EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS SEGUNDO BANCO

EJERCICIOS DE VARIABLES ALEATORIAS
SEGUNDO BANCO
1. Un jugador tiene la siguiente estrategia de juego a la ruleta: él a puesta dos
unidades monetarias al color rojo, si en el primer giro de la ruleta aparece un
número rojo, él toma el dinero ganado y se retira del juego; si en el primer giro de
la ruleta aparece un número negro o verde, él hace girar la ruleta dos veces más y
apuesta cada vez tres unidades monetarias al color rojo y luego se retira del juego.
Sea X la variable aleatoria que denota la fortuna del jugador. Calcular E(X)
2. (Dificil) Para financiarse sus estudios en la universidad, un joven ha decidido
vender emparedados de jamón y queso a sus compañeros. El costo de elaboración
de cada emparedado es de 500 pesos y el joven los vende a 1500 pesos. Sin
embargo, los emparedades que no logra vender en un día, no los puede vender al
día siguiente. Si la demanda diaria de emparedados es una varibale aleatoria con
distribución binomial de parámetros n = 20 y p = 2/3 ¿Cuántos emparedodos debe
elaborar diariamente para maximizar su ganancia diaria esperada?
3. Se lanza una moneda corriente tantas veces como sea necesario hasta obtener por
primera vez “cara”. Sea X el número de lanzamientos requeridos.
a. Calcular E(X)
4. (Difícil, solo para aquellos que se sientan bien con lo equivalente a cálculo vectorial)
Sea X una variable aleatoria con distribución Poisson de parámetro 𝜆. Encontrar el
valor de lambda para el cual P(X=k) sea máxima.
5. Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p.
Demostrar que:
1
1 − (1 − 𝑝)𝑛+1
𝐸(
)=
(𝑛 + 1)𝑝
𝑋+1
6. (Ejercicio de probabilidad que se puede hacer con V.A.) ¿Cuántos hijos debe tener
una pareja para que, con probabilidad 0.95, ella tenga por lo menos un hijo y un
hija.
7. (Me interesa mucho que sepan hacer ste ejercicios, OJO) En una cierta aerolínea se
sabe por experiencia que el 5% de las personas que hacen una reservación no
toman el vuelo. Por esta razón se aceptan 100 reservaciones aún cuando sólo se
tienen 95 sillas disponibles. ¿Cuál es la probabilidad de que a todas las personas
que se preseten a abordar el vuelo se les asigne una silla en el avión?
8. En una urna se encuetran N boletos de los cuales unos están premiados y otros no.
Supóngase que cada boleto tiene, independientemente de los demás, probabilidad
igual a p de ser ganador de un premio. Calcular la probabilidad de que el sexto
boleto extraído sea el ganador del tercer premio.
9. (Muy difícil) En una masa para hacer pan se han mezclado M uvas pasas.
Supóngase que se usa la totalidad de la masa para elaborar N panecillos. ¿Cuántas
uvas pasas se deben utilizar para que con probabilidad 0.95 cada panecillo
contengo por lo menos una uva pasa?
10. Un dado es lanzado 3 veces. ¿Cuál es la probabilidad que el 6 salga exactamente 2
veces?
11. Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Si el único premio del
sorteo es de 1800 euros, calcular el resutlado que debe esperar una persona que
compra 3 billetes.
12. Una variable aleatoria discreta toma todos los valores enteros entre 0 y 4 con la
siguiente función de densidad.
X
f(X)
0
0.3
1
0.25
2
0.25
3
0.1
4
0.1
a. Calcular su esperanza y varianza.
13. Suponiendo que es equiprobable el tener hijo o hija, determinar el número
esperado de varanoes en una familia de ocho hijos, así como la probabilidad de
que efectivamente resulte este número.
14. Un laboratorio farmacéutico encarga una encuesta para estimar el consumo de
cierto medicamento que elabora, con vistas a controlar su producción. Se sabe que
a lo largo de un año cada persona tiene una posibilidad entre mil de necesitar el
medicamento, y que el laboratorio podrá vender una media de cuatro mil unidades
del producto al año. Se pide hallar:
a. Probabilidad de que el número de enfermos no exceda de cuatro por año.
b. Probabilidad de que haya doce enfermos por año.
15. El recuento de glóbulos blancos de un individuo sano puede presentar un
promedio en valor de hasta 6000 por milímetro cúbico de sangre. Para detectar
una deficiencia de glóbulos blancos se determina su número en una gota de sangre
de 0.001 milímetro cúbicos. ¿Cuántos glóbulos blancos cabe esperar en un
individuo sano? ¿ Cuánto de raro sería encontrar un máximo de 2 glóbulos blancos?
16. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de
narcótico en una botella que contienen 9 píldoras de vitamina que son similares en
apariencia. Si el oficial de aduna selecciona 3 tabletas aleatoriamente para
analizarlas.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero se arretado por porsesión de
droga?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de
narcóticos?
17. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote
contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán ¿Cuál es la probabilidad de
que los 4 exploten?
18. (Algo difícil pero chevere) Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la
aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos
etapas: Se preparan cajas de 25 para embarque y se seleccionan una muestra de 3
para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno o más, la caja
entera se regresa; sino se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embara.
La compañía sabe que normalmente en un lote de 25 cajas, 2 estan defectuosas.
¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos
defectuosos?
19. Si la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación
excesiva es de 0.05. ¿ Cuál es la probabilidad de que el sexto de estos dispositivos
de medición sometidos a prueba sea el tercero en mostrar una desviación excesiva?
20. Los registros de una compañía constructoria de pozos, indican que la probabilidad
de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de un año
es de 0.2.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto pozo construido por esta compañía
en un año dado sea el segundo en requerir reparaciones en un año?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el octavo pozo construido por esta
compañía en un año dado sea el tercero en requerir reparaciones en un
año?