Matemáticas4(2)OrtizOrtiz

MATEMATICAS
segunda edición
Ortiz Ortiz Ortiz
Serie integral
por competencias
1
4
segunda
edición
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
primera edición ebook 2014
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
primera edición ebook 2014
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Renacimiento 180,
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División Bachillerato, Universitario y Profesional
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisor de preprensa: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Juan Castro Salgado
Ilustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez Jiménez
Fotografías: Thinkstock
Matemáticas 4.
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Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
©2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
ISBN ebook: 978-607-744-002-4
(0155) 5354 9109 s 5354 9102
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www.editorialpatria.com.mx
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Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F.
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Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
teléfono:
(0155) 53 54 91 00
Primera edición ebook: 2014
Grupo Editorial Patria®
Contenido
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1
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2
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3
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4
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII
Competencias genéricas del Bachillerato General . . . . . . . . . . . . X
Competencias disciplinares básicas del campo
de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI
Las secciones de tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII
Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Regla de correspondencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
13
14
Función inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Función escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Función identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Función constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
38
39
41
42
58
Empleas funciones
polinomiales de
grados cero,
uno y dos
3.1 Modelo general de las funciones polinomiales. . . . . . . . .
3.2 Forma polinomial de funciones de grados
cero uno y dos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Representación gráfica de funciones de grados
cero, uno y dos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Características de las funciones polinomiales
de grados cero, uno y dos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
3.5 Parámetros de las funciones de grados cero, uno y dos.
Utilizas funciones
polinomiales de
grados tres
y cuatro
4.1 Modelo matemático de las funciones polinomiales
de grados tres y cuatro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Propiedades geométricas de las funciones
polinomiales de grados tres y cuatro. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Métodos de solución de las ecuaciones factorizables
asociadas a una función polinomial de grados
tres y cuatro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Comportamiento de la gráfica de una función
polinomial en función de los valores que toman sus
parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Representación gráfica de funciones polinomiales
de grados tres y cuatro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reconoces y realizas operaciones con
distintos tipos de funciones
Aplicas funciones especiales y
transformaciones de gráficas
1.1
1.2
1.3
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
59
59
62
63
94
94
95
95
98
V
Contenido
5.1 Ceros y raíces de la función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
BLOQUE
5
Utilizas funciones
factorizables en
la resolución
de problemas
5.2 Teoremas del factor y del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3 División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4 Teorema fundamental del álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 Teorema de factorización lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6 Gráficas de funciones polinomiales factorizables . . . . . 115
BLOQUE
6
6.1 Función racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Aplicas funciones racionales
6.2 Dominio de definición de una función racional . . . . . . . 127
6.3 Asíntotas horizontales y verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4 Criterios de existencias de las asíntotas
horizontales y oblicuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.1 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
BLOQUE
7
7.3 Gráfica de la función exponencial y logarítmica . . . . . . . 151
Utilizas funciones
exponenciales y
logarítmicas
7.4 Propiedades de los exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.5 Cambio de una expresión exponencial a
una logarítmica y viceversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.6 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.7 Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.8 Ecuaciones logarítmicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
BLOQUE
8
8.1 Funciones trigonométricas (seno y coseno) . . . . . . . . . . . . . 167
8.2 Formas senoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Aplicas funciones periódicas
8.3 Funciones circulares: seno y coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.4 Características de las funciones periódicas:
amplitud, frecuencia y periodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.5 Representación gráfica de funciones trigonométricas . . 171
Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
VI
Grupo Editorial Patria®
Introducción
a la asignatura y a tu libro
Francisco José Ortiz Cerecedo
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
El contenido temático de esta segunda edición de Matemáticas 4 para bachillerato general se ha modificado para
adecuarlo al programa vigente de la asignatura.
Esta obra se desarrolla en ocho bloques que son:
Bloque 1
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
En este bloque se inicia con algunos conceptos preliminares que son necesarios para establecer una adecuada comunicación. Las nociones de función y de relación se introducen a partir de ejemplos. Estos conceptos se amplían
gradualmente.
Las funciones se presentan como una ecuación, como un conjunto de pares ordenados, y se les representa en tablas
o gráficas.
Se clasifica a las funciones por sus características y se estudian sus propiedades, tales como inyectiva, suprayectiva
y biyectiva.
Aunque no está en el programa, se incluyó el concepto de “intervalo” que se utiliza a lo largo del curso.
Bloque 2
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
A partir del reconocimiento de las características de la función inversa de una función dada se procede a sus representaciones geométrica y algebraica con respecto a la función identidad.
Al valor absoluto, constante, idéntica y escalonada, se les define y representa por medio de tablas y gráficas, se
determina la imagen de su dominio y se analizan sus propiedades.
Con las gráficas de funciones se realizan transformaciones, tales como traslaciones verticales y horizontales o
reflexiones sobre los ejes o sobre la recta y = x.
Bloque 3
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Se establece la relación entre el ángulo de inclinación de una recta y su pendiente. Se aplica el concepto de pendiente para establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. Se identifica la ecuaVII
Introducción a la asignatura y a tu libro
ción de la recta en su forma pendiente ordenada al origen con sus respectivos elementos. También, se identifica la
ecuación de la recta que pasa por dos puntos.
Bloque 4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
En este bloque se introducen los conceptos de función par y función impar como antecedente para el bosquejo de
la gráfica de funciones de grados tres y cuatro.
Bloque 5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Para determinar ceros reales o complejos de una función polinomial, así como para predecir su trazo, se recurre a
conceptos y teoremas.
Se explica el procedimiento para obtener la regla de la división sintética y se aplica para resolver ecuaciones polinomiales factorizables
Bloque 6
Empleas funciones racionales
A partir del concepto de función racional se procede a su caracterización. Se identifican las posibles asíntotas
horizontales, verticales y oblicuas. Los intervalos se utilizan para identificar las regiones del plano en las que está o
no la gráfica de la función racional. Se hace una introducción a la variación inversa.
Bloque 7
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Este bloque inicia con una revisión del concepto de exponente y de sus respectivas leyes para tratar lo relacionado
con la función exponencial. Incluye la función exponencial natural. Se hace una interpretación algebraica y gráfica
de la función logarítmica como inversa de la función exponencial.
Las propiedades de los logaritmos son utilizadas para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Bloque 8
Aplicas funciones periódicas
En este bloque se estudian las funciones periódicas senoidales. Se les representa gráficamente. Se determinan sus
características y elementos principales y se aplican en algunos fenómenos de la vida cotidiana.
Cada bloque inicia con su nombre e incluye la o las competencias, una introducción, una propuesta de trabajo, un
conjunto de ejercicios y problemas como propuestas para el diseño de situaciones didácticas. Además tiene las
siguientes secciones:
¿Qué sabes hacer ahora? (evaluación diagnóstica).
Para tu reflexión.
Actividades de aprendizaje.
Aplicas lo que sabes.
Instrumentos de evaluación.
La evaluación diagnóstica nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante. La actividad de aprendizaje posibilita conocer el grado de avance en el proceso de enseñanza–aprendizaje para hacer
los ajustes necesarios. Los instrumentos de evaluación, establecen una comparación entre el inicio y el final del
estudio de cada bloque.
VIII
Grupo Editorial Patria®
En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo, de acuerdo con el enfoque por competencias. Para ello, se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las
partes que integran la propuesta. A continuación, se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias
considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas.
La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe
para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas
concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda efectuar el problema planteado, se le
apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior, podrá regresar a resolver el problema planteado.
Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades.
Para el o la docente esta obra ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:
1. Competencia. Es la competencia a desarrollar de acuerdo con el programa de estudios vigente.
2. Situación didáctica. Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego
sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etcétera.
3. Secuencia. Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo.
Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a
desarrollar, a fin de resolver la dificultad que se plantea en la situación didáctica.
En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a efectuar. Estas acciones tendrán un peso en la evaluación.
4. Evaluación por producto. Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, ésta evidencia el
grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia.
5. Rúbrica de evaluación. Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparentes los criterios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación.
Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente,
debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el
y la estudiante la autoevaluación.
Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de
la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas. Con ello se pretende que el y la estudiante adquieran la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con
éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, éstas tienen cierta analogía con los ejemplos
resueltos. Una vez que el y la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo
que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya
solución resuelve el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen,
así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva.
A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico los cuales son antecedentes necesarios
para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior.
Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo
recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla.
Francisco José Ortiz Campos
Francisco Javier Ortiz Cerecedo
Fernando José Ortiz Cerecedo
IX
Competencias genéricas del Bachillerato General
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres
deben estar en la capacidad de desempeñar; éstas les permitirán a
los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional
o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas
para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una
convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar,
etcétera. Por lo anterior, estas competencias construyen el Perfil del
Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se
enlistan las competencias genéricas:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
X
Grupo Editorial Patria®
Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas
Competencias disciplinares básicas
Bloques de aprendizaje
1
2
3
4
5
6
7
8
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X
X
X
X
X
X
X
X
2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
X
X
X
X
X
X
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos
y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
X
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes
del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
X
X
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
X
X
X
X
X
X
X
XI
Las
Secciones deTu libro
Conoce tu libro
Inicio de bloque
Objetos de aprendizaje
En los objetos de aprendizaje encontrarás
los contenidos estructurados, integrados y
contextualizados con una secuencia lógica
y disciplinar, y que son de gran relevancia y
pertinencia al nivel educativo en el que te
encuentras.
Competencias a desarrollar
Se trata de una conjunción de competencias
disciplinares a lograr en cada bloque, que te
permiten demostrar la capacidad que tienes
para aplicar tus conocimientos en situaciones
de la vida personal o social, ya que al mismo
tiempo pondrás en práctica tus destrezas,
habilidades y actitudes.
¿Qué sabes hacer ahora?
Esta sección constituye una
propuesta de evaluación
diagnóstica que te permitirá
establecer las competencias
y conocimientos con los que
cuentas, para así iniciar la
obtención de conocimientos y
capacidades nuevas.
Desempeños por alcanzar
Estos desempeños son los
que se espera que logres al
finalizar cada bloque, te posibilitan poner en práctica tus
conocimientos, habilidades y
actitudes al realizar cada una
de las actividades propuestas
en este libro.
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede
ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una
investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video,
un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que
adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a
través de un reto.
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los
conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología
que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que
por el análisis detallado que hacen, facilitan tu actividad y tus resultados.
Rúbrica
¿Cómo sabes que
lo hiciste bien?
Las rúbricas son métodos
prácticos y concretos que
te permiten autoevaluarte
y así poder emprender
un mejor desempeño.
Puedes encontrar tanto
actitudinales como de
conocimientos.
Ejercicios
Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y
consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o
hipotéticas, mismas que te llevarán
evarán a un proceso de interacción,
seguridad y soltura durante tuu aprendizaje.
Taller y actividad experimental
rimental
La experiencia que logres a través de los talleres, actividades
experimentales y de laboratorio
io te ofrece la posibilidad de desarrollar tus competencias y habilidades
dades en la solución de problemas en
situaciones cotidianas, además
ás de estimular y fomentar tu aprendizaje cooperativo durante el trabajo
abajo en equipo.
Ejemplos
Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás
diferentes ejemplos y ejercicios
os que tienen la finalidad de propiciar
y facilitar tu aprendizaje.
X
Otras herramientas
Tu libro cuenta también con glosario,
bibliografía, vínculos en Internet, líneas de
tiempo, diagramas, mapas conceptuales
además de atractivas imágenes y otras
muchas secciones y herramientas que te
resultarán muy útiles y complementarán
tu aprendizaje.
Aplica lo que sabes
Grupo
Patria® a
Está diseñada para que puedas aplicar
tusEditorial
conocimientos
situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas
en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para
hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos.
Actividad de aprendizaje
A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y
competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.
Para tu reflexión
Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información
relevante para el tema que estás considerando. Esta información
además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.
Instrumentos de evaluación
Lista de cotejo
Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que
realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a
obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor/a.
Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño,
asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus
conocimientos, si has conseguido realizar un procedi i t dde manera adecuada
dimiento
d
d o sii has
h obtenido
bt id
soluciones correctas a un problema planteado.
Portafolio de evidencias
En el libro encontrarás diferentes sugerencias
y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias,
algunas escritas, otras a través de la exposición
de temas o presentación de productos. Es
importante que recuerdes que además de
presentar la información, la manera en que lo
hagas determinará el nivel de calidad con la
que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita
siempre a realizar tu mejor esfuerzo.
Rúbrica
Estas te ayudan a verificar el desempeño
logrado al realizar algún trabajo, producto
o evidencia
cia solicitados en cada bloque del
libro. En general, es un listado de criterios o
aspectos que te permiten valorar el nivel de
aprendizaje,
aje, los conocimientos, habilidades,
actitudes y/o desempeños alcanzados sobre
un trabajo en particular.
ti l Puedes
P d realizarlas
li l de
d
manera personal o como coevaluación.
www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx
Al haber elegido este libro tienes acceso a
nuestro sitio web, donde encontrarás material
extra como videos, animaciones, audios y
documentos que tienen el objetivo de ampliar
tus conocimientos, dejar más claros algunos
procesos complejos y actualizar de forma
rápida y dinámica la información de todos los
temas del plan de estudios de la DGB.
XI
Reconoces y realizas operaciones con distintos
tipos de funciones
1
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
1.1 Funciones
1.2 Relaciones
1.3 Regla de correspondencia
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
„
„
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
¿Qué es una relación?
2.
¿Qué es una función?
3.
¿Cuándo una función es creciente?
4.
¿Cuándo una función es biyectiva?
5.
Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante
5
(o constantes) en la expresión: °C 5 ( °F 1 32), donde °F es la temperatura
9
Fahreheit y °C la temperatura Celsius (centígrada).
6.
Halla el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unidades de dinero cada uno.
Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar
si las relaciones f y G son o no son funciones. En cada caso fundamenta tu
respuesta.
7.
a) Sea f la relación que asocia a cada entidad federativa de la República
Mexicana con su respectiva capital.
b) Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en una
ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad.
8.
De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica cuál es y cuál no es
función. Fundamenta tu respuesta. En caso de que sea función, determina su
dominio y su imagen.
a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
b) {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)}
Desempeños por alcanzar
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Utiliza los criterios que definen a una función para establecer si una relación dada
es funcional o no.
Describe una función empleando diferentes tipos de registros y refiere su dominio
y rango.
Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio
implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes.
Aplica diferentes tipos de funciones en el análisis de situaciones.
Utiliza operaciones entre funciones para simplificar procesos a través de nuevas
relaciones.
Aplica las nociones de relación y función para describir situaciones de su entorno.
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Presenta un ejemplo de una relación que no sea función y fundamenta el por qué.
Secuencia didáctica
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente las condiciones del problema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué es una relación?
¿Qué es una función?
¿Cuáles formas se pueden utilizar para representar una relación?
¿Cuáles formas se pueden utilizar para representar una función?
¿Cómo se puede distinguir una relación que es función de una relación que no es función?
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presentar un ejemplo de una relación que no sea función y argumentar el por qué.
Rúbrica
Para dar un ejemplo de una relación que no es función, se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tienen un valor de 5 puntos y se califican con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado,
la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedi-
Situación didáctica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
miento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en
clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo
ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Presenta ejemplos de una función que sea:
b) Suprayectiva pero no inyectiva.
a) Inyectiva pero no suprayectiva.
c) Biyectiva.
4
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente las condiciones del problema.
Presenten los resultados en plenaria y analizen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Qué es una función inyectiva?
¿Qué es una función suprayectiva?
Evaluación por producto
¿Qué es una función biyectiva?
¿Cómo se distingue una función inyectiva que no es suprayectiva?
¿Cómo se distingue una función suprayectiva que no es inyectiva?
¿Cómo se distingue una función que es biyectiva?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y presentar ejemplos.
Rúbrica
Para presentar los ejemplos solicitados, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor
de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes
consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tie-
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara:
Producto a elaborar
Presentar los ejemplos solicitados con su respectiva fundamentación.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
ne un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu
calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total
de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
5
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Ejercicios matemáticos 1
A(5, 4)
B(–4, 6)
C(–6, –2)
D(5, –3)
E(4, 0)
F(0, 5)
G(–5, 0)
H(0, 6)
I(–4, –6)
J(0, 0)
3. Localiza en el plano coordenado a los puntos P (x, y) tales
que:
1. Determina las coordenadas de cada uno de los puntos marcados.
a) xry . 0
2. Localiza los siguientes puntos en un plano.
b) xry , 0
c) xry 5 0
y
B
A
C
D
E
x’
0
x
F
G
H
I
J
y’
Figura 1.1
Ejercicios matemáticos 2
A. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante, en cada uno de los casos siguientes:
4. Halla el costo total C de n artículos iguales que tienen un precio de 50 unidades de dinero cada uno.
1. Si un examen tiene 20 preguntas, halla la calificación C cuando el número de aciertos n es n 5 1, 2, 3,..., 20.
2. Un móvil se desplaza a una velocidad de 60 kilómetros por hora.
¿Qué distancia recorre en 1, 2, 3,
4 y 5 horas?
3. Una fuente luminosa tiene una
potencia de 250 watts. Halla la
intensidad de iluminación a una
distancia de 1, 5, 10, 15 y 25 metros de la fuente.
6
5. Determina el perímetro P de un polígono regular de n lados
cuando su lado mide 3, 5, 7 y 11 metros.
6. Para una misma distancia (d), determina: la velocidad (v) de
un móvil y el tiempo (t) que emplea en recorrerla.
7. ¿Cuál es el interés que produce un capital C cuando se invierte
durante un tiempo t de 1, 2, 3, 4, 5 y 6 meses?
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8. Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilovatios hora que cuestan P unidades de dinero por kilovatio-hora.
8. V 5 a 3 donde V es el volumen de un cubo de arista a.
gt 2
donde h es la altura de un cuerpo que cae libremente,
2
g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
9. h 5
10. A 5 2πrh, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r y
altura h.
9. Un automóvil tiene un tanque de combustible con capacidad
de 40 litros. Si el rendimiento es de 10 kilómetros por litro, halla la cantidad de combustible que queda en el tanque cuando
se ha recorrido una distancia d de 0, 10, 100 y 200 kilómetros.
Ejercicios matemáticos 3
A. Aplica el concepto de función como regla de correspondencia para determinar cuáles son funciones y cuáles no.
En cada caso, fundamenta tu respuesta:
10. La población P de una ciudad se duplica cada n años, halla P
cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años.
1. Sea f la relación que asocia a cada entidad federativa de la República Mexicana con su respectiva capital.
B. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la constante (o constantes) en cada una de las expresiones siguientes:
1. A t 56a donde At es área total, a es arista del cubo.
4
2. V 5 π r 3 donde V es el volumen de una esfera de radio r.
3
5
3. °C 5 (° F 132) donde °F es la temperatura Fahrenheit y °C
9
la temperatura Celsius (centígrada).
2. Sea g la relación que asocia a los alumnos regulares de una escuela secundaria con el grado que cursan.
9
4. ° F 5 °C 232
5
5. S 5180(n 2 2) donde s es la suma de los ángulos interiores de
un polígono de n lados.
6. y 5 x3, donde x y y son números reales.
7. A 54π r 2 donde A es el área total de una esfera de radio r.
7
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
3. Sea h la relación que asocia a cada mujer que es madre con sus
respectivos hijos.
10. Sea F la relación que asocia los pasaportes con las personas
que tienen pasaporte.
4. Sea F la relación que asocia a cada habitante de una población
con su respectivo tipo de sangre.
B. De los siguientes conjuntos de pares ordenados identifica
cuáles son funciones y cuáles no. Fundamenta tu respuesta. En el caso de los que son funciones, determina su dominio y su imagen:
5. Sea G la relación que asocia a cada habitante que tiene teléfono en
una ciudad con los números telefónicos de esa misma ciudad.
1. {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
2. {(1, a), (2, b), (2, c), (1, d)}
3. {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3)}
4. {(1, 1), (2, 1), (3, 2), (4, 2)}
5. {(4, a), (3, b), (2, c), (3, d)}
6. {(1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)}
7. {(2, 3), (3, 7), (5, 15), (2, 5), (10, 35)}
8. {(1, 7), (2, 7), (3, 7), (4, 7) (5, 7), (6, 7)}
9. {(1, 0), (2, 4), (3, 5), (2, 4) (3, 6), (4, 3)}
6. Sea H la relación que asocia a los autores literarios latinoamericanos con sus respectivas obras.
7. Sea f la relación que asocia a cada número real no negativo con
su respectivo cuadrado.
8. Sea g la relación que asocia a cada planeta de nuestro Sistema
Solar con su respectiva distancia media al Sol.
10. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)}
Ejercicios matemáticos 4
1. 5(7 x 2 4)# 2( x 23)
2. 8(2 x 23)# 7(2 x 28)
3. 2(3x 2 7)$ 2(5 x 2 2)
4. 9(7 x 23). 2(12 x 23)
5. 7(3x 2 4). 2(12 x 23)
6. 5(2 x 2 7)# 8(3x 2 2)
7. 5(2 x 23). 2(3x 26)
8. 2( 4 x 21)$ 5(3x 2 4)
9. 5( 4 x 2 4).23(2 x 21)
9. Sea h la relación que asocia a cada persona con sus respectivas
huellas digitales.
8
10. 7(2 x 23)$ 2(9 x 2 5)
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“E pur si muove”
Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol).
Galileo
En donde se observa que todo número natural es un número
entero, por lo que utilizando la notación de subconjunto, se tiene
que: » ⊂ »
El conjunto de los números racionales se denota por » y se define así:
{
}
a
a ∈» ,b ∈» ,b ≠ 0
b
Que se lee: “ » el conjunto de números de la forma a entre b tales
que a y b son números enteros y b es diferente de cero”.
»5
Todo número entero se puede expresar como el cociente de dos
enteros, la manera más simple de hacerlo consiste en dividirlo entre la unidad, como en:
5
3
0
5 5 , 35 , 0 5
1
1
1
Por lo tanto: » ⊂ »
Introducción
Este bloque inicia con algunos conceptos preliminares que son necesarios para establecer una comunicación adecuada.
Las nociones de función y de relación se introducen a partir de
ejemplos. Estos conceptos se amplían gradualmente.
Las funciones se presentan como una ecuación, como un conjunto
de pares ordenados y se les representa por tablas o gráficas.
Se clasifica a las funciones por sus características y se les estudia por
sus propiedades como inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Aunque no están en el programa, se consideró conveniente incluir
el concepto de intervalo que se utiliza en diversas partes del curso.
Conceptos preliminares
Con el propósito de comprender la diferencia entre una relación y
una función, es conveniente revisar algunos conceptos preliminares como los siguientes.
Los números reales. En el desarrollo de esta obra se utilizan los números reales. Algunos de sus subconjuntos más importantes son:
El conjunto de los números naturales que se denotan por » y se
define así:
»5{1, 2 ,3,...}
Donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente”.
El conjunto de los números enteros que se denota por • y se define así:
»5{..., 23, −2 , 21, 0 ,1, 2 ,3,...}
Por definición, un número racional es el cociente de dos números
enteros. Al efectuar la división se puede obtener un cociente exacto
o aproximado de sus términos.
1
Tal es el caso de que al efectuar la división da como resultado
2 4
0.25, o bien, cuyo cociente es 0.666... A este tipo de expresiones
3
numéricas se les da el nombre de fracciones periódicas.
En teoría de conjuntos se establece y demuestra que los conjuntos
A y B son iguales cuando A es subconjunto de B y B es subconjunto
de A, es decir:
A5B⇔A⊂B∧B⊂A
Que se lee: “conjunto A es igual a conjunto B si y sólo si el conjunto A es subconjunto del conjunto B y el conjunto B es subconjunto del conjunto A”.
Por otra parte, también se puede demostrar que a todo número
racional le corresponde una expresión decimal periódica y toda
expresión decimal periódica es igual a un número racional.
En consecuencia, » {números racionales} 5 {números decimales periódicos}
El conjunto de los números irracionales se denota por »9 y está
formado por todos los números decimales no periódicos como en
el caso de π que es aproximadamente igual a 3.1415926535..., el
2 51.4142... el e52.71828... sus simétricos y todos los demás
decimales no periódicos.
De lo anterior se concluye que:
Que se puede expresar como:
{Decimales periódicos} ∩ {Decimales no periódicos} 5 [
O bien: » 5{..., 23, 22 , 21} ∪ {0} ∪ »
Lo cual se puede representar así:
»5{..., 23, 22 , 21} ∪ {0} ∪ {1, 2 ,3,...}
{Decimales periódicos} ∪ {Decimales no periódicos} 5 {decimales} 5 {reales}
9
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Racionales positivos
Enteros positivos (naturales)
Fracciones comunes y decimales positivos
Cero (entero)
Racionales
Racionales negativos
Reales
Enteros negativos
Fracciones comunes y decimales negativos
Positivos
Negativos
Irracionales
Dichas rectas se llaman ejes coordenados. Al eje horizontal se le
llama eje x x’, eje x o eje de las abscisas. Al vertical se le llama y y’, eje
y o eje de las ordenadas; los puntos del eje x a la derecha del origen
están asociados con números positivos y los puntos que están a la
izquierda del origen se asocian con números negativos. De manera
semejante, en el eje y los puntos que están arriba del origen se asocian con números positivos y los que están abajo del origen con
números negativos.
Reales
Irracionales
Racionales
Enteros
Naturales
Los ejes pertenecen a un plano que se divide en cuatro regiones
llamadas cuadrantes, que se numeran como se indica en la figura
anterior.
Figura 1.2
Generalmente, se elige la misma unidad de medida en ambos ejes a
partir del origen y se trazan las marcas que se asocian con números
enteros, de manera que a cada punto del plano se le asocia un par
de números, e inversamente, a cada par ordenado de números le
corresponde un punto del plano.
Sistema coordenado rectangular
Consiste en dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un
punto 0 al que se llama origen del sistema.
y
II
I
Q(–3, 4)
P(x, y)
x’
x
Cuando se dan las coordenadas de un
punto para representarlo en el plano se
procede a la inversa, es decir, si un punto
R tiene como coordenadas (–4, –3), primero se localizan el –4 en el eje x y el –3
en el eje y, a partir de estos puntos se trazan perpendiculares a los ejes y en el punto donde se cortan esas perpendiculares
está el punto que se quiere representar.
IV
De esta manera se han representado los
puntos R (–4, –3) y S (4, –5).
R(–4, –3)
S(4, –5)
III
Figura 1.3
10
y’
Un punto P del plano se localiza trazando
desde él perpendiculares a los ejes x y y.
Los valores de x y y de los puntos de intersección de estas perpendiculares con
los ejes son respectivamente la abscisa
(coordenada x) y la ordenada (coordenada y) del punto P que se simboliza como
P( x , y) y se lee: “punto P de coordenadas
equis, ye”. En la figura anterior, el punto P
tiene como coordenadas (5, 3), y el punto Q tiene como coordenadas (–3, 4).
Grupo Editorial Patria®
Para tu reflexión
la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, es decir:
Galileo
Cuando Galileo estudiaba en Pisa observó, en una catedral, que una
lámpara oscilaba regularmente. Una vez en casa experimentó con bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes y encontró que,
sin importar la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita
tardaba el mismo tiempo en recorrer la ida que la vuelta. Sólo el cambio de la longitud afectaba el tiempo de la oscilación. Esta observación
condujo al invento del péndulo, utilizado en instrumentos de precisión
para medir el tiempo, como los relojes.
velocidad 5
d
t
d
80 5 , por tanto d 5 80
1
d
80 5 , por tanto d 5 160
2
d
80 5 , por tanto d 5 240
3
d
80 5 , por tanto d 5320
4
d
80 5 , por tanto d 5 400
5
d
80 5 , por tanto d 5 480
6
v 5
o bien:
de donde:
Desde lo alto de la torre de Pisa dejó caer dos bolas de plomo, una de
una libra y otra de 10 libras y éstas llegaron al suelo aproximadamente
al mismo tiempo. De esta manera comprobó que era falsa la afirmación
de Aristóteles: la velocidad de los objetos es proporcional a su peso.
Construyó un plano inclinado con el que formuló sus teorías sobre las
relaciones que guardan entre sí, la velocidad, la distancia y el tiempo.
La obra de Galileo sirvió de base para la formulación de las leyes del
movimiento de Newton. Su método de experimentación y observación
directa ha sido fundamental para el desarrollo de la ciencia moderna.
distancia
tiempo
Con los valores dados y los obtenidos puedes construir una tabla.
t
d
1
80
2
160
3
240
4
320
5
400
6
480
En ella puedes observar que la velocidad es una constante, es decir:
d 80 160 240 320 400 480
5
5
5
580
v5 5 5 5
2
3
4
5
6
t 1
1.1 Funciones
A partir de los conceptos revisados se introduce la noción de función. Este concepto es muy importante dentro de las matemáticas.
Los dos problemas que se estudian a continuación nos permitirán
comprenderlo para después formalizarlo y estudiarlo con mayor
amplitud.
Ejemplo
Si un vehículo se mueve a una velocidad constante de 80 kilómetros
por hora, halla la distancia que recorre en 1, 2, 3, 4, 5 y 6 horas.
Solución:
Sabemos que la velocidad uniforme es aquella que no varía con el
tiempo. También que la velocidad es el cociente que resulta de dividir
También puedes observar que los valores que toma la distancia dependen de los valores que toma el tiempo, de manera que a menor
tiempo corresponde menor distancia y a mayor tiempo corresponde
mayor distancia. Por tanto, la distancia y el tiempo son variables.
La variable a la que se asignan valores, en este caso el tiempo, se denomina variable independiente; la variable cuyo valor se determina
por el que toma aquélla, la distancia en este caso, se llama variable
dependiente o función.
En este problema, en consecuencia, la distancia es una función del
tiempo.
11
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Los valores de la tabla se pueden representar en el plano coordenado para trazar la gráfica correspondiente. Dichos valores también
se pueden disponer en una tabla en forma vertical.
Los valores de la tabla se colocan de manera que queden en el primer renglón (o primera columna) los que corresponden a la variable independiente y en el segundo renglón (o segunda columna),
los que corresponden a la variable dependiente o función.
P 5a 1a 1a 1a
O bien:
P 5 4a
De donde: P 5 4(10) por tanto, P 5 40
P 5 4(12) por tanto, P 5 48
P 5 4(14) por tanto, P 5 56
td
Distancia
1
80
2
160
P 5 4(18) por tanto, P 5 72
3
240
P 5 4(20) por tanto, P 5 80
4
320
Con los valores obtenidos se puede construir la tabla:
5
400
6
480
P 5 4(16) por tanto, P 5 64
a
10
12
14
16
18
20
P
40
48
56
64
72
80
En esta tabla puedes observar que si se divide el perímetro entre la
longitud de lado correspondiente se obtiene como constante 4, que es
el número de lados de la figura.
Distancia
480
P 40 48 56 64 72 80
5 5 5 5 5 5 54
a 10 12 14 16 18 20
400
320
240
160
80
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo
Figura 1.4
En el plano coordenado, los valores de la variable independiente
se localizan en el eje x o eje de las abscisas, mientras que los de la
variable dependiente (o función) se localizan en el eje de las y o eje
de las ordenadas.
Ejemplo
Se desea delimitar un terreno que tiene forma de cuadrado. Calcula el
número de metros lineales de cerca que se necesitan si la longitud del
lado mide 10, 12, 14, 16, 18 y 20 metros.
Solución:
Por la geometría sabemos que el perímetro del cuadrado se obtiene
sumando las longitudes de sus lados, que tienen la misma medida,
por lo que si designamos el perímetro con P y la longitud del lado igual
con a, entonces:
12
También puedes observar que los valores que toma el perímetro dependen de los valores que toma la longitud del lado de manera que
a menor longitud del lado corresponde menor perímetro y a mayor
longitud del lado corresponde mayor perímetro. Por tanto, el perímetro y la longitud del lado son las variables, a es la variable independiente y P es la variable dependiente o función. Dicho en otras
palabras, el perímetro P es una función de la longitud del lado a.
Si se representan los valores de la tabla en el plano coordenado, se
puede trazar la gráfica correspondiente en la siguiente figura.
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Este tipo de relaciones también se establece entre las variables que
intervienen en el estudio de un determinado fenómeno de la naturaleza, social, etc., ya sea para calcular un valor preciso, o bien, para
hacer una estimación de los valores entre los cuales se espera un
resultado.
Perímetro
80
60
1.2 Relaciones
40
Dominio, contradominio e imagen
20
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
Longitud del lado
Figura 1.5
Actividad de aprendizaje
Da tres ejemplos en los que se aplique el concepto de variable e identifícala.
Expresa un ejemplo de una función como una ecuación, como una
tabla o por medio de una gráfica.
Con los ejemplos anteriores se ha tenido una aproximación a los
conceptos de función y de relación que es necesario ampliar gradualmente.
Una relación es una regla de correspondencia que se establece
entre los elementos de un primer conjunto que se llama dominio
con los elementos de un segundo conjunto que se llama contradominio (codominio), de tal manera que a cada elemento del
dominio corresponde uno o más elementos en el contradominio.
Una función es una relación en la que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.
Cada elemento del contradominio que está relacionado con algún
elemento del dominio recibe el nombre de imagen de éste. Al conjunto de imágenes se le llama rango o dominio de imágenes. El
rango es un subconjunto, propio o impropio, del contradominio.
Ejemplos
Los ejemplos que se presentan a continuación son para introducir la noción de relación. Una relación establece la correspondencia o asociación entre
los elementos de dos conjuntos de objetos.
1. A cada persona se le asocia:
Una edad, Una estatura,
Un peso, Etcétera.
2. A cada automóvil se le asocia:
Un modelo, Un número de motor,
Un número de placas (matrícula),
Etcétera.
3. En un almacén a cada artículo
se le asocia:
Un precio, Un número de inventario,
Un volumen, Etcétera.
4. A cada país se le asocia:
Un régimen socioeconómico,
Una superficie,
Una altura sobre el nivel del mar,
Un clima, Etcétera.
13
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
1.3 Regla de correspondencia
4.
Dominio
Contradominio
x
x2
En consecuencia, toda función es una relación, pero algunas relaciones no son funciones.
2
0
Para distinguir entre unas y otras veamos los ejemplos siguientes:
1
1
1.
0
4
Dominio
Contradominio
País
Capital
Canadá
Ottawa
Estados Unidos
Washington
Francia
París
Inglaterra
Londres
En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre
cada país y su respectiva capital. Como a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio entonces la
relación es una función.
2.
Dominio
Contradominio
Marca de automóvil
País
–1
–2
En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre un
número y su respectivo cuadrado. Observa que los elementos del
dominio (2 y 22) están relacionados con un mismo elemento
del contradominio (4), lo mismo ocurre con el 1 y 21 que están
relacionados con el 1; sin embargo, se cumple con el criterio de
que a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno
del contradominio y, por tanto, esta relación es una función.
La mayoría de los dominios y contradominios a que haremos referencia son conjuntos de números cuyos elementos estarán asociados mediante una regla de correspondencia que se expresa como
una ecuación con dos variables.
Fiat
Italia
Renault
Francia
Actividad de aprendizaje
Japón
Describe un ejemplo de relación e identifica su dominio y contradominio.
Citröen
Toyota
En esta relación, la regla de correspondencia se establece entre una
marca de automóvil y el país al cual pertenece su patente. Observa
que dos elementos del dominio están relacionados con un mismo
elemento del contradominio; sin embargo, a cada elemento del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio, por tanto,
esta relación es una función.
3.
Dominio
Contradominio
País
Idioma oficial
Francia
Francés
Canadá
Inglaterra
Inglés
Funciones de formas distintas
y equivalentes
Para representar una función se utiliza la notación siguiente: si en
una función al dominio se le llama conjunto A y al contradominio
conjunto B, entonces la función se simboliza: f : A → Bf .
O bien: A → B.
La regla de correspondencia de esta relación se establece entre
cada país y el idioma oficial que se habla en él. Puedes observar que
un elemento del dominio (Canadá) está relacionado con dos elementos del contradominio (francés e inglés). Esta relación no es
una función porque no cumple el criterio de que a cada elemento
del dominio corresponde uno y sólo uno del contradominio.
14
Que en ambos casos se lee: “función de A en B”.
Un elemento cualquiera del dominio se representa con la letra x
(variable independiente). Un elemento cualquiera del contradominio se representa con la letra y (variable dependiente o función).
El elemento y de B correspondiente a un elemento x de A recibe el
nombre de imagen de éste.
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El elemento y de B que es imagen de un elemento x de A se simboliza de esta manera: y 5 f (x) que se lee “y es imagen de x según la
función f ” o simplemente “y igual a f de x”. Como y 5 f (x) , el par
ordenado (x, y) se puede expresar de la siguiente forma: (x, y) 5
(x, f (x)).
Ejemplos
En un ejemplo anterior se establece la relación entre un número y su
respectivo cuadrado. La regla de correspondencia se puede expresar
así:
y 5 x2
f (x ) 5 x 2
O bien:
El dominio de esta función es A 5 {2, 1, 0, –1, –2} , de manera que las
imágenes de los elementos de A se obtienen o expresan como sigue:
f ( 2 )5 2 2 5 4
“4 es la imagen de 2”
f (1)51 51
“1 es la imagen de 1”
f ( 0 )5 0 5 0
“0 es la imagen de 0”
f (21)5(21)2 51
“1 es la imagen de –1”
f (22) = (22)2 5 4
“4 es la imagen de –2”
2
2
Una función es una relación en la que no hay dos pares ordenados
diferentes con el mismo primer elemento.
En los dos problemas, referidos a la velocidad constante y al perímetro de un cuadrado, la función se ha representado por una
ecuación con dos variables, por una tabla de valores que satisfacen
la ecuación y por una gráfica en el plano coordenado. La ecuación
nos da información completa y precisa en general, pero cuando
se desea conocer un caso particular, unos cuantos valores expresados en una tabla nos da información sobre su comportamiento
y si esos valores se representan con puntos en el plano se puede
obtener el bosquejo de una gráfica del problema que se quiere resolver.
Gradualmente se irán incorporando más elementos en el estudio
de la ecuación, la función y sus respectivas gráficas.
Una variable es un símbolo que representa un elemento cualquiera de un conjunto específico de números. Una constante es un
símbolo al que sólo se le puede asignar un valo
Ejemplos
1.
Con estos valores se obtienen los pares ordenados (2, 4), (1, 1),
(0, 0), (–1, 1) y (–2, 4), por lo que la función f también se puede expresar como un conjunto de pares ordenados así:
f 5{(2 , 4),(1, 1),(0 , 0),(21, 1),(22 , 4)}
La longitud C de una circunferencia de radio r se puede determinar con la C 5 2pr donde 2 y π son constantes mientras que C
y r son variables y como el valor de C depende del valor que toma
r, se dice que la longitud de una circunferencia es una función de
su radio.
2. El área A de un cuadrado de lado l se puede obtener con la fórmula
A 5 l 2 en la que 2 es una constante, A y l son las variables y como
el valor de A depende del valor que tome l se dice que el área de un
cuadrado es una función de su lado.
Como puedes observar, la primera componente de cada par ordenado es un elemento del dominio y la segunda componente o
imagen es un elemento de contradominio. Sin embargo, no todo
conjunto de pares ordenados representa una función en la cual,
por definición, a cada elemento del dominio corresponde una y
sólo una imagen.
Si al aplicar este criterio en un conjunto de pares ordenados se
observa que no existen dos pares diferentes con el mismo primer
elemento entonces es una función. En caso de que dentro del conjunto de pares ordenados existan dos diferentes con el mismo primer elemento, significará que un elemento del dominio tiene dos
imágenes y por tanto no es una función.
Anteriormente se dieron los conceptos de relación y de función
como una regla de correspondencia. Con base en la información
adicional podemos definir cada una de ellas de manera equivalente
como un conjunto.
Una relación es cualquier conjunto de pares ordenados de elementos.
15
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Actividad de aprendizaje
Ejemplo
¿A qué se le llama imagen?
En una función expresada como un conjunto de pares ordenados:
¿Qué nombre se da al conjunto formado por el primer componente de cada
pareja?
f ( x )5
1
x
Una función irracional es aquella que contiene variables con exponentes fraccionarios.
Ejemplo
y 5sen x
¿Qué nombre se da al conjunto formado por el segundo componente de
cada pareja?
⎛ 1⎞
f ( x )5⎜ ⎟
⎝ 2⎠
x
y 5log 2 x
Explica por qué toda función es una relación pero no toda relación es una
función.
Aplica lo que sabes
Clasificación de las funciones como:
algebraicas y trascendentes, continuas
y discontinuas y uno a uno, sobre y
biunívocas
El estudio de las funciones se facilita si las clasificamos por sus características.
Algebraicas y trascendentes
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
Investiga cuál es el proceso de producción del papel.
Investiga qué cantidad de papel se produce en nuestro país al año.
Investiga qué cantidad de ese papel se utiliza para impresión.
Elabora una expresión algebraica que relacione las dos cantidades
anteriores.
¿Qué se puede hacer para reducir al mínimo el consumo de papel?
Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer
para cuidar nuestro medio.
De manera general, es posible clasificar las funciones en algebraicas y trascendentes.
Una función algebraica es aquella cuyo valor puede ser obtenido
mediante un número finito de operaciones algebraicas.
Ejemplo
f ( x )5 x 2 1 2 x 23
Las funciones algebraicas pueden ser racionales o irracionales.
Una función racional es aquella en la que las variables no figuran con
exponentes fraccionarios.
Continuas y discontinuas
De manera intuitiva se dice que una función es continua cuando su
gráfica se puede hacer de un solo trazo sin despegar el lápiz del pa-
16
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pel. En caso contrario se dice que la función es discontinua. Esto lo
puedes observar, por ejemplo, en las gráficas de las funciones seno
y tangente, respectivamente.
Actividad de aprendizaje
Cuando la gráfica de una función no tiene interrupciones ni saltos, se
dice que es
Presenta una gráfica que ilustre una función continua o una función discontinua.
En la figura 1.6 también puedes observar que el ángulo de inclinación de la recta es agudo, en consecuencia la pendiente es positiva,
m . 0. Por tanto, decir que una función lineal es creciente significa que tiene pendiente positiva y viceversa.
Función decreciente. Cuando los puntos x1, x2 son tales que
x1 , x 2 y sus respectivas imágenes guardan entre sí la relación
f ( x1 ) . f ( x 2 ) de manera que x1 , x 2 ⇒ f ( x1 ) . f ( x 2 ) entonces se trata de una función decreciente. Dicho de otra manera, cuando al aumentar el valor de x, también aumenta el valor de sus respectivas imágenes se trata de una función creciente; pero si al aumentar
el valor de x disminuye el de sus respectivas imágenes, entonces la
función es decreciente.
f(x)
f(x3)
f(x2)
x1
Crecientes y decrecientes
Función creciente. Si los puntos x1, x2 son tales que x1 , x2, como
se ilustra en la figura, y se obtienen sus respectivas imágenes que
mantienen la siguiente relación f ( x1 ) , f ( x 2 ), entonces la representación geométrica corresponde a una función creciente, es decir, cuando x1 , x 2 ⇒ f ( x1 ) , f ( x 2 ) .
x2
f(x3)
x3
x
Figura 1.7
En la figura 1.7 el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, en
consecuencia la pendiente es negativa , m , 0. Por tanto, decir que
una función lineal es decreciente significa que tiene pendiente negativa y viceversa.
Cuando la recta es paralela al eje x, su ángulo de inclinación es 0º,
por ello su pendiente es cero. Esto significa que la función correspondiente no es creciente ni decreciente.
f(x)
Lo ya expuesto nos permite, mediante una simple inspección de
la expresión algebraica de la función lineal, identificar cuándo es
creciente (m . 0) o decreciente (m , 0).
f(x3)
f(x2)
Actividad de aprendizaje
x1
x2
f(x1)
x3
x
Si una función es creciente, entonces su pendiente es:
Si una función es decreciente, entonces su pendiente es:
Figura 1.6
17
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Traza la gráfica de f (x ) 5 | x | con 23 # x # 3 y señala dónde es
creciente o decreciente.
Mexicana con su respectiva capital. En otra situación, algunos
elementos del contradominio quedan sin relacionar, es decir,
no son imagen de algún elemento del dominio; por ejemplo,
al relacionar los automóviles de una entidad federativa con sus
respectivas matrículas (placas), algunos juegos de placas no
corresponden a ningún automóvil.
b) En otras funciones, cada elemento del contradominio es imagen
de por lo menos un elemento del dominio, como sucede en los
casos siguientes.
r 4J TF SFMBDJPOB DBEB FOUJEBE GFEFSBUJWB EF MB 3FQÙCMJDB
Mexicana con su respectiva capital, entonces el conjunto de
imágenes (C) es igual al contradomino (B), es decir, C 5 B.
r 4JTFSFMBDJPOBOMBTMFUSBTEFMBMGBCFUPFTQBÒPMDPOVOBWPDBMP
consonante, entonces cinco elementos del dominio tendrán
como imagen vocal y los 22 restantes tendrán como imagen
consonante, por tanto, C 5 B.
Aplica lo que sabes
Explica por qué una parábola
con eje focal paralelo al eje y
representa una función mientras que una parábola con
eje focal paralelo al eje x no
representa una función. Fundamenta tu respuesta.
r 4J QBSB VO FTQFDUÃDVMP DVZP QSFDJP EF FOUSBEB FT ÙOJDP TF
relaciona a los concurrentes con el precio de su boleto, entonces
cada espectador tiene la misma imagen, por lo cual, C 5 B.
c) En otras funciones se cumplen las condiciones de los incisos a)
y b), es decir, a elementos diferentes del dominio corresponden
imágenes diferentes; además cada elemento del contradominio
es imagen de algún elemento del dominio, tal es el caso de la
relación que se establece entre las entidades federativas y sus
respectivas capitales, o entre las personas y sus huellas dactilares.
Función inyectiva (uno a uno). Las funciones descritas en el inciso
a) tienen la propiedad de que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes, y se les llama funciones inyectivas.
Una función f : A → B es inyectiva si para todo x1, x2 de A, x1 ≠ x 2
implica que f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) o lo que es lo mismo, si f ( x1 )5 f ( x 2 )
entonces x1 5 x 2.
Funciones inyectivas, suprayectivas
y biyectivas,uno a uno,
sobre y biunívocas
Propiedades de las funciones
En los ejemplos de funciones estudiadas hasta ahora se observan
ciertas características que las distinguen:
a) En algunas funciones, a elementos diferentes del dominio
corresponden diferentes imágenes. Además, se pueden dar las
siguientes situaciones: que cada elemento del contradominio
sea imagen de algún elemento del dominio; dicho caso se
presenta al relacionar cada entidad federativa de la República
18
Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento
del contradominio es imagen de, cuando más, un elemento del
dominio. A la función inyectiva también se le llama función “uno
a uno”.
Ejemplos
1. Las siguientes son funciones inyectivas:
A
B
Pegaso
Mercedes
Fiat
España
Alemania
Italia
Francia
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A
A
B
Mercedes
Francia
Fiat
Italia
Renault
Alemania
0
4
8
3
7
2
6
1
5
9
B
par
impar
Figura 1.10
Figura 1.8
“x número dígito es par o impar”.
“x marca de automóvil es de y país”.
2. Sea f :» → » tal que f (x ) 5 x
2
A
Algunos pares ordenados que pertenecen a la función f son:
f 5{(1, 1),(2 , 4),(3, 9),( 4 , 16),...}
Y en ellos observas que cada imagen corresponde a uno solo de
los elementos del dominio.
–3
–2
–1
0
1
2
3
B
0
1
4
9
Figura 1.11
f(x) 5 x 2.
Actividad de aprendizaje
Da un ejemplo de una función inyectiva.
Dicho en otras palabras, una función es suprayectiva, si cada elemento del contradominio es imagen de cuando menos un elemento
del dominio. A la función suprayectiva también se le llama función
sobre.
Actividad de aprendizaje
Función suprayectiva
Las funciones descritas en el inciso b) tienen la propiedad de que
todo elemento del contradominio es imagen, bajo la función, de
algún elemento del dominio.
Sea f : A → B . Sea C la imagen del dominio de f. Si cada elemento
del conjunto B, o contradominio de f, es imagen de un elemento de
su dominio de tal manera que B 5 C; entonces f es una función suprayectiva, o bien, una función es suprayectiva si y sólo si para todo
y en B implica que existe x en A de tal forma que y 5 f (x).
Ejemplos
1. Las siguientes son funciones suprayectivas:
A
B
Fiat
Renault
Citröen
Figura 1.9
“x marca de automóvil es de y país”.
Italia
Francia
Describe un ejemplo de una función suprayectiva.
Función biyectiva
Las funciones en las que a elementos diferentes del dominio corresponden imágenes diferentes y, además, cada elemento del contradominio es imagen de algún elemento del dominio, son inyectivas y suprayectivas a la vez, y se llaman funciones biyectivas.
Una función f : A S B es biyectiva si y sólo si es inyectiva y suprayectiva. A la función biyectiva también se le llama función biunívoca.
Ejemplos
1. Sea f la función que relaciona a cada entidad federativa de la
República Mexicana con su respectiva capital, f es una función
inyectiva pues a entidades federativas diferentes corresponden
diferentes capitales.
19
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
También es suprayectiva porque cada elemento del contradominio es imagen de un elemento del dominio, es decir, B 5 C, por
consiguiente, f es biyectiva.
2.
A
5.
x1
x2
x3
x4
B
España
Francia
Italia
Alemania
Pegaso
Renault
Fiat
Mercedes
“x marca de automóvil es de y país”.
A
B
1
2
3
4
5
y1
y2
y3
Figura 1.15
6.
4
8
12
16
20
B
No es una función inyectiva pues x1 Z x2 pero f (x1) 5 f (x2).
Es suprayectiva porque todo el conjunto B es imagen, es decir,
B 5 C. En consecuencia, no es biyectiva.
Figura 1.12
3.
A
A
B
x1
x2
x3
x4
y1
y2
y3
y4
Figura 1.16
Figura 1.13
f(x) 5 4x.
A partir de lo ya expuesto podría pensarse que todas las funciones
son, necesariamente, inyectivas, suprayectivas y biyectivas. Por
tanto, es conveniente aclarar que algunas no poseen las propiedades de ninguna de dichas funciones.
Por ejemplo, considérese la función f que relaciona a cada ser humano del conjunto H con su respectiva edad, expresada en años
del entonces f : H S tal que f 5 {(x, y) ) x ser humano tiene
y años de edad} no es una función inyectiva, pues habrá muchos
humanos que tengan la misma edad, es decir, la misma imagen;
no es suprayectiva pues no existen seres humanos cuya edad sea
de 200, 300, 400 o más años; por tanto, dicha función tampoco
es biyectiva.
A continuación se representan diagramas de funciones con algunas de las propiedades descritas.
4.
A
x1
x2
x3
x4
B
y1
y2
y3
y4
y5
Figura 1.14
Es una función inyectiva pues a elementos diferentes del domino
corresponden imágenes diferentes. No es suprayectiva pues
y5 ∈B y no existe ningún elemento x de A tal que f (x ) 5 y5. Por
consiguiente, tampoco es biyectiva.
20
Es una función inyectiva pues a elementos diferentes del dominio
corresponden diferentes imágenes. Es suprayectiva debido a que
todo B es imagen, B 5 C. También es biyectiva porque es inyectiva y suprayectiva a la vez.
Para una determinada escuela secundaria de una comunidad,
considera:
7. La función que relaciona a los alumnos regulares con su respectivo grado.
t No es inyectiva pues varios alumnos tienen la misma imagen,
ya sea 1º, 2º o 3º.
t Es suprayectiva ya que todo B es imagen, B 5 C, B 5 {1º, 2º, 3º}
t Por consiguiente, no es biyectiva.
8. Un grupo de 20 alumnos en un salón con 35 butacas y la función
que relaciona a cada alumno con su respectiva butaca:
t Es inyectiva porque a alumnos diferentes corresponden butacas distintas.
t No es suprayectiva porque algunas butacas del contradominio
no son imágenes de ningún elemento del dominio.
t Por consiguiente, no es biyectiva.
9. Un grupo de alumnos y la función que relaciona a cada alumno
con su respectivo número de matrícula:
t Es inyectiva pues cada alumno tiene un número único de
matrícula.
t Es suprayectiva porque el conjunto de matrículas del grupo es
igual al contradominio.
t Es biyectiva por ser inyectiva y suprayectiva a la vez.
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Considera las siguientes representaciones geométricas de funciones reales para determinar el dominio, la imagen y la propiedad
de la función, ya sea inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
10.
+
12. El contradominio de la siguiente función es B5» ∪{ 0}
y
y
x
x
Figura 1.19
Figura 1.17
A5 ”
+
A 5 » ∪{ 0}, B 5 »
B 5 » + ∪{ 0} 5C
+
C 5» ∪{ 0}
No es inyectiva
Es suprayectiva
No es biyectiva
Es inyectiva
No es suprayectiva
No es biyectiva
11.
En el último ejemplo puedes observar que la gráfica no corresponde a una función inyectiva o “uno a uno” pues 2 Z22 pero
f (2) 5 f (22) 5 4, es decir, dos elementos del dominio tienen la
misma imagen. Este hecho lo puedes notar en la gráfica si trazas
rectas paralelas al eje de las x por los puntos f (x ) Z 0 de tal manera que cada recta interseca en dos puntos a la representación
gráfica de la función.
y
x
Actividad de aprendizaje
Proporciona un ejemplo de una función biyectiva y fundaméntalo.
Figura 1.18
A 5 ”B 5 ”
C5 ”
Es inyectiva
Es suprayectiva
Es biyectiva
21
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Intervalo
Examinemos los siguientes conjuntos de números:
x1 5{ x 3 , x , 7}
x 2 5{ x 3 # x # 7}
x 3 5{ x 3 , x # 7}
x 4 5{ x 3 # x , 7}
Esta forma de representación se conoce como constructivista.
Notamos que los cuatro conjuntos sólo contienen los puntos que están entre 3 y 7, con las excepciones posibles de 3 o 7. Estos conjuntos se
llaman intervalos y los números 3 y 7 son los extremos de cada intervalo. x1 es un intervalo abierto porque no contiene los extremos, x2 es un
intervalo cerrado ya que contiene ambos extremos, x3 y x4 son abierto-cerrado y cerrado-abierto, respectivamente.
La representación gráfica de estos conjuntos en la recta real es como sigue:
x1
0
3
0
3
0
3
0
3
x2
x3
x4
7
7
7
7
Figura 1.20
Observamos que en cada diagrama se encierran con un círculo los extremos 3 y 7, y se remarca el segmento entre dichos puntos. Cuando un
intervalo incluye un extremo, se llena el círculo que representa dicho extremo.
Como los intervalos aparecen con mucha frecuencia en matemáticas, empleamos una notación abreviada para designarlos. De esta manera,
los intervalos anteriores los denotamos así:
x 2 5[3, 7]
x1 5 3, 7
x3 5 3, 7 ]
x 4 5[3, 7
Un paréntesis rectangular (corchete) nos indica que el extremo se incluye y un paréntesis “KoL” nos indica que el extremo no está incluido en el
intervalo; en este caso también se utiliza el paréntesis “(“ o ”)”.
Intervalos infinitos
Los conjuntos de la forma:
A 5{ x x .1}
C 5{ x x ,3}
B 5{ x x $2}
D 5{ x x #4}
E 5{x x ∈»}
Se llaman intervalos infinitos. También se les denota por:
A5 1, ∞
22
B 5 [2, ∞8
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C 5 2∞, 3
D5 2∞ , 4 ⎤⎦
E5 2∞ , ∞
Y se representan en la recta real, de la siguiente forma:
A
B
0
C
0
D
0
0
E
0
Figura 1.21
Ejemplos
Halla el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades
y exprésalo como intervalo (x H ”):
3( x 13),( x 1 5)
14 x235 $ 214
14 x $ 214 135
3x 1 9 , x 1 5
14 x $ 21
3x 2 x , 5 2 9
x$
2 x ,24
21 3
5
14 2
{
4
x ,2 52 2
2
Conjunto solución x x $
Conjunto solución { x x ,2 2} 5 2 ∞ , 2 2
36 x2 27 # 45
3(x + 4) . 15
36x # 45 1 27
3x + 12 . 15
36x # 72
3x . 15 2 12
3x . 3
x.
9( 4 x23)# 45
}
3 ⎡3
5 ,∞
2 ⎢⎣ 2
x#
3
51
3
{
}
Conjunto solución x x.1 5(1, ∞)
72
52
36
x#2
Conjunto solución {x ) x # 2} 5 (2∞, 2]
7(2 x2 5)$ 214
23
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Localiza en el plano coordenado a los puntos P (x, y )tales que:
a) x t y . 0
b) x t y , 0
c) x t y 5 0
3. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la
constante (o constantes) en la expresión:
a) A 5 2p r h, donde A es el área lateral de un cilindro de radio r
y altura h.
2. Identifica la variable independiente, la variable dependiente y la
constante, en cada uno de los casos siguientes:
a) Determina el importe t del consumo de electricidad de k kilovatios hora que cuestan P unidades de dinero por kilovatiohora.
b) h 5
gt 2
donde h es la altura de un cuerpo que cae libre2
mente, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
b) La población P de una ciudad se duplica cada n años, halla P
cuando han transcurrido 2n, 3n y 4n años.
4. Dados los siguientes conjuntos de pares ordenados, identifica los
que son o no son funciones. Fundamenta tu respuesta. En el caso
de los que son funciones determina su dominio y su imagen.
a) {(1, 7),( 2 , 7),(3, 7),( 4 , 7),( 5 , 7),(6 , 7)}
b) {(1, 0),(2 , 4 ),(3, 5),(2 , 4 ),(3, 6),( 4 , 3)}
c) {(1, 2),(2 , 3),(3, 4),( 4 , 1)}
24
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Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la definición y diferencia entre los conceptos de relación y función del Bloque 1.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
cumple
sí
no
Observaciones
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo
que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del
alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con
letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los
datos obtenidos o las condiciones del problema.
Desarrollo
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener
los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares
para apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones
o conceptos consultados para sustentar teóricamente las
acciones realizadas.
Conclusiones Dominio del tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales,
éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.
11. Conoce y distingue correctamente los conceptos de relación y de función.
12. Argumenta por qué una relación es o no es una función.
13. Conoce distintas formas de expresión de una función: como
una relación de dependencia entre variables, como un conjunto de pares ordenados, como una representación gráfica
en el plano cartesiano.
14. Determina el dominio y contradominio de una relación y de
una función.
15. Establece la diferencia entre una relación y una función.
16. Reconoce las distintas formas de expresión de una función.
25
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Relaciones y
funciones
Conoce y distingue las
características de relaciones
y funciones. Determina el
dominio y rango de una
función.
Distingue características
de relaciones y funciones.
Determina el dominio y
rango de una función.
Conoce y distingue algunas
características de relaciones
y funciones.
No conoce ni distingue
las características de
relaciones ni de funciones.
No determina el dominio y
rango de una función.
Funciones de
formas distintas y
equivalentes
Conoce y distingue distintas
formas del concepto de
función.
Distingue formas del
concepto de función.
Conoce alguna forma del
concepto de función.
No conoce ni distingue
formas del concepto de
función.
Clasificación de
las funciones
como: algebraicas
y trascendentes,
continuas y
discontinuas, uno
a uno, sobre y
biyectivas
Identifica, clasifica y
distingue funciones
algebraicas y trascendentes,
continuas y discontinuas,
uno a uno, sobre y
biyectivas.
Identifica y distingue
funciones algebraicas y
trascendentes, continuas
y discontinuas, uno a uno,
sobre y biyectivas.
Identifica algunas funciones
algebraicas y trascendentes,
continuas y discontinuas,
uno a uno, sobre y
biyectivas.
No identifica, ni clasifica,
ni distingue funciones
algebraicas y trascendentes,
continuas y discontinuas,
uno a uno, sobre y
biyectivas.
En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te
posibilitará registrar de manera ordenada numerosas actividades. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite.
Registro anecdótico
Fecha:
Tarea:
Docente:
Registro de actividades
26
Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos
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Portafolio de evidencias
El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:
r Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos,
cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de
aprendizaje en este curso.
r No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son
los más significativos en el proceso de aprendizaje.
r Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.
Etapas para realizar tu portafolio de evidencias
Instrucciones para seleccionar las evidencias
1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el
periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre,
semestre).
1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste
de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.
2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.
3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.
3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.
2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.
Propósito del portafolio de evidencias
Semestre
Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente
que te permita el uso óptimo de la información recopilada.
Asignatura
Número de bloques
del libro
Nombre del estudiante:
Criterios de reflexión sobre las evidencias
Comentarios del estudiante:
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?
¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este
portafolio?
¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?
¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el
curso?
¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?
Monitoreo de evidencias
#
Título
Fecha de elaboración
Comentarios del profesor/a:
1
2
3
4
5
27
1
BLOQUE
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Lista de cotejo
Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia
de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas.
Instrucciones: Marcar con una ✗, en el espacio de acuerdo al desempeño obtenido.
Excelente = 5
Bueno = 4
Regular = 3
Deficiente = 2
Estructura
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
Sí
No
1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante.
2. Cuenta con un apartado de introducción.
3. Cuenta con una sección de conclusión.
4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas.
Estructura interna
5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo.
6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica.
7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes.
Contenido
8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante.
9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento.
10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento.
11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante.
12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos.
Aportaciones propias
13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana.
14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia.
15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información.
Interculturalidad
16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad.
Total
28
Grupo Editorial Patria®
Escala de clasificación
La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de Evaluación
del Aprendizaje. DGB, 2011).
Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser
adaptado a las necesidades específicas de cada tema.
Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número
que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre se
presenta el atributo.
Contenido
1. Desarrolla los puntos más importantes del tema.
0
1
2
3
2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión.
0
1
2
3
3. La información es concisa.
0
1
2
3
4. Relaciona los conceptos o argumentos.
0
1
2
3
5. Presenta transiciones claras entre ideas.
0
1
2
3
6. Presenta una introducción y conclusión.
0
1
2
3
7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema.
0
1
2
3
8. Incluye materiales de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos.
0
1
2
3
0
1
2
3
10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la
audiencia.
0
1
2
3
11. Se apoya en diversos materiales.
0
1
2
3
12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo.
0
1
2
3
13. Muestra constante contacto visual.
0
1
2
3
14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos.
0
1
2
3
Coherencia y organización
Aportaciones propias
Material didáctico
9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema.
Habilidades expositivas
Total
Puntaje total
29
Aplicas funciones especiales y transformaciones
de gráficas
2
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
2.1 Función inversa
2.2 Función escalonada
2.3 Función valor absoluto
2.4 Función identidad
2.5 Función constante
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
„
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
„
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
¿Qué sabes hacer ahora?
Encuentra la ecuación de la función inversa f ( x ) 5 3x 2 2 así como su
respectivo dominio y rango.
1.
Encuentra la ecuación de la función inversa f ( x ) 5 4x 1 5 así como su
respectivo dominio y rango.
2.
Utiliza como base la gráfica y 5 x 2 para trazar la gráfica y 5 x 2 1 3.
3.
Utiliza como base la gráfica y 5 x 2 para trazar la gráfica y 5 x 2 2 3.
4.
Utiliza como base la gráfica y 5 | x | para trazar la gráfica y 5 | x 2 2 | .
5.
Desempeños por alcanzar
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Representa el conjunto de parejas ordenadas que corresponde a la función
inversa de una función dada.
Escribe la ecuación de la relación inversa de una función dada.
Señala si la relación inversa corresponde a una función.
Utiliza la tabla y gráfica de una función para trazar la gráfica de su función
inversa posible.
Resuelve problemas que involucren funciones inversas, escalonadas, valor
absoluto, idéntica y constante.
Argumenta el uso de traslaciones o reflexiones específicas para la resolución
de problemas teóricos-prácticos.
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
A partir de la f ( x )5 x 24 , x$4 encuentra la ecuación de su función inversa, así como su respectivo dominio y rango. Representa en un
mismo plano coordenado a las dos funciones.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente las condiciones del problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
¿Cómo se pueden obtener puntos de la gráfica de la función para
trazar un bosquejo?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se obtiene la expresión algebraica de la función inversa?
Evaluación por producto
¿Cómo se pueden obtener puntos de la gráfica de la función inversa para trazar un bosquejo?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
¿Cómo se determina el dominio y rango de la función dada y de su
inversa?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar la representación geométrica de la función dada
así como de su inversa que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de
5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las fuentes
consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tie-
Situación didáctica
Respecto a la función identidad traza una reflexión y 5 x 23,
x $ 3. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?
32
Producto a elaborar
Representación geométrica de la función dada y de su inversa, así
como sus respectivos cálculos para determinar su dominio y rango.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
ne un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu
calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total
de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
¿Cuál es el dominio y rango de cada función?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se determina el rango de la función dada?
¿Qué sustitución debe hacerse en la función dada para poder transformarla?
¿Qué operaciones deben efectuarse para obtener la ecuación de la
función inversa?
¿Cómo se obtiene el dominio y el rango de la función inversa?
¿Cómo se representa en el plano coordenado a la función dada y su
reflexión con respecto a la función identidad?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar la ecuación de la función inversa que se pide,
deben anexarse los conceptos investigados y los cálculos realizados; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el
material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo
realizado, la forma, las fuentes consultadas, etc. La descripción
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentación de una tabla de distancias recorridas por el camión
en cada ruta.
Representación geométrica de la función dada y de su inversa, así
como sus respectivos cálculos para determinar su dominio y rango.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que
se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
33
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Ejercicios matemáticos 5
Para cada una de las siguientes funciones, encuentra la ecuación de
su función inversa correspondiente, así como su respectivo dominio y rango.
1. f ( x )53x 2 2
6. f ( x )5 x 23 x$3
2. f ( x )5 4 x 1 5
4 25x
3. f ( x )5
; x≠0
x
1
4. f ( x )5 2 2 ; x ≠ 0
x
5. f ( x )5 x ; 0 # x #16
7. f ( x )5 x 2 23
8. f ( x )5 x 3
9. f ( x )5 x 3 21
10. f ( x )52 x 2 ; x$0
Ejercicios matemáticos 6
1. Utiliza como base la gráfica y 5 x 2, para trazar las gráficas de:
a) y 5 x 2 13
d) y 5( x 13)2
b) y 5 x 2 23
e) y 52 x 2 11
c) y 5( x 21)2
2. Utiliza como base la gráfica y 5 x , para trazar las gráficas de:
a) y 5 x 22
d) y 5 x 13
b) y 5 x 13
e) y 52 x
Se alcanza el éxito convirtiendo cada paso
en una meta y cada meta en un paso.
Carlos Cumandá Cortés
Introducción
A partir del reconocimiento de las características de la función inversa de una función dada se procede a su representación geométrica y algebraica con respecto a la función identidad.
En cuanto a la función valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas, se les define y representa por medio de tablas y gráficas, se
determina la imagen de su dominio y se analizan sus propiedades.
Con las gráficas de funciones se realizan transformaciones como
traslaciones verticales y horizontales o reflexiones respecto a los
ejes o respecto a la recta y 5 x.
2.1 Función inversa
Las funciones inversas tienen características que nos permiten
identificarlas. A continuación vamos a examinar la noción de función inversa.
Sean f1 , f 2 , f3 funciones A → B, tales que f1 es inyectiva pero no
suprayectiva, f2 es suprayectiva, pero no inyectiva y f3 es inyectiva
y suprayectiva, es decir, biyectiva.
A
B
1
2
3
4
a
b
c
c) y 5 x 22
A
3. A partir de la gráfica y 5 x ; x $ 0:
a) Traza en un mismo plano coordenado a su simétrica con
respecto al eje x. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?
c
A
5. Con respecto a la función identidad, traza una reflexión
y 5 x ; x $ 0. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?
2
B
a
1
b
2
c
3
Figura 2.1
f1 , f 2 , f3 , respectivamente.
34
1
b
b) Traza en un mismo plano coordenado a su simétrica con
respecto al eje y. ¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?
4. Representa en un mismo plano coordenado a los puntos
A(2, 3) y A9(3, 2) y determina con respecto a qué recta son
simétricos. ¿Cuál es la ecuación de esa recta?
B
a
Grupo Editorial Patria®
Si en cada caso se intercambian el dominio y el contradominio y se
invierte la regla de correspondencia de la función, se obtienen los
siguientes diagramas:
A
B
1
2
3
4
A
a
b
c
Si una función es biyectiva, entonces tiene una única función inversa que se denota por f 21.
Si f : A → B es biyectiva, entonces la f 21 : B → A donde f 21 5
{( f ( x ), x ) x ∈ A } es la función inversa de f. Observa que el rango de f es el dominio de f 21 y el dominio de f es el rango f 21.
En general, si una función: f : A → B es biyectiva, su inversa
f 21 : B → A también es biyectiva.
La obtención de parejas ordenadas y de la regla de correspondencia de la inversa de una función se ilustra en el siguiente ejemplo.
B
a
1
Ejemplo
b
c
2
Sea la f :» → » tal que f ( x )53x 1 2
Si se calculan algunos valores de x se puede obtener la tabla:
A
B
1
a
2
b
3
c
Figura 2.2
f1 21 , f 2 21 , f3 21 , respectivamente.
En los diagramas anteriores puedes notar que la relación del primero no es una función, pues el elemento 4 del dominio no tiene
imagen; el segundo tampoco ilustra una función porque el elemento 2 del dominio tiene dos imágenes; el tercero sí representa
una función, que es biyectiva porque si la función f3 : A → B es
suprayectiva se garantiza que todo elemento del codominio es imagen del algún elemento del dominio, y como también es inyectiva,
pues elementos diferentes del dominio tienen diferentes imágenes,
al intercambiar el dominio y el contradominio también se define
una función biyectiva.
Actividad de aprendizaje
Dada una función y su inversa, ¿cómo son entre sí sus gráficas con
respecto de la función identidad?
Descripción geométrica y algebraica de
la inversa de una función
Para estar en condiciones de describir geométrica y algebraicamente la inversa de una función, se introduce la siguiente notación.
x
f (x) 5 3x 1 2
(x, f (x))
23
f (23) 5 3 (23) 12 5 27
(23, 27)
22
f (22) 5 3 (22) 12 5 24
(22, 24)
21
f (21) 5 3 (21) 12 5 21
(21, 21)
0
f (0) 5 3 (0) 12 5 2
(0, 2)
1
f (1) 5 3 (1) 12 5 5
(1, 5)
2
f (2) 5 3 (2) 12 5 8
(2, 8)
3
f (3) 5 3 (3) 12 5 11
(3, 11)
Despejando x en f ( x )53x 1 2 se obtiene f
f ( x )2 2 53 x
21
(función inversa):
f ( x )2 2
5x
3
Calculando x para los valores que se indican f (x ):
f (x)
f (x )2 2
5x
3
( f (x) x,)
27
x 5 23
(27, 23)
24
x 5 22
(24, 22)
21
x 5 21
(21, 21)
2
x 5 20
(2, 0)
5
x51
(5, 1)
8
x52
(8, 2)
11
x53
(11, 3)
35
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Ejemplo
En las tablas de f ( x )53x 1 2 y su inversa puedes observar que
están invertidos los componentes de los pares ordenados correspondientes, que se representan en la siguiente figura del plano:
2
La gráfica de la función f ( x ) 5 x es la siguiente:
f (x)
8
f (x)
53
x1
2
6
)5
x
x
f(
f
4
21
(x)
2
x
–3
–2
Figura 2.4
El dominio
Figura 2.3
En la figura anterior las representaciones geométricas de las gráficas
de f y f 21son simétricas respecto a la representación de la función
identidad.
–1
1
2
3
1
f ( x ) es y su rango » ∪{ 0}
Esta función no es inyectiva (uno a uno) pues elementos diferentes del
dominio tienen la misma imagen, lo cual puedes observar fácilmente
al trazar paralelas al eje x. A esto se le llama prueba de la horizontal,
si corta a la gráfica en un punto, la función es inyectiva y si la corta en
más de un punto no es inyectiva.
Actividad de aprendizaje
Actividad de aprendizaje
En una gráfica de una función, ¿para qué se utiliza la prueba de la
horizontal?
Dada una función, ¿qué relación guarda su dominio y rango con respecto al dominio y rango de su función inversa?
La función es suprayectiva pues para cada y ∈B existe x ∈ A tal
que f ( x )5 y .
Dominio y rango
En el apartado correspondiente a la notación de una función inversa se ha establecido que para una función f : A → B su inversa
f 21 : B → A en donde puedes notar que sus respectivos dominio
y rango están intercambiados. A continuación se presentan dos
ejemplos en los que se ilustra el procedimiento para determinar el
dominio y rango de la función inversa.
36
Para que f ( x )5 x 2 sea biyectiva es necesario que sea a la vez inyectiva y suprayectiva.
Si en la función f ( x )5 x 2 se restringe el dominio a »1 ∪ {0}
entonces f (x) es inyectiva y suprayectiva y, por tanto, es biyectiva.
En consecuencia f ( x ) tiene inversa.
El procedimiento para obtener la ecuación de la función inversa
consiste en lo siguiente:
Es necesario que la función sea inyectiva (uno a uno).
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Se despeja x en términos de y.
Como y 5 f ( x ) entonces:
f ( x )5 x
2
y5x2
Se extrae la raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad
± y 5x
Como el valor de x pertenece al dominio de los reales no negativos
se utiliza el signo 1 en lugar de ± en el radical.
Una vez despejada x en términos de y se intercambian éstas con lo
que nos queda
1 x5y
Como puedes observar, las gráficas de f ( x )5 x 2 y f 21 ( x )5 x
son simétricas con respecto a la función f ( x )5 x cuya representación gráfica corresponde a una recta con un ángulo de inclinación
de 45°. Cuando la gráfica de una función es simétrica de otra, se
dice que una es la reflexión de la otra con respecto al eje de simetría,
en este caso con respecto a la recta f ( x )5 x .
Ejemplo
Dada la f ( x ) 52 2 x 1 5 con dominio en [23, 5] , encuentra la
ecuación de su función inversa y determina su dominio y rango.
Solución:
La función f ( x ) 52 2 x 1 5 es inyectiva (uno a uno) pues a elementos diferentes del dominio les corresponden diferentes imágenes.
A esta y se le sustituye f 21, de donde
Al evaluar f ( x ) 52 2 x 1 5 en los valores extremos de su dominio
x 5 f 21
f (23)52 2(23)1 5
Las tablas de f ( x ) 5 x 2 y f 21 ( x ) 5 x para algunos valores de
x son los siguientes:
56 1 5
511
x
f (x)
x
f 21(x)
0
0
0
0
1
1
1
1
5210 1 5
2
4
4
2
525
3
9
9
3
Se determina que el rango de f ( x ) 52 2 x 1 5 es [11, 25]
4
16
16
4
Se sustituye f (x ) por y en f ( x )52 2 x 1 5
En la siguiente figura se representan las dos gráficas en un mismo
sistema coordenado junto con la función f ( x ) 5 x .
f ( 5 )52 2( 5 )1 5
y 52 2 x 1 5
Se expresa x en términos de y
y 2 5 52 2 x
3
y 25
5x
22
Al multiplicar por 21, tanto al numerador como al denominador de la
fracción, queda así:
2
52 y
5x
2
Se intercambian x y y
1
Se sustituye y f 21 (x )
0.5
1
1.5
2
2.5
3
52x
5y
2
52x
5 f 21 ( x )
2
Figura 2.5
37
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Aplica lo que sabes
Como el dominio de f
21
entonces el rango de f
21
(x ) es el rango de f (x ), es decir, [25, 11]
( x )5
f 21 (11)5
f 21 (2 5 )5
52x
[23, 5], pues
2
5 211 26
5 523
2
2
5 2(2 5 ) 10
5 55
2
2
Este intervalo corresponde al dominio f (x ).
Para tu reflexión
Jorge Simón Ohm
Herrero de oficio, construyó
los alambres y aparatos que
utilizó en sus experimentos
sobre electricidad. Demostró
que el flujo de electricidad
por los alambres del mismo
material variaba con sus dimensiones físicas.
Describe el procedimiento para determinar la función inversa de una
función dada. Incluye la obtención de sus respectivos dominio y rango, así como la representación gráfica de las dos en un mismo plano
coordenado.
2.2 Función escalonada
En un estacionamiento se cobra
$12.00 por hora o fracción. Después de la segunda hora, y hasta un
máximo de 8 horas, se cobra una
cuota fija de $30.00. Elabora una
tabla de valores y una gráfica.
Solución:
Si se representa con x el número de
horas y con y la cantidad a pagar, se
obtiene la tabla:
Encontró que el flujo de electricidad en los conductores:
a) Depende del material
con el que esté hecho
el alambre.
b) Es inversamente proporcional a su longitud.
x
y
0,x#1
12
0,x#2
24
0,x#8
30
Utilizando diferentes escalas en los ejes se puede trazar la gráfica
de la figura 2.6:
c) Es directamente proporcional a la superficie de la sección transversal del alambre.
Posteriormente demostró que el aumento de la temperatura de la
mayoría de los conductores metálicos daba lugar a una disminución
del flujo de la corriente. Sin embargo, se podía hacer que la corriente
aumentara si se incrementaba el voltaje o la diferencia de potencial
aplicado al circuito eléctrico cerrado.
La ley de Ohm se expresa I 5
E
donde I es igual a la corriente eléctrica,
R
E es igual al voltaje aplicado, R es igual a la resistencia. Cada uno de
estos elementos tiene una unidad de medida que corresponde al apellido de los científicos: amperio (Ampere: francés), voltio (Volta: italiano) y
ohmio (Ohm: alemán). Por lo que esta ley también se expresa así:
amperios 5
voltios
ohmios
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 2.6
El círculo relleno (1, 12) pertenece a la gráfica de la función, mientras que el círculo hueco (1, 24) no pertenece a la gráfica de la función.
Por la forma que tiene el trazo de la gráfica se le conoce como función escalonada o función escalón.
38
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
¿Cómo es la gráfica de una función escalonada?
Con base en lo anterior puedes observar que la función f ( x )5 x tiene como dominio a los números reales (!) y como rango a los
números enteros ()).
Aplica lo que sabes
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
¿Cuál es el rango de la función máximo entero?
1. Investiga en un estacionamiento, ¿cuál es la tarifa que se cobra por
hora o fracción?
t ¿Cuántos automóviles puede recibir como máximo?
Función máximo entero
t ¿En qué horario y días de la semana es cuando se ocupa más?
Una función escalonada, diferente a la anterior, es la función máximo entero que se expresa f ( x )5 x . Esta función asigna a cada
número real x el mayor entero que sea menor que o igual a x. Así
22 5 22; 22.3 5 23; 0.487 5 0; 4.7 5 4.
Para el intervalo ⎡⎣23, 4 se obtiene la tabla:
x
f (x)
23 # x , 22
23
22 # x , 21
22
21 # x , 0
21
0#x,1
0
1#x#2
1
2#x,3
2
3#x,4
3
Su gráfica es la siguiente:
t ¿En qué horario y días de la semana es cuando se ocupa menos?
2. Considerando los gastos de operación del estacionamiento, obtén
la expresión algebraica de una función que describa las ganancias.
3. Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para desincentivar el uso del automóvil y cuidar nuestro medio.
Las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas son
funciones especiales.
2.3 Función valor absoluto
Sea f : ! —→ !, tal que f (x) 5| x |.
Recuerda que el valor absoluto de un número se simboliza por | x |
y se define así:
⎧
|x|5 ⎨
⎩
x, si x . 0
0, si x 5 0
2x, si x , 0
Ejemplo
) 22 ) 5 2 (22) 5 2; ) 2 ) 5 2, ) 0 ) 5 0
Figura 2.7
39
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Gráfica de la función valor absoluto
La gráfica de la función valor absoluto es el conjunto de puntos
del plano que representan a los pares ordenados de la función, en
los cuales la primera componente es un número real y la segunda
componente es el valor absoluto de la primera.
Actividad de aprendizaje
La función valor absoluto, ¿es inyectiva?
f 5{(x, f (x))| f (x) 5 | x |, x H !}
Representación geométrica de la gráfica
de la función valor absoluto
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 | x |
(x, f (x))
22
f (22) 5 |22| 52
(22, 2)
21
f (21) 5 |21| 51
(21, 1)
0
f (0) 5 |0| 50
(0, 0)
1
f (1) 5 |1| 51
(1, 1)
2
f (2) 5 |2| 52
(2, 2)
La representación geométrica de los puntos de la gráfica de la función valor absoluto queda como sigue:
f(x)
Propiedades de la función valor absoluto
a) Inyectividad
Existen pares de números reales diferentes (números simétricos),
tales que su imagen bajo la función es la misma. Esto se puede evidenciar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x, pues cada una
de ellas corta en dos puntos a la representación geométrica de la
gráfica de la función; por consiguiente, la función valor absoluto
no es inyectiva.
b) Suprayectividad
La función valor absoluto tiene dominio y contradominio real,
pero su imagen es el conjunto de números reales no negativos y
ya que RZR1 ∪ {0} entonces la función valor absoluto no es
suprayectiva.
c) Biyectividad
La función valor absoluto no es inyectiva ni supraectiva y, por tanto, tampoco es biyectiva.
Ejemplo
Sea f : R ⎯→ R, tal que f ( x )5 x 22
x
Gráfica de la función
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función:
Figura 2.8
Imagen del dominio de la función valor
absoluto
Como puedes observar, a cada número real x del domino se le asocia un número real no negativo, por lo que: C 5 ! 1 ∪ {0}
40
Representación geométrica de la gráfica de la función f 5 {(x,
f (x))| f (x) 5 |x 22|, x HR}
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 | x 5 2 |
(x, f (x))
22
f (22) 5 2| 2 2 2| 54
(22, 4)
21
f (21) 5 2| 1 2 2 | 53
(21, 3)
0
f (0) 5 | 0 2 2 | 52
(0, 2)
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1
f (1) 5 |1 2 2 | 51
(1, 1)
2.4 Función identidad
2
f (2) 5 | 2 2 2 | 50
(2, 0)
Sea f : R —→ R, tal que f (x) 5 x.
3
f (3) 5 | 3 2 2 | 51
(3, 1)
Gráfica de la función identidad
4
f (4) 5 | 4 2 2 | 52
(4, 2)
La representación geométrica de los puntos de la gráfica de la función valor absoluto queda de la siguiente forma:
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, cuyos primeros y segundos componentes
son el mismo número real.
f 5 {(x, f (x))| f (x) 5 x, x HR}
Representación geométrica de la
gráfica de la función identidad
f (x)
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
Figura 2.9
Imagen del dominio o función
x
f (x) 5 x
(x, f (x))
22
f (22) 5 22
(22, 22)
21
f (21) 5 21
(21, 21)
0
f (0) 5 0
(0, 0)
1
f (1) 5 1
(1, 1)
2
f (2) 5 2
(2, 2)
Al localizar en el plano cartesiano los puntos que corresponden a
estos pares ordenados y unirlos consecutivamente se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.
Como a cada número real x del dominio se le asocia un número
real no negativo: C 5R1 ∪ {0}.
f(x)
Propiedades de la función
a) Inyectividad
La función no es inyectiva porque existen dos números reales
diferentes, por ejemplo 0 y 4, tales que su imagen bajo la función es
la misma.
x
b) Suprayectividad
La función no es suprayectiva porque su imagen es el conjunto de
los números reales no negativos: RZR1 ∪ {0}
c) Biyectividad
La función no es inyectiva ni suprayectiva y, por tanto, tampoco es
biyectiva.
Figura 2.10
41
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Imagen del dominio de la función identidad
La función identidad a cada número real x de su dominio le asocia, bajo
la función, su mismo valor como imagen, por tanto, el conjunto de las
imágenes de esta función es:
C5R
Representación geométrica de la gráfica
de la función constante
Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 3
(x, f (x))
Propiedades de la función identidad
22
f (22) 5 3
(22, 3)
a) Inyectividad
21
f (21) 5 3
(21, 3)
Dados dos números reales diferentes, las imágenes que les corresponden
también son diferentes, es decir, x1, x2 ∈ R, x1 Z x2, f ( x1 ) ≠ f ( x 2 )
por consiguiente, la función identidad es inyectiva.
0
f (0) 53
(0, 3)
1
f (1) 5 3
(1, 3)
b) Suprayectividad
2
f (2) 5 3
(2, 3)
La imagen de la función identidad es igual al codominio, B 5 C 5 R, en
consecuencia, la función identidad es suprayectiva.
c) Biyectividad
Si se localizan en el plano cartesiano los puntos correspondientes
a estos pares ordenados y se unen consecutivamente, se obtiene la
representación geométrica de una parte de la gráfica.
La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez; por tanto,
también es biyectiva.
f (x)
Actividad de aprendizaje
¿Cómo es la gráfica de la función identidad?
x
2.5 Función constante
Sea f : R ⎯→ R, tal que f ( x )5 k con k, x ∈R.
Figura 2.11
Imagen del dominio de la función
constante
Ejemplos
1. Sea f : R ⎯→ R, tal que f (x ) 5 3.
La función constante asocia la misma imagen a cada número real x
de su dominio; en este caso, la imagen de la función es:
C5{3}
Gráfica de la función constante
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante, en este
caso el número 3.
{
f 5 ( x , f ( x )) f ( x )53, x ∈»
42
}
Propiedades de la función constante
a) Inyectividad
A cada elemento del dominio corresponde el 3 como imagen, de
manera que elementos diferentes del dominio tienen la misma
imagen, por tanto, la función constante no es inyectiva.
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b) Suprayectividad
Como el dominio y contradominio de la función son los números
reales, y a cualquier x H A corresponde el número 3, entonces el
conjunto imagen es C 5 { 3} y {3 } Z R, por consiguiente, la función constante no es suprayectiva.
f(x)
c) Biyectividad
La función constante no es inyectiva ni suprayectiva, en consecuencia, tampoco es biyectiva.
x
Actividad de aprendizaje
En una función constante de la forma f (x ) 5 k, ¿cuál es su dominio?
¿Cuál es su rango?
Figura 2.12
Imagen del dominio de la función
La función asocia la misma imagen para cada número real x de su
dominio, por lo que
Sea f : R —→ R, tal que f (x) 5 22.
Gráfica de la función
C 5 {2 2}.
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante 22.
f 5 {(x, f (x))| f (x)5 2 2, x HR}
Representación geométrica de la gráfica
de la función
Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente
tabla:
Propiedades de la función
a) Inyectividad
La función no es inyectiva porque a cada elemento del dominio
corresponde 22 como imagen; dicho de otra manera, a elementos
diferentes del dominio les corresponde la misma imagen.
b) Suprayectividad
La función no es suprayectiva pues para todo x H A su imagen es
22 por tanto,
C 5 {2 2} y {2 2} Z R
x
f (x) 5 22
(x, f (x))
22
f (22) 5 22
(22, 22)
c) Biyectividad
21
f (21) 5 22
(21, 22)
Como la función no es inyectiva ni suprayectiva entonces tampoco
es biyectiva.
0
f (0) 522
(0, 22)
1
f (1) 5 22
(1, 22)
2
f (2) 5 22
(2, 22)
En la figura 2.12 se ilustra la representación geométrica de una parte de la gráfica de la función.
Traslaciones verticales y horizontales
y reflexiones respecto a los ejes y a la
recta x 5 y, a gráficas de funciones
Transformación de gráficas de funciones
Conocemos la representación gráfica de algunas funciones básicas
definidas por una ecuación, cuando ésta se modifica su represen43
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
tación gráfica también cambia y a estos cambios se les denomina
transformaciones.
1
4
(1, 4)
Dentro de las diferentes transformaciones que es posible realizar
se hará referencia de las traslaciones, horizontales y verticales, así
como de la reflexión con respecto al eje x y a la recta y 5 x.
2
5
(2, 5)
3
6
(3, 6)
Traslaciones horizontales y verticales
8
Dada la función f ( x )5 x su ecuación correspondiente es y 5 x. Su
representación gráfica es una línea recta por un ángulo de inclinación
a 45° que cruza el primer y tercer cuadrante, como ya se ha visto en la
función identidad.
6
4
Una tabla de valores para y 5 x (figura 2.13) es la siguiente:
2
x
y
Puntos
23
23
(23, 23)
22
22
(22, 22)
21
21
(21, 21)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
x
y
Puntos
2
2
(2, 2)
23
27
(23, 27)
3
3
(3, 3)
22
26
(22, 26)
21
25
(21, 25)
0
24
(0, 24)
1
23
(1, 23)
2
22
(2, 22)
3
21
(3, 21)
–4
–2
2
4
–2
Figura 2.14
La ecuación y 5 x 2 4 (figura 2.15) da lugar a la tabla de valores:
f(x)
x
–4
2
–2
4
–2
Figura 2.13
–4
Para la ecuación y 5 x 1 3 (figura 2.14) una tabla de valores es:
44
x
y
Puntos
23
0
(23, 0)
22
1
(22, 1)
21
2
(21, 2)
0
3
(0, 3)
–6
–8
Figura 2.15
Si las gráficas de y 5 x, y 5 x 1 3, y 5 x 2 4 se representan en un
mismo sistema coordenado, nos quedan como en la figura 2.16:
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En la figura 2.17 puedes apreciar que, con respecto a la gráfica de
y 5 x, la gráfica de y 2 5 5 x está recorrida cinco unidades hacia
arriba y la gráfica de y 1 4 5 x está recorrida cuatro unidades hacia abajo.
8
6
4
10
2
7.5
1
2
3
4
5
5
–2
2.5
–4
–4
Figura 2.16
–2
Aquí puedes observar, con respecto a la gráfica de y 5 x, que la gráfica de y 5 x 1 3 se ha recorrido tres unidades hacia la izquierda,
mientras que la gráfica de y 5 x 2 4 se recorrió cuatro unidades
hacia la derecha.
De manera general, si en la ecuación y 5 x se sustituye x por
x 2 h, siendo h un número real, la gráfica de la ecuación se traslada
horizontalmente. Cuando h.0 la gráfica se traslada hacia la derecha una distancia igual a h y si h,0 la gráfica se traslada hacia la
izquierda una distancia igual h .
Las ecuaciones y 2 5 5 x y y 1 4 5 x se pueden tabular así:
Representando en un mismo sistema coordenado las gráficas
y 2 5 5 x, y 1 4 5 x, queda en la siguiente forma.
x
y
Puntos
23
2
(23, 2)
22
3
(22, 3)
21
4
(21, 4)
0
5
(0, 5)
1
6
(1, 6)
2
7
(2, 7)
3
8
(3, 8)
x
y
Puntos
23
27
(23, 27)
22
26
(22, 26)
21
25
(21, 25)
0
24
(0, 24)
1
23
(1, 23)
2
22
(2, 22)
3
21
(3, 21)
2
4
–2.5
–5
–7.5
Figura 2.17
De manera general, si en la ecuación y 5 x se sustituye y y 2 k
siendo k un número real, la gráfica de la ecuación se traslada verticalmente. Cuando k .0 la gráfica se traslada hacia arriba una
distancia igual a k y si k ,0 la gráfica se traslada hacia abajo
una distancia igual a k .
Actividad de aprendizaje
¿Qué tipo de transformaciones se pueden hacer con la gráfica de una
función?
Si en la ecuación y 5 x se suma al segundo miembro un valor positivo, ¿qué
ocurre con la gráfica de y 5 x ?
Si en la ecuación y 5 x se suma algebraicamente al primer miembro un
valor negativo, ¿qué ocurre con la gráfica de y 5 x ?
45
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Reflexión respecto a los ejes
Ejemplo
Por geometría sabemos que dos puntos del plano son simétricos
con respecto a una recta cuando están en una misma perpendicular a la recta y a una distancia igual de ella. A este tipo de simetría se
le conoce como simetría axial y a la recta de referencia se le llama
eje de simetría.
Para y 5 f ( x )52 x 2 su gráfica es la de la figura 2.19:
x
y
Puntos
Se sabe también por geometría que, un punto cualquiera del plano
con respecto a una recta, tiene un punto simétrico y éste es único.
23
24
(23, 29)
Si en lugar de una recta se utiliza un espejo plano, se observa que un
objeto refleja su imagen dentro del espejo, a una distancia igual a la
que se encuentra el objeto con respecto al espejo.
22
24
(22, 24)
21
21
(21, 21)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 21)
2
4
(2, 24)
3
9
(3, 29)
Al trazar dos figuras en una hoja de papel, que sean simétricas con
respecto a una recta, puedes observar que si se hace un doblez a
la hoja sobre la recta, se pueden hacer coincidir las dos figuras en
todos sus puntos, por lo que se dice que una es reflejo de la otra con
respecto a la recta, mediante un giro de 180° alrededor de la recta.
Ejemplo
La gráfica de y 5 f ( x )5 x (figura 2.18), como ya se ha visto, corresponde a una parábola que tiene su vértice en el origen y sus dos
ramas son simétricas con respecto al eje y.
2
x
y
Puntos
23
29
(23, 9)
22
24
(22, 4)
21
21
(21, 1)
0
0
(0, 0)
1
1
(1, 1)
2
4
(2, 4)
3
9
(3, 9)
–4
–2
2
4
–5
–10
–15
–20
–25
Figura 2.19
8
6
Esta gráfica es simétrica de la de y 5 f ( x )5 x 2 con respecto al
eje x.
4
De manera general si en la expresión y 5 f ( x ) se sustituye y por
2y queda en la forma2 y 5 f ( x ) o bien y 52 f ( x ) donde la gráfica de ésta es la reflexión de y 5 f ( x ) con respecto al eje x.
2
23
22
Figura 2.18
46
21
1
2
3
Si en y 5 f ( x ) se sustituye x por 2x se transforma en y 5 f (2 x )
y sus gráficas correspondientes quedan reflejadas respecto del eje y.
Grupo Editorial Patria®
Actividad de aprendizaje
¿Qué tipo de simetría se utiliza para reflejar una gráfica sobre un eje
coordenado?
2
Reflexión respecto a la recta y 5 x
–2
Al tratar lo relacionado con la función inversa se estableció que si
una función es biyectiva tiene función inversa y que el dominio y
rango de ésta corresponde respectivamente al rango y dominio de
aquella por lo que sus respectivas gráficas son el reflejo, una de la
otra, con respecto a la función y 5 f ( x )5 x .
–1
1
2
3
–2
Figura 2.20
Ésta es la ecuación de la función inversa f ( x )5 x 12
Ejemplos
Sustituyendo esta y por f 21 (x ) la función inversa se expresa así:
1. Encuentra la ecuación de la función inversa y el correspondiente
dominio e imagen de la función f ( x )5 x 1 2 ; x ∈[21, 7].
Solución:
La función f ( x )5 x 12 es uno a uno, pues a elementos
diferentes del dominio les corresponden diferentes imágenes.
Al evaluar la función en los valores extremos de su dominio, se
obtienen los valores extremos de su rango. Esto es:
f (21)5 211 2 51
f ( 7 )5 7 1 2 5 9 53
x 2 2 2 5 f 21 ( x )
Como ya se ha dicho antes, el rango de f (x ) es el dominio f 21 (x ),
por lo que al evaluar f 21 (x ) en [1, 3] se obtiene:
f 21 (1)512 2 2 521
f 21 ( 3)532 2 2 5 9 2 2 5 7
En consecuencia, el rango de f 21 (x ) es [21, 7]que corresponde
al dominio f (x )
2. Encuentra la ecuación de la función inversa y el correspondiente
dominio e imagen de la f (x ) 5 5 2 x2; xH[0, 4].
Por tanto, el rango de la función [1, 3]
Solución:
Al sustituir en la función a f (x ) por y se obtiene:
La función f (x ) 5 5 2 x2 es uno a uno, pues a elementos diferentes del dominio corresponden diferentes imágenes.
y 5 x 12
Elevando al cuadrado a los dos miembros de la igualdad
y 2 5 x 12
Sumando 22 a los dos miembros de la igualdad
y 2 225 x
Intercambiando x por y y y por x
x 2 225 y
Al evaluar la función en los valores extremos de su dominio se
obtienen los valores extremos de su rango. Esto es:
f ( 0 )5 5 2 0 2 5 5
f ( 4 )5 5 2 4 2 5 5 216 5211
Por tanto, el rango de la función es [5, 211].
Al sustituir en la función a f (x ) por y se obtiene:
y 552 x 2
47
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Actividad de aprendizaje
2
Sumando x a los dos miembros de la igualdad
y 1 x 2 55
Representa en el plano cartesiano las situaciones didácticas de la página 34,Ejercicio 3 y 5.
Sumando 2y a los dos miembros de la igualdad
A partir de la gráfica y 5 x ; x $ O:
x 2 552 y
Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad
x 5± 52 y
a ) Traza en un mismo plano coordenado a su simétrica con respecto
al eje x.
¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?
Intercambiando x por y y y por x
y 5± 52x
Como los valores de x son no negativos, se toma el signo positivo
del radical
b ) Traza en un mismo plano coordenado a su simétria con respecto
al eje y.
¿Cuál es la ecuación de esta gráfica?
y 5 52x
Ésta es la ecuación de la función inversa de f (x ) 5 5 2 x 2
Sustituyendo esta f 21 (x ) la función inversa se expresa así:
f 21 ( x )5 5 2 x
Como ya se ha dicho antes, el rango de f (x ) es el dominio de f 21
(x ) por lo que al evaluar f 21 (x ) en [5, 211], se obtiene:
f 21 ( 5 )5 5 2 5 5 0 5 0
f 21 (211)5 5 2(211) 5 16 5 4
En consecuencia el rango de f 21 (x ) es [0, 4] que corresponde al
dominio f (x )
Con respecto a la función identidad traza una reflexión y 5 x ; x $ O.
¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?
4
2
1
Figura 2.21
48
2
3
4
5
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 2. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Para la f ( x ) 5 4 x 1 5 encuentra la ecuación de su función
inversa correspondiente, así como sus respectivos dominio y rango.
2. Utiliza como base la gráfica y 5 x 2 para trazar la gráfica
y 52 x 2 1 1.
4. Para la función f ( x )5 x 23 ; x $ 3, encuentra la ecuación
de su función inversa correspondiente, así como sus respectivos
dominio y rango.
5. Con respecto a la función identidad traza una reflexión de y 5 x ;
x $ 0. ¿Cuál es la ecuación de la gráfica reflejada?
3. Para la función f (x) 5 x ; 0 # x # 16 encuentra la ecuación
de su función inversa correspondiente, así como sus respectivos
dominio y rango.
49
2
BLOQUE
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el procedimiento para determinar la función inversa de una función dada de la sección
“Aplica lo que sabes” de la página 38.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo
que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del
alumno y su matrícula
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con
letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los
datos obtenidos o las condiciones del problema.
Desarrollo
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener
los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares
para apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones
o conceptos consultados para sustentar teóricamente las
acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales,
éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.
50
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de función
inversa.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la
actividad que se propone.
13. Obtiene la función inversa de una función dada.
14. Determina el dominio y rango de la función dada.
15. Determina el dominio y rango de la función inversa.
16. Representa en un plano cartesiano a la función dada y su
inversa.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Características de
funciones que son
inversas de otras
Con base en las
características de funciones
inyectivas, suprayectivas y
biyectivas, determina si la
relación inversa es o no una
función.
Dadas las características
de funciones inyectivas,
suprayectivas y biyectivas,
determina en dos casos si la
relación inversa es o no una
función.
Dadas las características
de funciones inyectivas,
suprayectivas y biyectivas,
determina en un caso si la
relación inversa es o no una
función.
No conoce las
características de las
funciones inyectivas,
suprayectivas y biyectivas,
no puede determinar si la
relación inversa es o no una
función.
Descripción
geométrica y
algebraica de la
inversa de una
función
Describe geométrica y
algebraicamente la inversa
de una función. Determina
su dominio y rango.
Describe geométricamente
la inversa de una función.
Determina su dominio y
rango.
Describe parcialmente la
inversa de una función.
No describe geométrica
ni algebraicamente la
inversa de una función. No
determina su dominio ni
rango.
Funciones valor
absoluto, constante,
idéntica y escalonada
Identifica y describe
geométrica y
algebraicamente las
funciones valor absoluto,
constante, idéntica y
escalonada.
Identifica y describe
geométrica y
algebraicamente a tres de
las funciones valor absoluto,
constante, idéntica y
escalonada.
Identifica y describe
geométrica y
algebraicamente a dos de
las funciones valor absoluto,
constante, idéntica y
escalonada.
No identifica ni
describe geométrica ni
algebraicamente a ninguna
de las funciones valor
absoluto, constante, idéntica
y escalonada.
Traslaciones
verticales y
horizontales y
reflexiones respecto
a los ejes y a la recta
x = y, a gráficas de
funciones
Transforma las gráficas
de funciones mediante
traslaciones verticales
y horizontales y realiza
reflexiones respecto a los
ejes y a la recta x = y.
Transforma las gráficas
de funciones mediante
traslaciones verticales
y horizontales y realiza
reflexiones respecto a los
ejes.
Transforma las gráficas
de funciones mediante
traslaciones verticales y
horizontales.
No transforma las gráficas
de funciones mediante
traslaciones verticales ni
horizontales y no realiza
reflexiones respecto a los
ejes ni a la recta x = y.
Aspecto a evaluar
Criterios
51
Empleas funciones polinomiales
de grados cero, uno y dos
3
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
3.1 Modelo general de las
funciones polinomiales
3.2 Forma polinomial de
funciones de grados cero,
uno y dos
3.3 Representación gráfica de
funciones de grados
cero, uno y dos
3.4 Características de las
funciones polinomiales de
grados cero, uno y dos
3.5 Parámetros de las
funciones de grados cero,
uno y dos
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
„
„
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos A (26, 6), B (3, 6).
2.
Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos C (6, 5), D (1, 4).
3.
Al iniciar el mes, una empresa de electrodomésticos tiene en existencia 500
refrigeradores, de los cuales vende 15 diarios. Expresa algebraicamente la
función que describe el número de aparatos para cualquier día del mes.
4.
Determina si la función f ( x) 5 7 2 3x , es creciente o decreciente. Fundamenta
tu respuesta.
5.
En una fábrica de ropa el costo total C (x) de producción de x número de prendas
de vestir está dado por:
C ( x) 5 80x 1 2 500
a) ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir?
b) ¿Cuál es el costo fijo?
c) ¿Cuál es el costo total de producción de 10 000 prendas de vestir?
6. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.
7. Obtén dos números tales que sumen 50 y la suma de sus cuadrados sea mínima.
8. Esboza la gráfica de la función: f : ! ⎯→ !, f ( x ) 5 3x 2.
Desempeños por alcanzar
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
„
Elige un enfoque determinista o aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones
particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones.
Identifica la forma polinomial de las funciones de grados cero, uno y dos, así
como sus gráficas respectivas.
Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos,
empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, descripción de
enunciados, tipos de gráficas y regularidades particulares observadas.
Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o
prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante
que se asocien con el modelo.
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
En una fábrica de ropa, el costo total C ( x ) de producción de x
número de prendas de vestir está dado C por ( x )5 40 x 135 000.
¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir?
¿Cuál es el costo fijo?
¿Cuál es el costo total de producción de 50 000 prendas de vestir?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del
problema.
¿Qué tienes que hacer?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las
actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito
de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Evaluación por producto
Cada equipo debe investigar:
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
A partir de la expresión algebraica del costo de producción:
¿Cuáles son los parámetros?
En este ejemplo:
Producto a elaborar
¿Qué representa cada uno de ellos?
¿Cómo se obtiene el costo de cada prenda de vestir?
Presentar los cálculos realizados para resolver el problema.
¿Cómo se obtiene el costo fijo?
¿Cómo se calcula el costo total de producción?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También
es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar
a cabo las rectificaciones que procedan.
Rúbrica
Para determinar los datos que se piden, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron éstos; tienen
un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado,
la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma,
las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del
procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
54
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
evalúa. Todo ello suma
10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del
mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Para que no haya pérdidas, en un espectáculo se requiere que asistan 500 espectadores que paguen $300 cada uno. Se ha observado
que por cada espectador de más se puede cobrar $1 menos. ¿Con
cuántos espectadores adicionales es posible obtener las ganancias
máximas?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cuáles son los datos del problema?
¿Qué relaciones es posible establecer entre los datos de acuerdo
con las condiciones del problema?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También
es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar
a cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cómo se puede plantear algebraicamente el problema?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
¿Cómo se puede verificar que las soluciones obtenidas a partir de la
ecuación son las del problema?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Producto a elaborar
Presentar los cálculos realizados para resolver el problema.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la solución al problema que se pide, se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el
material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo
realizado, la forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos.
La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de
3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de
la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
55
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
9
3. La temperatura en grados Fahrenheit es igual a de la tem5
peratura en grados Celsius más 32:
Ejercicios matemáticos 7
Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos.
1. A (26 , 6), B (3, 6)
2. C (6 , 5), D (1, 4)
3. E (5 , 0), F (2 7 , 21)
4. G (2 2 , 3), H (6 , 2 2)
5. I (0 , 2 5), J (6 , 2 7)
6. K (2 , 2 5), L (2 , 2)
7. M (2 5 , 2 4), N (2 5 , 5)
8. P (23, 26), Q ( 4 , 3)
9. R (2 4 , 21), S (5 , 21)
10. T (2 2 , 6), U (1, 23)
Ejercicios matemáticos 8
1. El equipo de oficina en una empresa se deprecia cada año en
10% de su costo de adquisición, el cual fue de 15 000 unidades
de dinero.
a) Determina la expresión algebraica de la función que
describe la equivalencia.
b) Identifica la ecuación con la función haciendo y 5 f (c).
c) Calcula la temperatura en grados Fahrenheit a la que
equivalen 10, 20 y 50 grados Celsius bajo cero; 5, 10, 20
y 30 grados Celsius sobre cero, y represéntalos en el plano.
d) Encuentra el cero de la función y su interpretación en el
problema.
4. Al iniciar el mes, una empresa de electrodomésticos tiene en
existencia 500 refrigeradores al iniciar el mes, de los cuales
vende 15 diarios. Expresa algebraicamente la función que
describe el número de aparatos para cualquier día del mes.
a) Determina el valor contable del equipo en el año de
adquisición y después de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 años.
b) Tabula y representa en el plano coordenado.
c) Encuentra la expresión algebraica que determina la
función que describe el problema.
d) Determina el dominio, el contradominio y el rango.
2. En el contrato anual de renta de un televisor, se cobra un
depósito de 500 unidades de dinero y una renta semanal de
75 unidades de dinero. Halla la expresión algebraica de la función que se describe.
5. De las siguientes funciones, determina cuáles son crecientes y
cuáles son decrecientes. Fundamenta tu respuesta.
a) f ( x )5 7 23x
b) f ( x )56 x 13
c) f ( x )53
d) f ( x )523 (2 2 x )
e) f ( x )52 x 21
f ) f ( x )52 2 x 13
⎛
2⎞
3
g) f ( x )52⎜ 2 x 1 ⎟
⎝
⎠
56
Grupo Editorial Patria®
h) f ( x )5 5 x 2 2
i)
2 1
f ( x )52 1 x
5 3
j)
f ( x )52 x 1
1
4
Ejercicios matemáticos 9
1. Una empresa produce zapatos. Obtén el costo total C ( x ) si
cada par tiene un costo de 40 unidades de dinero y su costo
fijo es de 5 000 unidades de dinero.
2. En una fábrica de ropa, el costo total C ( x ) de producir x número de prendas de vestir está dado por:
a) ¿Cuál es el costo por aparato?
b) ¿Cuál es el costo fijo?
c) ¿Cuál es el costo total de producir 5 000 aparatos?
4. En una fábrica de artículos escolares, uno de ellos tiene como
funciones de costo y venta, V ( x )55 x y C(x) 5 2x 1 180,
respectivamente.
a) Traza las dos funciones en un mismo sistema coordenado.
b) Determina el costo inicial (cuando la producción es cero).
c) ¿Cuántos artículos se deben producir como mínimo para
que no haya pérdidas?
(ganancia 5 venta 2 costo)
d) ¿Cuál es el costo de producir 100 unidades?
e) ¿Cuánto se obtiene por la venta de 100 unidades?
f ) Determina el número de unidades que se deben vender
para que la ganancia sea de 51 000 unidades de dinero.
Ejercicios matemáticos 10
1. Descompón 30 en dos números cuyo producto sea el máximo.
2. Obtén dos números tales que sumen 50 y cuya suma de sus
cuadrados sea mínima.
3. Para que no haya pérdidas en un espectáculo, se requiere que
asistan 300 espectadores que paguen $500. Se ha observado
que por cada espectador extra es posible cobrar una unidad
de dinero menos. ¿Con cuántos espectadores adicionales se
puede obtener las máximas ganancias?
C ( x )580 x 1 25 000
a) ¿Cuál es el costo de cada prenda de vestir?
b) ¿Cuál es el costo fijo?
c) ¿Cuál es el costo total de producir 10 000 prendas de
vestir?
3. El costo total C ( x ) para producir cierto tipo de aparato electrodoméstico está dado por:
4. Se dispone de 600 metros de malla para cercar un terreno rectangular de manera que su área sea máxima. ¿Cuáles son las
dimensiones de este terreno?
C ( x )5 45 x 118 000
57
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
5. Desde lo alto de un edificio de 36 metros de altura se lanza
verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad de
12 metros por segundo. La altura del proyectil a los t segundos está dada por la función f (t) 5 2 3 t 2 1 12 t 1 36.
Encuentra el tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo.
Ejercicios matemáticos 11
Esboza la gráfica de la función f : → .
1. f ( x )53x
2.
2
1
f ( x )52 x 2
2
3. f ( x )5 x 2 23x
4. f ( x )52 2 x 2 2 4 x
5.
f ( x )5 x 2 2 4
El arte de vivir con éxito consiste en ser capaces de sostener en tensión,
a un mismo tiempo, dos ideas opuestas: la primera, hacer planes a largo plazo
como si fuéramos a vivir para siempre; la segunda, conducirnos diariamente
como si fuésemos a morir mañana.
Sydney Harris
Introducción
Se trata el concepto de función polinomial, así como su notación y
sus características.
Se describen las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero, uno y dos. De manera particular, la función
constante, lineal y cuadrática.
3.1 Modelo general de las
funciones polinominales
6. f ( x )5 2 x 2 18
Concepto de función polinomial
7. f ( x )5 x 2 1 2 x 11
Notación y características
8. f ( x )52 x 2 2 x 21
Una expresión, en orden decreciente de los exponentes de x, de la
forma
2
9. f ( x )5 2 x 2 1 4 x 1 2
10. f ( x )5 x 2 1 2 x 1 4
an x n 1 an21 x n21 1 an22 x n−2 1…1 a2 x 2 1 a1 x + a0
donde an , an21 , an22 ,..., a2 , a1 , a0 son números reales, an ≠ 0 se
llama polinomio de grado n. En él, x no representa un valor
específico, sólo se utiliza para indicar la posición o el lugar de
cada término dentro de la expresión, de manera semejante a las
unidades, decenas, centenas, etcétera, dentro de nuestro sistema decimal de numeración.
Cada término está separado del siguiente por medio del signo de la
suma. El grado de un término lo determina el grado de x en dicho
término. El término de mayor grado determina el grado del polinomio. El término que no contiene a x es de grado cero y se llama
término independiente o término constante.
Actividad de aprendizaje
En un polinomio, el término de mayor grado determina
58
Grupo Editorial Patria®
3.2 Forma polinomial de
funciones de grados cero,
uno y dos
En una ecuación polinomial, ¿a qué se le llama raíz o solución de la
ecuación?
Grado de una función polinomial
Coeficiente principal. En el polinomio, el término de mayor grado
aparece en primer lugar, por lo que se le llama término inicial; su
coeficiente es el inicial (principal) y su grado es el del polinomio.
Si en la función el polinomio x es un número real, entonces se define la función polinomial:
¿A qué se le llama cero del polinomio?
f ( x )5 an x n 1 an21 x n21 1 an22 x n22 1…1 a2 x 2 1 a1 x 1 a0
donde n es un entero no negativo y an Z 0.
El grado de un término es el del exponente de x en dicho término, y
el grado de toda la expresión es igual al del término de mayor grado.
f (x) 5 0 se llama función polinomial cero para distinguirla de
f (x) 5 a0 donde a0 ≠ 0, que es una función polinomial de grado
cero y corresponde a la función constante.
Si n 5 1, la expresión queda de la siguiente forma:
f (x) 5 a1x 1 a0 5 mx 1 b
que es la forma general de la función lineal; y si n 5 2 entonces:
f(x) 5 a2x2 1 a1x 1 a0 5 ax2 1 bx 1 c
que corresponde a la forma general de la función cuadrática.
Por lo anterior se deduce que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos especiales de la función polinomial.
Cuando f (x) 5 0 se tiene una ecuación polinomial de grado n.
Un valor de x que satisface la ecuación recibe el nombre de raíz o
solución de la ecuación, también se dice que es un cero del polinomio.
Dominio y rango
En las funciones que se tratan a continuación se especifican sus
características, entre las que se incluye sus respectivos dominio y
rango, así como sus propiedades.
3.3 Representación gráfica de
funciones de grados cero,
uno y dos
Funciones reales especiales
Se analizan las propiedades de algunas funciones reales especiales
de uso frecuente:
En este bloque se estudia lo referente a las raíces o soluciones de las
ecuaciones lineal y cuadrática, así como los respectivos ceros de
las funciones lineal y cuadrática, y algunas propiedades de estas funciones en relación con sus ceros o las raíces de sus ecuaciones correspondientes con el propósito de hacer su representación gráfica.
función identidad
f: ! → f ( x )5 x
función lineal
f: ! → ! f ( x )5 ax 1b
función cuadrática
f: ! → ! f ( x )5 ax 2 1bx 1 c , a ≠ 0
Revisaremos los puntos de teoría de ecuaciones relacionados con
los polinomios, para aplicarlos a la representación gráfica de una
función polinomial.
Como la representación de la gráfica de cada una consta de un
número infinito de puntos, uno para cada número real, sólo se trazará una parte que permita visualizarlas e identificarlas. Todas son
funciones algebraicas, pues su regla de correspondencia se puede
expresar con un número finito de operaciones de suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces.
Actividad de aprendizaje
En una función polinomial, ¿a qué se le llama coeficiente principal?
La función constante como caso
particular de la función polinomial
Sea f: ! → !, tal que f ( x )5 k con k, x H !.
59
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Dominio y rango
Ejemplos
Imagen del dominio de la función constante
Sea f : ! → !, tal que f (x ) 5 3.
La función constante asocia la misma imagen a cada número real x
de su dominio, en este caso la imagen de la función es:
Gráfica de la función constante
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número
real y su segunda componente es el valor constante, en este caso el
número tres.
f 5 {(x, f (x )) | f (x ) 5 3, H f : !}
Representación geométrica de la gráfica
de la función constante
Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente
tabla:
C5{3}
Propiedades de la función constante
a) Inyectividad
A cada elemento del dominio le corresponde el número 3 como
imagen, de manera que elementos diferentes del dominio tienen
la misma imagen; por tanto, la función constante no es inyectiva.
b) Suprayectividad
Como el dominio y el contradominio de la función son los números reales, y a cualquier x H A corresponde el número 3, entonces
el conjunto imagen es C 5 { 3} y {3} Z ! por consiguiente, la función constante no es suprayectiva.
x
f (x) 5 3
(x, f (x))
22
f (22) 5 3
(22, 3)
c) Biyectividad
21
f (21) 5 3
(21, 3)
0
f (0) 5 3
(0, 3)
La función constante no es inyectiva ni suprayectiva, en consecuencia, tampoco es biyectiva.
1
f (1) 5 3
(1, 3)
2
f (2) 5 3
(2, 3)
Sea f : ! S !, tal que f (x) 5 22.
Gráfica de la función
Si se localizan en el plano cartesiano los puntos correspondientes a
estos pares ordenados y se unen consecutivamente se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, donde su primera componente es un número real y la segunda es el valor constante 22.
f 5 {(x, f (x) | f (x) 5 2 2, x H!}
Representación geométrica de la
gráfica de la función
f(x)
Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente
tabla:
x
Figura 3.1
60
x
f (x) 5 22
(x, f (x))
22
f (22) 5 2 2
(22, 22)
21
f (21) 5 2 2
(21, 22)
0
f (0) 5 2 2
(0, 22)
1
f (1) 5 2 2
(1, 22)
2
f (2) 5 2 2
(2, 22)
Grupo Editorial Patria®
En la figura 3.2 se ilustra la representación geométrica de una parte
de la gráfica de la función.
¿Cuál es su imagen?
f(x)
x
En general, ¿cómo se representa geométricamente la gráfica de una
función constante?
\
Figura 3.2
Dominio y rango
Imagen del dominio de la función
La función asocia la misma imagen para cada número real x de su
dominio, por lo que
C 5 {2 2}
La función identidad como caso
particular de la función polinomial
Propiedades de la función
Sea f: ! S !, tal que f (x) 5 x.
a) Inyectividad
Gráfica de la función identidad
La función no es inyectiva porque a cada elemento del dominio
corresponde 22 como imagen; dicho de otra manera, a elementos
diferentes del dominio corresponde la misma imagen.
b) Suprayectividad
La función no es suprayectiva, pues para todo x H A su imagen es
2 2 por tanto,
C 5 {2 2} y {2 2} Z !
c) Biyectividad
Como la función no es inyectiva ni suprayectiva entonces tampoco
es biyectiva.
Actividad de aprendizaje
En una función constante de la forma f (x ) 5 k, ¿cuál es su dominio?
Es el conjunto de puntos del plano que representan a los pares ordenados de la función, cuyas primeras y segundas componentes
son el mismo número real.
f 5 {(x, f (x)) | f (x) 5 x, H !}
Representación geométrica de la gráfica
de la función identidad
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 x
(x, f (x))
22
f (22) 522
(22, 22)
21
f (21) 521
(21, 21)
0
f (0) 5 0
(0, 0)
1
f (1) 5 1
(1, 1)
2
f (2) 5 2
(2, 2)
61
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Funciones polinomiales de grado uno y
particularidades de los modelos lineales
f(x)
Las funciones constante, identidad y lineal, se representan en forma geométrica por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se les llama funciones lineales.
x
En general, una función lineal es una función real de la
f ( x )5 mx 1b, donde m, b, x son números reales, de los cuales m
y b son constantes.
La función constante es el caso particular de la función lineal
cuando m 5 0, porque si f ( x )5 mx 1b y m50, entonces
f ( x )5 0 1b 5b donde b es una constante.
La función identidad se obtiene a partir de la función lineal haciendo m 5 1 y b 5 0, f ( x )51( x )1 0 5 x.
Figura 3.3
Al localizar en el plano cartesiano los puntos que corresponden a
estos pares ordenados y unirlos consecutivamente se obtiene la representación geométrica de una parte de la gráfica.
Dominio y rango
Imagen del dominio de la función identidad
La función identidad asocia a cada número real x de su dominio,
bajo la función, su mismo valor como imagen; por tanto, el conjunto de las imágenes de esta función es:
C5!
Propiedades de la función identidad
a) Inyectividad
Dados dos números reales diferentes, las imágenes que les corresponde también son diferentes, es decir, x1 , x 2 ∈, x1 ≠ x 2 implica
que f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) por consiguiente, la función identidad es inyectiva.
b) Suprayectividad
La imagen de la función identidad es igual al codominio B 5 C 5 !,
en consecuencia, la función identidad es suprayectiva.
c) Biyectividad
3.4 Características de las
funciones polinomiales de
grados cero, uno y dos
La función polinomial de grado cero, como ya se ha dicho, corresponde a la función constante f(x) 5 k.
Al representar gráficamente la función constante, se observa como
característica que está contenida en una paralela al eje x.
La función polinomial de grado uno es de la forma f(x) 5 mx 1 b,
donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
La gráfica de esta función presenta características que dependen de
los valores de m y b.
Si m . 0, la función es creciente y su trazo de izquierda a derecha
va de abajo hacia arriba.
Si m , 0, la función es decreciente y su trazo de izquierda a derecha
va de arriba hacia abajo.
Si b 5 0, la gráfica pasa por el origen; si b . 0 corta al semieje positivo de las y y si b , 0 entonces corta el semieje negativo de las y.
La función identidad es inyectiva y suprayectiva a la vez, por tanto
también es biyectiva.
La función polinomial de grado dos es de la forma:
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.
Actividad de aprendizaje
La gráfica de esta función presenta características que dependen
del valor de a.
¿Cómo es la gráfica de la función identidad?
Si a . 0, la gráfica abre hacia arriba y si a , 0, la gráfica abre hacia
abajo. En ambos casos, su eje vertical es el eje y o una paralela a él.
62
Grupo Editorial Patria®
3.5 Parámetros de las
funciones de grados cero,
uno y dos
f(x)
La función lineal como caso
particular de la función polinomial
Sea f: ! S !, tal que f (x) 52 x 11.
x
Gráfica y parámetros
La expresión algebraica de esta función es de la f ( x )5 mx 1b
donde los parámetros m y b corresponden respectivamente a su
pendiente y a su ordenada al origen.
Figura 3.4
Gráfica de la función lineal
Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares
ordenados de la función:
f 5 {(x, f (x)) | f (x) 5 2x 1 1, x H !}
Imagen del dominio de la función lineal
La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número
real que puede ser positivo, negativo o cero, por ello, la imagen del
dominio de la función lineal es:
C5!
Dominio y rango
La función lineal tiene como dominio y rango a los números reales,
esto es, A 5 ! y C 5 !.
Propiedades de la función lineal
a) Inyectividad
Representación geométrica de la
gráfica de la función lineal
Existen dos números reales diferentes, x1 ≠ x 2 tales que las imágenes que les corresponden también son diferentes f ( x1 ) ≠ f ( x 2 )
así pues, la función lineal es inyectiva.
Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente
tabla:
Lo anterior se puede observar fácilmente en la figura al trazar rectas
paralelas al eje x que intersecan la representación de f en, a lo más,
un punto. A esto se le conoce como la prueba de la horizontal. Si
cualquier recta horizontal interseca a la gráfica de f (x) en, a lo más,
un punto, entonces f (x) es inyectiva, y si interseca a la gráfica de
f (x) en más de un punto entonces f (x) no es inyectiva.
x
f (x) 5 2x 1 1
(x, f (x))
22
f (22) 5 2(22) 1 1 523
(22, 23)
21
f (21) 5 2(21) 1 1 521
(21, 21)
0
f (0) 5 2(0) 1 1 5 1
(0, 1)
1
f (1) 5 2(1) 1 1 5 3
(1, 3)
2
f (2) 52(2) 1 1 5 5
(2, 5)
Si en el plano cartesiano se localizan los puntos correspondientes
a estos pares ordenados y se unen consecutivamente, se obtiene la
representación geométrica de una parte de la gráfica.
b) Suprayectividad
La imagen de la función lineal es igual al contradominio,
B 5 C 5 !; por tanto, la función lineal es suprayectiva.
c) Biyectividad
La función lineal es inyectiva y suprayectiva, entonces también es
biyectiva.
Las funciones constante, identidad y lineal se representan en forma
geométrica por medio de una línea recta; por ello, comúnmente se
les llama funciones lineales.
En general, una función lineal es una función real de la forma
f ( x )5 mx 1b donde m , b, x son números reales, de los cuales m
y b son constantes.
63
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
La función constante es el caso particular de la función lineal
cuando m 5 0, porque si f ( x )5 mx 1b y m50, entonces
f ( x )5 0 1b 5b donde b es una constante:
f(x)
La función identidad se obtiene a partir de la función lineal
haciendo m 5 1 y b 5 0, entonces f (x) 5 1(x) 1 0 5 x.
El ejemplo de la función lineal f (x) 5 2x 1 1 ilustra el caso
en el que m 5 2 y b 5 1; sin embargo, como m y b son reales,
éstos pueden ser positivos, negativos o cero, de tal manera que
si f : ℝ S ℝ, entonces también son funciones lineales las siguientes:
x
f ( x )52 2 x 23
3
f ( x )5 x 21
4
2
f ( x )53 x 1
3
1
f ( x )52 x 13
2
Figura 3.5
Imagen del dominio de la función
La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número
real que puede ser positivo, negativo o cero; por tanto: C 5 ℝ.
Ejemplo
Propiedades de la función
Sea f : ℝ S ℝ, tal que f ( x )523x 1 2 .
a) Inyectividad
Gráfica de la función
Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares
ordenados de la función:
f 5 {(x, f (x))| f ( x )523x 1 2 Hℝ}
b) Suprayectividad
La función es suprayectiva porque su imagen es igual al contradominio B 5 C 5 ℝ.
Representación geométrica de la
gráfica de la función
Algunos pares ordenados de la función se calculan en la siguiente
tabla:
x
f (x) 5 3x 1 2
(x, f (x))
22
f (22) 523(22) 1 2 5 8
(22, 8)
21
f (21) 523(21) 1 2 5 5
(21, 5)
0
f (0) 523(0) 1 2 5 2
(0, 2)
1
f (1) 523(1) 1 2 521
(1, 21)
2
f (2) 523(2) 1 2 524
(2, 24)
La representación geométrica de una parte de la gráfica de la función se ilustra en la figura 3.5:
64
La función es inyectiva porque dados dos números reales diferentes,
x1 ≠ x 2 sus respectivas imágenes también son f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ). Si se
trazan rectas paralelas al eje x se observa que intersecan la representación de f en, a lo más, un punto.
c) Biyectividad
La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, también es biyectiva.
Actividad de aprendizaje
En una función lineal de la forma f (x ) 5 mx 1 b, ¿qué representan
sus parámetros m y b?
¿En qué consiste la prueba de la horizontal?
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Representación gráfica de la función
lineal
Recuerda la definición y notación de función que se trataron antes.
Una función es una terna compuesta por:
Un primer conjunto no vacío llamado dominio de la función.
Un segundo conjunto no vacío llamado contradominio de la función.
Una regla de correspondencia que cumple con las siguientes condiciones:
r "DVBMRVJFSFMFNFOUPEFMEPNJOJP QPSNFEJPEFMBSFHMB TFMF
puede asociar un elemento del contradominio.
r /JOHÙOFMFNFOUPEFMEPNJOJPRVFEBTJOTVBTPDJBEPFOFMDPOtradominio.
r /JOHÙOFMFNFOUPEFMEPNJOJPQVFEFUFOFSNÃTEFVOBTPDJBEP
en el contradominio.
Si de la ecuación de la recta en su forma canónica se despeja la variable y se obtiene:
Ax 1 By 1C 5 0
By 52 Ax 2C
C
A
y 52 x 2 si B ≠ 0
B
B
que es de la forma y 5 mx 1b en la que la variable y está expresada
en función de la variable x, es decir, y es la variable dependiente y x
es la variable independiente.
A
C
Como y 5 f ( x ) entonces la ecuación y 52 x 2 se puede
B
B
expresar como una función:
A
C
f ( x )52 x 2
B
B
Y, en general, la ecuación lineal y 5 mx 1b se puede expresar
como una función lineal:
f ( x )5 mx 1b
A este respecto es conveniente precisar la diferencia entre una
ecuación lineal y una función lineal.
Una ecuación es una igualdad que contiene uno o más números
indeterminados y una función es una regla de correspondencia
que asocia a cada elemento de un conjunto con uno y sólo un elemento de otro conjunto.
En la ecuación x135 7 se establece la condición de que si a x se
le suma 3 se obtiene como resultado 7 y, en consecuencia x54.
En cambio en una función podemos elegir cualquier valor dentro
de su dominio y determinar el que le corresponde en el contradominio. Así, en la función f ( x )5 x 13, la regla de correspondencia
establece que para cualquier valor de x dentro de su dominio al sumarle 3 se obtiene su asociado en el contradominio. Si el dominio
de la función es el conjunto de los números reales, entonces algunos pares ordenados de la función son:
f ( 2 )5 2 1 3 5 5
( 2 , 5)
f ( 0 )5 0 1 3 5 3
(0 , 3)
f (23)523135 0
1
⎛ 1⎞ 1
f ⎜ ⎟ 5 1353
⎝ 2⎠ 2
2
(23, 0)
⎛1
⎜⎝ ,
2
7⎞
⎟
2⎠
La representación gráfica de una función lineal nos permite identificar, según el trazo, algunas de sus características y propiedades.
En el plano coordenado, un punto cualquiera está asociado con
un par ordenado e inversamente, a un par ordenado corresponde un punto; por consiguiente, si una función se define como un
conjunto de pares ordenados entonces se puede representar su
gráfica en el plano cartesiano.
Actividad de aprendizaje
¿Cuál es la diferencia entre una ecuación lineal y una función lineal?
Variación directa
Un gran número de fenómenos de la física se expresa mediante una
proporción o variación. Tal es el caso del alargamiento de un resorte (dentro de los límites de elasticidad) y el peso que se le aplica.
La fuerza (f ) que se aplica a un cuerpo de masa (m) y la aceleración
(a) que se imprime a dicho cuerpo.
Este tipo de relaciones se expresa en matemáticas por medio de una
función cuya ecuación establece la dependencia de una variable
con respecto a otra. Como ya se ha explicado antes, a la variable que
puede tomar cualquier valor de su dominio se le llama variable independiente y a la variable cuyos valores dependen de los que toma
la independiente se le llama variable dependiente o función. De esta
manera, si se conoce un valor de la variable independiente, se puede
calcular el valor correspondiente de la función.
A este tipo de variación se le conoce como variación directa y su
expresión general es de la forma:
y 5 kx
donde k (distinta de cero) es la constante de proporcionalidad.
Así, el perímetro (P) de un cuadrado de lado (a) se puede expresar
como:
P5a1a1a1a
P54a
65
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
donde el valor de P depende del valor que tome a. La constante de
proporcionalidad es 4 y se dice que el perímetro del cuadrado es
directamente proporcional a la longitud de su lado.
-BTFHVOEBMFZEF/FXUPOTFFYQSFTBQPSMBGÓSNVMB
f 5 ma
donde f es la fuerza que se aplica a un cuerpo, m es la masa del cuerpo y a es la aceleración que se imprime a un cuerpo cuando se le
aplica una fuerza f.
Actividad de aprendizaje
¿Cuál es la expresión general de la variación directa?
Si un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme entonces recorre distancias iguales en tiempos iguales. Esto significa
que la razón de cambio entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla corresponde a la velocidad, que es constante.
Pendiente y razón de cambio
Si se representan en el plano coordenado los puntos P (2 5, 2 1), Q (1, 3) y R (4, 5) puedes observar que los tres son colineales.
y
R(4, 5)
1
, 3)
Q(
a
V
a
x′
x
a
S
P (–5, –1)
T
y′
Figura 3.6
Veamos la relación que guardan entre sí las coordenadas de dos puntos cualesquiera de una recta, sin importar el orden en que tomemos los
dos puntos considerados.
Si tomamos las coordenadas de los puntos P y Q, en ese orden, tenemos P (25, 21), Q (1, 3).
diferencia de ordenadas 32(21) 311 4 2
5 5
5
5
diferencia de abscisaas 12(2 5) 11 5 6 3
Si tomamos como primer punto a Q y como segundo punto a P, se tiene:
diferencia de ordenadas 2123 2 4 2
5
5
5
diferencia de abscisaas 2 5 21 26 3
66
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Consideremos ahora los puntos Q (1, 3) y R (4, 5) en ese orden:
diferencia de ordenadas 5 23 2
5
5
4 21 3
diferencia de abscisaas
Si R es el primer punto y Q es el segundo punto:
VR y 2
5 5
QV x 3
Esto significa que el punto R se encuentra dos unidades hacia arriba y tres unidades hacia la derecha respecto al punto Q.
tan a5
diferencia de ordenadas 32 5 2 2 2
5 5
5
diferencia de abscisaas 12 4 23 3
Si procedemos de manera semejante con las coordenadas de dos
puntos distintos de una recta no vertical, obtendremos siempre un
mismo número que denominamos pendiente.
De manera similar, en el triángulo rectángulo PSQ la tangente del
ángulo a es:
Si tomamos dos puntos diferentes de una recta no vertical, veremos que la diferencia entre sus ordenadas determina la elevación
(desnivel) de un punto con respecto al otro, mientras que la diferencia entre sus abscisas corresponde al corrimiento de un punto
con respecto al otro.
TR y 6 2
5 5 5
PT x 9 3
Cualquier recta horizontal tiene una inclinación de 0° y como tan
0° 5 0, se dice que su pendiente es cero.
A la razón de cambio entre el desnivel y el corrimiento se le llama
pendiente.
Desnivel (cambio vertical )
5 Pendiente
Corrimiento ( cambio horizontal )
La pendiente de una recta se simboliza con la letra m y se le define
así:
Dados los puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y2 )
y2 2 y1
x 2 2 x1
x1 ≠ x 2
m5
Es decir, para los puntos P1 y P2, m es el cociente de la diferencia de
las ordenadas entre la diferencia de las abscisas correspondientes o
tomadas en el mismo orden.
SQ y 4 2
5 5 5
PS x 6 3
Y para el triángulo rectángulo PTR:
tana5
tana5
Cualquier recta vertical es perpendicular al eje x; por tanto, su ángulo de inclinación es de 90° y como tan 90° no está definida, entonces la pendiente de una recta perpendicular al eje x no existe.
Ejemplo
Para cada par de puntos, traza la recta que determinan y calcula su
pendiente.
a ) P (21, 3), Q (2 , 2 2)
b ) P (23, 21), Q (2 , 3)
c ) P (24 , 2), Q (2 , 2)
d ) P (3, 5), Q (3, 23)
Solución:
y
La pendiente expresa una inclinación; ésta es, precisamente, la tangente de un ángulo formado por la recta con el eje x, o sea:
m5 tan a
P (–1, 3)
El ángulo a se mide a partir del eje x en sentido contrario al giro de
las manecillas del reloj y su valor puede variar entre 0° y 180°.
Por trigonometría sabemos que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente, por tanto:
y
tan a5 5 m
x
Observa en la figura 3.6 que los segmentos PT y QV son paralelos
al eje x; en consecuencia, el ángulo que forman éstos con la recta es
el mismo que forma el eje x con la recta.
x
0
x′
Q (2, –2)
y′
Figura 3.7
m=
2 2 23
2 2( 21)
5
25
3
En el triángulo rectángulo QVR, la tangente del ángulo a es:
67
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
m5
y
Q (2, 3)
Actividad de aprendizaje
0
x′
x
P (–3, –1)
y′
Figura 3.8
m=
23 2 5 28
5
( no existe )
3 23
0
¿Cómo se llama la razón de cambio entre el desnivel y el corrimiento?
¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal?
32( 21)
2 2( 23)
5
4
5
Para el eje y o cualquier paralela a él, ¿qué ocurre con su pendiente?
y
P (–4, 2)
Q (2, 2)
Ejemplos
0
x′
x
Consideremos los siguientes problemas.
1. El costo de un aparato electrodoméstico es de 200 unidades de
dinero si se compra al contado, pero si se compra en abonos se
cobra un interés mensual fijo de 10 unidades de dinero.
y′
Figura 3.9
m5
222
0
5 50
2 2( 2 4 ) 6
y
P (3, 5)
x′
x
0
y′
Figura 3.10
68
Q (3, –3)
a ) ¿Cuánto debe pagarse si se compra al contado o en 1, 2, 3, 4,
5 o 6 meses?
b ) Tabula y construye una gráfica.
c ) Encuentra la expresión algebraica que determina la función.
d ) Determina el dominio y la imagen.
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Solución:
En esta función, la ordenada al origen es 200 y su pendiente es 10.
a ) Si se compra de contado se deben pagar 200 unidades de
dinero.
Si se compra en abonos se debe pagar:
{
}
B 5{ y ∈ 200 # y # 260}
En un mes 200 110 (1)5 210
B 5C
Como puedes observar en la gráfica, la representación geométrica
de la función lineal es una línea recta. Sin embargo, es conveniente aclarar que no todas las líneas rectas representan funciones
lineales; de hecho, las que son paralelas al eje de las y ni siquiera
representan funciones.
En dos meses 200 110 (2)5 220
En tres meses 200 110 (3)5 230
En cuatro meses 200 110 ( 4 )5 240
2. El tanque de gasolina de un automóvil tiene una capacidad de
40 litros. Si su rendimiento es de 15 km por litro, la función que
describe la cantidad de gasolina que queda en el tanque después
En cinco meses 200 110 (5)5 250
1
de recorrer una distancia x f ( x )5 40 2 x. Si el tanque está
15
lleno determina:
En seis meses 200 110 (6)5 260
f ( x )5 y
0 200
b) x
1
2
3
4
5
210
220
230
240
250
6
260
d) A 5 x ∈ 0 # x # 6
a) ¿Cuántos litros quedan en el tanque cuando el automóvil
ha recorrido 0, 15, 30, 60, 90, 150, 300 y 600 km?
b) Construye la gráfica.
c) Si la función es creciente o decreciente.
d ) El dominio, contradominio e imagen de la función.
e) El cero de la función.
Solución:
1
( 0 )5 40 20 5 40
15
1
f (15 )5 40 2 (15 )5 40 21539
15
1
f ( 30 )5 40 2 ( 30 )5 40 2 2 538
15
1
f ( 60 )5 40 2 ( 60 )5 40 2 4 536
15
1
f ( 90 )5 40 2 ( 90 )5 40 26 534
15
1
f (150 )5 40 2 (150 )5 40 210 530
15
1
f ( 300 )5 40 2 ( 300 )5 40 2 20 5 20
15
1
f ( 600 )5 40 2 ( 600 )5 40 2 40 5 0
15
a) f ( 0 )5 40 2
unidades
de dinero
300
200
100
1
2
3
Figura 3.11
4
5
6 meses
c) f : → B , f ( x )5 200 110 x
69
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Solución:
a)
f ( 0 )5 200 110 ( 0 )5 200 1 0 5 200
f (1)5 200 110 (1)5 200 1110 5 210
f ( 2 )5 200 110 ( 2 )5 200 1 20 5 220
f ( 3)5 200 110 ( 3)5 200 130 5 230
f ( 4 )5 200 110 ( 4 )5 200 1 40 5 240
f ( 5 )5 200 110 ( 5 )5 200 1 50 5 250
f ( 6 )5 200 110 ( 6 )5 200 160 5 260
f ( 7 )5 200 110 ( 7 )5 200 1 70 5 270
b)
f ( 8 )5 200 110 ( 8 )5 200 180 5 280
f ( 9 )5 200 110 ( 9 )5 200 1 90 5 290
litros
40
f (10 )5 200 110 (10 )5 200 1100 5300
30
20
10
30 60 90 150
300
600
kilómetros
Figura 3.12
c ) decreciente
{
d ) A 5 x ∈ 0 # x # 600
}
B 5{ y ∈ 0 # y # 40}
C 5{ y ∈ 0 # y # 40}
1
f ( 600 )5 40 2 ( 600 )5 40 2 40 5 0 lo cual significa que
15
cuando el automóvil ha recorrido 600 km ya no queda combustible en el tanque de gasolina.
3. En una empresa, un obrero gana cinco unidades de dinero por
cada hora de trabajo en una jornada de 40 horas a la semana;
el tiempo extra se le paga doble con un máximo permisible de
10 horas a la semana. La expresión algebraica que describe el
sueldo semanal f ( x )5 200 110 x
a ) Determina el sueldo semanal cuando el obrero trabaja 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 o 10 horas extra.
b ) Construye la gráfica.
c ) Decide si la función es creciente o decreciente.
d ) Determina el dominio, el contradominio y la imagen de la función.
70
b)
unidades
de dinero
300
200
100
1
2
3
4
5
Figura 3.13
c ) Creciente
{
}
B 5{ y ∈ 200 # y # 300}
d ) A 5 x ∈ 0 # x #10
B 5C
6
7
8
9
10 horas
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Aplica lo que sabes
En un sistema coordenado y a partir del origen, representa la escala
Fahrenheit en el eje horizontal y la escala Celsius (centígrada) en el eje
vertical. Tomando en cuenta que en la escala Fahrenheit el agua se congela a los 32° y hierve a los 212°, mientras que en la escala centígrada
el agua se congela a los 0° y hierve a los 100°, encontrar la ecuación
lineal que exprese la temperatura centígrada en función de la temperatura Fahrenheit.
Sugerencia: Localiza los puntos (32, 0) y (212, 100) y determina su
pendiente; utiliza la fórmula de la recta en la forma punto-pendiente.
Al trazar la gráfica de una función, los valores de la variable independiente (x) quedan localizados en el eje horizontal o eje
de las abscisas y los valores de la variable dependiente o función
y 5 f ( x ) se ubican en el eje vertical o eje de las ordenadas.
Ahora bien, si en la expresión algebraica de la función lineal
f ( x )5 2 x 23 se sustituye f ( x ) por y, se obtiene la ecuación
y 5 2 x 23 cuya representación en el plano coordenado se puede hacer identificando la ecuación con la forma y 5 mx 1b de la
recta, donde
2 22
m 5 2 5 5 , b 523
1 21
Relación entre la función lineal y la
ecuación de primer grado con dos
variables
Consideremos la función f ( x )5 2 x 23. Si determinamos algunos
y=
2x
–3
y
pares ordenados de la función y los localizamos en el plano coordenado entonces podremos trazar la línea recta que representa a la función.
0
Elijamos 2, 0 y 22 como valores del dominio de la función y encontremos sus respectivas imágenes.
(1, –1)
x
(0, –3)
f (2)5 2 (2)235 4 2351
f (0)5 2 (0)235 0 23523
(–1, –5)
f (2 2)5 2 (2 2)235 2 4 23 = 2 7
De esta manera se han determinado los puntos de coordenadas
(2, 1), (0, 23) y (22, 27).
Localicemos estos puntos en el plano coordenado y tracemos la
recta que los contiene.
f (x)
Figura 3.15
(–2, –7)
2x –
)=
(0, –3)
f (x
0
3
(2, 1)
x
Por tanto, se localiza el punto de coordenadas (0 , 23) y a partir
de él se toman dos unidades hacia arriba y una a la derecha, o bien,
dos unidades hacia abajo y una a la izquierda con lo cual se determinan tres puntos colineales que están contenidos en la recta que
representa la ecuación.
Como puedes observar, la gráfica de la función lineal y de su correspondiente ecuación lineal, es la misma.
A esto se le llama identificar la ecuación con la función, haciendo
y 5 f ( x ), de tal manera que si en la función lineal f ( x )5 mx 1b,
se sustituye y 5 f ( x ) la expresión funcional se transforma en la
ecuación y 5 mx 1b, correspondiente a una ecuación lineal con
dos incógnitas.
Si f ( x )5 k (constante), sea k 5 mx 1b , que representa una ecuación lineal con una incógnita.
Figura 3.14
71
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Si f ( x )50 entonces 05 mx 1b donde x es la abscisa del punto
de intersección de la recta con el eje x, es decir, la raíz o solución de
la ecuación que corresponde con el cero de la función. En dicho
punto de intersección la ordenada vale cero.
Actividad de aprendizaje
¿Cómo son entre sí las gráficas de una función lineal y de su correspondiente ecuación?
precio y cómo se pueden aprovechar los recursos económicos así obtenidos en beneficio de tu escuela.
Expresa algebraicamente una función lineal que relacione las toneladas diarias de basura orgánica e inorgánica que se generan en tu
comunidad.
Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer
para cuidar nuestro medio.
Modelos lineales
¿A qué se llama identificar la ecuación con la función?
¿A qué se le llama cero de la función?
Para efectos del pago de impuestos, en ciertas empresas su maquinaria se deprecia contablemente cada año, hasta que llega el momento en que su valor es de cero, sin importar que la maquinaria
continúe en buenas condiciones y produciendo. Lo mismo ocurre
con sus equipos de oficina o vehículos.
Esta depreciación se puede expresar linealmente así:
f ( x ) 5 costo de adquisición 2 depreciación por año
o bien
Aplica lo que sabes
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
En el tratamiento de la basura, es importante su separación en orgánica e inorgánica, desde su fuente de origen (casas, escuelas, industria,
comercio, oficinas, parques, jardines, etcétera).
La basura orgánica (restos de alimentos, de jardín, hueso, madera o
fibra vegetal), se puede utilizar para elaborar composta como abono
orgánico.
La basura inorgánica puede contener materiales reciclables como: papel, cartón, vidrio, metales o trapo.
f ( x )5b 2 mx 52 mx 1b
donde b representa el costo original del bien adquirido, m indica el
monto de la depreciación por año y x es el número de años transcurridos, de tal manera que la depreciación del bien es una función
del tiempo.
En economía, el costo total C ( x ) de producción de x número de
artículos que tiene un costo de producción de m unidades de dinero por artículo y cuyo costo fijo es de b unidades de dinero está
dado por:
C ( x )5 mx 1b
de tal manera que el costo total de producción es una función del
número de artículos producidos.
Así, si en una empresa se fabrican electrodomésticos, entonces el
costo total C ( x ) de producir x número de artículos a un costo de
12 unidades de dinero por artículo y con un costo fijo de 5 000 unidades de dinero está dado por:
C ( x )512 x 1 5 000
Ejemplos
Investiga cómo se puede clasificar la basura inorgánica.
Investiga qué productos de desecho son reciclables.
Investiga el precio que se puede obtener por ese material.
Investiga con qué tipo de material reciclable se puede obtener el mejor
72
Dos compañías, A y B, rentan automóviles. Para un mismo tipo de
automóvil, A cobra una tarifa diaria de 10 unidades de dinero más
90 centavos por kilómetro; B cobra una tarifa diaria de 60 unidades de
dinero más 70 centavos por kilómetro. Para un recorrido de 800 km,
¿qué opción es más económica?
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Solución:
Sea k el número de kilómetros que se recorren. El costo es una función del número de kilómetros recorridos.
El costo en A y B se puede obtener a partir de sus tarifas:
Costo en A 5C (k )510 1 0.90k
Costo en B 5C (k )560 1 0.70k
Para un recorrido de 800 kilómetros los costos en A y B son, respectivamente,
C (k )510 1 0.90 (800)
510 1 720
5 730
C (k )560 1 0.70 (800)
560 1 560
5620
Por tanto, la opción más económica es B.
Supón que la distancia por recorrer no está definida, entonces conviene determinar el número de kilómetros para el que los costos son iguales, es
decir:
10 1 0.90k 560 1 0.70k
de donde
o sea
por tanto
0.90k 2 0.70k 560 210
0.20k 550
50
0.20
k 5250
k5
Los costos de A y B se representan en la siguiente figura:
A
Costo
390
360
330
300
270
240
210
180
150
120
90
60
30
B
(250, 235)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
kilómetros
Figura 3.16
Para un recorrido de 250 kilómetros, tanto en A como en B el costo es de 235 unidades de dinero. Para un recorrido menor la opción A es más
económica y para un recorrido mayor la opción B es más económica.
En ambas funciones de costo la pendiente indica el costo por kilómetro recorrido mientras que la ordenada en el origen indica la cuota fija diaria.
73
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Actividad de aprendizaje
¿Qué tipo de problemas se pueden modelar utilizando la función lineal?
Gráfica y parámetros
La expresión algebraica de la función cuadrática es de la f (x) 5 ax2
1 bx 1 c, donde a, b y c son constantes a ≠ 0. El parámetro a es el coeficiente cuadrático y su valor, positivo o negativo, determina si la
gráfica abre hacia arriba o hacia abajo; si a . 1 la gráfica se contrae
(sus ramas se acercan al eje y) y si a ∈ 0 ,1 la gráfica se dilata (sus
ramas se alejan del eje y).
Dominio y rango
Para tu reflexión
Jacobo Clerk Maxwell
A los 12 años comenzó a construir diversas formas geométricas con
cartón. Todavía no conocía el nombre de algunas de ellas.
Cuando Jacobo Clerk Maxwell conoció la primera dinamo o máquina
electromagnética de Faraday quiso saber todo sobre ella y sobre la
electricidad. Posteriormente expresó en términos matemáticos
una parte importante de la obra
de Faraday.
La mayor aportación de Maxwell
fue un tratado sobre la electricidad y el magnetismo. En su gran
teoría sobre electromagnetismo,
clasificaba la luz como un fenómeno ondulatorio electromagnético. Predijo el descubrimiento de
las ondas de radio.
Es considerado el físico teórico (matemático) más relevante del siglo
XIX en Europa.
La función f (x) 5 x2 tiene como dominio a los números reales y
como rango a los números reales no negativos, esto es A 5 !, C 5
!1 ∪ {0}.
Representación geométrica de la gráfica
de la función cuadrática
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 x2
(x, f (x))
22
f (2 2)5(2 2)2 5 4
(22, 4)
21
f (21)5(21)2 51
(21, 1)
0
f (0)5( 0 )2 5 0
(0, 0)
1
f (1)5(1)2 51
(1, 1)
2
f (2)5( 2 )2 5 4
(2, 4)
Al representar en el plano cartesiano los puntos obtenidos y unirlos
se forma una parábola (figura 3.17).
f (x)
La función cuadrática como caso
particular de la función polinomial
Forma estándar de una función cuadrática
Gráficas de funciones cuadráticas
Sea f : → con f ( x )5 x 2.
Gráfica de la función cuadrática
Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares
ordenados de la función, en los que la primera componente es un
número real y la segunda componente es el cuadrado de la primera.
f 5{( x , f ( x )) f ( x )5 x 2 , x ∈ }
74
x
Figura 3.17
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Imagen del dominio de la función cuadrática
Bajo la función cuadrática, a cada número real x del dominio se
asocia un número real no negativo, por lo que la imagen de la función es C 5 1 ∪ { 0}.
Propiedades de la función cuadrática
a) Inyectividad
Existen números reales diferentes, por ejemplo dos números simétricos, tales que su imagen bajo la función es la misma. Al trazar
paralelas al eje x, cada una de ellas corta en dos puntos a la representación geométrica de la gráfica de la función, por ello, la función
cuadrática no es inyectiva.
b) Suprayectividad
La función cuadrática tiene dominio y contradominio real, pero
su imagen es el conjunto de los números reales no negativos y
≠ 1 ∪ { 0} entonces la función cuadrática no es suprayectiva.
c) Biyectividad
Como la función cuadrática no es inyectiva ni suprayectiva, tampoco es biyectiva.
La representación geométrica de una parte de la grafica de la función se ilustra a continuación:
f (x)
x
Figura 3.18
Ejemplo
Imagen del dominio de la función
El punto más bajo (más alto) de la parábola se obtiene evaluando a
la función cuadrática:
Sea f : → con f ( x )5 x 2 2 x 2 2
x 52
Gráfica de la función
Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares
ordenados de la función:
f 5{( x , f ( x )) f ( x )5 x 2 2 x 2 2 , x ∈ }
Representación geométrica de la gráfica de la función
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 x2 2 x 2 2
(x, f (x))
22
f (2 2)5(2 2)2 2(2 2)2 2 5 4
(22, 4)
21
f (21) = (21)2 2(21)2 2 5 0
(21, 0)
0
f ( 0 )5( 0 )2 2( 0 )2 2 52 2
(0, 22)
1
f (1)5(1)2 2(1)2 2 52 2
(1, 22)
2
f ( 2 )5( 2 ) 2( 2 )2 2 5 0
(2, 0)
3
f ( 3)5( 3)2 2( 3)2 2 5 4
(3, 4)
2
b
2a
El punto más bajo de la parábola tiene como coordenadas
⎛ 1 9⎞
⎜⎝ ,2 ⎟⎠ , esto significa que a cada número real x del dominio se
2 4
9
9
le asocia un número real y mayor o igual que 2 ⎛⎜ y$2 ⎞⎟ por
4⎝
4⎠
tanto:
9⎫
⎧
C 5 ⎨ y ∈ y $2 ⎬
4⎭
⎩
Propiedades de la función
a) Inyectividad
La función no es inyectiva porque hay dos números reales diferentes, por ejemplo 22 y 3, de manera que su imagen bajo la función
es la misma.
b) Suprayectividad
La función no es suprayectiva porque a cada número real x del do9
minio corresponde un número real y $ 2
4
75
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
c) Biyectividad
Como la función no es inyectiva ni suprayectiva, tampoco es biyectiva.
Actividad de aprendizaje
¿De qué depende que la gráfica de la función cuadrática abra hacia
arriba o hacia abajo?
a) Determina la expresión algebraica de la función que describe
el problema.
¿Qué ocurre con la gráfica de la función cuadrática cuando el coeficiente de su término cuadrático es un número entero mayor que 1 y
va aumentando?
b) Encuentra el valor del dominio para el cual el valor de la función es el máximo posible.
c) Representa en el plano coordenado la gráfica de la función en
el 0 , x ,150 .
Solución:
a) Para cercar los tres lados del terreno se tienen 300 m de cerca. Si el lado paralelo al río se designa con y y a los otros dos
lados con x, entonces:
¿Qué ocurre con la gráfica de la función cuadrática cuando el coeficiente de su término cuadrático es un número fraccionario del intervalo
70, 18, conforme disminuye su valor?
2 x 1 y 5300…(1)
y 5300 2 2 x…( 2 )
Por tanto:
x
¿Qué tipos de problemas se pueden modelar con una función cuadrática?
y
terreno
río
x
Problemas sencillos de máximos y
mínimos
Modelos cuadráticos
La función cuadrática se utiliza como modelo en problemas de
optimización, es decir, cuando la solución del problema implica la
determinación de un valor máximo o de un valor mínimo.
Ejemplos
1. Se desea cercar un terreno de forma rectangular de manera que su
área sea la máxima posible. Se dispone de 300 metros lineales de
cerca y un río corre a lo largo de uno de los lados, que es aproximadamente recto, en el que no se pondrá cerca.
76
Figura 3.19
El área A del terreno se obtiene por el producto de sus dos
dimensiones, es decir:
A 5 xy…( 3)
Sustituyendo (2) en (3): A 5 x(300 2 2 x )
O sea:
A 5300 x 2 2 x 2
donde el área queda expresada en función de uno de los lados,
por lo que:
A5 f (x)
En consecuencia:
f ( x )5300 x 2 2 x 2
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corresponde a la expresión algebraica de la función que describe el problema.
Esto significa que el terreno rectangular de área máxima tiene
75 m de ancho y 150 m de largo.
b) En este inciso se pide encontrar el valor del dominio para el cual el
valor de la función es el máximo posible. Esto significa que debemos determinar dos conjuntos y obtener una relación entre ellos.
c) En el inciso b) se obtuvo el par ordenado (75 11 500) que corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de la parábola. Una parte de ésta se puede bosquejar en el 0 # x # 150.
El primer conjunto se llama dominio de la función (A) y está formado por todos los valores que corresponden a las posibles longitudes del lado designado con x. Toda longitud es mayor que cero
y como sólo se dispone de 300 m de cerca, la longitud del lado
debe ser menor que
300
5150 de manera que los valores de x
2
se pueden tomar del conjunto.
A 5{ x ∈ 0 , x ,150}
El segundo conjunto se llama contradominio de la función
(B ) y está formado por todos los valores que corresponden a
las posibles áreas del terreno, dichos valores pertenecen al
1
conjunto de los números reales positivos, , o sea:
B5 +
Cuando se estudió la gráfica de la ecuación cuadrática,
ax 2 1bx 1 c 5 0 , se dijo que si a,0 la curva abre hacia
abajo y el vértice de la misma, o punto máximo, se obtiene
x5
2b
. Aplicando esto en la expresión algebraica de la fun2a
ción que describe el problema:
f ( x )5300 x 2 2 x 2
se observa que a 5 22(a , 0), b 5 300, por lo que x 5
2
2300
300
5 75 .
5
2(2 2) 2 4
2b
5
2a
x
f (x) 5 300x 2 2x2
f (x)
0
f (0) 5 300(0) 2 2(0)²
0
25
f (25) 5 300(25) 2 2(25)²
6 250
50
f (50) 5 300(50) 2 2(50)²
10 000
75
f (75) 5 300(75) 2 2(75)²
11 250
100
f (100) 5 300(100) 2 2(100)²
10 000
125
f (125) 5 300(125) 2 2(125)²
6 250
150
f (150) 5 300(150) 2 2(150)²
0
Observa que los ceros de la función son 0 y 150. Como la
longitud de la cerca es de 300 m, los ceros de la función se
pueden interpretar así: cuando el ancho es cero, el largo es de
300 m y el área es 0(300) 5 0; cuando el ancho es de 150
se tiene que dos veces el ancho más una vez el largo es igual
a 300, es decir:
2x 1 y 5 300
2(150) 1 y 5 300
300 1 y 5 300
Por tanto: y 5 0
Entonces el área es 150(0) 5 0
12 000
Por tanto, el valor máximo de la función se obtiene x575
esto es:
(75 11 250)
10 000
f ( x )5300 x 2 2 x 2
8 000
f (75)5300 (75)2 2(75)
2
6 000
5 22 500 2 2 (5 625)
5 22 500 211 250
511250
4 000
2 000
2
En consecuencia, el área máxima del terreno es 11250 m .
0
Sustituyendo x 5 75 en (2):
75
150
y 5 300 2 2x
5 300 22(75)
5 300 2150
5 150
Figura 3.20
En la gráfica de la función puedes observar que el dominio (A)
es el conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, que son
77
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
A 5 {x H ! , x , 150}
2 48
48
5
56
2(2 4 ) 28
El contradominio (B ) de la función es el conjunto en el que se
puede encontrar el área que se busca, por lo que:
Por tanto, el proyectil alcanza su altura máxima a los 6 segundos.
válidos para el problema porque el área que corresponde es un
número real positivo, entonces:
B5 1
t 52
b) La altura del proyectil es una función del tiempo, es decir:
h 5 f (t )
El conjunto imagen (C ) es el conjunto de valores que puede tomar
la función dentro de su dominio de definición, es decir:
Por lo que: (t ) 5 2 4t ² 1 48t 2 80
C 5{ y ∈ 0 , y ,11250}
La altura máxima se alcanza a los 6 segundos, entonces:
f (6) 5 2 4(6)² 1 48(6) 2 80
En este problema se usa A para designar el área del terreno y
el dominio de la función. También se ha designado el largo del
terreno y los valores de la función con y. En ambos casos, la diferencia se obtiene del contexto pues corresponden a conceptos
que tienen significados definidos.
2. Desde una plataforma que está a 80 m bajo el suelo se lanza un
proyectil con una velocidad inicial de 48 metros por segundo. La
altura h, en metros, del proyectil a los t segundos de tiempo está
dada por:
h 5 2 4 t ² 1 48t 2 80
a ) Determina el tiempo en que el proyectil alcanza su máxima
altura.
5 2 4(36) 1 288 2 80
5 2 144 1 288 2 80
5 64
Esto significa que la altura máxima del proyectil es de 64 metros.
c) De los incisos a) y b) se obtiene el par ordenado (6, 64) que
corresponde a las coordenadas del vértice o punto máximo de
la parábola. Para bosquejar una parte de ésta vamos a encontrar los ceros de la función.
Como el proyectil se lanza desde una plataforma subterránea,
habrá dos momentos en que se encuentre al nivel del suelo,
cuando h 5 f (t ) 5 0, por tanto:
b ) Encuentra la máxima altura que alcanza el proyectil.
c ) Traza la gráfica de la función.
0 5 2 4t ² 1 48t 2 80
d ) Interpreta el significado físico de las intersecciones de la curva
con los ejes coordenados.
24t ² 1 48t 2 80 5 0
O sea:
Dividiendo la ecuación entre 24:
t ²2 12t 1 20 5 0
Factorizando:(t 2 2)(t 2 10) 5 0
De donde:
t1 5 2, t2 5 10
Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 , t , 10:
x
f (x ) 5 2 4t 2 1 48t 2 80
f (x )
0
f (0) 5 2 4(0)² 1 48 (0) 2 80
2 80
2
f (2) 5 2 4(2)² 1 48 (2) 2 80
0
4
f (4) 5 2 4 (4)² 1 48 (4) 2 80
48
Solución:
6
f (6) 5 2 4 (6)² 1 48 (6) 2 80
64
a) En la expresión algebraica de la función se observa que a , 0,
por lo que se trata de una parábola que abre hacia abajo y tiene
8
f (8) 5 2 4 (8)² 1 48 (8) 2 80
48
10
f (10) 5 2 4 (10)² 1 48 (10) 2 80
0
un punto máximo t 52
78
b
, es decir:
2a
Grupo Editorial Patria®
c) Determina el dominio e imagen de la función.
y
B
(6, 64)
60
P
A
40
20
0
(2, 0)
(10, 0) x
Q
Figura 3.22
Figura 3.22
Solución:
a) Sea t el tiempo buscado.
La distancia recorrida por cada móvil después de t horas es:
40 t km para el que parte de A y llega a la posición P;
–80
(0, –80)
30 t km para el que parte de B y llega a la posición Q;
Aplicando el teorema de Pitágoras PQ 2 5 PB2 1 BQ 2
PB 5 (200 2 40t ) y BQ 5 30t
donde
Figura 3.21
En la gráfica puedes observar que el dominio de la función es:
A 5 {x H! 0 # x # 10}
El contradominio de la función es:
B 5 {y H! y $ 2 80}
La imagen de la función es:
C 5 {yH! 2 80 # y # 64}
d) El punto de coordenadas (0, 280) indica que cuando el tiempo t 5 0, no se ha disparado el proyectil que se encuentra a
80 m bajo el suelo.
El punto de coordenadas (2, 0) significa que 2 segundos
después del disparo el proyectil pasa a la altura del suelo.
El punto (6, 64) indica que a los 6 segundos el proyectil alcanza una altura máxima de 64 metros.
El punto (10, 0) significa que después del disparo el proyectil
tarda 10 segundos en recorrer su trayectoria que termina al
llegar al suelo.
3. La distancia entre dos lugares A y B es de 200 kilómetros. Dos
móviles parten al mismo tiempo de A y B en las direcciones que
se indican en la figura 3.16. El que parte de A lleva una velocidad
de 40 km/h y el que parte de B lleva una velocidad de 30 km/h.
a) ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia entre los dos móviles
es mínima?
Por lo que: PQ 5
PB2 1 BQ 2
2
2
PQ (200 2 40tt) 1(30tt)
Efectuando operaciones y reduciendo términos:
PQ
40 000 216 000tt1 25 00tt2
Esta raíz cuadrada tiene un mínimo en el mismo valor de t para
el cual la expresión subradical:
D 5 2 500t 2 16 000t 1 40 000
es mínima, esto es en:
t5
2b 2(216 000)
5
53.2 horas
2a
2(2 500)
Para este valor de t :
PQ 5 ⎡⎣ 200 2 40(3.2)⎤⎦ 1[ 30(3.2)]
2
2
PQ 5 (200 2128)2 1(96)2
PQ 5 72 2 1 96 2
PQ 5 5184 1 9 216
Encuentra la distancia mínima entre los dos móviles.
PQ 5 14 400
b) Traza la gráfica de f (t ) para 1 # t # 5.
PQ 5120
79
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Esto significa que 3.2 horas (3 horas 12 min) después de su
salida los móviles se encuentran a una distancia mínima de
120 kilómetros uno del otro.
b) La distancia PQ es una función del tiempo t, es decir:
PQ 5 f (t )
Se construye una tabla para f (t ) en el intervalo 0 # t # 5.
t
f (x)
1
162.79
2
134.16
3
120.42
4
126.49
5
150.00
Distancia
ax 2 1bx 1 c 5 0
Con lo cual se obtiene: ax 2 1bx 1 c 5 y
Por tanto:
ax 2 1bx 1 c 5 f ( x )
O bien:
f ( x )5 ax 2 1bx 1 c
b
y a partir de éste se
2a
eligen valores mayores y menores que él para construir una tabla de valores de y 5 f (x). Así se obtienen pares ordenados que
pertenecen a la función los cuales, una vez localizados en el plano
coordenado, se unen en forma consecutiva mediante un trazo continuo, con lo que se obtiene un subconjunto de puntos de la curva
llamada parábola.
Después se determina el valor de x 5 2
200
También se estableció antes que si a > 0 la curva es cóncava hacia
arriba (abre hacia arriba) y si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo
(abre hacia abajo). En el primer caso se dijo que la parábola tiene
un punto mínimo (el punto más bajo), mientras que en el segundo caso la parábola tiene un punto máximo (el punto más alto). El
punto mínimo (o máximo) recibe el nombre de vértice de la parábola y sus coordenadas son:
120
100
1
2
3
4
5
⎛ 2b 4 ac 2b 2 ⎞
⎜⎝ 2a , 4 a ⎟⎠
x
Tiempo
Ejemplos
Figura 3.23
c) El móvil que parte de A tarda 5 horas en recorrer los 200 kilómetros que lo separan de B, en ese mismo tiempo el móvil que
parte de B habrá recorrido 150 kilómetros y como lo que se
busca es la distancia mínima entre los dos móviles, entonces
el tiempo debe ser menor que 5 horas. Antes de iniciar el movimiento la distancia entre los móviles es de 200 kilómetros.
En consecuencia t debe estar en el intervalo 0 , t , 5, por lo
que el dominio de la función es:
A 5 {x H !) 0 , x , 5}
Tomando en cuenta los valores de t dentro de su dominio, la
imagen de la función es:
C 5 { y H !) 120 # y # 200}
80
Anteriormente se resolvió una ecuación cuadrática en forma gráfica. El procedimiento consiste en sustituir el cero por y en la ecuación:
que corresponde a una función en la que y es la variable dependiente o función, y x es la variable independiente, es decir: y 5 f (x)
y
0
Representación gráfica de la función
cuadrática
1. Dada la función f : → f (x ) 5 x 2
a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola.
b) Indica si es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
c) Esboza la gráfica de la función, encuentra el intervalo en el que
la función crece y el intervalo en el que decrece.
Solución:
a) El eje de simetría de la parábola es x 5
2b 2 0
5
50 .
2a 2(1)
es decir: x 5 0, que es la ecuación del eje y.
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Como el dominio y contradominio de la función son los
números reales, la figura 3.24 es sólo un subconjunto del
conjunto de puntos de la parábola.
⎛ 2b 4 ac 2b 2 ⎞
5(0 , 0).
4 a ⎟⎠
El vértice de la parábola es: ⎜
,
⎝ 2a
O sea, que el vértice de la parábola es el origen del sistema
coordenado.
b) En la expresión algebraica de la función observa que a > 0,
por tanto la curva es cóncava hacia arriba.
c) Se construye una tabla para y 5 f (x ):
x
f (x) 5 x
f (x)
Puntos
3
f (3) 5 3²
9
(3, 9)
2
f (2) 5 2²
4
(2, 4)
1
Puedes observar en la figura 3.24 que el eje y es el eje de
simetría de la parábola y su vértice, o punto mínimo, es el
origen.
La curva decrece en el intervalo , 2 ∞, 0] y crece en el intervalo [0, ∞ .. El cero de la función se obtiene cuando x 5 0.
2. Sea la f : → , f (x ) 5 2x 2
a) Encuentra el eje de simetría y el vértice de la parábola.
b) Di si es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
f (1) 5 1²
1
c) Esboza la gráfica de la función y determina los intervalos en
que crece o decrece.
Solución:
a) El eje de simetría de la parábola es x 5
(1, 1)
2b
20
0
5 5 0.
5
2a 2(21) 2
O sea: x 5 0, que es la ecuación del eje y.
2b
50
2a
f (0) 5 0²
0
21
f (2 1) 5 (2 1)²
1
(2 1, 1)
22
f (2 2) 5 (2 2)²
4
(2 2, 4)
23
f (2 3) 5 (2 3)²
9
(2 3, 9)
⎛ 2b 4 ac 2b 2 ⎞
5(0 , 0) .
4 a ⎟⎠
(0, 0)
El vértice de la parábola es ⎜
,
⎝ 2a
Que es el origen del sistema coordenado.
b) La parábola es cóncava hacia abajo porque en la expresión
algebraica de la función, a , 0.
c) Se construye una tabla para y 5 f (x ).
x=0
y
0
x
x
f (x) 52 x 2
f (x)
Puntos
3
f (3) 5 2 3 ²
29
(3, 2 9)
2
f (2) 5 2 2 ²
24
(2, 2 4)
1
f (1) 5 2 1 ²
21
(1, 2 1)
2b
50
2a
f (0) 5 0
0
0 (0, 0)
21
f (2 1) 5 2 (2 1) ²
21
(2 1, 2 1)
22
f (2 2) 5 2 (2 2) ²
24
(2 2, 2 4)
23
f (2 3) 5 2 (2 3) ²
29
(2 3, 2 9)
Figura 3.24
81
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
y
y
0
x=0
x=0
x
x
0
Figura 3.26
Observa que la parábola de la figura 3.26 es menos abierta que
las anteriores.
Figura 3.25
En la figura 3.25 se representa un subconjunto del conjunto
de puntos de la parábola. El eje de simetría de la curva es el
eje y, y su vértice, o punto máximo, coincide con el origen.
La parábola crece en el intervalo , 2 ∞, 0] y decrece en el
intervalo [0, ∞ ..
4. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )5
Solución:
El eje de simetría de la parábola x 5
Entonces su ecuación es x 5 0.
El cero de la función se obtiene cuando x 5 0.
Solución:
x
2b 2 0 0
a ) El eje de simetría de la parábola es: x 5
5
5 50
2a 2(2) 4
O sea x 5 0.
b ) Se construye una tabla de valores para y 5 f (x )
82
x
f (x) 5 2x
3
2b
20
5
50
2a
⎛ 21 ⎞
2⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x )
3. Esboza la gráfica de la f : → , f ( x )52 x .
2
2
21 2
x.
3
3
2
21 2
x
3
21
f (3)5 (3)2
3
21 2
f ( 2 )5 ( 2 )
3
f ( x)5
f (x)
Puntos
23
(3, 23)
2
4
3
4⎞
⎛
⎜⎝ 2 ,2 ⎟⎠
3
2
1
3
1⎞
⎛
⎜⎝ 1,2 ⎟⎠
3
0
(0, 0)
f (x)
Puntos
f (3)5 2(3)2
18
(3, 18)
2
f (2)5 2(2)2
8
(2, 8)
1
f (1)5 2(1)2
2
(1, 2)
2b
50
2a
f (0)5 2(0)2
0
(0, 0)
21
f (21)5
21
(21)2
3
2
1
3
1⎞
⎛
⎜⎝ 21, 2 ⎟⎠
3
21
f (21)5 2(21)2
2
(2 1, 2)
22
f (2 2)5
2
22
f (2 2)5 2(2 2)2
8
(2 2, 8)
21
(2 2)2
3
4
3
4⎞
⎛
⎜⎝ 2 2 , 2 ⎟⎠
3
23
f (23)5 2(23)
18
23
f (23)5
21
(23)2
3
23
2
(2 3, 18)
1
2
b
50
2a
f (1)5
21 2
(1)
3
f ( 0 )5
21 2
( 0)
3
(3, 23)
Grupo Editorial Patria®
x=0
y
0
x
x = 5–
2
0
Figura 3.27
Como puedes observar, esta parábola (fig. 3.27) es más abierta
que las anteriores y en las cuatro su vértice coincide con el origen.
Estas parábolas son del tipo:
y 5 ax 2
Figura 3.28
donde el cero de la función se obtiene cuando x 5 0, es decir, el
origen es el único que la parábola tiene en común con el eje x.
Los ceros de esta función se obtienen en x 5 0 y x 5 5, o sea
que (0, 0) y (5, 0) son los únicos puntos que la parábola tiene en
común con el eje x.
5. Esboza la gráfica de la f : → , f ( x )5 x 2 5 x .
2
Solución:
El eje de simetría de la parábola es: x 5
2b 2(2 5) 5
5
5
2a
2(1)
2
2
6. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )523x 1 9 x .
Solución:
El eje de simetría de la parábola es:
5
Por lo que su ecuación es: x5
2
x5
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x).
Entonces su ecuación es:
x
f (x) 5 x2 2 5x
5
f (5)5 5 2 2 5(5)
0
(5, 0)
4
f ( 4)5 4 2 2 5( 4)
24
3
f (3)532 2 5(3)
2b 5
5
2a 2
2
2
⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞
⎛ 5⎞
f ⎜ ⎟ 5⎜ ⎟ 2 5⎜ ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
f (2)5 2 2 2 5(2)
f (x)
x5
Puntos
3
2
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).
x
f (x) 5 2 3x2 1 9x
f (x)
Puntos
(4, 24)
4
f ( 4)523( 4)2 1 9( 4)
212
(4, 212)
26
(3, 26)
3
f (3)523(3)2 1 9(3)
0
(3, 0)
25
2
4
⎛ 5 2 25 ⎞
⎜⎝ ,
⎟
2 4 ⎠
2
f (2)523(2)2 1 9(2)
6
(2, 6)
26
(1, 26)
3
2
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
⎛ 3⎞
f ⎜ ⎟ 523⎜ ⎟ 1 9⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
27
4
⎛ 3 27 ⎞
⎜⎝ , ⎟⎠
2 4
1
f (1)523(1)2 1 9(1)
6
(1, 6)
0
f (0)523(0)2 1 9(0)
2
(0, 0)
21
f (21)523(21)2 1 9(21)
212
(21, 212)
1
f (1)51 2 5(1)
24
(1, 24)
0
f (0)5 0 2 2 5(0)
0
(0, 0)
2
2b
29
3
5
5
2a 2(23) 2
2
83
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
y
x
0
1
f (1)512 2 9
28
(1, 28)
2b
50
2a
f ( 0 )5 0 2 2 9
29
(0, 29)
21
f (21)5(21)2 2 9
28
(21, 8)
22
f (2 2)5(2 2)2 2 9
25
(22, 25)
23
f (23)5(23)2 2 9
0
(23, 0)
24
f (2 4)5(2 4)2 2 9
7
(24, 7)
x=0
x = 3–
2
y
Figura 3.29
Los puntos que la parábola (fig. 3.29) tiene en común con el eje x
son (0, 0) y (3, 0), es decir, que los ceros de la función se obtienen
cuando x 5 0 y x 5 3.
x
0
2
En los ejemplos 5 y 6 las parábolas son del tipo y 5 ax 1bx .
Donde los ceros de la función se obtienen cuando x 5 0 y
x5
2b
a
2
7. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )5 x 2 9
Solución:
El eje de simetría de la parábola es x 5
Por tanto su ecuación es x 5 0.
2b 2 0
5
50
2a 2(1)
En esta función los ceros se encuentran cuando x 5 3 y x 5 2 3.
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x ).
84
Figura 3.30
2
8. Esboza la gráfica de la función f : → f ( x )52 2 x 1 4 .
x
f (x) 5 x2 2 9
f (x)
Puntos
4
f ( 4 )5 4 2 2 9
7
(4, 9)
El eje de simetría de la parábola es x 5
3
f (3)532 2 9
0
(3, 0)
Es decir, que su ecuación es: x 5 0
2
f ( 2 )5 2 2 9
25
(2, 25)
2
Solución:
2b
20
50
5
2a 2(2 2)
Se construye una tabla de valores para y 5 f (x).
Grupo Editorial Patria®
x5± 2
x
f (x) 5 2x2 1 4
f (x)
Puntos
3
f (3)52 2(3)2 1 4
214
(3, 214)
2
f (2)52 2(2) 1 4
24
(2, 24)
1
f (1) 52 2(1)2 1 4
2
(1, 2)
2b
50
2a
f (0)52 2(0)2 1 4
4
(0, 4)
21
f (21)52 2(21)2 1 4
2
(21, 2)
22
f (2 2)52 2(2 2)2 1 4
24
(22, 24)
Cuando a . 0 y b ² 2 4ac , 0, el punto mínimo de la parábola
está por encima del eje x, por tanto, los ceros de la función no
son números reales sino complejos. De manera similar, cuando
a , 0 y b ² 2 4ac , 0, el punto máximo de la parábola queda
por debajo del eje x y, así, los ceros de la función no son números
reales sino complejos.
23
f (23)52 2(23)2 1 4
214
(23, 214)
Cuando la función es el tipo: f (x ) 5 ax ² 1bx 1 c se pueden
presentar los casos ya estudiados.
2
En consecuencia, los ceros de la función se obtienen cuando
x5 2 y x 52 2
Observa en los ejemplos 7 y 8 que los ceros de la función son
valores simétricos de x.
2
Estas funciones son del tipo: f ( x )5 ax 1 c .
y
Actividad de aprendizaje
¿Cómo son entre sí las gráficas de una función cuadrática y su correspondiente ecuación?
x
x=0
0
Figura 3.31
Los ceros de la función se encuentran cuando f (x ) 5 0, es decir:
0 52 2 x 2 1 4
O bien:
De donde:
22x 2 1 4 50
2 2 x 2 52 4
Relación entre la función y la ecuación
cuadrática
De manera semejante a la relación que existe entre la función y la
ecuación lineal, se puede decir que la gráfica de la función cuadrática:
f (x) 5 ax2 1 bx 1 c
y de su correspondiente ecuación y 5 ax2 1 bx 1 c es la misma
24
x2 5
22
Si la ecuación x2 1 2x11 5 0
x 52
y si se multiplica por 2 se obtiene 2x2 1 4x 1 2 5 0.
2
se multiplica por 21, se obtiene 2 x2 2 2x 2 1 5 0
85
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Estas tres ecuaciones son equivalentes pues al resolverlas se obtienen las mismas raíces o soluciones.
Si en estas ecuaciones se sustituye el 0 por y se transforma en:
x2 1 2x 1 1 5 0
o bien
2 x2 2 2x 1 1 5 0
y 5 x2 1 2x 1 1
y 5 2 x2 2 2x 2 1
2x2 1 4x 1 2 5 0
y 5 2x2 1 4x 1 2
y como y 5 f (x) entonces: f (x) 5 x2 1 2x 1 1
f (x) 5 2 x 2 2 2x 2 1
f (x) 5 2x2 1 4x 1 2
Que corresponden a funciones diferentes.
Sea x 5 5, entonces:
f (5) 5 52 1 2(5) 1 1 5 36
f (5) 5 2 52 2 2(5) 2 1 5 2 36
f (5) 5 2(5)2 1 4(5) 1 2 5 72
Como puedes observar, para un mismo valor de x se obtienen diferentes imágenes con cada función. Esto se puede hacer más evidente al trazar sus respectivas gráficas.
En consecuencia, si una ecuación cuadrática se multiplica por una
constante diferente de cero, se obtiene otra ecuación que es equivalente a la primera, pero sus correspondientes funciones son diferentes.
Figura 3.32
Un empaque en forma de tetraedro permite contoner el máximo volumen con el mínimo de material.
86
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
/PNCSF
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 3. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. Halla la pendiente de la recta que determinan los puntos
T (2 2 , 6), U (1, 23).
1
2. Determina si la función f ( x )52 x 1 , es creciente o decre4
ciente. Fundamenta tu respuesta.
3. El costo total C ( x ) para producir cierto tipo de aparato electrodoméstico está dado por:
b) ¿Cuál es el costo fijo?
c) ¿Cuál es el costo total de producir 5 000 aparatos?
2
4. Esboza la gráfica de la función f : → , f ( x )52 2 x 2 4 x .
C( x )5 45 x 118 000
a) ¿Cuál es el costo por aparato?
87
3
BLOQUE
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit de la sección “Aplica lo que sabes” de la
págian 71.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
88
11. Conoce y aplica correctamente los conceptos de las escalas de
temperatura Celsius y Fahrenheit.
12. Da respuesta correcta a las preguntas que surgen de la actividad que
se propone.
13. Obtiene la ecuación lineal que expresa la temperatura Celsius en
función de la temperatura Fahrenheit.
14. Representa en el plano cartesiano los puntos en que el agua se
congela y hierve en cada temperatura, Celsius y Fahrenheit.
15. Representa gráficamente la temperatura Celsius en función de la
temperatura Fahrenheit.
16. A partir de la fórmula de la recta en la forma punto-pendiente obtiene
la ecuación lineal que expresa la temperatura Celsius en función de la
temperatura Fahrenheit.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
No conoce ni aplica
el concepto, notación,
características o grado de
una función polinomial
en una variable.
Conoce las características
algebraicas de las funciones
polinomiales de grados
cero, uno y dos.
Conoce algunas
características algebraicas
de las funciones
polinomiales de grados
cero, uno y dos.
No conoce las
características algebraicas
de las funciones
polinomiales de grados
cero, uno y dos. No
identifica casos particulares.
Identifica el modelo
matemático de las
funciones polinomiales de
grado uno, incluyendo casos
particulares.
Identifica el modelo
matemático de las
funciones polinomiales de
grado uno.
Identifica el modelo
matemático de algunos
casos particulares de las
funciones polinomiales de
grado uno.
No identifica el modelo
matemático de las
funciones polinomiales
de grado uno, ni casos
particulares.
Reconoce la influencia de
los parámetros de funciones
de grados cero, uno y
dos en su representación
gráfica. Establece la relación
entre la función lineal y la
ecuación de primer grado
con dos variables.
Reconoce la Influencia de
los parámetros de funciones
de grados cero, uno y
dos en su representación
gráfica.
Reconoce la influencia de
algunos de los parámetros
de funciones de grados
cero, uno y dos en su
representación gráfica.
No reconoce la influencia de
los parámetros de funciones
de grados cero, uno y
dos en su representación
gráfica. No establece la
relación entre la función
lineal y la ecuación de
primer grado con dos
variables.
Define las funciones
polinomiales de grado
dos y particularidades de
los modelos cuadráticos.
Resuelve problemas
sencillos de máximos y
mínimos. Establece la
relación entre la función y la
ecuación cuadrática.
Define las funciones
polinomiales de grado
dos y particularidades de
los modelos cuadráticos.
Resuelve problemas
sencillos de máximos y
mínimos.
Define las funciones
polinomiales de grado dos
y particularidades de los
modelos cuadráticos.
No define las funciones
polinomiales de grado
dos y particularidades de
los modelos cuadráticos.
No resuelve problemas
sencillos de máximos y
mínimos. No establece la
relación entre la función y la
ecuación cuadrática.
Conoce y aplica el concepto,
notación, características
y grado de una función
polinomial en una variable.
Conoce el concepto,
notación, características
y grado de una función
polinomial en una variable.
Características
algebraicas de
las funciones
polinomiales de
grados cero, uno y
dos
Conoce las características
algebraicas de las funciones
polinomiales de grados
cero, uno y dos. Identifica
casos particulares.
Funciones
polinomiales
de grado uno y
particularidades de
los modelos lineales
Define las funciones
polinomiales
de grado dos y
particularidades
de los modelos
cuadráticos
Deficiente
(1)
Conoce el concepto,
notación y algunas
características de una
función polinomial en una
variable.
Funciones
polinomiales en una
variable
Influencia de los
parámetros de
funciones de grados
cero, uno y dos en
su representación
gráfica
Regular
(2)
89
Utilizas funciones polinomiales
de grados tres y cuatro
4
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
4.1 Modelo matemático de las
funciones polinomiales de
grados tres y cuatro
4.2 Propiedades geométricas de
las funciones polinomiales
de grados tres y cuatro
4.3 Métodos de solución de las
ecuaciones factorizables
asociadas a una función
polinomial de grados tres y
cuatro
4.4 Comportamiento de la
gráfica de una función
polinomial en función de
los valores que toman sus
parámetros
4.5 Representación gráfica de
funciones polinomiales
de grados tres y cuatro
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
„
„
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
„
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
¿Qué sabes hacer ahora?
¿Qué propiedad tiene una función par?
1.
¿Qué propiedad tiene una función impar?
2.
¿Cómo se determinan los ceros de una función polinomial?
3.
Determina los puntos comunes de f ( x) 5 (x 1 1) (x 2 3) (x 2 5) con el eje x.
4.
Bosqueja la gráfica de f ( x) 5 (x 2 1) (x 1 2)2 (x 2 3).
5.
Desempeños por alcanzar
„
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y comunicación.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Reconoce el patrón de comportamiento gráfico de las funciones polinomiales
de grados tres y cuatro.
Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados
tres y cuatro.
Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para obtener
la solución de ecuaciones factorizables y representar gráficamente las
funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas.
BLOQUE
4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
¿Cómo se puede demostrar que x 4 1 2 x 3 2 7 x 2 28 x 212 tiene como factor a x12?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
ploblema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las opciones de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se obtienen las raíces de un polinomio a partir de sus factores?
¿Cómo se determinan los ceros de un polinomio factorizable?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo comapre y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cómo se expresa el factor como raíz del polinomio?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
¿Cómo se comprueba que el valor dado es una raíz del polinomio?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenten los cálculos realizados para demostrar que el polinomio
tiene como uno de sus factores al factor dado.
Rúbrica
Para demostrar lo que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos
y se calificará con base en el material utilizado, la originalidad en
su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes consultadas, etc.
La descripción del procedimiento por escrito tendrá un valor de
Situación didáctica
Bosquejar la gráfica f ( x )5 x 3 1 2 x 2 2 5 x 26 .
92
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
3 puntos y la presentación en clase será de 2 puntos de la actividad.
Todo sumará un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.
¿Cómo lo resolverías?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
ploblema.
Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Cómo se obtienen las raíces de un polinomio a partir de sus factores?
¿Cómo se determinan los ceros de un polinomio factorizable?
¿Cómo se expresa el factor como raíz del polinomio?
¿Cómo se comprueba que el valor dado es una raíz del polinomio?
¿Cómo se hace un bosquejo de la gráfica de un polinomio?
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y
selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos
obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que
procedan.
Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación
respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con
el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso
de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar el bosquejo de la gráfica del polinomio.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para trazar el bosquejo de la gráfica que se pide, se deben anexar los
conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tendrán un
valor de 5 puntos y se calificará con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes
consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito tendrá un valor de 3 puntos y la presentación en clase será de 2 puntos
de la actividad. Todo ello sumará un total de 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.
93
BLOQUE
4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Es un milagro que la curiosidad sobreviva a la educación reglada.
Albert Einstein
Bosqueja la gráfica de cada una de las siguientes funciones:
1. f ( x )5( x 21)2 ( x 2 2)( x 23)
2. f ( x )5( x 2 2)( x 13)( x 16)
3. f ( x )5 x( x 1 2)( x 23)
4. f ( x )5( x 11)( x 23)2
5. f ( x )5( x 1 2)2 ( x 23)
6. f ( x )5( x 23)2 ( x 13)
7. f ( x )5( x 13)( x 1 2)2
8. f ( x )5( x 2 2)2 ( x 1 2)2
9. f ( x )5 x( x 13)( x 2 4)
10. f ( x )5( x 21)2 ( x 1 2)
Factoriza las siguientes ecuaciones:
1. x 3 2 2 x 2 2 5 x 16 5 0
2. x 3 2 4 x 2 1 2 x 16 5 0
3. x 3 2 5 x 2 13x 1 9 5 0
4. x 3 1 2 x 2 211x 212 5 0
5. x 3 1 x 2 2 5 x 135 0
6. x 18 x 1 22 x 1 24 x 1 9 5 0
4
3
2
7. x 4 28 x 3 1 22 x 2 2 24 x 1 9 5 0
8. x 4 2 2 x 3 213x 2 114 x 1 24 5 0
Introducción
En este bloque se introducen los conceptos de función par e impar
como antecedente para bosquejar la gráfica de funciones de tercer
y cuarto grado.
4.1 Modelo matemático de
las funciones polinomiales de
grados tres y cuatro
Si en la función polinomial
f (x) 5 anxn 1 an21xn21 1 an22xn22… a2x2 1 a1x 1 a.
se da a n el valor 3, nos queda de la siguiente forma:
f (x) 5 a3x3 1 a2x2 1 a1x 1a.
si n 5 4, entonces:
9. x 4 1 x 3 213x 2 2 x 112 5 0
f (x) 5 a4x4 1 a3x3 1 a2x2 1 a1x 1 a.
10. x 4 2 2 x 3 2 7 x 2 18 x 112 5 0
que corresponden, respectivamente, a los modelos matemáticos
de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
4.2 Propiedades geométricas
de las funciones polinomiales
de grados tres y cuatro
Para trazar la representación geométrica de una función polinomial se debe tomar en cuenta la relación que existe entre el grado
del polinomio y sus respectivas propiedades geométricas.
Las funciones polinomiales de grado impar: uno, tres, etcétera, se
caracterizan por lo siguiente:
Si es positivo el coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado), entonces su trazo se inicia en el semieje negativo de las
94
Grupo Editorial Patria®
y y termina en el semieje positivo de las y e interseca al eje x, por lo
menos una vez.
Ejemplos
Las funciones polinomiales de grado par: dos, cuatro, etcétera, se
caracterizan por lo siguiente:
Factorizar la ecuación x 3 26 x 2 111x 26 5 0 .
Si es positivo el coeficiente principal, entonces su trazo inicia en
el semieje positivo de las y y termina en el semieje positivo de las y
y no en todos los casos intersecan al eje x.
Tanto en las funciones polinomiales de grado par como en las de
grado impar, cuando el coeficiente principal es negativo, su gráfica con respecto al eje x es un reflejo de la gráfica correspondiente
cuando el coeficiente principal es positivo.
4.3 Métodos de solución de
las ecuaciones factorizables
asociadas a una función
polinomial de grados tres
y cuatro
Si no se cuenta con un dispositivo de graficación para estar en condiciones de trazar la gráfica de una función polinomial de grados
tres y cuatro, además de conocer sus propiedades geométricas, se
deben determinar los puntos de intersección con el eje x.
Con ese propósito se utilizan los teoremas aplicables del álgebra
para expresar la función polinomial como el producto de sus factores lineales y cuadráticos. A partir de estos factores se pueden determinar los puntos de intersección de la función con el eje x.
Para una función polinomial de la forma P(x) se buscan los posibles valores de sus raíces.
Si se encuentra una raíz, r entonces la función polinomial se puede
expresar como un producto de la forma:
P(x) 5 (x 2 r) Q(x)
Donde Q(x) es un polinomio reducido, de manera que si P(x) es
de grado tres, entonces Q(x) es de grado dos y se puede resolver
por factorización o con aplicación de la fórmula general para resolver cuadráticas.
Si P(x) es de grado cuatro, entonces Q(x) sería de grado tres y se
procedería a buscar una de sus raíces para que P(x) se pueda expresar como el producto de dos factores lineales y uno cuadrático
y éste se resuelve por factorización o con aplicación de la fórmula
general para resolver cuadráticas.
Para resolver ecuaciones que son factorizables, podemos utilizar
los productos notables que estudiamos en álgebra, con sus correspondientes factorizaciones.
Solución:
Con los recursos teóricos de que se dispone hasta ahora podemos
ensayar con los factores o divisores del término independiente.
Iniciamos con x 5 1 para evaluar la ecuación
(1)3 26 (1)2 111(1)26 5 0
126 11126 5 0
12 212 5 0
Como el valor de x 5 1 satisface la ecuación, esto significa que
(x 2 1) es uno de sus factores.
Si dividimos la ecuación entre el factor, se obtiene:
x 2 25 x 16
x 21 x 3 2 6x2 111x 26
2x 3 1 x 2
25 x 2 111x
15 x 2 25 x
6 x 26
26 x 16
0
Entonces la ecuación se puede expresar como:
x 3 26 x 2 111x 26 5( x 21)( x 2 2 5 x 16)
El factor cuadrático x 2 2 5 x 16 se puede expresar como:
x 2 2 5 x 16 5( x 2 2)( x 23)
Por tanto, la ecuación también se puede expresar así:
x 3 26 x 2 111x 26 5( x 21)( x 2 2)( x 23)
El factor cuadrático se puede resolver utilizando la fórmula general.
4.4 Comportamiento de la
gráfica de una función polinomial
en función de los valores que
toman sus parámetros
Este bloque trata sobre los procedimientos que se utilizan para
determinar las soluciones de una ecuación polinomial de grado
mayor que dos y se aplican para el trazo de la gráfica de la función
polinomial correspondiente.
95
BLOQUE
4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
Imagen del dominio de la función cúbica
Ejemplo
La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número
real que puede ser positivo, negativo o cero, por lo que la imagen
del dominio de la función cúbica es:
Sea f : R ⎯→ R, tal que f (x ) 5 x3.
C5R
Gráfica de la función cúbica
Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares
ordenados de la función, en los que la primera componente es un
número real y la segunda es el cubo de la primera.
f 5 {(x, f (x)) | f (x) 5 x3, x ∈R}
Representación geométrica de la
gráfica de la función cúbica
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
x
f (x) 5 x 2
(x, f (x))
22
f (22) 5 (22) 28
(23, 9)
21
f (21) 5 (21)3 521
(22, 4)
0
f (0) 5 (0)3 5 0
(21, 1)
1
f (1) 5 (1)3 5 1
(0, 0)
2
f (2) 5 (2)3 5 8
(1, 1)
3
Si los puntos obtenidos se representan en el plano cartesiano, podrás observar que no están alineados, sino que sugieren un trazo
curvo como el que se ilustra en la figura 4.1.
Propiedades de la función cúbica
a) Inyectividad
Dados dos números reales diferentes, x1 ≠ x 2 imágenes que
les corresponderán también serán diferentes, f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ),
por tanto, la función cúbica es inyectiva. Éstos se pueden observar en la figura al trazar rectas paralelas al eje x que intersecan a la representación de f en un solo punto.
b) Suprayectividad
La imagen de la función cúbica es igual al contradominio,
C 5 B 5 !, por consiguiente, la función cúbica será suprayectiva.
c) Biyectividad
La función cúbica al mismo tiempo es inyectiva y suprayectiva, entonces será también biyectiva.
Ejemplo
f : R, ⎯→ R tal que f ( x )5 x 3 21
Gráfica de la función
Es el conjunto de los puntos del plano que representan a los pares
ordenados de la función.
f 5 {(x, f (x))| f ( x )5 x 3 21 H !}
Representación
geométrica de
la gráfica de la
función
f (x)
x
x
Figura 4.2
Figura 4.1
96
Grupo Editorial Patria®
Algunos de los pares ordenados de la función se calculan en la siguiente tabla:
Por lo anterior se dan comportamientos similares entre las gráficas
de las funciones polinomiales de grado impar (uno y tres) y entre
las de funciones de grado par (dos y cuatro).
x
f (x) 5 x2 5 1
(x, f (x))
22
f (22) 5 (22)3 21 529
(22, 29)
Actividad de aprendizaje
21
f (21) 5 (21)3 21 522
(22, 22)
¿Qué propiedad tiene una función par?
0
3
f (0) 5 (0) 21 521
(0, 21)
1
f (1) 5 (1)3 21 5 0
(1, 0)
2
f (2) 5 (2)3 21 5 7
(2, 7)
¿Qué propiedad tiene una función impar?
La imagen de cada valor del dominio de la función es otro número
real que puede ser positivo, negativo o cero; por ello, la imagen del
dominio de la función es:
C5!
Propiedades de la función
a) Inyectividad
Dados dos números reales x1 ≠ x 2 las imágenes que les corresponden también son diferentes f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ); por tanto, la
función será inyectiva. Esto lo podemos observar en la figura al
trazar rectas paralelas al eje x que intersecan a la representación
de f en un solo punto.
b) Suprayectividad
La imagen de la función es igual al contradominio, C 5 B 5 !;
por consiguiente, la función será suprayectiva.
c) Biyectividad
La función es inyectiva y suprayectiva, por tanto, también será
biyectiva.
Función cúbica
Al trazar la gráfica de una función es útil aplicar propiedades de la simetría. En el caso de una función del tipo f ( x )5 x 2 que tiene como
gráfica una parábola simétrica con respecto al eje y. Esto se debe a
que al elevar al cuadrado valores simétricos de x, bajo la función nos
da la misma imagen, es decir f ( x )5 f (2 x ). Cuando una función
tiene ese comportamiento se dice que es una función par. En consecuencia, si se traza la parte de la gráfica que está de un lado con respecto al eje y, la otra parte se obtendrá con puntos simétricos.
Una función de la forma f ( x )5 x 3 se caracteriza porque
f (2 x )52 f ( x ). Esto significa que la curva es simétrica con respecto al origen. Esto se puede observar si trazamos una recta que
pase por el origen y corte a la curva en dos puntos que están a la
misma distancia del origen. Una función que tiene este comportamiento se dice que es una función impar.
Para tu reflexión
Ferdinand Lindemann (1852-1939)
Científico alemán que hizo importantes contribuciones a la ciencia matemática. Demostró que el número p(pi) es trascendental.
Asistió a las universidades de Erlangen, Gotinga y Munich; en 1875
estudió en Londres y París, se graduó en Wurzburgo y ese mismo año
trabajó como profesor extraordinario en Friburgo.
Este matemático fue catedrático en la Universidad de Königsberg en
1883; 10 años más tarde colaboró con la Universidad de Munich. Ferdinand Lindemann utilizó los métodos de Charles Hermite para analizar el
número p(pi), la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro
y pudo demostrar que es un número trascendental. Con esta afirmación demostró que no podía construirse un cuadrado de área igual a la
de un círculo dado recurriendo únicamente a la regla y compás. Este
problema de construcción se había tratado de resolver desde la época
de los griegos. Trabajó con el
último teorema de Fermat y
dio a conocer un vasto trabajo
sobre este teorema que, según
él, había resuelto. También estudió la solución de las ecuaciones algebraicas por medio
de funciones trascendentales;
hizo algunos aportes a la teoría matemática en las líneas
espectrales; además, anotó la
traducción del texto de Jules
Henri Poincaré publicado en
1904.
97
BLOQUE
4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
Aplica lo que sabes
Para hacer una caja se va a utilizar una lámina rectangular de cartón.
En cada esquina se recorta un cuadrado de 15 centímetros por lado y
después se dobla hacia arriba para hacer una caja abierta. Si la lámina
mide de largo el doble de su ancho y su volumen es de 27 000 centímetros cúbicos, ¿cuáles serán las dimensiones de la lámina de cartón?
x
(k, 0)
Figura 4.5
Si las funciones anteriores fueran negativas,
f ( x )52( x 2 k )
f ( x )52( x 2 k )2
f ( x )52( x 2 k )3
Influencia de los parámetros de
funciones de grados tres y cuatro en su
representación gráfica
Algunas funciones polinomiales se pueden expresar algebraicamente de manera factorizada.
Para hacer un bosquejo de su representación gráfica tomamos en
cuenta las funciones del tipo:
1. f ( x )5( x 2 k )
2. f ( x )5( x 2 k )2
¿cómo serían sus gráficas?
4.5 Representación gráfica
de funciones polinomiales de
grados tres y cuatro
Ejemplos
1. Bosqueja la gráfica f ( x )5( x 11)( x 13)( x 1 5).
3. f ( x )5( x 2 k )3
para valores de x próximos, pero no iguales, a k. Cuando x 5 k se
obtiene un cero de la función, es decir, la gráfica interseca al eje x en
el (k , 0). En el caso de las funciones 1 y 3, f ( x ) cambia de signo
cuando x varía de valores menores que k a valores mayores que k,
por lo que la curva corta al eje x en (k , 0). La función 2 corresponde a un cuadrado perfecto y no puede tener valores negativos. En
consecuencia, la curva permanecerá por encima del eje x con excepción del punto de tangencia (k , 0).
x
Solución:
Por inspección de la función observamos que cuando x 5 21,
23, 25, los factores serán cero. Por tanto, en el eje x, los
puntos (21, 0), (23, 0) y (25, 0) son comunes con la gráfica
de la función. Para el factor (x 1 5), vemos que cuando x toma
valores menores que 25, la gráfica estará por debajo del eje x y
para valores mayores que 25, la gráfica estará por encima del
eje x. El comportamiento es semejante para los factores (x 1 3)
y (x 1 1), pues los tres son factores lineales.
Si evaluamos la función en x 5 24, y en x 5 22 obtendremos
puntos adicionales que nos ayudarán a bosquejar la función.
f (2 2)5(2 2 11)(2 2 13)(2 2 1 5)
(k, 0)
Figura 4.3
5(21)(1)(3)523
f (2 4)5(2 4 11)(2 4 13)(2 4 1 5)
5(23)(21)(1)(3)5 3
x
(k, 0)
Figura 4.4
98
Grupo Editorial Patria®
Aplica lo que sabes
y
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
5
Al generar energía eléctrica se utilizan combustibles fósiles que producen gases de invernadero.
x
0
–5
–4
–3
–2
–1
0
Investiga cuál es el consumo de cada aparato electrodoméstico en el
hogar.
Averigua cómo se puede reducir el consumo de energía eléctrica en
el hogar.
Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer
para cuidar nuestro medio.
–5
Figura 4.6
2. Bosqueja la gráfica de f ( x )5( x 21)( x 2 2) ( x 23).
Solución:
f (x ) 5 0 cuando x 5 1, 2, y 3, por tanto, la curva toca al eje
x en los puntos (1, 0), (2, 0) y (3, 0). El factor ( x22)2 es un
cuadrado perfecto por lo que sus valores serán positivos con excepción de x 5 2 donde hay un punto de tangencia. Los factores
( x −1) y ( x 23) son lineales y su comportamiento es como el
descrito en el ejemplo anterior.
2
Si evaluamos la función en x 5 1.5 y x 5 2.5, se obtiene
f (1.5)5(1.5 − 1)(1.5 2 2)2 (1.5 23)5 0.1875
f (2.5)5(2.5 21)(2.5 2 2)2 (2.5 23)52 0.1875
Entonces el bosquejo de la gráfica será:
y
10
5
x
0
0
2
4
Figura 4.7
99
BLOQUE
4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. ¿Qué es una función par?
4. Determina los puntos comunes de f (x ) 5 (x 2 1)(x 1 2) (x 2 3)
con el eje x.
2. ¿Qué es una función impar?
2
2
5. Bosqueja la gráfica de f ( x )5( x 21) ( x 11) .
3. ¿Cómo se determinan los ceros de una función polinomial?
6. Esboza la gráfica de de la función f : ! → R, f (x ) 5 2x 2 2 4x.
100
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Rúbrica para evaluar situaciones didácticas
Excelente
(4)
Aspecto a evaluar
Criterios
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Planteamiento de la
situación didáctica
Identifica el problema y sus
características
Identifica el problema
Identifica una parte del
problema
No identifica el problema o
no lo entiende
Datos
Elabora una lista de todos
los datos
Elabora una lista necesaria
y suficiente de datos
Elabora una lista
insuficiente de datos
Elabora una lista de datos
incorrectos
Incógnita
Determina cuál es la
incógnita y cómo la va a
resolver
Reconoce la incógnita
y tiene idea de cómo
resolverla
Identifica la incógnita pero
no tiene la idea de qué va
a hacer
No identifica la incógnita ni
sabe cómo resolverla
Hipótesis
Predice todos los posibles
Predice algunas hipótesis
Predice algunos factores
No logra realizar una
predicción
Procedimientos
Elabora una lista con todos
los pasos y toma en cuenta
detalles
Elabora una lista con todos
los pasos
Elabora una lista con
algunos pasos
Elabora una lista incorrecta
de pasos
Resultados
Presenta resultados
completos de forma escrita
y gráfica
Presenta la mayoría de
los resultados de forma
organizada
Presenta algunos
resultados de forma
incompleta
Presenta resultados
incompletos e incorrectos
Conclusiones
Obtiene conclusiones
correctas y crea nuevos
conocimientos y nuevas
hipótesis
Llega a conclusiones
correctas
Llega a algunas
conclusiones
No logra realizar
conclusiones
Escala de rango
Aspectos a evaluar
1
2
3
4
5
Explica claramente el problema
Explica además de los pasos, sus ideas
Presenta más de una solución
Si recibe una respuesta incorrecta, la usa para crear una discusión
Realiza buenas preguntas a la clase, tales como: ¿será esta la única manera de hacerlo?,
¿es esta la única respuesta posible?, ¿qué pasa si...?
Responden las preguntas realizadas por sus demás compañeros/as
Está atento a la clase y respeta la participación de sus compañeros
Nunca 5 1; Raramente 5 2; Algunas veces 5 3; Casi siempre 5 4; Siempre 5 5
101
BLOQUE
4
Utilizas funciones polinomiales de grados tres y cuatro
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la caja de cartón de la sección “Aplica lo que sabes” de la pág. 98.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y
su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra
legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los
datos obtenidos o las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener
los datos o solución que se pide con la justificación
correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para
apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones
o conceptos consultados para sustentar teóricamente las
acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio
del tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya
información sea científicamente válida. De incluir citas
textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la
fuente.
102
11. De acuerdo a las condiciones, construye la caja de cartón.
12. Establece el modelo matemático del problema.
13. Obtiene la medida de las dimensiones de la lámina de cartón.
14. Representa gráficamente las condiciones del problema.
15. Establece las relaciones necesarias para obtener el modelo
matemático del problema.
16. Determina las dimensiones de la lámina de cartón.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Comportamiento
de las funciones
polinomiales de
grados tres y cuatro
en su representación
gráfica
Reconoce el
comportamiento de las
funciones polinomiales de
grados tres y cuatro en su
representación gráfica.
Reconoce el
comportamiento de las
funciones polinomiales
de grados tres en su
representación gráfica.
Reconoce el
comportamiento de
algunas de las funciones
polinomiales de grados
tres en su representación
gráfica.
No reconoce el
comportamiento de las
funciones polinomiales de
grados tres y cuatro en su
representación gráfica.
Influencia de los
parámetros de
funciones de grados
tres y cuatro en
su representación
gráfica
Reconoce la influencia de
los parámetros de funciones
de grados tres y cuatro en
su representación gráfica.
Reconoce la influencia de
los parámetros de funciones
de grado tres en su
representación gráfica.
Reconoce la influencia de
algunos de los parámetros
de funciones de grados
tres en su representación
gráfica.
No reconoce la influencia de
los parámetros de funciones
de grados tres y cuatro en
su representación gráfica.
Solución de
ecuaciones
factorizables
Utiliza productos notables
y recursos de factorización
para resolver ecuaciones
factorizables.
Utiliza recursos de
factorización para resolver
ecuaciones factorizables.
Utiliza algunos recursos
de factorización para
resolver algunas ecuaciones
factorizables.
No utiliza productos
notables ni recursos de
factorización para resolver
ecuaciones factorizables.
103
Utilizas funciones factorizables en
la resolución de problemas
5
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
5.1 Ceros y raíces de la función
5.2 Teoremas del factor y del
residuo
5.3 División sintética
5.4 Teorema fundamental del
álgebra
5.5 Teorema de factorización
lineal
5.6 Gráficas de funciones
polinomiales factorizables
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
„
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
„
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
¿Qué sabes hacer ahora?
1.
En la siguiente división, encuentra el residuo aplicando el teorema del residuo:
(x ³ 1 8x ² 1 9x 1 2) 4 (x 1 3).
2.
Utiliza el teorema del factor para demostrar que la primera expresión
tiene como factor a la segunda: 4x 3 2 17x ² 2 16x 1 5; x 5 5.
Usa la división sintética para obtener el cociente y el residuo de:
(2x 3 2 3x 2 1 5x 2 7) 4 (x 2 2).
3.
Bosqueja la gráfica de f (x ) 5 x 3 2 2x 2 2 8x.
4.
Para la ecuación siguiente, aproxima hasta dos decimales una raíz real en el
intervalo que se indica: x 3 2 5 x 2 1 3 5 0; 4 , x , 5 .
5.
Desempeños por alcanzar
„
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y comunicación.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la división
sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales.
Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el
residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x 2 a.
Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra
y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función
polinomial factorizable.
Aplica y combina las técnicas y procedimientos para la factorización y la
obtención algebraica y gráfica de ceros de funciones polinomiales, en
la resolución de problemas teóricos y/o prácticos.
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Utiliza la división sintética para obtener el cociente y el residuo de 2 x 5 214 x 3 18 x 2 1 7 entre x13.
Secuencia didáctica
Formar equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿En qué consiste la teoría de ecuaciones?
¿En qué consiste el teorema del residuo?
¿En qué consiste el teorema del factor?
¿Cómo se efectúa una división mediante la regla de la división sintética?
¿Cómo es posible obtener el cociente y el residuo de un polinomio
entre un binomio por medio de la división sintética?
¿Cuál es el cociente y el residuo del polinomio entre el binomio
dados?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar el cociente y el residuo del polinomio entre el binomio.
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar el cociente y el residuo que se piden, se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron;
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la
forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción
Situación didáctica
Bosqueja la gráfica x 4 23x 3 211x 2 1 25 x 112 .
106
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
¿Cómo lo resolverías?
Grupo Editorial Patria®
Secuencia didáctica
¿Qué tienes que hacer?
Formar equipos para resolver el problema.
Trabajo individual
Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Cada equipo debe investigar:
¿En qué consiste la teoría de ecuaciones?
¿En qué consiste el teorema del residuo?
¿En qué consiste el teorema del factor?
¿Cómo se efectúa una división mediante la regla de la división sintética?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Con qué valores conviene iniciar la búsqueda de los ceros del polinomio?
A fin de evaluar por producto, se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se determinan las cotas entre las que está algún cero?
En este ejemplo:
¿A qué se llama raíces de multiplicidad?
Producto a elaborar
¿Qué características tienen los ceros que no son reales?
Presentar el bosquejo de la gráfica que se pide.
Rúbrica
Para determinar la representación gráfica que se pide, se deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron;
éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material
utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la
forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
107
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
25.
26.
Ejercicios matemáticos 12
27.
En cada una de las siguientes divisiones, encuentra el residuo aplicando el teorema del residuo:
28.
(x3 1 8x2 1 9x) 4 (x 1 3)
(x3 2 7x2 1 4x 2 1) 4 (x 2 7)
(x3 2 2x2 1 2x 2 4) 4 x 1 1)
(3x3 1 5x2 2 6x 1 17) 4 (x 2 2)
(x3 2 4x2 2 20x 1 50) 4 (x 2 2)
( x4 2 8x2 2 9) 4(x 2 2)
(2x4 2 17x 2 2 4) 4 (x 1 3)
(x 4 2 7x3 1 7x 2 18) 4 (x 2 3)
1
9. (4x3 1 5x2 21) 4 (x 1 )
2
10. (x 3 1 3) 4 (x 1 1)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Utiliza el teorema del factor para demostrar que la primera
expresión tiene como factor a la segunda.
11. 4 x 3 217 x 2 216 x 1 5; x 2 5
12. 2 x 3 111x 2 118 x 1 9; x 13
13. x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26; x 2 2
14. x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26; x 11
15. x 4 2 2 x 3 2 7 x 2 18 x 112; x 2 2
16. x 4 2 2 x 3 2 7 x 2 18 x 112; x 23
17. x 4 1 x 3 28 x 2 1 2 x 112; x 2 2
18. x 2 2 x 28; x 2 2
4
2
19. x 6 214 x 4 1 49 x 2 236; x 11
29.
30.
( x 12x 210x 211x 27)4(x 23)
( 2x 110x 111x 22x 15)4( x 12)
( 2x 17x 1 x 111)4( x 13)
( x 1 x 25x 15)4( x 11)
( 2x 214 x 18x 17)4( x 13)
( x 21)4( x 21)
4
3
2
4
3
4
4
2
3
2
5
3
2
5
Ejercicios matemáticos 13
Bosqueja la gráfica de:
1. f ( x )5 x 3 2 2 x 2 28 x
2. f ( x )5 x 3 2 2 x 2 2 5 x 26
3. f ( x )5 x 3 2 2 x 2 2 5 x 16
4. f ( x )5 x 3 13x 2 26 x 28
5. f ( x )5 x 4 2 5 x 2 1 4
6. f ( x )5 x 3 2 7 x 26
7. f ( x )5 x 3 2 4 x 2 1 x 16
8. f ( x )53x 3 2 4 x 2 235 x 112
9. f ( x )56 x 3 2 5 x 2 2 7 x 1 4
10. f ( x )5 x 4 2 x 3 2 9 x 2 13x 118
Para cada ecuación, aproxima hasta dos decimales una raíz real en
el intervalo que se indica.
11. x 3 2 5 x 2 135 0;4 , x , 5
12. x 3 2 4 x 2 13x 115 0;21, x , 0
13. x 3 13x 2 2 x 2 4 5 0;2 2 , x ,21
20. x 6 214 x 4 1 49 x 2 236; x 21
14. x 3 23x 2 2 x 1 4 5 0;2 2 , x ,21
Usa la división sintética para obtener el cociente y el residuo en
cada caso.
15. x 3 13x 2 2 5 x 2 47 5 0;3 , x , 4
21.
( 2 x 23 x
2
22.
( 2x 25x
2
3
3
1 5 x 2 7 )4( x 2 2)
16. x 3 2 4 x 2 13x 115 0;1, x , 2
1⎞
⎛
16 x 13 )4⎜ x 2 ⎟
⎝
2⎠
17. 4 x 3 212 x 2 1 4 x 1 5 5 0;21, x , 0
2 9 x 211)4( x 13)
19. x 3 13x 28 5 0;1, x , 2
23. ( 3x 3 13x 2 1 4 x 1 21)4( x 1 2)
24.
108
( 2x 14 x
3
2
18. x 3 110 x 2 134 x 260 5 0;1, x , 2
20. x 4 2 x 235 0;1, x , 2
Grupo Editorial Patria®
La juventud me resulta más cercana ahora que cuando yo era
joven. Quizá porque ya no veo la felicidad como algo
inalcanzable. Ahora sé que la felicidad puede ocurrir en cualquier
momento y que no se debe perseguir.
Jorge Luis Borges
Ejemplo
f ( x )5 x 3 1 2 x 2 2 5 x 215 halla f (2) en dos formas distintas.
Solución:
a ) Evaluando la función f (x ) para x 5 2 se obtiene:
f (2) 5 2³ 1 2(2)² 2 5(2) 2 15
5 8 1 8 2 10 2 15
5 16 2 25
5 29
b ) Efectuando la división de la función f (x ) entre x 2 2:
x 2 1 4 x 13
3
2
x 2 2 x 1 2 x 2 5 x 215
Introducción
x ² 2 2x ²
4x ² 2 5x
Para determinar ceros reales o complejos de una función polinomial,
así como para predecir su trazo, se recurre a conceptos y teoremas.
Se explica el procedimiento para obtener la regla de la división sintética y se aplica tanto para encontrar ceros o cotas entre los que
se encuentran como para resolver ecuaciones polinomiales factorizables.
5.1 Ceros y raíces de la función
Para estar en condiciones de proceder al trazo de la gráfica de una
función polinomial, a continuación se introducen conceptos y
teoremas que son necesarios porque sirven de base en el procedimiento de la determinación de los puntos de intersección de la
gráfica con el eje x, así como para predecir su trazo.
Al trazar la gráfica de una función polinomial es importante encontrar los puntos de intersección de la gráfica con el eje x, en estos
puntos la ordenada es cero y corresponden a las raíces o soluciones
reales de una ecuación a los que también se llama ceros de la función. Cuando la gráfica de la función no interseca al eje x, se obtienen raíces que no son reales sino complejas.
5.2 Teoremas del factor y del
residuo
Teorema del residuo
Si r es una constante y se divide la función polinomial f entre
x 2 r el residuo, que se obtiene es f (r).
4x ² 2 8x
3x 2 15
3x 2 6
29
Como puedes observar, al dividir la función f (x ) entre x 22 se obtiene
como residuo 29, que es igual a f (2).
Para tu reflexión
Alberto Abraham Michelson
Descubrió un patrón de medida del metro por medio de un rayo de
luz roja.
Calculó la velocidad de la luz en 299 895
6 kilómetros por segundo. Esta precisión era particularmente importante para
probar o refutar la teoría electromagnética de la luz de Jacobo Clerk Maxwell,
quien predijo que la velocidad de la luz
en el agua era menor que en el aire,
esto contradecía la teoría corpuscular de
Newton.
Teorema del factor
Si r es una raíz de la ecuación polinomial f (x) 5 0, es decir,
f (r) 5 0, entonces x 2 r es un factor de f (x). Recíprocamente,
si x 2 r es un factor de la ecuación polinomial f (x) 5 0,
entonces r es una raíz de la ecuación, o sea que f (r) 5 0.
109
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
3 x 2 1 5 x 16
Ejemplos
1. Demuestra que x 1 3 es un factor (divisor) de x 1 2x 2 5x 2 6.
3
Solución:
x 2 3 3x 3 1 4 x 2 2 9 x 1 7
3x3 2 9x2
5x2 2 9x
Para demostrar que x 1 3 es un factor, lo expresamos como x 1
3 5 x 2 (23); es decir, necesitamos averiguar si 23 es una raíz
de la ecuación, por tanto:
5x2 2 15x
6x 1 7
6x 2 18
f (x ) 5 x ³ 1 2x ² 2 5x 2 6 5 0
25
f (23) 5 (23)³ 1 2 (23)² 2 5(23) 2 6
5 227 1 18 1 15 2 6
se obtiene como cociente 3x 1 5 x 16 y como residuo 25.
5 233 1 33
Al efectuar la división en esta forma, puedes observar que los términos 29x y 7 se escriben de nuevo líneas abajo, para continuar
con el procedimiento de la división. También puedes ver que al
multiplicar cada término del cociente por el divisor se obtiene un
producto parcial en el que su primer término es igual al de arriba.
Si se suprimen los términos mencionados de la división nos queda
así:
2
50
Entonces la ecuación tiene a 23 como raíz y a x 1 3 como uno
de sus factores.
2. Escribe la ecuación cúbica f (x ) 5 0 que tiene como raíces: 22,
3y
1
.
3
3 x 2 1 5 x 16
Solución:
1
Por el teorema del factor se sabe que (x 1 2), (x 2 3) y ⎛⎜ x2 ⎞⎟
⎝
⎠
3
son factores de f (x ), entonces la ecuación es:
x 2 3 3x 3 2 4 x 2 2 9 x 1 7
29x2
5x2
2 15x
1⎞
⎛
(x 1 2)(x 2 3) ⎜ x2 ⎟ 5 0.
⎝
3⎠
6x
2 18
1
En la que se muestran las raíces. El factor ⎛⎜ x2 ⎞⎟ se puede
⎝
⎠
25
3
expresar como 3x 2 1 para obtener una ecuación equivalente
con coeficientes enteros, es decir:
en la que se conservan los valores necesarios para efectuar la operación que se puede disponer de la siguiente forma:
(x 1 2)(x 2 3)(3x 2 1) 5 0
3 x 2 1 5 x 16
de donde: 3x 3 2 4 x 2 217 x 16 5 0.
3
2
x 2 3 3x 2 4 x 2 9 x 1 7
2 9 x 2 215 x 218
5x2
5.3 División sintética
En el proceso de determinación de las raíces de un polinomio se
recurre al teorema del residuo, es decir, se requiere dividir el polinomio entre una expresión lineal de la forma x 2 r. La división se
puede efectuar con mayor rapidez mediante un proceso abreviado
que se conoce como división sintética.
Si dividimos 3x3 2 4x2 2 9x 1 7 entre x 2 3 en la forma usual:
110
6x
25
Como las potencias de x sólo indican posición, las podemos suprimir y nos queda el siguiente arreglo:
3 5 6
23 3 2 4 2 9 7
2 9 215 218
5 6
25
Grupo Editorial Patria®
que también se puede disponer así:
23 3 2 4 2 9 7
el segundo renglón debajo del tercer término (7) del dividendo, se
suma 7 con 4 y el resultado (11) se escribe en el tercer renglón
− 9 −15 − 18
3 5 6
5
25
8
210
Ya que una vez que se baja el primer término del dividendo los términos del cociente aparecen en el renglón inferior.
Al aplicar el teorema del residuo se debe evaluar f (3), de manera
que al cambiar el signo del divisor cambia el signo de cada término
del segundo renglón; por tanto, cada término del tercer renglón se
obtiene por suma y no por resta.
3 3 2 4 29 7
522
7 2 4 | 22
5
4
8
7
24
210
4
222
11
226
522
11
)22
Este procedimiento se repite con cada uno de los términos del dividendo hasta completar las columnas del segundo y tercer renglón.
El cociente es 5 x 2 2 2 x 111 y el residuo es 226.
2. Usa la división sintética para encontrar el cociente y el residuo
(5 x 4 23x 2 21): (x 1 1).
Solución:
Se escriben los coeficientes del dividendo anotando cero como
coeficiente de cada potencia de x que falte.
5
0 23
0 21 ) 21
25
5 22
2
525
2 22
1
9 15 18
3 5 6 25
Este último arreglo se escribe así:
3 24 29 7 |3
9
15 18
3 5
6 25
3
2
El cociente es 5 x 2 5 x 1 2 x 2 2 y el residuo es 1.
donde el último número del tercer renglón es el residuo o sea f (3)
y los otros tres números son los coeficientes, en orden descendente
de las potencias de x, del cociente cuyo grado es uno menos que el
grado del dividendo, es decir.
3 x 2 1 5 x 16
5
3. Demuestra que x 1 2 es un factor de f (x ) 5 x 132 y encuentra el otro factor.
Solución:
1
0
22
1 22
0 0
4 28
4 28
0
32 | 22
16 232
16
0
Como el residuo es 0 entonces x 1 2 es un factor de f (x ). El otro
factor es x 4 2 2 x 3 1 4 x 2 28 x 116.
Ejemplos
1. Usa la división sintética para encontrar el cociente y el residuo de
(x 3 1 8x ² 1 7x 2 4) : (x 1 2)
Solución:
Aplica lo que sabes
Se escriben en el primer renglón los coeficientes del dividendo,
y a la derecha del último se escribe el simétrico de r, en este
caso 22, pues x 1 2 5 x 2 (22). Se traza una línea que
separa el segundo y el tercer renglón. El primer término del
dividendo se escribe como el primer término del tercer renglón;
después se multiplica dicho término (5) por el divisor (22) y el
producto (210) se escribe en el segundo renglón debajo del
segundo término del dividendo (8).
5 8 7 2 4 | 22
5
5
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos.
Cuidémoslo.
Investiga cuál es el ahorro que se logra al reciclar una tonelada de
papel, de acuerdo con la siguiente lista:
(________)
árboles de 40 cm de diámetro y 20 m de alto
(________)
cantidad de agua
210
(________)
cantidad de energía
522
(________)
metros cúbicos de espacio en un relleno sanitario
(________)
kg de contaminantes del aire
(________)
kg de contaminantes del agua
(________)
kg de desechos sólidos
8
7 2 4 |22
Se suman los términos de la segunda columna (8 y 210) y el
resultado (22) se escribe en la misma columna pero en el tercer
renglón. En seguida, se multiplica el segundo término (22) del
tercer renglón por el divisor (22) y el producto (4) se escribe en
111
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Ejemplos
Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer
para cuidar nuestro medio.
1. La ecuación x ² 2 5x 5 0 se puede factorizar y expresar así:
x ² 2 5x 5 x (x 2 5) 5 0
2. La ecuación x ² 1 x 2 6 5 0 se puede expresar como:
x ² 1 x 2 6 5 (x 1 3)(x 2 2) 5 0
3. La ecuación x ³ 2 2x ² 2 5x 1 6 5 0 se factoriza en:
x ³ 2 2x ² 2 5x 1 6 5 (x 2 1)(x 1 2)(x 2 3) 5 0
En cada caso, la ecuación se ha expresado como el producto de sus
factores lineales.
Teorema
Toda ecuación polinomial f (x ) 5 0 de grado n tiene exactamente
n raíces.
Ejemplos
1. La ecuación x 1 3 5 10 es de primer grado; por tanto, debe
tener una raíz, que es 7.
2. La ecuación x ² 2 6x 1 9 5 0 es de segundo grado, o sea que
debe tener dos raíces. Al factorizar la ecuación nos queda así x ²
2 6x 1 9 5 (x 2 3)(x 2 3) 5(x 2 3)² 5 0, por lo que sus raíces
son 3 y 3.
3. La ecuación x ³ 2 4x ² 2 11x 1 30 5 0 es de tercer grado, por
lo que debe tener tres raíces. La factorización de la ecuación es:
Teoremas sobre las raíces de una
ecuación
x ³ 2 4x ² 2 11x 1 30 5 (x 2 2)(x 1 3)(x 2 5) 5 0
Es decir, sus raíces son: 2, 23 y 5.
En teoría de ecuaciones, se establecen y demuestran cada uno de los
siguientes teoremas relacionados con las raíces de una ecuación.
Ceros y raíces complejas
5.4 Teorema fundamental del
álgebra
Como se ha dicho antes, en el trazo de la gráfica de una función polinomial se presentan casos en los que algunas raíces son complejas, es decir, corresponden a puntos de la gráfica que no intersecan
al eje x, pero sus valores son ceros de la función.
Toda ecuación polinomial de grado n $ 1 tiene al menos
una raíz, real o compleja.
5.5 Teorema de factorización
lineal
Cada polinomio f (x) de grado n $ 1 puede ser expresado
como el producto de n factores lineales.
112
Forma estándar de los números
complejos y sus conjugados; suma,
resta y multiplicación
Un número complejo es de la a 1bi donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
Se define i5 21 por lo que i 2 521. Se acepta que las dos raíces
cuadradas de 21 son i y 2i.
Cuando se tiene la raíz cuadrada de un número negativo se expresa
éste como el producto de 21 por el número.
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2 4 5 (21)4
Así,
5 21 4
5 ±2i
2 5 5 (21)5 5 i 5
En el número a 1 bi, si b 5 0 entonces queda el número real a, y si
a 5 0 entonces queda el número bi al que se le llama imaginario puro.
Operaciones con números complejos
Al realizar operaciones con números complejos se debe recordar
que tienen una parte real y una parte imaginaria y además i 2 521.
Dos números complejos a 1bi y c 1 di son iguales sólo cuando
a 5 c y b 5 d.
Ejemplos
Multiplicación:
Al multiplicar números complejos se toman como binomios y en el producto final se sustituye i 2 por 21. Después se reducen los términos
semejantes.
(2 13i )(32 4 i )5 2(3)1 2(2 4 i )13i (3)13i (2 4 i )
56 28i 1 9i 212i 2
56 1 i 212 (21)
518 1 i
(31 2i )(5 2 2i )53 (5)13 (2 2i )1 2i (5)1 2i (2 2i )
515 26i 110i 2 4 i 2
Suma y diferencia
515 1 4 i 2 4 (21)
Para los números complejos a 1bi y c 1 di se define la suma de la
siguiente forma:
515 1 4 i 1 4
(a 1bi )1(c 1 di )5(a 1 c )1(bi 1 di )
5(a + c )1(b 1 d )i
Y la diferencia se define así:
519 1 4i
(2 13i )(2 23i )5 2 (2)1 2 (23i )13i (2)13i (23i )
5 4 26 i 16 i 2 9 i 2
(a 1bi )2(c 1 di )5(a 2 c )1(bi 2 di )
5 4 2 9 (21)
5(a 2 c )1(b 2 d )i
5 4 1 9 513
Como puedes observar, se efectúan operaciones por separado en
la parte real y la parte imaginaria de los números complejos dados.
Ejemplos
(2 13i )1(5 2 2i )5(2 1 5)1(32 2)i 5 7 1 i
(32 2i )1(2 1 7i )5(31 2)1(2 2 1 7)i 5 5 1 5i
Cuando se restan dos números complejos se suprimen los paréntesis
y se hace la suma algebraica de los términos semejantes, es decir,
reales con reales e imaginarios con imaginarios.
(2 13i )2(5 2 2i )5 2 13i 2 5 1 2i 5231 5i
(32 2i )2(2 1 7i )532 2i 2 2 2 7i 51210i
Actividad de aprendizaje
¿Cuándo se dice que un número complejo es el conjugado de otro?
En el ejemplo anterior, observa que los dos números complejos difieren
en el signo de su parte imaginaria; cuando esto ocurre se dice que un
número complejo es el conjugado del otro. El producto de un número
complejo por su conjugado es un número real.
Número de ceros de una función
polinomial; factores lineales y multiplicidad
Cuando se expresa una ecuación como el producto de sus factores
y éstos son diferentes, las raíces son diferentes y se dice que cada
una de ellas es una raíz simple. Si el mismo factor se presenta dos
veces, una raíz ocurre dos veces y se le llama raíz doble. De presentarse un factor tres veces, habrá una raíz triple.
En general, cuando un factor ocurre m veces, a la raíz correspondiente se le llama raíz de multiplicidad m. Una raíz doble se cuenta como dos raíces, una raíz triple como tres raíces y una raíz de
multiplicidad m como m raíces. Al contar de esta manera una ecuación polinomial de grado n, tiene exactamente n raíces.
La ecuación (x 2 2)3 (x 1 3)2 (x 1 5) 5 0 es de sexto grado. Tiene
a 2 como una raíz triple, 23 como una raíz doble y 25 como una
raíz simple. El número total de raíces, tomando en cuenta la multiplicidad de cada raíz, es de seis.
113
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Teorema
Si el número complejo a 1 bi, b Z 0 es una raíz de una
ecuación polinomial con coeficientes reales, entonces el
número complejo a 2bi es también una raíz.
Ejemplos
Ejemplos
1. Si
b
es una raíz racional de 6x ³ 1 x ² 2 10x 1 3 5 0, entonces
c
los posibles valores de b son los divisores de 3, que son 61, 63,
y los de c son divisores de 6, que son 61, 62, 63, 66. Por tanto,
1
2
1
3
1
6
3
2
las posibles raíces racionales son 61, 63, ± , ± , ± , ± .
1. La ecuación x ² 2 2x 1 2 5 0 tiene como raíces x15 1 1 i,
x ² 5 1 2 i. Las raíces son números complejos de la forma
a 1 bi, a 2 bi que sólo difieren en el signo, por lo que se dice
que son conjugados.
2. La ecuación x ³ 2 2x ² 1 5x 1 265 0 tiene como raíces 22,
2 1 3i, 2 2 3i, las dos últimas son números complejos conjugados.
b
2. Cuando a 0 51 la raíz
es un número entero que es factor de
c
an.
En la ecuación f (x ) 5 x 4 2 5x 3 1 5x 2 1 5x 2 6 5 0, sus
posibles raíces racionales deben ser factores de 26, es decir,
±1, ± 2 , ± 3, ± 6.
Utilizando la división sintética, se encuentra que f (1) 5 0.
1 25
Actividad de aprendizaje
En una ecuación polinomial, ¿a qué se le llama raíz de multiplicidad?
5
5 26 ) 1
1 24
1
6
1
6
0
1 24
Entonces f (x ) 5 (x 21)(x 3 2 4x 2 1 x 1 6) donde a
x 3 2 4x 2 1 x 2 6 se le llama la primera ecuación reducida.
En ésta f (21) 5 0.
1 24
Ceros racionales y cotas
21
Teorema
Si el irracional cuadrático a 1 b a 2 b es una raíz
de una ecuación polinomial f (x) 5 0 con coeficientes
racionales, entonces a 2 b a 1 b también es una raíz.
(
(
)
)
1 25
6 ) 21
5 26
1
6
0
Por lo que f (x ) 5 (x 2 1) (x 11)(x 2 2 5x 1 6) en la que
x 2 2 5x 1 6 recibe el nombre de segunda ecuación reducida.
Expresándola como el producto de sus factores:
f ( x )5( x 21)( x 11)( x 2 2)( x 23) = 0
por tanto, las raíces racionales de f (x ) 5 0 son 1, 21, 2, 3.
Ejemplos
b es irracional.
1. La ecuación x ² 2 3 5 0 tiene las raíces 3 y 2 3 .
2. La ecuación x ² 2 6x 1 1 5 0 tiene las raíces 31 2 2 y
32 2 2 .
En este teorema a y b son racionales y
Teorema
b
Si el racional irreducible es una raíz de la ecuación de
c
coeficientes enteros
a0 x n 1 a1 x n21 1 a2 x n22 1…1 an21 x 1 an 5 0 , a0 ≠ 0
Entonces b es un factor de an y c es un factor a0 .
114
Teorema
Sea el polinomio con coeficientes reales
f ( x )5 a0 x n 1 a1 x n 1 1 1 a2 x n22 1…1 a2 x 2 1 a1 x 1 an ; a0 . 0
1. Si en la división sintética de f (x) entre (x 2 r), siendo r
positivo, todos los términos de la tercera línea son alternadamente positivos o cero, entonces r es una cota superior
de las raíces reales de la ecuación f (x) 5 0.
2. Si en la división sintética de f (x) entre (x 2 r), siendo r negativo los términos de la tercera línea son alternadamente
positivos y negativos (o cero); entonces r es una cota inferior de las raíces reales de la ecuación f (x) 5 0.
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5.6 Gráficas de funciones
polinomiales factorizables
Ejemplo
Halla las cotas superior e inferior de las raíces reales
x3 2 x2 2 4x 1 4 5 0.
Resolución de ecuaciones polinomiales
factorizables
Solución:
Las raíces racionales posibles son ± 1, ± 2 , ± 4.
a) Cota superior
1 21 24
4 )1
1 0 24
1 0 24
0
1 21 24
3 6
1 2 2
Ceros positivos y negativos
1 21 24
4 )2
2 2 24
1 1 22 0
4 )3
6
10
Como los términos de la tercera línea son positivos, una cota superior
de las raíces es 3, es decir, no hay raíces mayores que 3.
b) Cota inferior
1 21 24
21
4 ) 21
1 21 24
2
2
22
1 22 22
6
1 23
4 )22
6 24
2
Estos resultados se pueden disponer en una tabla de división sintética
21
24
4
3
1
2
2
10
2
1
1
22
0
1
1
0
24
0
21
1
22
22
6
22
1
23
2
0
Aplica lo que sabes
Utiliza la división sintética para encontrar las raíces
3x 4 1 12x 3 1 6x 2 2 12x 2 9.
0
Los términos de la tercera línea son alternadamente positivos y negativos (o cero), una cota inferior de las raíces es 22, es decir, no hay
raíces reales menores que 22.
1
Para trazar la gráfica de una función polinomial nos apoyamos en
los teoremas anteriores con el propósito de encontrar las raíces reales de la ecuación polinomial. Dichas raíces reales corresponden a
los ceros reales de la función polinomial, es decir, son los valores
de x para los cuales f (x) 5 0. Geométricamente representan los
puntos de intersección con el eje x, pues en esos puntos y 5 0.
Los valores de r quedan en la primera columna y a la derecha de
cada uno están el cociente y el residuo de cada división por lo que,
de acuerdo con el teorema del residuo, las raíces de la ecuación son
1, 2 y 22.
En la tabla puedes observar que para r 5 22 los términos de la línea tienen
signos alternados, esto indica que 22 es una cota inferior; para r 5 3, los
términos de la línea son positivos; por tanto, 3 es una cota superior.
Ejemplos
3
2
1. Bosqueja la gráfica de f (x ) 5 x 2 x 2 4 x 1 4.
Solución:
Haciendo f (x ) 5 0, se obtiene la ecuación x 2 x 2 4 x 1 4 5 0,
la cual se resolvió en el ejemplo anterior, encontrándose como
raíces 1, 2 y 2 2. Estos valores corresponden a los ceros reales de
la función, ya que:
3
2
f (1)513 212 2 4(1)1 4
51212 4 1 4 5 0
f (2)5 23 2 2 2 2 4(2)1 4
58 2 4 28 1 4 5 0
f (2 2) = (2 2)3 2(2 2)2 2 4(2 2)1 4
528 2 4 18 1 4 5 0
Cuando los coeficientes de f (x ) no son muy grandes, se puede hacer
una tabla como la anterior para r 5 1, 2, 3... hasta que la línea correspondiente sólo tenga valores positivos (o cero), y para r 5 2 1,
22, 23..., hasta que en la línea se obtengan valores con signos alternados. De esta manera se determinan las cotas superior e inferior, es
decir, valores entre los que están todas las raíces reales de la ecuación.
Además, se obtienen coordenadas de puntos que permiten un mejor
bosquejo de una función polinomial.
115
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Actividad de aprendizaje
y
0
En una ecuación polinomial, ¿qué representan, geométricamente, los
ceros reales de la función polinomial correspondiente?
3 4 5
x
Figura 5.1
Teorema
Si f (x) es un polinomio con coeficientes reales, y si a y b son
números reales tales que f (a) y f (b) son de signos opuestos,
entonces la ecuación f (x) 5 0 tiene al menos una raíz real
entre a y b.
Este teorema se justifica por el hecho de que la función
y 5 f (x) es continua cuando f (x) es un polinomio de
coeficientes reales.
2. Bosqueja la gráfica f ( x )5 x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 5 x 26 .
Solución:
Ejemplos
Al realizar f (x ) 5 0, se obtiene la ecuación x 4 2 5 x 3 1 5 x 2 1 x
5 x 26 5 0 cuyas raíces son 21, 1, 2 y 3, que corresponde a los
ceros reales de la función.
3
2
1. Bosqueja la gráfica f ( x )58 x 2 28 x 218 x 163 .
Solución:
y
De acuerdo con el teorema correspondiente, si el racional irreducible
b
es una raíz de la ecuación f (x ) 5 0, entonces b es un
c
factor de 63 y c es un factor de 8.
Los factores de 63 son ± 1, ± 3, ± 7 , ± 9 , ± 63, los factores de
b
son
c
7 7 7
3 3 3
1 1 1
± 1, ± , ± , ± , ± 3, ± , ± , ± , ± 7 , ± , ± , ± , ± 9 ,
2 4 8
2 4 8
2 4 8
63 63 63
9 9 9
± , ± , ± , ± 63, ± , ± , ± .
2
4
8
2 4 8
8 son ± 1, ± 2 , ± 4 , ± 8;, por tanto, las posibles raíces de
x
Como la ecuación es de tercer grado, al encontrar una raíz, la
primera reducida es una ecuación de segundo grado que se
puede resolver por la fórmula general para encontrar las otras
dos raíces.
Figura 5.2
116
Para ilustrar el uso del teorema de este apartado, haremos una
tabla de división sintética con la que obtendremos, además, las
coordenadas que pertenecen a la gráfica de la ecuación.
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8 228
cota superior
218
63
5
8
12
42
273
4
8
4
22
55
3
8
24
230
227
2
8 212
242
221
1
8 220
238
25
21
8 236
18
45
24
70
277
23
8 252
138
2351
24
8 260
222
2825
25
8 268
322 21547
cota inferior 22
8
y
cambio de signo
40
cambio de signo
20
cambio de signo
–2
También puedes ver que f (3) 5227 y f (4) 5 55 tienen signo
contrario por lo que, de acuerdo con el teorema, hay una raíz real
entre x 5 3 y x 5 4.
Otro cambio de signo ocurre para f (1) 5 25 y f (2) 5221, así
como para f (22) 5277 y f (21) 5 45. Por tanto, las raíces de
la ecuación están entre 22 y 21, 1 y 2. Al relacionar estos datos
con los obtenidos al principio se encuentra que las soluciones de
212
8 240
60 263
42
3
2
8 228 218
8
3
4
x
–40
–60
–80
Figura 5.3
Para una mejor aproximación del trazo de la gráfica se calcularon
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞
f ⎜ 2 ⎟ , ( 0 ), f ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
Solución:
0
28
2
2. Bosqueja la gráfica f ( x )5 x 3 2 5 x 2 13 .
3 3 7
y .
2 2 2
la ecuación son 2 ,
63 2
1
–20
En la tabla puedes observar que para x 5 5 los valores de la línea
tienen signo positivo; por tanto, 5 es una cota superior. Para x 522
los valores de la línea tienen signos alternados, por lo que 22 es
una cota inferior.
8 228 218
–1 0
8 228 218
63
12 224
263
8 216 242
0
63
0 263
0 218
7
2
3
2
Las posibles raíces racionales de la ecuación f (x ) 5 0 son
± 1 y ± 3. Ninguna de éstas hace que f (x ) 5 0; esto significa
que la ecuación no tiene raíces reales racionales, pero es posible que tenga raíces reales irracionales. De existir éstas, las
podemos obtener de manera aproximada por medio de un método al que se le llama de aproximación sucesiva.
La siguiente es una tabla de división sintética de la ecuación:
cota superior
0
3 3 7
2 2 2
En consecuencia, los ceros reales de la función son 2 , y .
La gráfica de la función para 22 # x # 4 es la siguiente:
5
4
3
2
1
0
21
cota inferior 22
23
24
25
1 25
1
0
1 21
1 22
1 23
1 24
1 25
1 26
1 27
1 28
1 29
1 210
0
3
0
3
24 213
26 215
26
29
24
21
0
3
6
23
14 225
24 269
36 2141
50 2247
cambio de signo
cambio de signo
cambio de signo
117
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
En la tabla puedes observar que las raíces reales de la ecuación
deben estar comprendidas entre la cota superior y la cota inferior.
La cota superior es 5, pues la línea correspondiente sólo tiene
valores positivos o cero, la cota inferior es 21 porque en esa línea
los valores tienen signos alternados.
También puedes ver que ocurre cambio de signo entre 21 y
0, 0 y 1, 4 y 5. Esto significa que la ecuación tiene tres raíces
reales que son irracionales, mismas que están en los intervalos
indicados.
A continuación se puede aproximar la raíz irracional entre 4 y 5.
Localicemos los puntos de coordenadas (4, 213) y (5, 3).
(5, 3)
(4.9, 0.599)
4.8
(4.8, –1.608)
Figura 5.5
La figura anterior nos indica que la raíz irracional está entre 4.8 y
4.9, probablemente más cerca de 4.9.
25
0
3
4.86
1 20.14
20.6804
20.3067
4.87
1 20.13
20.6331
20.0832
4.88
1 20.12
20.5856
0.14227
1
cambio de signo
Entonces, la raíz irracional está entre 4.87 y 4.88. Si dividimos
ese intervalo y procedemos como antes:
25
1
0
4.9
0
3
4.872
1 20.128
20.6236 20.03826
4.873
1 20.127
20.618 20.01576
4.874
1 20.126
20.6141
cambio de signo
0.00676
Calculando f (4.873) 5 20.01576 y f (4.874) 5 0.00676, esto
significa que la raíz está entre x 5 4.873 y x 5 4.874.
–2
–1
0
1
2
3
4
5
(4, –13)
Figura 5.4
Al unir con una recta los puntos localizados vemos que probablemente la raíz irracional de la ecuación está más próxima a 5 que a
4. Se divide en 10 partes el intervalo de 4 a 5 y se usa la división
sintética.
1
25
0
3
4.7
1
20.3
21.41
23.627
4.8
1
20.2
20.96
21.608
4.9
1
20.1
20.49
0.599
cambio de signo
Figura 5.6
Puedes verificar que las otras dos raíces, hasta dos decimales, son
x 5 20.72 y x 5 0.85.
118
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Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 5. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. En la división (4x ³ 1 5x ² 2 1)4 (x 1 1 ) encuentra el residuo
2
aplicando el teorema del residuo.
4. Bosqueja la gráfica de f (x ) 5 x 3 2 2x 2 2 5x 2 6.
2. Utiliza el teorema del factor para demostrar que la primera expresión tiene como factor a la segunda x 6 2 14x 4 1 49x 2 2 36;
x 1 1.
3. Usa la división sintética para obtener el cociente y el residuo de
(x 5 2 1) 4 (x 2 1).
5. Para la ecuación x 3 2 4x 2 1 3x 1 1 5 0; 21 , x , 0 aproxima hasta dos decimales una raíz real en el intervalo que se indica.
119
BLOQUE
5
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre el bosquejo de la gráfica de una función polinomial factorizable del Bloque 5.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra
legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño
adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos
obtenidos o las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los
datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y
coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para
apoyar la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben
ser breves y con la referencia de la fuente.
120
11. Conoce y aplica correctamente teoremas del álgebra.
12. Conoce y aplica los teoremas del residuo y del factor, así como la
división sintética.
13. Bosqueja la gráfica de una función polinomial que es factorizable.
14. Comprende la prueba del cero racional y teoremas fundamentales
del álgebra.
15. Determina ceros reales y complejos de funciones polinomiales
factorizables.
16. Representa en el plano cartesiano un bosquejo de la gráfica de
una función polinomial que es factorizable.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Obtención del residuo
de la división de un
polinomio entre un
binomio de la forma
x 2 a, valiéndose del
teorema del residuo
Conoce y utiliza el teorema
del residuo para determinar
el residuo de la división
de un polinomio entre un
binomio de la forma x 2 a.
Conoce el teorema del
residuo como recurso para
determinar el residuo de
la división de un polinomio
entre un binomio de la
forma x 2 a.
Conoce que se puede
utilizar el teorema del
residuo para determinar
el residuo de la división
de un polinomio entre un
binomio de la forma x 2 a.
No conoce ni utiliza el
teorema del residuo para
determinar el residuo de
la división de un polinomio
entre un binomio de la
forma x 2 a.
Identificación de un
binomio de la forma
x 2 a es factor de un
polinomio, valiéndose
del teorema del
factor
Conoce y utiliza el teorema
del factor para identificar un
binomio de la forma x – a
como factor o divisor de un
polinomio.
Conoce el teorema del
factor como recurso para
identificar un binomio de la
forma x – a como factor o
divisor de un polinomio.
Conoce que se puede
utilizar el teorema del
factor para identificar un
binomio de la forma x – a
como factor o divisor de un
polinomio.
No conoce ni utiliza el
teorema del factor para
identificar un binomio de la
forma x – a como factor o
divisor de un polinomio.
El proceso de la
división sintética para
un polinomio y un
binomio de la forma
x2a
Conoce y utiliza el proceso
de la división sintética para
obtener el cociente y el
residuo de un polinomio
entre un binomio de la
forma x 2 a.
Conoce el proceso de la
división sintética para
obtener el cociente y el
residuo de un polinomio
entre un binomio de la
forma x 2 a.
Conoce que se puede
utilizar el proceso de la
división sintética para
obtener el cociente y el
residuo de un polinomio
entre un binomio de la
forma x 2 a.
No conoce ni utiliza el
proceso de la división
sintética para obtener el
cociente y el residuo de un
polinomio entre un binomio
de la forma x 2 a.
Prueba del cero
racional y teoremas
fundamentales
del álgebra y de la
factorización lineal
Conoce y utiliza la prueba
del cero racional y teoremas
fundamentales del álgebra y
de la factorización lineal, así
como la división sintética
para hacer el bosquejo de
una función polinomial.
Conoce y utiliza la prueba
del cero racional y teoremas
fundamentales del álgebra
y de la factorización lineal
para hacer el bosquejo de
una función polinomial.
Conoce que se puede
utilizar la prueba del
cero racional y teoremas
fundamentales del álgebra
para hacer el bosquejo de
una función polinomial.
No conoce ni utiliza la
prueba del cero racional ni
teoremas fundamentales del
álgebra o de la factorización
lineal, tampoco puede usar
la división sintética como
recurso para tratar de hacer
el bosquejo de una función
polinomial.
Los ceros reales
y complejos de
funciones reales
factorizables
Conoce y utiliza los ceros
reales y complejos, así
como la división sintética en
la resolución de ecuaciones
polinomiales factorizables.
Conoce y utiliza los ceros
reales y complejos, en la
resolución de ecuaciones
polinomiales factorizables.
Conoce que se pueden
utilizar los ceros reales
y complejos, así como la
división sintética como
recursos en la resolución
de ecuaciones polinomiales
factorizables.
No conoce ni utiliza los
ceros reales o complejos,
tampoco puede utilizar la
división sintética para tratar
de resolver ecuaciones
polinomiales factorizables.
121
Aplicas funciones racionales
6
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
6.1 Función racional
6.2 Dominio de definición de
una función racional
6.3 Asíntotas horizontales y
verticales
6.4 Criterios de existencias de
las asíntotas horizontales y
oblicuas
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
„
„
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
¿Qué sabes hacer ahora?
¿A qué se llama función racional?
1.
¿Qué criterios se pueden aplicar para trazar la gráfica de una función racional?
2.
¿Qué es una asíntota?
3.
4.
1
Para la función racional f ( x ) 5 , si es posible:
x
a) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con
los ejes coordenados.
b) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y al origen.
c) Obtén las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
d) Halla el dominio y rango.
e) Traza la gráfica.
¿Cuál es la expresión matemática de la variación inversa entre dos variables?
5.
Aplica la definición para expresar la velocidad y el tiempo para una distancia
determinada, como una variación inversa en la x y 5 k.
6.
Desempeños por alcanzar
„
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y comunicación.
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
Identifica el dominio de definición de las funciones racionales y determina la
existencia de asíntotas verticales.
Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales.
Aplica los criterios para determinar la existencia de asíntotas horizontales y
oblicuas y utiliza éstas para dibujar la gráfica de una función racional.
Aplica las propiedades de las funciones racionales y su relación con rectas que
son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Situación didáctica
1
cuando sea posible:
x+2
a) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la
gráfica con los ejes coordenados.
Para la función f ( x ) =
¿Cómo lo resolverías?
c) Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
d) Halla el dominio y el rango.
e) Traza la gráfica.
b) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y al
origen.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente con dibujos las condiciones del problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cómo se determinan los puntos de intersección de una gráfica
con los ejes coordenados?
Evaluación por producto
¿Cómo se determina si una función racional es simétrica con respecto a los ejes o al origen?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
¿Cómo se sabe si una función racional tiene asíntotas verticales,
horizontales u oblicuas?
¿Cómo se halla el dominio y el rango de una función racional?
¿Cómo se traza la gráfica de una función racional?
En este ejemplo:
Producto a elaborar
Presentar la solución de cada uno de los puntos planteados.
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar las respuestas que se piden, se deben anexar los
conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la
forma, las fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción
124
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se
evalúa. Todo ello suma 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
La segunda ley del movimiento de Newton establece que en un
cuerpo la aceleración a es directamente proporcional a la fuerza F
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza las formas de resolver
el problema.
¿Cómo lo resolverías?
que actúa sobre él, e inversamente proporcional a su masa m. ¿Cómo
se expresa esta ley con una ecuación?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
¿Qué es la variación?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
¿Cuándo la variación es directa?
Evaluación por producto
¿Cuándo la variación es inversa?
¿Cómo se expresa algebraicamente la variación directa?
A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito
de manera muy clara.
¿Cómo se expresa algebraicamente la variación inversa?
En este ejemplo:
Cada equipo debe investigar:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presentar la ecuación de la segunda ley de Newton.
Rúbrica
Para determinar la ecuación que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron, éstos tienen
un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del pro-
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
cedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación
en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa.
Todo ello suma 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
125
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Ejercicios matemáticos 14
Para cada una de las funciones racionales siguientes, cuando sea
posible:
a) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la
gráfica con los ejes coordenados.
3. El largo y el ancho de un terreno rectangular de área constante.
4. Si en una superficie de forma rectangular y área constante la
base se reduce a la mitad, ¿por cuánto se multiplica la altura?
5. La intensidad luminosa de una fuente varía inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco. Si la distancia al
foco se triplica, ¿en cuánto disminuye la intensidad luminosa
en una pantalla?
b) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y al
origen.
c) Halla las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
d) Halla el dominio y el rango.
e) Traza la gráfica.
1. f ( x ) =
x
x+2
3
f (x)=
x−5
x +1
f (x)=
x −1
3
f (x)= 2
x
5
f (x)=
( x − 2)2
5x
f (x)= 2
x −4
x 2 +1
f (x)= 2
x −1
x +1
f (x)= 2
x + x −6
x2 − 4
f (x)=
x +1
3. f ( x ) =
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
1
x
1
x +3
2
4. f ( x ) =
x −3
x+2
6. f ( x ) =
x −1
2x + 4
8. f ( x ) =
x−2
2
10. f ( x ) = − 2
x
3x
12. f ( x ) = 2
x −9
x +3
14. f ( x ) = 2
x −4
4x2
16. f ( x ) =
9− x2
x2 − 9
18. f ( x ) =
x−4
x2 + 4
20. f ( x ) =
x
2. f ( x ) =
Ejercicios matemáticos 15
Aplica la definición para expresar cada enunciado como una variación inversa en la xy = k .
1. La velocidad y el tiempo para una distancia determinada.
2. El volumen y la presión de una masa gaseosa a temperatura
constante.
126
Completa cada uno de los siguientes enunciados.
6. Un móvil recorre cierta distancia con movimiento uniforme;
si recorre la misma distancia con el doble de la velocidad anterior, ¿qué ocurre con el tiempo?
7. Una masa gaseosa contenida en un recipiente cerrado está sometida a una temperatura constante. Si la presión se triplica,
¿qué ocurre con el volumen?
8. Se aplica una fuerza constante f a un cuerpo de masa m para
imprimirle una aceleración a. Si la masa se reduce a la mitad,
¿qué ocurre con la aceleración?
9. Una superficie de forma rectangular tiene un área constante.
Si el largo se triplica, ¿qué ocurre con el ancho?
10. Una palanca, apoyada en su punto medio, está en equilibrio
cuando de cada uno de sus extremos pende un peso de 50 kp.
Si el punto de apoyo se colocara de manera que uno de los
brazos de palanca midiera el doble del otro, ¿qué peso se debería colocar en ese extremo para que la palanca continuara en
equilibrio?
Grupo Editorial Patria®
La ciencia sin religión está coja y la religión sin ciencia está ciega.
Einstein
Actividad de aprendizaje
En una función racional, el dominio es el conjunto de los números
reales, excepto
Introducción
A partir del concepto de función racional se procede a su caracterización. Se identifican las posibles asíntotas horizontales, verticales
y oblicuas. Los intervalos se utilizan para localizar las regiones del
plano en las que está o no la gráfica de la función racional. Se hace
una introducción a la variación inversa.
6.1 Función racional
Concepto de función racional. Notación
y caracterización
Una función racional se puede expresar como un cociente de dos
funciones polinomiales. Si se denota a R como la función definida
por:
P( x )
R( x ) =
Q (x)
donde P y Q son funciones polinomiales, entonces R es una función racional.
Esta función se caracteriza por lo siguiente:
r &M QPMJOPNJP EFM EFOPNJOBEPS OP QVFEF TFS FM QPMJOPNJP
nulo.
r &MSBOHPEFR es un subconjunto de los números reales.
r -PTQPMJOPNJPTP(x) y Q(x) no tienen factores comunes.
6.2 Dominio de definición de
una función racional
r &MEPNJOJPEFR es el conjunto de los números reales, con excepción de aquellos para los que Q(x) 5 0, es decir, se excluyen los ceros de Q(x).
Gráficas de funciones racionales
Comportamiento local y en infinito
Para trazar la gráfica que corresponde a una ecuación con dos
variables, generalmente localizamos algunos puntos de la gráfica
asignando valores a la variable independiente y calculando los valores de la variable dependiente. Con cada par de valores obtenemos las coordenadas de algunos puntos que, al unirlos en forma
consecutiva, nos dan una idea del trazo de la gráfica.
Al proceder de esta manera se construyen tablas muy grandes con
valores enteros para la variable independiente, pero nos falta información sobre el comportamiento de la gráfica para valores intermedios.
Para el trazo exacto de la gráfica se requieren métodos de cálculo, por lo que a continuación se revisan algunos antecedentes que
junto con otros criterios, nos servirán como recurso para hacer un
trazo aproximado de la gráfica de una función racional.
Intersecciones con los ejes
Para el trazo de una gráfica interesa saber en qué puntos es tangente
o interseca a los ejes. Esos puntos se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones formado por la ecuación dada y la ecuación
del eje.
Si se quiere determinar el punto de intersección de la gráfica con el
eje x, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la ecuación
dada y la ecuación del eje x (y 5 0). En la práctica, esto equivale a
sustituir y por cero en la ecuación dada y despejar x. Así se obtienen
las coordenadas (x, 0) del punto de intersección con el eje x.
De manera semejante se determina el punto de intersección de la
gráfica con el eje y. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por
la ecuación dada y la ecuación del eje y (x 5 0). En la práctica esto
equivale a sustituir x por cero en la ecuación dada y despejar y. Así se
obtienen las coordenadas (0, y) del punto de intersección con el eje y.
127
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Ejemplos
Actividad de aprendizaje
1. Determina los puntos de intersección de 2x 1 3y 5 6 con los ejes.
Solución:
La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x por cero en
la ecuación.
Si x 5 0
2( 0 ) + 3 y = 6
En el trazo de la gráfica de una ecuación, ¿cómo se determinan los
puntos de intersección con el eje x ?
En el trazo de la gráfica de una ecuación, ¿cómo se determinan los
puntos de intersección con el eje y ?
de donde
3y =6
Despejando y
6
3
y=2
y=
Simetrías con respecto a los ejes
Por tanto, (0, 2) es el punto de intersección con el eje y.
Si y 5 0
2 x + 3( 0 ) = 6
En geometría, sabemos que dos puntos del plano son simétricos
con respecto a una recta cuando pertenecen a una misma perpendicular a la recta y están situados a igual distancia de ella.
de donde
2x = 6
Despejando x
P1 (x, y)
6
2
x=3
x=
Por tanto, (3, 0) es el punto de intersección con el eje x.
2. Determina los puntos de intersección de x 2 − x − 6 = y con los
ejes.
Solución:
La intersección con el eje y se obtiene sustituyendo x por cero en
la ecuación.
Si x 5 0
P2 (x, –y)
02 − ( 0) − 6 = y
de donde
−6 = y
Por tanto, (0, 26) es el punto de intersección con el eje y.
Si y 5 0
x2 − x −6 = 0
Factorizando:
( x − 3)( x + 2 ) = 0
Igualando cada factor con cero:
( x − 3) = 0
( x + 2) = 0
de donde
x1 = 3
x 2 = −2
Por tanto, (3, 0) y (22, 0) son los puntos de intersección con el
eje x.
128
Figura 6.1
Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje y y las coordenadas de P1 son (x, y), entonces las coordenadas de P2 serán
(x, 2y), es decir, P1 y P2 tienen la misma abscisa, mientras que sus
ordenadas tienen el mismo valor absoluto pero signo diferente.
Si los puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al eje x y las coordenadas P1 son (x, y), entonces las coordenadas de P2 serán (2x, y),
es decir, P1 y P2 tienen la misma ordenada, mientras que sus abcisas
tienen el mismo valor absoluto pero signo diferente.
Debido a lo anterior es que, para saber si la gráfica de una ecuación es
simétrica con respecto al eje x, se sustituye y por 2y en la ecuación y
si ésta no cambia entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje x.
De manera similar, si al sustituir x por 2x en la ecuación ésta no
cambia, entonces su gráfica es simétrica con respecto al eje y.
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2. Determina si la gráfica de la ecuación x 5 5 es simétrica con
respecto al eje x.
P2 (–x, y)
P1 (x, y)
Solución:
La ecuación x 5 5 se puede expresar en la forma
x 1 0 (y ) 5 5
Si se sustituye y por 2y, la ecuación queda así:
x 1 0 (2y ) 5 5
de donde
x55
Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica
con respecto al eje x.
Figura 6.2
Ejemplos
1. Dada la ecuación y 5 x 2, analiza si su gráfica es simétrica con
respecto al eje x.
Solución:
Al sustituir y por 2y en la ecuación
y 5 x2
se obtiene
x 5 (2y )2
y 5 y2
Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica
con respecto al eje x.
Figura 6.4
3. Analiza si la gráfica de la ecuación y 5 x 2 es simétrica con respecto al eje y.
Solución:
Si se sustituye x por 2x en la ecuación
y 5 x2
se obtiene
y 5 (2x )2
y 5 x2
Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica
con respecto al eje y.
Figura 6.3
129
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Dada una ecuación, ¿cómo se sabe si su gráfica es simétrica con respecto al eje y ?
P2(–x, y)
P1(x, y)
Figura 6.5
4. Dada la ecuación y 5 3 determina si su gráfica es simétrica con
respecto al eje y.
Solución:
P2 (–x, –y)
La ecuación y 5 3 se puede expresar así:
0x 1 y 5 3
P1 (x, –y)
Si se sustituye x por 2x en la ecuación
0(2x ) 1 y 5 3
de donde
y53
Como la ecuación no se altera, entonces su gráfica es simétrica
con respecto al eje y.
Simetría con respecto al origen
Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se
encuentran a la misma distancia de éste, dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio del segmento que determinan P1
y P2. En consecuencia si P1 tiene por coordenadas (x, y) entonces a
P2 corresponden las coordenadas (2x, 2y).
Actividad de aprendizaje
Dada una ecuación, ¿cómo se sabe si su gráfica es simétrica con respecto al eje x ?
130
Figura 6.6
Para saber si la gráfica de una ecuación es simétrica con respecto
al origen se sustituyen x por 2x y y por 2y en la ecuación y si ésta
no se altera entonces su gráfica es simétrica con respecto al origen.
Ejemplos
1. La gráfica de 2x 1 3y 5 0, ¿es simétrica con respecto al origen?
Solución:
Al sustituir x por 2x y y por 2y en la ecuación, se observa que:
2x 1 3y 5 0
2(2x ) 1 3(2y ) 5 0
Efectuando operaciones
22x 1 3y 5 0
Multiplicando la ecuación por 21
2x 1 3y 5 0
Como la ecuación no cambió, entonces su gráfica es simétrica
con respecto al origen.
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Actividad de aprendizaje
Dada una ecuación, ¿cómo se sabe si su gráfica es simétrica con respecto al origen?
y=
3
x+
0
2
Para tu reflexión
Robert Andrews Millikan (1868-1953)
Este físico norteamericano fue reconocido con el Premio Nobel de Física en 1923, por sus trabajos con el electrón y por la comprobación de
algunas ecuaciones relacionadas con el efecto fotoeléctrico.
Figura 6.7
2. Dada la ecuación y 5 x , analiza si es simétrica con respecto al
origen.
Solución:
Si en la ecuación se sustituye x por 2x y y por 2y, nos queda así:
(2y ) 5 (2x )3
Se suprimen paréntesis
2y 5 2x 3
Se multiplica la ecuación por 21
y 5 x3
Como la ecuación no se alteró, entonces su gráfica es simétrica
con respecto al origen.
3
Concluyó sus estudios en la Universidad de Berlín en 1891 y desde
1896 enseñó física en la Universidad de Chicago. En 1921 ingresó al
California Institute of Technology como director del laboratorio de física
Norman Bridge.
El trabajo más importante de Robert A. Millikan fue la determinación del
tamaño de la carga eléctrica de un electrón. Analizó el curso de pequeñísimas gotas de agua cargadas eléctricamente que caian a través del
aire, bajo la influencia de la gravedad hacia una placa metálica y en
contra de la atracción de otra placa metálica cargada situada sobre
ellas. Para suprimir los efectos de evaporación del agua posteriormente
utilizó gotas de aceite. Si las gotas tuvieran carga podían detenerse en
su caída ajustando la diferencia de potencial a voltaje entre las dos
placas, ya que la fuerza de gravedad puede equilibrarse con la fuerza
eléctrica. A partir del valor de la fuerza eléctrica era posible calcular la
carga de una gota.
Aplicando este método en repetidas ocasiones, Millikan encontró que
los valores de las cargas de las gotas eran siempre múltiplos de un
mismo número: la carga del electrón. Por este trabajo se le otorgó el
reconocimiento del Premio Nobel. También contribuyó al gran
renombre de este científico su
trabajo experimental para comprobar las ecuaciones del efecto
fotoeléctrico deducidas teóricamente por Einstein.
Figura 6.8
Además, realizó investigaciones
sobre la intensidad de la radiación en la alta atmósfera por
medio de aviones y globos y
sobre la profundidad de la Tierra
utilizando algunos instrumentos
en el fondo de los lagos.
131
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
6.3 Asíntotas horizontales
y verticales
Para trazar la gráfica de una función racional, en ocasiones se utilizan ciertas rectas, que no pertenecen a la gráfica pero que sirven de
guía para su trazo.
A continuación se hará referencia a la ecuación xy − 2 y −1 = 0
para determinar sus asíntotas, dominio y rango, así como los intervalos en los que está y en los que no está la gráfica.
Ejemplo
Como puedes observar en la tabla, a medida que el valor de x
se acerca a 2, por la derecha, el valor de y crece sin límite. Para
indicar que x se aproxima o tiende a 2, por la derecha, se utiliza el
signo 1 como superíndice de 2.
x S 21
En este caso:
f (x ) S 1` cuando x S 21
Esta expresión indica que el valor de la función se hace cada
vez más grande, o que crece sin límite, cuando el valor de x se
aproxima o tiende a 2 por la derecha.
Recuerda que ` no es un número.
1. Traza la gráfica de xy 2 2 y 2 1 5 0.
Ahora veamos qué ocurre cuando el valor de x se aproxima o
tiende a 2 por la izquierda.
Solución:
Si se despeja y en términos de x se obtiene lo siguiente:
1
x 22
x22
22
24
20.25
21
23
20.333
Dividiendo la igualdad entre x 2 2
0
22
20.5
1
x−2
1
21
21
1.5
20.5
22
1.8
20.2
25
1.9
20.1
210
1.99
20.01
2100
Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad:
xy 2 2 y 5 1
Factorizando el primer miembro
y (x 2 2)5 1
y=
Para realizar el paso anterior se requiere x Z 2 porque si x 5 2
entonces se estaría dividiendo entre cero.
como y 5 f (x ), la igualdad anterior se puede expresar así:
f ( x )5
1
.
x 22
A continuación vamos a construir una tabla con valores cercanos
a 2 pero sin llegar a ser igual a 2.
132
f ( x )5
x
xy 2 2 y 2 1 5 0
f ( x )5
1
x 22
x
x22
6
4
0.25
5
3
0.333
4
2
0.5
3
1
1
2.5
.5
2
2.2
.2
5
2.1
.1
10
2.01
.01
100
En esta tabla vemos que a medida que el valor de x se aproxima
a 2, por la izquierda, el valor de la función se hace cada vez
menor o disminuye sin límite. Para indicar que el valor de x se
aproxima o tiende a 2, por la izquierda, se utiliza el signo 2
como superíndice de 2.
x S 22
En este caso:
f (x ) S 1` cuando x S 22
La gráfica de f ( x )5
1
se representa en la figura 6.9, en la
x 22
que puedes apreciar el comportamiento de la función que toma
valores cada vez más grandes, en valor absoluto, a medida que
el valor de x se acerca cada vez más al valor 2, tanto por la
izquierda como por la derecha.
Grupo Editorial Patria®
dividiendo entre y
1
y
Para realizar el paso anterior se requiere y Z 0
x225
20
Sumando 2 a los dos miembros de la igualdad
10
–2
2
1
x 5 12
y
4
si el denominador se iguala a cero
–10
y50
se obtiene la ecuación de la asíntota horizontal. Esta ecuación,
como sabemos, es la que corresponde al eje x.
–20
A partir de la ecuación
Figura 6.9
1
x 5 12
y
La recta x 5 2 es una asíntota vertical, es decir, una recta a la
que se aproxima la gráfica de la función, pero sin llegar a tocarla.
Para encontrar una asíntota vertical se aplican los siguiente:
6.4 Criterios de existencias
de las asíntotas horizontales y
oblicuas
se pueden construir tablas aproximándonos al valor cero, tanto por
arriba como por debajo.
En la gráfica de la figura 6.9 puedes observar que si se toman
valores de y cercanos a cero (por debajo), la x toma valores hacia la parte negativa; y si se toman valores cercanos a cero (por
arriba), la x toma valores hacia la parte positiva, de tal manera
que la recta es una asíntota horizontal.
Para encontrar una asíntota horizontal se aplica el:
Teorema
La gráfica de una función racional de la forma R( x )5
P( x )
Q (x)
donde P(x) y Q(x) no tienen factores comunes, tiene a la
recta x 5 a como asíntota vertical cuando Q(a) 5 0.
La gráfica anterior corresponde a la ecuación
xy 2 2y 2 1 5 0
Al despejar y en términos de x se obtuvo:
y5
1
x 22
Si el denominador se iguala a cero:
x2250
Se obtiene la ecuación de la asíntota vertical:
x52
Si en la ecuación xy 2 2y 2 1 5 0 se despeja x en términos de y, se
obtiene, factorizando
y(x 2 2) 2 1 5 0
Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad
y(x 2 2) 5 1
Teorema
La gráfica de una función racional de la
an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0
tiene:
R( x ) =
bm x m + bm−1 x m−1 + ...+ b1 x + b0
i) al eje x como asíntota horizontal cuando n , m.
a
ii) a la recta y = n como asíntota horizontal cuando
bm
n 5 m.
iii) ninguna asíntota horizontal cuando n . m.
Actividad de aprendizaje
Si la gráfica de una ecuación tiene asíntotas:
¿Cómo se halla la ecuación de una asíntota vertical?
133
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Actividad de aprendizaje
¿Cómo se halla la ecuación de una asíntota horizontal?
En una ecuación racional:
¿Cómo se determina el dominio?
Dominio y rango
La determinación del dominio y el rango permite delimitar la región
del plano en la que está contenida la gráfica.
Para obtener el dominio se despeja y en términos de x y se eliminan
los valores de x para los que y no es un número real.
Para obtener el rango se despeja x en términos de y y se eliminan los
valores de y para los cuales x no es un número real.
La ecuación xy 2 2y 2 1 5 0 cuya gráfica está en la figura 6.9, tiene
como dominio y rango los que se obtienen a continuación.
¿Cómo se determina el rango?
Dominio
Se despeja y en términos de x
xy 2 2y 2 1 5 0
y(x 2 2)2 1 5 0
y(x 2 2)5 1
y5
1
x 22
La y es real para cualquier valor de x, excepto x 5 2.
Por tanto,
Dy = − {2} = −∞ , 2 ∪ 2 , +∞
Aplica lo que sabes
Un grupo de 20 excursionistas llevan provisiones para 15 días.
Si al momento de partir, el grupo aumenta a 24 excursionistas y
suponiendo que la ración mínima para cada persona es la
misma que se había asignado desde el principio, ¿cuántos días les podrán durar las
provisiones?
Rango
Se despeja x en términos de y
xy 2 2y 2 1 5 0
y(x 2 2)5 1
1
x 225
y
1
x 5 12
y
La x es real para cualquier valor de y, y 5 0.
Por tanto,
Ry5 2{ 0}
5 2 ∪ 1
5 2∞ , 0 ∪ 0 , 1 ∞
134
Intervalos
Con los intervalos determinados por el dominio es posible conocer las regiones del plano en las que está la gráfica y en cuáles no.
En la ecuación xy 2 2y 2 1 5 0, al despejar y en términos de x se
obtuvo:
1
y=
x−2
que tiene como asíntota vertical x 52
El dominio de la ecuación es
Dy = − {2} = −∞ , 2 ∪ 2 , +∞
Con estos datos se puede analizar en qué región del plano está la gráfica de esta función. Según los valores que tome x, el denominador y
el cociente pueden ser positivos (1) o negativos (2), el numerador
es siempre positivo.
Grupo Editorial Patria®
Recuerda que cuando el numerador y el denominador tienen igual
signo su cociente es positivo y que cuando tienen signo diferente
su cociente es negativo.
Con los intervalos determinados por el dominio se puede construir la tabla siguiente:
x
Numerador
Denominador
y
x,2
1
2
2
x.2
1
1
1
En esta tabla vemos que para cualquier valor de x , 2 el cociente es
negativo; esto significa que para cualquier valor de x , 2 y , 0 por
lo que la gráfica no está en la región x , 2, y . 0.
Ejemplo
Traza la gráfica de la ecuación x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0.
Solución:
Intersecciones
Con el eje x (y 5 0)
Si y 5 0
x 2(0) 2 4x (0) 1 4(0) 2 1 5 0
Por tanto, no hay intersección con el eje x.
Con el eje y (x 5 0).
Si x 5 0
02y 2 4(0)y 1 4y 2 1 5 0
También puedes ver que para cualquier valor de x . 2 el cociente
es positivo, es decir, que para x . 2, y . 0; por tanto, la gráfica no
está en la región x . 2, y , 0. Las regiones donde no está la gráfica
han sido sombreadas.
4y 2 1 5 0
4y 5 1
y=
Esto lo puedes confirmar en la figura 6.9.
A continuación se presentan ejemplos de trazo de gráficas de funciones racionales en los que se hace uso de los siguientes recursos:
r Las intersecciones con los ejes.
⎛
La intersección con el eje y es ⎜ 0 , ⎟ .
⎝
⎠
Simetrías
Con respecto al eje x (se cambia y por 2y ).
r La simetría con respecto a los ejes y al origen.
x 2 (2 y)2 4 x(2 y)1 4(2 y)215 0
r Las asíntotas.
r El dominio y el rango.
r Los intervalos.
1⎞
4
1
4
2 x 2 y 1 4 xy 2 4 y 215 0
Como la ecuación se altera, entonces no hay simetría con respecto al
eje x.
Con respecto al eje y (se cambia x por 2x ).
(2 x )2 y 2 4(2 x ) y 1 4 y 215 0
x 2 y 1 4 xy 1 4 y 215 0
La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al eje y.
Con respecto al origen (se cambia x por 2x y y por 2y ).
(2 x )2 (2 y)2 4(2 x )(2 y)1 4(2 y)215 0
2 x 2 y 2 4 xy 2 4 y 215 0
La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al origen.
Asíntotas
Para encontrar las asíntotas verticales se despeja y en términos de x.
x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0
Figura 6.10
Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad
x 2y 2 4xy 1 4y 5 1
135
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
sacando a y como factor común:
y (x 2 2 4x 1 4) 5 1
La y es un número real para cualquier valor de x, excepto x 5 2.
Por tanto:
Dy = − {2}
= −∞ , 2 ∪ 2 , +∞
Factorizando el trinomio
y (x 2 2)2 5 1
Dividiendo (x 2 2)2 bajo el supuesto de que x Z 2:
1
y=
( x − 2 )2
Si se iguala el denominador con cero.
(x 2 2)2 5 0
(x 2 2) (x 2 2) 5 0
Por tanto, x1 5 2, x2 5 2; esto significa que la gráfica tiene una asíntota vertical x 5 2.
Para encontrar las asíntotas horizontales se despeja x en términos
de y.
x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0
Sumando 1 a los dos miembros de la igualdad.
x 2y 2 4xy 1 4y 5 1
Sacando a y como factor común.
y (x 2 2 4x 1 4) 5 1
Dividiendo entre y, bajo el supuesto de que y Z 0.
x2 − 4x + 4 =
1
y
Factorizando el trinomio.
( x − 2 )2 =
1
y
Extrayendo raíz cuadrada a los dos miembros de la igualdad:
x−2=
x=
1
y
1
+2
y
Rango
Al despejar x en términos de y se obtuvo:
1
x=
+2
y
La x es un número real para cualquier valor de y, excepto y 5 0.
Por tanto:
Ry = +
= 0, +∞
Intervalos
Utilizando los intervalos determinados por el dominio, se puede
conocer en qué regiones del plano está la gráfica.
En el intervalo −∞,2 puedes observar que, a medida que el valor de x tiende a 2, (x 2 2)2 se hace cada vez más pequeño y el valor
de y se hace cada vez más grande.
En el intervalo 2,+∞ puedes observar que a medida que el valor
de x tiende 1`, (x 2 2)2, se hace cada vez más grande y el valor de
y se hace cada vez más pequeño.
Si observamos la expresión
1
y5
( x 2 2 )2
vemos que x 2 2 está elevado a una potencia par y que su valor es positivo, para cualquier valor de x diferente de 2, por lo que y es siempre
positivo y en consecuencia la gráfica está del lado positivo del plano
con respecto al eje x, es decir, debajo del eje x no hay gráfica.
⎛
1 ⎞
y
5
⎜
⎟
La gráfica de x y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0 ⎜
( x 22)2 ⎟⎠ es
⎝
2
Si el denominador se iguala con cero se obtiene la asíntota y 5 0, esta
ecuación corresponde al eje x.
Dominio y rango de
x 2y 2 4xy 1 4y 2 1 5 0
Dominio
Al despejar y en términos de x se obtuvo:
y=
136
1
( x − 2 )2
Figura 6.11
Grupo Editorial Patria®
20
Como la ecuación se altera, entonces no hay simetría con respecto al
eje x.
10
Con respecto al eje y (se cambia x por 2x ).
–2
2
4
–10
–20
y5
2(2 x )
(2 x )2 4
y5
22x
2x 24
La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al eje y.
Con respecto al origen (se cambia x por 2x y y por 2y ).
Figura 6.12
2 y5
Ejemplo
Traza la gráfica de y 5
Solución:
2(2 x )
(2 x )2 4
2 y5
2x
.
x 24
2x
2x 1 4
La ecuación se altera, por tanto, no hay simetría con respecto al origen.
Asíntotas
Intersecciones
Asíntota vertical
Con el eje x
Observa en la ecuación y 5
Si y 5 0
05
2x
x 24
de donde
2x
que para x 5 4 el denominador
x 24
se anula pero el numerador no; por tanto, x 5 4 es la ecuación de la
asíntota vertical.
Para encontrar las asíntota horizontal se despeja x en términos de y :
0 5 2x
y5
Por tanto,
05x
Multiplicando la igualdad por x 2 4:
y (x 2 4) 5 2x
La gráfica corta al eje x en el punto (0, 0).
Con el eje y
2x
x 24
Efectuando el producto indicado:
Si x 5 0
xy 2 4y 5 2x
2(0)
y5
024
Transponiendo términos:
0
5
24
Sacando factor común:
50
La gráfica corta al eje y en el punto (0, 0).
xy 2 2x 5 4y
x (y 2 2) 5 4y
Dividiendo entre y 22, con y diferente de 2:
x5
Simetrías
Con respecto al eje x (se cambia y por 2y )
2x
2 y5
x 24
4y
y 22
En esta ecuación, el denominador se anula cuando y 5 2, pero el
numerador no; por tanto, y 5 2 es la ecuación de la asíntota horizontal.
137
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Dominio y rango
Dominio
2x
, la y es un número real para cualquier vax 24
lor de x, excepto x 5 4. Por tanto
En la ecuación y 5
Dy5 2{ 4 }
También puedes ver que para cualquier valor de x . 4 el cociente
es positivo, es decir, que para x . 4, y . 0, por tanto la gráfica no
está en la región x .4, y , 0.
Actividad de aprendizaje
En una función racional, ¿cómo se encuentran las regiones del plano
en las que está la gráfica?
5 2∞ , 4 ∪ 4 , 1 ∞
Rango
2x
En la ecuación y 5
, al despejar x en términos de y se obtuvo
x 24
4y
x5
, donde la x es un número real para cualquier valor de y,
y 22
excepto y 5 2. Por tanto,
¿Cuál es el criterio para saber que una función racional tiene una asíntota oblicua?
Ry5 2{ 2}
5 2∞ , 2 ∪ 2 , 1 ∞
Intervalos
Aplica lo que sabes
Si tomamos en cuenta la información anterior, podemos saber en
qué regiones del plano está la gráfica.
x
Numerador
Denominador
y
2∞, 0
2
2
1
0, 4
1
2
2
4,1∞
1
1
1
En esta tabla vemos que para cualquier valor de x , 0 el cociente es
positivo, esto significa que para cualquier valor de x , 0, la y . 0,
por lo que la gráfica no está en la región x , 0, y , 0.
Cuando 0 , x , 4, el cociente es negativo, esto significa que para
cualquier valor de x en este intervalo la y , 0, por tanto la gráfica no
está en la región 0 , x , 4, y . 0.
100
50
2
–50
–100
–150
Figura 6.13
138
El plástico tiene múltiples y variados usos y presentaciones. En la industria refresquera de nuestro país se utiliza el polietileno tereftalato (PET).
Este material es reciclable y requiere ser separado previamente.
Investiga qué se hace con el PET en tu comunidad.
Indaga si existe una planta
para el reciclado del PET
en tu comunidad o cerca
de ella.
Entérate de qué cantidad de
PET se desperdicia durante
un mes en tu comunidad,
cuando se tira a la basura y
contamina el medio.
Busca y elabora propuestas concretas sobre lo que
podemos hacer para cuidar
nuestro medio.
150
–2
En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten
vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo.
4
6
8
Grupo Editorial Patria®
Ejemplos
Traza la gráfica y 5
3x
x 29
3x
y5 2
x 29
2 y 52
3x
.
x 29
2
Solución:
2
La ecuación no se altera, por tanto, la gráfica es simétrica con respecto
al origen.
Intersecciones
Asíntotas
Con el eje x
3x
05 2
x 29
0 5 3x
Asíntotas verticales
3x
Si en la ecuación y 5 2
se factoriza el denominador nos queda
x 29
así:
05x
y5
La gráfica corta al eje x en (0, 0).
Con el eje y
3x
( x 13)( x 23)
Por tanto, la gráfica tiene dos asíntotas verticales: x 52 3.
3(0)
02 29
0
y5
29
y5
Asíntotas horizontales
y50
Si se divide el numerador y el denominador x 2 se obtiene:
Puesto que en la ecuación, el grado del numerador es 1 y el del denominador es 2, entonces de acuerdo con el teorema, y es una función
racional.
La gráfica corta el eje y en (0, 0).
3x
3
2
y 5 2x 5 x
x 2 9 12 9
x2
x2
Simetrías
Con el eje x
2 y5
3x
x 29
2
La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al eje x.
Con el eje y
y5
3(2 x )
(2 x )2 2 9
23 x
y5 2
x 29
3
→ 0 1 y y S 101, por consiguiente, a
x
3
medida que x S1`, y S 01. A medida que x S 02, → 0 2 y
x
9
1
2
,
entonces
y
S
0
.
→0
x2
A medida que x S 1`
De esta forma, la recta y 5 0 es una asíntota horizontal de la gráfica.
Dominio y rango
Dominio
Dy5 2{23, 3}
La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al eje y.
5 2 ∞ , 23 ∪ 23 , 3 ∪ 3 , 1 ∞
Rango
Con el origen
2 y5
3(2 x )
(2 x )2 2 9
2 y5
23 x
x 2 29
Ry5
Intervalos
Con base en los intervalos determinados por el dominio, se puede
construir la siguiente tabla en la que se indican las regiones del plano
en las que está contenida la gráfica.
139
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
x
Numerador
Denominador
y
2 ∞, 23
2
1
2
23, 0
2
2
1
0, 3
1
2
2
3, ∞
1
1
1
Simetrías
Con el eje x
2 y5
La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al eje x.
Con el eje y
(2 x )2 2 4
y5
2 x 11
y5
40
Con el origen
2
–2
x2 24
2 x 11
La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al eje y.
20
–4
x2 24
x 11
2 y5
4
–20
(2 x )2 2 4
2 x 11
x2 24
2 y5
2 x 11
–40
La ecuación se altera, por tanto, la gráfica no es simétrica con respecto
al origen.
Figura 6.14
x2 24
Traza la gráfica de y 5
.
x 11
Solución:
Intersecciones
Asíntotas
Asíntotas verticales
x2 24
Si en la ecuación y 5
se iguala el denominador con cero se
1
x
1
obtiene la recta
x 5 21, que es una asíntota vertical.
Con el eje x
05
x 24
x 11
2
0 5 x2 2 4
0 5 (x 1 2) (x 2 2)
Por tanto, la gráfica corta al eje x en los puntos (22, 0) y (2, 0).
Con el eje y
02 2 4
y5
0 11
24
y5
1
y = −4
Por tanto, la gráfica corta al eje y en el punto (0, 24).
Asíntotas horizontales
En la ecuación puedes observar que, el grado del numerador es 2 y el
grado del denominador es 1; por lo que, aplicando el teorema, se sabe
que no tiene asíntotas horizontales.
Como el grado del numerador es mayor en 1 que el grado del denominador, entonces la gráfica tiene una asíntota oblicua, es decir, que no
es horizontal ni vertical.
Si se divide el numerador entre el denominador se obtiene:
x 21
x 11 x 2 1 0 x 2 4
2x2 2x
2x 24
x 11
23
140
Grupo Editorial Patria®
y 5 x 212
De acuerdo con esta ley, para una misma fuerza, si la masa aumenta
entonces la aceleración disminuye, y si la masa disminuye la aceleración aumenta.
3
x 11
Cuando x S1`, o x S2`, y S x 2 1. Por esta razón se dice que
y 5 x 2 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de la función.
De manera general se establece la siguiente:
Definición
Una variable y varía en relación inversa con una variable x, si
k
y 5 , en donde k es una constante diferente de cero.
x
Dominio y rango
Dadas dos cantidades, puede ocurrir que a todo aumento (disminución) de una corresponda una disminución (aumento) de la
otra. Cuando esto ocurre, se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales.
Dominio
Dy5 2{21}
5 2 ∞ , 21 ∪ 21, 1 ∞
Cantidades inversamente proporcionales son:
r Para una misma obra, el número de obreros y el tiempo empleado para realizarla.
Rango
Ry5
Intervalos
En este ejemplo, los intervalos del dominio nos indican dónde está
la asíntota vertical de la gráfica.
10
r Para una misma distancia, la velocidad de un móvil y el tiempo
empleado en recorrerla.
–10
–5
5
10
–10
Figura 6.15
Variación inversa
Definición y constante de variación
La segunda Ley de Newton establece que f 5 m a, donde f es la fuerza que se aplica a una masa m para imprimirle una aceleración a.
r A temperatura constante, el volumen de los gases y las presiones
a que se someten.
141
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
r Para una cantidad de víveres, el número de personas y el tiempo
que tardarán en consumirlos.
Ejemplo
Actividad de aprendizaje
Para hacer una construcción en 42 días, se emplean 23 obreros.
¿Cuántos obreros se necesitarán para hacer una construcción igual
en 7 días?
Solución:
Como la variación es inversa, la proporción se puede establecer en
alguna de las dos formas siguientes:
x 2 y1
5
x1 y2
o bien
y2 x1
5
y1 x 2
De donde:
7 23
5
42 x 2
y2 42
5
23 7
7x2 5 42(23)
7y2 5 23(42)
x2 5
966
7
y2 5
966
7
Por tanto:
x2 5 138 obreros
142
y2 5 138 obreros
¿Cuándo se dice que dos variables son inversamente proporcionales?
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Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 6. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
En una función racional:
1. ¿Cómo debe ser el polinomio del denominador?
2. ¿Cómo se obtiene el dominio?
7. A partir de la expresión algebraica de una función racional, ¿cómo
se sabe si tiene una asíntota oblicua?
8. ¿Cómo se determinan las regiones del plano coordenado en las
que hay o no hay trazo de la gráfica?
3. ¿Cómo se obtiene el rango?
9. Para la función f ( x )5
x 11
si es posible:
x 21
a ) Encuentra las coordenadas de los puntos de intersección de la
gráfica con los ejes coordenados.
4. ¿Cómo se determinan las intersecciones de la gráfica con los ejes
coordenados?
b ) Determina si la gráfica es simétrica con respecto a los ejes y
al origen.
c ) Obtén las asíntotas verticales, horizontales u oblicuas.
d ) Halla el dominio y rango.
e ) Traza la gráfica.
5. ¿Qué criterios se aplican para saber si la gráfica es simétrica con
respecto a los ejes o al origen?
10. Una masa gaseosa, contenida en un recipiente cerrado, está
sometida a una temperatura constante. Si la presión se triplica,
¿qué ocurre con el volumen?
6. Cuando existen, ¿cómo se determinan la ecuaciones de las asíntotas verticales?
143
BLOQUE
6
Aplicas funciones racionales
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la duración de las provisiones ante el aumento de los excursionistas al momento de partir,
de la sección “Aplica lo que sabes” de la página. 134.
Nombre del alumno:
Criterio
Presentación
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza,
la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las
condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la
argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos
consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas
sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente
válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la
referencia de la fuente.
144
11. Conoce y aplica correctamente los conceptos de razón y de proporción
directa e inversa.
12. Establece las relaciones necesarias para obtener el modelo matemático
del problema.
13. Determina el número de días que pueden durar las provisiones.
14. Establece las razones y proporciones necesarias para determinar la
ración de provisiones que le corresponden a cada excursionista antes
de partir.
15. Establece las razones y proporciones necesarias para determinar la
ración de provisiones que le corresponden a cada excursionista al
momento de partir.
16. Determina el número de días que pueden durar las provisiones al
aumentar el número de excursionistas.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Componentes
polinomiales de una
función racional
Conoce y utiliza el
concepto, la notación y
la caracterización de una
función racional, así como
su comportamiento gráfico
local y en infinito.
Conoce el concepto, la
notación y la caracterización
de una función racional, así
como su comportamiento
gráfico local y en infinito.
Conoce el concepto, la
notación y la caracterización
de una función racional, así
como su comportamiento
gráfico local.
No conoce ni utiliza el
concepto, la notación
ni la caracterización de
una función racional,
tampoco sabe cómo es su
comportamiento gráfico
local ni en infinito.
Posibles asíntotas de
funciones racionales
(horizontales,
verticales, oblicuas)
Utiliza sus conocimientos
sobre la función racional
para determinar, cuando
es posible, sus asíntotas
horizontales, verticales u
oblicuas.
Utiliza sus conocimientos
sobre la función racional
para determinar, cuando
es posible, sus asíntotas
horizontales y verticales.
Utiliza sus conocimientos
sobre la función racional
para determinar, cuando
es posible, sus asíntotas
horizontales.
No tiene conocimientos
sobre la función racional
como para determinar,
cuando es posible, sus
asíntotas horizontales,
verticales u oblicuas.
Aspecto a evaluar
Criterios
Deficiente
(1)
Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos.
Hoja de observación para el trabajo por equipos
Criterios
Equipo 1
Equipo 2
Equipo 3
Equipo 4
Equipo 5
Intercambian ideas antes de hacer las pruebas
Colaboran en la elaboración de las pruebas
Atienden y respetan las opiniones de los demás
Utilizan los materiales con precaución
Proponen explicaciones de lo que observan
Aplican términos científicos en sus explicaciones
Registran y sistematizan sus observaciones
Claves: D (Deficiente), R (Regular), B (Bueno), E (Excelente)
145
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
7
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
7.1 Función exponencial
7.2 Función logarítmica
7.3 Gráfica de la función
exponencial y logarítmica
7.4 Propiedades de los
exponentes
7.5 Cambio de una expresión
exponencial a una
logarítmica y viceversa
7.6 Propiedades de los
logarítmos
7.7 Ecuaciones exponenciales
7.8 Ecuaciones logarítmicas
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales.
„
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
„
„
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y comunicación.
¿Qué sabes hacer ahora?
En una función real exponencial de la f ( x ) 5 a x:
¿Qué valores reales puede tomar a?
1.
¿Por qué el valor de a debe ser diferente de 1?
2.
¿Por qué el valor de a no puede ser un número negativo?
3.
¿En qué intervalos puede estar al valor de a?
4.
¿Para qué valores de a la función exponencial es creciente?
5.
¿Para qué valores de a la función exponencial es decreciente?
6.
7.
8.
9.
10.
¿Cuál es su dominio?
¿Cuál es su rango?
¿Cuál es la base en una función exponencial natural?
En una función exponencial natural, ¿a qué se llama factor de crecimiento?
Desempeños por alcanzar
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
„
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
A partir de la expresión de la función exponencial decide si ésta es creciente o
decreciente.
Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o
calculadora.
Traza las gráficas de funciones exponenciales tabulando valores y las utiliza
para obtener gráficas de funciones logarítmicas.
Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones
exponenciales y logarítmicas.
Aplica las propiedades y relaciones de las funciones exponenciales y
logarítmicas para modelar y resolver problemas.
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
¿Qué cantidad de dinero se debe invertir a 6% de interés anual compuesto para producir $20 645.50 en 20 años?
Secuencia didáctica
Formen equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente dibujos en las condiciones del problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las formas de
resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué es el interés compuesto?
¿Cuáles son los elementos que intervienen en el interés compuesto?
¿Cómo se representan los elementos que intervienen en el interés
compuesto?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el
propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de
aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cuál es la fórmula para calcular el interés compuesto?
A fin de evaluar por producto, se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
¿Cómo se calcula el capital invertido?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Producto a elaborar
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Presentar la solución del problema planteado en la situación didáctica.
Rúbrica
Para determinar la solución que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen
un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación
en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa.
Todo ello suma 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
148
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Una bacteria se duplica cada hora. ¿En cuánto tiempo serán 2 048 si el cultivo inició con 8 bacterias?
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las formas de
resolver el problema.
Cada equipo debe investigar:
¿Qué es una ecuación exponencial?
¿Cuáles son los elementos que intervienen en una ecuación exponencial?
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es
preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a
cabo las rectificaciones que procedan.
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de
asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.
Evaluación por producto
¿Cómo se puede resolver una ecuación exponencial?
A fin de evaluar por producto, se dan las instrucciones por escrito
de manera clara.
¿Cómo se puede calcular el valor de algún elemento de una ecuación exponencial?
En este ejemplo:
Trabajo individual
Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar la solución que se pide, se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos que se efectuaron; éstos tienen
un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la
originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, las
fuentes consultadas, entre otros aspectos. La descripción del pro-
Producto a elaborar
Presentar la solución del problema planteado en la situación didáctica.
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
cedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación
en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa.
Todo ello suma 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.
149
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Ejercicios matemáticos 16
1. El valor de una casa de 200 000 unidades de dinero se incrementa a razón de 8% anual. ¿Cuál será su valor al cabo de tres
años?
2. Una persona compra a crédito un artículo en 5 000 unidades
de dinero y se le cobra 18% anual compuesto mensualmente.
Si no hace pagos durante seis meses, ¿cuánto es lo que debe?
3. Si se invierten 10 000 unidades de dinero a 15% anual y se
acumulan los intereses mensuales, ¿cuál es el capital después
de un mes, dos meses, tres meses, seis meses, un año?
4. Una persona compra un artículo en 1 000 unidades de dinero
y lo paga con una tarjeta bancaria en la que se cobra 36% anual
compuesto mensualmente. Si durante un año la persona no
hace otro cargo a la tarjeta ni abona, ¿cuál es su adeudo?
5. Una caja de ahorro paga 18% anual acumulado semestralmente. ¿Qué cantidad se debe invertir para tener 25 000 unidades de dinero después de año y medio?
6. El número de bacterias de un cultivo está dado por
f ( t )53( 4 t ) donde t está en horas y el número de bacterias
f ( t ) en miles. Determina:
a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
b) ¿Cuántas son a los 15 minutos?
c) ¿Cuántas son a la media hora?
1
d) ¿Cuántas son después de 1 horas?
2
7. Las bacterias de un cultivo se multiplican por cinco cada dos
horas. Si se inicia con 800 bacterias a las 8 de la mañana, el número de bacterias está dado por:
⎛ 1⎞
f ( t )5800⎜ 5 2 ⎟
⎝ ⎠
de donde t es el tiempo en horas. Calcula el número de bacterias en el cultivo a las 10 y 11 de la mañana y 1 de la tarde.
8. Un cultivo de bacterias se triplica cada dos horas. Si se tienen
600 bacterias en el t 50 el número de bacterias después de t
horas está dado por:
⎛ 1⎞
f (t )5600⎜ 3 2 ⎟
⎝ ⎠
¿Cuántas bacterias habrá 2, 4, 5 y 7 horas después?
9. En una ciudad la población se duplica cada 10 años. El número actual de habitantes está dado en millones por:
⎛ t⎞
f (t )53⎜ 2 10 ⎟
⎝ ⎠
donde t está expresado en años.
a) ¿Cuántos habitantes tendrá la ciudad dentro de 10 años?
b) ¿Cuántos habitantes tenía 10 años antes?
10. Una sustancia radiactiva tiene una vida medial de 90 días. Si se
tienen 100 miligramos (mg) en el periodo t 50, la cantidad
que queda después de t periodos de semidesintegración está
dada por:
t
⎛ 1⎞
f (t )5100⎜ ⎟
⎝ 2⎠
¿Qué cantidad de sustancia radiactiva queda después de 180, 270 y
450 días?
150
Grupo Editorial Patria®
Las matemáticas son una gimnasia del espíritu
y una preparación para la filosofía.
Isócrates (orador ateniense)
ponente fuera impar o quizá no esté definida en los números reales
para ciertos exponentes fraccionarios.
7.2 Función logarítmica
Como un antecedente de la función logarítmica es conveniente
revisar el concepto de función inversa que se incluye en el bloque
2, pues la función logarítmica es inversa de la función exponencial,
como se verá a continuación.
Para comprender fácilmente la definición del logaritmo, primero
recordemos que en una expresión como 23 58 al dos se le llama
base; al tres, exponente y al ocho, potencia.
Se llama logaritmo de un número al exponente a que se debe elevar
la base para obtener dicho número.
Introducción
Este bloque inicia con una revisión del concepto de exponente y
de sus respectivas leyes para tratar lo relacionado con la función
exponencial. Incluye la función exponencial natural. Se hace una
interpretación algebraica y una gráfica de la función logarítmica
como inversa de la función exponencial.
7.3 Gráfica de la función
exponencial y logarítmica
7.1 Función exponencial
En consecuencia, se forman dos intervalos abiertos a los que puede
pertenecer la base, éstos son 0 , 1 y 1, ∞ . Recuerda que los intervalos incluyen los extremos en que son cerrados y no incluyen los
extremos en que son abiertos. Así, 3, 10 ] es un intervalo abierto
por la izquierda y cerrado por la derecha, formado por todos los
números mayores que 3 y menores o iguales que 10.
Antes de tratar lo relacionado con esta función, es conveniente recordar el concepto de exponente e incluir las leyes de los exponentes positivos.
Con las consideraciones anteriores, veamos cuál es el comportamiento de la función cuando la base pertenece a cada uno de los
intervalos señalados.
Las propiedades de los logaritmos se utilizan para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
En una expresión 23 5 2 3 2 3 2 58, al dos se le llama base; al tres,
exponente y al ocho, potencia; esta última se obtiene como producto de tantos factores iguales a la base como indica el exponente.
Concepto de función exponencial
Actividad de aprendizaje
¿Por qué se dice que la función exponencial f (x ) 5 a x es una función
trascendente?
Notación
La función exponencial es una función real, no algebraica sino trascendente, cuya regla de correspondencia es:
¿Por qué el eje x es una asíntota de la función f (x ) 5 a x?
f : → f ( x )5 a x
Con a , x ∈ , a .0 , a ≠ 1 .
De acuerdo con la definición de esta función, la base siempre es
un número real positivo, pues cuando la base se eleva a cualquier
exponente real la potencia es un número real positivo; además es
diferente de 1 porque la unidad elevada a cualquier potencia real es
1 y si la base fuera un número real, negativo, no se podría afirmar
nada de su potencia, pues ésta podría dar lugar a tres situaciones
diferentes: sería positiva si el exponente fuera par, negativa si el ex-
Ejemplos
1. Si 23 58 , entonces log 2 8 53 , que se lee: “logaritmo en base
dos de ocho es igual a tres”.
2. 2 4 516 ⇒ log 2 16 5 4
151
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
3. 7 2 5 49 ⇒ log 7 49 5 2
1
log 2 15x ⇒ 2 x 51, 2 x 52 0 ∴x 50
4. 36 2 5 36 56 ⇒ log 36 6 5
2
5. 8
2
3
5
1
2
3
53
1
2
log 2 25x ⇒ 2 x 52 , 2 x 521∴x 51
log 2 4 5 x ⇒ 2 x 52 2 , 2 x 52 2 ∴x 52
1
1
1
2
5 ⇒ log 8 52
2
4
4
3
8
8
1
1
6. 223 5 ⇒ log 2 523
8
8
log 2 85x ⇒ 2 x 58 , 2 x 523 ∴x 53
Entonces, la tabla de log 2 y 5 x nos queda de la siguiente manera:
7. a x 5b ⇒ log a b 5 x
Si en una función exponencial se restringe el contradominio a los
números reales positivos, 1, entonces la función así definida
será inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
x
8. Sea f : R → R1 tal que f ( x )52 .
Algunos de los pares ordenados que pertenecen a su gráfica aparecen en la tabla siguiente:
x
f (x ) 5 x
(x, f (x )
23
1 1
5
23 8
1 1
5 25
f (22) 5 2 22 5
2 4
1⎫
⎧
⎪⎩23, ⎪⎭
8
f (23) 5 2 23 5
y
( y, x)
log2 y 5 x
1
8
log2
1
5 23
8
⎧1
⎫
⎪⎩ , 23 ⎪⎭
8
1
4
log2
1
5 22
4
⎧ 1 , 22⎫
⎪⎩
⎪⎭
4
1
2
log2
1
5 21
2
⎧1
⎫
⎪⎩ , 21⎪⎭
2
1
log2 1 5 0
(1, 0)
1⎫
⎧
⎪⎩22 , ⎪⎭
4
2
log2 2 5 1
(2, 1)
4
log2 4 5 2
(4, 2)
21
1 1
f (21) 5 2 21 5 1 5
2 2
1⎫
⎧
⎪⎩21, ⎪⎭
2
8
log2 8 5 3
(8, 3)
0
f (0) 5 20 51
(0, 1)
1
f (1) 5 2 52
(1, 2)
2
f (2) 5 22 54
(2, 4)
3
f (3) 5 23 58
(3, 8)
y
= 2x
=x
f(
x)
1
f (x)
22
Haciendo y 5 f ( x ) en f ( x )52 x tiene que: y 52 x
o bien:
2x 5 y
y = log2 x
que implica: log 2 y 5 x
De tal manera que al sustituir y por los valores de la tabla anterior, se
tiene:
1
1
1
log 2 5 x ⇒ 2 x 5 , 2 x 5 3 , 2 x 5223 ∴x 523
8
8
2
1
1
1
log 2 5 x ⇒ 2 x 5 , 2 x 5 2 , 2 x 5222 ∴x 522
4
4
2
1
1
log 2 5 x ⇒ 2 x 5 , 2 x 5221∴x 521
2
2
152
x
Figura 7.1
Grupo Editorial Patria®
10
x
En las tablas de f ( x )52 y y 5log 2 x puedes ver que los componentes de sus pares ordenados correspondientes están invertidos,
hecho que se puede visualizar en la figura 7.1, donde sus respectivas
representaciones geométricas son simétricas respecto a la función
identidad. En consecuencia, las funciones exponencial y logarítmica
son inversas una de la otra.
5
Función exponencial natural (el número e,
crecimiento o decrecimiento en base e)
El número e. Caracterización e importancia
Hasta ahora, los valores utilizados para la base de la función exponencial se han tomado de los intervalos definidos, sin embargo, tanto para fines teóricos como prácticos, se utiliza con mayor
frecuencia el número e. El número e se obtiene en cálculo como el
x
1⎞
⎛
límite de ⎜ 1 1 ⎟ cuando x → 1 ∞ . A medida que x aumenta
⎝
x⎠
x
1⎞
⎛
sin límite el valor de ⎜ 1 1 ⎟ tiende a un valor finito que es el nú⎝
x⎠
mero irracional e, que es aproximadamente igual (8) a 2.7182818.
e 2.7182818
El valor aproximado de e se puede obtener utilizando la expresión
nx
⎛ 1⎞
⎜⎝ 11 ⎟⎠ valores de n suficientemente grandes. También se puen
de obtener su valor por medio de tablas o utilizando una calculadora científica.
–3
–2
–1
1
2
3
Figura 7.2
Esta función tiene una propiedad importante que se verá en cursos posteriores: el valor de la pendiente de la tangente a la curva en
cada uno de sus puntos es igual a la ordenada de ese punto.
Actividad de aprendizaje
¿En qué difiere la expresión algebraica de la función exponencial con
respecto a la de la función exponencial natural?
x
Actividad de aprendizaje
Investiga en qué tipo de problemas aparece la constante e.
Función exponencial natural
La función exponencial que tiene como base al número e se llama
función exponencial natural, definida por
f ( x )5 e x
Su dominio es el conjunto de los números reales y su rango es el
conjunto de los números reales positivos.
Su gráfica es semejante a la de las funciones exponenciales de base
a . 1.
Crecimiento y decaimiento
exponencial
En el análisis de situaciones que tienen que ver con el comportamiento de fenómenos relacionados con el crecimiento poblacional
o el periodo de semidesintegración de materiales radiactivos, por
mencionar algunos, se utilizan expresiones que son modelos matemáticos que tienen como base potencias de e.
El crecimiento exponencial se puede expresar por medio de la
función
f (t )5 Be kt
con t $0, donde B y k son constantes positivas.
El decaimiento exponencial se puede expresar por medio de la
función
f (t )5 Be 2kt
con t $0, donde B y k s son constantes.
153
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Actividad de aprendizaje
En la expresión f (t ) 5 Be kt, ¿qué valor toma k cuando se da un crecimiento o un decaimiento?
7.4 Propiedades de los
exponentes
Si a y b son números positivos cualesquiera, y m y n son números
positivos cualesquiera, entonces:
Primera
a m 3 a n 5 a m 1n
Segunda
( a ) 5a
Tercera
am
⎛ a⎞
⎜⎝ ⎟⎠ 5 m
b
a
Cuarta
(ab)m 5 a m b m
m n
mn
m
Para tu reflexión
John Napier (1550-1617)
Matemático escocés, famoso por sus estudios sobre las expresiones
trigonométricas e inventor de los logaritmos.
Su mayor renombre lo alcanza gracias a un nuevo método de cálculo
que elaboró en 1594; precisamente este trabajo reflejó su alta capacidad
reflexiva para las matemáticas. John Napier expuso que todas las cifras
podían ser expresadas en forma exponencial; así, 4 puede escribirse
como dos al cuadrado (22), el número ocho como dos al cubo (23); por
otro lado, el 5, 6 y 7 fueron representados como el dos elevado a una potencia fraccionaria entre el dos y el tres. En consecuencia, si los números
podían expresarse en forma exponencial, la multiplicación se realizaría
sumando los exponentes y la división mediante la resta de estos mismos,
lo que significaba una simplificación enorme en las operaciones.
Este científico dedicó más de 20 años al estudio de fórmulas para
poder establecer y simplificar en formas exponenciales las expresiones
trigonométricas de gran utilidad
para las medidas y los cálculos
de astronomía. Este proceso de
calcular las expresiones exponenciales recibió el nombre de
logaritmos (números proporcionados). Sus tablas de logaritmos
tuvieron gran valor y repercusión
en los estudios de la época; con
ellos se simplificaron los cálculos rutinarios.
Actividad de aprendizaje
Si 24 5 16 , ¿cómo se puede expresar la igualdad en forma logarítmica?
154
Quinta
am
5
an
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
a m2n , si m . n
1, si m 5 n
1
a
n 2m
, si m , n
De la quinta ley se deduce que: para todo número real a ≠ 0,
1
a 0 51 y a2n 5 n ; expresiones empleadas con frecuencia en la
a
función exponencial.
7.5 Cambio de una expresión
exponencial a una logarítmica
y viceversa
El producto 2 3 2 3 2 es 8. De forma simplificada lo expresamos
así:
2 3 2 3 2 5 23 5 8
Por definición, logaritmo de un número es el exponente a que se
debe elevar la base para obtener dicho número
En consecuencia, si 23 5 8 entonces
log28 5 3
Es decir
23 5 8 1 log28 5 3
inversamente
log28 5 3 1 23 5 8
Si
103 5 1 000
entonces
log 5 1 000 5 3
o sea que:
103 5 1 000 1 log 1 000 5 3
recordemos que si la base del logaritmo es 10, no se pone.
Grupo Editorial Patria®
Por lo tanto:
si
y
Si
10 5 1 000 1 log 1 000 5 3
log 1 000 5 3 1 103 5 1 000
3
49
1
5 (49) 2
1
5 7 1 log49 7 5
2
inversamente
Si
1
1
log49 7 5 1 (49) 2 5 7
2
1
1
22
5 5 25 1 log5 25 5 22
y
1
1
log5 25 5 22 1 522 5 25
Si
9 5 81 1 log981 5 2
2
y
log981 5 2 1 9 5 81
2
Por lo que el nuevo capital es de: C 1 C i 5 C (1 1 i)
(1)
5 1 (110.05)
5 1 (1.05)
5 1.05
Si esta cantidad se reinvierte al mismo interés por un año más, entonces después de dos años el capital es:
1.0511.05 (0.05) 5 1.05 (1 1 0.05)
5 1.05 (1.05)
5 (1.05)2
Que se puede expresar así:
C(1 1 i) 1 C(l 1 i) i 5 C(1 1 i) (l 1 i)
5 C(l 1 i)2
(2)
A los tres años y en las mismas condiciones el capital es:
(1.05)2 1 (1.05)2 (0.05) 5 (1.05)2 (1 1 0.05)
5 (1.05)2 (1.05)
5 (1.05)3
C(l 1 i)2 1 C(l 1 i)2 i 5 C(l 1 i)2 (1 1 i)
Aplica lo que sabes
5 C(l 1 i)3
Una sustancia radiactiva tiene
una vida media de 90 días. Si inicialmente (t 5 0) se tienen 100
miligramos (mg), la cantidad que
queda después de t periodos de
semidesintegración está dada por:
⎛ 1⎞
f (x )5100⎜ ⎟
⎝ 2⎠
t
¿Qué cantidad de sustancia radiactiva queda después de 360 días?
7.6 Propiedades de los
logaritmos
Funciones exponencial y logarítmica:
aplicaciones
Interés compuesto
Consideremos un capital C y un interés simple de i por ciento. Si el
capital es de un millón de unidades de dinero y el interés es de 5%
anual; entonces después de un año el capital produce un interés de:
Ci 5 1(0.05) 5 0.05.
(3)
Observando el comportamiento de (1), (2) y (3) después de n
años, el capital Cn se expresa por: Cn 5 C(l 1 i)n
Cuando el interés se acumula de esta manera se le llama interés
compuesto.
La expresión final del capital corresponde a una función exponencial de base 1 1 i con exponente n, donde n es el periodo medido
en años, meses, semanas, días u otra unidad de tiempo. El interés i es
por periodo, por lo que si el interés es de 6% anual compuesto men6
1
sualmente entonces el interés por meses será de o sea o bien
12
2
0.50% 5 0.005 y n expresará el número de meses.
Aplica lo que sabes
El municipio donde vives
contrae una deuda por 100
millones de pesos a 4%
anual. ¿Qué cantidad debe
pagar cada año para saldar
su deuda en 10 años?
155
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Población
La función exponencial también se puede utilizar como modelo
de crecimiento de alguna población.
Veamos el caso de cierto tipo de bacteria que al cabo de un tiempo
(periodo de reproducción) se duplica. Esto significa que, si al inicio se tiene una bacteria, después de un periodo de reproducción
se tendrán dos, éstas a su vez darán origen a cuatro en el segundo
periodo, en el tercer periodo las cuatro darán origen a ocho y así
sucesivamente.
Si en un laboratorio se prepara un cultivo de bacterias que se duplican cada hora y se inicia con 500 se puede construir la siguiente
tabla en la que se indica que después de t horas el número de bacterias f (t).
t
Actividad de aprendizaje
¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función exponencial?
¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función logarítmica?
f (t)
0
500
1
1 000
2
2 000
3
4 000
4
8 000
5
16 000
.
.
.
.
Por lo que la función se puede expresar como: f (t )5(500)2 t
1
manera que el número de bacterias 3 horas después de iniciado
2
el cultivo es:
1 7
t 53 5
2 2
7
7
⎛ ⎞
f ⎜ ⎟ 5( 500 )2 2
⎝ 2⎠
5 500 2 7
5 500 128
5 500(11.31)
5 5 657 (aproximadamente)
Desintegración radiactiva
Una sustancia radiactiva se desintegra en un tiempo que se conoce como periodo de semidesintegración o vida media. La vida
media del radio es de 1 600 años; esto significa que, si ahora se
tiene una cierta cantidad de radio, dentro de 1 600 años sólo quedará la mitad.
156
Si n representa el número de periodos de desintegración, entonces la cantidad de sustancia que queda después de n periodos es:
n
⎛ 1⎞
f (n)5 m⎜ ⎟ 5 m(2)2n donde m es la masa original de la sus⎝ 2⎠
tancia.
7.7 Ecuaciones exponenciales
10 x 5100 es una ecuación exponencial pues la variable x aparece como exponente. Si se expresa a 100 como 10 2 , la ecuación se
transforma en 10 x 510 2 ; por tanto, x 5 2.
La ecuación 10 x 5 1 000 se puede escribir 10 x 5103 ; por tanto,
x 5 3.
Sin embargo, en la ecuación 10 x 5 586 la determinación del valor
de x ya no es tan sencilla; por los ejemplos anteriores sabemos que
100 , 586 , 1 000, por lo que el valor de x debe estar comprendido entre 2 y 3. Para determinar el valor de x de manera más aproximada se utiliza la definición de logaritmo, es decir:
10 x 5 586 ⇒ log 10 586 5 x
x 5 2.7679
de donde:
Este valor se puede obtener con una calculadora científica introduciendo el número 586 y presionando la tecla log (o Log), ya que se
trata del logaritmo de un número de base 10; si la base es e entonces se introduce el número y se presiona la tecla ln (o LN).
Ejercicios
Encuentra el valor de x en:
4x 2 422x 5 3
2x 5 1 204
3x 5 729x
2x 1 2 5 64
5x
2
2x 1 2 5 4x 2 1
x
3 5 9(3
52x
7x 5 22x 1 1
)
34x 1 1 5 93x 2 5
x
5
1x
5 25
1
9 5 27 (31 2 x)
Grupo Editorial Patria®
7.8 Ecuaciones logarítmicas
Para resolver ecuaciones logarítmicas, utilizamos los logaritmos y
sus propiedades tanto para simplificar las operaciones como para
despejar la variable cuyo valor nos interesa encontrar.
para resolver esta ecuación por factorización buscamos dos factores de 36 que suman 5, estos factores son 9 y 4, entonces
6x 2 1 9x 2 4x 2 6 5 0
factorizando
3x (2x 1 3) 22 (2x 1 3) 5 0
Ejemplos
de donde
(3x 2 2) (2x 1 3) 5 0
1. Encuentra el valor de x en:
log(x 3 2 4x 2 1 9x 1 14) 2 log (x 1 1) 5 1
Solución:
La ecuación anterior se puede expresar como:
⎛ x 3 2 4 x 2 1 9 x 114 ⎞
log ⎜
⎟ 51
x 11
⎝
⎠
3
2
3x 2 2 5 0
1 x15
2x 3 3 5 0
1 x252
3
2
Éstos son los valores que resuelven la ecuación.
3. Encuentra el valor de x en:
log 3x 2 2 log 9 x 5 2
con aplicación de la propiedad del logaritmo de un cociente.
Solución:
Al efectuar la división, nos queda
Se aplica la propiedad del logaritmo de un cociente para expresar
como
log(x 2 2 5x 1 14) 5 1
⎛ 3x 2 ⎞
52
⎝ 9 x ⎟⎠
de donde
log ⎜
10 5 x 2 5x 1 14
1
2
o bien
x 2 2 5x 1 4 5 0
de donde
⎛ x⎞
3
log ⎜ ⎟ 5 2
⎝ ⎠
factorizando
(x 2 1)(x 2 4) 5 0
por tanto
de donde
x 2 1 5 0,
1 x1 5 1
x 2 4 5 0,
1 x2 5 4
por tanto; 1 y 4 son los valores que satisfacen la ecuación.
102 5
x
3
de donde
3(102) 5 x
2. Halla el valor de x en:
log(6x 1 5) 2 log3 5 log2 2 logx
esto es
300 5 x
Solución
Al aplicar la propiedad del logaritmo de un cociente
⎛ 6 x1 5 ⎞
⎛ 2⎞
log ⎜
5 log ⎜ ⎟
⎝ x⎠
⎝ 3 ⎟⎠
de donde
6 x1 5 2
5
x
3
4. Halla el valor de x en:
(ln x )3 5 ln x4
Solución:
Se aplica la propiedad del logaritmo de una potencia para expresar como
(ln x )3 5 4 ln x
de donde
(ln x )3 2 4 ln x 5 0
por tanto
x(6x 1 5) 5 2(3)
6x 2 1 5x 5 6
al sacar factor comun
ln x [(ln x )2 2 4] 5 0
6x 2 1 5x 2 6 5 0
157
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
factorizando
Tomando logaritmos en los dos miembros de la ecuación:
log1.338226 5 log (1.06 )n
ln x (ln x 1 2) (ln x 2 2) 5 0
se iguala cada factor con cero
ln x 5 0
ln x 1 2 5 0
ln x 2 2 5 0
de donde:
por tanto
x 5 e0
o bien:
ln x 5 2 2
22
x51
x5e
ln x 5 2
x 5 e2
Ejercicios
log1.338226 5n log (1.06 )
log1.338226
5n
log1.06
0.126529463
5n
0.025305865
55n
El resultado indica que el número que representa al capital se
logra cinco años después de su inversión.
Encuentra el valor de x en:
2. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora, si se inició con 500
al cabo de cuántas horas serán:
log (x 2 1)5 2
a) 4 000
2 log x 5 6 log 2
b) 5 464
log x 1 3 log 2 5 3
De acuerdo con lo expuesto antes, el número de bacterias en un
t
tiempo t está dado por: f ( t )5500(2 ) t en horas.
log (2x 2 3) 5 1 2 log (x 2 2)
a) Cuando el número de bacterias es de 4 000, la expresión anterior nos queda así:
log x 5 log 36 2 2 log 3
log (x 1 2) 1 log (x 2 1) 5 1
4 000 5 500(2 t )
log x 1 log (x 1 15) 5 2
Dividiendo entre 500:
4ln x 5 ln (5x2 2 4)
ln x 5 1 1 3 ln x
8 52t
ln 12 2 ln (x 2 1) 5 ln (x 2 2)
Como 8 5 23 entonces: 23 5 2 t
Por tanto:
1. Si se invierten 5 000 unidades
de dinero al 6% de interés anual
compuesto cada año, ¿al cabo de
cuántos años el capital será de
6 691.13 unidades de dinero?
Solución:
Se puede obtener aplicando logaritmos de la siguiente forma.
En la fórmula:
C n 5(11 i )n
se sustituyen los valores del problema: 6 691.135 5 000(11 .06)n
o sea:
158
t 53
Lo que significa que tres horas después de iniciado el cultivo se
tienen 4 000 bacterias.
Ejemplos
de donde:
4 000 500(2 t )
5
500
500
6691.13
5(1.06 )n
5 000
1.338226 5(1.06 )n
b) De manera semejante, cuando f ( t )55 464 se tiene que:
t
5 464 5 500(2 t ) entre 500: 10.928 5 2 .
Aplicando logaritmos en los dos miembros de la ecuación:
log10.928 5 log 2 t
O bien:
log10.928 5t log 2
De donde:
log10.928
5t
log 2
1.038540686
5t
0.301029995
3.45 5t
O sea que a las 3.45 horas de iniciado el cultivo el número de bacterias
es de 5 464.
Grupo Editorial Patria®
Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 7. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
1. ¿Cuál es el valor del número e aproximado a cinco decimales?
7. ¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función exponencial?
2. En una función exponencial natural, ¿a qué se le llama factor de
decaimiento?
8. ¿En qué tipo de problemas tiene aplicación la función logarítmica?
3. ¿A qué se le llama logaritmo?
9. ¿Cuál es la base en los logaritmos de Briggs? ¿Y en los de Néper?
2
1
4. Si 8 3 5 , ¿cómo se puede expresar la igualdad usando logaritmos? 4
10. Las bacterias de un cultivo se multiplican por cinco cada dos
horas. Si se inicia con 800 bacterias a las 8 de la mañana, el
número de bacterias está dado por:
⎛ 1⎞
f (t )5800⎜ 5 2 ⎟
⎝ ⎠
5. ¿Cómo son el dominio y el rango de una función logarítmica con
respecto a su correspondiente función exponencial?
De donde t es el tiempo en horas. Calcula el número de bacterias
en el cultivo a las 10 y 11 de la mañana y 1 de la tarde.
6. ¿Cómo son entre sí las gráficas de una función exponencial y su
correspondiente función logarítmica con respecto a la gráfica de
la función identidad?
159
7
BLOQUE
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre la vida media de una sustancia radiactiva de la sección “Aplica lo que sabes” de la página
155.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
160
11. Conoce y aplica correctamente el concepto de función exponencial.
12. Establece las relaciones entre los datos del problema.
13. Determina la cantidad de sustancia radiactiva que queda después de
360 días.
14. Comprende el concepto de vida media.
15. Identifica correctamente los datos del problema y los utiliza en el
modelo.
16. Obtiene la cantidad de sustancia radiactiva que queda después de
360 días.
cumple
sí
no
Observaciones
Grupo Editorial Patria®
Rúbrica
Nombre del alumno:
Aspecto a evaluar
Criterios
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Conoce el concepto,
notación y modelo
matemático de función
exponencial.
No conoce el concepto,
notación ni el modelo
matemático de función
exponencial. No
determina su dominio y
rango. No reconoce su
comportamiento gráfico.
Conoce el concepto,
caracterización e
importancia de la función
exponencial natural.
Determina su dominio y
rango.
Conoce el concepto,
caracterización e
importancia de la función
exponencial natural.
No conoce el concepto,
caracterización e
importancia de la función
exponencial natural. No
determina su dominio
ni rango. No puede
determinar el crecimiento o
decaimiento exponencial.
Interpreta algebraica y
gráficamente a la función
logarítmica como inversa de
la función exponencial.
Interpreta algebraicamente
a la función logarítmica
como inversa de la función
exponencial.
Interpreta, de manera
parcial, a la función
logarítmica como inversa de
la función exponencial.
No interpreta algebraica ni
gráficamente a la función
logarítmica como inversa de
la función exponencial.
Propiedades de los
logaritmos
Conoce y aplica las
propiedades operativas
inherentes a la definición de
los logaritmos.
Conoce y aplica por lo
menos cuatro de las cinco
propiedades operativas,
inherentes a la definición de
los logaritmos.
Conoce y aplica por lo
menos tres de las cinco
propiedades operativas,
inherentes a la definición de
los logaritmos.
No conoce ni aplica las
propiedades operativas
inherentes a la definición de
los logaritmos.
Propiedades
y técnicas de
resolución de
ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas
Conoce y aplica las
propiedades y técnicas de
resolución de ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas.
Conoce las propiedades y
técnicas de resolución de
ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Conoce algunas de las
propiedades y técnicas de
resolución de ecuaciones
exponenciales y
logarítmicas.
No conoce ni puede
aplicar las propiedades y
técnicas de resolución de
ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Forma de las
funciones
exponenciales
(crecientes,
decrecientes)
Conoce el concepto,
notación y modelo
matemático de función
exponencial. Determina su
dominio y rango. Reconoce
su comportamiento gráfico.
Conoce el concepto,
notación y modelo
matemático de función
exponencial. Determina su
dominio y rango.
Función exponencial
natural
Conoce el concepto,
caracterización e
importancia de la función
exponencial natural.
Determina su dominio
y rango. Determina el
crecimiento o decaimiento
exponencial.
Interpretación
algebraica y gráfica
de la función
logarítmica
161
Aplicas funciones periódicas
8
B LO Q U E
Objetos de
aprendizaje
8.1 Funciones trigonométricas
(seno y coseno)
8.2 Formas senoidales
8.3 Funciones circulares:
seno y coseno
8.4 Caracteristicas de las
funciones periódicas:
amplitud, frecuencia y
periodo
8.5 Representación gráfica de
funciones trigonométricas
Competencias a desarrollar
„
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los
objetivos que persigue.
„
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
„
„
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
„
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
„
„
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales
„
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
„
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el
uso de las tecnologías de la información y comunicación.
¿Qué sabes hacer ahora?
Traza la gráfica de la ecuación dada en el 2 2p # x # 2p
y 5 sen x
1.
y 5 2 sen x
2.
1
y 5 sen x
2
3.
y 5 cos x
4.
1
y 52 cos x
2
5.
Desempeños por alcanzar
„
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural
para determinar o estimar su comportamiento.
Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las
funciones circulares seno y coseno.
„
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Argumenta la elección de una de las dos formas senoidales para modelar una
situación o fenómeno específico.
„
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos
y científicos.
Obtiene la amplitud y el periodo para graficar una función senoidal.
Describe la relación entre periodo y frecuencia.
Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden
representarse mediante funciones senoidales.
BLOQUE
8
Aplicas funciones periódicas
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
Explica por qué si la función cos t tiene un periodo 2p, la cos 2t
tiene un periodo p.
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las opciones
de resolver el problema.
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que investigó, registró y
calculó para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos
utilizados en la solución del problema. Es preciso confrontar los
datos obtenidos de los cálculos para hacer las rectificaciones necesarias.
¿Cómo son las gráficas de las funciones seno y coseno?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación de las actividades
señaladas en la secuencia didáctica, esto con el propósito de hacerse responsables de su proceso de aprendizaje.
¿Cuáles son los elementos de la función seno y la función coseno?
Evaluación por producto
¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva
seno y la del coseno?
Con el fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara.
¿Cómo se determina el periodo de la función coseno?
En este ejemplo:
¿Por qué son diferentes los periodos de las funciones cos t y cos 2t?
Producto a elaborar
Trabajo individual
Deben presentar la evidencia de lo realizado para tener su evaluación.
Cada equipo debe investigar:
Cada alumno debe hacer un registro de lo investigado y realizar los
cálculos necesarios.
Rúbrica
Para determinar los periodos que son requeridos, se debe anexar
los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tendrán
un valor de 5 puntos y se calificará en base con el material utilizado,
la originalidad de su presentación, esfuerzo realizado, forma, fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito
tendrá un valor de 3 puntos y la presentación en clase será de 2 puntos de tu calificación en la actividad. Todo sumará 10 puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.
164
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Grupo Editorial Patria®
Situación didáctica
¿Cómo lo resolverías?
p⎞
⎛
Explica por qué la grafica de la función y 5 2 sen ⎜ 2 x 1 ⎟ 1 2 está desplazada verticalmente hacia arriba.
⎝
2⎠
Secuencia didáctica
Forma equipos para resolver el problema.
Que cada uno represente mediante dibujos las condiciones del
problema.
Presenta los resultados en plenaria y analiza en grupo las alternativas para resolver el problema.
¿Qué tienes que hacer?
Cada integrante del equipo aportará lo que investigó, registró y
calculó para que el grupo compare y seleccione los conceptos teóricos utilizados para resolver el problema. Es necesario confrontar
los datos obtenidos en los cálculos para hacer las rectificaciones
necesarias.
¿Cómo es la gráfica de la función seno?
Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación de las actividades
señaladas en la secuencia didáctica, esto con el propósito de hacerse responsables de su proceso de aprendizaje.
¿Cuáles son los elementos de la función seno?
Evaluación por producto
¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva
seno?
Con el fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera clara.
¿Cómo se determina la fase de la función coseno?
En este ejemplo:
¿Por qué son diferentes las gráficas de las funciones y 5sen x
p⎞
⎛
y 5 2 sen ⎜ 2 x 1 ⎟ 1 2.
⎝
2⎠
Producto a elaborar
Cada equipo debe investigar:
Presentar la evidencia de lo realizado para su evaluación.
Trabajo individual
Cada participante debe registrar lo investigado y realizar los cálculos necesarios.
Rúbrica
¿Cómo sabes que lo hiciste bien?
Para determinar la fase y desplazamiento que se piden deben
anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos
tendrán un valor de 5 puntos y se calificarán con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, esfuerzo realizado,
forma, fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento
por escrito tendrá un valor de 3 puntos y la presentación en clase,
será de 2 puntos de tu calificación en la actividad. Todo sumará 10
puntos.
Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación mensual.
165
BLOQUE
8
Aplicas funciones periódicas
Propuestas de diseño para
situaciones didácticas
Traza la gráfica de la ecuación dada en el intervalo que se indica.
p
1. y 5 sen 4 x ; ⎡⎢ 0 , ⎤⎥
⎣ 2⎦
2. y 5 2 sen 2 x ;[0 , p]
Problemas
Un naturalista encuentra que la población de algunas especies animales varía periódicamente a través del tiempo; sus registros comienzan a partir de t50 años, cuando el tiempo es t52.9 años,
la población de lobos es mínima y de 200 ejemplares, después encuentra el máximo cuando t55.1 años y la población de lobos es
de 800 ejemplares.
11
p
sen 8 x ; ⎡⎢ 0 , ⎤⎥
9
⎣ 4⎦
3
4. y 5 sen 5 x ;[0 , p]
5
5. y 52 2 sen x ;[0 , p]
3. y 5
6. y 53sen 2 x ;[0 , 2p]
1 1
7. y 52 cos x ;[0 , 6p]
2 3
1
8. y 5 2 cos x ;[0 , 4 p]
2
9. y 5 7 cos3x ;[0 , 2p]
10. y 52 2 cos3x ;[0 , 2p]
Determina el periodo, amplitud y frecuencia de las siguientes funciones y grafícalas teniendo en cuenta la fase.
3
p
1. y 5 sen 4 x 1
2
8
7 ⎛
p⎞
2. y 5 cos ⎜ x 1 ⎟
⎝
2
2⎠
p⎞
⎛
3. y 5 5 sen ⎜ x 2 ⎟
⎝
2⎠
1
p
4. y 5 cos3x 1
2
6
1
1
⎛
⎞
5. y 5 cos ⎜ x 1p⎟
⎠
4 ⎝2
3p ⎞
⎛1
6. y 5 5 cos ⎜ x 2 ⎟
⎝8
2 ⎠
3
π
7. y 53 cos x 1
4
8
p⎞
⎛
8. y 5 4 sen ⎜ 5 x 1 ⎟
⎝
4⎠
1
9. y 5 2 sen x 1 2p
2
9 ⎛1
3p ⎞
10. y 5 cos ⎜ x 1 ⎟
⎝
5
3
4 ⎠
166
Suponiendo que la población puede representarse como una función senoidal.
a) Elabora un bosquejo de la gráfica.
b) Escribe una ecuación que exprese el número de lobos en
función del tiempo.
c) Los lobos se consideran en peligro cuando su población es
menor a 300 ejemplares. ¿Cuáles serán los valores de t cuando se detecta esta situación?
Durante muchos años los astrónomos han contabilizado con particular interés el número de manchas solares que se presentan en la
superficie del sol; éste varía entre un mínimo de 10 hasta un máximo de 110 por año. Entre los máximos de la medición que ocurrieron en los años de 1750 y 1948 existieron 18 ciclos completos.
a) Supón que el número de manchas solares varía de forma cosenoidal a lo largo de los años, bosqueja una gráfica de tres
ciclos comenzando en 1948.
b) ¿Cuál es el periodo de las manchas solares?
c) Escribe una ecuación que exprese el número de manchas
solares en términos del tiempo.
d) ¿Cuántas manchas solares se esperan en el año 2015?
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Con números se puede demostrar cualquier cosa.
y
Thomas Carlyle
1
P(t)
x
0
–1
0
Introducción
En este bloque se estudian las funciones periódicas senoidales, representándolas gráficamente. Se determinan sus características y
elementos principales, además de aplicarlas en algunos fenómenos
de la vida cotidiana.
8.1 Funciones trigonométricas
(seno y coseno)
Existen fenómenos como las mareas que tienen un comportamiento que se explica a partir de las funciones trigonométricas
senoidales.
Las gráficas de las funciones seno y coseno corresponden entre
sí a partir de un desfasamiento que se puede observar a partir del
círculo trigonométrico.
–1
Figura 8.1
Actividad de aprendizaje
¿En qué fenómenos de la vida cotidiana encuentran su aplicación las
funciones periódicas?
v
p
1
u
8.2 Formas senoidales
Funciones periódicas
En sus inicios la trigonometría se utilizó para resolver triángulos.
Posteriormente se observó que algunos fenómenos como las ondas de luz o sonido se repetían en intervalos regulares como las gráficas de las funciones trigonométricas. Este hecho se utilizó para
explicar fenómenos repetitivos como fases lunares y latidos cardiacos, también se utiliza en la electricidad y electrónica.
1
y
0
2p 0
–1
0.5p
p
1.5p
x
2p
Figura 8.2
Las funciones seno y coseno son ejemplos de funciones periódicas
con 2p. Éstas se aplican para resolver problemas con fenómenos
como la respiración, el comportamiento de la marea, la corriente
alterna, vibraciones mecánicas, etcétera.
Un círculo de radio unitario (r 5 1) y centro en el origen tiene por
ecuación x2 1 y2 5 1 y corta al eje x en los puntos (21, 0)(1, 0) . El
punto (1, 0) es el punto inicial para determinar las distancias en la circunferencia. Recuerda que la circunferencia tiene una longitud 2p .
Si consideramos un punto P(t ) sobre el círculo unitario sus
coordenadas rectangulares serán ( x , y) y las polares serán
(cos(t ), sen(t )) donde sus signos serán positivos o negativos según el cuadrante donde se encuentre P(t ).
167
BLOQUE
8
Aplicas funciones periódicas
8.3 Funciones circulares: seno y coseno
En las aplicaciones de las gráficas de las funciones seno y coseno lo que interesa son las funciones circulares de números por lo que para aplicar
las variables ordinarias se les representa como y 5 sen ( x ) y y 5 cos( x ).
Donde x representa un número que por lo general es medido en radianes.
La gráfica de la función seno se limitará al intervalo x 5 0 a x 5 2p ya que después o antes de este intervalo los valores se repiten.
x (grados)
0
30
45
60
90
120
135
150
x (radianes)
0
y 5 sen (x)
p
p
p
p
2p
3p
5p
6
4
3
2
3
4
6
0
0.5
0.707
0.866
1
0.866
0.707
0.5
0
x (grados)
180
210
225
240
270
800
315
330
360
x (radianes)
p
7p
5p
4p
3p
5p
7p
11p
6
4
3
2
3
4
6
y 5 sen (x)
0
20.5
20.707 20.866
21
20.866 20.707
20.5
180
p
2p
20
y
1
x
0
0
p
—
2
p
3p
—
2
2p
–1
Figura 8.3
Actividad de aprendizaje
Para tu reflexión
¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva
seno?
Christian Johann Doppler (1803–1853)
¿Cuáles son las características principales de un ciclo de la curva coseno?
168
Eminente físico austriaco que descubrió el efecto doppler el cual explica los cambios en la frecuencia de las ondas acústicas y sonoras a
causa del movimiento. Realizó sus estudios en Europa, hacia 1835,
después de múltiples negativas para otorgarle el puesto de profesor
en alguna de las instituciones educativas, decidió probar suerte en
Estados Unidos; sin embargo, en el último momento fue aceptado para
trabajar como catedrático de matemáticas en un liceo de Praga, lo que
cambió sus planes de emigración.
Grupo Editorial Patria®
Este científico adquirió su mayor fama por una serie de investigaciones conocidas con el nombre de efecto doppler; en ellas analizó las
variaciones en la frecuencia de las ondas acústicas y luminosas por
efecto del movimiento. Él descubrió que si la fuente que produce una
onda sonora se aproxima a un observador en reposo el tono se hará
más agudo, es decir, la frecuencia aumentará y cuando se aleja la
frecuencia disminuirá y el sonido se hará más grave. Señaló también al
igual que el sonido el color de una luz
proveniente de una estrella también
debería cambiar de acuerdo a la velocidad relativa de la estrella con respecto a la Tierra. En 1842 estableció
una relación matemática al relacionar
el tono al movimiento relativo del origen y oyente.
Esta última teoría quedó incompleta,
más fue retomada por el físico francés
Fizeau e influyó enormemente en los
estudios astronómicos.
4
y
3
2
1
0
–1
0 0.25 p 0.5 p 0.75 p
p 1.25 p 1.5 p 1.75 p 2 p
x
–2
–3
–4
Figura 8.4
En los dos ejemplos anteriores pudimos observar que la gráfica se
repite a intervalos 2p, por lo que se dice que son funciones periódicas.
8.4 Características de las
funciones periódicas: amplitud,
frecuencia y periodo
Actividad de aprendizaje
En una función senoidal, ¿qué indica la amplitud, periodo, frecuencia
y fase?
La amplitud A se define como la mitad de la diferencia entre los
valores máximo y mínimo de una función periódica.
Para y 5sen x el valor máximo es 1 y el valor 21, la diferencia entre el máximo y el mínimo será 2 dado 12(21)5 2, por tanto la
2
amplitud de y 5sen ( x ) es A5 51.
2
Analicemos el comportamiento de y 54 sen ( x ), como ya conocemos el comportamiento de esta curva en el intervalo x 5 0
x 5 a 2p utilizaremos siete puntos para hacer un bosquejo de la
gráfica.
x (grados)
0
45
90
135
x (radianes)
0
y 5 sen (x )
y 5 4 sen (x )
180
p
p
3p
4
2
4
0
0.707
1
0.707
0
0
2.828
4
2.828
0
p
270
3p
360
Función periódica
Dada una función f ( x ) se dice que es periódica si cumple:
2p
f ( x )5 f ( x 1T )
21
0
24
0
Para todos los valores de x, entonces decimos que la función periódica f ( x ) tiene un periodo T, es decir, cada que la función cumple
un ciclo termina un periodo y comienza uno nuevo.
2
En color rojo se muestra la gráfica de y 5sen ( x ) y en azul
y 54 sen ( x ) en la gráfica podemos observar el efecto de multiplicar la función y 5sen ( x ) por cuatro, donde la amplitud A es A .
Al recíproco del periodo se le conoce como frecuencia:
1
1
f 5 ⇔T 5
T
f
169
BLOQUE
8
Aplicas funciones periódicas
Ejemplo
Bosqueja la gráfica de y 5 sen 2x.
Procederemos de manera semejante a los ejemplos anteriores.
x
0
2x
0
y 5 sen (2x )
0
1
p
p
3p
p
5p
3p
7p
8
4
8
2
8
4
8
p
p
3p
5p
3p
7p
4
2
4
4
2
4
0.707
1
0.707
20.707
21
20.707
p
0.707
p
2p
0
y
0.5
x
0
0
0.25 p
0.5 p
0.75 p
p
1.25 p
1.5 p
1.75 p
2p
–0.5
–1
Figura 8.5
En rojo podemos ver la gráfica y 5sen ( x ), en azul la de y 5sen (2 x ).
Actividad de aprendizaje
¿Qué ocurre con la gráfica de la función seno cuando se modifica su
argumento?
literalmente retrocede y después de unos cuantos minutos regresa de
forma violenta hacia la tierra formando grandes olas que invaden la
costa. Como el agua retrocede a un nivel menor del normal y posteriormente regresa con un nivel mayor, al fenómeno puede modelarse
como una función senoidal.
Si suponemos que un maremoto
tiene una amplitud de 15 metros, un
periodo de 20 minutos y que el nivel
normal del agua es de 10 metros.
Aplica lo que sabes
1. Encuentra una ecuación para
describir el fenómeno.
2. ¿Qué altura tiene el agua?, en
Un tsunami o maremoto es un fenómeno causado por un terremoto
submarino, cuando se presenta un maremoto se puede ver que el mar
170
a ) 3 minutos
b ) 9 minutos
c ) 15 minutos
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8.5 Representación gráfica de
funciones trigonométricas
Gráfica de la función coseno
Actividad de aprendizaje
p
Cuando la gráfica de la función coseno se desplaza (90°), ¿qué
2
ocurre con respecto a la gráfica del seno?
Para construir la gráfica de la función coseno utilizaremos el mismo procedimiento para la función seno y compararemos las dos
gráficas.
p
p
3p
x
0
y 5 sen (x )
0
1
0
21
0
y 5 cos (x )
1
0
21
0
1
2
2
2p
Donde y está expresada en metros y el tiempo t expresado en horas.
y
Encuentra
1
1. La amplitud, el periodo y frecuencia.
2. Determina la fase de la función.
0.5
0
En ciertas condiciones la altura de la marea sobre su nivel medio
está dada por
p⎞
⎛ 9
y 53.2 sen ⎜ t 1 ⎟
⎝ 20
2⎠
0 0.25 p 0.5 p 0.75 p
p
x
1.25 p 1.5 p 1.75 p 2 p
3. ¿De qué otra manera podemos expresar a y?
4. ¿Qué altura tiene la marea?
–0.5
a) 0.3 horas
–1
c) 3.4 horas
b) 0.5 horas
d) Dibuja dos periodos de y.
Figura 8.6
La gráfica de la función y 5cos( x ) se muestra en color rojo, la
de la función y 5sen( x ) en color azul. Nota que la gráfica del
coseno es muy parecida a la del seno, de hecho, si recorres hacia
la derecha (o izquierda) la gráfica de la función coseno verás que
coincide con la del seno.
Estas traslaciones o corrimientos sobre el eje x reciben el nombre
de desfasamientos, por lo que podemos decir que la función cosep
no está desfasada (90°) respecto a la del seno.
2
Matemáticamente lo podemos representar así:
p ⎫
⎧
cos⎪ x 6
⎪ 5 sen (x)
⎩
2 ⎭
Gráfica de una función senoidal
La fase o corrimiento horizontal se representa con la w; además del
anterior existe el corrimiento vertical, por lo que de forma general
podemos expresar las funciones senoidales como:
y 5 A sen( Bx 1ϕ )1 D
y 5 A cos( Bx 1ϕ )1 D
Donde
A 5 Amplitud.
B 5 Factor de escalamiento del ángulo, que está relacio-
nado a la frecuencia.
w 5 Fase o desplazamiento horizontal.
D 5 Desplazamiento vertical.
171
BLOQUE
8
Aplicas funciones periódicas
Ejemplo
Actividad de aprendizaje
⎛
⎝
Elabora un bosquejo de la siguiente función y 5 2 sen ⎜ 2 x 1
en el intervalo x5
p⎞
⎟ 12
2⎠
p
5p
hasta x5
; identifica la amplitud, la fase y
2
2
A partir de la inspección de la expresión algebraica de una función
senoidal, ¿cómo se determina si la grafica tiene un desplazamiento
horizontal o vertical?
determina tanto su periodo como frecuencia.
Ahora identificaremos los elementos de la función. Por inspección de-
p
y además la
2
terminamos que la amplitud es 2, el desfasamiento
función se recorre dos unidades verticalmente hacia arriba.
Para determinar el periodo de la función hacemos lo siguiente:
Sabemos que las funciones seno y coseno tienen un periodo T 5 2p, pero
⎛
⎝
no podemos decir lo mismo de la función y 5 2 sen ⎜ 2 x 1
p⎞
⎟ 12 .
2⎠
sen(x )
T 5 2p
sen( 2 x)
T 2p
T 95 5 5p
2
2
Entonces el periodo de la función p por tanto, la frecuencia será
1 1
f5 5 .
T p
Problema de aplicación (movimiento
armónico simple)
Un objeto está colgado de un resorte, si se le jala hacia abajo 20 cm
y luego se suelta empezará a oscilar; considera que cuando está en
reposo el tiempo es igual a (t 50).
Si el objeto completa una oscilación en 0.4 segundos.
a) Encuentra la amplitud, el periodo, frecuencia y velocidad
angular.
b) Da una ecuación que describa el comportamiento del objeto, debes suponer que una vez iniciado el movimiento no
hay ninguna fuerza que se le oponga.
Sabemos que la amplitud es A520 cm y que el T 5 0.4s.
1 1
Como sabemos f 5 5 5 2.5 , entonces decimos que la freT 0.4
cuencia de oscilación es de 2.5 ciclos por segundo.
Por último, la gráfica de la función es:
La velocidad angular ω se define como ω 5 2pf y es una medida
de velocidad de rotación que nos indica la cantidad del ángulo que
avanza por unidad de tiempo.
y
3.5
Entonces
3
2.5
ω 52p( 2.5 )55p
2
1.5
1
0.5
0
0 0.25 p 0.5 p 0.75 p p
Figura 8.7
172
x
1.25 p 1.5 p 1.75 p 2 p 2.25 p 2.5 p
rad
s
Ya que tenemos todos los elementos necesarios escribimos la función que describe el movimiento del objeto de la siguiente manera:
y 5 20 sen(5pt )
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Instrumentos de evaluación
Apellido paterno
Apellido materno
Nombre
Grupo
Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 8. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.
Determina el periodo, amplitud y frecuencia de las siguientes funciones, además grafícalas teniendo en cuenta la fase.
1.
y 53 cos px
2.
y 5 sen
⎛
⎝
5p ⎞
⎟
3 ⎠
⎧
⎩
3p ⎫
⎪
4 ⎭
4. y 5 2 cos ⎜ 2 x 2
px
3
7
4
5. y 5 sen⎪3x 2
⎛ px p ⎞
1 ⎟
⎝ 2
6⎠
3. y 5 2 cos ⎜
Rúbrica
Nombre del alumno:
Excelente
(4)
Bueno
(3)
Funciones senoidales
Conoce y aplica el concepto
de funciones periódicas.
Representa las gráficas de
las funciones seno y coseno.
La amplitud, el
periodo, la frecuencia
y la fase de una
función senoidal
Gráfica de una
función senoidal
Aspecto a evaluar
Criterios
Regular
(2)
Deficiente
(1)
Conoce y aplica el concepto
de funciones periódicas.
Representa la gráfica de la
función seno.
Conoce y aplica el concepto
de funciones periódicas.
No conoce ni aplica el
concepto de funciones
periódicas. No sabe
representar las gráficas de
las funciones seno y coseno.
Determina la amplitud,
el periodo, la frecuencia
y la fase de una función
senoidal.
Determina la amplitud, el
periodo, la frecuencia de
una función senoidal.
Determina la amplitud y
el periodo de una función
senoidal.
No sabe determinar la
amplitud, el periodo,
la frecuencia ni la fase de
una función senoidal.
Identifica en una función
senoidal, su amplitud, su
factor de escalamiento,
su fase o desplazamiento
horizontal y su
desplazamiento vertical.
Elabora un bosquejo de
la gráfica de una función
senoidal.
Identifica en una función
senoidal, su amplitud, su
factor de escalamiento,
su fase o desplazamiento
horizontal y su
desplazamiento vertical.
Elabora, de manera parcial,
un bosquejo de la gráfica de
una función senoidal.
Identifica en una función
senoidal, su amplitud, su
factor de escalamiento,
su fase o desplazamiento
horizontal y su
desplazamiento vertical.
No puede identificar en
una función senoidal, su
amplitud, su factor de
escalamiento, su fase o
desplazamiento horizontal
ni su desplazamiento
vertical. No sabe elaborar
un bosquejo de la gráfica de
una función senoidal.
173
BLOQUE
8
Aplicas funciones periódicas
Lista de cotejo
Lista de cotejo para el reporte sobre un tsunami o maremoto de la sección “Aplica lo que sabes” de la página 170.
Nombre del alumno:
Presentación
Criterio
1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que
se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su
matrícula.
2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.
3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.
4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.
5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado
de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o
las condiciones del problema.
6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o
solución que se pide con la justificación correspondiente.
Desarrollo
7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.
8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar
la argumentación del escrito.
9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o
conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones
realizadas.
Conclusiones
Dominio del
tema
10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas
actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información
sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser
breves y con la referencia de la fuente.
174
11. Conoce el concepto de función senoidal.
12. Aplica la función senoidal con distintos valores de sus elementos de
acuerdo al problema.
13. Obtiene un modelo del comportamiento de un tsunami.
14. Representa gráficamente una función senoidal con sus elementos.
15. Representa gráficamente funciones senoidales en las que varían
los valores de sus elementos.
16. Propone un modelo de comportamiento de un tsunami.
cumple
sí
no
Observaciones
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Glosario
Función. Regla de correspondencia que asocia a cada elemento de
un conjunto con uno y sólo un elemento de otro conjunto.
Asíntota horizontal. Es una recta horizontal a la que se aproxima
la gráfica de la ecuación, pero sin llegar a tocarla.
Asíntota oblicua. En una función racional, cuando el grado del
numerador es mayor en 1 que el grado del denominador, entonces
la gráfica tiene una asíntota oblicua, es decir, una asíntota que no
es horizontal ni vertical.
Asíntota vertical. Es una recta vertical a la que se aproxima la gráfica de una ecuación, pero sin tocarla.
Cero de una función. En los puntos de intersección de la gráfica
con el eje x la ordenada es cero y corresponden a las raíces o soluciones reales de una ecuación a los que también se les llama ceros
de la función.
Ceros y raíces complejas. Cuando la gráfica de la función no interseca al eje x se obtienen raíces que no son reales sino complejas.
Ceros y raíces reales. Los puntos de intersección de la gráfica de
la función con el eje x son los ceros o raíces reales de la función.
Codominio. Conjunto que contiene a los segundos componentes
de los pares ordenados de una relación.
Constante. Símbolo al que sólo se puede asignar un valor.
Contradominio. Conjunto que contiene a los segundos componentes de las pares ordenadas de una relación. También se le llama
codominio.
División sintética. La división se puede efectuar con mayor rapidez mediante un proceso abreviado que se conoce como división
sintética
Dominio. Conjunto que contiene al primer componente de los
pares ordenados de una relación.
Ecuación. Igualdad que contiene uno o más números indeterminados.
Función. Relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio.
Función algebraica. Aquella cuyo valor se puede obtener mediante un número finito de operaciones algebraicas.
Función constante. Conjunto de pares ordenados del plano, donde su primera componente es un número real y su segunda componente es el valor constante.
Función exponencial. Es una función real, no algebraica sino trascendente.
Función exponencial natural. La función exponencial que tiene
como base al número e.
Función idéntica. Conjunto de pares ordenados del plano, donde
su primera y segunda componente son el mismo número real.
Función inversa de otra. Tienen como características que las dos
son biyectivas y sus respectivas gráficas son una el reflejo de la otra
con respecto a la función identidad.
Función logarítmica. Es inversa de la función exponencial.
Función máximo entero. Esta función asigna a cada número real
x el mayor entero que sea menor que o igual a x.
Función valor absoluto. Conjunto de pares ordenados en los
cuales la primera componente es un número real y la segunda
componente es el valor absoluto de la primera.
Grado de un término en un polinomio. Lo determina el grado
de x en dicho término.
Imagen. Elemento del codominio que corresponde a un elemento
del dominio de una relación.
Intersecciones con los ejes. Para el trazo de una gráfica, interesa
saber en qué puntos es tangente o interseca a los ejes. Esos puntos
se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones formado por la
ecuación dada y la ecuación del eje.
175
Glosario
Números complejos. Un número complejo es de la forma a 1 bi,
donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.
Números reales. Conjunto de los números decimales.
Prueba de la horizontal. Consiste en trazar rectas paralelas al eje x
y si alguna de ellas interseca a la gráfica de la función en dos puntos
entonces la función no es inyectiva.
Raíz de multiplicidad. Cuando un factor ocurre m veces, a la raíz
correspondiente se le llama raíz de multiplicidad m.
Raíz o solución de la ecuación. Cuando f (x) 5 0 se tiene una
ecuación polinomial de grado n. Un valor de x que satisface la ecuación recibe el nombre de raíz o solución de la ecuación, también
se dice que es un cero del polinomio.
Rango. Conjunto de imágenes o dominio de imágenes.
en la ecuación y si ésta no cambia entonces su gráfica es simétrica
con respecto al eje x. De manera similar, si al sustituir x por –x en
la ecuación, ésta no cambia, entonces su gráfica es simétrica con
respecto al eje y.
Teorema del factor. Si r es una raíz de la ecuación polinomial
f (x) 5 0, es decir, f (r) 5 0, entonces x – r es un factor de f (x).
Recíprocamente, si x – r es un factor de la ecuación polinomial
f (x) 5 0, entonces r es una raíz de la ecuación, o sea que f (r) 5 0.
Teorema del residuo. Si r es una constante y se divide la función
polinomial f entre x – r el residuo que se obtiene es f (r).
Teorema fundamental del álgebra. Toda ecuación polinomial de
grado n $ 1 tiene al menos una raíz, real o compleja.
Término de mayor grado. Es el que determina el grado del polinomio.
Simetría con respecto al origen. Dos puntos P1 y P2 son simétricos con respecto al origen cuando se encuentran a la misma distancia de éste, dicho de otra forma, cuando el origen es el punto medio
del segmento que determinan P1 y P2.
Término que no contiene a x en un polinomio. Es un término
de grado 0 y se llama término independiente o término constante.
Simetrías con respecto a los ejes. Para saber si la gráfica de una
ecuación es simétrica con respecto al eje x se sustituye y por –y
Variación inversa. Una variable y varía en relación inversa con una
k
variable x, si y 5 , en donde k es una constante diferente de cero.
x
176
Variable. Símbolo que representa a un conjunto de valores.
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Bibliografía
Barnett, Raymond A., Michael R. Ziegler y Kart E. Byleen, Precálculo, funciones y gráficas, McGraw-Hill, México,
2000.
Britton, Jack R. e Ignacio Bello, Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1986.
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Vínculos en Internet
http://mathworld.wolfram.com/--> recursos de todas las áreas de la matemática (inglés)
http://demonstrations.wolfram.com/--> demostraciones matemáticas (animaciones) en
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http://www.mathworks.es/ --> sitio de matlab en español
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