Marta Riveros 0 Grecia Galvez o Silvia Navarro o Pierina Zanocco Programa de Mejoramiento de la Calidad en Escuelas Básicas de Sectores Pobres Ministerio de Educación cO MINISTERIO DE EDUCACIÓN N2 I NSCRIPCIÓN 95.357 ELABORADO POR: MARTA RIVEROS GRECIA GÁLVEZ SI LVIA NAVARRO PIERINA ZANOCCO COORDINACIÓN DE LA PUBLICACIÓN: CARLOS ALVAREZ VIERA DISEÑO MIGUEL MARFÁN I MPRESIÓN: EDITORA E IMPRENTA MAYAL LTDA. SANTIAGO, MARZO 1998 O/C 11243 INTR0DUCCION Cálculo mental es cálculo real, decían los antiguos maestros para significar que por este medio el alumno llega a tener la realeza del espíritu. Más allá de la mecánica aparente que hay en el cálculo es posible encontrar en éste una auténtica actividad matemática. Esta especie de gimnasia intelectual obliga a movilizar los conocimientos sobre la naturaleza de los números, sobre el sistema de numeración decimal y sobre las operaciones y sus propiedades. Dado que la capacidad de la memoria es limitada, el cálculo mental obliga a acudir a conocimientos que permitan simplificar los cálculos, minimizando la cantidad de datos que hay que relacionar. Cuando los alumnos calculan en forma mental suelen utilizar procedimientos distintos de los aprendidos para el cálculo escrito, y ponen en juego sus concepciones sobre los números, la numeración decimal y las propiedades de las operaciones. La práctica del cálculo mental puede servir para diagnosticar qué concepciones y representaciones tienen los alumnos de los números y de las operaciones. Permite, además, actuar sobre esas concepciones y representaciones enriqueciéndolas, diversificándolas y ampliando su dominio de disponibilidad. En el cálculo es necesario conjugar corrección y rapidez, y eso se puede alcanzar de muchas maneras; por eso, en esta actividad, tanto profesores como alumnos pueden buscar nuevas formas para resolver ejercicios sin equivocarse y para hacerlos lo más rápido posible. Podemos distinguir el cálculo exacto y el cálculo aproximado o redondeado. El cálculo exacto es la búsqueda del resultado de un ejercicio operatorio empleando procedimientos matemáticamente válidos; puede hacerse en forma escrita, oralmente o apoyado por una calcul adora. El cálculo aproximado consiste en buscar un intervalo en el cual se encuentra el resultado del ejercicio que se nos plantea o un solo valor, aproximado. Con gran frecuencia en la vida diaria se usa el cálculo mental aproximado, cuando no es necesario hacer uso del calculo escrito, cuando no estamos en condiciones de efectuarlo o para controlar los cálculos hechos mediante procedimientos escritos o con calculadora. El aprendizaje del cálculo tiene como propósito lograr que los alumnos dispongan de diferentes maneras de hacer cálculos confiables y rápidos, cuenten con un repertorio de procedimientos de cálculo y usen los que resulten apropiados a los números con que tienen que operar, a la relación entre éstos y a la precisión del resultado que demande la situación en la que surgió la necesidad de este cálculo. Para determinados números y situaciones conviene usar cálculo mental aproximado, ya sea redondeando o determinando un interval o. Para otros números y situaciones, que requieren un resultado exacto, es preferible usar cálculo escrito, o calculadora. En el proceso de enseñanza del cálculo es conveniente que el profesor o profesora: • plantee un conjunto de ejercicios relacionados o una situación con variaciones de los datos numéricos, variaciones graduadas de acuerdo a su complejidad, • dé tiempo a los alumnos para que piensen los ejercicios y l uego respondan, a fin de permitir que vayan elaborando procedimientos de cálculo, que luego utilizarán con mayor rapidez, • solicite a los alumnos que compartan con sus compañeros los procedimientos que usan para llegar a los resultados, • analice con los alumnos los procedimientos utilizados, para encauzarlos a que adopten aquéllos que les resulten más prácticos. Esto no significa necesariamente que todos los niños llegarán a utilizar los mismos procedimientos; cada niño adoptará finalmente los que resulten más fáciles de comprender y de aplicar. Es tan importante que los alumnos obtengan resultados correctos, como que reflexionen sobre la manera cómo los han encontrado. El conocimiento, por parte del profesor, de los procedimientos que emplean los alumnos, le permitirá actuar de manera que favorezca la evolución de los procedimientos usados, hacia otros cada vez más potentes, o más sofisticados. Cómo organizar actividades de cálculo mental Es importante motivar a los alumnos para que sientan el desafío de este aprendizaje como propio y acordar con ellos un plan de trabajo para lograrlo. Es necesario enfatizar la situación de aprendizaje, evitar que los niños sientan la actividad como un interrogatorio que busca someterlos a prueba; más bien deben vivirla como una actividad de búsqueda de formas de calcular con exactitud y rapidez, donde los errores no son sancionados porque se considera interesante analizarlos, para lograr aprender. Conviene trabajar las actividades de cálculo mental con una frecuencia establecida, acordada con los alumnos, para lograr establecer un espacio más institucionalizado para el desarrollo de este tipo de habilidad. Por ejemplo, durante los 10 minutos iniciales de la clase de matemática, tres días a la semana. Las actividades deben ser planificadas previamente; en general, no es fácil plantear conjuntos de ejercicios de cálculo mental que resulten interesantes para los alumnos y útiles para generar estrategias de cálculo. Le sugerimos escoger algunas de las actividades propuestas en esta Guía, analizarlas y hacer las adaptaciones que considere pertinentes antes de plantearlas a sus alumnos. Independientemente del curso en que se esté trabajando, conviene comenzar con actividades del Nivel I; si éstas son realizadas con facilidad por los alumnos, seleccionar actividades más exigentes, de Nivel II. En un primer momento, es importante darles tiempo a los alumnos para que piensen tranquilos, prestar atención a las reacciones de los niños para animarlos, para darles apoyo, si lo requieren. Es importante que ellos descubran relaciones entre los ejercicios que se les proponen, que visualicen alguna estrategia de cálculo, etc. Es necesario permitirles que se equivoquen y hacer preguntas para que ellos mismos se corrijan; además, las interacciones entre los alumnos les permiten sacar provecho de sus equivocaciones. Al inicio de cada actividad de cálculo mental, es recomendable indicar el turno en que los niños deberán participar; así, ellos se podrán ir preparando para responder. No hay que olvidar lo efectivo que resulta gratificar las buenas respuestas de los alumnos, especialmente las de aquéllos que tienen dificultad y lo valioso que es hacerles tomar conciencia de lo mucho que se puede aprender, a partir de los errores. En un segundo momento, es necesario practicar lo descubierto, afianzar la estrategia para llegar a dominarla, de manera que los alumnos puedan anotar abreviadamente lo descubierto en los ejercicios, para recordarlo cuando sea necesario. Conviene reiterar este ciclo de momentos, para cada tipo de actividad. Sólo cuando el tipo de ejercicio que se ha estado trabajando se considere comprendido y dominado por la mayoría de los alumnos del curso, es adecuado plantear una nueva actividad. ACTIVIDADES DE NIVEL 1 Nivel I 1. Tilín de uno en uno para adelante y Tilón de uno en uno para atrás. Contar, en orden creciente y decreciente, de uno en uno. 2. Tilín y Tilón cuentan de dos en dos. Contar, en orden creciente y decreciente, de dos en dos 3. Tilín tiene lo mismo que Tilón Calcular el doble de los números del 1 al 9 4. Tilín y Tilán juntan fichas sin parar Calcular el resultado de combinaciones aditivas básicas 5. Tilín se pone el sombrero sumador. Manejar las combinaciones aditivas básicas. 6. Tilín y Tilón saltan de a diez. Contar, en orden creciente y decreciente, de diez en diez, a partir de un múltiplo de diez 7. Tilín junta primero diez. Usar, para el cálculo de ejercicios de adición, las combinaciones de sumandos que dan diez. 8. Tilín y Tilón van de cinco en cinco. Contar, en orden creciente y decreciente, de cinco en cinco, a partir de un número múltiplo de cinco 9. Tilín avanza, siempre a partir del mismo lugar. Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales se mantiene constante uno de los sumandos 1 0. Tilín agrega uno y Tilón agrega uno. Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales se agrega o quita la misma cantidad a ambos sumandos. 11. Tilín va hacia adelante y Tilán hacia atrás. Calcular con rapidez ejercicios de adición y sustracción donde se presentan como operaciones inversas. 12. Tilín y Tilán llegan a lo mismo. Aplicar la propiedad conmutativa de la adición en el cálculo de resultados de ejercicios. 13. Tilín, campeón de la suma. Calcular el resultado de ejercicios de adición, asociando primero los números que completan decenas. Tilín de uno en uno para adelante y Tilón de uno en uno para atrás Pida a los niños que acompañen a Tilín a contar de uno en uno hacia adelante, a partir de un número acordado. Lo harán por turno, en el orden que hayan establecido. Posteriormente, pida a los niños que acompañen a Tilón a contar de uno en uno hacia atrás, desde el número al que ll egaron con Tilín. Variante: Parte un alumno diciendo un número cualquiera del ámbito que estén trabajando y pide a sus compañeros ir nombrando el número que sigue, hasta llegar, en la serie, al punto en el que ya muy pocos niños del curso puedan seguir. En ese momento se devuelven, contando de uno en uno para atrás. Para aprender a: Contar, en orden creciente y decreciente, de uno en uno. Esta actividad debe constituirse en un desafío para los niños; para ello, invítelos a contar en el ámbito numérico en el que aún no se sienten totalmente seguros o que, incluso, no han trabajado anteriormente. Es conveniente fijar como punto de partida de la sucesión un número cercano a los que no dominan y motivarlos a seguir contando. Si al hacer la actividad, observó que los niños cometían muchos errores, puede hacerlos trabajar la sucesión con un contador o con una calculadora. La observación del funcionamiento de estos materiales les puede ayudar a tomar conciencia de cómo está estructurado el sistema de numeración decimal y a superar dificultades muy comunes, como las siguientes: pasar del 39 al 40, del 50 al 49, etc. También les puede ayudar tener una cinta numerada pegada en una pared de la sala. Tilín y Tilón cuentan de dos en dos En esta actividad, los niños van a contar de dos en dos, a partir de: un número par, en forma creciente un número par, en forma decreciente un número impar, en forma creciente un número impar, en forma decreciente. Usted dice un número para empezar la serie y los niños la continúan, ya sea en coro o por turno. Variante: Después de haber hecho varias veces la actividad anterior, se puede pedir a los niños que anticipen números que aparecerán en la serie y luego comprobarlos. Partimos del 17, contando de 2 en 2, ¿ nos tocará decir el 50?, ¿ el 65?, ¿el 77?... Para aprender a: Contar, en orden creciente y decreciente, de dos en dos. Al contar de 2 en 2 es conveniente respetar la secuencia sugerida en la actividad : primero, a partir de un número par y posteriormente de un impar, para graduar la dificultad. Se puede escribir los números ordenados, a medida que los dicen, para ayudarles a darse cuenta que, si se parte de un número par, todos los números que aparecen en la serie son pares y, si se parte de un número impar, todos los números de la serie son i mpares. En una colección de láminas si, al formar parejas, no nos sobra ninguna, tenemos un número par de láminas. Si nos sobra una, el número de láminas que tenemos es impar. Este criterio puede ayudar a los niños a distinguir entre números pares e i mpares. Tilín tiene lo mismo que Tilón I nvite a los niños a resolver situaciones que demandan sumar una misma cantidad, como la siguientes: Tilín tiene 2 láminas y Tilán tiene 2 láminas, ¿cuántas tienen entre los dos?, Tilín tiene 3 láminas y Tilán tiene 3 láminas, ¿cuántas tienen entre los dos?... Variante: Los niños juegan en parejas, cada uno con un conjunto de tarjetas par- impar del 1 al 9. Un niño coloca sobre la mesa una tarjeta, su compañero tiene que colocar otra del mismo tamaño y decir cuántos puntos en total tienen ambas tarjetas. El primer jugador, si lo necesita, cuenta el total de puntos para comprobar si la respuesta es correcta. Si el resultado es correcto, dejan esas tarjetas fuera de juego, de lo contrario, cada uno recoge la suya y la agrega al montón por jugar. Se continúa jugando de igual forma. Para aprender a: Calcular el doble de los números del 1 al 9. Es posible que las primeras veces que usted realice esta actividad con sus alumnos, ellos necesiten el apoyo de algún material para calcular, por ejemplo: fichas, tapitas, etc. Proporcióneselos, pero anímelos a ir probando si pueden hacerlo sin el material. Es conveniente escribir los ejercicios ordenados en el pizarrón, comentar y analizar los resultados con los alumnos, para ayudarles a darse cuenta que, en todos los casos, la suma es un número par: 1 +1=2 2+2=4 3+3=6 9+9=18 Tilín y Tilón juntan fichas sin parar Proponga a los niños formar parejas para imitar el juego de Tilín y Tilón. Los niños reciben igual número de fichas (mínimo 5 y máximo 10) cada uno de un color. Un niño coloca sobre la mesa un número de fichas y dice el total que pone; el otro agrega el número de fichas que él quiera, de las suyas, diciendo el total que pone. El primer niño debe decir, sin contar una a una, el total de fichas que hay en la mesa. Cuando ha dicho el resultado correcto, ambos quitan sus fichas. Le toca iniciar el juego al segundo niño, de modo que él deberá calcular luego el total de fichas. Una vez que hayan practicado bastante este juego, usted les puede proponer hacerlo sin fichas: "Manuel coloca 4 fichas roj as, Pedro agrega 5 fichas azules, ¿cuántas fichas sobre la mesa?" Variante: Se coloca en una caja papelitos en que se ha escrito números del 1 al 10. Los niños, por turno, sacan dos números; dicen el ejercicio y el resultado en voz alta, por ejemplo: "tres más cuatro son siete". Para aprender a: Calcular el resultado de combinaciones aditivas básicas. Una vez que haya hecho una sesión con el juego, puede variar l a situación que presentan Tilín y Tilón y reemplazarla por otra situación aditiva, de algún tema familiar a sus alumnos. Usted puede graduar la dificultad del ejercicio al determinar el número de fichas por niño, dado que el total de fichas entregadas a la pareja será la suma máxima que podrán ejercitar. Para reforzar el cálculo de las combinaciones aditivas los niños pueden escribir en sus cuadernos los ejercicios que les dieron un mismo resultado, por ejemplo: Tilín se pone el sombrero sumador Presente a los niños los cálculos de Tilín con su sombrero sumador: cuando se pone el sombrero con un número, por ejemplo el 6, busca ejercicios que den como resultado ese número. Propóngales a los niños colocarse el sombrero del 6 y desafíel os a buscar ejercicios que den como resultado 6. Vaya anotándolos, a medida que los dicen, para evitar que los niños los repitan. Cuando hayan concluido, reorganícelos con ellos, para dejar en orden los ejercicios. Por ejemplo: 6=5+1 6=4+2 6=3+3 6=2+4 6=1+5 Si algún niño lo señala, también se puede anotar 6 = 0 + 6. Un niño elige el número del sombrero sumador de Tilín y sus compañeros dicen los ejercicios. Variante: Usted señala un número y los niños, en grupos, anotan en una hoja ejercicios de adición que den ese resultado. Cuando creen tenerlos todos, dicen: ¡alto! Los leen en voz alta; si ningún otro grupo puede señalar otro ejercicio, tienen derecho a señalar un número, en caso contrario podrá hacerlo el grupo que agregó uno o más ejercicios . Para aprender a: Manejar las combinaciones aditivas básicas. Puede apoyar a los niños dándoles algún material, como fichas de colores. Ellos colocarán sobre la mesa tantas como el número del sombrero de Tilín e irán explorando y representando con las fichas las combinaciones aditivas. Tilín y Tilón saltan de a diez En esta actividad los niños van a contar de diez en diez, a partir de un número múltiplo de diez, en forma creciente y decreciente. I nvite a los niños a acompañar a Tilín a contar de diez en diez, empezando con diez. Conviene realizar el ejercicio en el ámbito numérico que conocen y tratar de ir más allá. Si ellos cometen errores se les puede apoyar colocando en un lugar visible una cinta numerada del 1 al 100, donde aparezcan diferenciadas las decenas, por alternancia de colores. Posteriormente pueden, con Tilón, contar en orden decreciente de diez en diez, desde el número al que llegaron con Tilín. A medida que los niños van adquiriendo seguridad en la actividad desafíelos a seguir contando de diez en diez en sentido creciente o decreciente, sin mirar la cinta numerada. Variante: Después de haber hecho varias veces esta actividad, se puede pedir a los niños que anticipen números que aparecerán en esta serie, nombrando algunos que con seguridad estarán, por ejemplo: 350, 500, etc. Para aprender a: Contar, en orden creciente y decreciente, de diez en diez, a partir de un número múltiplo de diez. Al contar de 10 en 10, se puede ayudar a los niños escribiendo en el pizarrón los números que ellos van diciendo, en forma ordenada. 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 I ... Una vez que los niños se hayan percatado que todos los números de la serie que están construyendo terminan en 0, pueden destacar con color el 0 que aparece en la posición de las unidades, en todos números del cuadro. Tilín junta primero diez Pida a los niños calcular con rapidez sumas de tríos de números, hasta que se den cuenta que conviene sumar primero los números que dan diez y luego agregar el tercero. Gradúe la dificultad presentando secuencialmente ejercicios de estos tres tipos: 8+2+5 7+8+2 8+7+2 Presente en el pizarrón tríos de ejercicios del primer tipo: 8+2+5 9+1+4 6+4+7 5+5+3 3+7+6 7+3+5 y vaya solicitando a los niños que digan los resultados y la forma cómo lo hicieron. Presente a continuación ejercicios del segundo tipo y refuerce l as respuestas de los niños que primero seleccionaron para sumar los números que dan diez, y que luego agregaron el primer sumando. Realice lo mismo con ejercicios del tercer tipo. Dicte ejercicios y pida a los niños que calculen mentalmente y digan el resultado. Variante: Por turno, cada niño dicta un ejercicio de suma de tres números en los que dos de ellos sumen 10; el compañero que sigue da el resultado y dice su ejercicio. Si un niño dicta un ejercicio en el que no se cumple la condición, debe calcular él mismo el resultado. Para aprender a: Usar, para el cálculo de ejercicios de adición, las combinaciones de sumandos que dan diez. Para resolver con éxito este tipo de ejercicios, los niños pueden jugar previamente a buscar piezas de dominó que suman 10. Por ejemplo, la pieza M64, o pares de cartas de naipe que suman 10, o bien trabajar con las tarjetas par-impar, juntando dos tarjetas que equivalen a la tarjeta de valor 10, etc. También es conveniente resolver ejercicios de adición cuyo resultado es mayor que 10 y menor que 19, por ejemplo: 6 + 7, para que los niños visualicen la conveniencia de juntar primero 10, descomponiendo el 7 en 4 + 3, de manera de sumar primero 6 + 4 = 10 y luego agregar 3. La importancia de esta actividad justifica emplear todo el tiempo que sea necesario para que la mayoría de los alumnos l ogre resolver con rapidez este tipo de cálculos. Tilín y Tilón van de cinco en cinco Pida a los niños que cuenten de cinco en cinco, primero en forma creciente y luego, en forma decreciente, a partir de: • un número múltiplo de cinco, terminado en cinco • un número múltiplo de cinco, terminado en cero. Desafíe a los niños a avanzar lo más posible contando, y a escuchar con atención la serie que van formando. Escriba la serie en el pizarrón para ayudarles a darse cuenta de la regularidad que presentan sus terminaciones. Variante: Después de haber hecho varias veces esta actividad, reparta a l os niños papelitos en los que está escrito un número múltiplo de cinco. Diga usted el primer número de la serie que repartió y pídal es continúen contando en voz alta, interviniendo cada vez el niño que recibió el número correspondiente. Si los niños tienen dificultad con los números mayores, pídales que se junten los que aún no han dicho su número y se pongan de acuerdo para ordenarse según la serie, y poder continuar. Para aprender a: Contar, en orden creciente y decreciente, de cinco en cinco, a partir de un número múltiplo de cinco. Al contar de 5 en 5 a partir de un múltiplo de 5, los alumnos deben llegar a darse cuenta que todos los números de la serie terminan alternadamente en 5 y 0, para luego poder anticipar si un número cualquiera pertenece o no a la serie. No se desanime si los alumnos tardan en descubrirlo; es preferible esperar hasta que ellos lo descubran, antes que decirlo. Puede ayudarles a darse cuenta de esta regularidad , el anotar en dos columnas los números de la serie, a medida que la van diciendo. Por ejemplo: 35 40 45 50 55 60 ... Tilín avanza, siempre a partir del mismo lugar En esta actividad, pida a los niños resolver conjuntos de ejercicios de adición, que tienen en común el primer sumando, teniendo a la vista un cuadro de los 100 primeros números. Haga colocar a los niños una ficha en un número, por ejemplo 23 y luego pida calcular 23 + 4, déles tiempo para calcular, luego 23 + 6 , 23 + 10, etc. Variante: Un niño elige un número de la tabla y coloca en esa casilla una contraseña. Nombra un compañero, quien deberá decir un ejercicio de adición que tenga como primer sumando el número elegido y como segundo el que él quiera, siempre que sea mayor que 19 pasará a colocar una ficha en el lugar del resultado y nombrará a otro niño para que diga otro ejercicio. El niño que haya colocado la ficha en el número mayor ganará el derecho de dirigir el próximo j uego. Para aprender a: Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales se mantiene constante uno de los sumandos. Ayude a los niños a darse cuenta que para sumar, deben avanzar, en general, hacia la derecha; que si suman diez les basta bajar una fila, si suman 12, bajar una fila y luego avanzar dos l ugares. Para esta toma de conciencia pregúnteles cómo llegaron al resultado, de qué otra manera podrían hacerlo. Hágalos compartir sus descubrimientos. A continuación Tilín da un ejemplo en el tablero de números: Tilín está en 34, camina 1 paso hacia la derecha, llega al 35 Tilín está en 34, camina 5 pasos hacia la derecha, llega al 39 Tilín está en 34, camina 1 paso hacia abajo, llega al 44 Tilín agrega uno y Tilón agrega uno Pida a los niños calcular individualmente ejercicios como los siguientes: 1 +3 2+4 3+5 4+6 5+7 Cuando hayan calculado, pídales los resultados y luego anímelos a que se fijen en la relación de los primeros sumandos con los segundos y de éstos con los terceros, .... Repita este ejercicio hasta que la mayoría de los niños se hayan dado cuenta que entre un ejercicio y el siguiente, se ha agregado uno a cada sumando y que el resultado ha aumentado en dos. Variante: Resolver conjuntos de ejercicios en los que se va agregando dos a cada sumando y el resultado va aumentando en 4. Estudiar la relación entre los ejercicios. Para aprender a: Calcular el resultado de ejercicios de adición, en los cuales se agrega o quita la misma cantidad a ambos sumandos. Si los niños tienen dificultad para visualizar las relaciones entre los términos de un ejercicio y los de otro, pídales hacer representaciones de cada ejercicio, ya sea con un material como las fichas de colores o mediante dibujos. O bien, hacer variar sólo un sumando, después el otro y finalmente ambos. Tilín va hacia adelante y Tilón hacia atrás Proponga a los niños estudiar juntos cómo hacen Tilín y Tilón en estos ejercicios: Tilín dice: 3 + 4 = 7 Tilón contesta: 7 - 4 = 3 Tilón dice: 8 - 6 = 2 Tilín contesta: 2 + 6 = 8 Ayude a los niños a darse cuenta que siempre Tilín suma y Tilón resta y que ambos usan los mismos números. Traten de imitar el juego: Un niño dice un ejercicio de adición y lo escribe en el pizarrón, otro niño resta, a partir del resultado. Un niño dice un ejercicio de sustracción y lo escribe en el pizarrón, otro niño suma, tomando en primer lugar el resultado del ejercicio de su compañero. Variante: En parejas, los niños juegan a hacer ejercicios de adición y sustracción "con los mismos números"; un niño se asigna el rol de sumador y su compañero el de restador. Para aprender a: Calcular con rapidez ejercicios de adición y sustracción donde se presentan como operaciones inversas. Para ayudar a los niños a ver la relaciones entre los ejercicios, se puede trabajar con una cinta numerada, avanzando y retrocediendo, a partir del número al que se llega al avanzar. Es i mportante que los niños se den cuenta que no necesitan calcular el segundo ejercicio. Tilín yTilón llegan a lo mismo Proponga a los niños organizarse en parejas y luego pídales que, por turno, cada pareja resuelva el par de ejercicios que se l es entregará. Plantee a cada pareja de niños dos adiciones, 6+2= conmutando los sumandos. Por ejemplo: 2 + 6 = que les pida hacerlo rápido, para incentivarlos a Es importante economizar el segundo cálculo. Una vez que hayan hecho varios ejercicios y que usted crea están convencidos que en todos los casos obtendrán el mismo resultado, porque son los mismos sumandos en distinto orden, desafíe a las parejas de niños a ocupar el lugar suyo y seguir proponiendo ejercicios del mismo tipo. La pareja de niños que lo logre, podrá ser reemplazada por otra pareja de niños que quiera hacerlo. Variante: Un niño dice un ejercicio de adición y su resultado, el que sigue debe decir el mismo ejercicio conmutando los sumandos y dando el resultado inmediatamente; si lo hace bien, tiene derecho a decir otro ejercicio y su resultado. El compañero que indique dice este último ejercicio conmutando los sumandos y propone otro. Usted puede ir escribiendo las parejas de ejercicios mientras los niños los van diciendo, para ayudar a afianzar la propiedad conmutativa. Para aprender a: Aplicar la propiedad conmutativa de la adición en el cálculo de resultados de ejercicios. Esta actividad debe realizarse cuando los alumnos tengan cierto dominio de las combinaciones aditivas básicas, para que estén menos centrados en el cálculo del ejercicio y puedan comparar los pares de ejercicios que se les van presentando, hasta darse cuenta de la propiedad conmutativa de la adición. I nteresa que los niños se percaten, y utilicen la propiedad, no siendo necesario que conozcan su nombre. Para afianzar el conocimiento de la propiedad, pida a los niños que la verifiquen con cantidades mayores, usando la calculadora. Algunos niños necesitarán visualizar los ejercicios en situaciones como la que se presenta, donde Tilín y Tilón muestran que 6+3esigual a3+6. Tilín, campeón de la suma Organice a los niños en grupos y pida a cada grupo que resuelva, sin error y lo más rápido posible, uno de estos conjunto de ejercicios, que usted entregará escritos en tarjetas. 8+2 3+7 6+4 1 +9 18+2 13+7 16+4 28+2 23+7 26+4 11 +9 21 +9 38+2 33+7 36+4 31 +9 Cuando los grupos estén listos, por turno, un niño lee los ejercicios y l os demás miembros de su grupo dan los resultados, sin mirar sus tarjetas. Cuando hayan dominado estos ejercicios, reparta tarjetas con grupos de ejercicios como los siguientes, para que los estudien: 18+12 28+12 13+17 23+27 16+14 11+39 26+34 21 +39 38+22 58+22 33+37 36+24 31 +49 53+17 56+24 51 +29 Pida a los niños del grupo que, por turno, den respuesta a los ejercicios, sin mirar la tarjeta. Variante: En parejas, los niños preparan tarjetas con cinco ejercicios que ellos hayan creado y las intercambian con sus compañeros de curso, para estudiarlas. Para aprender a: Calcular el resultado de ejercicios de adición, donde la suma de las unidades es igual a una decena. Conviene realizar esta actividad hasta que los niños puedan resolver ejercicios con seguridad y rapidez. Para ello, entregar conjuntos de ejercicios para que los niños preparen con tranquilidad el cálculo mental. ACTIVIDADES DE NIVEL 11 NIVEL II 1. Tilín y Tilón cuentan de cinco y de a diez Establecer equivalencias entre sumar 10 y sumar dos veces cinco a un mismo número 2. Tilín y Tilón j uegan con nueves. Aplicar una estrategia eficiente para sumar o restar 9, o cualquier número con 9 en las unidades. 3. Tilón retrocede, a partir del mismo lugar Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros, por comparación, cuando el minuendo es constante. 4. Tilón retrocede lo mismo. Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros, por comparación, cuando el sustraendo es constante. 5. Tilón contesta siempre lo mismo Reemplazar una sustracción por otra, más fácil de calcular y que tenga el mismo resultado. 6. Sumando, sumando, Tilón a la resta va ll egando. Calcular resultados de sustracciones, mediante adiciones partiendo del sustraendo. 7. Tilín juega a tener el doble Calcular el doble de un número. 8. Tilón busca la mitad Calcular la mitad de un número par. 9. Tilín pide el doble y Tilón la mitad Reconocer que cualquier número es igual a la mitad de su doble. 1 0. Tilín decaplica y quintuplica Calcular el producto de un número por 5 como la mitad del producto de ese número por 10. 11. Tilín busca el doble del doble. Calcular el cuadruple de un número como el doble del doble. 12. Tilín duplica tres veces. Calcular productos de un número por 8, duplicándolo tres veces. 13. Tilín multiplica por 10 y Tilón calcula la décima parte. Reconocer que dividir por 10 es lo inverso de multiplicar por 10. Tilín y Tilón cuentan de a cinco y de a diez Pida a los niños contar, por turno, de cinco en cinco, a partir de un número cualquiera, que no termine en 0 ni en 5. Hágalo primero en sentido creciente y luego en sentido decreciente. Anote en el pizarrón, ordenadamente, los números de la serie, por ejemplo: 31 - 36 41 - 46 Cuando los sienta seguros en el cálculo, pídales contar de cinco en cinco, a coro, marcando el ritmo de las terminaciones que se repiten. Por ejemplo 72-77... 82-87... 92 - 97.... 102 -107... 112-117... ¿Por qué aparecen alternadamente las cifras 2 y 7 en las unidades? Pida a los niños que expliquen esta regularidad. Luego, pídales contar de 5 en 5, por ejemplo, a partir de 123 y anotar en un papel el número que les tocó decir. I nvítelos a contar de 10 en 10, a partir de 123. Deben participar, leyendo su papel, sólo los niños que tengan escrito un número de esta serie. Ayude a los niños a verbalizar las relaciones entre ambas series. Repita esta actividad a partir de 128. Variante: Divida al curso en dos grupos, pídale a cada grupo hacer cuatro letreros: ° de treinta en treinta hacia adelante", " de treinta en treinta hacia atrás", " de quince en quince hacia adelante" y " de quince en quince hacia atrás". Usted elige un número de tres cifras, lo escribe en el pizarrón y uno de los grupos muestra uno de sus letreros, el otro grupo deberá decir, por turno, la serie pedida. Luego los grupos alternan los roles, debiendo elegir un letrero distinto. Para aprender a: Establecer equivalencia entre sumar diez y sumar dos veces cinco a un mismo número. Para apoyar el proceso de cálculo, los niños pueden tener a la vista una cinta numerada hasta el 100 o una tabla de números hasta el 100. Cuando hayan relacionado los números de las series de 5 en 5, con las de 10 en 10, a partir de un número determinado, pueden hacer ejercicios similares con series de: 50 en 50 y de 100 en 100, 500 en 500 y de 1000 en 1000 También pueden trabajar con series de: 15en15yde30en30, 25 en 25 y de 50 en 50, etc. Un niño puede ir controlando los resultados con calculadora. Tilín y Tilón juegan con nueves Proponga a los alumnos buscar formas de resolver, con facilidad y rapidez, grupos de ejercicios donde uno de los sumandos es 9 o termina en 9, y el otro en cualquier número, que no sea 0 ni 1. Por ejemplo, escriba en el pizarrón tríos de ejercicios como los siguientes: 25+9 25+19 25+29 33+9 33+19 33+29 46+9 46+19 46+29 57+9 57+19 57+29 Pídales explicar sus procedimientos. Variante: Proponga a los alumnos grupos de ejercicios de sustracción en l os cuales se resta 9 o un número con 9 en las unidades. Por ejemplo: 57-9 57-19 57-29 65-9 65-19 65-29 Muestre cómo Tilón usa una estrategia similar a la que algunos niños pueden haber descubierto para sumar 9 . Tilón, en vez de restar nueve, resta diez, porque es más fácil, y como restó uno demás, agrega uno al resultado. De la misma manera, en vez de restar 19, resta 20 y agrega 1 al resultado. Pídales ir resolviendo los ejercicios como Tilón e ir relatando lo que hacen. Para aprender a: Aplicar una estrategia eficiente para sumar o restar 9 o cualquier número con 9 en las unidades. Es posible que los niños busquen estrategias distintas para resolver los ejercicios de sumar o restar 9, o cualquier número con 9 en las unidades. Frente a un ejercicio como 33 + 9, algunos niños lo resolverán descomponiendo 9 para completar la decena. Pensarán: a 33 le falta 7 para completar la decena, y como 9 es igual a 7 más 2, sumo 7 a 33, que es 40, y luego sumo 2. Otros pueden pensar que, para sumar 9 a 33, es más fácil sumarle 10 y restar 1 al resultado. Para que los niños distingan bien los ejercicios de adición y sustracción en los que se aplica esta estrategia, es conveniente que se apoyen en la representación de la recta numérica. En el caso de la adición, en lugar de 45 + 19, decimos 45 más 20 y restamos 1, que habíamos sumado demás. En el caso de la sustracción, en lugar de 45 - 19, decimos 45 menos 20 y sumamos 1, que habíamos restado demás. Tilón retrocede, a partir del mismo lugar Proponga a los alumnos resolver grupos de ejercicios como los siguientes: 63-3 58-8 74-4 86-6 63-5 74-5 58-6 86-5 58-4 63-7 86-4 74-6 63-9 58-2 74-7 86-3 Una vez que los hayan resuelto, lleve a los niños a analizarlos y a pensar como Tilón: "si tengo lo mismo, mientras menos quito, más me queda y mientras más quito, menos me queda". Entregue a los alumnos tarjetas para que practiquen este tipo de ejercicios, y pídales empezar por el que les resulte más fácil de resolver. 46-4 73-7 46-6 73-5 73-3 46-8 Variante: Los alumnos se organizan en grupos y reciben tarjetas con tres ejercicios en los que se ha ido variando el sustraendo en sentido creciente o decreciente de dos en dos, y se ha conservado el minuendo del ejercicio. Los niños estudian las relaciones entre l os ejercicios y agregan otros tres, siguiendo la secuencia de l os sustraendos. Luego intercambian las tarjetas con sus compañeros y resuelven los ejercicios. Para aprender a: Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros, por comparación, cuando el minuendo es constante. En este tipo de actividad es necesario plantear secuencias de ejercicios en los que el sustraendo varíe en forma sistemática, lo que se traducirá en las mismas variaciones en el resultado. Así, ante un conjunto de ejercicios, l os niños podrán comenzar solucionando el más fácil para luego dar el resultado de los otros, por comparación. Por ejemplo, en estos ejercicios: 127-31 127-29 127-27 127-25 el más fácil de resolver es 127 menos 27, lo que nos permite saber que el resultado del siguiente es 102 y del anterior es 98, ya que los sustraendos tienen una diferencia constante de 2. Es posible esperar que, ante un ejercicio aisl ado, como 117 - 19, los niños, apoyándose en la práctica anterior, realicen la sustracción: 117 - 17, y al resultado le resten 2. Tilón retrocede lo mismo Proponga a los alumnos resolver ejercicios como los siguientes: 86-6 87-6 88-6 89-6 74-4 73-4 72-4 71 -4 58-8 60-8 62-8 64-8 67-7 65-7 63-7 61 -7 Una vez que los hayan resuelto, lleve a los niños a analizarlos y a pensar como Tilón: "si quito lo mismo, mientras más tengo, más me queda y mientras menos tengo, menos me queda." Entregue a los alumnos tarjetas con ejercicios para que practiquen, y pídales empezar con el ejercicio que les resulte más fácil de resolver. 78-6 77-6 76-6 75-6 82-14 84-14 86-14 88-14 Variante: Los alumnos se organizan en grupos y reciben tarjetas con tres ejercicios en los que se ha ido variando el minuendo en sentido creciente o decreciente de dos en dos, y se ha conservado el sustraendo. Los niños estudian las relaciones entre los ejercicios y agregan tres, siguiendo la secuencia de los minuendos. Luego intercambian las tarjetas con sus compañeros y resuelven los ejercicios. Para aprender a: Utilizar el resultado de una sustracción para encontrar otros, por comparación, cuando el sustraendo es constante. En este tipo de actividad es importante plantear secuencias de ejercicios en los que, manteniendo constante el sustraendo, se haga variar el minuendo en forma sistemática, lo que se traducirá en las mismas variaciones en el resultado. Así, ante un conjunto de ejercicios, los niños podrán comenzar solucionando el más fácil, para luego encontrar el resultado de los otros, por comparación. Por ejemplo, en estos ejercicios: 112-15 113-15 114-15 115-15 116-15 el más fácil de resolver es 115 menos 15, lo que nos permite saber que el resultado del siguiente es 101 y el del anterior es 99, ya que los minuendos tienen una diferencia constante de 1. Tilón contesta siempre lo mismo Pida a los alumnos resolver grupos de ejercicios como los siguientes: 86-4 87-5 88-6 89-7 74-12 76-14 78-16 80-18 58-16 57-15 56-14 55-13 67-15 65-13 63-11 61 - 9 I nvite a los niños a averiguar por qué todos los ejercicios que se encuentran en cada grupo tienen el mismo resultado y a expresar con sus palabras las regularidades encontradas. Variante: Los alumnos se organizan en grupos y proponen seis ejercicios de sustracción que den el mismo resultado. Los intercambian para estudiar las regularidades que existen entre los ejercicios propuestos. Para aprender a: Reemplazar una sustracción por otra, más fácil de calcular y que tenga el mismo resultado. Es muy importante lograr que los niños sean capaces de reconocer ejercicios de sustracción que dan el mismo resultado y que sepan construirlos, ya que esto les permitirá resolver cualquier ejercicio de sustracción reemplazándolo por otro equivalente, más fácil de calcul ar. Por ejemplo, si un niño tiene que calcular 53 - 17, él puede pensar que, ya que es más fácil restar 20, si agrega 3 unidades a ambos términos, le queda 56 menos 20 que es 36; 53 menos 17 también será igual a 36. Otros niños pueden pensar que la sustracción será más fácil de resolver si tienen decenas completas en el minuendo. En este caso reemplazarán 53 - 17 por 50 - 14, restando 3 unidades a cada término. Es necesario que los niños concluyan que a ambos términos de la sustracción debemos sumar o restar la misma cantidad para que la diferencia sea constante. Es posible que algún niño plantee ejercicios en los que esto no se cumpla, en su deseo de encontrar una respuesta fácil, rápidamente. Por ejemplo, puede reemplazar 51 - 19 por 50-20. Estos ejercicios no dan el mismo resultado porque al minuendo se le ha restado 1 y al sustraendo se le ha sumado 1. Al resolver cada ejercicio en forma independiente, los niños descubrirán el error. Otra forma de favorecer la asimilación de esta estrategia consiste en proponer un número a l os niños y pedirles que busquen sustracciones que den ese número como resultado. Conviene anotar las sustracciones encontradas, ordenarlas y analizarlas. Algunos niños llegarán a darse cuenta que, si eligen cualquier número como sustraendo y l e suman el número propuesto por el profesor, obtendrán el minuendo. Sumando, sumando,Tilón a la resta va llegando Converse con los niños acerca del procedimiento que suelen usar los cajeros para dar el vuelto y que seguramente ellos han observado. Representen una situación con ayuda de los billetes. Por ejemplo: "Pago una mermelada que cuesta $ 288 con un billete de $ 500 ¿cuánto recibo de vuelto? ". Cuando el cajero entrega: $ 2, dice: 290 cuando entrega $ 10, dice: 300 cuando entrega $ 100, dice: 400 y cuando entrega $ 100, dice: y, 500 Recibo $ 212 de vuelto Pida a los niños resolver ejercicios de sustracción utilizando el procedimiento de los cajeros; parten del sustraendo, luego suman suman... hasta llegar al minuendo. Por ejemplo: 119 - 64 Es posible resolver diciendo: 64 + 30 = 94 94 + 6 = 100 100 + 19 = 119 30+6+19 = 55 Por lo tanto : 119 - 64 = 55 No es necesario que los niños escriban los pasos, basta que anoten los resultados parciales. Pueden ayudarse, como Tilón, con dibujos de cintas numeradas. Variante: Pedir a los niños que, en grupos, inventen situaciones de compraventa y las dramaticen luego ante sus compañeros. Por turno, los niños asumirán el papel de cajero y darán el vuelto sumando. Para aprender a: Calcular resultados de sustracciones, mediante la resolución de adiciones, partiendo del sustraendo. En esta actividad, los niños transforman sustracciones en adiciones en las que sólo conocen un sumando y la suma. Es decir, reconocen que la sustracción es inversa a la adición, aunque no es necesario que lo verbalicen. Posteriormente podrán recurrir a esta estrategia para solucionar ejercicios de sustracción, que sean engorrosos de resolver, por ejemplo, aquéllos en que el minuendo es un número con varias cifras cero ( 1000 - 768). Podrán ir sumando unidades, decenas, centenas, en cualquier orden. Permítales hacerlo como a ellos les resulte más fácil. Tilín juega a tener el doble Pida a los niños calcular el doble de un número. Propóngales grupos de ejercicios en orden de dificultad creciente, por ejemplo: El doble de 4 5 7 9 El doble de 20 100 25 45 El doble de 22 34 33 51 El doble de 18 29 46 37 Para que todos los niños tengan tiempo suficiente para completar sus cálculos, cada alumno escribe sus resultados sin decirlos. Cuando la mayoría de los niños hayan terminado, pídales que los lean en voz alta. Si los niños dan resultados diferentes, permítales explicar cómo los obtuvieron hasta que logren ponerse de acuerdo en cuál es el resultado correcto. 111Variante: Se juega en círculo. Un niño pasa al centro, dice un número e i ndica a un compañero, quien deberá decir el doble del número propuesto. Si da la respuesta correcta, pasa al centro a continuar el juego. En caso contrario, el que propuso el ejercicio deberá dar respuesta y si ésta es correcta, podrá continuar en el centro. Un alumno controla los resultados, usando calculadora. Para aprender a: Calcular el doble de un número. Para contextualizar esta actividad puede inventar, junto con sus alumnos, situaciones como: " Tilín saca dos veces una misma cantidad" " Tilón toma lo mismo que Tilín y lo juntan" " Un jugador gana el doble de lo que apuesta". Para apoyar el proceso de cálculo, es posible utilizar material es, como las tarjetas par-impar o los billetes y comparar el número inicial y el doble obtenido. Para calcular el doble de un número, por ejemplo de 37, alguien puede observar que, ° 30 + 30 es 60 y 7 + 7 es 14"; otro niño puede advertir que, " 35 + 35 es 70 y 2 + 2 es 4". Para apoyar el proceso de establecer relaciones entre suma y producto, pida a los niños que busquen diversas maneras de calcular el doble de un número con la calculadora. Por ejemplo, para calcular el doble de 327: 327 + 327 = (adición) 327 x 2 = (multiplicación) 327 + = = (constante aditiva) Luego, que compartan los procedimientos encontrados. Tilón busca la mitad Pida a los niños calcular la mitad de un número. Propóngales grupos de ejercicios en orden de dificultad creciente, cuidando que sean números pares. Por ejemplo: La mitad de La mitad de La mitad de La mitad de 4 6 8 10 60 80 50 70 22 64 86 48 34 56 78 92 Cada alumno escribe los resultados de sus cálculos. Si los resultados son diferentes, pídales que revisen sus cálculos y cuenten cómo lo hicieron, de manera de llegar a justificar la respuesta correcta. Variante: Forme dos o más equipos en el curso. Los miembros de un equipo proponen números y los de otro equipo calculan la mitad. Un alumno arbitra el juego, controlando los resultados con calculadora. Se asigna un punto por respuesta correcta. Para aprender a: Calcular la mitad de un número par. Para contextualizar esta actividad puede inventar, junto con sus alumnos, situaciones como: ` Tlán regala la mitad de lo que tiene". " El mago Tilón reduce a la mitad lo que toca". " Un jugador pierde la mitad de lo que apuesta". Es conveniente que los niños expliquen a los demás sus procedimientos. Por ejemplo, " para encontrar la mitad de 34, yo pensé: la mitad de 30 es 15 y la mitad de 4 es 2; después j unté las dos mitades y me dio 17," o bien, " yo pensé que 34 es 20 más 14, la mitad de 20 es 10 y la mitad de 14 es 7, entonces, la mitad de 34es10+7,osea17". Para apoyar el proceso de cálculo, es posible utilizar material concreto, como tarjetas pari mpar o billetes. Es posible también trabajar con calculadora, ¿habrá distintas maneras de calcular la mitad de un número usando calcul adora?. Si los alumnos plantean ejercicios con números impares, conviene dejarlos que expresen l os resultados en forma natural, por ejemplo: l a mitad de 27 es 13 y medio". Si exploran este ejercicio con la calculadora, se encontrarán con la expresión 13.5, lo que les puede permitir aprender la equivalencia entre un medio y cinco décimos y también extender el sistema de numeración decimal hacia los décimos. Tilín pide el doble y Tilón la mitad I nvite a dos niños, para que uno asuma el rol de Tilín y el otro el de Tilón. Tilín duplica cualquier número que se le diga, mientras que Tilón, reduce a la mitad los números que se le dicen. Usted dice, en voz alta, un número al niño que hace de Tilín. El, en silencio, lo duplica y anota este resultado en un papel, que se lo pasa al niño que hace de Tilón. El, de acuerdo a su rol, calcula la mitad de ese número y lo anota. Ahora, pida a los otros niños, que digan cuál es este último número. Una vez que logren establecer que el número que usted ha dicho en voz alta y el que se obtiene después de duplicarlo y reducir ese resultado a la mitad, es siempre el mismo, cambie el orden de la secuencia; usted le dice el número a Tilón; él lo reduce a la mitad y, a continuación, Tilín duplica el resultado que obtiene Tilón. Variante: Cada alumno escribe en un papel un número, sin mostrarlo a sus compañeros, y lo pone en una bolsa. En seguida, por turno, un niño saca un papel de la bolsa, lee en silencio el número que sacó y escribe el doble de ese número en el pizarrón, conservando el papel con el número escrito. El niño del curso que primero dice el número que su compañero tiene escrito en el papel, pasa adelante a sacar otro número de la bolsa, y así continúa el juego. Cuando se hayan agotado los papeles, por turno, los alumnos pasan al pizarrón, eligen uno de los números escritos, lo tarjan y escriben en el pizarrón la mitad del número tarjado. Al término de este proceso, comparan los números que están ahora escritos en el pizarrón con los que están escritos en el papel que cada niño guardó en su poder. Si hay alguno diferente, buscarán cuál fue el error en que se incurrió. Para aprender a: Reconocer que cualquier número es igual a la mitad de su doble. Es importante que los alumnos se den cuenta que, en el juego propuesto en la actividad, el resultado del segundo cálculo es el primer número propuesto. La calculadora puede ayudarles a visualizar esta relación: 827 x 2 = 1654 1654: 2 = ¿Hace falta calcularlo? Una vez que los niños han descubierto la relación, anímelos a j ugar con números grandes y a anticipar el resultado de la segunda operación, a partir de la primera que dicen. Tilín decaplica y quintuplica Pida a los niños que multipliquen un mismo número por diez y por cinco. Para encontrar los resultados de multiplicar por cinco, podrán usar calculadora. 8 x 10 8 x 5 50x10 75x10 64x10 50x5 75x5 64x5 Una vez que tienen los resultados, llévelos a observar las relaciones entre éstos. ¿Qué relación hay entre 80 y 40?, ¿entre 500 y 250? Ayúdelos a expresar con sus palabras conclusiones como las siguientes: al multiplicar un número por 10 resulta el doble de lo que se obtiene si se multiplica ese número por 5; o bien, el resultado de multiplicar un número por 5 es igual a la mitad del que se obtiene si se multiplica ese número por 10. Variante: En parejas, pídales resolver multiplicaciones de un mismo número por 10, por 5 y por 15. Analizar los resultados y establecer relaciones entre éstos. Anímelos a usar calculadora en un primer momento y luego tratar de calcular los resultados y sólo comprobarlos con la calculadora. Para aprender a: Calcular el producto de un número por 5 como la mitad del producto de ese número por 10. Si hay niños que aún no han comprendido que para encontrar el producto de cualquier número por diez, basta agregar un cero a ese número, présteles especial atención; que hagan ejercicios diversos con calculadora y los anoten. También, para facilitar la comprensión de esta regla, se puede trabajar con un tablero en el que estén marcadas las unidades, decenas y centenas, y algún material estructurado de acuerdo al sistema decimal, como l os billetes. Se puede contextualizar los ejercicios proponiendo: un dulce vale $ 25, ¿cuánto valen 10?, y luego variar el precio del dulce pidiendo, cada vez, que comparen la distribución de billetes en el tablero, antes y después de multiplicar. Una vez que la mayoría de los niños sepa multiplicar por 10 rápidamente, es posible centrar la actividad en su propósito principal, que es l ograr que los niños dispongan de un camino alternativo para multiplicar un número por 5. Este camino consiste en multiplicar el número por 10 y luego, calcular la mitad del resultado obtenido. Como aplicación de las habilidades para multiplicar mentalmente por 10 y por 5, conviene ejercitar las °tablas de multiplicar" del 10 y del 5, de manera que los niños, a partir del cálcul o rápido de estos resultados, lleguen a memorizarlos. Cuando los niños sepan calcular rápidamente el producto de un número por 10 y por 5, podrán darse cuenta que para multiplicarlo por 15 pueden, o triplicar el resultado de multiplicarlo por 5, o bien, sumar los resultados de multiplicarlo por 10 y por 5. Tilín busca el doble del doble Presente a los alumnos el sombrero duplicador de Tilín. Tilín coloca 3 monedas en el sombrero, le echa polvos mágicos y aparecen en el sombrero 6 monedas. Vuelve a echar polvos mágicos y aparecen 12 monedas. Si en lugar de 3 monedas, Tilín hubiera colocado 5 en el sombrero, ¿cuántas habrían aparecido al final? Para ayudar a los alumnos a relacionar las acciones de doblar y doblar con la acción de cuadruplicar, propóngales probar la magia de Tilín en la calculadora. Escribir un número. Multiplicarlo por 2. Sin borrar, volver a multiplicar por 2. Anotar el resultado. Multiplicar el mismo número por 4 ¿Coincide el resultado con el anterior ? ¿Pasará lo mismo con cualquier número? Continuar haciendo ejercicios con números de varias cifras. Variante: Agrupe de a tres los niños del curso. Cada grupo debe contestar, sin usar calculadora, ejercicios como los siguientes: 7x1 ; 7x2 ; 7x4. Lleve a los niños a aplicar lo aprendido incluso con números mayores, por ejemplo: 25 x 1 ; 25 x 2 ; 25 x 4. J Para aprender a: Calcular el cuádruple de un número como el doble del doble. El propósito de esta ejercitación es que los niños se den cuenta que: 3x2=6 3x2x2=12 3x4=12 Multiplicar un número por 4, equivale a multiplicarlo por 2 y otra vez por 2. Una manera de visualizar esta relación es elegir una tarjeta par-impar, por ejemplo, la que tiene tres puntos. Duplicarla, corresponde a tener dos tarjetas de tres puntos; duplicar otra vez, corresponde a tener cuatro tarjetas de tres puntos. El doble del doble de tres, equivale a cuatro veces tres. Una vez que los niños manejan esta equivalencia, pueden usarla para calcular rápidamente cualquier producto, en el que uno de los factores es cuatro: 16x4= ... El doble de 16 es 32 y el doble de 32 es 64. 16x4=64 , n__ 1 Tilín duplica tres veces Proponga a los niños trabajar con el sombrero mágico de Tilín: Tilín coloca 3 monedas en el sombrero, le echa tres veces polvos mágicos y aparecen en el sombrero 24 monedas. Si en lugar de 3 monedas, Tilín hubiera colocado 4 en el sombrero, ¿cuántas habría al final? Para ayudar a los alumnos a que relacionen las acciones de duplicar tres veces con la acción de multiplicar por 8, utilice calculadora. Variante: Agrupe de a cuatro los niños del curso. Cada grupo debe resolver ejercicios como los siguientes, sin usar calculadora: 8x1 ; 8x2 ; 8x4 ; 8x8. Lleve a los niños a aplicar lo aprendido incluso con números mayores, por ejemplo: 35 x 1 ; 35 x 2 ; 35 x 4 ; 35 x 8. Un niño puede ir controlando los resultados con calculadora. Para aprender a: Calcular productos de un número por 8, duplicándolo tres veces. El propósito de esta ejercitación es que los El doble, del doble del doble de siete, equivale niños se den cuenta que: a ocho veces siete. Una vez que los niños ma- 3x2=6 nejan esta equivalencia, pueden llegar a la "tabla del ocho" a partir de la del cuatro: 3x2x2= 12 3x2x2x2= ....... 3x4= 12 24 ....... 3x8= 24 Multiplicar un número por 8, equivale a multiplicarlo por 2, otra vez por 2 y otra vez por 2. Una manera de visualizar esta relación es elegir una tarjeta par-impar, por ejemplo, la que tiene siete puntos. Duplicarla, corresponde a tener dos tarjetas de siete puntos; duplicar otra vez, corresponde a tener cuatro tarjetas de siete puntos; duplicar una tercera vez corresponde a tener ocho tarjetas de siete puntos. 7x4=28 7 x 8 = ..... 7x8=56 El doble de 28 es 56. También, pueden usarla para calcular cualquier producto correspondiente a la "tabla del ocho": 6 x 8 = ..... El doble de 6 es 12, el doble de 12 es 24 y el doble de 24 es 48. 6x8=48 Tilín multiplica por 10 y Tilón calcula la décima parte En esta actividad Tilín multiplica por 10 cualquier número y Tilón, divide los números por 10. I nvite a un niño para que asuma el rol de Tilín y otro que haga de Tilón. En voz alta, usted le dice un número al niño que hace de Tilín. El hace el cálculo en silencio y anota el resultado en un papel. Le pasa este papel a quien hace el rol de Tilán para que divida ese número por 10 y anote el resultado que obtiene. En seguida, pida a los demás que digan cuál es el número que Tilán anotó en el papel. Una vez que logran darse cuenta que el número que usted dice i nicialmente en voz alta, es igual al que resulta después de multiplicarlo por 10 y dividir ese producto por 10, invierta el orden de la operatoria: usted le dice el número a Tilón, cuidando que la cifra de las unidades sea igual a 0, para que anote el resultado que se obtiene al dividirlo por 10 y pase el papel a Tilín, para que multiplique por 10 ese cuociente. Variante: Proponga secuencias similares, multiplicando y dividiendo sucesivamente por 5, cuidando, al invertir el orden de la operatoria, que los números que usted proponga tengan 5 ó 0 en las unidades. Para aprender a: Reconocer que dividir por 10 es lo inverso de multiplicar por 10. El propósito de esta ejercitación es que los niños reconozcan l a relación inversa entre multiplicar y dividir por 10 y cómo esa relación se expresa también en lo inverso de las reglas para multiplicar y para dividir por 10: en la primera se agrega un 0 y en la segunda se quita un 0. Para facilitar la comprensión de esta regla, conviene trabajar con un tablero en el que estén marcadas las unidades, decenas y centenas, y algún material decimalmente estructurado, como los billetes. Se puede contextualizar los ejercicios proponiendo: entre 10 personas tienen que pagar $ 1.520 ¿cuánto tiene que pagar cada una, si todas ponen lo mismo?, y luego variar el precio, pidiendo, cada vez, que comparen la distribución de billetes en el tablero, antes y después de dividir. Además de proponer situaciones de reparto equitativo, también pueden plantearse situaciones de medida, como: ¿cuántos platos se puede servir, con 10 cerezas cada uno, si hay 90 cerezas en total? Para afianzar el uso de esta regla es recomendable recurrir a l a calculadora, comparando el número que dividen por 10, con el cuociente obtenido. ¿Pueden anticipar el resultado, antes de tipear la tecla "igual"?
