Relaciones mateComputo

Coordinación de Ciencias Computacionales - INAOE
Relaciones y funciones
Matemáticas Discretas
Relaciones y funciones
Relaciones
Propiedades de relaciones
 Clases de equivalencia
 Conjuntos parciales y totalmente ordenados
 Funciones


Cursos Propedéuticos 2010
Ciencias Computacionales
INAOE
Dr. Luis Villaseñor Pineda
[email protected]
http://ccc.inaoep.mx/~villasen
2
Producto cartesiano

Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano
AxB se define por:


Relaciones
Dados dos conjuntos A y B, una relación binaria R
de A a B es determinada por un subconjunto R 
AB
 Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)R
 Si A=B, se dice que R es una relación en A

AB = { (x, y) | xA, yB}
Ejemplo:

{a,b}{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}
Note que los elementos (x, y) son pares ordenados:
hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a)
 En general: AB ≠ BA

3
4
1
Ejemplo

Ejemplo
Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las
siguientes son ejemplos de relaciones de A a B:





Ø
{(2, 4), (2, 5)}
{(2, 4), (3, 4), (4, 5)}
{(2, 4), (3, 4), (4, 4)}
La relación de menor que < en el conjunto de
números naturales N se describe por el conjunto:


{(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…}  NN
La relación de igualdad “=“ en R se define por el
conjunto:

{(x, x) | xR}  RR
5
Propiedades de las relaciones


Ejemplo
Una relación R en A es reflexiva si:


Si (a, a)  R para toda a  A
Una relación R en A es antireflexiva si:

6
Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones
R sobre A y determine si son reflexivas:

R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

R={(x, y)| x, y  A, x ≤ y}
Si (a, a)  R para toda a  A


7
No es reflexiva
Es reflexiva
8
2
Propiedades de las relaciones

Ejemplo
Una relación R es simétrica si:


Si (a,b)R entonces (b,a)R
Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A

R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}

R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}

R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}

R={(1,1),(2,3),(3,3)}


Una relación R en A es antisimétrica si:


Si (a,b)R y (b,a)R entonces a=b


Una relación R es transitiva si:

Si (a,b)R y (b,c)R entonces (a,c)R

Simétrica y no reflexiva
Reflexiva y no simétrica
Simétrica y reflexiva
No Simétrica y no reflexiva
9
Ejemplo

Ejemplo
Sea A={1, 2, 3, 4}



R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)}

Sea A={1, 2, 3}

R={(1,2),(2,1),(2,3)}

R={(1,1),(2,2)}
Es una relación transitiva en A

R={(1,3),(3,2)}

10
No es transitiva

11
No simétrica y no antisimetrica
Simétrica y antisimetrica
12
3
Ordenamientos
Ordenamientos
Relaciones comunes tales como ≤ definen
ordenamientos
 Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y
sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y
transitiva
 (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o
poset si R es un ordenamiento parcial en A


Si a  b ó b  a, entonces los elementos a y b son
comparables
 Si todos los pares a y b posibles son comparables, 
es un ordenamiento total o cadena
13
Ejemplo

Relaciones de equivalencia
Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A
dada por (x, y)  R si x divide exactamente a y




14
R es reflexiva
R es transitiva
R es antisimétrica
Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A
15

Una relación R en A es una relación de equivalencia
si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva

La notación común para una equivalencia en A es “=“

Dada una relación de equivalencia R en A, para cada
aA la clase de equivalencia [a] se define por { x |
(x,a)R }.
16
4
Ejemplo

Equivalencias modulo 3 en Z tal que:


Particiones

[0] = {…,–6,–3,0,3,6,…} y [1] = {…,–5,–2,1,4,7,…}
Sea A={1, 2, 3}




Una partición de un conjunto A es un conjunto de
subconjuntos {Aj} tal que:

AiAj =  para todo ij

A = j Aj
R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}
R={(1,1),(2,2),(3,3)}
R={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)}
Son relaciones de equivalencia
17
Ejemplo

Composiciones
Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos
de particiones de A:




18

A={1, 2, 3, 4, 5}, B={6, 7, 8, 9, 10}
A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 4, 6, 8, 10}
A={1, 2, 3}, B={4, 6, 7, 9}, A={5, 8, 10}
Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5
La composición T = SR  AC de dos relaciones
SAB y RBC se define como
T = { (a,c) | tal que existe bB con (a,b)S y (b,c)R }
La composición de relaciones es asociativa
 Para relaciones R en A se pueden definir potencias:
R1 = R y Rn+1 = RRn para todo entero n

19
20
5
Matrices y relaciones

Matrices y relaciones
Una relación R de A = {a1,…,am} a B = {b1,…,bn}
puede representarse por una matriz M(R) de
dimensión mn de 0/1 :



Si aiRbj  R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 1,
Si aiRbj  R entonces el elemento (i, j) en M(R) es 0.
Si se utiliza la “adición booleana” 1+1=1, entonces la
composición de dos relaciones se puede calcular
mediante la matriz producto:

M(RS) = M(R)∙M(S)
21
22
Producto Cartesiano
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4},
B = {4, 5}. Entonces,
Un repaso de lo visto hasta ahora
a) A  B = {(2, 4), (2, 5), (3, 4),(3, 5),(4, 4), (4, 5)}.
b) B  A = {(4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4)}.
c) B2=B  B = {(4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}
d) B3=B  B  B =  a , b , c 
23
a, b, c  B ;
(4, 5, 5)B3.
24
6
Producto Cartesiano
Producto Cartesiano
EJEMPLO Un experimento E se desarrolla de la
siguiente forma: se lanza un sólo dado y se anota el
resultado; a continuación, se lanza una moneda al aire y
se anota el resultado. Determínese un espacio muestral
M para E.
EJEMPLO Si U =R, R  R = se conoce como el plano
real de la geometría coordenada y del cálculo
bidimensional. El subconjunto R+R+ es el interior del
primer cuadrante de este plano. Así mismo, R3 representa
el espacio euclidiano tridimensional donde las superficies
tridimensionales, como esferas y planos, son
subconjuntos importantes.
Denótese por E1 la primera parte del experimento E y
sea M1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} un espacio muestral para E1.
Así mismo sea M2={CA,CZ} un espacio muestral para
E2, la segunda parte del experimento. Entonces, M = M1
 M2 es un espacio muestral para E.
25
Producto Cartesiano
26
Producto Cartesiano
Este espacio muestral se puede representar gráficamente
con un diagrama de árbol.
EJEMPLO En el torneo de tenis de Wimbledon, las mujeres
juegan a lo sumo 3 sets en un partido. Triunfa quien gane
primero 2 sets. Si N y E representan a las 2 jugadoras, el
diagrama de árbol refleja las 6 maneras en que puede
ganarse el encuentro.
27
28
7
Relaciones
Relaciones
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3, ... , 7}, A = {2, 3, 4},
B = {4, 5}. Las siguientes son relaciones de A a B.
a) 
b) {(2,4)}
c) {(2, 4), (2, 5)}
d) {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}
e) {(2, 4), (3, 4), (4, 5)}
Como A  B = 6, por la definición se deduce que hay 26
relaciones posibles de A a B.
f) A  B.
En general, para conjuntos finitos A, B donde A = m y
B = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la
relación vacía y la propia relación A  B.
¿cuántas relaciones de A a B existen?
29
Relaciones
30
Relaciones
EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria
R en el conjunto A como  x , y  x  y  . Se trata de la
conocida relación “es menor o igual que” para el
conjunto de los enteros positivos,
EJEMPLO Sea B = {1, 2}  N, U = P(B) y A = U ={,
{1}, {2}, {1, 2}}. El siguiente es un ejemplo de relación
binaria en A: R = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, {1,
2}), ({1}, {1}), ({1},{1,2}), ({2}, {2}), ({2}, {1,2}),
({1,2}, {1,2})}. Se puede decir que la relación R es una
relación de subconjunto donde (C, D) R si y sólo si
C, D  B y C  D.
Se observa que (7,7),(7,11)R,
y (8,2)R, (7,11)R también
se puede denotar como 7R 11;
(8,2)R se transforma en 8R
2 son ejemplos de notación
infija en una relación.
31
32
8
Relaciones
Relaciones
Para cualquier conjunto A  U , A   = . Así mismo
  A = .
Para cualquier conjunto A  U , A   = . Así mismo
  A = .
Si A    , sea (a, b)  A  . Entonces, a A y b
 , lo cual es imposible.
33
Relaciones
34
Relaciones
El producto cartesiano y las operaciones binarias de
unión e intersección están interrelacionados con el
siguiente teorema.
EJEMPLO Dado un conjunto finito A con A =n, resulta
que A  A = n2, de modo que hay 2 n relaciones en A.
2
Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C  U.
a)
A  B  C    A  B    A  C 
b)
A  B  C    A  B    A  C 
c)  A  B   C
  A  C   B  C 
d)  A  B   C
  A  C   B  C 
¿Cuántas son reflexivas?
35
36
9
Relaciones
Relaciones
Recordando una relación R en un conjunto A se llama
simétrica si (x, y)  R  (y, x)  R para x, y  A.
Si A ={a1, a2, ... ,an}, una relación R en A es reflexiva si
. a i , a i  1  i  n   R . Al considerar los otros n2–n pares
ordenados de A  A (los de la forma a i , a j  , 1  i, j  n,
i  j) conforme se construye una relación reflexiva R en
A, se incluye o excluye cada uno de estos pares
ordenados, hay 2 n  n  relaciones reflexivas en A.
¿Cuántas son simétricas?
2
37
38
Relaciones
Para contar las relaciones simétricas en A={a1,a2, ... ,an},
se escribe AA como A1A2, donde A1=   a i , a i  1  i  n  y
A2=a i , a j  1  i , j  n , i  j  de modo que cada par en AA
está exactamente en uno de los conjuntos A1, A2.
¿Cuántas son reflexivas y simétricas?
Para A2, |A2| = |AA| – |A1| = n2–n = n(n–1), un entero par.
El conjunto A2 contiene (1/2)(n2–n) subconjuntos de la
forma {(ai,aj),(aj,ai)},1ijn. Al establecer una relación
simétrica R en A, para cada par ordenado de A1, se
dispone de la selección usual de exclusión o inclusión.
Para los (1/2)( n2 – n) subconjuntos de pares ordenados
en A2, se dispone de las mismas opciones. Por tanto, por
la regla del producto, hay 2 n  2 1 / 2  n  n  = 2 1 / 2  n  n  relaciones
simétricas en A.
2
2
39
40
10
Relaciones
Relaciones de Orden
¿Cuántas son reflexivas y simétricas?
Recordando una relación R en A es un ordenamiento
parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica
y transitiva
Se tiene sólo una opción para cada par ordenado en A 1.
De modo que hay 2 1 / 2  n  n  relaciones en A que son
reflexivas y simétricas.
2
Sea A un conjunto y R una relación en A. El par (A, R)
se llama conjunto parcialmente ordenado si la relación R
en A es un orden parcial, o una relación de ordenamiento
parcial. Si a A se le denomina conjunto parcialmente
ordenado, se sobre entiende que hay un orden parcial R
en A que convierte a A en este conjunto parcialmente
ordenado.
41
Relaciones de Orden
42
Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea A el conjunto de cursos ofrecidos en una
universidad. Defínase la relación R en A mediante x R y
si x e y son el mismo curso o si x es un requisito previo
para y. Entonces, R transforma a A en un conjunto
parcialmente ordenado.
EJEMPLO En el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, la relación
R en A, definida por x R y si x  y, es un orden parcial,
que transforma a A en un conjunto parcialmente
ordenado que se puede denotar por (A, ).
Si B = {1, 2, 4}  A, el conjunto ={(1, 1), (2, 2), (4, 4),
(1, 2), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial en B.
EJEMPLO Defínase R en A = {1, 2, 3, 4} por x R y, si ,
es decir, x divide a y. Entonces, R ={(1, 1), (2, 2), (3, 3),
(4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)} es un orden parcial y
(A, R) es un conjunto parcialmente ordenado.
43
44
11
Relaciones de Orden
Relaciones de Orden
En general si R es un orden parcial en A, entonces para
cualquier subconjunto B de A,  B  B   R convierte a B
en un conjunto parcialmente ordenado, donde el orden
parcial de B se induce de R.
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, un elemento max  A se llama maximal de A si
para toda a  A, max R a  max = a
Un elemento min  A se denomina minimal de A si para
toda b  A, b R min  b = min
45
Relaciones de Orden
46
Relaciones de Orden
EJEMPLO Sea U = {1, 2, 3} y A = P(U).
Definición Si (A, R) es un conjunto parcialmente
ordenado, un elemento x  A se denomina elemento
mínimo si x R a, para todo a  A. El elemento y  A se
denomina máximo si a R y para toda a  A.
Sea R la relación de subconjunto en A. Entonces U es
maximal, mientras que  es minimal para este conjunto
parcialmente ordenado.
Para B, la colección de subconjuntos propios de {1, 2, 3},
sea R la relación de subconjunto en B . En el conjunto
parcialmente ordenado (B, ), {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} son
elementos maximales, mientras que  es el único
elemento minimal.
47
50
12
Relaciones de Orden
Relaciones de Orden
EJEMPLO Sean U = {1, 2, 3} y R la relación de
subconjunto.
Para un conjunto parcialmente ordenado (A, R), es
posible tener varios elementos maximales y minimales.
¿Qué sucede con los elementos mínimo y máximo?
a) Con A = P(U), (A, ) tiene a  como elemento
mínimo y a U como máximo.
b) Para B = la colección de subconjuntos no vacíos de U,
(B, ) tiene a U como elemento máximo. No existe
elemento mínimo, pero si tres elementos minimales.
51
Relaciones de Orden
52
Relaciones de equivalencia
Recordemos que R en un conjunto A es una relación de
equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.
Teorema Si el conjunto parcialmente ordenado (A, R)
tiene algún elemento máximo (mínimo), ese elemento es
único.
EJEMPLO Sea nZ+. Para x, y  Z, se define la relación
R de módulo n por medio de x R y si y sólo si, x – y es
un múltiplo de n. Con n = 7, se halla que 9 R 2, -3 R 11,
(14,0)  R pero 3 R 7.
Demostración Supóngase que x, y A y que ambos son
elementos máximos. Como x es un elemento máximo,
yR x. Así mismo, x R y, pues y es un elemento máximo.
Como R es antisimétrico, x = y.
53
54
13
Relaciones de equivalencia
Relaciones de equivalencia
EJEMPLO Sea A=R y para cada iZ, sea Ai=[i, i+1).
Entonces constituye una partición de R.
Para cualquier conjunto A, A  A es una relación de
equivalencia en A, y si A = {a1, a2, ... , an}, la relación de
equivalencia más pequeña en A es R =  a i , a i  1  i  n  .
Definición Sea R una relación de equivalencia en un
conjunto A. Para cualquier x  A, la clase de equivalencia
de x, denotada por [x], se define mediante
Si R es una relación en A, R será una relación de
equivalencia y un orden parcial en A si y sólo si es la
relación de igualdad en A.
[ x ]  y  A y R x 
55
56
Teorema Si R es una relación de equivalencia en un
conjunto A y x, y A, entonces: a) x [x]; b) x R y si y
sólo si [x] = [y] y c) [x] = [y] o [x]  [y] = .
Relaciones de equivalencia
EJEMPLO Defínase la relación R en Z, por xRy, si 4
divide a (x–y). Para esta relación se encuentra que
Demostración
[0] = {..., -8, -4, 0, 4, 8, 12, ...} = {4k  kZ}
b) Si x R y , sea w [x]. Entonces, w R x; además como R
es transitiva, w R y. Por tanto, w  [y] y [x]  [y]. Con R
simétrica, x R y  y R x. De este modo, si t [y], entonces
t R y y por la propiedad transitiva, t R x. De ahí que t  [x]
e [y] [x]. Por tanto [x] = [y]. A la inversa sea [x] = [y].
Como por el apartado a) x  [x], entonces x  [y] o x R y.
a) Este resultado se obtiene de la propiedad reflexiva de R
[1] = {..., -7, -3, 1, 5, 9, 13, ...} = {4k + 1  kZ }
[2] = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...} = {4k + 2 kZ }
[3] = {..., -5, -1, 3, 7, 11, 15, ...} = {4k + 3 kZ }
{[0], [1], [2], [3]} proporciona una partición de Z.
57
c) Esta propiedad plantea que las clases de equivalencia
sólo se pueden relacionar de dos maneras: son idénticas o
disjuntas…
58
14
Relaciones de equivalencia
Relaciones de equivalencia
c) Continuación... partimos de que [x]  [y] y [x]  [y] .
Si [x]  [y]  , entonces sea v  A con v  [x] y v  [y].
Por tanto, v R x, v R y  x R y. Además por el apartado
b), x R y  [x] = [y]. Esto contradice la hipótesis de que [x]
 [y], por tanto se rechaza la hipótesis de que [x]  [y]  ,
y de ahí se obtiene el resultado.
Obsérvese que si R es una relación de equivalencia en A,
entonces, de acuerdo con a) y c) del teorema anterior, las
distintas clases de equivalencia determinadas por R
constituyen una partición de A.
EJEMPLO Si A ={1, 2, 3, 4, 5} y R = {(1, 1), (2, 2), (2,
3), (3, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, entonces R
es una relación de equivalencia en A, [1] = {1}, [2] =
{2,3}=[3], [4]={4,5}=[5] y A = [1]  [2]  [4].
59
60
Funciones
Ejemplo
Una función f:AB del conjunto A a B es la
relación fAB tal que cada aA está relacionada
con un único b tal que (a,b)f
 Notación f(a)=b, o f:a  b
 A es el dominio de f y B es el codominio
 El valor f(a)=b es la imagen de aA bajo f
 El conjunto { f(a) | aA } es el rango de f


Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}:

¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B?

¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B?

¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B?



61
No
No
Si
62
15
Ejemplo

¿Cuál es el dominio (dominio máximo ) de la función
h dada por?
h(w) 

Composición de funciones

1
Sean f: A  B y G: B  C dos funciones. La
composición de las funciones f y g, denotada por (g o
f) es la función:

ww 6
2

(g o f): A  C tal que
Para todo a  A, (g o f)= g(f(a))
-2 < w < 3
63
Tipos de funciones



Ejemplo
Una función es inyectiva o uno a uno si para cada
x  A tiene una única imagen f(a):

64


Si f(x)=f(y) entonces x=y.
Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas
Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}.
¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de
A a B?

No
Sea f: R  R donde f(x)= 3x + 7 para toda x

Es una función uno a uno
65
66
16
Tipos de funciones

Una función es sobre o suprayectiva si para cada
yB existe una xA tal que f(x)=y:


Tipos de funciones
Una función es una biyección entre A y B si es una
función uno a uno y suprayectica

Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}.
Si yB entonces existe una xA tal que f(x)=y
Sea f: R  R donde f(x)=


x3
para toda x


¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección?

¿Es una función sobre o suprayectiva?
Si
Si
67
68
Ejemplos

La función lineal f:ZZ, definida por f(x)=x+2




Es inyectiva
Es suprayectiva
Es biyectiva
La identidad I:AA es siempre una biyección
69
17