Tabla-de-integrales

Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licencia
Creative Commons Atribución 2.1 España.
Séptima revisión: Febrero
Sexta revisión: Julio
Quinta revisión: Mayo
Cuarta revisión: Mayo
Tercera revisión: Marzo
1.
Integrales indefinidas
1.1.
Funciones racionales e irracionales
1.1.1.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Z
(7)
(ax + b)n dx =
1
(ax + b)n+1 + C,
a(n + 1)
Z
dx
1
= ln |ax + b| + C
ax + b
a
Z
1
1
dx
=− ·
+C
2
(1 + x)
1 + x
Z
Z
1.1.2.
(6)
Contienen ax + b
n 6= 1
dx
1
x
+C
= ln
x(ax + b)
a
ax + b
1
2
1
1
xdx
=− ·
−
·
+C
(1 + bx)3
2b (1 + bx)2
2b 1 + bx
Contienen
√
ax + b
Z
√
2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
+C
x a + bxdx =
15b2
√
Z
x
2(bx − 2a) a + bx
√
dx =
+C
3b2
a + bx
1
2005
2003
2002
2001
2001
(8)
(9)
Z
Z √
1.1.3.
(10)
(11)
Z
Z
1.1.4.
(12)
(13)
(14)
Z
Z
Z
1.1.5.
(15)
dx
=
x a + bx
√

 √1 ln
a
√
√
√a+bx−√a + C,
a+bx+
q a
 √2 arctan a+bx + C,
−a
−a
√
a + bx
dx = 2 a + bx + a
x
dx
1
x
= arctan + C,
a2 + x2
a
a
(x2
Z
dx
+C
x a + bx
√
a>0
xdx
1
=√
+C
2
3/2
2
±a )
x ± a2
Contienen a2 − x2 ,
(a2 − x2 )3/2 dx =
x<a
xp 2
x
a2
arc sen + C,
a − x2 +
2
2
a
a>0
dx
1
1
a+x
x
+ C = arctanh
=
ln
a2 − x2
2a
a−x
a
a
(a2
dx
x
= √
+C
2
3/2
2
−x )
a a2 − x2
Contienen
x2 ± a2 dx
√
x2 ± a 2
=
=
(16)
a<0
Contienen x2 ± a2
Z p
Z
Z
a>0
x
p
x2 ± a2 dx =
p
1 p 2
x a ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
2
( √
1
a2
2
2
(+)
2 x√a + x + 2 arcsenhx + C
2
1
2 − x2 + a arccoshx + C
x
a
(−)
2
2
1 2
(x ± a2 )3/2 + C
3
p
1
2
x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
5
5
Z √ 2
p
2
x −a
a
(18)
dx = x2 − a2 − a · arc cos
+C
x
|x|
Z
dx
x
√
(19)
= a · arcsenh + C
a
x2 + a 2
Z
p
dx
x
√
(20)
= ln x + x2 − a2 + C = arccosh + C,
2
2
a
x −a
Z
1
a
dx
√
(21)
= arc cos
+ C, (a > 0)
2
2
a
|x|
x x −a
(17)
x3
2
(a > 0)
√
dx
x2 ± a 2
√
(22)
+C
=∓
2
2
2
a2 x
x x ±a
Z
p
xdx
= x2 ± a 2 + C
(23)
2
2
x ±a
Z √ 2
(a2 + x2 )3/2
x ± a2
(24)
dx = ∓
+C
4
x
3a2 x3
Z
a2
x
x2
xp 2
√
x − a2 − arccosh + C
(25)
dx =
2
2
2
2
a
x −a
Z
1.1.6.
(26)
Contienen
Z p
Z
√
a2 − x2 dx =
p
a2 ± x2
1 p 2
a2
x
x a − x2 −
arc sen + C,
2
2
a
(a > 0)
1
a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
3
Z
p
p
x
a2
x
arc sen + C, a > 0
(28)
x2 a2 − x2 dx = (2x2 − a2 ) a2 − x2 +
8
8
a
√
Z √ 2
p
a ± x2
a + a2 ± x2
(29)
dx = a2 ± x2 − a ln
+C
x
x
√
Z
− a2 − x2
dx
√
=
+C
(30)
a2 x
x2 a 2 − x 2
Z
dx
x
√
(31)
= arc sen + C, a > 0
2
2
a
a −x
√
Z
dx
1
a + a2 − x2
√
(32)
+C
= − ln
a
x
x a2 − x2
Z
p
x
√
(33)
dx = ± a2 ± x2 + C
a2 ± x2
Z
x2
x
a2
xp 2
√
(34)
a ± x2 ∓
arc sen + C, a > 0
dx = ±
2
2
2
2
a
a ±x
Z
p
dx
x
√
(35)
= ln x + a2 + x2 + C = arcsenh + C, a > 0
2
2
a
a +x
(27)
1.1.7.
x
Contienen ax2 + bx + c

√
2ax+b−√b2 −4ac
√ 1

ln
=

b2 −4ac
2ax+b+ b2 −4ac


Z

2ax+b
2
dx
= √b2 −4ac arctanh √b2 −4ac + C, b2 > 4ac
(36)
=
ax2 + bx + c 
√ 2
arctan √2ax+b
+ C,
b2 < 4ac

2

4ac−b2

 4ac−b
2
+ C,
b2 = 4ac
− 2ax+b
3
Z
(37)
x
1
b
dx =
ln ax2 + bx + c −
ax2 + bx + c
2a
2a
Z
(38)
1.1.8.
(40)
x · dx
bx + 2c
= 2
+
n
+ bx + c)
(b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
Z
b(2n − 3)
dx
+ 2
, n 6= 0, 1,
2
(b − 4ac)(n − 1)
(ax + bx + c)n−1
Contienen
Z
√
ax2 + bx + c
ax2 + bx + cdx =
2ax + b p 2
4ac − b2
ax + bx + c +
4a
8a
a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
√
dx
ax2 + bx + c
Z
(42)
b2 < 4ac
2ax + b
dx
=
+
(ax2 + bx + c)n
−(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
Z
2a(2n − 3)
dx
+
, n 6= 0, 1, b2 < 4ac
−(b2 − 4ac)(n − 1)
(ax2 + bx + c)n−1
Z p
(41)
dx
+C
ax2 + bx + c
(ax2
Z
(39)
Z
√
ax2
Z
√
ax2
Ver §3.5, pág. 11: método alemán
√ p
dx
1
= √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
a
+ bx + c
 1
2ax+b
√
√
∆ < 0, a > 0;

 a arcsenh 4ac−b2 + C,
1
√ ln |2ax + b| + C,
∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac
a

 √1
+ C, ∆ > 0, a < 0;
arc sen √2ax+b
− −a
b2 −4ac
√
Z
x
dx
ax2 + bx + c
b
√
√
(43)
−
dx =
2
2
a
2a
ax + bx + c
ax + bx + c

√ √ 2
Z
 −1
√ ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0
dx
x
c
√
=
(44)
bx+2c
x ax2 + bx + c  √1 arc sen √
+ C,
c<0
2
Z
−c
1.2.
(45)
(46)
|x| b −4ac
Funciones trigonométricas
1.2.1.
Z
Z
dx
+ bx + c
Contienen sen ax
1
ax
dx
+C
= ln tan
sen ax
a
2
sen2 axdx =
1 ax − cos ax · sen ax
x sen 2ax
·
+C = −
+C
2
a
2
4a
4
(47)
Z
Z
senn−1 ax · cos ax n − 1
sen axdx = −
+
a·n
n
n
Z
senn−2 axdx,
1 cos(a + b)x 1 cos(a − b)x
−
+ C,
2
a+b
2
a−b
Z
Z
1
n
(49)
xn sen axdx = − xn cos ax +
xn−1 cos axdx
a
a
Z
∞
X
(ax)2ν−1
sen ax
(50)
dx =
x
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
ν=0
Z
ax π dx
1
(51)
+C
= tan
∓
1 ± sen ax
a
2
4
(48)
1.2.2.
(52)
(53)
Z
Z
Z
sen ax sen bxdx = −
n 6= 0, −1;
a2 6= b2
Contienen cos ax
cos2 axdx =
1 ax + cos ax · sen ax
·
+C
2
a
ax π dx
1
+C
= ln tan
−
cos ax
a
2
4
∞
X
cos ax
(ax)2ν
dx = ln |ax| +
(−1)ν
+C
x
(2ν) · (2ν)!
ν=1
Z
Z
cosn−1 ax · sen ax n − 1
n
(55)
cos axdx =
cosn−2 axdx+C, n 6= 0, −1;
+
a·n
n
Z
1 sen(a − b)x 1 sen(a + b)x
(56)
cos ax cos bxdx = −
+
+ C, a2 6= b2
2
a−b
2
a+b
Z
Z
1
n
(57)
xn cos axdx = xn sen ax −
xn−1 sen axdx + C, n 6= −1
a
a
Z
1
ax
dx
(58)
= ± tan
+C
1 ± cos ax
a
2
(54)
1.2.3.
(59)
(60)
(61)
(62)
(63)
Z
Z
Z
Z
Z
Contienen tan ax o cot ax
1
tan axdx = − ln cos ax + C
a
tan2 xdx = tan x − x + C
tann−1 ax
tan axdx =
−
a(n − 1)
n
cot axdx =
Z
1
ln sen ax + C
a
cotn axdx = −
cotn−1 ax
−
a(n − 1)
tann−2 axdx,
Z
n 6= 1, 0;
cotn−2 axdx + C,
5
n 6= 1, 0;
1.2.4.
(64)
(65)
(66)
(67)
(68)
Z
Z
(70)
(71)
1h ax
ax
ax ax i
ln cos
− ln cos
+C
+ sen
− sen
a
2
2
2
2
sec2 axdx =
1
tan ax + C
a
secn xdx =
Z
cscn axdx = −
Z
Z
Z
Z
1.2.6.
(72)
sec axdx =
Z
1.2.5.
(69)
Contienen sec ax o csc ax
Z
Z
1 tan ax · secn−2 ax 1 n − 2 1 n−2
ax · dx + C,
+
a
n−1
a n − 1 sec
1
csc2 axdx = − cot ax + C
a
1 cot ax · cscn−2 1 n − 2
+ ·
a
n−1
a n−1
Z
cscn−2 ax·dx+C,
n 6= 1;
Varias funciones
sec x · tan ax · dx = sec x + C
csc x · cot x · dx = − csc x + C
m
n
cos x · sen x · dx =
(
cosm−1 x·senn+1 x
m+n
cosm+1 x·senn−1 x
m+n
+
+
m−1
m+n
n−1
m+n
funciones trigonométricas inversas
x
x p
arc sen dx = x · arc sen + a2 − x2 + C,
a
a
R
cosm−2 x · senn x · dx
R
cosm x · senn−2 x · dx
a > 0;
x
x p
arc cos dx = x · arc cos − a2 − x2 + C, a > 0;
a
a
Z
x
x 1
x2
(74)
arctan dx = x · arctan − a ln 1 + 2 + C, a > 0;
a
a a
a
Z
x
1
x a
(75)
arccot dx = x · arccot + ln(a2 + x2 ) + C
a
a
a 2
Z
(76)
x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C
(73)
n 6= 1;
6
1.3.
(77)
(78)
(79)
(80)
(81)
Funciones exponenciales y/o logarı́tmicas
Z
Z
xn eax dx =
xn eax
n
−
a
a
Z
xn−1 eax dx
Z
eax sen bx · dx =
eax (a sen bx − b cos bx)
+C
a2 + b 2
eax cos bx · dx =
eax (b sen bx + a cos bx)
+C
a2 + b 2
Z
loga xdx = x loga x −
Z
Z
x ln(a + benx )
dx
=
−
+C
a + benx
a
an
x
+ C,
ln a
∀a > 0;
2x2 ln x − x2
+C
4
Z
1
n
n+1 ln ax
(83)
x ln ax · dx = x
−
+C
n + 1 (n + 1)2
(82)
x ln xdx =
(84)
Z
Z
xn+1
m
n
m
m
xn (ln ax)m−1 dx,
x (ln ax) dx =
(ln ax) −
n+1
n+1
Z
(85)
ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;
Z
∞
X
eax
(ax)i
dx = ln |x| +
+C
x
i · i!
i=1
Z ax
Z
1
1
e
dx + C
(87)
eax ln x · dx = eax ln |x| −
a
a
x
Z
∞
X
dx
lni x
(88)
= ln | ln x| +
+ C, x > 0;
ln x
i · i!
i=1
Z
dx
= ln | ln x| + C, x > 0;
(89)
x ln x
Z
1
lnn x
dx =
lnn+1 x, n 6= −1, x > 0;
(90)
x
x+1
(86)
7
n, m 6= −1, x > 0;
1.4.
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
Funciones hiperbólicas
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
(100)
(101)
Z
Z
1.4.1.
senh axdx =
1
cosh ax + C
a
senh2 xdx =
1
1
senh 2x − x + C
4
2
cosh axdx =
1
senh ax + C
a
cosh2 xdx =
1
1
senh 2x + x + C
4
2
tanh axdx =
1
ln | cosh ax| + C
a
coth axdx =
1
ln | senh ax| + C
a
sechxdx = arctan(senh x) + C
sech2 xdx = tanh x + C
cschxdx = ln tanh
1 cosh x + 1
x
+C
= − ln
2
2 cosh x − 1
senh x · tanh x · dx = −sechx + C
cschx · coth x · dx = −cschx + C
funciones hiperbólicas inversas
Z
x
x p
arcsenh dx = x arcsenh − a2 + x2 + C, a > 0
a
a
(
√
Z
x
x arccosh xa − x2 − a2 + C, arccosh xa > 0, a > 0;
√
(103)
arccosh dx =
a
x arccosh xa + x2 − a2 + C, arccosh xa < 0, a > 0;
Z
x
x 1
(104)
arctanh dx = x arctanh + a ln(a2 − x2 ) + C
a
a 2
Z
x 1
x
(105)
arccoth dx = x arccoth + a ln(x2 − a2 ) + C
a
a 2
r
Z
x
x
x2
(106)
arcsenh dx = x arcsech − a arc sen 1 − 2 + C
a
a
a
r
Z
x
x
x2
(107)
arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C
a
a
a
(102)
8
2.
Integrales definidas
(108)
Z
Z
∞
xn e−qx dx =
0
∞
n!
q n+1
,
n > −1, q > 0;
Γ[(m + 1)/2]
,
a>0
2a(m+1)/2
0
n!
, Si m impar : m = 2n + 1
=
2an+1
r
1 · 3 · . . . · (2n − 1)
π
=
, Si m par : m = 2n
2n+1
a2n+1
r
Z √
2
2
1 π
(110)
x2 e−ax dx = − e−a +
erf( a)
3
2a
4
a
0
(109)
(111)
Z ∞
2
xm e−ax dx =
xn e−ax dx =
t
(112)
(113)
(114)
(115)
(116)
(117)
(118)
(119)
(120)
(121)
(122)
Z
n!e−at
an+1
1 + at +
a 2 t2
a n tn
+...+
2!
n!
,
n = 0, 1, . . . , a > 0;
Z
n − 1 ∞ n−2 −ax2
x e
dx =
x
e
dx
2a 0
0
r
Z ∞
1 π
−ax2
e
dx =
2 a
0
Z ∞
2
1
xe−ax dx =
2a
0
Z x
dx
1
= ln
1
−
x
1
−
x
0
Z x
x
dx
=
2
(1
−
x)
1
−
x
0
Z x
dx
1
= ln(1 + x)
0 1 + x
Z x
1 + x
1
dx = (1 + ) ln
− x
1
−
x
1
−
x
0
Z x
(1 − )x
1
1 + x
dx =
− ln
2
1−x
1−x
0 (1 − x)
Z x
2
(1 + )2 x
(1 + x)
2
dx
=
2(1
+
)
ln(1
−
x)
+
x
+
2
1−x
0 (1 − x)
Z x
1
ΘB − x
dx
=
ln
, ΘB 6= 1
ΘB − 1 ΘB (1 − x)
0 (1 − x)(ΘB − x)
Z x
−2
2
dx
=
+ , b2 = 4ac
2 + bx + c
ax
2ax
+
b
b
0
∞
n −ax2
(123)
9
1
dx
q x−p
,
=
ln
·
2
a(p − q)
p x−q
0 ax + bx + c
Z x
a + bx
bx ag − bc
(124)
dx =
+
ln(c + gx)
c
+
gx
g
g2
0
Z
3.
x
Métodos de integración
3.1.
Integración por partes:
Z
3.2.
b2 > 4ac; p, q son las raı́ces;
u · dv = u · v −
Z
v · du
Integración por sustitución:
si x = g(t) es un función que admite derivada contı́nua no nula y función
inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g 0 (t) se tiene que:
Z
f (x)dx = F (h(x)) + C
3.3.
Integración de funciones racionales:
R F (x)
Queremos hallar Q(x)
dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes
reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la división para obtener
R F (x)
R
R R(x)
C(x)dx + Q(x)
dx. La primera integral es inmediata. Para la
Q(x) dx =
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:
Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2 ]s y es única. En
tal caso, el integrando del segundo término se puede descomponer como sigue:
Ap
Bq
R(x)
A1
A2
B1
B2
Q(x) = (x−a)p + (x−a)p−1 + . . . + x−a + . . . + (x−b)q + (x−b)q−1 + . . . + x−b +
H1 x+K1
Hs x+Ks
Mr x+Nr
+ . . . + (x−c)
2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f 2 )s + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se
obtienen integrales del siguiente tipo:
R dx
1.
x−a = ln |x − a| + C
R dx
1
2.
(x−a)p = (1−p)(x−a)p−1 + C
R M x+N
M
M c+N
2
2
3.
arctan x−c
(x−c)2 +d2 dx = 2 ln |(x − c) + d | +
d
d +C
R
R
M x+N
M x+N
dx
4. [(x−c)
⇒ Llamemos Ir = [(x−c)
2 +d2 ]r dx
2 +d2 ]r dx y Jr =
[(x−c)2 +d2 ]r dx
operando se obtiene
M1 x+N1
((x−c)2 +d2 )r−1
Ir =
M
2(1−r)
Jr =
1
d2 Jr−1
·
1
((x−c)2 +d2 )r−1
+
+ (M c + N ) · Jr
x−c
d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1
10
−
1
d2 2(1−r) Jr
−1
3.4.
Z
Método de Hermite
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2 . . . (x − e)2 + f 2 entonces
R(x)
U (x)
dx =
p−1
q−1 +
Q(x)
(x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ]
. . . [(x − e)2 + f 2 ]
Z
Z
Z
Z
dx
Cx + D
Ex + F
dx
+... +L
+
dx
+
.
.
.
+
dx
K
x−a
x−b
(x − c)2 + d2
(x − e)2 + f 2
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las
constantes se determinan derivando la expresión e identificando coeficientes.
3.5.
Integración de funciones irracionales algebraicas
Integrales del tipo
Z
R x,
ax + b
cx + d
1
m
n
1
,...,
ax + b
cx + d
!
s
m
n
s
dx | a, b, c, d ∈ R; ni , mi ∈ Z; ni 6= 0
y c y d no se anulan simultáneamente. Se transforma en integral racional
m
mediante el cambio ax+b
siendo m el mı́nimo común múltiplo de las
cx+d = t
ni .
√
R
Integrales del tipo R x, ax2 + bx + c dx se consideran los siguientes
casos:
√
√
1. a > 0 → ax2 + bx + c = ± a · x + t
√
√
2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t
√
3. a, c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del
polinomio.
√
R
R
dx = Q(x) · ax2 + bx + c + K √ax2dx
Método Alemán: √axP2 (x)
+bx+c
+bx+c
Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes
se obtienen derivando la expresión e identificando términos.
R
Series binómicas: xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas integrales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios
indicados.
1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
2.
3.
m+1
n
m+1
n
∈ Z → a + bxn = tq siendo q el denominador de p.
+p∈ Z→
a+bxn
xn
= tq siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como función elemental.
3.6.
Integración de funciones trascendentes
Si R(u) es una función racional y u = f (x) es una función que admite función
inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una
integral racional mediante el cambio f (x) = t00 .
11
3.7.
Integración de funciones trigonométricas
R
Integración de R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x2 = t
2dt
1−t2
2t
con lo que sen x = 1+t
2 , cos x = 1+t2 , dx = 1+t2 . En elgunos casos se
pueden intentar otros cambios:
1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t
2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t
3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t
R
Integrales del tipo Im,n = senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes
formas:
1. Im,n =
2. Im,n =
3. Im,n =
senm+1 x·cosn−1 x
m+1
m+1
sen
n−1
x·cos
m+n
x
+
n−1
m+1 Im+2,n−2 ,
+
n−1
m+n Im,n−2 ,
m−1
x·cosn+1 x
− sen m+1
4. Im,n = − sen
m−1
x·cosn+1 x
m+n
5. Im,n = − sen
x·cos
n+1
m+1
6. Im,n =
4.
4.1.
m+1
sen
n+1
n+1
x·cos
m+1
x
x
+
+
+
m−1
m+n Im−2,n ,
+
m+n−2
n+1 Im,n+2 ,
m 6= −1
m + n 6= 0
n 6= −1
m+n−2
m+1 Im+2,n+2 ,
m 6= −1
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuaciones diferenciales lineales
y + p(x)y = q(x) =⇒ y = e
0
τ y + y = p(t) =⇒ y = e
5.1.
m + n 6= 0
m−1
n+1 Im+2,n+2 ,
0
5.
m 6= −1
R
− (x)dx
−t/τ
Z
q(x)e
R
p(x)dx
+C
Z t
1
p(t)et/τ dt + y0
τ
0
Solución numérica de ecuaciones diferenciales
Método de Runge-Kutta de cuarto orden
1
y 0 = f (x, y) → yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h
6
k1 = f (xi , yi )
k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2)
k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)
12