Geodesía Geométrica

TEMA 1.
INTRODUCCIÓN A LA
GEODESIA GEOMÉTRICA.
1
TEMA 1
1.1. CONCEPTO DE GEODESIA.
1.2. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA.
1.3. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL APLICADA
AL ELIPSOIDE.
- Teoría general de Curvas.
- Teoría general de superficies. Aplicación al Elipsoide de Revolución.
- Radios de curvatura en el elipsoide de revolución.
- Curvas sobre el elipsoide de revolución. Sección normal y línea
geodésica.
2
1
1.1.
CONCEPTO DE GEODESIA
3
¿QUÉ ES LA GEODESIA?
Helmert (1880):
“Geodesia es la ciencia de medir y representar la superficie de la
Tierra”.
Draheim y Fisher (1971):
“Geodesia es la ciencia que trata de la determinación de la figura y el
campo gravitatorio terrestre y de otros cuerpos celestes como
función del tiempo, así como la determinación del elipsoide
terrestre medio mediante parámetros observados en el exterior y
sobre la superficie terrestre”.
Internacional Association of Geodesy (1975):
“Geodesia es la ciencia de medir y representar la figura y el campo de
gravedad terrestre y de otros cuerpos celestes, así como sus
variaciones en el tiempo”.
4
2
GEODESIA
¿Qué es la Geodesia?
¿Cuál es la forma real de la Tierra?
5
CONCEPTO DE GEODESIA
“Ciencia que estudia la forma y dimensiones de la Tierra (figura de la Tierra) y su
campo gravitatorio”
CONCEPTO FÍSICO
CONCEPTO GEOMÉTRICO
(campo de la gravedad)
(figura de la Tierra)
“FIGURA DE LA TIERRA”: superficie física y matemática de la Tierra
SUPERFICIE FÍSICA
SUPERFICIE MATEMÁTICA
GEOIDE
ELIPSOIDE DE
REVOLUCIÓN DE DOS EJES
SUPERFICIE DE REFERENCIA
ALTIMÉTRICA
GEODESIA FÍSICA
SUPERFICIE DE REFERENCIA
PLANIMÉTRICA
GEODESIA GEOMÉTRICA
6
3
CONCEPTO DE GEODESIA
SUPERFICIE FÍSICA Î GEOIDE
GEODESIA
FÍSICA:
determinación
del
potencial de la fuerza de la gravedad terrestre.
GEOIDE, figura que más se aproxima a la
forma real de la Tierra.
Límite entre la corteza terrestre y la atmósfera o
entre masas de líquidos y atmósfera.
Superficie equipotencial que coincide con el
nivel medio del mar y que se prolonga por
debajo de los continentes, con la condición de
ser siempre normal a la fuerza de la gravedad.
No sirve para resolver los dos problemas
geodésicos fundamentales:
Superficies equipotenciales
El geoide es una
superficie
equipotencial al
nivel medio del
mar
1º: cálculo de las coordenadas de un punto a
partir de las de otro, su distancia y acimut.
2º: cálculo de la distancia AB y acimut AB a
partir de las coordenadas de dos puntos A y B.
SUPERFICIE
ALTIMÉTRICA.
DE
REFERENCIA
7
CONCEPTO DE GEODESIA
SUPERFICIE MATEMÁTICA Î ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
GEODESIA
GEOMÉTRICA:
determinación de coordenadas de
puntos de la superficie terrestre
bajo un sistema de referencia único
y valido para toda la Tierra.
ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
DE DOS EJES, figura que más se
aproxima al GEOIDE.
Ondulación del Geoide y desviación
relativa de la vertical Æ mínimas.
Elipsoides locales y globales.
Curvatura y métrica definidas.
SUPERFICIE DE REFERENCIA
PLANIMÉTRICA.
Sirve para resolver los problemas
fundamentales de la Geodesia.
8
4
FIGURAS QUE REPRESENTAN LA TIERRA
GEOIDE (Figura real de la Tierra) Î GEODESIA FÍSICA
ELIPSOIDE (Aproximación del Geoide) Î GEODESIA GEOMÉTRICA
ESFERA (Aproximación del Elipsoide) Î ASTRONOMÍA GEODÉSICA
PLANO (Aproximación del Elipsoide y Esfera) Î TOPOGRAFÍA
15 Km
9
RAMAS DE LA GEODESIA
GEODESIA GEOMÉTRICA Î estudia la figura de la Tierra mediante
la determinación de coordenadas de puntos situados sobre la superficie
terrestre bajo un sistema de referencia fijo y válido para toda la Tierra.
Desarrolla el aspecto geométrico de la Geodesia.
Medición de ángulos y distancias sobre la superficie terrestre.
Toma como superficie de referencia el elipsoide de revolución.
Determinación de los parámetros del elipsoide de revolución
(superficie de referencia planimétrica).
GEODESIA FÍSICA Î estudio del campo gravitatorio terrestre por
hipótesis de modelos de distribución de masas dentro de la Tierra o
midiendo la gravedad en su superficie.
Desarrolla el aspecto físico del estudio de la figura de la Tierra.
Determina el potencial de la fuerza de la gravedad bajo el mismo
sistema de referencia que emplea la Geodesia Geométrica.
Toma como superficie de referencia el Geoide (superficie de
referencia Altimétrica).
10
5
RAMAS DE LA GEODESIA
ASTRONOMÍA GEODÉSICA Î determinación de coordenadas
geográficas de puntos y acimutes de ciertas direcciones por métodos
astronómicos (independencia de toda hipótesis de la forma de la Tierra).
GEODESIA ESPACIAL Î obtención de coordenadas de puntos a partir
de observaciones a objetos que no estén físicamente ligados a la Tierra
(satélites, cuásares, etc.)
Determinación simultánea y con la misma precisión de la posición
tridimensional del punto (X, Y, Z).
Desaparece la necesidad de utilizar Geoide o Elipsoide.
GEODESIA TRIDIMENSIONAL (X, Y, Z).
GEODINÁMICA Î determinación de las variaciones en las posiciones de
las coordenadas de puntos, producidas de una forma temporal, secular,
periódica o de naturaleza brusca, que pueden ocurrir globalmente,
localmente o regionalmente.
GEODESIA TETRADIMENSIONAL (X, Y, Z, t).
11
RAMAS DE LA GEODESIA
GEODESIA GEOMÉTRICA
GEODESIA FÍSICA
GEODESIA INTEGRAL
GEODESIA ESPACIAL
GEODINÁMICA
“Estudio de la forma de la
Tierra, el campo
gravitatorio terrestre y
las variaciones de ambos
en el tiempo”
12
6
DIVISIÓN DE LA GEODESIA
DESDE UN PUNTO DE VISTA OPERATIVO, LA GEODESIA SE DIVIDE:
GEODESIA GLOBAL Î Responde a la definición de Helmert,
siendo necesario para su desarrollo la cooperación Internacional.
GEODESIA REGIONAL Î Es practicada por cada país para
resolver numerosos problemas que plantea la cartografía, geografía,
etc.
TOPOGRAFÍA Î Trata de precisar detalles de una cierta superficie
de pequeñas dimensiones considerándola como una superficie
plana.
13
OBJETIVOS PRINCIPALES DE LA GEODESIA
1. Establecer y mantener las REDES de
Control Geodésico Tridimensionales
nacionales y globales en Tierra,
tomando en cuenta la naturaleza
cambiante de estas redes debido al
movimiento de las placas tectónicas.
2. Medición
y
representación
de
fenómenos geofísicos (movimiento
de los polos, mareas terrestres y
movimiento de la corteza).
3. Determinación
del
campo
gravitacional de la Tierra, incluyendo
las variaciones temporales.
14
7
HERRAMIENTAS DE LA GEODESIA
CIENCIAS MATEMÁTICAS Î planteamiento de modelos, solución de problemas
prácticos de la Geodesia.
Teoría del campo gravitatorio.
Geometría diferencial.
Análisis numérico.
Estadística.
TECNOLÓGIAS DE LA INFORMACIÓN (INFORMÁTICA) Î permite abordar
problemas de la Geodesia hasta hace 30 años impensables. Resolución de grandes
sistemas de ecuaciones.
ÓPTICA Î construcción de instrumentos de medición cada vez más sofisticados y
precisos.
ELECTRÓNICA (teoría de campos electromagnéticos) Î ha permitido la medida
directa de distancias, observación a satélites artificiales, automatización de procesos de
observación, etc.
15
ORGANIZACIÓN DE LA GEODESIA ACTUAL
INSTITUCIONES NACIONALES:
Instituciones geodésicas nacionales con competencias por ley o reglamento nacional Î
INSTITUTO GEOGRÁFICO NACIONAL (IGN)
Centros de investigación gubernamentales o académicos Î INSTITUTO DE ASTRONOMÍA
Y GEODESIA, de la UCM.
Necesidad de una COLABORACIÓN INTERNACIONAL ⇒ ASOCIACIÓN INTERNACIONAL
DE GEODESIA (IAG) (1886) Î Unificación de criterios y lograr una mayor colaboración en los
trabajos entre los diferentes organismos nacionales geodésicos.
En 1919 se funda la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) englobando a
la IAG con otras seis asociaciones geofísicas internacionales.
ORGANIZACIÓN DE LA IAG, 5 Secciones:
POSICIONAMIENTO
TECNOLOGÍA AVANZADA ESPACIAL
DETERMINACIÓN DEL CAMPO GRAVITATORIO
TEORÍA GENERAL Y METODOLOGÍA
GEODINÁMICA
A su vez las secciones se subdividen en COMISIONES y SUBCOMISIONES específicas y
GRUPOS DE TRABAJO.
16
8
ORGANIZACIÓN DE LA GEODESIA ACTUAL
La IAG colabora con otras organizaciones científicas, organiza y mantiene instituciones
permanentes que dan servicio, con sus datos y/o observaciones al resto de la comunidad
científica o gubernamental:
International Earth Rotation Service (IERS) (BIH +IPMS), París.
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Sevres.
Bureau Gravimétrique International (BGI), Toulouse.
International Center of Recent Crustal Movements, Praga.
International Center of Earth Tides, Bruselas.
Permanent Service for Mean Sea Level (PSMSL), Bidston (Gran Bretaña).
International GPS Service (IGS), USA.
International Laser Ranging Service (ILRS), USA.
International VLBI Service (IVS), USA.
International Doris Service (IDS), Toulouse.
International Geoid Service (IGeS), Italia.
Etc.
17
APLICACIONES DE LA GEODESIA ACTUAL
CARTOGRAFÍA Î Apoyo a la realización de cartografía mediante las redes geodésicas.
GESTIÓN DE INFRAESTRUCTURAS URBANAS Î Localización de infraestructuras de tipo eléctrico,
gas, comunicaciones, etc.
PROYECTOS DE INGENIERÍA Î Realización de Cartografía fiable para el proyecto. Conocimiento de
las superficies equipotenciales (canales, obras de riego, etc.).
DERMARCACIÓN DE LÍMITES ADMINISTRATIVOS Î Apoyo de la geodesia para la
determinación de límites nacionales, internacionales, etc.
ECOLOGÍA Î Desarrollo industrial, detección y control de movimientos de desechos, etc.
GESTIÓN TERRITORIAL Î Utilización de Sistemas de Información Geográficos, necesidad de
trabajar con Sistemas de Referencia.
GEOGRAFÍA Î Referenciación de las entidades geográficas
NAVEGACIÓN Î Capacidad de navegar por toda la Tierra a partir de los Sistemas de referencia
18
globales, necesidad de la Geodesia.
9
1.2.
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
DE LA GEODESIA
19
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA
MODELO DE TIERRA PLANA (hasta el 600 a.C.)
MODELO DE TIERRA ESFÉRICA (600 a.C. al 1600 d.C.)
MODELO DE TIERRA ELIPSOIDAL (desde el 1600 d.C)
EL GEOIDE COMO FIGURA DE LA TIERRA
GEODESIA ACTUAL (Geodesia Tridimensional y Tetradimensional)
20
10
INTRODUCCIÓN HISTÓRICA DE LA GEODESIA
LAS FORMAS DE LA TIERRA
AÑO
Forma de la Tierra
Descubridor
Método
>1000 A.C.
Plana
Babilonios
Observación diaria
900 A.C.
Disco Convexo
Babilonios
mirando barcos en el mar
580-500 A.C.
Esfera
Pitágoras
observación diaria
300 A.C.
Esfera
Eratóstenes
Geometría
1687
Elipsoide de revolución
Newton
Calculo equipotencial
1958
Pera
Ann Balie
Orbitas de satélites
1960
Geoide: forma de Tierra Desmond King-Hele
Orbitas de satélites
21
1.3.
INTRODUCCIÓN A LA
GEOMETRÍA DIFERENCIAL
APLICADA AL ELIPSOIDE
22
11
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL
1.3. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DIFERENCIAL.
- TEORÍA GENERAL DE CURVAS.
1. Definición de curva en el espacio.
2. Longitud de un arco de curva.
3. Vector tangente a una curva en el Espacio.
4. Vector derivada del vector tangente a una curva en el Espacio.
5. Vector binormal de una curva en el Espacio.
- TEORÍA GENERAL DE SUPERFICIES. Aplicación al Elipsoide de Revolución.
Definición de Superficie en el Espacio. Parametrización.
Geometría del Elipsoide de Revolución.
Definición del Elipsoide de Revolución.
Parametrización del Elipsoide de Revolución.
- Radios de curvatura en el elipsoide de revolución.
Determinación de las Ecuaciones Paramétricas del Elipsoide de Revolución.
Medida de distancias. Primera Forma Fundamental.
Medida de ángulos sobre una superficie.
Medida de áreas sobre una superficie.
- Curvas sobre el elipsoide de revolución. Sección normal y
línea geodésica.
Curvaturas (normal, principales, de Gauss total, media y geodésica).
23
TRIEDRO DE FRENET
24
12
DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
Se denomina ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN DE DOS EJES o
parámetros, porque si hacemos girar la elipse que pasa por los
puntos PP’EE’ de semiejes a y b, respecto de su eje menor b,
obtenemos un elipsoide.
25
DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
26
13
PARAMETRIZACIÓN DEL ELIPSOIDE DE
REVOLUCIÓN
27
RADIOS DE CURVATURA PRINCIPALES DEL
ELISPOIDE DE REVOLUCIÓN
28
14
NORMAL PRINCIPAL O RADIO DE CURVATURA DEL
PRIMER VERTICAL
N=
(1 − e
a
2
)
1
⋅ sen 2ϕ
2
29
RADIO DE CURVATURA DEL MERIDIANO O ELIPSE
MERIDIANA
ρ=
(
a ⋅ 1 − e2
(1 − e
2
)
⋅ sen ϕ
2
)
3
2
30
15
RADIO DE CURVATURA DE UNA SECCIÓN NORMAL
DE ACIMUT CUALQUIERA
FÓRMULAS DE EULER
Rα =
N⋅ρ
N ⋅ cos α + ρ ⋅ sen 2α
2
1 cos 2 α sen 2α
=
+
Rα
N
ρ
31
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL ELIPSOIDE DE
REVOLUCIÓN
ESFERA
ELIPSOIDE
X 2 + Y 2 + Z 2 = R2
X 2 +Y 2 Z2
+ 2 =1
a2
b
X = R ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
Y = R ⋅ cos ϕ ⋅ senλ
Z = R ⋅ senϕ
X = N ⋅ cos ϕ ⋅ cos λ
Y = N ⋅ cos ϕ ⋅ senλ
Z = N ⋅ (1 − e 2 )⋅ senϕ
32
16
MEDIDA DE DISTANCIAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE
REVOLUCIÓN
PRIMERA FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL
I ( du, dv ) = ds 2 = E ⋅ du 2 + 2 F ⋅ du ⋅ dv + G ⋅ dv 2
ESFERA
E = R2
F =0
I (dϕ , dλ ) = ds = R ⋅ dϕ + R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ
2
2
2
2
2
2
G = R 2 ⋅ cos2 ϕ
dsλ = R ⋅ cos ϕ ⋅ dλ
dsϕ = R ⋅ dϕ
ELIPSOIDE
I (dϕ , dλ ) = ds = ρ ⋅ dϕ + N ⋅ cos ϕ ⋅ dλ
2
2
2
2
2
2
E = ρ2
F =0
G = N 2 ⋅ cos2 ϕ
dsλ = N ⋅ cosϕ ⋅ dλ
dsϕ = ρ ⋅ dϕ
33
LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO
a
ϕ2
⇒ sϕ = ∫ ρ ⋅ dϕ =
2
2
dϕ
ϕ2
(1 − e ) ⋅ ∫ (1 − e
DESARROLLO EN SERIE DE POTENCIAS EN (e ⋅ sen ϕ )
ϕ1
ϕ1
2
⋅ sen 2ϕ )
3/ 2
2
DETERMINACIÓN DE UN ARCO DE MERIDIANO ENTRE EL ECUADOR Y UN
PUNTO DE LATITUD ϕ. HOOIJBERG
l .a.m.ϕ = c ⋅ (1 + e′2 ⋅ cos 2 ϕ )
−3 / 2
⋅ dϕ
l .a.m.ϕ = Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ + E2 ⋅ sen (2ϕ ) + E4 ⋅ sen (4ϕ ) + E6 ⋅ sen(6ϕ ) + E8 ⋅ sen (8ϕ )]
34
17
LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO
PROBLEMA DIRECTO
l .a.m.ϕ = Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ + E2 ⋅ sen (2ϕ ) + E4 ⋅ sen (4ϕ ) + E6 ⋅ sen(6ϕ ) + E8 ⋅ sen (8ϕ )]
Siendo:
c=
a
(1 − e )
2 1/ 2
=
a
→ Radio de curvatura polar
(1 − f )
3
45
175 6 11025 8 43659 10
Eo = 1 − ⋅ e′2 + ⋅ e′4 −
⋅ e′ +
⋅ e′ −
⋅ e′
4
64
256
16384
65536
3
15
525 6 2205 8 72765 10
E2 = − ⋅ e′2 + ⋅ e′4 −
⋅ e′ +
⋅ e′ −
⋅ e′
4
16
512
2048
65536
15
105 6 2205 8 10395 10
E4 =
+ ⋅ e′4 −
⋅ e′ +
⋅ e′ −
⋅ e′
64
256
4096
16384
35 6 315 8 31185 10
E6 =
−
⋅ e′ +
⋅ e′ −
⋅ e′
512
2048
131072
315
3465 10
E6 =
+
⋅ e′8 −
⋅ e′
16384
65536
35
LONGITUD DE UN ARCO DE MERIDIANO
PROBLEMA INVERSO Æ Proceso iterativo de aproximaciones sucesivas
Determinación de latitud ϕ de un punto, conociendo la longitud de arco de meridiano entre
el punto y el Ecuador.
l .a.m.ϕ = Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ + E2 ⋅ sen (2ϕ ) + E4 ⋅ sen (4ϕ ) + E6 ⋅ sen(6ϕ ) + E8 ⋅ sen (8ϕ )]
1.
Tomamos como valor 0 los términos E2, E4, E6, E8.
⇒ Gm = c ⋅ Eo ⋅ ϕ
2.
⇒ ϕ1 =
Gm
c ⋅ Eo
Con el valor de ϕ1, calculamos los valores de E2, E4, E6, E8 y obtengo un nuevo valor de ϕ.
Gm = c ⋅ [Eo ⋅ ϕ 2 + E2 ⋅ sen (2ϕ1 ) + E4 ⋅ sen (4ϕ1 ) + E6 ⋅ sen (6ϕ1 ) + E8 ⋅ sen (8ϕ1 )]
ϕ2 =
3.
Gm
E
E
E
E
− 2 ⋅ sen (2ϕ1 ) − 4 ⋅ sen (4ϕ1 ) − 6 ⋅ sen (6ϕ1 ) − 8 ⋅ sen (8ϕ1 )
c ⋅ Eo Eo
Eo
Eo
Eo
Repito el paso 2 hasta que entre dos valores consecutivos de ϕ cumpla el criterio de convergencia.
ϕn =
Gm
E
E
E
E
− 2 ⋅ sen (2ϕ n −1 ) − 4 ⋅ sen (4ϕ n −1 ) − 6 ⋅ sen (6ϕ n −1 ) − 8 ⋅ sen (8ϕ n −1 )
c ⋅ Eo Eo
Eo
Eo
Eo
ϕ − ϕ n −1 ≤ 0′′,00001
36
18
CURVATURA NORMAL Y CURVATURA GEODÉSICA
37
SECCIONES NORMALES MUTUAS
38
19
TRIANGULO GEODÉSICO CON SECCIONES
NORMALES MUTUAS
1

∆′′ = ρ ′′ ⋅  ⋅ e 2 ⋅ σ 2 ⋅ cos 2 ϕ m ⋅ sen2α12 

4
39
LÍNEA GEODÉSICA
40
20
PASO DE LA SECCIÓN NOMAL A LA LÍNEA
GEODÉSICA
1 
1



δ ′′ = ⋅  ρ ′′ ⋅  ⋅ e 2 ⋅ σ 2 ⋅ cos 2 ϕ m ⋅ sen2α12  
3
4

41
21