Fundaméntos de matemáticas

Departament de Matemàtica
ETSEA-UdL
Fonaments de Matemàtica I
11 de Gener de 2006
Segona Part
1.- Calculeu els lı́mits:
arctg(sin(x − 1))
a) lim
x→1
x2 − 1
b)
lim
x→π/2
1
x
−
π/2 .
(sin x)
Solució:
a) Utitzant les equivalències sin a → a, arctg a → a quan a → 0, es pot escriure
lim
x→1
b) Fent L = lim
x→π/2
arctg(sin(x − 1))
x−1
1
1
= lim 2
= lim
= .
x→1 x − 1
x→1 x + 1
x2 − 1
2
1
x
−
π/2 i prenent logaritmes es pot escriure
(sin x)
ln L = lim
x→π/2
ln(sin x)
cos x
= lim
= 0,
x − π/2
x→π/2 sin x
on, a l’últim pas, s’ha aplicat la regla de L’Hôpital. Per acabar, només resta calcular l’exponencial del
resultat
L = e0 = 1.
2.- Digueu si la recta y = −x i la funció y = x3 − x2 − 2x + 1 són tangents en algun punt. En cas afirmatiu
digueu en quin punt.
Solució: En primer lloc, es busquen els punts d’intersecció de la recta amb la corba.
x3 − x2 − 2x + 1 = −x
−→
x3 − x2 − x + 1 = 0
−→
x = ±1.
De fet, es comprova que la solució x = 1 és doble.
A continuació es mira si la derivada de la funció f (x) = x3 − x2 − 2x + 1 és igual a −1 en alguna de les
solucions trobades.
f " (x) = 3x2 − 2x − 2 −→ f " (1) = −1, f " (−1) = 3.
Per tant, la recta i la corba són tangents quan x = 1, és a dir, en el punt (1, −1).
3.- Estudieu els extrems relatius de la funció f (x) =
ax2 + x
en funció del paràmetre a.
3ax + 4
Solució: Es comença resolent f " (x) = 0.
f " (x) =
3a2 x2 + 8ax + 4
=0
(3ax + 4)2
−→
3a2 x2 + 8ax + 4 = 0
−→
x1 = −
2
2
, x2 = − .
3a
a
Aquesta resolució només té sentit quan a #= 0.
Ara es calcula i simplifica la derivada segona
f "" (x) =
8a
.
(3ax + 4)3
2
2
Operant i simplificant, f "" (− ) = a i f "" (− ) = −a. Aixı́, si a > 0, x1 és un mı́nim relatiu i x2 és un
3a
a
màxim.
Si a < 0 la situació s’inverteix.
x
Finalment, si a = 0, f (x) = i la funció no té extrems relatius.
4
4.- Calculeu el polinomi de Taylor de grau 4 de la funció g(x) = ln(sin x) entorn de x =
Solució:
g(x) = ln(sin x),
g " (x) =
cos x
,
sin x
1
,
sin2 x
cos x
g """ (x) = 2 3 ,
sin x
g "" (x) = −
g IV (x) = −
2 + cos2 x
,
sin4 x
Llavors,
P4 (x) = −
g(π/2) = 0.
g " (π/2) = 0.
g "" (π/2) = −1.
g """ (π/2) = 0.
g IV (π/2) = −2.
1 !
2 !
π "2
π "4
x−
−
x−
.
2!
2
4!
2
π
.
2
5.- Calculeu el polinomi de Taylor de grau 4 de la funció F (x, y) = sin(x + y 2 ) entorn del punt (π, 0).
Solució:
F (x, y) = sin(x + y 2 ),
F (π, 0) = 0.
∂F
= cos(x + y 2 ),
∂x
∂F
(π, 0) = −1.
∂x
∂F
= 2y cos(x + y 2 ),
∂y
∂F
(π, 0) = 0.
∂y
∂2F
= − sin(x + y 2 ),
∂x2
∂2F
(π, 0) = 0.
∂x2
∂2F
= −2y sin(x + y 2 ),
∂x∂y
∂2F
(π, 0) = 0.
∂x∂y
∂2F
= 2 cos(x + y 2 ) − 4y 2 sin(x + y 2 ),
∂y 2
∂2F
(π, 0) = −2.
∂y 2
∂3F
= − cos(x + y 2 ),
∂x3
∂3F
(π, 0) = 1.
∂x3
∂3F
= −2y cos(x + y 2 ),
∂x2 ∂y
∂3F
(π, 0) = 0.
∂x2 ∂y
∂3F
= −2 sin(x + y 2 ) − 4y 2 cos(x + y 2 ),
∂x∂y 2
∂3F
(π, 0) = 0.
∂x∂y 2
∂3F
= −12y sin(x + y 2 ) − 8y 3 cos(x + y 2 ),
∂y 3
∂3F
(π, 0) = 0.
∂y 3
∂4F
= sin(x + y 2 ),
∂x4
∂4F
(π, 0) = 0.
∂x4
∂4F
= 2y sin(x + y 2 ),
∂x3 ∂y
∂4F
(π, 0) = 0.
∂x3 ∂y
∂4F
= −2 cos(x + y 2 ) + 4y 2 sin(x + y 2 ),
∂x2 ∂y 2
∂4F
(π, 0) = 2.
∂x2 ∂y 2
∂4F
= −12y cos(x + y 2 ) + 8y 3 sin(x + y 2 ),
∂x∂y 3
∂4F
(π, 0) = 0.
∂x∂y 3
∂4F
= −48y 2 cos(x + y 2 ) − 12 sin(x + y 2 ) + 16y 4 sin(x + y 2 ),
∂y 4
∂4F
(π, 0) = 0.
∂y 4
P (x, y) = −(x − π) +
1
1
1
1
1
(−2y 2 ) + (x − π)3 + (6 · 2 · (x − π)2 y 2 ) = π − x − y 2 + (x − π)3 + (x − π)2 y 2 .
2!
3!
4!
6
2