Integral 5

Universidad Veracruzana

1 x
dx
1 x
1 x
1 x
Realizando sustitución inversa: t 
Despejando a x:
Derivando a x con respecto a t:
dx d  t 2  1 
 

dt dt  t 2  1 
1 x
1 x
1 x
t2 
1 x
2
 t 1  x   1  x
t
du
 2t
dt
dv
v  t2 1 
 2t
dt
d
d
t 2  1  t 2  1   t 2  1  t 2  1
d  t 2 1  
dt
dt


2
2
dt  t 2  1 
 t  1
u  t 2 1 
 t 2  xt 2  1  x
  x  xt 2  1  t 2
t 2  1
x
  t 2  1

  t 2  1
t
x
 x
  t  1
t
2
2
2
t
2
 1 .2t   t 2  1 .2t
t
 1
 1

Sustituyendo… en
  t.
4t dt
t
2
 1
2

 4
t
2
 1
4t
 t 2  1
2
2
 dx 

2t 3  2t  2t 3  2t
t
4t
 t 2  1
2
2
 1
2
dt
1 x
dx
1 x
t 2 dt
2
 1
2
Aplicando fracciones parciales, omitiendo el operador integral y el 4. (Usando método de
Heavside)
t
INGENIERÍA QUÍMICA
t2
2
 1
2

t2
Ax  B Cx  D

2
2
 t  1 t  1 t 2  1 t 2  12
BY: JULIO CESAR VELASCO XOLO
Universidad Veracruzana

t 2  t 2  1 t 2  1
t
2
 1 t 2  1

 At  B   t 2  1 t 2  1  Ct  D   t 2  1 t 2  1

t2 1
t
2
 1
2
 t 2   At  B   t 2  1   Ct  D 
 t 2  At 3

2  eix  eix 
2i  eix  eix
e

 i e
 eix  i i  eix  eix  i  eix  e ix  i  e ix  eix 
. 


ix
 eix  i i 2  eix  e ix    eix  e ix 
 eix  eix 
ix
Recordando que:
i  1  i 2 


Reescribiendo
 x tan  x   x *…….
2
1  i 2  1
 i  eix  eix  
  eix  eix  
…….  x tan  x   x   x  ix ix   x  i  x  ix ix   x
  e  e  
  e  e  
  eix  eix  
Tomando solamente  ix ix 
  e  e  
 1 1  1  e 2ix
 e  e   e  e  1   e2ix  1   e2ix
 eix  eix  eix 1  e2ix   1  12ix  e2ix2ix 1
**
e
1 e 
 ix

ix
ix
e 2ix 1  e 2ix 
e 2ix
2 ix
 e

 e  1  e
2 ix
2 ix
2 ix
 1
 1
e
 
2 ix
 1
e 2ix  1
Por lo anterior sustituyendo ** en *
INGENIERÍA QUÍMICA
BY: JULIO CESAR VELASCO XOLO
Universidad Veracruzana
e
i  x
e
u
 2ie 2ix
x
2 ix
2 ix
 1
 1
 x *** Si u  e2ix  1
e 2ix  u  1
 u  2ie2ix x
x
u
2ie 2ix
De u  e2ix  1 despejar x




ln  u  1   ln e 2ix  ln  u  1   ln e 2ix  x 
x
i ln  u  1 
2i 2
 x
ln  u  1  i
.
2i
i
i ln  u  1 
2
Sustituyendo en ***
 i ln  u  1    u  1  1 
 i ln  u  1    u  2 






  1   u

  1   u
2
2
e 2ix  1





i  x 2ix
 x  i 
. 2ix  i 
. 2ix
u
2ie
2ie
 u  1  1
 e  1
1
2
i ln  u  1  .  u  2   u
 1 ln  u  1  .  u  2 . i  u
i ln  u  1  .  u  2 
 i 
. 2ix 

u

2u
2ie
i  2u  2  u  1
4i 
u  u  1
i

i  1 ln  u  1  .  u  2 
4i
2

u  u  1
u 
i  1 ln  u  1  .  u  2 
4  1 
u  u  1
Usando Fracciones Parciales, tomando solamente
Por lo tanto:

ln  u  1  .  u  2 
 u  1 .u

u 
i ln  u  1  .  u  2 
u
4
u  u  1
ln  u  1  .  u  2 
 u  1 .u
 u y omitiendo
i
4
B
 A
  u
 u 1 u 
u  
Omitiendo el operador integral
INGENIERÍA QUÍMICA
BY: JULIO CESAR VELASCO XOLO
Universidad Veracruzana
ln  u  1  .  u  2 
 u  1 .u

ln  u  1  .  u  2  .  u  1 .u  u  1 .u. A  u  1 .u. A
A
B




u 1 u
u
 u  1 .u
 u  1
 ln  u  1  .  u  2   uA   u  1 B  u ln  u  1  2 ln  u  1  uA  uB  B
 u ln  u  1  2 ln  u  1   A  B  u  B
Igualando término a término
A  B  ln  u  1 
donde : B  2 ln  u  1 
 B  2 ln  u  1 
 A  b  ln  u  1   2 ln  u  1   ln  u  1 
A  - ln  u  1 
Por lo tanto:
i ln  u  1  .  u  2 
i  A
B
u  
  u

4
4  u 1 u 
 u  1 .u
****

i   ln  u  1  2 ln  u  1 
i  2 ln  u  1 ln  u  1  


u







4  
u 1
u
4  
u
u  1 

Separando integral ****

i  ln  u  1  
i  ln  u  1  

u



  u  1  u

2  
u
4



2
1
Para integral 1……..
Tenemos la siguiente propiedad de los Dilogaritmos donde z es un número complejo.
z
ln 1  t 
0
t
Li 2  z    
 t ……..derivando

  z ln 1  t  
 t  …..Optenemos
 Li 2  z   

z
 z  0
t

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BY: JULIO CESAR VELASCO XOLO
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ln 1  z 

 Li 2  z    
z
z
Nota: Se tiene el siguiente problema, tenemos ln  u  1  y se necesita que sea ln  1  u  ,
para esto se factoriza de la siguiente manera ln  1  u   1   ln  u  1  .
………
i ln  u  1 
i ln  1  u   1 

u

u 
2
u
2
u
Recordando la propiedad de logaritmos, ln  ab   ln  a   ln  b 
Entonces
i  ln  1  u  ln  1 


 u …Separando
2  
u
u 
i  ln  1  u  
i  ln  1 

u




 u
2  
u
2 u 

3
Para 3…………………….
Para 4……………………
i  ln  1  u  
i

 u   Li 2  u 

2 
u
2

i ln  1 ln  u 
i  ln  1  i ln  1 1
u 




2  u 
2
u
2
Entonces para integral 1 ……..
Para integral 2…. 
4
i ln  u  1
i
i
 u  ln  1 ln u  Li2  u 

2
u
2
2
i ln  u  1
u
4  u 1
Haciendo un cambio de variable ..   ln  u  1    
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u
u 1
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
i ln  u  1
i
i 2
i
i

u





   2   ln 2  u  1


4
u 1
4
4 2
8
8
Entonces integral ****

i  ln  u  1  
i  ln  u  1  

u




 u

2  
u
4   u  1 

i
i
i
ln  1 ln  u   Li 2  u   ln 2  u  1  C
2
2
8
Recordando que: u  e2ix  1





i
i
i
ln  1 ln e2ix  1  Li2  e 2ix  1  ln 2  e2ix  1  1  C
2
2
8

i
i
i
ln  1 ln e 2ix  1  Li 2  e 2ix  1  ln 2  e 2ix   C
2
2
8




2 2
i
i
i
 ln  1 ln e 2ix  1  Li 2  e 2ix  1  ln e 4i x  C
2
2
8
i  4i x
i
i
 ln  1 ln e 2ix  1  Li 2  e 2ix  1 
2
2
8


2

2
 ln
i  4  1 x
i
i
ln  1 ln e 2ix  1  Li 2  e 2ix  1 
2
2
8



2
e  C
 C

i
i
ix 2
 ln  1 ln e 2ix  1  Li 2  e 2ix  1 
C
2
2
2
Factorizando



i
ln  1 ln e2ix  1  Li 2  e2ix  1  x 2   C

2
Usando la siguiente propiedad: loga   N   loga  N    i loga  e 
INGENIERÍA QUÍMICA
BY: JULIO CESAR VELASCO XOLO
Universidad Veracruzana
ln  1  ln 1   i ln  e 
 ln  1   i
En conclusión:
 x tan  x   x  2 i ln  e
i
INGENIERÍA QUÍMICA
2 ix

 1  Li 2  e 2ix  1  x 2   C

BY: JULIO CESAR VELASCO XOLO