UNAM FACULTAD DE INGENIERÍA SEGUNDO EXAMEN PARCIAL A DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS SEMESTRE 93-2 DEPARTAMENTO DE MECÁNICA 27 de mayo de 1993 ESTÁTICA Duración: 60 minutos Grupo 6 Problema 1 (50 puntos) Determina el ángulo θ de la fuerza de 500 N de tal manera que cuando la fuerza se descomponga en dos componentes actuando a lo largo de las barras AB y BC, la fuerza componente a lo largo de AB sea de 300 N, dirigida de B hacia A. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza componente actuando a lo largo de BC? A las fuerzas componentes que actúan a lo largo de las barras AB y BC se les denominará respectivamente FA y FC. Con base en la ley de los senos, y los datos del problema: sen(θ − 30º ) sen 75º = 300 500 de donde: sen(θ − 30º ) = 300 sen75º 500 θ − 30º = ang sen (0.5796 ) θ = 35.42º +30º θ = 65.42º Ya que la suma de ángulos interiores de todo triángulo es 180º: α + θ − 30º +75º = 180º y por tanto: Resolución escalar Con base en el principio de Stevinus, se puede construir el siguiente triángulo: α = 135º −65.42º α = 69.58º Y nuevamente empleando la ley de los senos, se obtiene: FC 500 = senα sen 75º FC = 500 sen 69.58º sen 75º y por tanto: FC = 485.1 N Resolución vectorial − 155.3 ⎛ − 155.3 ⎞ ± ⎜ ⎟ − (− 160000 ) 2 ⎝ 2 ⎠ 2 FC = − La fuerza F puede ser representada por el vector: F = (− F cos θ , F senθ ) FC = 77.65 ± 166029 FC = 77.65 ± 407.5 y las fuerzas componentes por los vectores: de las cuales se escoge la positiva, por tanto: FA = (FA sen45º , FA cos 45º ) FC = 485.1 N FC = (− FC sen60º , FC cos 60º ) Observe que los ángulos están definidos en este caso con respecto a la vertical. Para obtener θ, se sustituye el valor de FC, por facilidad, en la segunda ecuación escalar: 500 senθ = 212.1 + 0.5(485.1) Dado que: ⎛ 454.7 ⎞ ⎟ ⎝ 500 ⎠ θ = ang sen⎜ F = FA + FC al sustituir los valores conocidos la ecuación vectorial queda: (− 500 cos θ , 500 senθ ) = (300 sen45º , 300 cos 45º ) + (− FC sen60º , FC cos 60º ) θ = 65.42º de la cual se establecen las siguientes dos ecuaciones escalares: − 500 cos θ = 212.1 − 0.8660 FC Como se puede observar, para la resolución de este problema es más sencillo el planteamiento escalar. Problema 2 (50 puntos) 500 senθ = 212.1 + 0.5 FC de las que se despejan el seno y el coseno: 250000 cos 2 θ = (212.1 − 0.8660 FC ) 250000 sen 2θ = (212.1 + 0.5 FC ) de donde: 2 2 Determina la ordenada yP del punto P, tal que los momentos de las fuerzas mostradas con respecto a dicho punto, sean de igual magnitud y de sentido contrario, si se sabe que 1 < yP < 3. luego de sumar miembro a miembro: ( ) 250000 cos 2 θ + sen 2θ = 45000 − 367.4 FC + 0.75 F + 45000 + 212.1FC + 0.25 FC2 2 C dado que cos 2 θ + sen 2θ = 1 : 250000 = 90000 − 155.3 FC + FC2 por tanto: FC2 − 155.3 FC − 160000 = 0 cuyas raíces son: 2 La fuerza de 600 lb puede ser representada por el vector: ⎛4 3⎞ F1 = 600 ⎜ , ⎟ ⎝5 5⎠ M PF1 = (0 , 0 , 900 − 720 + 720 y P ) y dado que M PF1 = − M PF2 : − 2880 + 480 y P = −180 − 720 y P de donde es decir: 1200 y P = 2700 F1 = (480 , 360 ) lb por tanto: De forma similar, la fuerza de 780 lb puede representarse por medio del vector: y P = 2.25 ft 5 ⎞ ⎛ 12 F2 = 780 ⎜ , − ⎟ ⎝ 13 13 ⎠ F2 = (720 , − 300 ) lb Asimismo, los segmentos dirigidos PA y PB quedan representados por los vectores: r1 = (1 − 5 , 3 − y P ) ft r2 = (2 − 5 , 1 − y P ) ft y Entonces, es posible calcular los momentos que producen ambas fuerzas con respecto al punto P: M PF1 = r1 × F1 y M PF2 = r2 × F2 Se calculan los momentos por medio del producto cruz de vectores: M F1 P i = −4 480 j 3 − yP k 0 360 0 M PF1 = (0 , 0 , − 1440 − 1440 + 480 y P ) y de forma similar: i M F2 P j k = − 3 1 − yP 0 − 300 0 720 3
