t10 funciones - Ester Ponsoda

FUNCIONES
1. Definición de función. Dominio y recorrido.
 Función: relación de correspondencia que se establece entre los elementos de dos magnitudes, de
manera que a cada valor de la variable independiente (x) solo le corresponde un único valor de la
variable dependiente (y).
y = f(x)
o La variable independiente, x: es aquella cuyo valor de fija previamente.
o La variable dependiente, y: es aquella cuyo valor se deduce del de la variable independiente.
 Dominio de la función: es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, y se
representa por D(f).
x → D(f)
 Recorrido o imagen: es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (imágenes),
y se representa por Im(f) o R(f).
y = f(x) → Im(f)
2. Propiedades de las funciones.
 Continuidad y discontinuidad:
o Una función es continua si su gráfica no presenta ningún salto y se puede trazar sin levantar
el lápiz del papel.
o En caso contrario, las funciones son discontinuas, y pueden presentar distintos tipos de
discontinuidades: Inevitables (de salto finito o se salto infinito) y evitables.
 Tasa de variación: de una función f(x) en un intervalo [a, b] es igual a: TV[a, b] = f(b) - f(a)
 Crecimiento y decrecimiento: analizar si la TV es positiva o negativa.
o Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de valores en él, a y b, la tasa
de variación es positiva. Una función es creciente en su dominio si al aumentar los valores de
x también aumentan los valores de y = f(x): x1 < x2 → f(x1) ≤ f(x2)
o Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de valores en él, a y b, la
tasa de variación es negativa. Una función es decreciente si al aumentar los valores de x,
disminuyen los de y = f(x): x1 < x2 → f(x1) ≥ f(x2)
* En general, las funciones no son crecientes o decrecientes en todo su dominio. Para describir su
comportamiento se indican los intervalos abiertos en los que la función crece o decrece. Los
puntos en los que se producen los cambios pueden ser discontinuidades de la función o extremos
relativos (máximos o mínimos).
 Máximos y mínimos absolutos y relativos: una función f(x) tiene:
o Un máximo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma
son menores que f(a).
f(x) tiene un max. relativo en P[a, f(a)], si f(a) ≥ f(x), para todos los valores de x situados en
un intervalo de centro x = a.
o Un mínimo relativo en x=a si existe un entorno del punto a en el que los valores que toma
son mayores que f(a).
Relativo → entorno
f(x) tiene un min. relativo en P[a, f(a)], si f(a) ≤ f(x), para todos los valores de x situados en un
Absoluto → dominio
intervalo de centro x = a.
o Un máximo absoluto en x=a si f(a) es mayor o igual que el valor de f(x) en cualquier otro
punto del dominio de la función.
o Un mínimo absoluto en x=a si f(a) es menor o igual que el valor de f(x) en cualquier otro
punto del dominio de la función.
 Simetría:
o Respecto al eje de ordenadas: una función f(x) presenta simetría par cuando para todo x
del dominio se verifica que f(-x) = f(x).
o Respecto al origen de coordenadas: una función f(x) presenta simetría impar cuando para
todo x del dominio se verifica que f(-x) = - f(x).
 Periodicidad: una función f(x) es periódica de período T si para todo x del dominio se verifica que:
f(x + T) = f(x).
 Acotación: una función está acotada si lo está inferior o superiormente.
o una función está acotada inferiormente si existe un número real k tal que, para todo x, f(x) ≥
k. El número K se llama cota inferior.
o una función está acotada superiormente si existe un número real k’ tal que, para todo x, f(x)
≤ k’. El número K’ se llama cota superior.
EJEMPLOS:
3. Operaciones con funciones.
 Dadas dos funciones f(x) y g(x), se define la…
o Función suma: s = f + g como s(x) = f(x) + g(x)
o Función diferencia: d = f - g como s(x) = f(x) - g(x)
o Función producto: p = f * g como p(x) = f(x)∙g(x)
… siempre que existan f(x) y g(x); es decir, el dominio de la función suma está formado por
los números que simultáneamente pertenecen a los dominios de f y de g.
o
Función cociente: q =
𝑓
𝑔
como q(x) =
𝑓(𝑥)
,
𝑔(𝑥)
se deben excluir del dominio, además
de los valores que no pertenecen a los dominios de f o g, a aquellos que hacen g(x)
= 0, esto es, que anulan el denominador de la función q(x).
EJEMPLOS
1
f(x) = 𝑥
→
D(f) = R – {0}
g(x) =
→
D(g) = R – {3}
1
𝑥+2
𝑥−3
𝑥 2 + 3𝑥−3
𝑥 2 − 3𝑥
→
D(s) = R – {0, 3}
𝑥 2 + 𝑥+3
𝑥 2 − 3𝑥
→
D(d) = R – {0, 3}
→
D(p) = R – {0, 3}
→
D(q) = R – {-2, 0, 3}
𝑥+2
s(x) = f(x) + g(x) = 𝑥 + 𝑥−3 =
1
𝑥+2
d(x) = f(x) – g(x) = 𝑥 - 𝑥−3 =
1
𝑥+2
𝑥+2
p(x) = f(x)∙g(x) = 𝑥 ∙ 𝑥−3 = 𝑥 2 − 3𝑥
𝑓(𝑥)
1
𝑥+2
𝑥−3
q(x) = 𝑔(𝑥) = 𝑥 : 𝑥−3 = 𝑥 2 + 2𝑥
4. Composición de funciones.
 Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de f y g, y se designa por f ° g, la
función f [g(x)].La expresión (f ° g)(x) se lee g compuesta con f. Se nombra en primer lugar
la función de la derecha porque es la primera en actuar sobre la variable independiente x.
(f ° g)(x) = f [g(x)]
 En general, la composición de funciones no es conmutativa: f ° g ≠ g ° f
 El dominio de f ° g está formado por los valores a que pertenecen al dominio de g y tales
que f(a) pertenecen al dominio de f. condiciones:
o Que exista g(a), es decir, que a ∈ D(g).
o g(a) ∈ D(f)
EJEMPLOS
f(x) = (x – 3)2
g(x) = (x + 1)
- función g compuesta con f: (f ° g)(x) = f [g(x)] = f(x+1) = (x – 3)2 = (x + 1 – 3)2= (x – 2)2
- función f compuesta con g: (g ° f)(x) = g [f(x)] = g[(x – 3)2] = (x – 3)2 + 1 = x2 – 6x + 10
5. Función inversa.
 Dos funciones f y g son recíprocas o inversas si se verifica que :
(f ° g)(x) = (g ° f)(x) = x
 La función inversa de f se denota f-1. Si la función f transforma el valor de x en y = f(x), la
función f-1 transforma y en x: f-1(x) = y.
 Las gráficas de una función f y de su inversa f-1 son simétricas respecto de la bisectriz del
primer cuadrante. x = y
 Pasos a seguir para hallar la función inversa de f(x).
1º Se despeja, si es posible, la variable x.
2º Se intercambian las variables x e y.
* Una función tiene inversa solo cuando su gráfica corta cada línea horizontal una vez como
máximo. Para que la función inversa siga cumpliendo la definición de función, en la que dice
que para cada valor de la variable independiente solo corresponde un único valor de la
dependiente.
* Si una función no es inyectiva, no cumple la definición anterior, su inversa es una
correspondencia, pero no es una función y se calcula con el mismo procedimiento.
1
𝑓
* No confundir la función inversa, f-1, con la función , que representa la inversa numérica de f.
EJEMPLOS
Función inyectiva: y = f(x) =
1
𝑥−3
→x-3=
1
𝑦
→x=
1
𝑦
+ 3 → x = f-1(y)=
Función no inyectiva: y = f(x) = x2 → x = f-1(y)= √𝑦 → f-1(x) = √𝑥
1+3y
y
→ f-1(x) =
1+3x
x
6. Funciones definidas a trazos.
 Aquellas funciones que se definen aplicando diferentes expresiones a diferentes partes de
su dominio. En estos casos es interesante estudiar el comportamiento de la función en los
valores de x próximos a aquellos en los que cambia la expresión que define f.
EJEMPLOS
x–1
f(x) = 5 – x2
2𝑥−4
𝑥
si x < -3
si -3 ≤ x ≤ 2
si x > 2
-x–4
si x + 4 ≤ 0 ↔ x ≤ -4
x+4
si x + 4 > 0 ↔ x > - 4
g(x) = |𝑥 + 4|