Imagina que eres el responsable de un módulo de información...

Imagina que eres el responsable de un módulo de información situado en la Alameda Central, en el Centro Histórico de la
Ciudad de México. Tu trabajo consiste en orientar a los turistas proporcionándoles instrucciones sencillas para llegar a los
lugares de interés. Tu módulo se encuentra en la calle Ángela Peralta, muy cerca del Palacio de Bellas Artes, como
puedes ver en el croquis que aparece a continuación.
Si una persona te pregunta cómo llegar a la Casa de los Azulejos ¿crees que sería suficiente que le indicaras que el lugar
se encuentra a 3 cuadras del módulo?
Iglesias
Teatros y museos
Hoteles
1. Iglesia y panteón de
San Fernando
3. Museo de la Secretaría de
Hacienda
A. De Cortés
2. San Hipólito
4. Pinacoteca Virreinal
B. Ambassador
8. Corpus Christi
5. Museo de la Alameda
C.Sheraton Alameda
11. San Juan de Dios
6. El Caballito
D. Estoril
13. Santa Veracruz
7. Fondo de las Artesanías
E. Metropol
21. San Francisco
9. Monumento a Benito Juárez
F. Marlowe
22. La Expiación
10. Museo Franz Mayer
23. Templo Metodista
12. Museo de la Estampa
14. Palacio de Bellas Artes
Estaciones del Metro
15. Museo Nacional de Arte
Hidalgo
16. Palacio de Minería
Juárez
17. Palacio de Correos
Bellas Artes
18. Banco de México
19. Casa de los Azulejos
20. Torre Latinoamericana
Como ves, para dar indicaciones precisas es muy importante tomar en cuenta un punto de referencia fijo a partir del cual
se puede medir cuánto hay que desplazarse (magnitud) y en qué dirección. Ahora observa la fotografía que te presentamos
a continuación, ¿sabes qué es?
Efectivamente se trata de una fotografía satelital de la República
Mexicana. En ella pueden verse las masas de aire y agua que
generan los huracanes. ¿Crees que podrías indicar en qué estado
de la República Mexicana hace contacto con tierra el huracán? Es
muy probable que si el gráfico tuviera la división política
marcada, podrías determinarlo con mayor facilidad, pues ello te
proporcionaría una referencia de la ubicación de cada estado.
Huracán
(Voz taína) Viento muy impetuoso y temible que, a modo de
torbellino, gira en grandes círculos, cuyo diámetro crece a
medida que avanza apartándose de las zonas de calma tropicales,
donde suele tener origen.
Si lo piensas un poco, te darás cuenta que siempre que
intentamos ubicar un lugar nos resulta indispensable hacer
referencia a algún punto conocido. Las Matemáticas y en
particular la Geometría analítica ofrecen para ello los sistemas de referencia. En esta unidad estudiaremos tres
modalidades (unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales) y sus elementos, que tú conoces pues ya has
elaborado gráficas. Si bien el estudio de nuestra asignatura puede trabajarse en el plano (sistema bidimensional) o en el
espacio (sistema tridimensional), nosotros nos dedicaremos al primero, más conocido como plano cartesiano.
Sistema de referencia
Conjunto de elementos que permiten la ubicación de puntos a partir de un punto conocido como origen.
Finalmente, aprenderemos que los modelos matemáticos se pueden expresar analítica y geométricamente, pues para cada
expresión hay una representación gráfica, y para cada gráfica existe una expresión matemática. Para entrar en detalle,
trabajaremos con un modelo matemático relacionado con la alimentación. Este modelo nos permitirá conocer los
requerimientos energéticos de cada persona (en kilocalorías por día) según su edad, sexo y tipo de actividad. Así mismo,
analizaremos gráficas de oferta-demanda y para describirlas adquirirás el lenguaje matemático apropiado y preciso, que
está relacionado con las funciones.
¿Qué elementos debe tener cualquier sistema de referencia?
Como ya dijimos, un sistema de referencia nos permite ubicar puntos de manera precisa… ¿sabes por qué? Pues porque
para determinar su posición utilizamos coordenadas, expresadas generalmente mediante números, que nos permiten
especificar la distancia (o distancias) que hay entre el punto de referencia del sistema (llamado origen) y el punto que nos
interesa.
Coordenadas
Distancias medidas sobre el o los ejes de un sistema y que permiten fijar la ubicación de un punto.
Origen
Punto cuya(s) coordenada(s) es (son) cero(s). En los sistemas de dos y tres dimensiones, es además el punto de
intersección de los ejes.
Tú conoces y has usado ya tres sistemas de referencia: los unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Aquí
tienes una breve descripción para recordarlos:
¿Qué elementos debe tener cualquier sistema de referencia?
Independientemente del número de variables que representen (una, dos o tres), todos los sistemas de referencia deben
contener 5 elementos básicos para que puedan ofrecer información suficiente a quienes los consulten. Aquí te
presentamos su descripción y representación gráfica.
Pon en práctica lo anterior
Relaciona las columnas. Fíjate en la información que te proporcionan los 5 elementos que revisamos (origen, dirección,
nombre y unidades de la variable, escala) para contestar correctamente.
Algunas recomendaciones antes de continuar
Antes de seguir adelante, debemos contar con todos los elementos necesarios para trabajar. Nuestra asignatura necesita
que realicemos desarrollos analíticos y gráficas.
Para la parte analítica te recomendamos que tengas a la mano lápiz y papel. Recuerda que las Matemáticas se aprenden
mejor si eres parte del proceso que si sólo eres un espectador. En lo que se refiere a la parte geométrica, tú decidirás si
graficas sobre papel o electrónicamente; para las actividades que envíes al asesor, será indispensable que cuentes con un
graficador electrónico. Te recomendaremos dos: puedes usar Excel o Winplot. Este segundo es de distribución libre en
Internet y puedes encontrarlo haciendo una búsqueda. Te recomendamos que lo bajes cuanto antes para conocerlo.
Algunos sitios que pueden ayudarte son:
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http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html,
http://www.matedu.cicata.ipn.mx/sof1.htm
http://faculty.ccc.edu/tr-scimath/Math140/TechTutor/winplot/ basics/winplotbasics.htm
En este último sitio encontrarás dos cosas interesantes: un manual de Winplot y una recomendación que retomamos
textualmente para ti:
WARNING: Calculators don't do math; people do.
En otras palabras:
Ten cuidado: Las calculadoras son una herramienta, pero no saben
hacer Matemáticas. Sé crítico con tus resultados y piensa si son
congruentes con el contexto del problema en que estés trabajando.
Seguro que cuando te hablamos del sistema de referencia unidimensional te suena un poco menos conocido que cuando
nos referimos a la “recta numérica”. Entonces es muy probable que venga a tu mente lo que aprendiste en la primaria, con
todo y la ranita que saltaba. Desde entonces muchos conceptos matemáticos han evolucionado en tu mente, y uno de los
más importantes es que has aprendido que además de los números enteros (aquellos que nos permitían contar el número
de saltos de la ranita) también existen los números racionales (o fraccionarios) y los irracionales (las raíces no exactas), y
que todos juntos forman un conjunto llamado los números reales.
Así, tú sabes ahora que entre dos números cualesquiera (el 0 y el 1, o el 15.4 y el 15.5, o el -1005.25 y el -1005.30, por
mencionar tres ejemplos) hay una infinidad de números, idea que el filósofo griego Zenón nos permite entender a través
de la paradoja de la dicotomía. Sabemos que es una idea abstracta, no en vano muchos científicos consideran que si
hubiera que presentar a habitantes de otro planeta aquello que mejor representa lo sofisticado de nuestro pensamiento y
evolución, ese algo debería ser precisamente la recta de los reales.
Paradoja
Del latín paradoxus, y este del griego parádoxos. Idea extraña u opuesta a la común opinión y al sentir de las personas..
Aserción inverosímil o absurda, que se presenta con apariencias de verdadera.
Dicotomía
Del griego dicotomía. División en dos partes.
Recta de los reales
Como ya dijimos, la recta numérica es la expresión gráfica de los números reales. En algunos casos, nos permite tener
reunidos los datos de un fenómeno para compararlos entre sí, visualizar rápidamente los de mayor y menor magnitud, los
más frecuentes y los atípicos. En otros casos, nos permite señalar una secuencia de eventos. Como todo sistema de
referencia, sus cinco elementos (origen, dirección, variable representada, unidades de la variable y escala) contextualizan
matemáticamente la información.
La recta puede dibujarse horizontal o verticalmente y en algunos casos hasta inclinada. La recta de los reales tiene gran
cantidad de aplicaciones en nuestra vida diaria:
en las Ciencias naturales:
en la ingeniería (observa que en este ejemplo se relacionan 3 rectas):
y aunque tal vez no lo hayas pensado, también en la historia, donde es frecuente el
uso de las líneas de tiempo (fíjate en el manejo de las escalas de tiempo):
En el sitio http://www.pbs.org/deepspace/timeline/index.html puedes encontrar
estas líneas de tiempo con explicaciones más detalladas para cada evento.
Dondequiera que habite, el hombre se encuentra expuesto a fenómenos
naturales contra los que es difícil enfrentarse por la magnitud que
implican: terremotos, huracanes, tornados. Sin embargo, el desarrollo de la
ciencia y la tecnología le ha permitido establecer escalas que le permiten
valorar el fenómeno en función de su magnitud, intensidad o nivel de
daños que produce.
Estas escalas, al igual que la mayoría de las que utilizamos, son arbitrarias, es decir, alguien ha fijado los niveles de
magnitud o la manera de medirlos a partir de un cierto criterio, pero nada impide que alguien más proponga otro criterio
igualmente válido.
De esta manera, se aplica escala Fujita para medir la intensidad de los tornados a partir del daño que provocan; para la
intensidad de un huracán según la velocidad de los vientos que produce se usa la escala Saffir-Simpson y para los sismos
se aplican la escala Richter (magnitud) o la escala Mercalli (intensidad según los daños que produce).
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Para otros fenómenos mucho más cotidianos también usamos escalas que, en la medida que se han generalizado, facilitan
los intercambios y el entendimiento entre personas de diferentes regiones. En este sentido, una de las convenciones o
acuerdos mundiales más importantes es el Sistema Internacional de Unidades. Uno de los pocos países que aún mantiene
un sistema diferente es Estados Unidos, que aún aplica el Sistema Inglés (S Ing). De tal manera que:
Para la temperatura, existen las escalas Celsius (SI) y Fahrenheit (S Ing).
Para la longitud, se usan el metros y sus derivados (SI), las yardas, pies y pulgadas (S Ing)
El peso, que se puede expresar en gramos y sus derivados (SI) o en libras (S Ing)
El volumen,para el que podemos usar los metros cúbicos y los litros (SI) o los galones (S Ing).
Si lo piensas, la estatura de una persona adulta no se modifica porque la midamos en metros o en pies, lo que cambia es la
expresión matemática de dicha estatura, según el sistema de referencia usado
para medirla.
La recta de los reales y los terremotos.
Trabajemos con un ejemplo en el que podamos representar datos sobre una recta
numérica con objeto de visualizar su comportamiento, describirlos e
interpretarlos.
En el botón Terremotos devastadores encontrarás una relación de los terremotos
registrados en el mundo desde 1900 que hemos consideramos devastadores por
su magnitud (en escala Richter) y por el número de muertes ocasionadas.
Aunque la pérdida de cualquier ser humano (aunque sea sólo uno) es una
catástrofe en sí, para esta selección establecimos como criterios que el terremoto
hubieran causado más de 20 000 muertes y que su magnitud fuera mayor de 6
grados en la escala Richter o que, sin cumplir alguna de las anteriores
condiciones, sus efectos hubieran sido devastadores. Te recomendamos que guardes el archivo porque lo necesitarás.
Terremotos devastadores
La recta de los reales y los terremotos: Graficando datos.
Vamos a presentar en una gráfica las magnitudes de la tabla Terremotos devastadores, de manera que podamos hacer una
descripción de las características generales que comparten e interpretemos lo que la propia gráfica nos permita:
1.
Revisa los valores de las magnitudes de los sismos para que puedas determinar una escala adecuada.
2.
Traza una recta numérica con sus 5 elementos. Te recomendamos que uses Excel o que grafiques aparte, en una
hoja cuadriculada para que te resulte más sencillo. En cualquiera de los dos casos, comienza por ubicar los primeros diez
datos en tu recta.
La recta de los reales y los terremotos: identificando puntos
¿Te quedó una gráfica como ésta?
Como verás, aunque sólo hemos graficado diez puntos en la gráfica, están tan cercanos entre sí que los puntos quedan
muy cercanos e incluso hay algunos sobrepuestos. Para que la información sea más clara, mejoraremos nuestra gráfica por
dos vías:
La recta de los reales y los terremotos: tu turno
En la tabla del archivo terremotos devastadores en la hoja con el nombre de “Datos” hemos dejado la primera columna
libre para que anotes el nombre que asignarás a cada dato. Cuando hayas terminado de escribirlos, haz la gráfica usando
todos los datos.
¿Listo? En ese caso, activa la ventana para acceder a información acerca de los terremotos que nos ayudará a interpretar
nuestros datos. Te recomendamos que mantengas abierta dicha ventana o la imprimas para tenerla a mano en las
actividades siguientes.
Terremotos
Terremotos
agnitud M Escala
Richter
M < 3.5
3.5 < M ≤ 5.4
5.5< M ≤ 6.0
6.0< M ≤ 7.0
7.0 < M ≤ 7.9
M ≥8
Efectos del terremoto
Generalmente no se siente, pero se registra
A menudo se siente, pero sólo causa daños menores.
Ocasiona daños ligeros a edificios.
Puede ocasionar daños severos en áreas donde vive mucha gente.
Terremoto mayor. Causa graves daños.
Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas
Unidad 1, Tema: sistema de referencia, 12/22
La recta de los reales y los terremotos: describamos e interpretemos
Ahora llena el cuestionario que encontrarás en la hoja Cuestionario del archivo terremotos devastadores. Cuando
termines, envía esa hoja al asesor.
A continuación analizaremos un poco más a fondo nuestra información para obtener algunas conclusiones. Un proceso de
interpretación de resultados es un paso más allá de la descripción, y en el intervienen varios factores:
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Nuestra capacidad de observación
El contexto de la información
Nuestros conocimientos generales (bagaje cultural propio)
Las investigaciones que realicemos relacionadas con el tema en fuentes confiables
Aquí tienes algunas preguntas que pueden guiarte en esta etapa.
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Observa la lista de países en los que ocurren los terremotos devastadores, ¿tienen características económicas y
sociales similares? ¿cuáles?
¿Hay algunos países en los que sea más frecuente la ocurrencia de terremotos devastadores? ¿cuáles?
¿Qué otros eventos se generan a consecuencia de los terremotos?
¿Por qué será que el terremoto de mayor magnitud no es el que ocasionó los mayores daños?
Después de leerlas y reflexionarlas, contéstalas y reúne esas respuestas en un texto que pueda complementar la
descripción que ya hicimos de los datos (máximo 15 renglones). Vuelve a leerlo, revisa la redacción, la ortografía, la
congruencia del contenido y envíalo al asesor.
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¡Buen trabajo! Observa que llegaste más allá de la mera gráfica: describiste e interpretarse la información.
¿Quieres comparar tus respuestas de la actividad anterior con las nuestras?
Si es así, consulta la información que quieras revisar.
Los sistemas de referencia unidimensionales se aplican con frecuencia en áreas como la ingeniería y la arquitectura para
indicar la altura o profundidad de los varios niveles de una estructura o para describir los estratos que conforman el
subsuelo de una región (estratigrafía). En este tipo de representaciones gráficas se usan como referencia rectas verticales.
Del latín stratus. Conjunto de elementos que, con determinados caracteres comunes, se ha integrado con otros conjuntos
previos o posteriores para la formación de una entidad o producto históricos, de una lengua, etc. Masa mineral en forma
de capa de espesor más o menos uniforme, que constituye los terrenos sedimentarios. Geol. Cada una de las capas
superpuestas en yacimientos de fósiles, restos arqueológicos, etc.
Estratigrafía
Representación del conjunto de capas o estratos que constituyen el subsuelo de una región.
Por ejemplo cuando se planea construir una estructura, lo primero que debe determinarse es el tipo de suelo sobre el cual
se desplantará dicha construcción, qué resistencia tiene dicho suelo y qué tipo de cimentación se necesitará. Para
determinar las características del suelo se realizan muestreos de campo que, según el caso pueden ser profundos o
superficiales.
Desplantar
Apoyar, sentar las bases o construir la cimentación para una estructura.
Si alguna vez te has asomado a una excavación abierta de más de 2 metros de profundidad te habrás fijado que el
subsuelo no es una masa uniforme ni homogénea. Al contrario, podría decirse que es una sucesión de capas superpuestas,
llamadas estratos, que pueden identificarse a simple vista por su color y por el
tamaño de las partículas que lo forman:
Lo primero que hace un especialista en estudios de suelos es identificar los
estratos que observa y medir su espesor. Generalmente presenta esta información
mediante un modelo simplificado como el siguiente:
Sin embargo, para hacer la descripción es más conveniente referirse a los niveles
de profundidad a los que van apareciendo los diferentes estratos, y por eso es
más frecuente que presente algo así:
¿Te fijaste? En este segundo esquema se ha introducido de hecho un sistema de referencia unidimensional. Si quisiéramos
representar este esquema solo con una recta numérica y puntos, ¿cómo quedaría? dibújala y contesta después las
siguientes preguntas:
1. ¿Qué referencia usas como origen?
2. ¿Hacia dónde apunta la flecha que indica la dirección?
3. ¿Qué nombre le diste a la variable?
4. ¿En qué unidades indicaste dicha variable?
5. En esa recta numérica, ¿qué representaría un punto A(1.1)?
6. ¿Y un punto B (-3.5)?
Modelemos el subsuelo
Como viste, el nivel del terreno constituye el cero y a partir de él se consideran positivas las medidas a medida que se
profundizan más, y negativas las que llevan arriba del nivel del terreno. Por supuesto que como ya dijimos, un sistema de
referencia es arbitrario, por lo que también podríamos elegir una convención diferente, en la que se considere positivo lo
que se mida del nivel del terreno hacia arriba, y negativo lo que se profundiza. En ese caso, un nivel –3.20 m indicaría
3.20 metros bajo el nivel del suelo y un nivel +5.40 m quiere decir que se deben medir 5.40 metros hacia arriba.
A continuación te presentamos un pozo de exploración del subsuelo en el que se colocó una graduación para determinar
las profundidades de cada estrato.
Dibuja un esquema en el que modeles el suelo de esta fotografía, indicando las profundidades a las que aparece cada
estrato. Considera que todo lo que se mide bajo el nivel de terreno es positivo.
Para complementar tu modelo, anota el espesor de cada estrato. ¿Cómo lo obtienes? Si te acuerdas, calcúlalos y
regístralos en tu esquema. Luego envía tu dibujo al asesor y continúa trabajando. Si no lo recuerdas, consulta el siguiente
material de apoyo.
Esquema
Dibujo que no necesariamente está a escala, a cambio de lo cual se incluyen las medidas para darle precisión.
Las líneas de tiempo y los inventos del siglo XX
Como te presentamos anteriormente, las líneas de tiempo son una muy interesante aplicación de la recta real, porque
permiten visualizar de manera esquemática un conjunto de eventos históricos. Ahora te pedimos que intentes elaborar una
línea de tiempo con la información que encontrarás en el botón (consulta el cuadro informativo). Te proponemos una lista
con los 50 descubrimientos e inventos más notables del siglo XX; y te pedimos que selecciones los 10 que a tu juicio son
los principales. Cuando los hayas seleccionado, elabora una línea de tiempo para ubicarlos.
¡Cuidado! En este tipo de gráficas debes elegir cuidadosamente la escala para que la información que presentes sea lo más
clara posible. Si estás listo, consulta el cuadro informativo. En el mismo archivo encontrarás los años aproximados en que
se considera que podrían haberse realizado 20 grandes inventos de la Humanidad.
Aprovecha esa información para relacionar los inventos que seleccionaste con estos otros. Por ejemplo, si seleccionaste
los del siglo XX la introducción de la luz ámbar en los semáforos, podrías relacionarla con el invento de los primeros
semáforos y calcular cuánto tiempo duró la evolución de este invento.
Debes realizar 10 relaciones de este tipo, en las que incluyas el procedimiento de cálculo y el resultado. Cuando termines,
envía el archivo a tu asesor, junto con tu gráfica, para que pueda guardar tu calificación y retroalimentarte.
Sistemas bidimensionales
Seguramente te preguntarás si le dedicaremos a los sistemas bidimensionales tanto tiempo como a los unidimensionales
¿Podrías creer que no? ¿Y sabes por qué? Pues porque para un sistema de dos o tres dimensiones se aplica lo mismo que
hemos trabajado ya con los unidimensionales: la dirección, el nombre de las variables y sus unidades, y el ajuste de las
escalas.
El sistema bidimensional, conocido generalmente como plano xy o plano cartesiano, se aplica en muchas áreas de la
ciencia, porque nos permite relacionar dos variables y analizar el comportamiento de una de ellas con respecto a la otra.
Tú ya lo has trabajado desde el semestre pasado, ¿no es así? Sólo recordaremos algunos aspectos en los que es importante
unificar criterios.
De acuerdo con lo que viste en la sección anterior podemos decir que un punto se representa geométricamente al ubicarlo
en un plano cartesiano, y que su expresión analítica son sus coordenadas. Como ya has graficado puntos en el plano en
otras asignaturas, te pediremos que seas tú quien plantee el ejercicio para esta parte: un puntograma.
¿Recuerdas aquellos dibujos en los que al unir puntos se obtiene una figura?
Pues ahora tú crearás uno:
Teniendo como referencia un plano cartesiano, realiza un dibujo esquemático y señala sus puntos básicos (máximo de
30). Cuando lo tengas listo, genera una tabla en Word donde escribas las coordenadas de los puntos. Envía este archivo a
uno de tus compañeros para que lo grafique en Winplot e intente adivinar qué es.
Por otra parte, a tí te tocará graficar en Winplot el que recibas de algún compañero.
Uno de los aspectos importantísimos que hacen que el plano cartesiano se aplique para visualizar datos, es que permite
ver el comportamiento de dos variables entre las que existe alguna relación. De hecho, más adelante veremos que esa
relación puede expresarse en muchas ocasiones mediante una ecuación. ¿Ves qué importante es la aportación de
Descartes? Traspasa la mera representación gráfica para modelarla analíticamente mediante una ecuación, o sea, una
fórmula.
Pero vayamos por partes. Primero visualicemos las relaciones entre variables.
En la actividad terremotos devastadores usamos las magnitudes para describir cómo fueron los terremotos que asolaron al
mundo en los últimos 100 años, ¿recuerdas?
¿Qué te parece si ahora relacionamos esa información con el número de muertos reportados en cada caso? Para ello
naturalmente un sistema unidimensional ya no es suficiente, así que trabajaremos en un plano cartesiano:
1. Usando los datos del archivo terremotos devastadores.xls que ya tienes, encuentra la gráfica magnitud-número de
muertos.
2. Escribe un pequeño texto (no más de 15 renglones) donde describas tu gráfica y hagas una interpretación de los
resultados.
3. Envía ambos productos (gráfica y texto) a tu portafolio para compartir tu trabajo con tus compañeros.
Si comparaste tu interpretación de resultados con la que hicimos usando sólo una variable, verás que al relacionar
variables hemos analizado el fenómeno con más elementos que la primera vez.
Antes de trabajar con estas relaciones, aprenderemos a calcular algunas magnitudes usando herramientas de Geometría
Analítica. Entre ellas estarán la distancia entre dos puntos en un plano cartesiano, el área de un polígono si conocemos las
coordenadas de sus vértices y el punto medio de un segmento.
Geometría
Del latín geometria, y este del griego geometría. Estudio de las propiedades y de las medidas de las figuras en el plano o
en el espacio. Aplicación del Álgebra a la geometría para resolver por medio del cálculo ciertos problemas de la
extensión. Estudio de figuras que utiliza un sistema de coordenadas y los métodos del análisis matemático.
El sistema satelital GPS y el sistema tridimensional
Con el desarrollo de la aviación y la carrera espacial, a partir de la década de 1960 Estados Unidos abrió líneas de
investigación para desarrollar un sistema que determinara la posición de prácticamente cualquier cosa que se encontrara
sobre la Tierra. Este sistema debía cumplir los siguientes requisitos:
• Globalidad, es decir, que fuera capaz de abarcar toda la superficie del planeta.
• Funcionamiento continuo que no se viera afectado por factores como las condiciones atmosféricas.
• Susceptibilidad de ser altamente dinámico para posibilitar su uso en la aviación
• Precisión
Fue a partir de estos requerimientos que lograron desarrollar el
Sistema de Posicionamiento Global (GPS por las siglas en inglés de
Global Positioning System), o de manera completa NAVSTAR-GPS
(Navigation Signal Timing and Ranking- Global Positioning System).
Este sistema permite determinar la posición de cualquier objeto,
persona, vehículo o nave, con una precisión incluso de centímetros,
aprovechando una red de 24 satélites (21 operativos y 3 de respaldo)
girando alrededor de nuestro planeta en una órbita circular de 20.200
km, con trayectorias sincronizadas para cubrir toda la superficie de la
Tierra. Como ya revisaste en Geometría y Geografía, cuando se desea
determinar la posición de un objeto, el aparato que se utiliza para ello
localiza automáticamente como mínimo cuatro satélites de la red, de
los que recibe unas señales indicando la posición y el reloj de cada
uno de ellos.
El sistema permite obtener las tres coordenadas que determinan la posición de un objeto en la Tierra: latitud, longitud y
altitud. Gracias a ello, el éxito económico y operativo del sistema ha resultado incuestionable. Actualmente, el sistema
GPS se aplica fundamentalmente en la navegación terrestre y marítima, en la aviación, el campismo, la Geología y por
supuesto la Geografía, con especial aplicación en la Cartografía. Para entender cómo funciona el sistema te
recomendamos que visites alguno de estos siguientes sitios, donde encontrarás explicaciones breves y claras al respecto:
• Como Funciona el Sistema GPS en Cinco Pasos Lógicos
• El sistema de posicionamiento global (GPS)
• NAVSTAR-GPS Summary
Como ya hemos dicho, para ubicar un punto en el espacio tridimensional se necesitan tres ejes de referencia, a los que en
Matemáticas generalmente les asignamos las letras x, y z. Por tanto, para ubicar un punto requerimos tres coordenadas P
(x, y, z). Los puntos ubicados en un sistema tridimensional se ven así:
El estudio de la Geometría analítica puede realizarse en el plano (2D) o en el espacio (3D). Esto significa que mientras en
el plano cartesiano podemos encontrar la ecuación que representa a una recta, expresada en términos de x e y,
En un sistema de tres dimensiones podremos determinar la ecuación de un plano expresada en términos de x,y,z. En las
gráficas anteriores puedes observar que en el sistema tridimensional podemos ver un plano (como si viéramos una hoja de
papel completa) en tanto que el sistema bidimensional sólo nos permite ver el canto de dicha hoja.
Empecemos
Ahora que ya tienes un panorama general de los sistemas de referencia, retomaremos el sistema bidimensional para
trabajar nuestro curso de Geometría analítica. Así que de ahora en adelante, realizaremos nuestras representaciones
gráficas en el plano cartesiano.
Al igual que el resto de las áreas de las Matemáticas, la Geometría analítica nos permite medir. Dos de las magnitudes que
podemos determinar con sus métodos son la distancia y el área. Claro que ya sabemos hacerlo usando elementos de
Geometría euclidiana, si tenemos las longitudes de los lados y/o las alturas, pero en nuestro caso nuestros datos serán sólo
coordenadas.
Las presas
En su lucha por aprovechar los recursos naturales y defenderse del embate de la naturaleza, el hombre ha realizado obras
extraordinarias. Un elemento con el que su ingenio se ha puesto a prueba al máximo es el agua. Ha tenido que aprender a
convivir con ella y aprovecharla, cuidándose al mismo tiempo de su fuerza. Es así como surge, entre otras estrategias, la
de almacenarla y aprovecharla en grandes volúmenes mediante la construcción de presas. Las presas son las estructuras
de mayor magnitud construidas por el hombre.
Actualmente se construyen en el mundo presas con diferentes
finalidades, como almacenamiento (para riego en la época de secas),
derivación (para control del volumen de agua en la época de lluvias),
generación de energía eléctrica o una combinación de las anteriores.
La estructura más importante de una presa es la cortina, que es la
construcción que obstaculiza el paso libre del agua de un río, y la
detiene para formar un lago artificial llamado embalse.
Los materiales para construir la cortina se eligen dependiendo, en
algunos casos, de su disponibilidad en el entorno, y en otros, de la
finalidad de la presa. Hay cortinas de concreto, de tierra, y de tierra
con roca (se llaman de tierra y enrocamiento). En México, la mayoría
son de este último tipo.
Aquí tienes la estructura de una presa de tierra y enrocamiento:
¿Te la estás imaginando? El dibujo, que es un corte transversal de la cortina, te muestra lo que verías si pudieras cortar
una rebanada de presa a lo ancho.
Como puedes ver, el obstáculo que detiene el agua se construye con tres capas: al centro un material muy fino,
prácticamente impermeable, que impide el paso del agua; luego un filtro de grava y arena, y en el exterior, el
enrocamiento, o capa de roca.
En México, la mayor parte de los complejos hidroeléctricos se han resuelto con presas de tierra y enrocamiento, por lo
que los ingenieros mexicanos son de los especialistas más reconocidos a nivel mundial en este tipo de presas. Entre las
obras más importantes a nivel mundial se encuentran la construcción de las cortinas de las presas de Chicoasén, Malpaso
y La Angostura (Chiapas), y El Infiernillo y El
Caracol (Guerrero).
Supongamos que dicho esquema corresponde a
una presa que se ha terminado de construir
recientemente y tú debes dar el visto bueno a las
cantidades que ha presentado el constructor para
liberar sus pagos pendientes. Entre las
cantidades que debes verificar está el perímetro
y el área de cada una de las secciones que
componen la cortina.
Probablemente podrías pensar que las
coordenadas de los puntos no constituyen información suficiente para ejecutar tu tarea, pero vamos a ver que en realidad
es todo lo que necesitas. Empecemos por obtener los perímetros, que como recordarás, se calculan sumando las
longitudes de cada uno de los lados que forman un polígono.
Vamos a necesitar obtener una fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos puntos que están ubicados en un
plano. Hasta ahora, sólo sabemos obtener distancias entre dos puntos que se hallan en un eje real o recta numérica.
¿Recuerdas aquello del kilometraje final menos el kilometraje inicial del automóvil para determinar la distancia que
habías recorrido? Pues ese cálculo será la base para nuestra nueva fórmula.
Supongamos que tenemos el siguiente segmento y queremos determinar
su longitud:
Imagina que “aplanamos”, o dicho matemáticamente, proyectamos el
segmento sobre el eje x, así:
Nuestro segmento y sus proyecciones, juntos, se ven así:
Vamos a detenernos a reflexionar, para decidir por dónde
continuamos:
• Queremos obtener la longitud del segmento azul (segmento
• Sabemos cuánto mide cada una de sus proyecciones
Entonces, ¿Cómo conectamos esta información para llegar al
objetivo?
¿Ya te fijaste qué figura geométrica hemos formado? ¿Qué tipo de
triángulo es? Claro que es un triángulo rectángulo… ¿a qué te
recuerda? ¿Alguna herramienta matemática (fórmula o algo así) que
nos pueda servir?
Piensa, y cuando la recuerdes, escribe aquí el nombre del
matemático a quien se le atribuye:
La fórmula de la distancia
En efecto, en los triángulos rectángulos se cumple el Teorema de Pitágoras:
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrado de los catetos
(hipotenusa)2 = (cateto adyacente)2 + (cateto opuesto)2
Será esta herramienta la que nos permita determinar la distancia
Obtengamos el valor numérico de la distancia
para nuestro ejemplo, sustituyendo el valor de cada proyección
¿Qué te parece? Hemos calculado nuestra primera distancia en el plano cartesiano. ¿Hay que hacer todo esto para cada
distancia?
Cuando un procedimiento sigue siempre los mismos pasos, es posible representarlo simbólicamente. En nuestro caso,
haremos uso del Álgebra para generalizar la obtención de la distancia entre dos puntos, de modo que tengamos una
expresión que nos simplifique el proceso de cálculo a partir de las coordenadas de dichos puntos.
Para ello, repetiremos el procedimiento que acabamos de realizar, pero ahora usaremos literales en vez de números. Esta
es nuestra gráfica original (con los valores que usamos en nuestro ejemplo) y una equivalente, pero con literales:
¿Recuerdas qué hicimos después? Para que puedas ver cómo llegar a la fórmula de la distancia, ordena los siguientes
pasos en secuencia del 1 al 5, de acuerdo al ejemplo:
Esta es nuestra fórmula para obtener la distancia entre dos puntos que se ubican en un plano cartesiano:
Un ejemplo más utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntosa
Ahora, considera los puntos
y
y calcula la distancia
:
implica que partimos del punto T y llegamos al punto Q, por lo que la
Para realizar tu cálculo, te hacemos notar que
fórmula de la distancia quedaría así para este caso:
Para llevar a cabo la tarea que te han encomendado, es muy importante que trabajes de manera sistemática, así que
primero le pondremos una etiqueta a cada cosa. Observa que hemos dado un número a cada una de las secciones que
forman la cortina:
Empecemos por la sección 1, la roja, que corresponde a la capa
exterior de roca y que es un triángulo. Aquí está:
Fíjate que calcular la distancia
no será problema, ya que al ser
una distancia horizontal, se puede calcular como en una recta
numérica, de modo que
. Sin embargo, para calcular las
distancias
y
necesitaremos de nuestra fórmula. Calcula las
distancias y encuentra el perímetro de la sección 1.
Ahora que has calculado el perímetro de la sección 1, puedes
continuar con el resto de las secciones. La siguiente tabla servirá
para concentrar los resultados. Puedes obtenerla en la siguiente liga,
donde también encontrarás el esquema de la cortina, por si lo
necesitas.
Área de un polígono en el plano xy
Para calcular el área de un polígono, usaremos la siguiente fórmula:
Donde A es el área del polígono, y (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)…(xn, yn) son las coordenadas de cada uno
de los puntos que definen los vértices del polígono, ordenados en sentido contrario al giro de las
manecillas del reloj.
Para entender mejor la fórmula, nos serviremos de un ejemplo.
Aquí tienes un cuadrilátero; obtengamos su área.
Comencemos por dar nombre a los vértices, lo cual haremos según las instrucciones de la formula, en orden inverso a la
rotación de las manecillas del reloj. Es decir, elegiremos uno de los puntos arbitrariamente y lo llamaremos A. Los demás
serán B, C y D, y les daremos nombre siguiendo el giro opuesto al de las manecillas, así
Estos son nuestros puntos, ordenados en sentido contrario al correr de las manecillas:
Aquí tenemos la fórmula:
Si sustituimos los datos, nos queda así:
Como ves, para el área de un cuadrilátero la fórmula se reduce a 5 renglones, uno por cada vértice y
uno final para repetir las coordenadas del primero. Las barras verticales que encierran a los números
nos indican que debemos operarlos como en un determinante, es decir, multiplicando de manera
cruzada.
Los determinantes consisten en multiplicar en diagonal y luego sumar. Primero se multiplica hacia abajo, comenzando
por el extremo superior izquierdo:
De manera que hasta el momento tenemos lo siguiente:
Luego, se multiplica hacia arriba, partiendo del extremo inferior izquierdo. Algo muy importante es que en estas
multiplicaciones hacia arriba debemos cambiar el signo del resultado, así:
Por lo tanto, tenemos lo siguiente: Observa que después del resultado numérico hemos escrito el símbolo u2 para indicar
las unidades cuadradas que corresponden a un área. Ahora ya puedes determinar las áreas de cada sección de la cortina de
la presa de nuestra actividad.
Terminemos la actividad
Como recordarás, en el archivo Tabla resumen.xls, donde guardaste los perímetros, había una columna para anotar el
valor de cada área. Calcula y anota allí los resultados. Una vez que termines esta primera parte de la práctica, piensa en lo
siguiente:
Lo que acabas de hacer sirve para cuantificar los volúmenes que ejecuta un constructor. De este modo, cuando presenta
sus solicitudes de pago (se llaman estimaciones), los responsables de un proyecto y de administrar los recursos verifican
que se cobre lo justo. En este caso, como ya tienes el área de cada tipo de material, sólo hace falta multiplicarla por el
número de metros que se hayan construido para conocer el volumen, y por el costo para determinar el pago.
Imagina que la longitud de la cortina es de 50 metros. En un documento electrónico contesta cada una de las siguientes
preguntas y junto con la tabla de perímetros y volúmenes que completaste envíalo a tu asesor:
1. ¿Cuántos metros cúbicos de cada material se necesitan para construir esta presa?
2. ¿Cuál es el volumen total de la cortina?
3. Ahora imagina que se pagan $200 dólares por metro cúbico de material del corazón de la cortina, $300 dólares
por metro cúbico de filtro, $400 por metro cúbico de enrocamiento en el lado que no está en contacto con el agua
de la presa y $500 dólares por el enrocamiento del otro lado (en contacto con el agua). ¿Qué presupuesto se
necesita para construir esta presa?