =
30
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DISTRIBUCIÓN HORIZONTAL DE FUERZAS SISMICAS (Ref.: Meli –
Tomo 3, p. 445).
5.6

Una vez determinadas las “fuerzas sísmicas en cada piso”, éstas deben ser resistidas
por los diferentes pórticos que conforman la estructura.
31
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

Cuando no hay excentricidad entre las resultantes de las fuerzas actuantes (localizadas
en el Centro de Masas CM) y resistentes (localizadas en el Centro de Rigidez CR), las
fuerzas sísmicas actuantes producen un movimiento de traslación del sistema de
entrepiso, de manera que puede definirse como rigidez de entrepiso a la fuerza
cortante lateral que se requiere para producir un desplazamiento unitario del piso.
Cada pórtico (o muro en caso de existir) tomará una fracción de la fuerza actuante (Vx
y Vy) proporcional a su rigidez de entrepiso, es decir:
𝑉𝑖𝑥 ′ =
𝑉𝑖𝑦 ′ =
𝐾𝑖𝑥
× 𝑉𝑥
∑ 𝐾𝑖𝑥
𝐾𝑖𝑦
× 𝑉𝑦
∑ 𝐾𝑖𝑦
(𝟓. 𝟐𝟒𝒂)
(𝟓. 𝟐𝟒𝒃)
en donde:
𝑉𝑖𝑥 ′ 𝑦 𝑉𝑖𝑦 ′ = Fracción de fuerza cortante en el entrepiso en estudio que es absorbida
por el pórtico i en correspondencia con Vx y Vy, respectivamente.
Kix y Kiy = Rigideces de entrepiso del pórtico i en las direcciones X y Y, respectivamente.
Vx y Vy = Cortantes de entrepiso en las direcciones X y Y, respectivamente.
a) Debido a cortante Vx
b) Debido a cortante Vy
Figura 5.x. Cortantes de entrepiso actuando en el piso j

El CM coincide con el CR cuando las rigideces de cada pórtico están distribuidas de
manera simétrica en el piso. Sin embargo, es frecuente que los ejes de más rigidez no
estén dispuestos simétricamente, en cuyo caso la resultantes de las fuerzas resistentes
estará situada en un punto llamado centro de torsión o centro de rigidez (CR), cuyas
coordenadas son:
32
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CT (XT, YT)
Vx
CM (XM, YM)
Vy
Figura 5.x. Ubicación del CM y del CR.
𝑋𝑇 =
𝑌𝑇 =
∑(𝐾𝑖𝑦 × 𝑥𝑖 )
(𝟓. 𝟐𝟓 𝒂)
∑ 𝐾𝑖𝑦
∑(𝐾𝑖𝑥 × 𝑦𝑖 )
∑ 𝐾𝑖𝑥
(𝟓. 𝟐𝟓 𝒃)
Como no coincide el CR con la línea de acción de la fuerza cortante, se produce un
momento torsional de magnitud:
𝑀𝑡𝑥 = 𝑉𝑥 . 𝑒𝑦
(𝟓. 𝟐𝟔 𝒂)
en donde Mtx tiene el sentido contrario al de las manecillas del reloj; o
𝑀𝑡𝑦 = 𝑉𝑦 . 𝑒𝑥
(𝟓. 𝟐𝟔 𝒃)
en donde Mty tiene el sentido de las manecillas del reloj
Los momentos torsionales originan, además de las traslaciones, rotaciones de piso por
lo cual algunos pórticos estarán sujetos a fuerzas cortantes que son aditivas a las
producidas por traslación, mientras que en otros los cortantes son de signos negativos.
Luego (por analogía con Resistencia de Materiales ( = /J * Mt):
𝐾𝑖𝑥 . 𝑦𝑖𝑡
] 𝑉𝑥 . 𝑒𝑦
𝐼𝑝
𝐾𝑖𝑦 . 𝑥𝑖𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑌: 𝑉𝑖𝑦 ′′ = [
] 𝑉𝑦 . 𝑒𝑥
𝐼𝑝
𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑋: 𝑉𝑖𝑥 ′′ = [
(𝟓. 𝟐𝟕 𝒂)
(𝟓. 𝟐𝟕 𝒃)
33
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2
𝐼𝑝 = ∑ 𝐾𝑖𝑦 . 𝑥𝑖𝑡
+ ∑ 𝐾𝑖𝑥 . 𝑦𝑖𝑡2
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(𝟓. 𝟐𝟕 𝒄)
en donde:
Vix” y Viy” = fuerzas cortantes sísmicas en las direcciones X y Y en el pórtico i debido
a los momentos torsores Mtx y Mty, respectivamente.
Ip
= Momento polar de inercia en las rigideces de los pórticos
xit y yit = Coordenadas de los pórticos medidas a partir del CR
Luego, la fuerza cortante sísmica total absorbida por cada pórtico en las direcciones
X y Y, respectivamente son:
𝑉𝑖𝑥 = 𝑉𝑖𝑥 ′ + 𝑉𝑖𝑥 ′′
(𝟓. 𝟐𝟖 𝒂)
𝑉𝑖𝑦 = 𝑉𝑖𝑦 ′ + 𝑉𝑖𝑦 ′′
(𝟓. 𝟐𝟖 𝒃)
Comentarios:
1. Para hallar las rigideces de entrepisos se usan las fórmulas de Wilbur.
2. Torsión adicional a la dada por la ecuación 5.26 puede resultar debido a (Priestley; p. 94):
 Movimientos torsionales del terreno durante el sismo
 Desviación de rigidez con respecto a las asumidas
 Diferentes niveles de daño en los componentes durante el sismo
 Distribución irregular de masa
Por tales razones, las excentricidades a usar son (ASCE 7-10 – 12.8.4.2; CEC 2001 – 6.4.2):
ex,d = ex + 0.05L
ey,d = ey + 0.05B
(5.29 a)
(5.29 b)
3. El Mt por el sismo actuando en Y produce además cortantes en los pórticos
orientados en X. Algo similar ocurre con Mt por el sismo actuando en X; luego:
𝐾𝑖𝑥 . 𝑦𝑖𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑌: 𝑉𝑖𝑥 ′′ = [
] 𝑉𝑦 . 𝑒𝑥
𝐼𝑝
𝐾𝑖𝑦 . 𝑥𝑖𝑡
𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑋: 𝑉𝑖𝑦 ′′ = [
] 𝑉𝑥 . 𝑒𝑦
𝐼𝑝
(𝟓. 𝟑𝟎 𝒂)
(𝟓. 𝟑𝟎 𝒃)
34
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Ejemplo 5.5: Para el mismo edificio del ejemplo 5,3. Determinar cómo se distribuyen
las fuerzas sísmicas para el entrepiso 3-4 (4)
Paso 1.-Encontrar las rigideces de entrepiso:𝒌𝒊𝒙 y 𝒌𝒊𝒚
𝑅𝑛 =
-
48𝐸
4ℎ
ℎ𝑛 . (∑ 𝑘 𝑛
𝑐𝑛
+
ℎ𝑛 +ℎ0
)
∑ 𝑘𝑙𝑛
𝑐 = 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
𝑙 = 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠
Rigideces de las columnas
𝐼𝑐 =
40 × 403
𝑰𝒄 = 𝟐𝟏𝟑𝟑𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟒
12
𝑘𝑐 =
-
+
ℎ𝑚 +ℎ𝑛
∑ 𝑘𝑙𝑛
𝐼𝑐
213300
=
𝒌𝒄 = 𝟕𝟏𝟏 𝒄𝒎𝟑 (1 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎)
ℎ
300
Rigideces de las vigas de los ejes 1, 2, 3 (25 x 55)
25 × 553
𝐼𝑣 =
𝑰𝒗 = 𝟑𝟒𝟔𝟔𝟏𝟓 𝒄𝒎𝟒
12
-
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑘𝑙 =
𝐼𝑣
346615
=
𝒌𝒍 = 𝟓𝟕𝟖 𝒄𝒎𝟑
𝑙
600
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑘𝑙 =
𝐼𝑣
346615
=
𝒌𝒍 = 𝟒𝟗𝟓 𝒄𝒎𝟑
𝑙
700
Rigideces de las vigas del eje 4 (25 x 70)
𝐼𝑣 =
25 × 703
𝑰𝒗 = 𝟕𝟏𝟒𝟔𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟒
12
𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑘𝑙 =
𝐼𝑣
714600
=
𝒌𝒍 = 𝟏𝟏𝟗𝟏 𝒄𝒎𝟑
𝑙
600
35
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𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
-
𝐼𝑣
714600
=
𝒌𝒍 = 𝟏𝟎𝟐𝟏 𝒄𝒎𝟑
𝑙
700
𝑘𝑙 =
Rigideces de las vigas para los ejes B y C (25 x 55)
25 × 553
𝐼𝑣 =
𝐼𝑣 = 346615 𝑐𝑚4
12
𝑉𝑖𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1 𝑦 2
𝑘𝑙 =
𝐼𝑣
346615
=
𝒌𝒍 = 𝟔𝟗𝟑 𝒄𝒎𝟑
𝑙
500
𝑉𝑖𝑔𝑎𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑎 3 𝑦 3 𝑎 4
𝑘𝑙 =
𝐼𝑣
346615
=
𝒌𝒍 = 𝟖𝟔𝟕 𝒄𝒎𝟑
𝑙
400
Debemos hacer ahora un análisis similar para el nivel m=3. En este ejemplo, asumir que las
rigideces halladas para el nivel 4 son las mismas que para el nivel 3
-
Rigideces de entrepiso
𝐾1𝑥 = 𝐾2𝑥 = 𝐾3𝑥
=
48𝐸
300
𝐾4𝑥 =
4 𝑥 300
300+300
300+300
(
+
+
)
4 𝑥 711
2 𝑥 578+495
2 𝑥 578+495
= 0,14 𝐸
48𝐸
4 𝑥 300
300+300
300+300
300 (4 𝑥 711 + 2 𝑥 1191+1021 + 2 𝑥 1191+1021)
𝐾𝐵𝑦 = 𝐾𝑐𝑦 =
48𝐸
300
4 𝑥 300
300+300
300+300
(
+
+
)
4 𝑥 711
2 𝑥 867+693
2 𝑥 867+693
= 0,21 𝐸
= 0,17 𝐸
𝐾𝐴𝑦 = 𝐾𝐷𝑦 = 1,5 E
Paso 2.-Hallar coordenadas del centro de torsión.
Coordenadas del 𝐶𝑀(𝑥𝑚 , 𝑦𝑚 )
𝑋𝑀 =
𝑙 19
𝐵 13
=
𝑌𝑀 = =
2
2
2
2
𝑋𝑀 = 9,5 m.
𝑌𝑇 =
𝑌𝑀 = 6,5 m.
Aplicar ec. (5.2a) y (5.2b)
∑(𝐾𝑖𝑥 𝑌𝑖 )
∑ 𝑘𝑖𝑥
36
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𝑋𝑇 =
∑(𝐾𝑖𝑦 𝑋𝑖 )
∑ 𝑘𝑖𝑦
Pórtico
1
2
3
4
𝑲𝒊𝒙
0,14 E
0,14E
0,14E
0,21E
0,63E
𝒀𝒊
13
8
4
0
𝑌𝑇 =

𝑲𝒊𝒙 𝒀𝒊
1,82E
1,12E
0,56E
0
3,5E
Pórtico
A
B
C
D
𝑲𝒊𝒚
1,5 E
0,17E
0,17E
1,5E
3,34E
𝑿𝒊
0
6
13
19
𝑲𝒊𝒚 𝑿𝒊
0
1,02E
2,21E
28,5
31,73E
3,5𝐸
31,73𝐸
= 5,56 𝑚. → 𝑌𝑀 𝑋𝑇 =
= 9,5𝑚 → 𝑋𝑀
0,63𝐸
3,34𝐸
Nótese que todos los cálculos para 𝑿𝑻 pueden obviarse ya que hay simetría de posición
y rigidez de los pórticos alineados a lo largo del eje Y.
Paso 3.- Determinación de Excentricidades de diseño
(5,25 c) y (5,25 d)
𝑒𝑥 = |𝑥𝑇 − 𝑥𝑀 | = |9,5 − 9,5| = 0 excentricidades
𝑒𝑦 = |𝑌𝑇 − 𝑌𝑀 | = |6,5 − 5,56| = 0,94teóricas
(5,29 a) y (5,29 b)
L = 19m
;
B = 13m
𝑒𝑥,𝑑 = 0 + 0,05 (19) → 𝑒𝑥 = 0,95𝑚
𝑒𝑦,𝑑 = 0,94 + 0,05 (13) → 𝑒𝑦 = 1,59𝑚
accidental
Paso 4.- Calcular 𝑴𝒕𝒙 y 𝑴𝒕𝒚 .
De la ec. (5.26a)
𝑀𝑡𝑥 = 𝑉𝑥 𝑒𝑦 = (57,3)(1,59) = 𝟗𝟏, 𝟏
De la ec. (5.26b)
𝑀𝑡𝑦 = 𝑉𝑦 𝑒𝑥 = (93,5)(0,95) = 𝟖𝟖, 𝟖 T-m
T-m
Paso 5.- Determinar 𝑽𝒊𝒙 y 𝑽𝒊𝒚 .
37
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(5.4a)𝑉𝑖𝑥 =
(5.4b)
(5.27a)
𝑘𝑖𝑥
∑ 𝑘𝑖𝑥
𝑉𝑖𝑦 =
𝑉𝑖𝑥′′ =
=
57,3 . 𝑘𝑖𝑥
𝑘𝑖𝑦
=
∑ 𝑘𝑖𝑦
𝑘𝑖𝑥 𝑌𝑖𝑇
𝐼𝑝
𝑘𝑖𝑦 𝑥𝑖𝑇
(5.27b) 𝑉𝑖𝑥′′ =
0,63𝐸
𝐼𝑝
=
91 𝑘𝑖𝑥
𝐸
93,5 . 𝑘𝑖𝑦
3,34𝐸
× 𝑀𝑡𝑥
× 𝑀𝑡𝑦
=
𝐸
𝑘𝑖𝑥 𝑌𝑖𝑇
=
=
28 𝑘𝑖𝑥
× (91,1) → 𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥
𝐼𝑝
𝑘𝑖𝑦 𝑋𝑖𝑇
𝐼𝑝
× (88,8) → 𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜𝑒𝑛𝑦
𝐼𝑝 = ∑ 𝐾𝑖𝑦 . 𝑋𝑖𝑡2 + ∑ 𝐾𝑖𝑥 . 𝑌𝑖𝑡2
(5.27𝑐)
(5.28a)𝑉𝑖𝑥 = 𝑉𝑖𝑥′ + 𝑉𝑖𝑥′′
(5.28b)
′
′′
𝑉𝑖𝑦 = 𝑉𝑖𝑦
+ 𝑉𝑖𝑦
(5.30a)𝑉𝑖𝑥′′ =
(5.30b)
𝑘𝑖𝑥 𝑌𝑖𝑇
𝐼𝑝
× 𝑀𝑡𝑦 =
′′
𝑉𝑖𝑦
=
𝑘𝑖𝑦 𝑥𝑖𝑇
𝐼𝑝
𝑘𝑖𝑥 𝑌𝑖𝑇
𝐼𝑝
× (88,8) → 𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜𝑒𝑛𝑥
× 𝑀𝑡𝑥 =
𝑘𝑖𝑦 𝑋𝑖𝑇
𝐼𝑝
× (91,1) → 𝑆𝑖𝑠𝑚𝑜𝑒𝑛𝑦
Entonces para esto realizamos las siguientes tablas:
Tabla 1. Para calcular
(1)
(2) (3)
(4)
𝑽𝒊𝒙 = 𝑽′𝒊𝒙 + 𝑽′′
𝒊𝒙
(5)
Pórtico 𝑲𝒊𝒙 𝒀𝒊 𝑲𝒊𝒙 𝒀𝒊 𝑽′𝒊𝒙
1
2
3
4
Suma
0,14
0,14
0,14
0,21
0,63
13
8
4
0
1,82
1,12
0,56
0
3,5
12,7
12,7
12,7
19,1
57,3
(6)
(7)
(8)
𝒀𝒊𝑻 𝑲𝒊𝒙 𝒀𝒊𝑻 𝑲𝒊𝒙 𝒀𝟐𝒊𝑻
7,44 1,04
0,83 0,34
0,34 -0,22
6,51 -1,17
7,74
0,83
0,34
6,51
15,42
(9)
(10)
′′
𝑽𝒊𝒙
𝑽′′
𝒊𝒙
sismo sismo
x
y
0,33
0,32
0,11 0,107
-0,07 -0,068
-0,37 -0,36
(11)
(12)
𝑽𝒊𝒙
𝑽𝒊𝒙
sismo
sismo y
x
13,03
0,32
12,81 0,107
12,63 -0,068
18,73
-0,36
57,3
0
38
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𝑌𝑖 = 𝑌𝑖 − 𝑌𝑇 = 𝑌𝑖 − 5,56
Columna (6):
Tabla 2. Para calcular
(1)
(2) (3)
(4)
𝑽𝒊𝒚 = 𝑽′𝒊𝒚 + 𝑽′′
𝒊𝒚
(5)
(6)
(7)
(8)
Pórtico 𝑲𝒊𝒚 𝑿𝒊 𝑲𝒊𝒚 𝑿𝒊 𝑽′𝒊𝒚 𝑿𝒊𝑻 𝑲𝒊𝒚 𝑿𝒊𝑻 𝑲𝒊𝒚 𝑿𝟐𝒊𝑻
A
1,5
0
0
B
0,17 6 1,02
C
0,17 13 2,21
D
1,5 19 28,5
Suma 3,34
31,73
Columna (6):
9,5 -14,25 135,38
4,8 3,5 -0,60
2,08
4,8 3,5 0,60
2,08
42 9,5 14,25 135,38
93,5
274,92
42
(9)
(10)
′′
𝑽𝒊𝒚
𝑽′′
𝒊𝒚
sismo sismo
x
y
(11)
𝑽𝒊𝒚
sismo
x
(12)
-4,47
-4,36
-4,47
37,64
-0,19
0,19
4,47
-0,18
0,18
4,36
-0,19
0,19
4,47
0
4,62
4,98
46,36
93,5
𝑽𝒊𝒚
sismo y
𝑋𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑋𝑇 = 𝑋𝑖 − 9,5
(5.27c)
2
𝐼𝑝 = ∑ 𝑘𝑖𝑦 𝑋𝑖𝑇
+ ∑ 𝑘𝑖𝑥 𝑌𝑖𝑇2
𝐼𝑝 = 15,42 + 274,92 = 290,34
o
o
o
o
o
Los pórticos más alejados del centro de rigidez experimentan un cortante mayor al
que reciben al estar más cerca.
Cuando usamos un programa como SAP2000 no hay necesidad de distribuir
horizontalmente las fuerzas sísmicas.
Todas las fuerzas sísmicas se aplican en el centro de masas y se moverán la misma
cantidad, una distancia 0,05L para el sismo en el eje “Y” y una distancia 0,05L para
el sismo en “X”, referente a la ecuación (5.29)
A fin de considerar la posibilidad del sismo actuando en las dos direcciones se deben
ingresar las fuerzas sísmicas mediante dos estados de carga según el ASCE 7- 05:1,25
y CEC 2001
Cuando las fuerzas del sismo son aplicadas de manera simultánea en dos direcciones
ortogonales, el desplazamiento requerido del 5% del centro de masas no se necesita
aplicar en varias secciones ortogonales al mismo tiempo, pero deberá aplicarse a la
dirección en la que se produzca el máximo esfuerzo.
39
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5.7 DERIVAS ADMISIBLES
5.7.1 Determinación de derivas según el ASCE 7-06 (12.8.6)
V
R
𝛿𝑥𝑒
∆𝑒
𝛿𝑥𝑖
∆
Si recordamos 3.2
𝛿𝑥𝑒 =Desplazamiento elástico en correspondencia con el cortante 𝑉
𝑉 = Cortante basal sísmico de diseño. Usado en el SAP2000.
Como la estructura entra en el rango inelástico las deformaciones reales no son 𝛿𝑥𝑒
sino 𝛿𝑥𝑖
𝐶𝑑𝛿𝑥𝑒
𝛿𝑥𝑖 =
(5,31)
𝐼
𝐶𝑑 = Factor de amplificación de deflexión de la tabla 12.2-1
I = Factor de importancia
𝜃𝑋 =
𝛿𝑥𝑖 −𝑑(𝑥−1)𝑖
ℎ𝑠𝑥
≤ 𝜃𝑎
(5.32)
𝜃𝑥 = Deriva de entrepiso x
𝜃𝑎 = Deriva de entrepiso admisible (T 12.12-1)𝜃𝑎 = 0,02
ℎ𝑠𝑥 = Altura de entre piso
40
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Piso
-
-
SAP
δxe (cm) δxi (cm)
8
7
6
5
4
3
2
1
-
θx
Observaciones
Cumple
No cumple
Para calcular las derivas de entre piso se usarán las fuerzas sísmicas
determinadas en 5.3.1 y 5.4.1 código (12.8.6-1)
Se permite utilizar las fuerzas de diseño sísmicas basadas en el período
fundamental T de la estructura sin tomar en cuenta el límite superior 𝐶𝑢 , 𝑇𝑎
especificado en 5.3.1 (12.8.6.2)
Para estructuras con deflexiones (𝑆𝑢 , 𝑇𝑎 ) torsionales significativas, las
derivas máximas deben incluir los efectos torsionales.
Para estructuras asignadas a CDS, C, D, E ó F que tengan irregularidades
horizontales tipo 1a ó 1b de la tabla 12.3-1, la deriva de entrepiso de diseño
𝜃𝑥 debe calcularse como la mayor diferencia de las deflexiones a lo largo de
cualquiera de los bordes de la estructura en la parte superior e inferior del
entrepiso en consideración.
5.7.2 Determinación de derivas según (CEC 2001)
El cálculo de las derivas de entrepiso deben incluir las deflexiones debido a efectos
traslacionales y transversales y los efectos 𝑃 − ∆
𝛿𝑥𝑖 = 𝑅𝛿𝑥𝑒
(5.33)
41
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𝜃𝑋 =
𝛿𝑥𝑖 −𝛿(𝑥−1)𝑖
ℎ𝑠𝑥
≤ 𝜃𝑎
(5.34)
𝑅 = Factor de reducción de respuesta estructural (T-7)
𝜃𝑎 = deriva admisible ó máxima de entrepiso (T-8)
Tabla 8
𝜃𝑎 = 0,02; para estructuras de CR, AE, y de madera
𝜃𝑎 = 0,01; para mampostería
5.7.3 Importancia De Limitar Las Derivas
-
La deriva es importante limitarla ya que se trata de minimizar los daños ante
sismos moderados y controlar los niveles de daño (estructurales y no
estructurales) ante sismos severos.
.
5.8MODELO ESTRUCTURAL
Según el ASCE 7-05 (12.7); CEC 2001 6.1
- El modelo debe incluir la rigidez y resistencia de los elementos que
contribuyen significativamente a la distribución de fuerzas y deformaciones
en la estructura y que representen la distribución espacial de masa y rigidez
en toda la estructura.
- Las estructuras irregulares deben moldearse tridimensionalmente.
- Las propiedades de rigidez de los elementos de concreto y de mampostería
debe considerar los efectos de la sección agrietada (𝐼𝑒 )
De acuerdo a Paulay y Priestley:
Elemento
Viga rectangular
Viga en L y T
Columnas, P >
0,15f'c Ag
Columnas, P =
0,2f'c Ag
Columnas, P = 0,05f'c Ag

Rango Ie
0,30 - 0,50 Ig
0,25 - 0,45 Ig
Ie Recomendado
0,40 Ig
0,35 Ig
0,70 - 0,90 Ig
0,80 Ig
0,50 - 0,70 Ig
0,60 Ig
0,30 - 0,50 Ig
0,40 Ig
De acuerdo al CEC – 2001 (6.1.2):
Elemento
Icr
42
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Viga (incluye losa)
0,50 Ig
Columna
0,80 Ig
Muros estructurales
0,60 Ig para los dos primeros pisos
Muros estructurales
Ig para los pisos restantes
Mampostería
0,50 Ig
Para sistemas de pórticos a momento, la contribución de las deformaciones de la
zona de panel a la deriva total de entrepiso debe incluirse.
43
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5.9PROCEDIMIENTO DE ANALISIS
Tres tipos de análisis:
1. Análisis de fuerzas laterales equivalentes (estático)
2. Análisis espectral.
3. Análisis dinámico en el dominio del tiempo
(1
)
F3
(2
)
(3
)
F2
F1
SaxÜg
T
t
En general el análisis estático se realiza para estructuras regulares mientras que los
análisis dinámicos se realizan para estructuras irregulares.
44
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Ejemplo 6.1:Diseñar la viga del primer piso del pórtico E-O del edificio de la figura.
La viga tiene dimensiones b=500mm y h=600mm. La losa tiene un espesor de 200mm.
Usar f’c=280 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.
La fuerza de compresión axial factorada Pu en la viga es despreciable.
La carga factorada en la viga es de 4.00 T/m.
Paso 1.- Revisar dimensiones de secciones.
De 21.3.1.1:
Pu es despreciable
𝑃𝑢 <
𝐴𝑔𝑓𝑐′
10
𝑜𝑘.
De 21.3.1.2:
𝑙𝑛 8 − 0,75
=
= 13,40 > 4
𝑑
0,54
𝑜𝑘.
𝑏𝑤 = 𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 = 500 𝑚𝑚. > 250𝑚𝑚
500 𝑚𝑚. > 0,3ℎ = 0,3(600) = 180 𝑚𝑚.
𝑏𝑤 < 𝐶2 + 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ∶ 𝑎) 2𝐶 2
𝑏) 1,5𝐶1
𝑏𝑤 < 3𝐶2 = 3𝑥24𝑥2,54 = 183 𝑐𝑚
𝐶2 + 1,5𝐶1 = (24 + 1,5𝑥24)2.54 = 152,4 𝑐𝑚. ; controla
𝑏𝑤 < 152.4 𝑐𝑚. ; 𝑜𝑘
Paso 2.- Determinar refuerzo requerido a flexión
Del análisis estructural se obtiene los siguientes Mu
45
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(1)
(2)
Tramo
Localización
Exterior
Apoyo exterior
Negativo
Apoyo Exterior
Positivo
Positivo
Apoyo Interior
negativo
Apoyo Interior
positivo
Positivo
Apoyo Interior
Negativo
Apoyo Interior
Positivo
Interior

(5)
(6)
(7)
(8)
As, req
(cm2)
Refuerzo
As, disp фMn
(cm2)
(T-m)
ρ
-40,4 -21,96
5ф25
24,5
45,84
0,009
19,21 10,44
20,13 10,94
50,72 -27,57
4ф22
4ф22
15,2
15,2
29,43
29,43
0,006
0,006
6ф25
29,4
54,04
0,011
16,63 9,04
17,33 9,42
49,07 -26,67
4ф22
4ф22
15,2
15,2
29,43
29,43
0,006
0,006
6ф25
29,4
54,04
0,011
18,80 10,22
4ф22
15,2
2943
0,006
𝑀𝑢
𝑀𝑢
𝑀𝑢
=
=
∅𝑗𝑓𝑦 (0,9)(0,9𝑑)(4,2)
1,84
Columna (7)
Despreciando el refuerzo de la losa
∅𝑀𝑛 = ∅𝑏𝑤2 𝑓𝑐′ 𝑤 (1 − 0,59𝑤)
𝑤=𝜌

(4)
Columna (4)
𝐴𝑠 𝑟𝑒𝑞. =

(3)
Mu
(Tm)
(1.2)
→
∅𝑀𝑛 > 𝑀𝑢 ok
𝑓𝑦
𝐴𝑠 𝑓𝑦
=
′
𝑓𝑐 𝑏. 𝑑 𝑓𝑐′
Columna (8)
De los siguientes valores debemos obtener uno que este entre
𝜌𝑚𝑖𝑛 < 𝜌 < 𝜌𝑚á𝑥
→ Según la normativa (21.3.2.1)
𝜌𝑚𝑖𝑛
=
14
= 0,003 → 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂.
𝑓𝑦
𝜌𝑚𝑖𝑛
=
0,8√𝑓𝑐′ 0,8√280
=
= 0,0032
𝑓𝑦
4200
𝜌𝑚á𝑥 = 0,025
𝑀𝑛+ en la cara del nudo ≥
𝑀𝑛−⁄
2 𝑜𝑘
𝑀𝑛+ en cualquier sección ≥
−
𝑀𝑛𝑚á𝑥
⁄4 𝑜𝑘
sección 21.3.2.2
46
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Paso 3.- Calcular la longitud requerida de anclaje del refuerzo a flexión en la
columna exterior.

Sección 21.7.2.2
ó
Sección 21.6.1.3 CEC 2001
El refuerzo longitudinal de la viga que termine en una columna debe prolongarse
hasta la cara más distante del núcleo confinado de la columna y anclarse en tracción
de acuerdo a la sección 21.7.5 (21.6.4) y, en compresión de acuerdo con el capítulo
12.
𝑙𝑑ℎ =
𝑓𝑦. 𝑑𝑏
17,2√𝑓𝑐′
≥ 8𝑑𝑏 ó 15 𝑐𝑚.
Nota: El CEC 2001 tiene la misma fórmula sólo que en MPa.
 Ф25
4200𝑥2,5
17,2√280
= 36,5 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎
𝑙𝑑ℎ=
8𝑥2,5 = 20 𝑐𝑚.
= 15𝑐𝑚.
 Ф22
4200𝑥2,2
17,2√280
= 32,10 𝑐𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎
𝑙𝑑ℎ=
8𝑥2,2 = 17,6 𝑐𝑚.
= 15𝑐𝑚.
47
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Paso 4.-Determinar el refuerzo al cortante
4.1 Calcular 𝑴𝒑𝒓
Sismo
+
𝑀𝑝𝑟 = 𝐴𝑠 (1,25𝐹𝑦 )(𝑑 − 𝑎⁄2)
𝑎=
𝐴𝑠 (1,25𝑓𝑦 )
0,85𝑓𝑐′ 𝑏
a.-Tenemos sismo de izquierda a derecha:
DMF:
Ap.
Exterior
𝑀𝑛+ → 𝑎+
𝑎− =
𝑀𝑛− → 𝑎−
Ap. Interior
29,4(1,25𝑥4,2) 29,4(5,25)
=
= 12,97 𝑐𝑚.
0,85𝑥0,28𝑥50
11,90
−
−
𝑀𝑝𝑟
= 29,4(5,25) (54 − 12,97⁄2) ÷ 100 → 𝑴𝒑𝒓
= 𝟕𝟑, 𝟑 𝑻 − 𝒎
48
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𝑎+ =
15,2(5,25)
= 6,71 𝑐𝑚.
11,90
+
𝑀𝑝𝑟
= 15,2(5,25) (54 − 6,71⁄2) ÷ 100 → 𝑴+
𝒑𝒓 = 𝟒𝟎, 𝟒 𝑻 − 𝒎
b.-Tomemos sismo de derecha a izquierda:
𝑀𝑛− → 𝑎−
Ap. Interior
𝑀𝑛+ → 𝑎+
Ap.
Exterior
𝑎− =
24,5(5,25)
= 9,69 𝑐𝑚.
11,90
−
−
𝑀𝑝𝑟
= 21,9(5,25) (54 − 9,69⁄2) ÷ 100 → 𝑀𝑝𝑟
= 49,2 𝑇 − 𝑚
+
𝑴𝒑𝒓 = 𝟒𝟎, 𝟒 𝑻 − 𝒎
 De este análisis se concluye que el sismo de izquierda a derecha es el más crítico.
4.2Calcular fuerzas cortantes de diseño
4.2.1.-Carga Gravitacional.
4 T/m
14,66 T
14,66 T
7,33 m = 8
𝑉𝑔 = 4 × 7,33⁄2 = 14,66 𝑇
49
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4.2.2.- Sismo de izquierda a derecha
73,3
40,4
15,5 T
𝑉𝐸𝑄 =
73,3 + 40,4
= 15,5 𝑇
7,33
15,5 T
7,33 m
4.2.3.- Carga gravitacional + sismo de izquierda a derecha
𝑉𝑒 = 𝑉𝑔 + 𝑉𝐸𝑄
0,84 T
30,16 T
𝑉𝑒 = 30,16 𝑇 = 𝑉𝑢
o No utilizar el cortante del programa
4.3.- Determinar 𝑽𝒔
Ec.- (1.6)
Como
𝑉𝑆 =
𝑉𝑠 = 𝑉𝑢 ⁄∅ − 𝑉𝑐
𝑉𝑢 ⁄2 = 30,16⁄2 = 15,08 𝑇 > 𝑉𝑔
𝑦 − 𝑃𝑢 < 𝐴𝑔 𝑓𝑐′ ⁄20
→ 𝑉𝑐 = 0
𝑉𝑐 = 0
Escriba aquí la ecuación.
30,16
= 40,21 𝑇
0,75
Nota: ф = 0,75 para cortante y torsión según ACI 318 – 08
ф = 0,85para cortante y torsión según CEC 2001
𝑉𝑔 < 𝑉𝑆𝑚á𝑥
𝑉𝑆𝑚á𝑥 = 2,2√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤𝑑
= 2,2√280 (50)(54)⁄1000 = 99,4 𝑇. 𝑜𝑘
50
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o Nota: El CEC 2001 usa unidades de MPa para 𝑉𝑆𝑚á𝑥 .
Nótese que
𝑉𝑆 < 1.1√𝑓𝑐′ 𝑏𝑤𝑑
= 1.1√ 280 (50)(54)⁄1000 = 49,7 𝑇.
(11.5.5.3) ; (11.5.4.3)
4.4Determinar ф estribo y S
Asumamos ф estribo = 10 mm.Av = 0,785 cm2
𝑆=
(4)(0,785)(4,2)(54)
𝐴𝑣 𝑓𝑦 𝑑
=
= 17,71 𝑐𝑚
𝑉𝑆
40,21
Se adoptan 4 ramas ya que las varillas longitudinales necesitan soporte lateral.
𝑆𝑚á𝑥 Según el código (21.5.3.2) ó (21.3.3.2)
o 𝑑⁄4 = 54⁄4 = 13,5 𝑐𝑚.
→
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂
o 8𝑑𝑏,𝑚𝑖𝑛 = 8𝑥2,2 = 17,6 𝑐𝑚.
o 24ф𝑒 = 24(1) = 24 𝑐𝑚.
o 300 𝑚𝑚.
Adoptar 2E ф10 cada 125 mm en zona de AP 2h =1200 mm.
5.-Detallamiento
51
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Ejemplo 6.2Determine el refuerzo requerido para una columna exterior del primer piso
del pórtico interior E-O del edificio de la figura. La columna es cuadrada de 60cm de
lado. Usar f’c de 280kg/cm2 y fy de 4200 kg/cm2.
Del análisis estructural se obtienen los siguientes resultados:
Combinaciones De Carga
Pu
(Ton)
Mu
(Tonm)
(2.2) 1,2𝐷 + 1,6𝐿
(2.5)(1,2 + 0,5𝑆𝑃𝑆 )𝐷 ± 𝑃𝑄𝐸 +
0,5𝐿 ó
455,9
-10,83
328,5
23,05
(2.9𝑎) 0,75(1,4𝐷 + 1,7𝐿 ± 1,87𝐸)
460,0
-38,17
(2.7𝑎)(0,9 − 0,2𝑆𝐷𝑆 )𝐷 ± 𝑃𝑄𝐸
209
26,05
(2.10𝑎) 0,9𝐷 ± 1,43𝐸
340,5
-35,17
𝑃𝑢,𝑚á𝑥 = 460 𝑇
𝑃𝑢 = 460 𝑇 > 𝐴𝑔 𝑓𝑐′ ⁄10 =
60𝑋60𝑋280
= 100 𝑇 𝑜𝑘 (21.4.1)
10
Paso 1.- Revisar dimensiones de secciones.

Dimensión menor de la sección transversal. = 60 cm. > 30cm (para circular y
rectangular) OK. (21.4.1.1)

𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑑𝑒𝑙𝑎𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
𝐷𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
= 1 > 0,4.
OK. (21.4.1.2)
Paso 2.- Determinar el refuerzo longitudinal requerido.
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Basados en los resultados del análisis estructural, una columna de 60X60 cm con 8ф25
(𝜌𝑔 = 1,10%) es adecuada para resistir las fuerzas actuantes.

Nótese que 0,01 < 𝜌𝑔 ≤ 0,06
OK.
(21.4.3.1)
Paso 3.- Criterio columna fuerte viga débil
∑ 𝑀𝑐,(𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠) ≥
6
∑ 𝑀𝑔,( 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠)
5

La resistencia nominal a flexión de la viga, Mn, en la columna debe incluir el
reforzamiento de la losa dentro de un ancho de losa efectivo igual a:

(0,20x8) + 0,5 = 2,10.

22’= 6,7m ≈ 7.0m.

26’= 7,93 ≈ 8m./4 = 2.00 m
0,2= espesor de la losa; 0,5=𝑏𝑤
(8.10.2)
Escogemos la menor, en este caso 2.00m controla.
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,0018𝑋200𝑋20 Donde 200=b ; 20=h
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 7,20 𝑐𝑚2
Con este valor obtenemos ф12@33cm. Superior e inferior.
 33cm < 2h = 2(20) =40 cm.
OK.
Del análisis de compatibilidad de deformaciones se obtuvo lo siguiente:
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Por tanto:
∑ 𝑀𝑐 = 80 + 72 = 152 𝑇 − 𝑚.
∑ 𝑀𝑔 = 88 𝑇 − 𝑚.
152 𝑇 − 𝑚 > 6⁄5 𝑋8 = 105 𝑇 − 𝑚.
Ok.
Paso 4.- Resistencia nominal a la flexión de columnas respecto a las vigas en la
dirección N-S (criterio de columna fuerte viga débil)
o Las vigas en la dirección N-S en las columnas del primer piso requieren de 4ф22 en
la parte superior e inferior de la sección.
o La resistencia nominal a flexión de la viga, Mn, en la columna debe incluir el
reforzamiento de la losa dentro de un ancho de losa igual a:



(700⁄2) + 50 = 108 𝑐𝑚.
(6𝑋20) + 50 = 170 𝑐𝑚.
(724⁄2) + 50 = 412 𝑐𝑚
Controla el menor.
(8.10.3
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,0018𝑥108𝑥20 = 3,88 𝑐𝑚2 → ф12 @35 cm.
35𝑐𝑚. < 2ℎ = 40𝑐𝑚.
OK.
o Del análisis de compatibilidad de deformaciones se obtuvo lo siguiente:
54
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Por lo tanto:
∑ 𝑀𝑔 = 49 + 38 = 87 𝑇 − 𝑚
∑ 𝑀𝐶 = 80 + 73 = 153 > 6⁄5 𝑋87 = 104 𝑇 − 𝑚
Paso 5.-Determinar el refuerzo transversal.
a.- Refuerzo de confinamiento

El refuerzo transversal para confinamiento debe suministrarse en una
longitud Lo mayor a:
(21.44.2)




Peralte del elemento es 60 cm.
1/6 de la luz libre = 427/6 = 71 cm.
– Controla –
45 cm. (18’’) → Nótese que el CEC considera 500 mm.
Espaciamiento máximo permitido de estribos rectangulares, asumiendo
estribos ф12:



𝑆𝑚á𝑥
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: ℎ𝑥 =
=0,25 (dirección menor de columnas) = 0,25X60 = 15 cm.
= 6 (diámetro de barra longitudinal) = 6X2,5 = 15 cm.
𝑆𝑋 = 10 + (35 − ℎ𝑥 )⁄3
60 + 2(4 + 1.2 +
2
2.5
2
)
= 27,3 𝑐𝑚.
𝑆𝑥 = 10 + ((35 − 27,3)⁄3) = 13 𝑐𝑚.< 15 cm.
>10 cm
𝐴𝑔
0,3𝑆ℎ𝐶 [𝐴
𝐶ℎ
− 1] 𝑓
𝑓′𝐶
𝑦ℎ
–controla –
𝑒𝑐. 21.3
𝐴𝑆ℎ ≥
𝑓𝐶′
0,09𝑆ℎ𝐶
𝑒𝑐. 21.4
𝑓𝑦ℎ
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Donde:
𝑓𝑦ℎ = Resistencia a la fluencia del refuerzo transversal
𝑆 = Dimensión del núcleo de la columna, medido del centro de refuerzo por
confinamiento.
ℎ𝐶 = 60 − 2(4 + 0,64) = 51 𝑐𝑚.
𝐴𝑐ℎ = área de la sección transversal, medida entre los bordes exteriores del refuerzo
transversal.
2
𝐴𝑐ℎ = [(60 − (2𝑥4) ] = 2704 𝑐𝑚2

Para hacer un espaciamiento de 13 cm y 𝑓𝑦ℎ = 4200 kg/cm2, el área
requerida de la sección transversal es:
(03𝑥13𝑥51) [
Ash ≥
3600
280
− 1] 4200 = 4.39 𝑐𝑚2
2704
(0,09𝑥13𝑥51)𝑥
− 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎 −
280
= 3,98 𝑐𝑚2
4200
Estribos ф12, como se muestra en la figura proporciona
𝐴𝑆ℎ = 3𝑥1,13 = 3,39 𝑐𝑚2 < 4,39𝑐𝑚2
Al ver que no cumple reducimos S a 10 cm y obtenemos 𝐴𝑆ℎ = 3,38 𝑐𝑚2 ok.
b.-Refuerzo transversal para cortante
El diseño a cortante de las columnas será determinado a partir de las fuerzas máximas que se
desarrollen en la cara de los nudos.
(21.4.5)
La máxima resistencia probable a la flexión que puede desarrollarse en la columna
conservadoramente se asume que corresponde al punto de balance de la columna en el
diagrama de interacción.
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Profesor: Ing. Pedro Rojas Cruz
M. Sc. Ph. D.
Curso: Diseño Estructural
 Factor de reducción de resistencia = 1
 𝑓𝑦 = 1,25𝑥4200 = 5250 kg/cm2
 𝑀𝑏 = 102 𝑇 − 𝑚 → 𝑉𝑢 = (2𝑥102)⁄46 = 48 𝑇𝑛
El momento en la parte superior de la columna está dado por:
66 (
3,65
) = 28 𝑇𝑜𝑛 − 𝑚
3,65 + 5,00
Asumir 𝑀𝑝𝑟,𝑏𝑎𝑠𝑒 = 102 𝑇𝑜𝑛 − 𝑚
𝑉𝑢 =
28 + 102
= 30 𝑇𝑜𝑛.
4,30
- Para las fuerzas sísmicas en la dirección N-S
𝑀𝑝𝑟 = 42 𝑇𝑜𝑛 − 𝑚.
El momento en la parte superior de la columna es:
3,65
(2𝑥42) (
) = 35 𝑇𝑜𝑛 − 𝑚.
3,65 + 5,00
Nota: Ambos cortantes son mayores que los obtenidos en los análisis
Debido a que 𝜌𝑢 > 𝐴𝑔 𝑓𝐶′ ⁄20 = 52 𝑇𝑜𝑛. la resistencia del concreto a ser usada
será
𝑉𝐶 = 2√𝑓𝑐′ 𝑏. 𝑑(1 + 𝑁𝑈 ⁄2000𝐴𝑔 ) ; 𝑁𝑈 → 𝑃𝑈
Conservadoramente usando la carga axial mínima dada es:
𝑉𝐶 = 2√280(60𝑥54) [1 +
𝑉𝑆 =

209000
] = 34 𝑇.
140000𝑥602
𝐴𝑉 𝑓𝑦 (3𝑥1,13)𝑥4200𝑥45
=
= 64 𝑇.
𝑆
10
∅(𝑉𝐶 + 𝑉𝑠 ) = 0,75(34 + 64) = 73,5 𝑇 > 𝑉𝑈 = 32 𝑇𝑜𝑛
Usar estribos ф12 espaciados cada 10 cm.
Paso 6.- Longitud mínima de traslape para barras verticales de columnas.
Traslapes a tensión CLASE B.
Longitud requerida para traslape CLASE B = 1,3 Ld donde:
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𝐿𝑑 = [
𝑓𝑦 ∝ 𝛽𝛾λ
1
−
] 𝐷𝑏
3,5 √𝑓𝑐′ 𝐶+𝐾𝑡𝑟
𝑑𝑏
Donde ∝ = 1.0 y representa el factor de ubicación del reforzamiento
Factor de recubrimiento β = 1.0 (refuerzo sin recubrimiento)
Factor del tamaño del reforzamiento γ=1.0 (barras N. 7 o mayores)
Factor de concreto con agregado liviano λ=1.0 (concreto de peso normal)
𝐶 =4+
2,5
= 6.45 𝑐𝑚.
2
1 60 − 2(4 + 1,2) − 2,5
[
] = 12 𝑐𝑚.
2
2
𝐾𝑡𝑟 =
𝐴𝑡𝑟 𝑓𝑦𝑡 (3𝑥1,13)(4200)
=
= 4,52
105𝑆𝑛
105𝑥10𝑥3
𝐶 + 𝐾𝑡𝑟 6,45 + 4,52
=
= 4,39 > 2,5 𝑢𝑠𝑒 2,5 𝑐𝑚.
𝑑𝑏
2,5
𝑙𝑑 =
1 4200 1𝑥1𝑥1𝑥1
𝑥
𝑥
𝑥2,5 = 2,5
3,5 √280
2,5
Longitud de traslape Clase B = 1,3x72= 95 ~ 100 cm.
Paso 7.-Detalles del reforzamiento de columna Exterior
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