ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE A. IDIOMA DE ELABORACIÓN Español BORRADOR MATG1001 B. DESCRIPCIÓN DEL CURSO Es un curso básico para los estudiantes de Ingeniería, Ciencias Naturales, Ciencias Exactas y, Ciencias Sociales y Humanísticas. Se estudian temas relacionados con: nociones topológicas, límites y continuidad de funciones de una variable real, derivadas y sus aplicaciones, antiderivadas y técnicas de integración; y, la integral definida y sus aplicaciones. El curso está orientado a que el estudiante desarrolle habilidades y destrezas en los procesos de derivación e integración, como base fundamental para cursos superiores en su formación académica. C. CONOCIMIENTOS PREVIOS DEL CURSO Uso de graficadores de funciones Manejo de utilitarios informáticos D. OBJETIVO GENERAL Aplicar técnicas básicas de derivación e integración de funciones de una variable real para la solución de problemas de ingeniería, ciencias naturales, sociales y exactas, empleando definiciones y teoremas. E. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DEL CURSO El estudiante al finalizar el curso estará en capacidad de: 1 Aplicar nociones topológicas para el cálculo de límites y análisis de continuidad. 2 Analizar el comportamiento de funciones de una variable real utilizando condiciones de límites, continuidad y derivabilidad. 3 Interpretar las soluciones en problemas de aproximación, razón de cambio y valores extremos, empleando cálculo diferencial. 4 Obtener antiderivadas mediante diversas técnicas de integración. 5 Resolver problemas de cálculo de áreas, longitud de arco y volúmenes, empleando la integral definida. F. ESTRATEGIAS DE APRENDIZAJE Aprendizaje asistido por el profesor Aprendizaje cooperativo/colaborativo: Aprendizaje de prácticas de aplicación y experimentación: Aprendizaje autónomo: G. EVALUACIÓN DEL CURSO Actividades de DIAGNÓSTICA Evaluación Exámenes Lecciones Tareas Proyectos Laboratorio/Experimental Participación en Clase Visitas Otras IG1002-4 Página 1 de 10 FORMATIVA SUMATIVA CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES y SUBUNIDADES 1. Nociones topológicas 1.1. Métricas y espacios métricos. 1.2. Ejemplos de métricas: Euclidiana, Manhattan, Máximo y Discreta. 1.3. Elementos topológicos: bola abierta, conjunto abierto o cerrado, punto de adherencia, punto de acumulación, punto aislado y punto de frontera. 2. Límites y continuidad 2.1. Definición formal de límite. 2.2. Teorema de la unicidad del límite. 2.3. Límites unilaterales. 2.4. Teorema de la existencia del límite en un punto. 2.5. Propiedades de los límites. 2.6. Teorema del emparedado y del acotamiento. 2.7. Cálculo de límites de funciones polinomiales, racionales, con radicales, trigonométricos, exponenciales y logarítmicos. 2.8. Límites infinitos. 2.9. Límites al infinito. 2.10. Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. 2.11. Definición de continuidad en un punto. 2.12. Continuidad unilateral. 2.13. Continuidad por intervalos. 2.14. Análisis de la continuidad de funciones. 2.15. Límite de la composición de funciones. 2.16. Teoremas de: valor intermedio, Bolzano y Weierstrass. IG1002-4 Página 2 de 10 Horas Docencia 3 12 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES y SUBUNIDADES 3. Derivadas y sus aplicaciones 3.1. Introducción a la derivada: el problema de la ecuación de una recta tangente y el problema de la velocidad instantánea de un objeto. 3.2. Definición de la función derivada. 3.3. Derivada en un punto. 3.4. Teorema de la derivabilidad y continuidad. 3.5. Cálculo de derivadas: teoremas, regla de la cadena, derivación de orden superior, derivación implícita, derivación logarítmica, derivación de funciones inversas, derivación paramétrica y derivación en coordenadas polares. 3.6. Razón de cambio. 3.7. Definición y propiedades de las diferenciales. 3.8. Aplicación de las diferenciales en aproximaciones. 3.9. Extremos absolutos y puntos críticos: puntos singulares, puntos estacionarios y puntos de frontera. 3.10. Teorema del valor extremo y sus aplicaciones. 3.11. Teoremas de Lagrange, Rolle, Cauchy y L’Hopital. 3.12. Aplicaciones de los teoremas de Lagrange y L’Hopital. 3.13. Resolución de problemas de optimización. 3.14. Graficación de funciones mediante el análisis de monotonía, puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión, criterios de la primera y segunda derivada. 4. Antiderivadas y técnicas de integración 4.1. Definición de antiderivada, integral indefinida y sus propiedades. 4.2. Introducción a las ecuaciones diferenciales. 4.3. Integración por cambio de variable. 4.4. Integración de funciones trigonométricas. 4.5. Integración por partes. 4.6. Integración por sustitución trigonométrica. 4.7. Integración por fracciones parciales. 4.8. Integración por sustitución universal. IG1002-4 Página 3 de 10 Horas Docencia 18 6 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR H. PROGRAMA DEL CURSO UNIDADES y SUBUNIDADES 5. Integral definida y sus aplicaciones 5.1. Notación sigma. 5.2. Propiedades de las sumatorias. 5.3. Sumas relacionadas con los números naturales. 5.4. Introducción a la integral definida: cálculo del área de una región plana. 5.5. Suma de Riemann. 5.6. Definición de la integral definida o integral de Riemann. 5.7. Propiedades y teoremas de la integral definida: linealidad, aditiva, comparación, acotamiento, primer teorema fundamental del cálculo, segundo teorema fundamental del cálculo, teorema del valor medio, teorema de simetría, teorema de la periodicidad. 5.8. Integrales impropias, extremos infinitos o integrandos infinitos. 5.9. Área de una región plana en coordenadas cartesianas y polares. 5.10. Volumen de un sólido de revolución empleando el método de los discos. 5.11. Volumen de un sólido de revolución empleando el método de las capas cilíndricas. 5.12. Longitud de un arco de curva en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Horas Docencia 9 I. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BÁSICA 1. Edwin Purcell, Dale Varberg y Steven E. Rigdon. (2007). CÁLCULO. (Novena). MÉXICO: Prentice Hall. ISBN-10: 9702609194, ISBN-13: 9789702609193 1. DEMIDOVICH. (1967). 5000 PROBLEMAS DE ANÁLISIS COMPLEMENTARIA MATEMÁTICO (Spanish Edition). (Paperback; 1992-02). Moscú: MIR. ISBN-10: 8428308551, ISBN-13: 9788428308557 2. Saturnino L. Salas, Einar Hille y Garret Edgen. (2002). CALCULO DE UNA Y VARIAS VARIABLES. (CUARTA). .: Reverte S. A.. ISBN-10: 8429151567, ISBN-13: 9788429151565 3. LARSON AND EDWARDS. (2011). CÁLCULO DE UNA VARIABLE. (Perfect Paperback; 1900-01-01). México: MacGraw-Hill. ISBN-10: 607150273X, ISBN-13: 9786071502735 4. STEWART JAMES. (2012). CALCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS. (SÉPTIMA). España: Paraninfo. ISBN-10: 6074818819, ISBN13: 9786074818819 5. GEORGE THOMAS. (2010). CÁLCULO DE UNA VARIABLE. (DÉCIMA SEGUNDA). México: AddisonWesley. ISBN-10: 6073201648, ISBN-13: 9786073201643 J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 1. Nociones topológicas Introducción a la unidad Se estudia la definición de métrica y su aplicación en la construcción de vecindades o entornos de números reales. IG1002-4 Página 4 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES Meta-Lenguaje métrica, elemento topológico, conjunto topológico, vecindad, punto de acumulación Subunidades 1.1. Métricas y espacios métricos. 1.2. Ejemplos de métricas: Euclidiana, Manhattan, Máximo y Discreta. 1.3. Elementos topológicos: bola abierta, conjunto abierto o cerrado, punto de adherencia, punto de acumulación, punto aislado y punto de frontera. Objetivos de Aprendizaje 1.1. Identificar funciones que definen una métrica sobre un conjunto de números reales. 1.2. Comprender conceptos de conjuntos abiertos o cerrados, punto de acumulación, punto de adherencia, punto aislado y punto de frontera. Actividades 1.1. Exposición teórica Exponer en una clase magistral los temas relacionados con esta unidad. 1.2. Planteamiento de problemas Proponer problemas para que los estudiantes puedan identificar elementos y conjuntos topológicos. Referencias Bibliográficas adicionales 1.1. (Otros) Métricas, elementos y conjuntos topológicos Material elaborado por el profesor. Métricas, elementos y conjuntos topológicos. Otros Recursos 1.1. (Laptops) Recurso informático Los archivos y aplicaciones deben estar relacionados con el tema. 1.2. (Proyector) Recurso informático Las aplicaciones preparadas sobre el tema deben ser proyectadas en clases. 2. Límites y continuidad Introducción a la unidad Se estudia el límite y la continuidad de una función de variable real como conceptos fundamentales del cálculo, así como sus propiedades. Para este fin se trata el significado intuitivo y la definición formal de límite, los teoremas de existencia y unicidad, límites al infinito y límites infinitos. Además, se calculan límites de funciones en un punto y en un intervalo, y se aplican los teoremas de valor intermedio, Bolzano y Weierstrass. Meta-Lenguaje límites, continuidad Subunidades 2.1. Definición formal de límite. 2.2. Teorema de la unicidad del límite. 2.3. Límites unilaterales. 2.4. Teorema de la existencia del límite en un punto. 2.5. Propiedades de los límites. IG1002-4 Página 5 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 2.6. Teorema del emparedado y del acotamiento. 2.7. Cálculo de límites de funciones polinomiales, racionales, con radicales, trigonométricos, exponenciales y logarítmicos. 2.8. Límites infinitos. 2.9. Límites al infinito. 2.10. Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. 2.11. Definición de continuidad en un punto. 2.12. Continuidad unilateral. 2.13. Continuidad por intervalos. 2.14. Análisis de la continuidad de funciones. 2.15. Límite de la composición de funciones. 2.16. Teoremas de: valor intermedio, Bolzano y Weierstrass. Objetivos de Aprendizaje 2.1. Demostrar la existencia del límite en un punto, al infinito e infinito, utilizando la definición formal. 2.2. Calcular el límite de funciones de una variable real en un punto, al infinito e infinito, mediante diferentes técnicas. 2.3. Aplicar el concepto de continuidad de funciones de variable real en un punto y por intervalos en la resolución de problemas de ingeniería y ciencias. 2.4. Bosquejar la gráfica de una función empleando las propiedades de límites y continuidad. Actividades 2.1. Exposición teórica Exponer en clases magistrales los temas relacionados con esta unidad. 2.2. Planteamiento de problemas Proponer problemas de manera que los estudiantes puedan identificar los diferentes tipos de límites y calcularlos. Diseñar problemas relacionados con la continuidad de funciones. Otros Recursos 2.1. (Laptops) Recurso informático Usar graficadores de funciones para ayudar a visualizar los diferentes tipos de límites y entender el concepto de continuidad. 2.2. (Proyector) Recurso informático Las aplicaciones relacionadas con el tema deben ser proyectadas en clases. 3. Derivadas y sus aplicaciones Introducción a la unidad Se define la derivada de una función de variable real, las principales reglas de derivación y se realizan aplicaciones en problemas relacionados a razón de cambio, aproximación, optimización y graficación de funciones. Meta-Lenguaje regla de la cadena, optimización, monotonía, punto crítico, razón de cambio, gráficas, diferencial, aproximación, reglas de derivación, derivación logarítmica, derivación polar, derivación paramétrica, derivación de funciones inversas, concavidad, punto de inflexión, criterio, extremo, derivación implícita IG1002-4 Página 6 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES BORRADOR MATG1001 Subunidades 3.1. Introducción a la derivada: el problema de la ecuación de una recta tangente y el problema de la velocidad instantánea de un objeto. 3.2. Definición de la función derivada. 3.3. Derivada en un punto. 3.4. Teorema de la derivabilidad y continuidad. 3.5. Cálculo de derivadas: teoremas, regla de la cadena, derivación de orden superior, derivación implícita, derivación logarítmica, derivación de funciones inversas, derivación paramétrica y derivación en coordenadas polares. 3.6. Razón de cambio. 3.7. Definición y propiedades de las diferenciales. 3.8. Aplicación de las diferenciales en aproximaciones. 3.9. Extremos absolutos y puntos críticos: puntos singulares, puntos estacionarios y puntos de frontera. 3.10. Teorema del valor extremo y sus aplicaciones. 3.11. Teoremas de Lagrange, Rolle, Cauchy y L’Hopital. 3.12. Aplicaciones de los teoremas de Lagrange y L’Hopital. 3.13. Resolución de problemas de optimización. 3.14. Graficación de funciones mediante el análisis de monotonía, puntos críticos, concavidad, puntos de inflexión, criterios de la primera y segunda derivada. Objetivos de Aprendizaje 3.1. Calcular la derivada de una función por definición y mediante reglas de derivación. 3.2. Determinar derivadas de orden superior de ecuaciones dadas en forma explícita, implícita, paramétricas y polares. 3.3. Aplicar técnicas de cálculo diferencial en la solución de problemas de razón de cambio, aproximaciones, optimización y graficación de funciones. 3.4. Calcular límites que tienen diferentes tipos de indeterminaciones y que cumplan las condiciones de la regla de L´Hopital. Actividades 3.1. Exposición teórica Exponer en clases magistrales los temas relacionados con esta unidad. 3.2. Planteamiento de problemas Proponer ejercicios para que el estudiante aplique las reglas de derivación. Diseñar problemas de aplicación de la derivada. Otros Recursos 3.1. (Laptops) Recurso informático Debe contener el software que se utilizará para visualizar el significado de la derivada así como sus aplicaciones. 3.2. (Proyector) Recurso informático Se usará para mostrar las aplicaciones informáticas utilizadas para entender el concepto de derivada. 4. Antiderivadas y técnicas de integración Introducción a la unidad Se estudia cómo obtener la antiderivada de una función de variable real, se hace una introducción a IG1002-4 Página 7 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES las ecuaciones diferenciales que se presentan en varios campos del conocimiento y finalmente se estudian diversas técnicas de integración. Meta-Lenguaje antiderivada, técnicas de integración, ecuación diferencial, diferencial, integral indefinida Subunidades 4.1. Definición de antiderivada, integral indefinida y sus propiedades. 4.2. Introducción a las ecuaciones diferenciales. 4.3. Integración por cambio de variable. 4.4. Integración de funciones trigonométricas. 4.5. Integración por partes. 4.6. Integración por sustitución trigonométrica. 4.7. Integración por fracciones parciales. 4.8. Integración por sustitución universal. Objetivos de Aprendizaje 4.1. Resolver ecuaciones diferenciales básicas de variables separables con condiciones iniciales. 4.2. Aplicar las técnicas de integración para obtener antiderivadas de funciones de una variable real. Actividades 4.1. Exposición teórica Exponer en clases magistrales los temas relacionados con esta unidad. 4.2. Planteamiento de problemas Proponer ejercicios para que el estudiante aplique las técnicas de integración. Otros Recursos 4.1. (Laptops) Recurso informático Servirá para manejar las aplicaciones diseñadas por el profesor y relacionadas con la antiderivada. 4.2. (Proyector) Recurso informático Se lo usará para proyectar las aplicaciones preparadas por el profesor. 5. Integral definida y sus aplicaciones Introducción a la unidad Se estudia la suma y la integral de Riemann, así como su aplicación al cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de arco. También se estudian los teoremas fundamentales del cálculo y la convergencia de una integral impropia. Meta-Lenguaje integral definida, integral impropia, área de una región plana, longitud de arco, volumen de un sólido de revolución, teorema fundamental del cálculo Subunidades 5.1. Notación sigma. 5.2. Propiedades de las sumatorias. 5.3. Sumas relacionadas con los números naturales. IG1002-4 Página 8 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR J. DESCRIPCIÓN DE UNIDADES 5.4. Introducción a la integral definida: cálculo del área de una región plana. 5.5. Suma de Riemann. 5.6. Definición de la integral definida o integral de Riemann. 5.7. Propiedades y teoremas de la integral definida: linealidad, aditiva, comparación, acotamiento, primer teorema fundamental del cálculo, segundo teorema fundamental del cálculo, teorema del valor medio, teorema de simetría, teorema de la periodicidad. 5.8. Integrales impropias, extremos infinitos o integrandos infinitos. 5.9. Área de una región plana en coordenadas cartesianas y polares. 5.10. Volumen de un sólido de revolución empleando el método de los discos. 5.11. Volumen de un sólido de revolución empleando el método de las capas cilíndricas. 5.12. Longitud de un arco de curva en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Objetivos de Aprendizaje 5.1. Aplicar el método de polígonos inscritos o circunscritos en el cálculo de áreas de regiones planas. 5.2. Interpretar geométricamente la integral de Riemann y los teoremas fundamentales del cálculo. 5.3. Aplicar las propiedades de la integral definida. 5.4. Aplicar la integral definida en el cálculo de: áreas de regiones planas en coordenadas cartesianas y polares, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de arcos de curvas en coordenadas cartesianas, polares y en forma paramétrica. Actividades 5.1. Exposición teórica Exponer en clases magistrales los temas relacionados con esta unidad. 5.2. Planteamiento de problemas Proponer ejercicios para que el estudiante aplique las propiedades de la integral definida. Diseñar problemas de aplicación de la integral definida con base en cálculo de áreas, volúmenes y longitudes de arco. Otros Recursos 5.1. (Laptops) Recurso informático Se usarán aplicaciones informáticas para el mejor entendimiento de la integral definida. 5.2. (Proyector) Recurso informático Se proyectarán en el aula las aplicaciones diseñadas por el profesor y relacionadas con el tema. IG1002-4 Página 9 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE MATG1001 BORRADOR K. RESPONSABLES DE LA ELABORACIÓN DEL CONTENIDO DE CURSO Profesor Correo Participación BUSTAMANTE ROMERO EDGAR [email protected] Colaborador JOHNI MEJIA CORONEL MARCO TULIO [email protected] Colaborador BAQUERIZO PALMA [email protected] Coordinador de materia GUILLERMO ALEJANDRO SOLIS GARCIA SOVENY SORAYA [email protected] Colaborador AVILES MONROY JENNIFER [email protected] Colaborador ALEXIS MEDINA SANCHO JORGE [email protected] Colaborador ROILANDI RAMOS BARBERAN MIRIAM [email protected] Colaborador VICTORIA TOLEDO TAPIA XAVIER [email protected] Colaborador ESTEBAN DIAZ PALACIOS ROSA MARIA [email protected] Colaborador PEREZ LILIANA REBECA [email protected] Colaborador IG1002-4 Página 10 de 10 CONTENIDO DE CURSO CÁLCULO DE UNA VARIABLE
