Documento 88524

1.
Un cohete de masa
describe una órbita circular alrededor de la tierra a una altura .
a)
b)
c)
¿Cuál es el peso del cohete?
Determine el periodo del movimiento del cohete y su energía total en su órbita .
Si el propulsor del cohete se activa sólo para proporcionar un incremento brusco de la
velocidad, determine la velocidad que debe tener el cohete para escapar de la tierra.
Solución:
a)
El peso del cohete es la fuerza con que el cohete es atraído por la Tierra:
#$
b)
!" =
( + )
2
= =
2
Como Fg=ma=mw r, con r =(R+h) y de w=(2π)/T implica que:
)*
2
Igualando:
23
+ )


De a) tenemos que:
%
 2π  &
=(  '  (
-/.10
= ,
( ++ )
2
45 9
7 6
7( + 6 ) = 9  28 π  ( + )
4/5 8 = 4π (7 + 6 )
7 6
8
( + )
⇒ = 2π
45
>/?
< ;
: = < ; ⇒ = = 2π +
:
( + )
2
2
2
2
3
3
Y reemplazando por:
2
c)
Para que el cohete no escape de la gravedad E ≥0
1‹
2
Š
2
ˆ‰Œ‹
− …
≥0⇒Š
≥
ˆ ‰
…‡†
2
¿Por qué?...
@A
B
2. Cinco masas iguales, de masa
se distribuyen sobre una semicircunferencia de radio . Una
partícula de masa m se coloca en reposo en el centro de la circunferencia, la que interactúa
gravitacionalmente con las demás, respecto a esto se pide:
a)
b)
c)
CEDEFGIHKJMLFEDON DPJQLFPR SUT con que la partícula V inicia su movimiento.
PW XYW[Z]\_^a`cbYd_e
WPXgfPh `Pij\kZ]`l[h e
`fPh dUXY`[i de m , debido a las masas no
prqPs tvuPw xPyx de la partícula z|{ cuando esta a una distancia }~O€a‚„ƒ del centro.
Determinar el
Calcular la
Calcule la
Solución:
DCL de la masa m:
“ “ +“ – +“ – +“ – +“ – =0⇒
∑Œ— ‘ = – Œ
‘
Œ‘
Œ‘
‘
− Ž
− Ž
cos(45º ) + 0 + Ž
cos(45º ) + Ž
(cos 45º ) = ’ –
“[” “
“
“
“
“
∑ /1=‘ • + • + /• Œ+‘ • +Œ‘ • = 0 ⇒
‘
(sen 45º ) = ’ • = 0
0+ Ž
sen(45º ) + Ž
+ Ž
Œ‘

’
⇒ • = Ž
( 2 + 1) ˆ.
1
2
2
3
4
5
2
1
2
2
2
3
4
2
2
=0
5
2
2
2
b)
˜O™_š
›
¡ ¨
=
¡
1 +
¡
2
+
¡
3
+
¡
4
+
¡
¢¤£¤¥¤¢¤¦
5
¡ §
=−
ž/Ÿ1 
¡
⇒
5
= −5
ž/Ÿ1 
.•
: La energía potencial es un escalar y no un vector.
Como las fuerzas son conservativas ΣFi = 0 ⇒ ∆E = 0.
c)
Ei = Ki + Ui = Ui (En el centro la masa
­¯®
= −5
· ¸
=
¶¸
ª/«1¬
©
+
µ ´¸
2
2
°¤±¤²¤°¤³
+ Uf
œ
está en reposo. Ui se calculo en (b) )
U f = U1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5
Cálculo de Uf:
º/»1¼
¿YÀ¤Â ¾ =
= ¾
¼
½ = ½ = º»Œ
¿ÁÀ¤Â ¾ ’=
¾’
½ = º/»1¼¹ = º/»1¼ 2 ⇒ ½ Ã
¹ ( 2 − 1)
¹
½
1
½
=
5
2
3
4
−
3¹
2
3¹
2
º»Œ¼
= ¹
 2
2 
 •

+
+
2
 3
( 2 − 1) 

2
Luego ∆E = 0 ⇒ Ei = Ef, se tiene:
ÅÆ È
−5 Ä
ÇÉ
Å/Æ È
=
Ä
 2ÅÆ
=  Ä


 ÈÇ É 2
2 2 1
1


 3 + 1 + ( 2 − 1)  + 2 ⇒


  1
  
1
 2 2 + 1 +
 − 5
  3
( 2 − 1)   
 
•
3
Ê
Ë
y de radio
que posee 2
3. Considere un casquete esférico de densidad uniforme, de masa
orificios. Una masa puntual
se encuentra a una distancia
de su centro, sobre la línea de las
perforaciones.
Ì
a)
b)
ÍPÎ
Ï
Ð
Calcule el trabajo
de la fuerza de gravedad sobre , necesaria para desplazarla desde
el punto inicial hasta la superficie del casquete.
Calcule el tiempo que demora en cruzar el casquete desde un extremo a otro.
Ñ
Solución:
a)
Se sabe que W (A-B) = -( U(B) - U(A)), donde U es la
ÒÔÓYÕPÖØ×_ÙÛÚÜÞÝ_ß
ÕPÓYàPá ÚPâäãÖØÚåOá ß
ÚàPá ÝUÓYÚOâaæ
Punto A (inicial), Punto B(final):
ì ï
b)
èéŒê
=− ç
3
í ì î
è/é1ê
=− ç
ë î
⇒ ï

= − −

èéŒê
ç
è/é1ê
+ ç
3
èéŒê
 2
=
ç
3

Dentro de un casquete esférico se sabe que la fuerza es nula ⇒ ΣF = 0, por lo tanto a=0
(aceleración), en consecuencia la rapidez es constante.
ñ
ö
⇒ =
ñ¤ò¤óMñ¤ô ñ
õ
= 2ð .
Conservamos energía desde el instante en que m está en reposo hasta que
atraviesa el extremo del casquete.
∆E=0
øùŒû
û )
(
÷3
ø ùŒû ÿ ý 1û ú
û =
− ÷
(
2
üþýÿ : − øùŒû = 1 û ú − øùŒû ⇒ ú = 2 ø ù
÷
÷
÷
3
2
3
=−
2
û
)
2
Como v es constante hasta el otro extremo:
!
⇒ =
3
4
4.
Una nave que se encuentra en una órbita circular de radio "$# , debe ser llevada a una órbita
circular de radio %& > '$(*) Para que pueda abandonar la primera órbita, la nave debe acelerar desde
una velocidad +-, que tiene en la primera órbita hasta una velocidad .0/ , que corresponde a la
velocidad
en el perigeo de una órbita elíptica, cuyo apogeo está en 1 , a la distancia 23 del centro
465
Al alcanzar el punto 7 (apogeo), donde pasa con una velocidad 8:9; debe acelerar nuevamente,
para alcanzar la velocidad <= correspondiente a una órbita circular de radio >?*@
a)
Calcular
A0B y CED en términos de FHG y IJK respectivamente L
Solución:
a) Cálculo de la MHN en la órbita circular de radio
[]\ W
− Z 2
1
WYi
=− Z
2
1
⇒i
1
[]\
Z
=
1
O$PRQ
m _d
log dWsU_TVU
(1)
i
2
=
[]\
Z
1
(2)
2
U no p T o S d : n = ` 2θ{ = `i = STVU .
0
Z
X
Z X
Z X
^ _ m
k
l
1
:
=Z 1
(3) .
1 1 =
2 2 ⇒ X
2
2
[]\ W
[]\ W
WYX 2
WYX 2
f e_ghU`id_j e
−
−
U_U`bacd : ^ =
1
2
+
=
+
= STVU .
Z
Z
z w w w 1y w w w 2x
z w w w 2y w w w 2x
vu
vt
^ _
q `r o Td
(4)
Reemplazando las relaciones (1) ,(2) y (3) en (4) se tiene que:
}
ƒ
2
1
~
(
2
1
−
€V‚
~
2
2
}
~
)=2
1
=
2
~
(
~
(
~
2
1
−
1
~
2
|
~
2
+
2
)
)|
1
2
1
(5).
∴}
1
> | 1.
5
De (1) y (2) se tiene que:
‡
‡
‰
=
1
‰
2
∴ˆ
2

Š‹Œs‹ : ˆ
2
=ˆ
‰
1
‰
1
2
=
1
2
‰
2 1 ‡
‰
‰
( 1 + 2)
2
ˆ
2
=‰
‰
1
2
(
‰
‰
2
1
‡
‰
2
+
2
)
1
=‰
‰
1
2
‰
(
‰
2
1
‰
‰
2
+
2
)
‰
2
‡
2
1
<‡ 2.
5.
Considere un satélite de masa m que gira en una orbita circular de radio R en torno a un
planeta de masa M>>m. Ž
a) Determine la velocidad 0 del satélite.
b) Suponga que el satélite es interceptado
‘
 por
 un proyectil, también de masa m, que se desplaza
radialmente hacia el planeta. Sea 1 = − 1 ˆ , la velocidad del proyectil justo antes del impacto.
Suponga que el choque es completamente inelástico (ie., el proyectil y el satélite forman un solo
cuerpo después de la colisión). Encuentre la velocidad que tiene el proyectil-satélite justo después
del choque.
c) Determine la mínima rapidez 1 que debe tener el proyectil justo antes del choque para que el
cuerpo proyectil-satélite logre escapar del campo gravitacional del planeta.
Solución:
a)
∑ F➞ = ma➞
2
2
-(GMm/R ) = -mVo /R
1/2
➾ Vo = (GM/R)
b) Por conservación de momentum (Pf = Pi) ⇒ P➞ = cte.
Pô = mVo = 2mVô ➾ Vô= Vo/2
P = -mV1 = 2mV ➾ V =-V1/2
➾ V➞ = Vo/2 ô - V1„†…
c) Energía para que escape es igual a cero:
2
(1/2)*2mV➞ -2GMn/R = 0
2
2
2
(1/2)*[ ( Vo/2) + (V1/2) ] = GM/R con Vo = GM/R
2
➾ V1 /4 = 2GM/R – (1/4)*GM/R
2
➾ V1 = (7GM/R)
6
6.
Tres esferas de masas, m, m y 2m están dispuestas como se indica en la figura. Las
esferas de masa m están ancladas en las posiciones que se indican.
a) Calcule la velocidad angular con que debe rotar la masa 2m, para que su distancia a las
partículas que están fijas permanezcan constante.
b) Considere ahora otra situación. La partícula de masa 2m está inicialmente en reposo en la
posición que se indica en la figura.
¿Cuál es su velocidad al pasar por x=0?
Solución:
Del DCL de (2m) se tiene que:
∑ F = 2ma
−2
(-F1cosθ - F2 cosθ = -2mw 2 R
Gm2m
(2a )
2
cosθ = -2mw 2 (2a )
w=
cosθ =
3
2
3 Gm
8 a3
7
b) Conservando la energía obtenemos lo que sigue:
Gm
 Gm 2m 
E i = − 2
 = −2
 2a 
a
2
 Gm 2m  1
2
E f = − 2
 + 2 mv
 a  2
Ef = Ei
−2
Gm 2
 Gm 2m  1
2
= −2
 + 2 mv
 a  2
a
2Gm
a
v=
7.- Consideremos el siguiente modelo para nuestra tierra: una esfera de radio R, densidad
uniforme ρ , aceleración de gravedad g en la superficie y despreciemos todo roce en el siguiente
problema. Es sabido que si se hiciera un túnel a través de esa tierra a lo largo de un diámetro y
una piedra se deja caer (sin velocidad inicial) desde un extremo, ejecutaría un movimiento
armónico simple de periodo
”
= 2π
“
/’
A) Tratando de calcular el periodo de un satélite terrestre artificial en una órbita circular de radio r
™
≥ R un alumno obtuvo: = 3˜
—
3
/ ρ•]–
3
siendo G la constante de gravitación universal, y
le “tinca” que su formula está mala porque es muy distinta a la de arriba.
a) ¿Puede usted, con un poco cálculo y buenas razones, convencerlo de que la relación es en
realidad correcta? Exprese sus consideraciones clara y brevemente.
B) También es sabido que si se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie un cuerpo con
žŸ

›œ
velocidad inicial igual a la velocidad de escape
= 2
/ = 11,2 / š el cuerpo no
regresa a la tierra.
b) ¿Sería posible lanzar un cuerpo por ese túnel diametralmente de la tierra de modo que no
regrese? ¿Cuál sería la velocidad de escape en ese caso? ¿Por qué? Explique, por favor.
8
Solución:
a.-
Calculemos T para un satélite en órbita en torno a la Tierra con rapidez cte., a una
distancia r del centro de la Tierra.
2
2
-(GMT*m) / r = -mw r
3
2
(GMT) / r = w (1)
Pero:
T= 2Π/w ⇒ w=2/T
(2)
Sea
ρ= MT/VT = MT/(4/3 * Π R ) ⇒ MT = ρ 4/3 * Π R (3)
3
3
De las ecuaciones (2) y (3) en (1), obtenemos:
⇒ (G*ρ4/3 * Π R ) / r = (2Π/T)
3
2
3
3
T = 3Π*r /(ρGR )
3
2
⇒ T = (3Π* r /(ρGR )
3
3 1/2
Por lo que concluimos que estaba correcto.
½
b.- En efecto. Basta lanzar el cuerpo con velocidad V= (2GM/R) .Dentro del túnel. Como dentro
del túnel hay Movimiento Armónico Simple, por simetría, sale con la misma velocidad por el otro
extremo.
⇒ EB
2
= (1/2)*mV - (GMn)/R = (1/(2R)) * m2GM - (GMm)/R
= 0 (Energía para que escape).
9