Funciones crecientes y decrecientes

Funciones crecientes y decrecientes
Introducción
Hablaremos de un tema de cálculo diferencial en el que podemos observar el
comportamiento de las funciones en un determinado intervalo, por lo hay que seguir
ciertos pasos y normas, para poder obtener los resultados, a su vez podremos
observar otras características del tema, sin más, adentrémonos de lleno el tema.
Desarrollo
Definiciones
Función
Para iniciar el tema, empezaremos con la definición de función; “En matemáticas,
se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera
depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un
círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del
radio, A = π·r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos
ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la
que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d/v.
A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y
la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
Función creciente y decreciente
Como podemos ver una función es como tal la variable de la cual va a determinar
el resultado de lo que queremos calcular, ya que vimos lo que es a grandes rasgos
lo que es una función trataremos de explicar lo que es una función creciente y
decreciente, lo que nos explica el autor del libro (FRANK AYRES, JR., Ph. D.,
Calculo diferencial e integral) “Una función f(x) es creciente en un punto x =xo
cuando, dado un h positivo e infinitamente pequeño, se verifica: f(xo - h) <f(xo) <
f(xo + h). Análogamente, f(x) es decreciente en un punto x = xo cuando, dado un h
positivo e infinitamente pequeño, se verifica: f'(xo -h) >f(xo) >f(xo + h). Si f'(xo) >0,
la función f(x) es creciente en el punto x = xo y si f'(xo) < 0, es decreciente en dicho
punto. Cuando f'(xo) =0, diremos que la función es estacionaria en el punto x = xo'
Una función es creciente (decreciente) en un intervalo, cuando es creciente
(decreciente) o estacionaria en cada uno de los puntos del mismo.”
Como se puede ver en la imagen una función es creciente cuan el valor va en
aumento y decreciente cuando este disminuye, cabe recordar que no solo cuando
la función sobre para el 0 será creciente o decreciente se tiene que analizar el
comportamiento completo de la función para determinar si es creciente o
decreciente, es decir si la función se localiza en el cuadrante IV o donde el eje de
las ordenadas y adyacentes son negativas pero la función tiente a 0 hacia los
positivos esta será una función creciente y viceversa, por lo que hay que tener
cuidado al momento de decir que una función es creciente o decreciente, por lo
antes comentado, para entender un poco más veremos un pequeño ejemplo.
Criterio de la primera derivada
Otro tema muy importante para el tema, es el criterio de la primera derivada (también
conocidos como extremos relativos) la cual consiste en calcular los puntos críticos
de la función, es decir los puntos más altos o más bajos dentro de una función.
Una vez conocidos los intervalos de crecimiento o decrecimiento, es fácil localizar
los extremos relativos de la función. Así, en la Figura 3.18 del Ejemplo 1, la función:
Tiene un máximo relativo en el punto (0,0) porque es creciente inmediatamente a la
izquierda de x = 0 y decreciente inmediatamente a la derecha. Análogamente, f tiene
un mínimo relativo en el punto (1, - t) porque f es decreciente inmediatamente a la
izquierda de x = 1 Y creciente inmediatamente a su derecha. El próximo teorema
enuncia de modo explícito esta observación.
El procedimiento seria el siguiente.
3
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑥 2
2
Derivando obtenemos
𝑓 ′ = 3𝑥 2 − 3𝑥
Factorizando nos queda de la siguiente manera
3𝑥(𝑥 − 1)
Por lo que x obtiene los valores de (0,1) sustituyéndolos en la ecuación principal nos
quedaría así:
3
(0)3 − 02 = 0
2
3
1
(1)3 − 12 = −
2
2
Por lo que el punto más alto en la función es (0,0) y el más bajo es (1,0.5), con esto
termina el tema de funciones crecientes y decrecientes.
Conclusión
La función cuanta con dos variables (dependientes e independientes) y la derivación
nos ayuda a localizar cuales son los puntos más altos y los más bajos de una función.
Reflexión
Como podemos ver el mundo de las matemáticas es muy basto y alentador a la
investigación, porque con ellas podemos observar el mundo de otra manera, sin
embargo cabe señalar que las matemáticas son una disciplina muy rigurosa con la
que podemos aprender cómo funciona nuestro mundo, hay que practicarlas, para
ser cada día más diestros en la materia.
¿Por qué has elegido ese tema?
Son temas que más me gustan y se me facilitan
¿De dónde partiste para empezar a escribir?
Empecé por dar una pequeña introducción, antes de entrar de lleno al tema, sin
haber olvidado delimitar bien los temas a tratar, para no perderme en el mar de la
información, dar unos ejemplos prácticos, y sobre todo elegir mis fuentes de
investigación y consulta.
Bibliografía y fuentes de consulta

Función matemática,
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

Calculo con geometría analítica vol. I ,ROLAND E. LARSON, ROBERT P.
HOSTETLER

Calculo diferencial e integral, FRANK AYRES JR.