Fonaments de Matemàtica I

Departament de Matemàtica
ETSEA-UdL
Fonaments de Matemàtica I
11 de Gener de 2006
Primera Part
!
"
1
1.- Trobeu i classifiqueu els extrems de la funció f (x, y) = e−(x+y) x −
.
y
Solució: Primerament es calculen les derivades parcials primeres de la funció.
!
"
!
"
∂f
1
∂f
1
1
= e−(x+y) 1 − x +
,
= e−(x+y)
−
x
+
.
∂x
y
∂y
y2
y
∂f
∂f
=0i
= 0, que, com que l’exponencial no pot
∂x
∂y

1
1−x+
= 0

y
.
1
1


−
x
+
=
0
y2
y
A continuació, cal resoldre el sistema format per
ser zero, es redueix a
Restant les equacions i després d’una mica d’aritmètica s’obté y 2 = 1, és a dir, y = ±1. Llavors, si
y = +1, x = 2 i si y = −1, x = 0. Per tant, els punts a estudiar són (2, 1) i (0, −1).
Ara cal construir la matriu Hessiana,
!
"

1
−e−(x+y) 2 − x +

y
!
"
H(x, y) = 

1
1
−e−(x+y) 1 − x + + 2
y y
!
" 
1
1
−e−(x+y) 1 − x + + 2

y y
!
"
1
2
2 
−e−(x+y) −x + + 2 + 3
y y
y
Per acabar, només cal classificar els punts obtinguts.
! −3
−e
H(2, 1) =
−e−3
−e−3
−3e−3
"
.
Com ∆1 < 0 i ∆2 > 0 el punt (2, 1) és un màxim relatiu.
!
"
−e −e
H(0, −1) =
.
−e +e
Ara ∆1 < 0 i ∆2 < 0 i el punt (0, −1) és un punt de sella.
2.- Calculeu les integrals
-
a)
2
(ln x) dx.
b)
- .
4 − x2 dx.
Solució:
a) La integral es calcula integrant per parts dues vegades. En primer lloc es fa
2
u = (ln x) , dv = dx,
−→
du =
2 ln x
dx, v = x.
x
Llavors, la integral es transforma en
-
2
2
(ln x) dx = x (ln x) − 2
Ara, per acabar la integral es fa
u = ln x, dv = dx,
-
2
2
−→
(ln x) dx = x (ln x) − 2x ln x + 2
-
-
du =
ln xdx.
dx
, v = x.
x
2
dx = x (ln x) − 2x ln x + 2x + C.
b) Per calcular
. aquesta integral es fa el canvi x = 2 sin z. Aixı́, dx = 2 cos zdz i, substituint i simplificant,
√
4 − x2 = 4 − 4 sin2 z = 2 cos z. Llavors,
!
"
- .
1 + cos 2z
sin 2z
4 − x2 dx = 4 cos2 zdz = 4
dz = 2 z +
+ C = 2z + 2 sin z cos z + C =
2
2
2 arcsin
3.- Calculeu
-
x 1 .
+ x 4 − x2 + C.
2 2
2x3 − x2 + 3x + 1
dx.
(x − 1)2 (x2 + 4)
Solució: En aquest cas, en primer lloc cal fer la descomposició de l’integrand en fraccions senzilles.
2x3 − x2 + 3x + 1
A
B
Cx + D
=
+
+ 2
.
(x − 1)2 (x2 + 4)
x − 1 (x − 1)2
x +4
Operant i igualant numeradors es té
A(x − 1)(x2 + 4) + B(x2 + 4) + (Cx + D)(x − 1)2 = 2x3 − x2 + 3x + 1,
A(x3 − x2 + 4x − 4) + B(x2 + 4) + C(x3 − 2x2 + x) + D(x2 − 2x + 1) = 2x3 − x2 + 3x + 1.
Substituint x = 1 s’obté 5B = 5, és a dir, B = 1. Per trobar la resta de constants, cal igualar els
coeficients dels dos termes. Aixı́, igualant els coeficients dels termes de grau 3, 1 i 0 s’obté el sistema,

A+C =
2
4A + C − 2D =
3 ,

−4A + D = −3
que té per solució A = C = D = 1.
La integral queda, llavors,
"
- !
2x3 − x2 + 3x + 1
1
1
x+1
dx
=
+
+
dx =
(x − 1)2 (x2 + 4)
x − 1 (x − 1)2
x2 + 4
1
x
1
1
1
1
x
ln |x − 1| −
+
dx
+
dx = ln |x − 1| −
+ ln(x2 + 4) + arctg + C.
x−1
x2 + 4
x2 + 4
x−1 2
2
2
4.- Calculeu:
a) L’àrea tancada per les corbes y = x2 − 1 i y = x3 − x.
x2
b) El volum generat per la rotació entorn de l’eix OX de l’arc d’elipse d’equació
+ y 2 = 1 comprès
4
en el primer quadrant.
Solució:
a)
En primer lloc es troben les abscisses dels punts d’intersecció,
x3 − x = x2 − 1
x3 − x2 − x + 1 = 0
−→
−→ x = ±1.
Llavors, tenint en compte que la paràbola és la funció que tanca per baix,
01
x4
x3
x2
4
−
−
+x
= .
A=
(x − x − x + 1)dx =
4
3
2
3
−1
−1
-
/
1
3
2
b) Tenint en compte la figura, és prou senzill veure que el volum s’ha de calcular fent
V =π
-
0
2
y 2 dx = π
-
0
2
!
1−
x2
4
"
/
02
x3
4π
dx = π x −
=
.
12 0
3